MATEMÁTICAS I - SEMANA 3

Logro F3

Docentes:Xyoby Chávez PachecoSergio Quispe RodríguezCristina Navarro FloresNaudy López RodríguezPatricia Reynoso Quispe Cordelia Khouri de Arciniegas

2

Matemáticas 1

Logro de la sesión

Modelar situaciones reales del entorno cercano usando funcionessinusoidales y crea nuevas funciones usando reglas detransformación de la forma af(bx -c)+d.

¿Qué relación tienen las siguientes imágenes?MATEMÁTICAS I

Funciones periódicas

Una función f es periódica si existe un número real positivo k, tal que f(x+k)=f(x), para todo x que pertenezca al dominio.

El menor número positivo k que cumpla que f(x+k)=f(x) se llama período de f.

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Círculo trigonométrico y la función trigonométrica

Las funcionestrigonométricas y=senx ,

y=cosx describen el movimiento del punto

P(x,y), que pertenece a la circunferencia de radio 1.

y=senx

Período: 2π

Simetría impar

Intersecciones: (0,0), (kπ,0)

y=cosx

Período: 2π

Simetría par

Intersecciones: (0,0), (kπ/2,0)

MATEMÁTICAS I

Como las funciones seno y coseno tienen períodos 2π, las funciones

y=asenkx y y=acos(kx) (k>0)

completan un período cuando kx varía de 0 a 2π, es decir, para 0 ≤ kx ≤ 2 π o para 0 ≤ x ≤ 2 π /k.

Entonces estas funciones completan un período cuando x varía entre 0 y 2 π /k y por lo tanto tienen período 2 π /k.

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h

h

h; h +

h

h

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Curvas senos y cosenos

trasladadas

MATEMÁTICAS I

En general para modelos de funciones de

senos y cosenos:

Es importante resaltar que también podemos modelar

las funciones de seno y coseno usando:

Del siguiente gráfico, determine la

amplitud, el período, el desplazamiento

vertical, el desfase y la regla de

correspondencia:

Ejemplo 1:Solución:

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Vamos a modelar el gráfico como y=Asen(Bx+C)+D

La siguiente tabla muestra la variación del nivel del agua en una

bahía, en un periodo de 24 horas. Encontrar un modelo que describa

la variación del nivel del agua en función del número de horas

transcurridas desde las 6:00 a.m.

Ejemplo 2:

Solución:

Iniciamos realzando un gráfico trazando los puntos de la tabla De momento nos va quedando el siguiente

gráfico:

MATEMÁTICAS I

MATEMÁTICAS I

MATEMÁTICAS I

La figura muestra diversas gráficas del número de horas de luz durante el

día (desde el amanecer hasta la puesta del sol) como función de la época

del año en diversas latitudes. Si la ciudad de Filadelfia está ubicada a 40°

latitud Norte, encuentre la regla de correspondencia que modele la

duración de la luz del día en la ciudad mencionada en función de los días

del año.

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Ejemplo 3:Solución:

Analizando cada gráfico, podemos ver que se

asemeja a una función seno desplazada y alargada.

La curva de color azul representa la latitud a la que

se encuentra la ciudad de Filadelfia. Allí la luz del día

dura alrededor de 14.8 horas el 21 de junio y 9.2

horas el 21 de diciembre. De manera que podemos

calcular la amplitud de la curva usando la ecuación:

9.2

80𝐷í𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑎ñ𝑜

14.8

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Ejemplo 4:

Una estrella variable es aquella cuyo brillo

aumenta y disminuye alternativamente en el

tiempo. La estrella variable más visible, Delta

Cephei, alcanza su nivel de brillo más alto en el

día 1.35. En el día 4.05, el brillo tiene un valor de

3.65 (su nivel más bajo). El brillo de la estrella

varía en una magnitud de 0.35.

a) Encuentre una función que modele el brillo de

Delta Cephei, en términos del tiempo.

b) Realice la gráfica.

Solución:

Según los datos que nos provee el problema,

podemos modelar el brillo de la estrella

usando una función senoidal:

De forma que: B(t)=Asen(Kx+C)+D

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Finalmente; con desfase=0, C=0. Por tanto, la regla de

correspondencia es: