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Estudios Matemticos Argentera
Comprender las cosas que nos rodean es la mejor preparacin para comprender las cosas que hay ms all. (Hipatia)
Mdulo 1.
Operaciones
Aritmticas
Algebraicas
Hypatia: Naci en el 370 D.C. Eminente mujer griega, clebre por su elocuencia, belleza y conocimiento. Ense la doctrina de platn y Aristteles. Se destac en los campos de las Matemticas y la Astronoma. Miembro y lder de la Escuela neoplatnica de Alejandra, se centr en estudios lgicos y ciencias exactas, llevando una vida asctica.La acusaron de hechicera por tener influencia cientfica, literaria y matemtica. Cre el Cann Astronmico de Diofanto, el astrolabio y la esfera plana. Invent el aermetro o hidroscopio. Muri quemada en el 415.
EL TANGRAM
EEss uunn rroommppeeccaabbeezzaass qquuee ccoonnssttaa ddee 77 ppiieezzaass oo ttaannss.. jjuueeggoo
cchhiinnoo ddee llooss ssiieettee eelleemmeennttooss oo ttaammbbiinn llaa ttaabbllaa ddee llaa
ssaabbiidduurraa oo ""ttaabbllaa ddee ssaaggaacciiddaadd"" hhaacciieennddoo rreeffeerreenncciiaa aa
llaass ccuuaalliiddaaddeess qquuee eell jjuueeggoo ccoonnlllleevvaa.. RReeqquuiieerree ddee iinnggeenniioo,,
iimmaaggiinnaacciinn yy,, ssoobbrree ttooddoo,, ppaacciieenncciiaa..
EEnn llaa eennsseeaannzzaa ddee llaa mmaatteemmttiiccaa,, uuttiilliizzaa ccoommoo mmaatteerriiaall
ddiiddccttiiccoo qquuee ffaavvoorreecceerr eell ddeessaarrrroolllloo ddee hhaabbiilliiddaaddeess ddeell
ppeennssaammiieennttoo aabbssttrraaccttoo,, ddee rreellaacciioonneess eessppaacciiaalleess,, llggiiccaa,,
iimmaaggiinnaacciinn,, eessttrraatteeggiiaass ppaarraa rreessoollvveerr pprroobblleemmaass,, eennttrree
mmuucchhaass oottrraass,, aass ccoommoo uunn mmeeddiioo qquuee ppeerrmmiittee iinnttrroodduucciirr
ccoonncceeppttooss ggeeoommttrriiccooss.. EEss uunn ggrraann eessttmmuulloo ppaarraa llaa
ccrreeaattiivviiddaadd.. PPrroommuueevvee eell ddeessaarrrroolllloo ddee ccaappaacciiddaaddeess
ppssiiccoommoottrriicceess ee iinntteelleeccttuuaalleess ddee llooss nniiooss.. SSee uuttiilliizzaa eenn
ppssiiccoollooggaa,, eenn ddiisseeoo,, eenn ffiilloossooffaa yy ppaarrttiiccuullaarrmmeennttee eenn llaa
ppeeddaaggooggaa.. SSee ppuueeddeenn rreeaalliizzaarr aallrreeddeeddoorr ddee 1166,,000000
ffiigguurraass ddiissttiinnttaass..
1
Leyes de los signos
Ley de los signos para la Suma y Resta
Se aplican los siguientes criterios:
1. Cuando las cantidades son del mismo signo, Se suman las cantidades
y se conserva el mismo signo.
Ejemplos: 2 + 5=7; -8-4=-12
2. Cuando las cantidades son de signos diferentes, Se restan los
nmeros y se conserva el signo de la de mayor valor absoluto.
Ejemplos: 9-3=6, -8+3=-5
Ley de los signos para la multiplicacin y divisin
Tanto la multiplicacin como la divisin de expresiones con signos iguales
darn como resultado un valor positivo, mientras que la multiplicacin de
expresiones con signos contrarios dar como resultado un valor negativo, es
decir,
Multiplicacin Divisin
(+) (+) = (+) (+) (+) = (+)
(+) (-) = (-) (+) (-) = (-)
(-) (+) = (-) (-) (+) =(-)
(-) (-) = (+) (-) (-) =(+)
Ejemplos: (-2) (-3) = 6, -30 -15 = 2;
(2)(-3) =-6; -27 9 = -3
2
FRACCIONES
Fraccin: Es cada una de las partes en que se divide la unidad.
Clasificacin de las fracciones
Segn la relacin ente el numerador y el denominador:
Fraccin propia: Fraccin que tiene su numerador menor que su
denominador. 2/7, 4/5.
Fraccin impropia: Fraccin en donde el numerador es mayor que
el denominador. 13/6, 18/8, 4/2.
Segn la relacin entre los denominadores:
Fraccin homognea: Fracciones que tienen el mismo denominador. Ejemplos: 5/4; 7/4.
Fraccin heterognea: Fracciones que tienen diferentes
denominadores. Ejemplos: 3/5, 7/8, 9/11
Reductibles: Fracciones en las que el numerador y el denominador
no son primos entre s y puede ser simplificada.
Ejemplos: 20/40, 4/20, 5/10
Irreductibles: Fracciones en las que el numerador y el denominador
son primos entre s. No pueden ser simplificadas. Ejemplos: 3/7,
17/11, 33/15
2 41
6 6
3
Operaciones con fracciones.
Multiplicacin
Para multiplicar dos fracciones numricas o algebraicas se multiplican sus numeradores y sus denominadores, por separado, teniendo as el numerador
y el denominador de la fraccin producto.
Ejemplos: a c ac
b d bd
2 3 2*3 6
5 7 5*7 35
Divisin
Para dividir dos o ms fracciones, se multiplican el numerador de la primera
fraccin por el denominador de la segunda fraccin (as tenemos el
numerador) y el denominador de la primera fraccin por el numerador de la
segunda fraccin (denominador).
Ejemplos: a c ad
b d bc
2 3 2*7 14
5 7 5*3 15
Tambin podemos dividir de la siguiente forma, simplemente invirtiendo la
segunda fraccin para convertirla en un producto.,
Ejemplo: a c a d ad
b d b c bc
Suma y resta de fracciones homogneas y heterogneas
Para sumar o restar dos o ms fracciones homogneas, se suman los
numeradores y se deja el denominador comn.
Ejemplo: Realiza las siguientes operaciones a c a c
b b b
a) 3 5 3 5 8
18 8 8 8
; b)
4
Para sumar fracciones heterogneas se siguen estos procesos:
1. Se calcula el mnimo comn mltiplo (M.C.M.), por lo que se tiene que
a) 3 5 9 10 19 1
16 9 18 18 18
b) 5 3 15 6 9 1
6 9 18 18 2
2. Tambin se puede desarrollar convirtindola en homognea
3. Se procede como en la resta de fracciones de igual denominador (dado que las fracciones tienen el mismo denominador)
FRMULAS
Una frmula es una expresin general de una ley o mandato. Ejemplos de frmulas son:
A = L*L (frmula de un cuadrado)
.
2
b hA (Formula de un triangulo)
2 4
2
b b acx
a
(Frmula para resolver una ecuacin de segundo grado)
dv
t (Frmula para la velocidad)
5
Regla para despeje de frmulas:
Aplicando directamente las operaciones inversas tales como:
1- La operacin inversa de la suma es la resta y viceversa. 2- La operacin inversa de la multiplicacin es la divisin y
viceversa. 3- La operacin inversa de la potenciacin es la radicacin y
tambin la logaritmacin.
4- Y de la derivacin es la integracin.
Ejemplos:
a) De la ecuacin x + b = c, si queremos despejar a x solo debemos pasar a b con signo contrario para el otro lado x = c-b.
b) De la ecuacin a b = c, b pasa dividiendo al lado contrario de la igualdad, a = c/b
c) pv nrt despejar v.
En esta frmula solo hay multiplicandos, si quiero pasar un trmino de un
lado al otro pasarlo dividiendo. Al pasar P el resultado ser: nrt
vp
En la frmula5( 32)
9
Fc
despejar F .
Es igual poner 5( 32)
9
Fc
y empezar a transferir trminos
9( )5( 32) 9( ) 32
5
cF c F
Lenguaje algebraico
Es a travs del cual podemos escribir simblicamente, pues las matemticas
tienen su propio lenguaje, Se combinan nmeros y letras a travs de
operaciones aritmtica algebraica.
El lenguaje algebraico nos ayuda a traducir expresiones desde el lenguaje
coloquial al lenguaje algebraico.
6
Ejemplos: Traducir al lenguaje algebraico o simblico.
*El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos.
*El cudruple del cubo de un nmero disminuido en 78.
*La edad de Pedro es el triplo aumentado en 4 de la edad de flete.
Flete= x Pedro: 3x+4
Ejemplo: Traducir al lenguaje coloquial:
4(x-y)= Cuatro veces al producto de la diferencia de dos cantidades.
Cinco veces el cubo de un numero por el cuadrado de otro.
Monomios Y Polinomios:
Monomio: Es una expresin algebraica que consta de un solo termino.
a. b.
Polinomio: Es una expresin algebraica que consta de ms de un trmino.
Pueden clasificarse en Binomio Y Trinomio.
Binomio: Es cuando un polinomio tiene dos trminos.
Ejemplos: 23 4x m
Trinomio: Es cuando el potencial tiene tres trminos.
Ejemplos: 5x-y+4
Cuando hay ms de tres trminos se le llama normalmente polinomio.
Ejemplos:
2 2 2h c c
34 78x
3 25x y
24x3 4 76m n w
3 25x
xy
26 3 20x y
4 3 23 2 8x x x x 39 2 5m n x a
7
Valor numrico de expresiones algebraicas:
Consiste en sustituir la expresin por su valor y luego realizar las
expresiones indicadas.
Ejemplos: Buscar el valor numrico de las siguientes expresiones sabiendo que:
a=3 b=1 c=-2
A) = -2(1)+4(-2)-5 = 27-2-8-5 = 12
B)
Signos de agrupacin:
Para eliminar los signos de agrupacin tanto en operaciones algebraicas
como aritmtica, debemos ir operando desde adentro hacia afuera.
Ejemplos: Eliminar los signos de agrupacin en:
a. -{2-[3+5(-2+4)-8]+7}=
-{2-[3-10+20-8]+7}
-{2-[5]+7}=-{4}=-4
b. 6[-4+ (3+1)-8+ (4-6)-2]
6[-4+4-8-2-2]=6[-12]=-72
Trminos semejantes:
Dos o ms trminos sern semejantes cuando tengan la misma parte
literal afectadas por iguales exponentes.
Ejemplos: ; ;
3 2 4 5a b c 3(3)
25 12 4a b c 25(3) 12(1) 4( 2) 45 12 8 25
23x y 25x y 27x y
8
Operaciones Matemticas con monomios
a. Suma de Monomios: Para sumar dos o ms monomios se operara
con aquellos trminos semejantes.
3 2 3 2 3 2
2 3 2 3 2 3
a) 3x+5x=8x
2 1 13 b)
3 5 15
c)
Ejemplo
10a b 6
s
a b
:
a b 4
m n m n m n
b. Producto de monomio: Se multiplican los coeficientes y se suman
los exponentes.
Ejemplos:
a) 1 2 111 3
6 63 5 154 41
) 6 23
b m n x m n y m nx y
c) 2 5 1 316
2 8a b a ba
d) 2
3 3 5 4
75 10 50
mm x m x
x
c. Divisin de monomios: Se dividen los coeficientes y se restan
algebraicamente los exponentes.
1)
2) 2 5 3
8 7 3
6 2
3 3= m n p
7 7
m n p
m n
3)
8 6 46 9 4 2
2 3 2
102
5
x y zx y z w
x y w
2 5 7(3 )(4 ) 12m m m
6 34 4
2
82
4
x yx y
x y
9
Operaciones de polinomios:
Suma y resta de polinomios:
Solo se operan con aquellos trminos que sean semejantes, tomando en
cuenta que signos iguales se suma y se pone el mismo signo y que si son
diferentes se restan y se pone el que tenga mayor valor absoluto.
Ejemplo: Operar
3 2 5 7 3 2 5 7 3 2 5 74 2 9 7 13 5x y x y x y x y x y x y
Producto de Polinomios:
Para multiplicar dos polinomios basta con multiplicar cada monomio del
primer factor por todos y cada uno de los trminos del segundo factor y as
sucesivamente y luego y luego se reducen los trminos semejantes.
Ejemplo 1: a c a c
Ejemplo 2: Resolver
Divisin de polinomio por monomio:
Para dividir un polinomio por un monomio basta con dividir cada trmino del
polinomio entre el monomio.
a)
8 7 2 6 144 2 3 1 2 11
4 3
9 6 5 5) 3 2
3 3
w v w v w v zb w v w v w v z
w v
2 2 2 22a ac ca c a ac c
3 5(2 5)(2 1)m m 8 3 54 2 10 5m m m 8 5 34 10 2 5m m m
2 5 6 7 82 2 2 4 8
4 3
8 104 5
2
a b a b ca b a b c
a b
10
Divisin de Polinomios:
Para dividir polinomios se ordena el dividiendo y el divisor con relacin a una
misma letra. Para obtener el primer trmino del cociente dividimos el
primer trmino del divisor; luego se multiplica el trmino obtenido por el
divisor y se pasa con signo contrario y luego se realizan las operaciones
indicadas.
2
2
2
3 x
x 6
6
3
2 6
2 6
0
1: Resolver 3
2
xx
x x
xEjemplo
x
x
x
x
5
5
3 2
1
:x
Ejemplo Dividirx
x
3 2
5
3 3 1x x x
x
4 3 2 2
4
3 3 3 6
3
x x x x x
x
3 2
4
3
3
x x
x
3 2
3
9 9
6
x x
x
2
3
8 3
6
x x
x
2
2
18 18 6
1 0 15 6
x x
x x
11
3 2 2
a)
) Realiza las sigui
f) 95 7 4
1 2 1 1 2) 3 5 g) .
7
entes operaciones y s
3 2 3
implifica:
7
ACTIVIDADES
I
b
+ 5=
6 1 2 1 1) h)
7 4 5 3 9
1 2 2 3 1) 7 3 i)
8 5 5 2 5
1 5) 6
2 3
c
d
e
2 2
2
4 2 1 j)
7 3 2
) 2x+3y=6 Despejar a X.
) Sen Cos 1 Despejar el Co
) Despeje de frmulas
seno.
1c) Ec=
2
:I
a
mv
I
b
1 222
1 2 122
Despejar a V.
) Despejar q .
e) Despejar W
Kq qd Fe
r
w w R
nk
12
2 2
2 3 3 2 2 3
3 2 2 2 3 2 4 2
2 3 3 5 4
3
2 3
2 6 9 20
2 5
2
a) 3m 4m
1) 6a 2
2
) 5 4 3 4 5
) 5m 4 3
) 2 4
) Realiza las siguintes operac
2
) 3 2 1
ione
8 6)
2
) m 2 3 entr
s
e
:
1
b b a b a b
c m n m m m n m n p
d n m n z mn
e x x
II
f x x x
x y x y zg
x y z
h m m
i
I
8 5 10 4 8 12 12 3
4 7
4
9 30m 12n)
6
) b b entre 1
m n x n x x
m n
j b
III) Reduce los signos de agrupacin y reduce trminos .
) 2 8 3 9 4
) 4 2 6 2 4 9 5 23 =
sem jante
e s
a x x
b x x x x
"Una persona no puede directamente escoger sus circunstancias, pero si puede escoger sus
pensamientos e indirectamente -y con seguridad- darle forma a sus circunstancias."
James Allen)
13
Bibliografa
Morel Roberto, Ventura Eduardo (2008); Matemtica Superior I. Santo Domingo
Rep. Dom: Universidad Catlica de santo Domingo.
Sobel Max; Lerner Norbert, (2006). Preclculo. 6ta edicin, Mxico: editora Pearson Educacin.
Baldor Aurelio, (1994). Algebra. Undcima edicin, Mxico: editora Codice
Amrica, S.A. Santillana I. serie umbral, (educacin media).
(2001), 1ra ediccion, Rep.Dom: Editora Santillana
Imagen del tangram rojo propiedad de http://www.google.com.doi
imgurl=http://nuvolo.files.wordpress.com/2006/10/tangram-red.j
Wikipedia Las fracciones http://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n
Revisado el 31 de Agosto de 2012
Prof. Wilton Oltmanns