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LABORATORIO I
1. DE LAS SIGUIENTES ECUACIONES CUALES SON EDO Y CUALES SON EDP.
SOLUCION:
∂ z∂ x
+ ∂ z∂ y
=x+ y Ecuación diferencial parcial
dzdx
+x+ y=0 Ecuación diferencial ordinaria
dzdx
−xy=sin θ Ecuación diferencial ordinaria
∂2 z∂ x2
−xy ∂ z∂ y
= y Ecuación diferencial parcial
d2 yd x2
+¿ Ecuación diferencial ordinaria
∂ p∂ t
+ ∂ p∂x
=tx Ecuación diferencial parcial
2. DETERMINAR EL ORDEN EN CADA UNA DE LOS EDO.
SOLUCION:
( dyd x2 )2
+ dydx
+ y=2 Ecuación diferencial parcial de primer orden
d4 yd x4
−dydx
+ y=x−4 Ecuación diferencial parcial de cuarto orden
dydx
+ y2 x=tan x Ecuación diferencial ordinaria de primer orden
d3 yd x3
+x dydx
=0 Ecuación diferencial parcial de tercer orden
( d2 yd x2 )5
+( dydx )2
+ y=0 Ecuación diferencial parcial de segundo orden
dydx
+¿ Ecuación diferencial ordinaria de primer orden
3. CUAL DE E.D.O DEL EJERCICIO (2) SON LINEALES Y CUALES NO.
SOLUCION:
( dyd x2 )2
+ dydx
+ y=2 Lineal
d4 yd x4
−dydx
+ y=x−4 Lineal
dydx
+ y2 x=tan x No lineal
d3 yd x3
+x dydx
=0 Lineal
( d2 yd x2 )5
+( dydx )2
+ y=0 Lineal
dydx
+¿ No lineal
4. DEMUESTRE QUE Y¿ x2 ES UNA SOLUCIÓN EXPLICITA DE:
xdydx
=2 y
SOLUCION:
y=x2
dydx
=2x xdydx
=2 y
x (2 x )=2 (x2 )
2 x2=2x2
5. DEMUESTRE QUE y=ex−x ES UNA SOLUCIÓN EXPLICITA DE:dydx
+ y2=e2x+(1−2x )ex+x2−1
SOLUCION:
y=ex−x
dydx
=ex −¿ X ¿ex−1
ex−1+(ex−x )2=e2x+(1−2x )ex+x2−1
ex−1+(e2x−2ex x+x2)=e2x+(1−2x )ex+x2−1
e2x+ex (1−2x )+x2−1=e2x+(1−2x )ex+x2−1
6. DETERMINE PARA QUE VALORES DE M LA FUNCIÓN G(X)=emx ES
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DADA:d2 ydx2
+6 dydx
+5 y=0
SOLUCION:
y´=memx m2 emx+6memx+5emx=0
y´ ´=m2 emx emx (m2+6m+5 )=0
m 5 = ; m= -5
m 1 = ; m=-1
7. DETERMINE PARA QUE VALORES DE M LA FUNCIÓN G(X)=em ES SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DADA:
x2d2
dx2+x dydx
− y=0
SOLUCION:
y´=mxm−1
y´ ´=(mxm−1¿=m(m-1)x(m−1−1)
y´ ´=m2−m xm−2
Remplazando en la ecuación:
x2 (m2−m )mm−2+xmxm−1−xm=0
x2 (m2−m )xm−2+mxm−xm=0
m2 xm−mxm+xmm−xm=0
m2 xm−xm=0
xm (m2−1 )=0
m2=√1
m =1
LABORATORIO N° 2
1._RESUELVE CADA UNO DE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS, SUJETOS A CONDICIONES DONDE SE DAN:
A)
dydx
=−xy
; y(1)=2
SOLUCION:
y .dy=−x .dx
y .dy+ x .dx=0
∫ x .dx+∫ y .dy=C
x2
2+ y
2
2=C
Para y (1) = 2
12
2+ 2
2
2=52
B)
3 x ( y2+1 )dx+ y (x2+2 )dy=0
SOLUCION:
3 x ( y2+1 )dx=− y (x2+2 )dy
3x
x2+2dx= − y
y2+1dy
3x
x2+2dx+ y
y2+1dy=0
∫ 3 x
x2+2dx+∫ y
y2+1dy=C
32ln (x2+2 )+ 1
2ln ( y2+1)=C
3. ln (x2+2 )+ln ( y2+1)=C
ln ⟦ (x2+2 )3 .( y2+1)⟧=C
(x2+2 )3 .( y2+1)=C
( y2+1)= C
(x2+2 )3
y=√ C
(x2+2 )3−1
C)
2 ydx+e−3x dy=0
SOLUCION:
2 ydx=−e−3 xdy
dx
e−3x=−dy2 y
dx
e−3x+ dy2 y
=0
∫ dx
e−3x+∫ dy2 y=C
13∫e
3x 3dx+∫ dy2 y=C
13e3x+ 1
2ln( y)=C
2e3x+3. ln ( y )=C
2e3x+ ln ( y3 )=C→
e2e3 x
+e ln ( y3 )=C
e2e3 x
+ y3=C
y=3√C−e2e
3 x
y=3√(C−e2e
3 x
)2
D)
dydx
= x+x y2
4 y ; y(1)=0
SOLUCION:
4 ydy=x (1+ y2)dx
∫ 4 y
1+ y2dy=∫ x dx
2∫ 2 y
1+ y2dy=∫ x dx
ln|1+ y2|= x2
4+C
ln|1+ y2|− x2
4=C
Para y(1) = 0
ln|1+ y2|− x2
4=ln|1+02|−1
2
4=−14
E)
dydx
=3 x2+4 x+22 y+1
; y(0)= -1
SOLUCION:
(2 y+1 )dy=(3 x2+4 x+2 )dx
∫ (2 y+1 )dy=∫ (3 x2+4 x+2 )dx
y2+ y=x3+2 x2+2 x+C
y2+ y−x3−2 x2−2 x=C
Para y(0) = -1
(−1)2+−1−03−2(0)2−2 (0 )=0
F)
(x y2+4 y2 )dy−5 x .dx=0
SOLUCION:
y2 ( x+4 )dy=5x .dx
∫ y2dy=∫ 5 x( x+4 )
dx
y3
3=5(4+x−4. ln|x+4|)
y3
3−5(4+x−4. ln|x+4|)=C
2._LA PENDIENTE DE UNA FAMILIA DE CURVAS EN CUALQUIER PUNTO (X,Y) ESTA DAD POR
dydx
=3 x+x y2
2 y+x2 y; HALLE LA ECUACIÓN DEL MIEMBRO DE LA FAMILIA
QUE PASA POR (2,1).
dydx
=3 x+x y2
2 y+x2 y
dydx
=x (3+ y2)y (2+x2)
y
3+ y2dy= x
2+x2dx
∫ y
3+ y2dy=∫ x
2+x2dx
12∫
2 y
3+ y2dy=1
2∫2x
2+x2dx
12ln|3+ y2|=1
2ln|2+x2|
3+ y2=2+ x2+C
y2−x2+1=C
Para el punto (2,1):
12−22+1=−2
ECUACIONES HOMOGENEAS:
3)
(x¿¿2+ y2)dx+2 xy .dy=0¿
SOLUCION:
∂(x¿¿2+ y2)∂ y
=2 y ¿
Por lo tanto es exacta.
∂(2 xy)∂ x
=2 y
F ( x , y )=∫(x¿¿2+ y2)dx+g ( y)¿
∂F∂ y
= ∂∂ y
¿
2 xy= ∂∂ y ( x
3
3+ y2 x)+ dgdy
2 xy=2 xy+ dgdy
dgdy
=0
Por lo tanto g(y) = 0 ; g(y) = C
F ( x , y )= x3
3+ y2 x
x3
3+ y2 x=C
4)
( y2−xy )dx+x2dy=0
SOLUCION:
Dividimos a todos losmiembros entre x2 para darle forma de
yx=v
y=x . v→dydx
=x dvdx
+v
( y2−xy )x2
dx+ x2
x2dy=0
[( yx )2
− yx ]dx+dy=0
(v2−v )=−dydx
(v2−v )=−(x dvdx +v )v2−v=−x dv
dx−v
dxx
=−v2dv
dxx
+v2dv=0
∫ dxx +∫ v2dv=C
ln|x|+ v3
3=C
ln|x|+( yx )
3
3=C
3. ln|x|+ y3
x3=C
5)
dydx
= y2+x √x2+ y2xy
SOLUCION:
dydx
= y2
xy+ x √ x
2+ y2
xy
dydx
= yx+ √x2+ y2
y
dydx
= yx+√ x2+ y2y2
dydx
= yx+√ 1
( yx )2+1
xdvdx
+v=v+√ 1
(v )2+1
xdvdx
=√ 1
(v )2+1
dv
√ 1
(v )2+1
=dxx
6)
(3 x2− y2 )dx+(x−x3 y−1 )dy=0
SOLUCION:
Dividimos acadaunode losmiembros entre y2 paraformaryx=v
(3 x2− y2 )y2
dx+(x−x3 y−1)y2
dy=0
[3( 1v )−1]dx+[ 1v− 1
v3 ]dy=0
[ 3−vv ]dx+[ v2−1v3 ]dy=0[ 3−vv ][ v2−1v3 ]
=−dydx
3v3−v4
v3−v=−[v+x dvdx ]
3v2−v3
v2−1=−v−x dv
dx
3v2−v3
v2−1+v=−x dv
dx
3v2−v3+v3−vv2−1
=−x dvdx
3v2−vv2−1
=−x dvdx
dxx
+ v2−1
3v2−vdv=0
∫ dxx
+∫ v2−13 v2−v
dv=C
ln|x|+ 16∫ (6v¿¿2−6)
3 v2−vdv=C ¿
ln|x|+ 16∫ (6v¿¿2−6+5)−5
3v2−vdv=C ¿
ln|x|+ 16∫ (6v¿¿2−1)−5
3v2−vdv=C ¿
ln|x|+ 16∫ ¿¿
ln|x|+ 16
¿
ln|x|+ 16 [ ln|3 v2−v|−5∫ dv
v (3v−1) ]=Cln|x|+ 1
6[ln|3v2−v|−5……. ]=C
7)
dyd x
= y ¿¿
SOLUCION:
Debemos formaryx=v
dydx
= yx [ ln( yx )+1]
xdvdx
+v=v [ ln v+1 ]
xdvdx
+v=v . ln v+v
xdvdx
=v . ln v
dvv . ln v
=dxx
∫ dvv . ln v
=∫ dxxln|ln v|=lnx+C
ln v=x+C
ln ( yx )=x+Clny−lnx−x=C
8)
dydx
=x . sec( yx )+ y
x
Y(0)=3
SOLUCION:
Parayx=v dy
dx=x . sec( yx )x
+ yx
dydx
=sec( yx )+ yxxdvdx
+v=sec (v )+v
xdvdx
=sec (v )
dvsec (v )
=dxx
cos (v )dv=dxx
∫cos (v )dv=∫ dxx
sen(v)=ln|x|+C
sen( yx )=ln|x|+C
sen( yx )−ln|x|=C
LABORTORIO 3
ECUACIONES EXACTAS:
1._ESCRIBE CADA ECUACIÓN EN LA FORMA Mdx+Ndy=0 ; PRUEBE LA EXACTITUD, RESUELVA AQUELLAS ECUACIONES QUE SON EXACTAS:
A)
3 xdx+3 ydy=0
SOLUCION:
3 xdx+3 ydy=0
xdx+ ydy=0
∂(x )∂ y
=0
∂( y )∂ x
=0
F (x , y )=∫ xdx+g( y )
∂F∂ y
= ∂∂ y [∫ xdx ]+ dgdy
y= ∂∂ y [ x
2
2 ]+ dgdyy=0+ dg
dy
ydy=dg
∫ ydy=∫ dg
y2
2=g ( y)
Reemplazando g ( y ) en laecuacion :
F ( x , y )=∫ xdx+g ( y )
F ( x , y )= x2
2+ y
2
2
x2
2+ y
2
2=C
x2+ y2=C
B)
y´=dydx
= x− yx+ y
SOLUCION:
( x+ y )dy=( x− y )dx
( x− y )dx+(−x− y )dy=0
∂(x− y )∂ y
=−1
∂(−x− y )∂ x
=−1
F ( x , y )=∫ ( x− y )dx+g( y )
∂F∂ y
= ∂∂ y [∫ ( x− y )dx ]+ dgdy
−x− y= ∂∂ y [ x
2
2−xy ]+ dgdy
−x− y=−x+ dgdy
(− y )dy=dg
∫ (− y )dy=∫ dg
− y2
2=g ( y )
Reemplazando g ( y ) en laecuacion :
F ( x , y )=∫ ( x− y )dx+g( y )
F ( x , y )=[ x22 −xy ]− y22x2
2− y
2
2−xy=C
C)
2 xydydx
=x2− y2
SOLUCION:
2 xydy=(x2− y2 )dx
(x2− y2 )dx+(−2xy )dy=0
∂(x¿¿2− y2)∂ y
=−2 y¿
∂(−2 x y )∂ x
=−2 y
F ( x , y )=∫ (x2− y2 )dx+g( y )
∂F∂ y
= ∂∂ y [∫ (x2− y2 )dx ]+ dgdy
−2 xy= ∂∂ y [ x
3
3−x y2]+ dgdy
−2 xy=−2 xy+ dgdy
0=dgdy
Por lo tantog ( y )=0 ; g( y )=C
Reemplazando g ( y ) en laecuacion :
F ( x , y )=∫ (x2− y2 )dx+g( y )
F ( x , y )=[ x33 −x y2]+0x3
3−x y2=C
D)
y´=dydx
= xx+ y
SOLUCION:
( x+ y )dy=x .dx
x .dx+(−x− y )dy=0
∂(x )∂ y
=0
la ecuaciondiferencial no esexacta
∂(−x− y )∂ x
=−1
E)
dydx
= x− y . cosxsenx+ y
SOLUCION:
( senx+ y )dy=( x− y . cosx )dx
( y . cosx−x )dx+(senx+ y )dy=0
∂( y . cosx−x )∂ y
=cosx
∂(senx+ y )∂ x
=cosx
F ( x , y )=∫( y . cosx−x)dx+g ( y )
∂F∂ y
= ∂∂ y [∫ ( y . cosx−x )dx ]+ dgdy
senx+ y= ∂∂ y [ y . senx− x
2
2 ]+ dgdysenx+ y=senx+ dg
dy
y=dgdy
y .dy=dg
∫ y .dy=∫ dg
y2
2=g ( y)
Reemplazando g ( y ) en laecuacion :
F ( x , y )=∫ ( y . cosx−x )dx+g ( y )
F ( x , y )= y . senx− x2
2+ y
2
2
y . senx− x2
2+ y
2
2=C
F)
drdφ
= r2. senφ2r .cosφ−1
SOLUCION:
(2 r .cos φ−1 )dr=(r2 . sen φ )dx
(r2 . sen φ )dφ−(2r .cos φ−1 )dr=0
(r2 . sen φ )dφ+(1−2r .cosφ )dr=0
∂(r2 . sen φ)∂r
=2 r . sen φ
∂(1−2r .cosφ)∂φ
=−2 r (−sen φ )=2r . sen φ
F (r ,φ )=∫ (r2 . senφ )dr+g(r )
∂F∂φ
= ∂∂φ [∫ (r2 . senφ )dr ]+ dgdφ
1−2 r .cosφ= ∂∂φ [ r33 . senφ]+ dgdr
1−2 r .cosφ= r3
3.cosφ+ dg
dr
1−2 r .cosφ− r3
3.cosφ=dg
dr
(1−2r .cos φ− r33 .cosφ)dr=dg
∫(1−2 r .cosφ− r33 .cosφ)dr=∫ dgr−r2 .cos φ− r
4
12.cos φ=g(φ)
r−(r 2+ r412 ) .cosφ=g(φ)Reemplazando g (φ ) en la ecuacion :
F (r ,φ )=∫ (r2 . senφ )dr+g(r )
F (r ,φ )= r3
3. sen φ+r−(r2+ r 412 ) .cos φ
r3
3. sen φ+r−(r2+ r412 ) .cosφ=C
G)
( y . e−x−sen x )dx−(e−x+2 y )dy=0
SOLUCION:
( sen x− y . e−x )dx+(e− x+2 y )dy=0
∂ (sen x− y . e− x)∂ y
=−e−x
∂ (e−x+2 y )∂ x
=−e− x
F ( x , y )=∫ ( sen x− y . e−x )dx+g ( y )
∂F∂ y
= ∂∂ y [∫ ( sen x− y . e−x )dx ]+ dgdy
e− x+2 y= ∂∂ y
[−cos x+ ye− x ]+ dgdy
e− x+2 y=e−x+ dgdy
2 y=dgdy
2 y .dy=dg
∫2 y .dy=∫dg
y2=g( y)
Reemplazando g ( y ) en laecuación :
F ( x , y )=∫ ( sen x− y . e−x )dx+g ( y )
F ( x , y )=−cos x+ y e−x+ y2
−cos x+ y e− x+ y2=C
H)
(x2+ yx )dx+ ( ln x+2 y )dy=0
SOLUCION:
∂(x2+ yx )∂ y
=1x
∂ (ln x+2 y )∂x
=1x
F ( x , y )=∫(x2+ yx )dx+g ¿
∂F∂ y
= ∂∂ y [∫( x2+ yx )dx ]+ dgdy
ln|x|+2 y= ∂∂ y [ x
3
3+ y . ln|x|]+ dgdy
ln|x|+2 y=ln|x|+ dgdy
2 y=dgdy
∫2 y .dy=∫dg
y2=g( y)
Reemplazando g ( y ) en laecuación :
F ( x , y )=∫(x2+ yx )dx+g ( y )
F ( x , y )= x3
3+ y . ln|x|+ y2
x3
3+ y . ln|x|+ y2=C
2._RESUELVA CADA ECUACIÓN SUJETA A LAS CONDICIONES INDICADAS:
dydx
= y−2x2 y−x
; y (1 )=2
SOLUCIÓN:
(2 y−x )dy=( y−2x )dx
( y−2x )dx+ ( x−2 y )dy=0
∂( y−2x )∂ y
=1
∂(x−2 y )∂ x
=1
Dividimos entre x acadamiembro endonde ayx=v ; dy
dx=x dvdx
+v
( yx −2 xx )dx+( xx−2 yx )dy=0
( v−2 )dx+ (1−2v )dy=0
( v−2 )dx=(2v−1 )dy
(v−2 )(2v−1 )
=dydx
(v−2 )(2v−1 )
=x dvdx
+v
(v−2 )−v (2v−1)(2v−1 )
=xdvdx
v−2−2v2+v2v−1
=x dvdx
−2(1−v2)2v−1
=x dvdx
dxx
=(2 v−1 )
−2(1−v2)dv
dxx
+(2v−1 )2(1−v2)
dv=0
∫ dxx + 12∫
(2v−1 )(1−v2)
dv=C
ln x+ 12 [∫ 2v
1−v2dv−∫ 1
1−v2dv ]=C
ln x+ 12 [−∫ −2v
1−v2dv−∫ 1
1−v2dv ]=C
ln x+ 12 [−ln|1−v2|−12 ln|1+v1−v |]=C
ln x−12ln|(1−v2) .( 1+v1−v )|=C
ln x−12ln|(1−v )(1+v )( 1+v1−v )|=Cln x−1
2ln|(1+v)2|=C
ln x−ln (1+v )=C
ln ( x1+v )=C
ln ( x
1+yx )=C
ln ( x2x+ y )=Cx2
x+ y=C
Para y(1)=2
x2
x+ y= 12
1+2=13
Segunda forma de solución:
dydx
= y−2x2 y−x
; y (1 )=2
(2 y−x )dy=( y−2x )dx
( y−2x )dx+ ( x−2 y )dy=0
F ( x , y )=∫ ( y−2 x )dx+g ( y)
∂F∂ y
= ∂∂ y [∫ ( y−2x )dx ]+ dgdy
x−2 y= ∂∂ y
[ yx−x2 ]+ dgdy
x−2 y=x+ dgdy
(−2 y )dy=dg
−∫ (2 y )dy=∫dg
− y2=g ( y)
Reemplazando g ( y ) en laecuación :
F ( x , y )=∫ ( y−2 x )dx+g ( y)
F ( x , y )= yx−x2− y2
yx−x2− y2=C
Para y(1) = 2
yx−x2− y2=2 (1 )−(12 )−(22)=−3
B)
2 xydx+ (x2+1 )dy=0 ; y (1 )=−1
SOLUCION:
∂(2 xy)∂ y
=2 x
∂ (x2+1 )∂ x
=2x
F ( x , y )=∫2xydx+g ( y)
∂F∂ y
= ∂∂ y [∫2 xydx ]+ dgdy
x2+1= ∂∂ y
[ y x2 ]+ dgdy
x2+1=x2+ dgdy
1=dgdy
∫ dy=∫dg
y=g ( y)
Reemplazando g ( y ) en laecuación :
F ( x , y )=∫2xydx+g ( y)
F ( x , y )= y x2+ y
y (x2+1 )=C
Para y(1) = -1
y (x2+1 )=−1 (12+1 )=−¿
C)
dydx
=2 x−sen yx .cos y
; y (2 )=0
SOLUCION:
( x .cos y )dy=(2x−seny )dx
( sen y−2 x )dx+¿
∂(sen y−2 x)∂ y
=cos y
∂¿¿
F ( x , y )=∫ (sen y−2 x )dx+g( y)
∂F∂ y
= ∂∂ y [∫ ( sen y−2 x )dx ]+ dgdy
x .cos y= ∂∂ y
[ x . sen y−x2 ]+ dgdy
x .cos y=x .cos y+ dgdy
1=dgdy
∫ dy=∫dg
y=g ( y)
Reemplazando g ( y ) en laecuación :
F ( x , y )=∫ (sen y−2 x )dx+g( y)
F ( x , y )=x . sen y−x2+ y
x . sen y−x2+ y=C
Para y(2) = 0
x . sen y−x2+ y=2 ( sen0 )−22+0=−4
3.- RESOLVER:
A)(3 x+2 y2)dx+(2 xy )dy
SOLUCIÓN:
Hallando el factor integrante:
μ ( x )=exp∫ 4 y−2 y2xy
dx
Entonces:
μ ( x )=x
Por lo tanto, la nueva ecuación es:
(3 x2+2x y2 )dx+ (2x2 y )dy=0
dMdy
=dNdxentonces ,4 xy=4 xy….. (laecuacion yaes exacta)
Entonces :N (x , y )= ddy
¿
2 x2 y= d
dy(x3+x2 y2)+g ´ ( y )
2 x2 y=2 x2 y+g´ ( y ) , entonces , g ´ ( y )=0…… .. por lotanto g ( y )=C
Entonces :
F ( x , y )=x3+ x2 y2+c
B)(2 x2− y )dx+xdy=0
SOLUCION:
Hallando el factor integrante:
μ ( x )=exp∫−1−1
xdx
μ ( x )=x−2
*Por lo tanto, la nueva ecuación es:
(2−x−2 y )dx+(x−1 )dy=0
dMdy
=dNdxentonces , x−2=x−2… ..(la ecuacion yaes exacta)
Entonces :N (x , y )= ddy
¿
x−1= ddy
(2 x+ yx−1 )+g ´ ( y )
x−1=x−1+g´ ( y ) , entonces ,g ´ ( y )=0…… .. por lotanto g ( y )=C
Entonces :
F ( x , y )=2 x+x−1 y+c
C) ( y¿¿2cos x− y )dx+ (x+ y2 )dy=0¿
SOLUCION:
*Hallando el factor integrante:
μ ( y )=exp∫1– ¿¿¿ ¿
μ ( y )= y−2
*Por lo tanto, la nueva ecuación es:
(cosx− y−1 )dx+(xy−2+1 )dy=0
dMdy
=dNdxentonces , y−2= y−2….. (laecuacion yaes exacta)
Entonces :N (x , y )= ddy
¿
xy−2+1= d
dy( senx−x y−1 )+g ´ ( y )
xy−2+1=xy−2+g´ ( y ) , entonces , g ´ ( y )=1…… .. por lotanto g ( y )= y
Entonces :
F ( x , y )=senx−x y−1+ y
LABORATORIO 4
ECUACIÓN DE PRIMER ORDEN LINEAL:
1)
x y ,+4 y=0
SOLUCION:
xdydx
+4 y=0 p(x )=4 ; Q(X)=0
Dividimos entre x:
dydx
+ 4xy=0
Factor integrador:
e∫ 4x dx=¿ e4 ln x=x4¿
Multiplicamos. x4:
(x4 ) dydx
+ 4xy (x4 )=0 (x4 )
Entonces tenemos:
dydx
( y (x4 ))=∫ dx
y (x4 )=x+c
y= x+cx4
2) y,+ yx=2 x+2
SOLUCION:
dydx
+ 1x( y)=2x+2 p (x)=¿
1x
Factor integrador:
e∫ 1x dx=¿e ln x=x ¿
Multiplicamos.x:
(x ) dydx
+ 1x( y)(x )=2 x+2(x)
Entonces tenemos:
dydx
( y (x))=∫2 x2+2 xdx
y (x )=2x3
3+ 2 x
2
2+c
y=
2x3
3+ 2 x
2
2+c
x
3) y ,=ex− y
SOLUCION:
dydx
+ y=ex p(x )=¿ 1
Factor integrador:
e∫1dx=¿e x ¿
Multiplicamos.ex:
(e x) dydx
+ y (ex )=ex (ex)
Entonces tenemos:
(e x) dydx
+ y (ex )=e2x
dydx
( y (ex ))=∫ e2 xdx
dydx
( y (ex ))=12∫ e
2 x2dx
y (ex )=12e2 x+c
y=
12e2x+c
ex
4) y ,+3 y=sen x
SOLUCION:
dydx
+3 y=sin x p(x )=¿ 3
Factor integrador:
e∫3dx=¿e3 x¿
Multiplicamos.e3x:
(e3x ) y ,+3 y (e3x)=(e3 x)sen x
Entonces tenemos:
d ydx
( y (e3x ))=∫e3x sen x dx
y (e3x )= e3x
10¿
y= e3x
10¿¿
5) x sen xdydx
+(sen x+x cos x ) y=x ex
SOLUCION:
Dividimos entrex sin x:
Tenemos:
dydx
+( sen x+x cos x )x sen x
y= x ex
x sen x
dydx
+( 1x +cot x) y= ex
sen x
p(x )=¿ ( 1x +cot x )Factor integrador:
e∫ 1x +cot xdx=¿e ln x+¿ ln|sen x|=xsen x¿ ¿
Multiplicamos.x sen x :
( x sen x ) dydx
+( 1x +cot x) y ( x sen x )=(x sen x ) ex
sen x
( x sen x ) dydx
+( 1x +cot x) y ( x sen x )=(x)ex
dydxy ( x sen x )=∫ x exdx
y ( x sen x )=ex (x−1)+c
y=ex (x−1)+cx sen x
ECUACIONES DE BERNOULLI:
7)
dydx
+2 xy=x2 y5 Dividimos entre: y
3
SOLUCION:
y−3dydx
+2xy−2=x2
v= y−2
−12dvdx
+2 xv=x2
dvdx
+(−4 xv )=−2x2
μx=e∫−4 xdx=e−2 x
2
ddx
∫ ve− 2x2=−2∫ x2 e−2x2dx
ve−2x2
=−2(−x2
4e−2x
2
−18e−2x
2)+c
v=x2
2+14
+c .e2x2
8)
Dividimos entre: y2
SOLUCION:
y−2= x2
2+ 14+c .e2 x
2
dydx
+ yx=xy 2
y−2dydx
+ y−1
x= x
v= y−1
−dvdx
+vx
=x
dvdx
−vx=x
μx=e∫ dxx
μx=x
ddx
∫ vxdx=−∫ x2dx
vx2=−x3
3+c
v=−x3
+c . x−2
y−1=c . x−2−x3
ECUACIONES DE RICCATI
11) dydx
=2− y+ y2 y (x)=2
SOLUCION:
dydx
= y2− y−2 y=μ+1z
p ( x )=1q ( x )=−1 r (x )=−2entonces : y=2+ 1z
dydx
=−z−2 dzdx
−z−2 dzdx
=(2+1z )2
−(2+ 1z )−2−z−2 dz
dx=4+ 4
z+ 1z2
−2−1z−2
−z−2 dzdx
=4 z+1−zz2
−z−2 dzdx
=(3 z+1 )(z−2)
−dzdx
+ (−3 ) z=1 ……(multiplicado por (−¿¿
dzdx
+3 z=−1
Ahora hallamos el factor integrador:
p ( x )=3entonces e∫3dx=e3x
Multiplicamos el factor integrador:
(e3x ) dzdx
+3 (e3 x) z=−e3 x
(e3x ) z=−∫e3x dx
(e3x ) z=−13e3x+c
z=
−13e3 x+c
(e3x )
Entonces la ecuación general es: y=2+1z
Reemplazando (z):
y=2+ 1−13e3 x+c
(e3 x )
12) dydx
=1−x− y+xy2 y (x)=1
SOLUCION:
dydx
=xy2− y−x+1 y=μ+ 1z
p ( x )=xq ( x )=−1 r ( x )=x−1entonces : y=1+1z
dydx
=−z−2 dzdx
−z−2 dzdx
=x (1+ 1z )2
−(1+1z )−( x−1)
−z−2 dzdx
=x+ 2xz
+ xz2
−1−1z−x+1
−z−2 dzdx
=2xz−x−zz2
−z−2 dzdx
=(2 xz−x−z )(z2)
−dzdx
=z (2x−1)−x
−dzdx
−z (2x−1)=−x ……(multiplicado por (−¿¿
dzdx
+z (2 x−1)=x
Ahora hallamos el factor integrador:
p ( x )=(2 x−1)entonces e∫2x−1dx=ex2−x
Multiplicamos el factor integrador:
(ex2−x ) dzdx
+z (ex2−x ) (2x−1 )=(ex2−x) x
(ex2−x )z=∫ xex
2− xdx
z=∫ xe x
2− xdx
(ex2−x )
Entonces la ecuación general es: y=1+1z
Reemplazando (z): y=1+ 1
∫ xex2− xdx
(ex2−x )
13) dydx
=−4x2
−1xy+ y2 y (x)= 2
x
SOLUCION:
dydx
= y2−1xy− 4
x2y=μ+ 1
z
p ( x )=1q ( x )=−1xr ( x )=−4
x2entonces : y=2
x+ 1z
dydx
=−2 x−2−z−2 dzdx
−2 x−2−z−2 dzdx
=( 2x +1z )
2
−1x ( 2x +1
z )− 4x2
−2x2
− 1
z2dzdx
= 4
x2+ 4xz
+ 1z2
− 2
x2− 1xz
− 4
x2
−2z2dzdx
= 3xz
−dzdx
=3 z2
2 xz
−dzdx
=3 z2 x
−dzdx
−3 z2 x
=0 ……(multiplicado por (−¿¿
dzdx
+ 3 z2 x
=0
Ahora hallamos el factor integrador:
p ( x )=( 32 x
)entonces e∫ 32xdx=e
32ln x
¿ x32
Multiplicamos el factor integrador:
(x32 ) dzdx
+z ( x32 )( 32 x )=(x
32 )(0)
(x32 ) dzdx
+z ( x32 )( 32 x )=0
z ( x32 )=∫ dx
z ( x32 )=x+c
z= x+c
x32
Entonces la ecuación general es: y=2x+ 1z
Reemplazando (z): y=2x+ 1x+c
x32
LABORATORIO 5
A) Hallar la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales:
1). y ,,+ y=0
SOLUCION:
r2+1=0 r=−b±√b2−4 ac2a
r=−0±√02−4 (1 )(1)
2(1) r 1=√4
2i
r 2=−√42i
Ecuación: y=e0(c1cos √ 42 x+c2 sen √ 42 x)
2). y ,,+4 y=0
SOLUCION:
r2+4=0 r=−b±√b2−4 ac2a
r=−0±√02−4 (1 )(4)
2(1) r 1=√16
2i
r 2=−√162i
Ecuación: y=e0(c1cos √162 x+c2 sen √162x )
3). y ,,−6 y ,+10 y=0
SOLUCION:
r2−6 r+10=0 r=−b±√b2−4 ac2a
r=−(−6)±√(−6)2−4 (1 )(10)
2(1) r 1=3+2 i
r 2=3−2 i
Ecuación: y=e3 x (c 1cos 2x+c 2 sen2 x )
4). y ,,−10 y ,+26 y=0
SOLUCION:
r2−10 r+26=0 r=−b±√b2−4 ac2a
r=−(−10)±√(−10)2−4 (1 )(26)
2(1) r 1=5+1 i
r 2=5−1i
Ecuación: y=e5 x (c 1cos 1x+c 2 sen1 x )
5). y ,,+4 y ,+6 y=0
SOLUCION:
r2+4 r+6=0 r=−b±√b2−4 ac2a
r=−4±√(4 )2−4 (1 )(6)
2(1) r 1=−2+√2 i
r 2=−2−√2 i
Ecuación: y=e−2x (c 1cos√2 x+c 2 sen√ 2x )
6). y ,,−4 y ,+7 y=0
SOLUCION:
r2−4 r+7=0 r=−b±√b2−4 ac2a
r=−(−4 )±√(−4)2−4 (1 )(7)
2(1) r 1=4+√3 i
r 2=4−√3
Ecuación: y=e4x (c1cos √3x+c2 sen √3 x )
RESUELVA EL PROBLEMA DE VALOR INICIAL DADO:
7). y ,,+2 y ,+2 y=0 y (0 )=2 , y , (0)=1
SOLUCION:
r2+2 r+2=0 r=−b±√b2−4 ac2a
r=−2±√(2)2−4 (1 )(2)
2(1) r 1=−2+1 i
r 2=−2−1i
Ecuación: y=e−2x (c 1cos x+c2 sen x )
En la primera condición: y (0 )=2
2=e−2(0) (c1cos (0)+c2 sen(0))
2=c1
Derivando:
Ecuación: y=e−2x (c 1cos x+c2 sen x )
y=c1e−2x cos x+c2e−2x sen x
y ,=c 1( (e−2x ), cos x+e−2x (cos x ) ,)+c2 ((e−2 x ),sen x+e−2 x ( sen x ),)
y ,=c 1 (−2e−2 xcos x−e−2x sen x )+c2 (−2e−2x sen x+e−2 xcos x )
Reemplazando:
1=−c1(2)−c2(−1) y ,(0)=1
1=−(2)(2)−c2 (−1)
5=c2
Respuesta de la ecuación: y=e−2x (2cos x+5 sen x )
8). y ,,+2 y ,+17 y=0 y (0 )=1 , y ,(0)=−1
SOLUCON:
r2+2 r+17=0 r=−b±√b2−4 ac2a
r=−2±√(2)2−4 (1 )(17)
2(1) r 1=−2+4 i
r 2=−2−4 i
Ecuación: y=e−2x (c 1cos4 x+c2sin 4 x )
En la primera condición: y (0 )=1
1=e−2(0) (c1cos 4(0)+c2 sen 4(0))
1=c1
Derivando:
Ecuación: y=e−2x (c 1cos4 x+c2 sen 4 x )
y=c1e−2x cos4 x+c 2e−2x sen4 x
y ,=c 1( (e−2x ), cos4 x+e−2 x (cos 4 x ),)+c2 ( (e−2x ), sen4 x+e−2 x ( sen4 x ), )
y ,=c 1 (−2e−2 xcos 4 x−4e−2x sen 4 x )+c2 (−2e−2x sen 4 x+4 e−2xcos 4 x )
Reemplazando:
−1=(−2)c1−(2)c 2(−2) y ,(0)=−1
−1=− (2 ) (1 )+(4)c 2
14=c2
Respuesta de la ecuación: y=e−2x (1cos4 x+ 14 sen4 x )
9). y ,,+9 y=0 y (0 )=1 , y ,(0)=1
SOLUCION:
r2+9=0 r=−b±√b2−4 ac2a
r=−0±√(0)2−4 (1 )(9)
2(1) r 1=+3 i
r 2=−3 i
Ecuación: y=e(0)x (c1cos3 x+c 2 sen3 x )
En la primera condición: y (0 )=1
1=e(0) (0 )(c 1cos3(0)+c 2 sen3(0))
1=c1
Derivando:
Ecuación: y= (c1cos3 x+c2 sen3x )
y ,=−c 1 ( (3x ), sen3 x )+c 2 ( (3x ), cos3 x)
y ,=−c 1 (3 ) sen3 x+ (3 ) c2cos3 x
Reemplazando:
1=(3)c2 y ,(0)=1
13=c2
Respuesta de la ecuación: y=(1cos3 x+ 13 sen3 x )
10). y ,,−2 y ,+2 y=0 y (π )=eπ , y ,(π )=0
SOLUCION:
r2−2r+2=0 r=−b±√b2−4 ac2a
r=−(−2)±√(−2)2−4 (1 )(2)
2(1) r 1=1+1 i
r 2=1−1i
Ecuación: y=ex (c1cos(1) x+c2 sen (1)x )
En la primera condición: y (π )=eπ
eπ=e (π ) (c1cos(1) (π )+c2 sen(1)(π ) )
−1=c1
Derivando:
Ecuación: y=ex (c1cos(1) x+c2 sen (1)x )
y=c1ex cos x+c2ex sen x
y ,=c 1( (ex ),cos x+ex (cos x ), )+c2( (ex) ,sen x+e x (sen x ) ,)
y ,=c 1 (excos x−ex sen x )+c 2 (ex sen x+excos x )
Reemplazando:
0=(−1)c1eπ+c2(−1)eπ y ,(π )=0
c 1eπ=c2(−1)eπ
(−1)eπ=c2(−1)eπ
1=c2
Respuesta de la Ecuación: y=ex ((−1)cos x+(1) sen x ).
HALLAR LA SOLUCIÓN GENERAL DE CADA UNA DE LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES.
11). y ,, ,+3 y , ,− y ,−3 y=0
SOLUCION:
r3+3 r2−r−3=0
1 3 −1−3 r−3=0 r¿3
−¿3 −303 r+1=0 r¿−1
10−10 r−1=0 r¿1
1 1 1
1 1 0 ecuación general:
−1−1 y=e3 x ((c1)cos x+(c 2)sin x )
1 0
12).4 y , ,,+12 y ,,+9 y ,=0
SOLUCION: 4 r3+12 r2+9 r=0
r (4 r¿¿2+12 r+9)=0¿
r 3=0 r=−b±√b2−4 ac2a
r=−(12)±√(12)2−4 (4 )(9)
2(4)
r 1=r 2=32
Ecuación general:
y= (c1+c 2x ) e32x +c 3e (0 ) x