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Vu Pham
INTRODUCCIÓN A LAS CURVAS ELÍPTICAS
Descripción y Aplicaciones
Ing. Carlos Felipe Téllez Castaño
M.Eng. (C) Sistemas y Computación
Ing. Carlos Felipe Téllez Castaño
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Vu Pham
Introducción
Operaciones
Aplicaciones
AGENDA
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Introducción
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Introducción
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Introducción
Singularidad en (0,0)
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Introducción
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Operaciones Suma de puntos P + Q en E
P
Q
P+Q
R
- 9 - Ing. Carlos Felipe Téllez Castaño
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Operaciones
P
2*P
R Línea Tangente a E en P
- 10 -
Doblado de un punto P en E (Suma consigo mismo)
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Operaciones
Las líneas verticales no tienen
un tercer punto de
intercepción
Q
Añadir un punto extra O “en el infinito.”
El punto O se encuentra en cada línea
vertical.
O
P
Q = –P
- 11 -
Líneas
Verticales
y punto
en el
infinito
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Propiedades de la suma en E
Operaciones
Teorema: La ley de la suma en E tiene las siguientes
propiedades:
a) Pr. Identidad: P + O = O + P = P para todo P E.
b) Pr. Inverso Aditivo: P + (–P) = O para todo P E.
c) Pr. Asociativa: (P + Q) + R = P + (Q + R) para todo P,Q,R E.
d) Pr. Conmutativa: P + Q = Q + P para todo P,Q E.
También
conocido como
Grupo Abeliano
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Suma de dos puntos P1 y P2 de E:
P1 : (x1,y1) + P2 : (x2,y2) = P3 :(x3,y3)
en la curva elíptica E : y2 = x3 + ax + b.
Tenemos que:
Operaciones:
. si 2
3y si 21
1
2
121
12
12 PPy
axPP
xx
yy
1313
1
2
3
)(
2
yxxy
xx
1313
21
2
3
)( yxxy
xxx
21 si PP
21 si PP
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Criptografía de Curvas Elípticas
Fueron utilizadas para probar el último teorema de Fermat
String Theory
Problema del número congruente
Solución al Problema de las balas de cañón
Aplicaciones
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Vu Pham
Lawrence, Elliptic Curves Number Theory and Cryptography http://www.math.vt.edu/people/brown/doc.html
http://www.math.brown.edu/~jhs/
Apostol, T. Modular functions and Dirichlet series in number theory, Graduate Texts in Mathematics 41, Springer-Verlag, New York, 1976.
Blake, I. F.; Seroussi, G.; Smart, N. P. Elliptic curves in cryptography. London Mathematical Society Lecture Note Series, 265. Cambridge University Press, Cambridge, 2000.
Cremona, J. E. Algorithms for modular elliptic curves. Cambridge University Press, Cambridge, 1997.
Knapp, A. Elliptic curves, Mathematical Notes 40, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1992.
Koblitz, N. Introduction to elliptic curves and modular forms, Springer-Verlag, NY, 1984.
Referencias