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Precálculo
02/15/2016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada
La Ecuación de la Recta
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Actividades 2.6
• Referencia: Seccíón 2.3 – Ecuaciones de una recta.
Vea ejemplos del 1 al 7; Ejercicios de Práctica:
impares 19-43, 49-55, 59-65.
• Asignación 2.6 – Use GRAPH para graficar la
ecuación 26, guarde en formato de imagen JPG e
imprima. Luego, realice problemas 36, 44, 56, 62
• Referencias del Web
– Math2me: Pendiente de una recta, Pendiente de la recta
Ejercicio 1, Ejercicio 2; Pendiente de una recta abscisa y
ordenada; Pendiente cero de una recta; Rectas paralelas o
perpendiculares
– Descargar GRAPH de Padowan: https://www.padowan.dk/
– Tutoriales de GRAPH
• ¿Cómo graficar?
• ¿Cómo guardar como imagen?
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La ecuación de una recta
• Si A, B y C son números reales, con A,
B distintos de 0 entonces la gráfica de la
ecuación 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 = 𝐶 es una recta
(Forma estándar).
• Ejemplo:
3𝑥 − 4𝑦 = 12
• Si m y b son constantes, la gráfica de la
ecuación 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 es una recta
(Forma pendiente-intercepto)
• Ejemplo:
𝑦 = 2𝑥 + 1
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Programa GRAPH
• Permite graficar ecuaciones con dos
variables.
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Pasos:
1. Active Programa
2. Seleccione “Insert
relation” del menú
Function
Bajar de: http://www.padowan.dk/graph/
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Interceptos• Puntos donde la gráfica cruza los ejes.
Intercepto en x es (4,0)
Intercepto en y es (0,3)Interceptos en x son …
Intercepto en y es (0,0)
aproximadamente (0,0) y (6,0)
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Intercepto en x
• Punto(s) donde la gráfica cruza eje de 𝑥.
• Soluciones de la ecuación de la forma (𝑥, 0).
Ejemplo: Determine el los interceptos en x de la ecuación 𝑦 = 3𝑥 − 12
• Solución:Deje y = 0, resuelva por x.
0 = 3𝑥 − 1212 = 3𝑥𝑥 = 4
El intercepto en x es (4,0)
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Intercepto en y
• Punto(s) donde la gráfica cruza eje de 𝑦.
• Soluciones de la ecuación de la forma (0, 𝑦).
Ejemplo: Determine el los interceptos en y de la ecuación 𝑦 = 3𝑥 − 12
• Solución:Deje x = 0, resuelva por y.
𝑦 = 3(0) − 12𝑦 = −12
El intercepto en y es (0,−12)
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Pendiente (Slope)
• La pendiente de una línea recta no vertical es una
medida de inclinación de la recta con respecto al eje
horizontal.
• La líneas rectas verticales no tienen pendiente.
• Hay tres casos:
Pendiente positivaPendiente negativa
Pendiente 0
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• Sea y dos puntos en una recta tal que
𝑥1 ≠ 𝑥2. Entonces, la pendiente (m) de la recta que
por esos puntos es:
Ejemplo:
La pendiente de la recta por
(1,3) y (4,5):
Pendiente (Slope)
12
12
xx
yym
11, yx 22 , yx
12
12
xx
yym
)1()4(
)3()5(
3
2
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Pendiente-Intercepto
• Si y = mx + b es la ecuación de una línea en
el plano, su pendiente es el coeficiente de x
(m) y su intercepto en y es (0,b).
• Ejemplos:
– y = 5x + 3 pendiente 5 , intercepto en y (0, 3)
– y = -3x - 5 pendiente -3 , intercepto en y (0, -5)
– y = x pendiente 1, intercepto en y (0, 0)
– tiene 1/2 e intercepto en y (0, 1)
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12
xy
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Ejemploa 1 & 2
1) Determine la pendiente e intercepto en y de la recta cuya ecuación es 3x - 2y = 6.– Despeje y de la ecuación:
– Pendiente es3
2.
– El intercepto en y es (0,-3)
2) Determine la ecuación de la recta cuya pendiente es
-4 e intercepto en y es -3.
y = mx + b
y = (-4)x + (- 3)
y = -4x - 3
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2
6
2
3
2
2
x
y
32
3 xy
632 xy
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Ejercicio #1
1. Determine la ecuación de la recta que tiene
pendiente -2 e intercepto-y 5
2. Determine la pendiente e intercepto en y de
la recta cuya ecuación es 2x + 3y = 8
52 xy
623 xy
3
6
3
2
3
3
xy
23
2
xy
Pendiente es -2/3.El intercepto en y es (0,2)
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• Una ecuación de una recta no vertical con
pendiente m que pasa por el punto (x1, y1) es:
• Ejemplo: La ecuación de la recta con pendiente -2
y que pasa por (-1,5) tiene como ecuación:
Pendiente - Punto
11 xxmyy
1)2()5( xy
225 xy
32 xy
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125 xy
522 xy
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Ejercicio #2
1. Determine la ecuación de la recta que tiene
pendiente -2 e intercepto-y 5
2. Determine la pendiente e intercepto en y de
la recta cuya ecuación es 2x + 3y = 8
52 xy
623 xy
3
6
3
2
3
3
xy
23
2
xy
Pendiente es -2/3.El intercepto en y es (0,2)
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• La ecuación de una recta
horizontal es dado por la
ecuación y = b , donde (0,b)
es el intercepto en y.
• Ejemplo:
La gráfica de y = 4
• La ecuación de una recta
vertical es dado por la
ecuación x = a , donde (a,0)
es el intercepto en x.
• Ejemplo:
• La gráfica de x = 4
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Rectas horizontales y verticales
y
x)0,4(=P
),4(=Q 2y
Ly
x
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Rectas paralelas
• Dos rectas son paralelas si no tienen un punto en
común.
Dos rectas son paralelas si tienen la misma
pendiente pero diferentes interceptos en y.
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𝑚1 =𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑦
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑥𝑚2 =
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑦
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑥
𝑚1 = 𝑚2
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(1,5)
Ejemplo 3
• Determine la ecuación de la recta que pasa
por el punto (1,5) y es paralela a la recta con
ecuación y = -3x + 5
11 xxmyy
)1()3()5( xy
335 xy
83 xy
Pendiente = -3
Pendiente = -3
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Por tanto la recta por el punto (1,5)
también tiene pendiente 𝑚2 = -3
135 xy
533 xy
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Rectas perpendiculares
• Dos rectas
perpendiculares
son dos rectas que
se intersecan y
forman un ángulo
de 90 grados.
• Dos rectas
perpendiculares
son dos rectas
donde el producto
de sus pendientes
es igual a -1.
121 mm
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Ejemplo 4
• Determine la ecuación de la recta que pasa por el
punto (1,5) y es perpendicular a la recta y = -3x + 5
13
15 xy
3
1
3
15 xy
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(1,5)
Pendiente = -3
Pendiente = m
tal que …
𝑚 ∙ −3 = −1
𝑚 =−1
−3
𝑚 =1
3
11 xxmyy
Por tanto la recta perpendicular por el
punto (1,5) tiene pendiente 𝑚 =1
3
)1()3
1()5( xy
53
1
3
1 xy y x
1
3
14
3
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(-2,2)
Ejercicio #3
• Determine la ecuación de la recta que pasa por el
punto (-2,2) y es perpendicular a la recta
• Solución:
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3𝑦 − 2𝑥 = 6
3𝑦 − 2𝑥 = 6
3𝑦 = 2𝑥 + 6
𝑦 =2
3𝑥 + 2
𝑚 ∙2
3= −1
𝑚 =−3
2
11 xxmyy
)2()2
3()2(
xy
32
32
xy
232
3
xy
12
3
xy
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Ejercicios del Texto
• Grafique
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Halla la ecuación y exprésela
en forma estándar
Halla la ecuación que pasa a través
del punto con pendiente m. Exprésela
en forma pendiente intercepto
Halla la ecuación que contiene los
puntos indicados. Exprésela en forma
pendiente intercepto
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Ejercicios del Texto
• Halla la ecuación que contiene el punto indicado y satisface la
condición señalada. Exprésela en forma estándar
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