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MATEMÁTICAS II2º BACHILLERATO
ÁLGEBRA
1) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (S. E. L.)
• DEFINICIONES BÁSICAS
• RESOLUCIÓN DE SISTEMAS POR EL MÉTODO DE GAUSS
2) MATRICES.
• DEFINICIONES
• OPERACIONES CON MATRICES
• RANGO DE UNA MATRIZ
3) DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA
• MATRIZ INVERSA
• CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ
4) RESOLUCIÓN DE SITEMAS CON DETERMINANTES
• SISTEMAS DE CRAMER
• TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS
• RESOLUCIÓN DE SISTEMAS CON DETERMINANTES
• RESOLUCIÓN DE SISTEMAS CON PARÁMETROS
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (S. E. L.)
Definiciones básicas:
Una ecuación es una igualdad en la que aparecen una o varias incógnitas.
(1) (2) (3)321 xx 512 x 32 yx
(4) (5) (6)032 zyx 5yx 35432 4321 xxxx
Una ecuación es lineal si es de la forma: bxaxaxa nn ...2211
Es decir, es una suma de términos. Cada término consiste en un número (a1, a2,.. coeficientes) multiplicado por una incógnita (x1, x2 , …). Las incógnitas no pueden estar elevadas al cuadrado o multiplicadas entre sí ni pueden estar dentro de raíces u otras funciones.
En los ejemplos anteriores, son ecuaciones lineales:
no son ecuaciones lineales:
1,3,4,6
2 y 5
Ejemplos:
EJEMPLOS:
62532
yyx
6325yx
yx
5224yx
yx
Un sistema de ecuaciones lineales (SEL) es un conjunto de ecuaciones lineales.
Llamaremos solución del sistema a una serie de números que al sustituirlos por las incógnitas en las ecuaciones dan lugar a igualdades numéricas ciertas. Resolver un sistema es hallar TODAS las soluciones del sistema
Despejamos en la segunda ecuación y=3 y sustituimos en la primera ecuación: 2x+3·3=5, 2x=5-9 Solución: x=-2, y=3
Por el método de reducción, multiplicamos por -2 la primera ecuación y sumamos: 5y=-4; y=-4/5. Sustituyendo en la primera x=21/5
Por el método de reducción, multiplicamos por 2 la primera ecuación y sumamos. Obtenemos una igualdad falsa 0=13. ¿Qué significa esto?
Por el método de reducción, multiplicamos por 2 la primera ecuación y sumamos. Obtenemos una igualdad cierta 0=0. ¿Qué significa esto?
Se puede eliminar la segunda ecuación. El sistema tiene infinitas soluciones x=9+2y
El sistema no tiene solución
184292yx
yx
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
No tiene solución:SISTEMA INCOMPATIBLE:
S.I.
Tiene solución:SISTEMA COMPATIBLE
Solución única:SISTEMA COMPATIBLE
DETERMINADOS.C.D.
Infinitas soluciones:SISTEMA COMPATIBLE
INDETERMINADOS.C.I.
SISTEMAS EQUIVALENTES: Diremos que dos sistemas son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones
Transformaciones de un sistema que dan lugar a otro equivalente:
• multiplicar una ecuación por un número distinto de 0
• sustituir una ecuación por ella misma más otra multiplicada por un número
• cambiar el orden de las ecuaciones o de las incógnitas
El método de Gauss consiste en aplicar estas transformaciones hasta obtener un sistema “triangular” (todos los coeficientes por debajo de la diagonal son cero) como este:
82
42
22
z
zy
zyx Que resolvemos, despejando la z en la última ecuación, y sustituyendo en la anterior y así sucesivamente “hacia arriba”. z=4, y=12, x=-7
MÉTODO DE GAUSS
2435
123
1
zyx
zyx
zyx
E2-3E1
E3-5E1
392
24
1
zy
zy
zyx
E3-2E2
1
24
1
z
zy
zyx
Pivote. Preferiblemente, coeficiente 1
Pivote, se puede multiplicar por -1 SCD. Solución: (-4,6,1)
32
0
6
zyx
zyx
zyx
E2-E1
E3-2E1
93
62
6
zy
z
zyx
62
93
6
z
zy
zyx
SCD. Solución: (1,2,3)
445
2322
777
zyx
zyx
zyx
E2-2E1
E3+E1
111112
121112
777
zy
zy
zyx
E3+E2
10
121112
777
zy
zyx
Igualdad numérica falsa Sistema Incompatible SI
445
3322
777
zyx
zyx
zyx
E2-2E1
E3+E1
111112
111112
777
zy
zy
zyx
E3+E2
00
111112
777
zy
zyx
Igualdad numérica cierta ¿?
Una igualdad numérica cierta se puede eliminar y continuamos resolviendo el sistema. En el caso del último ejemplo hemos acabado en un sistema triangular pero tenemos un “exceso” de incógnitas. Lo que haremos será “pasar” la z al otro miembro y resolver el sistema en función de z
111112
777
zy
zyx
zy
zyx
111112
777
zy12
11
12
11 zx
12
7
12
7
Para cada valor de z obtenemos unos valores de x e y. Por tanto el sistema tiene infinitas soluciones. (SCI). Para que quede más elegante, hacemos:
12
7
12
7,
12
11
12
11, xyz
x -y +z +4t =6
2x +3y -z -11t =-7
y +z +t =1
x +y -z =1
3x +2y +z =1
5x +3y +4z =2
-2x -y +5z =6
2x -y -z =2
3x -2y +4z =1
Resuelve:
1 2 3
,33,22,1 Sistema incompatible SI ,114,63
Soluciones:
Resuelve el siguiente sistema (p.46 5a)
2 5 0 16
1 3 -2 -2
1 0 1 4
1 0 1 4
1 3 -2 -2
2 5 0 16
E2-E1
E3-2E1
1 0 1 4
0 3 -3 -6
0 5 -2 8
E2:3
1 0 1 4
0 1 -1 -2
0 5 -2 8 E3-5E2
1 0 1 4
0 1 -1 -2
0 0 3 18 z=6
y=4
x=-2
2x +5y =16
x +3y -2z =-2
x +z =4
Puesto que los cálculos los hacemos con los coeficientes, las incógnitas se pueden no poner, obteniendo así una tabla numérica que tenemos que triangularizar operando con las filas exactamente igual que operábamos con las ecuaciones. Cuando hayamos llegado a la tabla triangular, recomponemos el sistema y resolvemos.
Disposición práctica del método de Gauss
1 -2 1 0 11
2 -1 0 1 9
5 -1 1 1 24
5 -2 -1 2 0
x -2y +z =11
2x -y +t =9
5x -y +z +t =24
5x -2y -z +2t =0
1 -2 1 0 11
0 3 -2 1 -13
0 9 -4 1 -31
0 8 -6 2 -55
E2-2E1
E4-5E1
E3-5E1 E3-3E2
3E4-8E2
1 -2 1 0 11
0 3 -2 1 -13
0 0 2 -2 8
0 0 -2 -2 -61
1 -2 1 0 11
0 3 -2 1 -13
0 0 2 -2 8
0 0 0 -4 -53453t
4
694
453822 zztz
4
11
4
53
4
1381331323 yytzy
43x
SCD. Solución(-3/4,11/4,69/4,53/4)
Resuelve el siguiente sistema (p.40 2c)
SISTEMAS HOMOGÉNEOS: Un sistema es homogéneo si todos los términos independientes son cero
2 -3 1 0
3 -1 0 0
4 1 -1 0
2x -3y +z =0
3x -y =0
4x +y -z =0
2E2-3E1
E3-2E1
2 -3 1 0
0 7 -3 0
0 7 -3 0
2x -3y +z =0
7y -3z =0
SCI: (t/7, 3t/7, t)
x -2y +z =0
x -y -2z =0
4x +y -z =0
SCD (0,0,0)
Un sistema homogéneo ¿puede ser incompatible?¿Por qué?
Resolución de un sistema según los valores de un parámetro
Discute y resuelve el siguiente sistema según los valores del parámetro a
x +y +2z =2
2x -y +3z =2
5x -y +az =6!
No de trata de un único sistema. Son infinitos sistemas (uno para cada valor de a) y tenemos que decir cómo es cada uno de estos sistemas (SI; SCD ó SCI) y resolverlo en los casos de compatibilidad
Empezamos a resolver el sistema por el método de Gauss
1 1 2 2
2 -1 3 2
5 -1 a 6
1 1 2 2
0 -3 -1 -2
0 -6 a-10 -4
1 1 2 2
0 3 1 2
0 0 a-8 0
x +y +2z =2
3y +z =2
(a-8)z =0
Normalmente, para acabar de resolver el sistema hay que dividir. Y aquí es donde aparecen las alternativas porque, recuerda: NO SE PUEDE DIVIDIR ENTRE 0
3
4
3
20
8
08
xya
za
x +y +2z =2
3y +z =28a
SCD
SCI. Solución:
,3
2,
3
54