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ASIGNATURA: CALCULO C.B.T.is NúM. 7 MAYO DE 2013
Actividad Núm. _______
EFECTUAR LA FACTORIZACION DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1 | P á g i n aIng. Areli Gerardo Pérez
ASIGNATURA: CALCULO C.B.T.is NúM. 7 MAYO DE 2013
Actividad Núm. _______ SIMPLIFICACION DE FRACCIONES (FACTORIZACIÓN)
1) X2−1X2−3 X+2
=¿
2)2 X−8
X2−7 X+12=¿¿
3) X2−1X−1
=
4)X−5
X2−25=¿¿
5)4 X
X2−4 x=¿¿
6)X−3
X2+5 X−24=¿¿
7) X2−7 X+12X−4
=¿¿
8)X−1
X2−1=¿¿
9)2 X
X2−5 X=¿¿
10)6 X−18
X2−3 X=¿
11) X2−2 X7 X
=¿
12)X−2
X2−4=¿
13)2 X−6
X2−9=¿¿
14) 2 X2−12 X4 X−24
=¿
15)3 X−24
X 2−64=¿¿
16)X−7
X2−49=¿¿
17) X2−17 X+72X−9
=¿¿
18) X3−1X2−1
=¿
19)8 X+40
X 2−25=¿
20)X−5
X2−5 X=¿
21)4 X+16
X2−16=¿
22)2 x−12
X2−6 X=¿¿
23)5 X−20
X2−7 X+12=¿¿
24)4 X−36
X2−X−72=¿¿
25)3 X
X2+3 X=¿¿
26) X2+5 X−14X2−11X+18
=¿¿
27) X3−64X2−16
=¿¿
28) −X2+9X3+27
=¿
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Actividad Núm. _______ NOTACIÓN INTUITIVA DE LÍMITE
a _____________________________________________ b
ES UN TIPO DE COTA QUE SE PUEDE O NO REBASAR
NOTACIÓN
LIMITE SE REPRESENTA CON Lim
TENDENCIA SE REPRESENTA CON
limX→C
f ( x )=¿¿¿
Se lee: Límite de una función cuando la variable
independiente tiende a una cantidad es igual a ________
1) Determinar la tendencia de la variable “Y”, si se proponen valores para “X” que van en
aumento desde 1 hasta cualquier valor real.
Y = . 1 . Al aumentar “X”, Y ______ 2X Es decir Lím Y = _______
X Y OPERACIONES Y
1
2
3
4
5
6 0 X
7
8
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“UNA FUNCIÓN NO PUEDE TENDER A DOS LÍMITES DISTINTOS A LA VEZ, ES DECIR, SI EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EXISTE, ESTE ES ÚNICO”
CÁLCULO DEL LÍMITE DE FUNCIONES..
EXISTEN VARIOS CASOS PARA CALCULAR EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN:
a) SI LA FUNCIÓN DADA, ESTÁ TOTALMENTE SIMPLIFICADA, SE SUSTITUYE DIRECTAMENTE.
SI EL LIMITE EXISTE, SU RESULTADO ES UN NUMERO REAL UNICO. ES APLICABLE A TODAS LAS FUNCIONES
ENTERAS Y ALGUNAS FUNCIONES FRACCIONARIAS. ES IMPRESCINDIBLE RESPETAR EL ORDEN O
JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES.
b) SI AL SUSTITUIR DIRECTAMENTE EL VALOR AL QUE TIENDE LA VARIABLE INDEPENDIENTE EN LA FUNCIÓN SE
TIENE LA FORMA QUE SE DENOMINA INDETERMINADA ( 00), LA TRANSFORMACIÓN DE LA EXPRESIÓN DADA SE
OBTIENE POR MEDIO DE LA FACTORIZACIÓN DEL NUMERADOR, Y EN ALGUNOS CASOS DEL DENOMINADOR. ES
APLICABLE EN LAS FUNCIONES FRACCIONARIAS. LA FACTORIZACION PERMITE LA SIMPLIFICACION DE LAS FUNCIONES
FRACCIONARIAS PARA ELIMINAR LA INDETERMINACION Y ENCONTRAR SU LIMITE COMO UN VALOR REAL SI ESTE
EXISTE.
c) SI AL IGUAL QUE EN EL CASO ANTERIOR TENEMOS LA INDETERMINACIÓN ( 00
), Y OBSERVAMOS QUE EXISTE
UN SIGNO RADICAL, ES NECESARIO SIMPLIFICAR LA FUNCIÓN MEDIANTE LA RACIONALIZACIÓN. ES APLICABLE A LAS
FUNCIONES RACIONALES.
d) SI EN UNA FUNCIÓN LA VARIABLE INDEPENDIENTE TIENDE A INFINITO, Y SE DESEA OBTENER EL LÍMITE DE
UN COCIENTE DE POLINOMIOS (FUNCION FRACCIONARIA), SI SUSTITUYÉRAMOS DIRECTAMENTE TENDRÍAMOS LA
FORMA INDETERMINADA ( ¿, EN ESTE CASO ES NECESARIO DIVIDIR EL NUMERADOR Y EL DENOMINADOR ENTRE LA
VARIABLE DE MAYOR EXPONENTE QUE HAY EN EL COCIENTE; ESTO SE HACE TÉRMINO A TÉRMINO.
EXISTEN CIERTOS LÍMITES QUE GENERALMENTE SE PRESENTAN CUANDO LA VARIABLE “X” TIENDE A CERO O AL
INFINITO, LOS CUALES SE ENUNCIAN A CONTINUACIÓN.
1) Lím c = ó c = x0 x 0
4) Lím c = 0 ó c = 0 x x
2) Lím c x = 0 ó (c) (0) = 0 x0
5) Lím c x = ó c () = x
3) Lím x = 0 ó 0 = 0 x0 c c
6) Lím x = ó = x c c
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***** ( c ) ES UNA CONSTANTE DIFERENTE DE CERO.
Actividad Núm. _______LIMITES. I CASO. (DIRECTO) LIMITES (NO EXISTE) (N. E.)
1) limX→1
X2−2X+5=4
2) limX→ 3
X3−5 X2+4 X−7=−13
3) limX→ 3
√7 X−5¿ 4
4) limX→ 1
X 4−5 X3−X−1=−6
5) limX→−1
X3−4 X2−2 X+10=7
6) limX→ 2
X 4+2 X3+4 X2−7 X−34=0
7) limX→2
x3−7 x2−8 X+24=−12
8) limX→6
√X−2¿2
9) limX→ 5
√6 X−14¿4
10) limx→7
5x
√ x+2=35
3
11) limx→3
√ x+1x−4
=−2
1) limX→4
1X−4
=N .E .
2) limX→ 3
4 X−92 X−6
=N . E .
3) limX→5
X−4
X2−9 X+20=N .E .
4) limX→−4
X−4
X 2−16=N . E .
5) limX→−8
X−3
X2+5 X−24=N . E .
6) limX→−2
4 X−20
X2−3 X−10=N .E .
7) limX→−4 /3
18 X−24
9 X2−16=¿N . E .¿
8) limX→0
√X−1¿N . E .
9) limX→3
X2−7 X+6X2−9
=N .E .
10) limX→ 5
4 X−104 X−20
=N . E .
11) limX→−2
3 X2−X−62 X+4
=N . E .
12) limX→−5
3 X+4
2 X2+7 X−15=N . E .
13) limX→4
2 X+3
X 2−16=N .E .
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12) limx→4
3√x+4 = 2
13) limx→5
1+√2 x−10x+3
=18
14) limX→−8
X−8
X2−64=N .E .
15) limX→ 3
5 X+10
X2−X−6=N . E .
Actividad Núm. _______ LIMITES. II CASO. (FACTORIZACIÓN)
29) limX→ 1
X 2−1X2−3 X+2
=−2
30) limX→4
2 X−8
X 2−7 X+12=2
31) limX→ 1
X2−1X−1
= 2
32) limX→5
X−5
X2−25=1 /10
33) limX→ 0
4 X
X2−4 x=−1
34) limX→3
X−3
X2+5 X−24=1/11
35) limX→ 4
X 2−7 X+12X−4
=1
36) limX→1
X−1
X2−1=1/2
37) limX→ 0
2 X
X2−5 X=−2/5
38) limX→2
3 X−6
2X 2+3 X−14=¿3/11¿
39) limX→ 3
6 X−18
X2−3 X=2
40) limX→0
X2−2 X7 X
=−2/7
44) limX→ 0
X
X2+7 X=1/7
45) limX→8
3 X−24
X2−64=3/16
46) limX→ 7
X−7
X2−49=1/14
47) limX→9
X2−17 X+72X−9
=1
48) limX→ 1
X3−1X2−1
=3 /2
49) limX→−5
8 X+40
X2−25=−4 /5
50) limX→ 5
X−5
X2−5 X=1 /5
51) limX→−4
4 X+16
X2−16=−1/2
52) limX→ 6
2 x−12
X2−6 X=1
3
53) limX→4
5 X−20
X 2−7 X+12=5
54) limX→ 9
4 X−36
X2−X−72=4 /17
55) limX→0
3 X
X2+3 X=1
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41) limX→2
X−2
X2−4=1/ 4
42) limX→ 3
2 X−6
X2−9=1 /3
43) limX→6
2 X2−12 X4 X−24
=3
56) limX→2
X2+5 X−14X2−11X+18
=−9/7
57) limX→ 4
X3−64X2−16
=6
58) limX→−3
−X2+9X3+27
=2 /9
Actividad Núm. _______
CONCLUSION DE LA INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA
Una función f(x) se puede graficar. f(x)
Si se deriva y sustituimos
las coordenadas de un punto P ( x1, y1 ), P ( x1, y1 )
en esa función derivada f’(x), obtenemos
“La pendiente de la recta tangente m=dydx
en ese punto de la curva.”
En Geometría Analítica En Cálculo diferencial
m=¿ y2 - y1 m= Δ yΔ x
2 puntos infinitamente cerca cuya
x2 - x1 distancia tiende a cero, por lo que se
considera solo la coordenada de un
punto P ( x1, y1 )
m=Δ yΔ x
=dydx
= lim∆ x→0
f ( x+∆ x )−f (x )∆ x
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Si s = t 2 + t - 1
dsdt
= m = velocidad = 2 t + 1 velocidad = distancia
Tiempo m=0 v=0
m=¿ m=¿ Actividad Núm. _______ Algebra para solución de derivadas
I) Transformar las siguientes expresiones fraccionarias en multiplicaciones ( 2 factores )
1)x2
2= 2)
x❑
−2= 3)
x1 /2
4=
4)x7
7= 5)
3x2
2= 6)
5t❑
3=
II) Efectúa las siguientes divisiones, aportando al final una conclusión
7)x7
53
= 8)4 x3 /2
−32
= 9)x−3/4
−34
=
10)−x1 /2
12
= 11)5x3 /2
52
= 12)−4 x6
25
=
____________________________________________________________________________________________________________________
III) Convierte las siguientes expresiones radicales a expresiones con exponentes fraccionarios y viceversa, justificada con la siguiente ley de
exponentes y radicales n√am=amn donde: a es la base, m el exponente
y n el índice.
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13) x1/2= 14) x2/3= 15)3√ y2=
16) x3/2= 17) x3/4= 18)4√v5=
19) x1/3= 20) √ t= 21)6√w=
22) x5/2= 23) x4 /3= 24)3√w4=
25) x7 /2= 26) x4 /5= 27) √ y=
28) x2/5= 29) √ x= 30)4√ x=
31) 3√ x 32) 4√ t 33) √s3
IV) Presenta las siguientes variables con exponentes negativos en variables con exponentes positivos y viceversa, justificada con la siguiente ley de
exponentes a−n= 1
an ; an= 1
a−n
34)x2
2= 35)
1
−2x−2= 36)2
x3=
37)3x5
5= 38) t 5= 39)
3
2w−4=
40) x−3= 41)y2
−3= 42)
1
x2=
43)x−4
2= 44)
5
4 w−3= 45)8
t−3=
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46)2x−2
3= 47) 9 t 7= 48)
1
2r−4=
49) y−3= 50)6 r4
5= 51)
1z=
52)1
s−8 53)1
5 y4 54)3
4 x3
55)1
z6 56)3
2w−4/5
57) v5
V) Recuerda también las siguientes leyes de exponentes
an=a ∙a ∙a… (nveces ) Donde: a es la base y n el exponente.
am∙ an=am+n
am
an =am−n
a0=1
(am )n=am∙n
( ab )m
=am
bm
n√a ∙b ∙ c=(a ∙b ∙c )1n=a
1n ∙ b
1n ∙ c
1n=n√a ∙ n√b ∙ n√c
n√a ∙ n√b ∙ n√c=n√a ∙b ∙ c
n√ ab=( ab )
1n=
a1n
b1n
=n√an√b
n√m√a=(m√b )1n=(a 1
m )1n=a
1nm=nm√a
n√an√b
=n√ ab
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El que no sabe y no sabe que no sabe, es un necio; apártate de él. El que no sabe y sabe que no sabe, es sencillo; instrúyelo. El que sabe y no sabe que sabe, está dormido; despiértalo. El que sabe y sabe que sabe, es sabio; síguelo.
Sabiduría popular árabe.
Actividad Núm. _______ Notación de Función Derivada.
Símbolo que indica que lo que está dentro del paréntesis va a derivarse.
d( ¿ ¿dx =
Tenemos 3 Formas de presentar las funciones iniciales y 3 formas para presentar las funciones derivadas
Formas de presentar las funciones iniciales
Dentro del paréntesis, en el símbolo de derivación en la parte izquierda de la igualdad con respecto a la variable independiente.
d( 2 x3−7 x+2¿ ¿dx =_______
Como función explícita Y = x 4 – x 2 – 3x + 5
Como función de la variable independiente.
f ( x )=¿ x 4 – x 2 – 3x + 5
Notaciones de funciones derivadas
DirectaCuando la función inicial y la función derivada están en el lado izquierdo y en el lado derecho de la igualdad respectivamente.
AbreviadaCuando en la función explícita se agrega a la variable dependiente o a la f ( x ), el símbolo ( ‘ ) “prima”, el cual representa función derivada.
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Relacionando variables
Cuando la función es explícita y se presenta la función derivada como una razón o relación de variable dependiente con respecto a la variable independiente.
La notación para presentar las funciones derivadas son exclusivas para la parte izquierda de la igualdad de las mismas, ya que la parte derecha se resolverán con fórmulas particulares que veremos en la siguiente actividad.
Notación Directa
Función inicial Función derivada
1) d( 2 x3−7 x+2¿ ¿dx =___________
2) d(5 t 3−t 2+4 t−7¿ ¿dt =___________
3) d ( 8 s2−4¿ ¿ds =______________
Función inicial Funciones derivadas
Función explícita Notación: AbreviadaRelacionanado variables
Y = x 4 – x 2 – 3x + 5 y ’ = _______________dydx
=¿¿
s = 4 t 3 – 2 t 2 – 3 t + 9 s ’ = _______________dsd t
=¿¿
w = 6z 5 – 7z 3 – 8z -10 w ’ = _______________dwdz
=¿¿
Función inicial Funciones derivadas
Función de la variable independiente
Notación: Abreviada
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f ( x )=¿ x 4 – x 2 – 3x + 5 f ' ( x )=¿¿
f ( t )=¿ 4 t 3 – 2 t 2 – 3 t + 9 f ' (t )=¿ ¿f ( z )=¿ 6z 5 – 7z 3 – 8z -10
f ' ( z )=¿_______________
Actividad Núm. _______ Participación individual con: LECTURA de Fórmulas de derivación algebraicas ( Monomios )
1)d (c )dx
= 0 La derivada de una constantecon respecto a “x” es igual a cero.
2)d (x )dx
=1La derivada de una variable con coeficiente y exponente unocon respecto a “x” es igual a la unidad
3)d (c x )dx
= cLa derivada de una constante por una variable con exponente uno,con respecto a “x” es igual a la constante
4) d (xn )dx
=n x n – 1
La derivada de una variable con coeficiente uno y exponente “n”con respecto a “x” es igual a el producto de el exponente “n” por la variable elevada al exponente “n” menos uno.
5) d (c xn )dx
= nc x n – 1
La derivada de una constante por una variable con exponente “n”con respecto a “x” es igual a el producto de el exponente “n” por la constante, por la variable elevada al exponente “n” menos uno.
fórmula 1 constante: absolutas y arbitrarias números y primeras letras del alfabeto ( a p )Fórmulas de la 2 a la 5 Variables últimas letras del alfabeto ( q z )
y las letras del alfabeto griego ( θ, ø, ω )
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La variable tiene 2 acompañantes: el coeficiente ( constante) y el exponente.
Actividad Núm. _______Derivación de términos algebraicos ( monomios ) fórmulas particulares
Fórmula No. 1 d (c )dx
= 0
La derivada de una constante con respecto a “x” es igual a cero.
LA CONSTANTE PUEDE SER ENTERA, FRACCIONARIA, POSITIVA O NEGATIVA, TENER EXPONENTES ENTEROS O FRACCIONARIOS (RADICALES)
EJERCICIO:
FUNCION INICIAL
FUNCION DERIVADA
FUNCION INICIAL
FUNCION DERIVADA
1) f ( x ) = 7 9) y = 2
2) f ( w ) = 2 √b 10) d ( a 5 ) = dx
3) t = b c 3 11) u = 5 a 2 b 3
4) z = b 2 12) f ( s ) = 3 c
5) f ( t ) = 20 13) f ( z ) = p 5
6) d ( 2m ) = dx
14) d ( 6a ) = dx
7) f ( u ) = √a 15) t = b2/ 3
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8) y = 10 16) y = √3b
Fórmula No. 2 d (x)dx
= 1
La derivada de una variable con coeficiente y exponente uno
con respecto a “x” es igual a la unidad
EJERCICIO:Notación
Directa
Notacion
Abreviada
Notacion
Abreviada
Notacion
Relac. Variables
1)¿d (X )dx
=
2)d (q)dq
=
3)d (r )dr
=
4)d (s)ds
=
5)d (t)dt
=
6)d (u)du
=
8) f ( v )=v 9) Y = U10)Y = t
11) f (w )=w 12) R = V 13) R = S
14) f ( x )=x 15) T = W 16) T = U
17) f ( y )= y 18) S = X 19) S = W
20) f ( z )=z❑ 21)ω =Y22) W = X
23) f (ø )=ø 24) Y = Z 25) Y = θ
26) f (S )=¿S 27) U = Q 28)θ = ω
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7)d (θ)dθ
=
29) f (t )=¿ t 30)V = R31)V = ø
Fórmula No. 3 d (c x )dx
= c
La derivada de una constante por una variable con exponente uno,
con respecto a “x” es igual a la constante
FUNCION INICIAL
FUNCION DERIVADA
FUNCION INICIAL
FUNCION DERIVADA
1) f ( z ) = 2 z f ‘( z ) = 2 10) y = 16 wdydw
=16
2) y = b 2 s y’ = b2 11) y = - a t
3) f ( v ) = 2 b v f’ ( v ) = 2 b 12) s = 9 c t
4) y = 5 a w 13) s = 3 a5 t
5) y = - 2 m v 14) r = ( - ½ ) a 3 q
6) y = 4 m2 u 15) s = a r
7) t = 3 s 16) w = ( ½ )b u
8) v = b2 t 17) x = - 3 v
9) y = - w 18) z = - a4 x
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Fórmula No. 4 d(xn )dx
=n x n – 1
La derivada de una variable con coeficiente uno y exponente “n” con respecto a “x” es igual a el producto de el exponente “n” por la variable elevada al exponente “n” menos uno.EJERCICIO:
FUNCIONINICIAL
FUNCION DERIVADA
1) Y=X4
2) Y=X7
3) Y=t9
4) Y=u8
5) Y=x−1
6) r=s−3
7) t=w−5
8) v=z−6
9) z=q3 /2
10) r=ω7 /4
11) θ=s5/3
12) u=x5 /2
13) ø=r1/2
14) s=t1 /5
15) x=v2/3
16) u=w3 /4
17) Y=z−1/3
18) v= y−5 /4
En los resultados de los problemas derivados
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Considerar que: si los EXPONENTES son:
Enteros positivos. Es lo que se requiere Enteros negativos Convertirlos a enteros positivos
Fracciones positivas Convertirlos a radicales Es lo que se requiere Fracciones negativas Convertirlos a fracciones positivos Convertirlos a radicales
Fórmula No. 5 d (c xn )dx
= nc x n – 1
La derivada de una constante por una variable con exponente “n”
con respecto a “x” es igual a el producto de el exponente “n” por la constante, por la variable elevada al exponente “n” menos uno.
EJERCICIO:FUNCIONINICIAL
FUNCION DERIVADA
1) Y=2x3
2) Y=4 x5
3) Y=6 t7
4) Y=8u9
5) Y=−3x4
6) Y=−5x6
7) r=−7 x8
8) t=−9 w2
9) v=8 z−4
10) ø=3 r−6
11) s=4 t−8
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12) u=.5v−9
13) w=−6 x−3
14) ω=−7 z−4
15) z=5 y8 /5
16) r=−3θ1/3
17) t=1ω4
−4
18) u=−5 s2
4
19) Y=−6 x5
9/6
20) θ=2v3
−1 /8
21) s=−3ω4
−4 /3
22) x=1ø2
4 /5
Actividad Núm. _______ Identificación de términos algebraicos
19 | P á g i n aIng. Areli Gerardo Pérez
ASIGNATURA: CALCULO C.B.T.is NúM. 7 MAYO DE 2013
En tu cuaderno, presenta un cuadro de 3 columnas, ( 20 términos algebraicos con su respectivo número, descripción textual de los términos algebraicos, anotación de la fórmula correspondiente con la que se derivará correctamente. )
2 x3 t−1 √325
q
M
7 x 4 x a2/3 y1 /2 –S
2 x4 √2 c −5 y w3/2
3 t 2 5a2 z−3 /4 √6 t −23
v−4
t 13
b
3u2 /5 14
r - r
Actividad Núm. _______ En tu cuaderno, Deriva los siguientes términos algebraicos ( monomios), utilizando las diferentes notaciones de funciones derivadasNotación
Directa
Notacion
Abreviada
Notacion
Abreviada
Notacion
Relac. Variables
32)¿d (2 x3)
dx=
33)d (7 x)dx
=
34)d (2)dx
=
35)d (3 t2)dt
=
36)d (t)dt
=
37)d (−r )dr
=
38) f ( t )=t
39) f ( x )=4 x
40) f (w )=w4
41) f ( x )=5 a2
42) f ( x )=13b
❑
43) f ( v )=−23
v−4
44) f (S )=¿–S
45) f ( z )=¿m z 6
46) Y = x 4
47) R = √3
48) T =a2/3
49) S = U
50) W =z−3 /4
51) Y = 3u2 /5
52) U = −25
W
53) V = y1 /2
54) Y = √6 t
55) R = −5 y
56) T = 14
r
57) S =w3/2
58) W = m
59) Y =√2 c
60) U =25
q
61) V = - θ
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ASIGNATURA: CALCULO C.B.T.is NúM. 7 MAYO DE 2013
Actividad Núm. _______ Participación individual con: LECTURA de Fórmulas de derivación algebraicas ( Polinomios )
6¿d (u+v−w )
dx = d (u)dx
+d (v)dx
−d (w )dx
La derivada de un polinomio es igual ala derivada de cada término por separado, respetando su
signo.
7¿d (vn )dx
= n v n -1 d (v )dx
La derivada de un polinomio elevado a un exponente “n” es igual a
el producto de el exponente “n” por el polinomio elevado al exponente “n” menos uno, por la derivada del
polinomio..
8¿d (√u )dx =
d (u)dx
2√u
La derivada de la raiz cuadrada de un monomio o un polinomio es igual a
la derivada del monomio o polinomio entre 2 veces la raíz cuadrada del monomio o polinomio.
9¿d (u v )dx = u d (v )
dx+v
d(u)dx
La derivada del producto de 2 factores es igual ael primer factor por la derivada del segundo factor MAS
el segundo factor por la derivada del primer factor.
10) d ( uv)
dx= v
d (u)dx
−ud (v)dx
v2
La derivada de una fracción es igual ael denominador por la derivada del numerador MENOSel numerador por la derivada del denominador TODO
ENTREel denominador al cuadrado.
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ASIGNATURA: CALCULO C.B.T.is NúM. 7 MAYO DE 2013
Actividad Núm. _______
Fórmula No. 6 d (u+v−w )dx = d (u)
dx+d (v)dx
−d (w )dx
La derivada de un polinomio es igual a la derivada de cada término por separado, respetando su signo.
EJERCICIO: Comprobar cada una de las siguientes derivadas.
1) y = x – x 3 y’ = 1 – 3 x 2
2) y = a t 5 - 5 b t 3 y’ = 5 a t 4 - 15 b t 2
3) y = a x 3 + b x 2 + c x + d y’ = 3 a x 2 + 2 b x + c
4) t = 3 x 4 –2 x 2 + 8 x – 1 t’ = 12 x 3 – 4 x + 8
Actividad Núm. _______
Fórmula No. 7 d (vn )dx
= n v n -1 d (v )dx
La derivada de un polinomio elevado a un exponente “n” es igual a el producto del exponente “n” por el polinomio elevado al exponente “n” menos uno, por la derivada del polinomio..
1) y = ( 2 – 3 t 2 ) 3 2) r = √1– 2 = ( 1 – 2 ) 1/2
n = n =
v = v =
n – 1 = n – 1 =
v’ = v’ =
y’ = r’ =
Actividad Núm. _______
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ASIGNATURA: CALCULO C.B.T.is NúM. 7 MAYO DE 2013
Fórmula No. 8 d (√u )dx =
d (u)dx
2√u
La derivada de la raiz cuadrada de un monomio o un polinomio es igual a la derivada del monomio o polinomio entre 2 veces la raíz cuadrada del monomio o polinomio.
EJERCICIO:1) y = √a2−x2 2) r = √1– 2
u = u =
du/dx = du/dx =
y’ = r’ =
Actividad Núm. _______
Fórmula No. 9 d (u v )dx = u d (v )
dx+v
d(u)dx
La derivada del producto de 2 factores es igual a el primer factor por la derivada del segundo factor MAS el segundo factor por la derivada del primer factor.
EJERCICIO:1) y = ( 3 x + 2 ) ( x 2 – 1 ) t = ( 3 v 2 + a 2 ) ( v 2 – a 2 )
u = u =
v = v =
u’ = u’ =
v’ = v’ =
y’ = t’ =
y’ = t’ =Actividad Núm. _______
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ASIGNATURA: CALCULO C.B.T.is NúM. 7 MAYO DE 2013
Fórmula No. 10 d ( uv)
dx= v
d (u)dx
−ud (v)dx
v2
La derivada de una fracción es igual a el denominador por la derivada del numerador MENOS el numerador por la derivada del denominador TODO ENTRE el denominador al cuadrado.
EJERCICIO:y = ( 2 x – 5 ) / ( x 2 + 1 ) y’ = ( - 2 x 2 + 10 x + 2 ) / ( x 2 + 1 ) 2
u =
v =
u’ =
v’ =
v 2 =
r = ( a 2 + s 2 ) / ( a 2 – 4 s 2 ) r’ = 10 a 2 s / ( a 2 – 4 s 2 ) 2
u =
v =
u’ =
v’ =
v 2 =
Actividad Núm. _______ Identificación y derivación de expresiones algebraicasDeriva y describe textualmente las siguientes expresiones algebraicas, anotando la fórmula correspondiente con la que se derivará correctamente.
Función inicial Descripción textual Fórmula de
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ASIGNATURA: CALCULO C.B.T.is NúM. 7 MAYO DE 2013
derivación correspondiente
1) f ( x )=2x3- 7x + 2
2) y=5 x3−2 x2+4 x−7
3) y=3 t 2−t+t−1
4) f (r )=√5−7 r
5) f ( z )=√7 z2−4 z
6) f ( t )=√6 t+5
7) f ( y )=( y¿¿2− y)−2¿
8) y= 5√(3 x+2)4
9) u=(x2+1 ) (x2−3)
10) t=(7 y−2 )(2 y+1)
11) y=√x + 1
12) v=2x4+3 x2−1x2
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13) v= 1
x 4−x2+1❑
14) r=(8 s¿¿2−4)4¿
15)d ( 5t 2– 7 )
dt=¿
16)d ( 2 s2 –3 s+1 )
ds=¿
17) t=u2+13
18) q=w2+1w−1
19) s=(t ¿¿3−2)5 /2¿
20) y= 6
x3
26 | P á g i n aIng. Areli Gerardo Pérez
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Actividad Final
Deriva los sig. términos algebraicos ( monomios) Y Funciones algebraicas (polinomios) utilizando la tabla de la siguiente
página con las diferentes notaciones.
62)¿d (2 x3)
dx=
63)d (7 x)dx
=
64)d (2)dx
=
65)d (3 t2)dt
=
66)d (t)dt
=
67)d (−r )dr
=
68) f ( t )=t
69) f ( x )=4 x
70) f (w )=w4
71) f ( x )=5 a2
72) f ( x )=13b
❑
73) f ( v )=−23
v−4
74) f (S )=¿–S
75) f ( z )=¿m z 6
76) Y = x 4
77) R = √3
78) T =a2/3
79) S = U
80) W =z−3 /4
81) Y = 3u2 /5
82) U = −25
W
83) V = y1 /2
84) Y = √6 t
85) R = −5 y
86) T = 14
r
87) S =w3/2
88) W = m
89) Y =√2 c
90) U =25
q
91) V = - θ
92) v=√3θ2−5
93) r=3 s−s4+8 s6
94) y= (x−5/4 )5/4
95) v=√3θ2−5
96) y=( 3θ2−5 )3/2
97) v=√4ω3−6
98)u=a3−z3+z
99) r=√2−x3
100) y=a7−θ7+θ
101)
ω=√7 s−2−b2
102) U=W 3/8
3
103) v=√4ω−5−b
104) s=a5−t5+t
105) y=( 5θ2−4 )3/4
106)d ( 8−5 X 4+2 X−2 )
dX
=
107) d ¿¿=
108) z=(6 x2−9 )9/4
109) r=√5 t8−ab
110) y=θ5( a7−θ7 )
111)
t=a4−ω4+ω
112)
113)
t=(6 S−2
−a2 )4 /3
114)
s=2θ+θ4−7θ2
115)
u=ω3 /4−34
116) y=( 3x2−4 )5 /4
117)
Q= Z4+6Z2
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FUNCIÓN INICIAL FUNCIÓN DERIVADANUMERO DE FÓRMULA
NOTACION DIRECTA NOTACION ABREVIADANOTACION: RELACION DE
VARIABLESY FÓRMULA A
UTILIZAR
d (5 r )dr
= d (5 r )dr
=
d (w7−4)dw
=¿d (w7−4)
dw =
Q = √3 b4 d (√3b4)dx
=¿ Q’ = ____________________dydx
=¿¿
Y = x 4 – x 2 – 3x + 5d (X 4– X2 –3 x+5)
dx=¿
y ’ = _______________
dydx
=¿¿
s = 4 t 3 – 2 t 2 – 3 t + 9
d ( 4 t 3– 2 t2– 3 t+9 )dt
=¿s ’ = _______________
dsd t
=¿¿
w = 6z 5 – 7z 3 – 8z -10d ( 6 z5 –7 z3 –8 z – 10 )
dz=¿
w ’ = _______________
dwdz
=¿¿
f ( x )=¿ x 4 – x 2 – 3x + 5d ( X4 – X2– 3 x+5 )
dx=¿
f ' ( x )=¿¿
f (t )=¿ 4 t 3 – 2 t 2 – 3 t + 9 d ( 4 t 3– 2 t2– 3 t+9 )dt
=¿ f ' ( t )=¿ ¿
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f ( z )=¿ 6z 5 – 7z 3 – 8z -10 d ( 6 z5 –7 z3 –8 z – 10 )dz
=¿ f ' ( z )=¿_______________
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