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INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4º ESO opción BUnidad 5: Semejanzas
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5 Semejanzas
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LECTURA INICIAL
ESQUEMA
ACTIVIDAD
Las transformaciones que mantienen la forma y las proporciones se llaman semejanzas.
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La forma más sencilla es el método de la proyección.
Construcción de figuras semejantes
• Fijamos un punto O.
• Trazamos rectas que pasen por O y por los vértices de la figura original.
• Los vértices de la nueva figura están alineados con O y con los vértices de la original, y sus lados serán paralelos a los de la figura original.
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Teorema de Thales
Comparando la sombra de un bastón y la sombra de las pirámides, Thales midió, por semejanza, sus alturas respectivas. La proporcionalidad entre los segmentos que las rectas paralelas determinan en otras rectas dio lugar a lo que hoy se conoce como teorema de Thales.
Teorema de Thales
Si tres o más rectas paralelas a, b y c son intersecadas por dos transversales r y s, y los segmentos de las rectas transversales determinados por las paralelas son proporcionales.
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Ejemplo:
Calcular la medida del segmento x.
Teorema de Thales
Ordenamos los datos en la proporción, según el teorema de Thales.
1524
8 x
524
12024x x120 24158 x
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Dos triángulos son semejantes cuando verifican las siguientes condiciones:
- Sus lados son proporcionales:
- Sus ángulos son iguales:
Semejanza de triángulos
''' c
c
b
b
a
a
'CC 'ˆB 'ˆˆ BAA
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Los criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que han de cumplir los triángulos para que sean semejantes.
Criterios de semejanza de triángulos
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Los criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que han de cumplir los triángulos para que sean semejantes.
Criterios de semejanza de triángulos
PRIMER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos son iguales.
'ˆˆ
'ˆˆ
BB
AA
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Los criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que han de cumplir los triángulos para que sean semejantes.
Criterios de semejanza de triángulos
SEGUNDO CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales.
PRIMER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos son iguales.
''' c
c
b
b
a
a
'ˆˆ
'ˆˆ
BB
AA
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Los criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que han de cumplir los triángulos para que sean semejantes.
Criterios de semejanza de triángulos
SEGUNDO CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales.
PRIMER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos son iguales.
TERCER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales.
''' c
c
b
b
a
a
'ˆˆ
'ˆˆ
BB
AA
''
'ˆˆ
c
c
b
b
AA
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Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulos
Hallar la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm, respectivamente. 4 cm3 cm
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Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulos
Hallar la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm, respectivamente. 4 cm3 cm
Por Pitágoras:
cm 525
2534 2322
a
aa
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Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulos
Hallar la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm, respectivamente. 4 cm3 cm
Por Pitágoras:
cm 525
2534 2322
a
aa
Aplicando el teorema del cateto:
cm 8,15
953
cm 2,35
1654
22
22
nnanb
mmamc
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Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulos
Hallar la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm, respectivamente. 4 cm3 cm
Por Pitágoras:
cm 525
2534 2322
a
aa
Aplicando el teorema del cateto:
Aplicando el teorema de la altura:
cm 4,276,58,12,322 hhnmh
cm 8,15
953
cm 2,35
1654
22
22
nnanb
mmamc
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Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulos
Calcular la altura de la torre.
Los triángulos siguientes son semejantes por ser triángulos rectángulos y tener un ángulo común.
m50
m37
m 6
h
m 12,837
506h
37
6
50
h
Por lo tanto, la altura de la torre es 8,12 metros.
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Semejanza de áreas y volúmenes
Si dos figuras planas son semejantes, con razón de semejanza r, sus áreas serán proporcionales y
la razón de la proporción es r2.
2lllA 2422 lllA
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Semejanza de áreas y volúmenes
Si dos cuerpos son semejantes, con razón de semejanza r, sus volúmenes serán proporcionales
y la razón de la proporción es r3.
332222 llllV
3llllV