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EL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOSEL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Autor: Dr. Roberto Estrada Cingualbres Centro de Estudios CAD/CAMUniversidad de Holguín, Cuba
Solo hay un bien, el conocimiento; solo hay un malla ignorancia. Sócrates
Objetivos del cursoObjetivos del curso:
•Conozcan las potencialidades del Método de los Elementos Finitos.
•Conozcan la fundamentación físico-matemática del método.
• Se instruyan en el trabajo con el paquete profesional de análisis por Elementos Finitos Cosmos/Works 2006.
Bibliografía:Bibliografía:•Análisis por Elementos Finitos (FEA). CosmosWorks 2006. R.E Cingualbres, 2006.
•Cosmos Works 2006, Tutorial Básico
•Cosmos Works 2006, Online User’s Guide.
•Shigley, J.E y Michke, C.R., Diseño Mecánico Ingenieril, Mc GRAN-Hill, 1989.
•Beer, F. P y Russell Johston, E., Mecánica de los Materiales, Mc Graw-Hill, 1981.
•Sistemas CAD/CAM/CAE, Serie: Mundo electrónico, Editorial Marcombo, 1986.
•Feodosiev, Resistencia de Materiales, edit. Pueblo y Educación.
•El Método de los Elementos Finitos, O.C. Zienkiewicz. GRAN-Hill, 1994
Conf.1: Introducción. Métodos de cálculo y simulación en CAD. El Método de los Elementos Finitos. Aplicaciones.Objetivos:•Conocer los principales métodos de cálculo y simulación.•Por qué surge el MEF•Qué es el análisis por elementos finitos•Algunas Aplicaciones del MEF
Análisis del Diseño
Algunos métodos usados en el análisis: Soluciones análíticas
Solución de ecuaciones diferenciales
exactas.
Solución de aproximación por series.
Energético (Rayleigh – Ritz).
Soluciones numéricas
Diferencias finitas
Elementos de contorno.
Elementos finitos.
Soluciones analíticas
Soluciones numéricas
Soluciones numéricas•Las soluciones numéricas de las ecuaciones de gobernabilidad son aproximadas mediante la división de todo el dominio (el Sistema) en pequeñas piezas (subdominios).
•En cada pieza, la ecuación o la solución son aproximadas.
•La combinación de la solución simple para todas las piezas pequeñas del dominio (subdominios), provee de una solución aproximada del problema.
Método de las Diferencias Finitas
Por ejemplo: La ecuación de gobernabilidad de un problema térmico es reemplazada por la ecuación lineal
xT /
xxTxT /1
Elementos de contorno
Elementos Finitos
¿ Por qué surge el Método de los Elementos Finitos?
Que se pudiera extender a otras disciplinas ingenieriles como los análisis térmicos, de flujos de fluidos, electromagnetismo y análisis dinámico.
Optimización del diseño
Los grados de libertad (g.d.l): (Ux , Uy , Uz, x, y, z).
El número de g.d.l por nodo.
Ejemplo:-El elemento BEAM tiene 6 g.d.l por nodo-El PLANE 2D tiene 2 g.d.l por nodo.-El elemento SOLID, tiene 3 g.d.l por nodo.Las condiciones de borde definen los apoyos y las
condiciones de cargas aplicadas a la estructura.Los elementos finitos deben deformarse bajo cargas tales
que no existan espacios o superposición entre los elementos
Terminología:
Cuadro histórico.
Los egipcios empleaban métodos de discretización para determinar el volumen de las pirámides. Arquímedes (287-212 a.C.) empleaba el mismo método para calcular el volumen de todo tipo de sólidos o la superficie de áreas. El matemático chino Lui Hui (300 d.C.) empleaba un polígono regular de 3072 lados para calcular longitudes de circunferencias con lo que conseguía una aproximación al número Pi de 3.1416.
Courant (1943) propuso la división del dominio en triángulos.Análisis matricial de estructuras. Las aproximaciones con elementos en formas de vigas en las estructuras aeroespaciales y civiles comenzaron a ser usadas en los 1950.
Método directo de los desplazamientos. Se utiliza el elemento finito triangular, publicado en 1956.
El uso del método inició su explotación en 1960 en diferentes campos ingenieriles con el surgimiento de potentes computadoras, aunque ya el término elemento finito había aparecido en 1956.
Los avances logrados en la computación en la década de los 80, permitió el uso de potentes software en los ordenadores personales.
FORMULACION DIRECTA DEL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
¿Cómo realizar la discretización de un elemento o estructura?
La discretización responde, por parte del ingeniero, a una intuición.
Se fija tal grado de discretización de la estructura y se hace una hipótesis de aproximación del estado de corrimiento de todos sus puntos en forma polinómica tomando como incógnitas los corrimientos correspondiente.
Consideremos un elemento triangular con solo dos grados de libertad por nodos.
Incógnitas:u ,, v
Función de interpolación de los corrimientos en los puntos interiores del elemento finito
Teorema:
El estado de corrimiento verdadero {(x, y)} de cada punto
interior del elemento finito nos es desconocido, pero se puede
sentar la hipótesis de que una expresión aproximada { (x, y)}
del mismo puede ser obtenida en forma polinómica, cuyos
coeficientes o parámetros (también denominados coordonadas
generalizadas) sean en número igual al de grados de libertad
nodal total, característicos de cada elemento finito
Método de las coordenadas generalizadas
Función de los corrimientos
(1.1) 654
321
yaxaayaxaa
vu
Matricialmente
APy x 1 0 0 00 0 0y x 1
6
5
4
3
2
1
aaaaaa
vu
ui= a1 + a2.xi + a3.yi
vi= a4 + a5.xi + a6.yi
uj= a1 + a2.xj + a3.yj (1.2)
vj= a4 + a5.xj + a6.yj
ul= a1 + a2.xl + a3.yl
vl= a4 + a5.xl + a6.yl
e
l
l
j
j
i
i
l
j
i
e
C
C
aaaaaa
vu
v
uvu
1
6
5
4
3
2
1
ll
ll
jj
jj
ii
ii
A
(1.3) A
y x1 0 0 00 0 0 y x1
y x1 0 0 0
0 0 0 y x1y x1 0 0 00 0 0 y x1
eelji
e
NNNN
C
I ,I ,I
PAP 1
Desarrollando (1.3) los valores de u y v en función de los corrimientos nodales se obtiene:
lljjii
llll
jjjjiiii
uNuNuN
uycxba
uycxbauycxbaA
u
)(
)()(21
lljjii
llll
jjjjiiii
vNvNvN
vycxba
vycxbavycxbaA
v
)(
)()(21
y x1
y x1y x1
2
l l
j j
i i
ijllijjli
jilimjlji
ijjilliiljjllji
xxcxxcxxc
yybyybyyb
yxyxayxyxayxyxa
A
Método de las Funciones de Interpolación
Las funciones de interpolación N deben ser elegidas de tal manera que se verifique (1.3), por ej. Para el nodo i
Ni (xi,yi)=1 Ni (xj , yj)=0 Nl (xl , yl)=0
Expresión del estado de deformación en función de los corrimientos nodales
Según la teoría de la Elasticidad
ee BNLL
Lvu
Lvu
xy
y
x
xy
y
x
ε
xy
y
x
,
, 0
0 ,
v u
v
u Así, para nuestro caso particular
Sustituyendo L operador el aplicandoy N e
eeie
lji
lji
l
l
j
j
i
i
iiiiii
lji
BB
ccc
bbb
A
vu
v
u
vu
xyxyxy
yyy
xN
xN
xN
ε
lj
lji
lji
iji
B ,B ,
b b b
c 0 c 0 c 0
0 0 0
21
N N N N N N
N 0 N
0 N 0
0 0 0
Expresión del Estado Tensional en función de los corrimientos nodales (1.5) SBDD eee
(1.6) 00 D
Para el Estado Deformacional Plano
D
221 0 0
0 1 0 0 1
)21)(1(E
xy
y
x
xy
y
x
Para el Estado Deformacional Plano
D
21 0 0
0 1 00 1
1E
xy
y
x
2
xy
y
x
Matriz tensión del elemento triángulo de deformación constante
BDSe
lljjii
llj j ii
lljjii
lljjii
lji
lji
e
b2
)21( c2
)21( b2
)21( c2
)21( b2
)21( c2
)21(
c)1( b c)1( b c)1( b
c b)1( c b)1( c b)1(
A)21)(1(2E
b c b c b c
c 0 c 0 c 0
0 b 0 b 0 b
A21
221 0 0
0 1 0 0 1
)21)(1(ES
FUERZAS NODALES ESTATICAS EQUIVALENTES
dv dvFTT
eT
e p
dv dvFT
eT
e e
T
e BpN
dv dvF Te BpN T
00
00
eeee
pe
eepe
Te
Te
Te
FFFF
FFF dv
dvdvdv dvF
ee0T
0T
KB
DBDBBDBpN
obtenemos 00 D
Matriz de rigidez elemental
dvT BDBKe
616
515
414
313
212
111
ee
l6
l5
j4
j3
i2
i1
e
KFKFKFKFKFKF
F
0v0u
0v
0u0v1u
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K
)( )( )( )( )( )( 000001 654321 )( 11
)( 05
)( 03
)( 04
)( 02
)( 06
jiij
jT
iij
KK
dvBDBK
e
nj21
K
0001
nn njn2n1
in iji2i1
2n2j2221
1n 1j1211
K . .. . .K . . . . . K K
K . .. . .K . . . . . K K
K . . . . . K . . . . . K K
K . .. . .K . . . . . K K
)( . . . . . ).( . . . . . )( )(
)( 11
)( 0i
)( 02
)( 0n
Fig.Fuerzas nodales elásticas equivalentes
Matriz de rigidez axial del elemento barra
APaa
x1xaau2
121xx
ACaa
l 00 1
uu
2
1
2
1e
u(x)=a1+a2.x
u(x=0)=u1= a1
u(x=l)=u2= a1+a2.l
l1
l1-
0 1 C 1
2
1e
1
uu
l1
l1-
0 1 CA
e2
1
2
1xx N
uu
lx ,
lx1
uu
l1
l1-
0 1 x 1u
lxN
lx1N
2
1
22
11
Bl1
dxdN
Bl1
dxdN
laaa
1 , 1l1B
uu
B,Buu
NLuu
Ndxdu
dxd
dxdu
21
1e
2
121
2
1
2
1
Recuérdese que
u1=a1 u2=a1+l a2
l1B
l1B 21
v
11-
dx ).A(xd
l1B T
1 1-1- 1
lEAx
1 1-1- 1
lEA
Adx1 ,1l1E
1 1
l1vdBDBK
2
l
0
Te
l
EAvdBDBK
lEAvdBDBK
lEAvd2BDBK
lEAvdBDBK
2T
222
1T
221
T112
1T
111
1 ,1l1ES
uu
1 ,1l1ESBD
e
2
1eee
Matriz rigidez del elemento triángulo de deformación constante, para el caso de deformación plana
2l
2i
ll2i
2l
ljljjllj2j
2j
ljjlljljjj2j
2j
liliillijijiijji2i
2i
iiljilijiijjijiii2i
2i
βbαa
bβ)a(α βaαb
bβbaαa bβabα βbαa
bβabμa aβabαb bβ)a(μ βaαb
bβbaαa bβabμa bβbaαa bβabμa βbαa
bβabμa aβabαb bβabμa aβabαb bβ)a(μ βaαb
)21)(1(A4tEKe
Equilibrio nodal. Matriz de rigidez global de la estructura
0KP EGEGEG
0K KK K
PP
s
l
sssl
lsll
s
l
0KP llll
E1
EE PK
0KP llll
0FFFFFP
0FFFFFP5jy
4jy
3jy
2jy
1jyjy
5jx
4jx
3jx
2jx
1jxjx
Cambio de ejes de coordenadas cartesianas:
eee
Δ 00 Δ
e
1 0 00 c s0 s- c
Δ
1 0 0 0 0 00 c s 0 0 00 s- c 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 c s0 0 0 0 s- c
e
eee
e
Te
eeTe
e FF Por la invariancia del trabajo en el elemento
eee
eeTe
e FF
eee
ee FF
eee
e KF
eT
eeee
e K.F
Teeee K.K
Condiciones de compatibilidad o de convergencia de las funciones de aproximación de los corrimientos1o Condición de continuidad.
La función de los corrimientos aproximados (x) elegida, debe ser continua dentro del elemento finito y tal que las diferencias de corrimiento, en los bordes, entre elementos adyacentes, sean pequeñas.2o Condión de deformación constante.
La función de los corrimientos aproximados (x) debe ser tal que cualquier estado de deformación constante del elemento pueda ser expresado mediante una adecuada elección de corrimientos nodales del mismo.3o Condión de deformación de cuerpo rígido.
La función de los corrimientos aproximados (x) debe ser elegida de forma tal que ninguna parte interior del elemento finito se deforme cuando los corrimientos nodales del mismo sean del movimiento de cuerpo rígido.
Guía para la aplicación del método.Definida, geométrica y mecánicamente, la estructura, y conocido su estado de solicitación, procederemos al análisis de la misma operando del siguiente modo:1. Discretización de la estructura en elementos finitos.2. Numeración de nodos, elementos finitos y grados de libertad de los nodos respecto de los ejes coordenados generales, con el correspondiente convenio de signos. Establecimiento de las matrices [N], [B], [D], y [e] para cada elemento respecto a sus ejes de coordenadas locales.3. Para facilitar las operaciones computacionales se establece la tabla de conectividad de los elementos entre si.4. Determinación de la matriz de rigidez [Ke] de cada elemento referida a los ejes de coordenadas generales para su ensamblado.
5. Determinación de las matrices global [KEG] y reducida [KE] de la estructura, y Ia inversa [KE]-1
Teeee K.K
8. Determinados {EG} y {e} son conocidos, como consecuencia, los corrimientos nodales {e} de cada uno de los elementos finitos y, con ello, los vectores deformación =[B]. {e} y tensión =[D].[B]. {e}=[Se]. {e} pueden ser ya hallados.
9.Definición, finalmente, del estado de tensión representativo de cada elemento en los puntos específicos del mismo.
6. Deterrninación del vector de las cargas nodales equivalentes (incrermentado con las concentradas {PE} y, mediante [KE], la determinación de los corrimientos {e} partiendo del sistema de ecuaciones, expresado en forma matricial siguiente:
E1
Ee PK 7. Con los corrimientos provenientes de las condiciones forzadas de ligadura de los nodos de enlace con el exterior de la estructura, y los hallados en el punto 6 anterior, (en conjunto {EG}) determinación de las cargas de enlace o de soporte (reacciones), incluidas en {PEG} mediante Ia ecuación matricial
EG EGEG KP
Asumimos que el movimiento ocurre solo en la dirección de x
Ejemplo2: Modelo con dos muelles
Para discretizar este modelo, tomaremos cada muelle como un elemento (numerado en el cuadro azul claro), los extremos de cada muelle serán los nodos ( en los círculos verde claro).
Los desplazamientos de los tres nodos son: U1, U2 y U3, que son las incógnitas de este problema.
Por cuanto tenemos una sola variable, para cada uno de los nodos (el desplazamiento en X, Ui), cada nodo tendrá un grado de libertad
El sistema tendrá por tanto tres grados de libertad
Considerando un solo muelle en un instante
Si los nodos i y j se desplazaran, las fuerzas en los nodos producirian la tracción o la compresión del muelle (tomaremos el convenio de que el signo positivo es hacia la derecha)
)-(k k k
)-(k k k -
aaa
aaa
jijija
ijjiia
uuuuf
uuuuf
Que escrita en forma matricial
j
i
ja
ia
uu
ff
k- k k k
a a
a a Esta es la formulación matricial para un solo elemento
uKf Para cada elemento quedará
2
1
1 1
1 1
21
11 k- k k k
uu
ff
Para el muelle 1
3
2
2 2
2 2
32
22 k- k k k
uu
ff
Para el muelle 2
Planteamos la ecuación de equilibrio de fuerzas en los nodos, teniendo en cuenta además las fuerzas externas en los nodos Fi.
00
0
323
22212
111
fFffF
fF
Combinando las ecuaciones matriciales de los dos muelles con la ecuación de equilibrio, obtenemos
3222
322221112
21111
uKuKFuKuKuKuKF
uKuKF
Que escrita en forma matricial
RuK
Pueden observarse las matrices de rigidez individual en la matriz de rigidez global
• La matriz de rigidez es simétrica respecto a la diagonal.
• Como el sistema está fijo en el nodo 1, entonces U1=0.
• La fuerza externa en el nodo 2 es igual a cero, quedando la ecuación de la sigiente forma:
Fu
uKKK 0K K-
3
2
22
221
Para resolver esta ecuación debemos determinar [ K ]-1, o utilizar el método de Gauss, determinado finalmente los desplazamientos en los nodos 2 y 3.
Ejemplo 3:Análisis de una armadura
La armadura está sometida a las siguientes condiciones:
• La barra 2-4 está expuesta a una variación de temperatura T.
• R1 y R2 son las fuerzas externas.
• 1 y 2 son los desplazamientos globales desconocidos
•Las barras articuladas tienen un área A de sección transversal.
•Las fuerzas nodales las denotaremos como Pij y las deformaciones de las barras como ij
Planteamos las ecuaciones de equilibrio en X y Y.
La ecuación que relaciona las fuerzas y las tensiones para este caso es:
P=A. (1)Las ecuaciones de compatibilidad para los desplaxzmientos son:
)()((2)
)()(
2134
224
2114
CosSen
CosSen
La ecuación de compatibilidad entre las deformaciones y los desplazamientos y de las tensiones –deformaciones incluida la expansión térmica serán respectivamente:
= /L y =/+T (3)
Combinando las ecuaciones (1), y (3) para las tres barras y recordando que solo la barra 2-4 está sometida a un gradiente de temperatura (T1-4= T3-4=0); obtenemos
Combinado ahora con la ecuación (2), obtenemos
Ahora nuestra meta es formular un grupo de ecuaciones en la cual los desplazamientos en las barras sean una función de las fuerzas externas, para lo cual sustituiremos la ecuación anterior en las ecuaciones de equilibrio iniciales; obteniendo
Que escrito en forma matricial
RuK