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LO QUE TIENEN QUE SABER
• Sala de profesores de Mecánica
• 4 pm a 6.30 pm
Nota Final = 0,30 E + 0,70 PA
E = Examen finalPA = Promedio de prácticas calificadas y otros ( 7 notas)
Práctica calificada 01.Práctica calificada 02.Práctica calificada 03.Práctica calificada 04.Práctica calificada 05.
Portafolio/cuaderno del alumno.Participación en clase.Problema - tarea.
2 4 6 8
2
4
6
x
y
a x
y = f(x)
(a; f(a))
(x; f(x))
Se quiere hallar la recta tangente a la curva
en el punto (a ; f(a))
Se toma un punto arbitrario (x ; f(x)) y se traza la
recta secante que pasa por esos dos puntos
2 4 6 8
2
4
6
x
y
a x
(a; f(a))
(x; f(x))
¿Cuál es la pendiente de la recta secante?
2 4 6 8
2
4
6
x
y
f(x) - f(a)
x - a
a x
(a; f(a))
(x; f(x))
Pendiente de la recta secante que pasa por
los puntos (a; f(a)) y (x; f(x))
ax
afxfPendiente
−−= )()(
Ejemplos
• 1) Encuentre una ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 en el punto (1;1).
• 2) Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva y = 3/x en el punto (3;1).
Definición
• La derivada de una función f en un
número a, denotada con f’(a), es:
h
afhaflímafh
)()()('
0
−+=→
si este límite existe.
Interpretación geométrica de la derivada
• La derivada de una función f en un número a
es la pendiente de la recta tangente a la
gráfica de la función en el punto (a; f(a)).
• Posteriormente se verá que la derivada
también se puede interpretar como la razón de cambio de una magnitud respecto de
otra.
La derivada como una función
• Si en la definición anterior,
cambiamos el número “a” por la
variable “x”, obtenemos:
h
xfhxflímxfh
)()()('
0
−+=→
En este caso, f’ es una nueva función llamada derivada de f.
Ejemplos
• Halle las derivadas de f, g y h enuncie sus respectivos dominios.
1)()3 −= xxh
xxxg −= 3)()2
235)()1 xxf −=
La Integral
• Determina la antiderivadamás general.
• Interpreta la integral y su relación con la derivada.
• Define la integral definida.
• Calcula áreas de regiones limitadas en el plano.
37
38
Antiderivadas
Definición : Una función F se llamaantiderivada de una función f en unintervalo I si la derivada de F es f,esto es F´(x) = f(x) para todo x en I.
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Teorema:
Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, la antiderivada más general de f en I es F(x)+c, donde c es una constante arbitraria.
Teorema:
Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, la antiderivada más general de f en I es F(x)+c, donde c es una constante arbitraria.
Teorema:
Si dos funciones P y Q son antiderivadasde una función f en un intervalo I ,entonces P(x) = Q(x) + C, ( C constante)para todo x en I.
44
Ejemplo 1
Encuentre la antiderivada más general de cada una d e las siguientes funciones.
n
x
xxfc
b
exfa
=
=
=
)( )x1
f(x) )
)( )
45
xsen
x
e
x
nx
xgxf
xfc
x
n
cos
1
)1(
)()(
)(
−≠+
Función
( )
x
xsen
e
x
nx
xGxF
xcF
x
n
cos
ln
1
)()(
)(
1
−
+
++
Antiderivadaparticular
48
1e)x(f x +=
Definición : El área de la región S que se encuentra debajo de la gráfica de la funcióncontinua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación:
( ) ( ) ( )[ ]xxfxxfxxfAA nn
n
ii
n∆++∆+∆==
∞→=∞→ ∑ **2
*1
1
...limlim
x∆
49
∑∫=∞→
∆=n
1iii
*
n
b
a
x)x(flimdx)x(f
∫b
a
dx)x(f
Integrando
Limite
superior
No tiene significado, indica respecto a que variable se integra.
El procedimiento para calcular integrales se llama por si mismo integración .
Limite Inferior
50
2°Teorema Fundamental del Cálculo
Si f es una función continua en [a, b]y F una antiderivada de f en [a, b], entonces:
Esta regla convierte al cálculo de integrales definidas en u nproblema de búsqueda de antiderivadas y evaluación.
)()()()( aFbFxFdxxfb
a
b
a−==∫
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PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDAPROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
1. Si f y g son funciones integrablesen [a, b] y αααα y ββββ son constantes, setiene :
∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ββββ++++αααα====ββββ++++ααααb
a
b
a
b
adx)x(gdx)x(fdx))x(g)x(f(
Propiedad de linealidad
52
2. Si existen las integrales de la izquierda, también existe la integral de la derecha:
∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ====++++c
a
b
a
b
cdx)x(fdx)x(fdx)x(f
Propiedad aditiva respecto al intervalo de integración
bac ,∈
53
La propiedad anterior es aplicada cuando la función está def inidapor partes y cuando es seccionalmente continua.
≤<≤≤
=31 1 -
10 x )(
2
xx
xxf
∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ −−−−++++====3
0
1
0
3
1
2 dx)1x(dxxdx)x(f
( )∫3
0
dxxf
Ejemplo:Si
y se quiere hallar:
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DEFINICIONES:Sea f una función integrable en[a, b], entonces :
∫∫∫∫ ====a
a0dx)x(f.1
∫∫∫∫ ∫∫∫∫−−−−====b
a
a
bdx)x(fdx)x(f.2
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Definición :Sea f una función contínua tal que :• f(x) ≥≥≥≥0 en [a, b] y• S={(x, y)/ a ≤≤≤≤x≤≤≤≤b, 0≤≤≤≤y≤≤≤≤f(x)}
Se denota por A(S) y se llama área dela región definida por S al númerodado por:
∫∫∫∫====b
adx)x(f)S(A
60
Ejemplo 2:
Hallar el área de la región limitadapor y = 2x, y = (x-2) 2 + 1, x = 3 y eleje X, tal como lo muestra la figura.
61
dx
y
x0 dx
y = f(x)
y = g(x)
f(x)
- g(x)
[[[[ ]]]]∫∫∫∫====b
a
dxg(x)-f(x)A [[[[ ]]]]∫∫∫∫====b
a
dxg(x)-f(x)A
dA =[f(x) - g(x)]dxba