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TECSUP – PFR Matemática Aplicada
ÍNDICE
Unidad I: “CONCEPTOS BÁSICOS”
1. Áreas y volúmenes .......................................................................................... 1
1.1. Prisma recto ....................................................................................... 2
1.2. Pirámide regular ................................................................................. 2
1.3. Cubo .................................................................................................. 3
1.4. Cilindro .............................................................................................. 3
1.5. Superficie esférica ............................................................................... 4
1.6. Esfera sólida ....................................................................................... 4
2. Logaritmos ...................................................................................................... 4
3. Notación científica ........................................................................................... 5
4. Cifras significativas .......................................................................................... 6
5. Redondeo de números ..................................................................................... 6
6. Unidades internacionales .................................................................................. 7
7. Prefijos del sistema internacional ...................................................................... 9
8. Conversión de unidades ................................................................................. 10
9. Ejercicios Nº 1 ............................................................................................... 11
Unidad II: “RELACIONES FÍSICAS”
1. Densidad ...................................................................................................... 13
2. Densidad relativa ........................................................................................... 13
3. Volumen específico ........................................................................................ 13
4. Peso específico .............................................................................................. 14
5. Gravedad específica ....................................................................................... 14
6. Ejercicios Nº 2 ............................................................................................... 14
Unidad III: “RELACIONES QUÍMICAS”
1. Molaridad ...................................................................................................... 17
2. Normalidad ................................................................................................... 17
3. Molalidad ...................................................................................................... 18
4. Porcentaje en masa ....................................................................................... 18
5. Porcentaje en volumen................................................................................... 18
6. Ejercicios Nº 3 ............................................................................................... 19
Matemática Aplicada TECSUP – PFR
Unidad IV: “GRÁFICAS LINEALES” 1. Pendiente de una recta ................................................................................... 21
2. Ecuación de una recta .................................................................................... 22
3. Método de los mínimos cuadrados ................................................................... 24
4. Funciones que se pueden graficar como rectas ................................................. 27
5. Ejercicios Nº 4 ............................................................................................... 28
Unidad V: “USO DE LAS GRÁFICAS LINEALES” 1. Interpolación ................................................................................................. 31
2. Ejercicios ....................................................................................................... 32
Unidad VI: “LECTURA DE NOMOGRAMAS” 1. Lectura denomogramas .................................................................................. 35
Unidad VII: “ANÁLISIS DE GRÁFICAS” 1. Ejercicios ....................................................................................................... 40
Unidad VIII: “DERIVADAS DE UNA CURVA” 1. Primera derivada ............................................................................................ 43
2. Segunda derivada .......................................................................................... 48
Unidad IX: “APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES” 1. Introducción a la Cinética química .................................................................. 51 Unidad X: “APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES”
1. Cinética química: Ley de velocidad .................................................................. 57
2. Cinética química : Órdenes de velocidad .......................................................... 59
Unidad XI: “APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES”
1. Más tipos de ecuaciones diferenciales .............................................................. 63
TECSUP – PFR Matemática Aplicada
1
UNIDAD I
CCOONNCCEEPPTTOOSS BBÁÁSSIICCOOSS
1. ÁREAS Y VOLÚMENES
Área del triángulo Área del trapecio
Matemática Aplicada TECSUP – PFR
2
1.1. PRISMA RECTO
1.2. PIRÁMIDE REGULAR
x Altura Volumen-3.
2SS S -2.
base la de PerímetroxLateralArista S-1.
BASELATERALTOTAL
LATERAL
BASES
aARISTA
LATERAL
ha
h
S
A
D C
B
h
o
L/2
L/2
L
h x S3
1Volumen-3.
S S-2.
x ApotemaBase la de S-1.
BASE
LATERALTOTAL
LATERAL
BASES
troSemiperímeAp
TECSUP – PFR Matemática Aplicada
3
1.3. CUBO
1.4. CILINDRO
a
a
3
26
3
aVolumen
aS
aD
TOTAL
D
a
generatriz
h2
TOTAL
LATERAL
rVolumen-3.
r)(g r2 S-2.
g r2 S-1.
r
hg
hg
g h
r
hr3
1Volumen-3.
)rg(r S-2.
g r S-1.
2
TOTA L
LA TE RA L
CONO RECTO O DE REVOLUCIÓN
BASE : CÍRCULO
Matemática Aplicada TECSUP – PFR
4
1.5. SUPERFICIE ESFÉRICA
1.6. ESFERA SÓLIDA
2. LOGARITMOS
log10 a = log a ; logaritmo decimal loge a = ln a ; logaritmo neperiano o natural
logn a = x a = nx log a = x a = 10x ln a = x a = ex
Algunas propiedades de logaritmos:
1. logn (a . b) = logn a + logn b
2. logn (b
a) = logn a - logn b
3. logn ab = b logn a
4. logn n = 1
5. logn na = a
Ro
Eje
h=2R
3R3
4Volumen
r
Ro
Eje
Circunferencia menor
Circunferencia mayor
2R2R 4Se
TECSUP – PFR Matemática Aplicada
5
Ejemplos:
3/110log a = 10log13a
= 3
1
a
2
102log 3 ba = 2log32log ba
aa log10
16
3
2log
3log
10
1010
42log
3log2log43log
4
aababa ebbeeee lnln
2ln52ln32ln 5
2
7log
7log2
7log
49log
7log 22
3. NOTACIÓN CIENTÍFICA
Es convertir cualquier número a base decimal, colocando antes de la coma decimal un número comprendido entre 1 y 9 inclusive.
0,1573
= 1,573 x 10-1
0,097340
= 9,7340 x 10-2
0,00051000
= 5,1000 x 10-4
0,000070006
= 7,0006 x 10-5
1 823 456,928
= 1,823456928 x 106
1 000,7
= 1,0007 x 103
10 000 000,001
= 1,0000000001 x 107
Matemática Aplicada TECSUP – PFR
6
4. CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Es el número mínimo de dígitos que se necesitan para expresar científicamente un valor sin que se pierda exactitud.
142,7 = 1,427 x 102 ; 4 c.s.
142,70 = 1,4270 x 102 ; 5 c.s.
142,700 = 1,42700 x 102 ; 6 c.s.
0,000006302 = 6,302 x 10-6 ; 4 c.s.
0, 0006302
= ; 4 c.s.
0,00063020 = ; 5 c.s.
92 500 = ;
= 9,250 x 104 ;
= 9,25 x 104 ;
5. REDONDEO DE NÚMEROS
121,7968064 ; Redondear hasta la 5ta c.s. = 121,80
121,7948 ; Redondear hasta la 5ta c.s. = 121,79
43,55000 ; Redondear hasta la 3ra c.s. = 43,5
43,55000
; Redondear hasta la 5ta c.s. = 43,550
1,4250 x 10-9 ; Redondear hasta la 3ra c.s. = 1,42 x 10-9
1,42501 x 10-9 ; Redondear hasta la 3ra c.s. = 1,43 x 10-9
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6. UNIDADES INTERNACIONALES
Unidad de longitud Símbolo
metro
m
angström Å
pie ft
pulgada in
milla
mi
onza
oz
yarda
yd
Unidad masa
gramo g
tonelada métrica t
libra lb
Unidad de tiempo
segundo s
minuto min
hora h
día d
Unidad de volumen
litro L
galón gal
onza fluida fl oz
Unidad de cantidad de
sustancia
Símbolo
mol mol
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Unidad de área
hectárea ha
Unidad de presión
atmósfera atm
pascal Pa
bar bar
torricelli Torr
Unidad de temperatura
grado Celsius ºC
grado Fahrenheit ºF
grado Kelvin K
grado Ranking R
Unidad de fuerza
Newton
N
kilogramo-fuerza
kgf
Unidad de potencia
watt W
caballos de fuerza
hp
Unidad de energía
joule J
caloría cal
unidad térmica británica Btu
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7. PREFIJOS DEL SISTEMA INTERNACIONAL
Prefijo Símbolo Equivalencia
yotta Y 1024
zetta Z 1021
exa E 1018
peta P 1015
tera T 1012
giga G 109
mega M 106
kilo k 103
hecto h 102
deca da 10
deci d 10-1
centi c 10-2
mili m 10-3
micro µ 10-6
nano n 10-9
pico p 10-12
femto f 10-15
atto a 10-18
zepto z 10-21
yocto y 10-24
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8. CONVERSIÓN DE UNIDADES
Unidad de longitud
1 Å = 10-10 m
1 ft = 3,048 x 10-1 m
1 in = 2,54 x 10-2 m
1 mi = 1,609 x 103 m
1 yd = 9,144 x 10-1 m
Unidad de masa
1 kg = 103 g
1 lb = 4,536 x 10-1 kg
1 t = 103 kg
1 t larga = 2 240 lb
1 t corta = 2 000 lb
Unidad de tiempo
1 año = 365 d
Unidad de volumen
1 m3 = 103 L
1 gal = 4,546 L
1 fl oz = 2,841 x 10 mL
Unidad de área
1 ha = 104 m2
Unidad de potencia
1 Btu/h = 2,931 x 10-1 W
1 hp = 7,46 x 102 W
Unidad de presión
1 atm = 1,013 x 105 Pa
1 bar = 105 Pa
1 Torr = 1,333 x 102 Pa
Unidad de fuerza
1 kgf = 9,807 N
Unidad de energía
1 cal = 4,184 J
1 Btu = 1,054 x 103 J
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Unidad de cantidad de sustancia:
1 mol de especie = 6,023 x 1023 unidades de especie
Unidad de temperatura:
9
492
5
273
9
32º
5
º
xxxx RKFC
Variación de temperatura :
959
º
5
º xxxx RKFC
9. EJERCICIOS Nº 1 Realice los siguientes ejercicios utilizando factores de conversión.
1. Determinar el área externa de una tubería de 450 cm de largo y 2 ½ in de
diámetro externo. Dar a la respuesta en metros cuadrados y con cuatro
cifras significativas.
2. En la ciudad de Lima, se emiten 1,5 t de monóxido de carbono diariamente
hacia la atmósfera, por los automóviles y la industria. ¿Cuántos kilogramos
de monóxido de carbono se emiten al año?. Dar la respuesta en notación
científica y con tres cifras significativas.
3. Una ama de casa compra el litro de kerosene a s/. 4,50 y consume 7 gal
semanalmente. ¿Cuánto gasta quincenalmente la ama de casa, por consumo
de kerosene?. Dar la respuesta con dos cifras significativas.
4. La temperatura más alta registrada según SENAMHI en el mes de febrero del
2008, fue 30 ºC. Exprese dicha temperatura en grados Fahrenheit, Kelvin y
Ranking.
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5. En el laboratorio dispones de 4 micropipetas que miden cada una :
a. 5 µL; b. 20 µL; c. 100 µL; d. 300 µL
Si debes tomar cuatro volúmenes de: 0,2 mL; 0,3 mL; 0,020 mL y 0,005
mL. ¿Con qué micropipeta tomarás cada volumen?
6. Un cuerpo se encuentra a 50 ºC y aumenta su temperatura en 26,57 R, para
luego disminuir en 5,5 K. Determinar la temperatura final en grados
Fahrenheit.
7. Un alumno de VI ciclo de la carrera de Procesos Químicos y Metalúrgicos de
Tecsup, construye una nueva escala llamada Lavoisier, en el cual el punto de
congelación del agua es – 50 ºL. La escala Lavoisier coincide con la escala
Celsius en 50 º. ¿A cuántos grados es igual el cero absoluto en la nueva
escala?