Post on 15-Jun-2020
transcript
Llicons 16:
Albert Satorra
Probabilitat, UPF
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 1 / 22
Continguts
1 Temes addicionals/pendents/complementarisTransformacio de variablesMetode de Monte CarloDesigualtats
2 Altres distribucions contınues notables
3 Preparem l’examen final
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 2 / 22
Temes addicionals/pendents/complementaris
Transformacio de variables
Funcio de densitat de probabilitat d’una variabletransformadaExemple 1: Si X v.a. amb funcio de densitat uniforme a [0, 10], quina esla f.d.p. de Y = X 2? Sabem quefX (x) = 1/10, x ∈ [0, 1], fX (x) = 0, x /∈ [0, 1]. Considereu la“igualtat” (de masses de probabilitat)
fX (x)dx = fY (y)dy
que implica
fY (y)dy = fX (x)dx
dy= fX (x)
1
y ′= fX (x) | 1
y ′|
En l’exemple
fY (y) =1
10× 1
2x=
1
10× 2×√y=
1
20√y, y ∈ [0, 100]
fY (y) = 0, y /∈ [0, 100]Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 3 / 22
Temes addicionals/pendents/complementaris
Transformacio de variables
Exemple 2: X ∼ fX (x) = 3x2, x ∈ [0, 1]. Determineu la f.d.p. deY = X 2. Com que tenim una transformacio g(x) = x2 monotona(bijectiva) g : [0, 1]→ [0, 1]:
fY (y)dy = fX (x)dx ⇒ fY (y) = fX (x) | 1
y ′|
⇒ fY (y) = 3x2 1
2x=
3
2x =
3
2
√y
En general, si Y = g(X ), X = g−1(Y ), amb g(.) bijectiva i continuamentdiferentiable1,
fY (y) = fX (x)× 1
|g ′(x)|= fX (g−1(y))
1
|g ′(g−1(y))|, y ∈ B
D’aquı s’en despren el metode de Monte Carlo per generar observacionsd’una distribucio qualsevol.
1C1 a un interval obert A en un altre interval obert BAlbert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 4 / 22
Temes addicionals/pendents/complementaris
Metode de Monte Carlo
Metode de Monte Carlo
Si X es v.a. continua amb funcio de distribucio F (x), aleshores
U = F (X ) ∼ U[0, 1]
uniforme a [0, 1]. De manera que F−1(U) ∼ fX . 2
Si volem simular observacions de X , cal nomes simular X = F−1(U), on Ute distribucio uniforme a [0, 1].
2F (.) es diferentiable amb derivada f (.), de manera que
fU(u) = fX (x)1
|F ′(x)| = fX (x)1
|fX (x)| = 1, u ∈ [0, 1]
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 5 / 22
Temes addicionals/pendents/complementaris
Metode de Monte Carlo
Metode de Monte Carlo: exempleObtenir 1000 observacions aleatories de X ∼ f (x) = 2x , x ∈ [0, 1]. Comque F (x) = x2, F−1(u) =
√x , de manera que X ∼
√U on U ∼ U(0, 1).
En R:
> U= runif(10)
> U
[1] 0.53739263 0.68816987 0.88647438 0.53192244 0.71055824 0.05436115 0.90868059 0.14912553
[9] 0.64718433 0.75310826
> X = sqrt(U)
> X
[1] 0.7330707 0.8295600 0.9415277 0.7293301 0.8429462 0.2331548 0.9532474 0.3861677 0.8044777
[10] 0.8678181
son 10 observacions aleatories de X. Si simulem mes observacions, podemfer un histogramaAlbert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 6 / 22
Temes addicionals/pendents/complementaris
Metode de Monte Carlo
Histograme de les dades simulades
histogram of n=100000 replications of X: sqrt(runif(n))
X
Density
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Figure: simulacio n = 10000 ) observacions de X ∼ f (x) = 2x , x ∈ [0, 1]
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 7 / 22
Temes addicionals/pendents/complementaris
Metode de Monte Carlo
Exemple de Metode de Monte Carlo.Exemple 2: Volem bservacions aleatories de la variable X ∼ f (x) = 3x2.Tenim que U = F (x) = x3, per tant cal simplement transformar X = U1/3
les observacions U d’una distribucio uniforme. La simulacio de 10observacions de X es:
> u=runif(10)
> x=u^(1/3)
> x
[1] 0.2058851 0.7937641 0.9666047 0.7647873 0.7218360 0.5965476 0.9699959
0.4529079 0.6111965
[10] 0.9792118
>
El histograme de la simulacio de n = 10000 observacions de X es el de lafigura seguent
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 8 / 22
Temes addicionals/pendents/complementaris
Metode de Monte Carlo
Histograme de les dades simulades
Histogram of y
y
Density
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
Figure: Histograma (simulacio n = 10000 ) i funcio de densitat deX ∼ f (x) = 3x2
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 9 / 22
Temes addicionals/pendents/complementaris
Metode de Monte Carlo
Metode de Monte Carlo: exempleImagineu que els guanys Y son Y = 3X 2 + 2X + 2ln(X ), on X es la v.a.del exemple anterior. Ens preguntem pell valor esperat, variancia, Mediana,Primer Quartil, etc. de la variable guany, Y . Ho podem determinar ambun metode simple, emprant el metode de Monte Carlo ( simulacio):En R:
U= runif(100000)
X = sqrt(U)
Y = 3*X^2 + 2*X + 2*log(X)
mean(Y); var(Y)
> mean(Y)
[1] 1.823310
> var(Y)
[1] 5.179783
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 10 / 22
Temes addicionals/pendents/complementaris
Metode de Monte Carlo
Metode de Monte Carlo: exemple (cont.)
> U= runif(100000)
> X = sqrt(U)
> Y = 3*X^2 + 2*X + 2*log(X)
> U= runif(100000)
> mean(Y)
[1] 1.842715
> var(Y)
[1] 5.119805
....
> summary(Y)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
-11.8900 0.3674 2.2230 1.8380 3.7080 5.0000
Metode mes rapid que calcular la f.d.p. de la variable transformada,despres fer la integral . . .Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 11 / 22
Temes addicionals/pendents/complementaris
Metode de Monte Carlo
Metode de Monte Carlo: exemple (cont.)
Figure: Histograma de la distribucio de Y = 3 ∗ X 2 + 2 ∗ X + 2 ∗ log(X )
Histogram of Y
Y
Fre
quen
cy
−10 −5 0 5
050
0010
000
1500
020
000
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 12 / 22
Temes addicionals/pendents/complementaris
Desigualtats
Desigualtat de TchebychevSigui X una v.a. amb esperanca µX i desviacio σX finites.Aleshores, la desigualtat de Tchebychev afirma que ∀k ≥ 1,
P(|X − µX | ≥ k · σX ) ≤ 1
k2
Prova:
σ2 =
∑|x−µ|<kσ
P(x)(x − µ)2 +∑
|x−µ|≥kσ
P(x)(x − µ)2
≥∑
|x−µ|≥kσ
P(x)(x − µ)2 ≥∑
|x−µ|≥kσ
P(x)k2 · σ2 = P(|X − µ| ≥ k · σ)k2 · σ2
La desigualtat de de Tchebychev ajuda en la interpretacio de µX i de σXcom a parametres de centralitat i dispersio respectivament,
1 k = 2, P(|X − µx | < 2 · σX ) ≥ 1− 122 = 0, 75
2 k = 3, P(|X − µx | < 3 · σX ) ≥ 1− 132 = 0, 8889
3 .../...
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 13 / 22
Temes addicionals/pendents/complementaris
Desigualtats
Desigualtat de Cauchy-Schwarz i acotacio de ρXYSi X i Y son dues variables aleatories lligades al mateix Ω i am valoresperat finit, aleshores:
(EXY )2 ≤ EX 2EY 2
Demostracio: Si Z = kX + Y , aleshores Z2 = k2X 2 + Y 2 + 2kXY . Tenim que 0 ≤ E(Z2) = k2EX 2 + 2kEXY + EY 2, d’on
obtenim ... (recordeu ax2 + bx + c = 0, el discriminant de l’equacio ∆ = b2 − 4ac ≤ 0 . . . Si ∆ = 0 aleshores hi ha un k amb
Z = kX + Y = 0, es a dir, Y = kX ).
Apliqueu la desigualtat anterior a les variables centrades X − µX iY − µY , i obteniu
(Cov(X ,Y ))2 ≤ (V (X ))2(V (Y ))2
De manera que
(Cov(X ,Y ))2
(V (X ))2(V (Y ))2=
[Cov(X ,Y )
V (X )V (Y )
]2
= ρ2XY ≤ 1
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 14 / 22
Altres distribucions contınues notables
Distribucio t-Student
“The derivation of the t-distribution was first published in 1908 by WilliamSealy Gosset, while he worked at a Guinness Brewery in Dublin. Due toproprietary issues, the paper was written under the pseudonym Student.The t-test and the associated theory became well-known through the workof R.A. Fisher, who called the distribution ”Student’s distribution”.”WikipediaSorgeix en l’estimacio de la mitjana poblacional quan desconeixem lavariancia. La t de Student de r graus de llibertat es:
tr =Z√χ2r /r
on Z ∼ N(0, 1).
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 15 / 22
Altres distribucions contınues notables
Distribucio t-Student comparada amb la Normal
Figure: Distribucio t - Student
−4 −2 0 2 4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
X
t1t5t100Norm
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 16 / 22
Altres distribucions contınues notables
Distribucio t-Student
> rt(10,4)
[1] 1.3499174 -0.7918188 1.7990769 1.0624056 0.2052549 1.3976543 -0.1952794 -1.1263405
[9] 2.0617611 0.6975450
Valor esperat: E (tr ) = 0 per r > 1 (per r = 1 no existeix)
Varianciat: V (tr ) = rr−2 per r > 2 (per r = 1, 2 infinita)
CA : 0 per r > 3 (per r = 1, 2, 3 no existeix)
Excess de kurtosis= CAp -3: 6r−4 per r > 4.
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 17 / 22
Altres distribucions contınues notables
Distribucio F
Tenim
F(d1,d2) =χ2d1/d1
χ2d2/d2
on les dues chi-squadrats es consdieren son independents. Els valors d1 id2 s’anomenen graus de llibertat del numerador i denominadorrespectivament.
> pf(2.4,3,24)
[1] 0.907244
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 18 / 22
Altres distribucions contınues notables
Distribucio F
Figure: Distribucio F
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 19 / 22
Altres distribucions contınues notables
Taula de distribucions
Figure: Taula de distribucions de probabilitat
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 20 / 22
Preparem l’examen final
Preparem l’examen final
Un Examen Tipus Test
Entre 25 i 30 preguntes del tipus del Test 1 i Test 2 fets als seminaris.Totes les preguntes seran noves
Respostes en Fulla de Lectura Optica: Instruccions per emplenar lafulla de lectura optica
Us donarem el Formulari i Taules que teniu a la web: Formulary andTables
Podeu portar calculadora simple (no tindreu acces a R)
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 21 / 22
Preparem l’examen final
FINAL DE CLASSES!
Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2011 22 / 22