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ICIE1006-1
Ingeniería Económica
Unidad III Relaciones Dinero Tiempo
Prof. Henry Grino
Ing. Civil, Mg en Dirección de Empresas, Mg Economía Energética
Ingeniería Económica ICIE1006-1
Prof. Henry Grino
Objetivos de Aprendizaje
Rendimiento del Capital Orígenes del Interés Interés Simple Interés Compuesto Equivalencias Diagrama de Tablas y Flujos de
Efectivo Formulas de interés Secuencia aritméticas de flujos
de efectivo Secuencia geométrica de flujos
de efectivo Tasa de interés nominales v/s
efectivo Interés continuo
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Rendimiento del capital
Conceptos:
Capital: se requiere para personas, máquinas, materiales, energía y cualquier otra cosa necesaria para la operación
Se clasifica en: Capital Propio y capital de deuda
Rendimiento: en forma de interés y utilidad
El interés y las utilidades es el pago a los proveedores y constituyen los pagos por el riesgo que corre el inversionista al permitir que otro utilice el capital
El capital propio o prestado tiene un interés por concepto de costo oportunidad, debe proporcionar un rendimiento
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Interés simple
Se dice que es simple porque se cobra una proporción
lineal sobre el préstamo
I = (P)(N)(i)
P= principal o capital inicial, N= períodos de interés, i=
tasa de interés por período
Regla de tres simple
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Interés compuesto
Formulas para flujos de efectivo únicos
P/F: Factor de valor presente
Ejemplo: Un inversionista tiene la opción de comprar una extensión de tierra cuyo valor será de $10.000 dentro de
6 años. Si el valor de la tierra se incrementa un 8% anual, ¿Cuánto debería estar dispuesto a pagar el
inversionista por la propiedad?
F/P: Factor de valor futuro
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n
niF
iFP )1(
)1(
1
)%,,/( NiFPFP
)6%,8,/(000.10$ FPP
)6302,0(000.10$P
302.6$P
)%,,/( NiPFPF niPF )1(
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Interés compuesto
Ejercicio: Tabla 3.2
En la renovación del pequeño edificio de oficinas de una empresa, se identificaron
dos alternativas factibles para actualizar el sistema de calefacción, ventilación y aire
acondicionado. Debe implantarse ya sea la alternativa A o la alternativa B. Los
costos son los siguientes:
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A Reparación total del sistema
Equipo, mano de obra y materiales 18.000
Costo anual de electricidad 32.000
Gastos anuales de mantenimiento 2.400
B Instalar un sistema nuevo
Equipo, mano de obra y materiales 60.000
Costo anual de electricidad 9.000
Gastos anuales de mantenimiento 16.000
Reemplazo de un componente importante dentro de 4 años 9.400
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Interés compuesto
Ejercicio: Tabla 3.2
Al final de los 8 años, el valor de mercado que se estima para la alternativa A es de
$2.000, y para la alternativa B es de $8.000.
Hacer tabla de flujos
Determinar cual es la mejor alternativa
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A Reparación total del sistema
Equipo, mano de obra y materiales 18.000
Costo anual de electricidad 32.000
Gastos anuales de mantenimiento 2.400
B Instalar un sistema nuevo
Equipo, mano de obra y materiales 60.000
Costo anual de electricidad 9.000
Gastos anuales de mantenimiento 16.000
Reemplazo de un componente importante dentro de 4 años 9.400
niPF )1(n
niF
iFP )1(
)1(
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Interés compuesto
Formulas para series uniformes (anualidades) que relacionan valores
presente y futuro
F/A: Factor de acumulación de riqueza:
Ejemplo: Suponga que hace 15 depósitos de $1.000 cada uno en una cuenta bancaria que paga el 5% de interés
por año. El primer depósito se hará dentro de un año a partir de hoy. ¿Cuánto dinero podrá retirar de su cuenta
inmediatamente después del pago número 15?
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)%,,/( NiAFAF
?P
i
iAF
N 1)1(
)1(
11
)1(
1)1( 1
i
ii
AF
N
)15%,5,/(000.1$ AFF
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Interés compuesto
Factores de valor presente y de recuperación de capital de series
uniformes (anualidades) que relacionan valores presente y futuro
P/A: Factor de Valor Presente de una Serie Uniforme:
Ejemplo: Si el día de hoy a cierta máquina se le ordena una reparación mayor, su producción se incrementaría un
20%, que se traduciría en un flujo de efectivo adicional de $20.000 al final de cada año durante cinco años. Si i =
15% anual, ¿cuándo es razonable invertir para arreglar la máquina en cuestión?
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)%,,/( NiAPAP
)%,,/(000.20$ niAPP
i
iAiP
N
N 1)1()1(
N
N
ii
iAP
)1(
1)1(
ii N /)1(1
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Interés compuesto
Factores de valor presente y de recuperación de capital de series
uniformes (anualidades) que relacionan valores presente y futuro
A/P: Factor de Recuperación de Capital:
Ejemplo:. ¿………………………?
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)%,,/( NiPAPA1)1(
)1(N
N
i
iiPA
Nii )1(1/
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Interés compuesto
Formulas para series uniformes (anualidades) que relacionan valores
presente y futuro
A/F: Factor de Amortización:
Ejemplo: Una estudiante emprendedora planea tener un ahorro personal por un total de $1.000.000 cuando se
retire a los 65 años de edad. Ahora tiene 20 años. Si la tasa de interés anual en promedio será de 7% durante los
próximos 45 años para su cuenta de ahorro. ¿qué cantidad igual debe ahorrar al final de cada año para cumplir
su objetivo?
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)%,,/( NiFAFA
)%,,/( niFAFA
1)1( ni
iFA
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Interés compuesto
Formulas para flujos de efectivo únicos
Pago único
Formulas de interés que relacionan anualidades conocidas
Fondo de amortización A/F
A=F(A/F,i,n)
Cantidad compuesta F/A
F=A(F/A,i,n)
Serie uniforme de valor presente P/A
P=A(P/A,i,n)
Recuperación del capital A/P
A=P(A/P,i,n)
12
i
iAF
N 1)1(
N
N
ii
iAP
)1(
1)1(
1)1(
)1(N
N
i
iiPA
n
niF
iFP )1(
)1(
1niPF )1(
1)1( ni
iFA
Nii )1(1/
ii N /)1(1
11
m
am
ri
11m
aii
111 m
aii
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Anualidades Diferidas
• Cuando el flujo de efectivo ocurre en alguna fecha posterior, la anualidad
de conoce como anualidad diferida.
• Suponga que un padre desea determinar qué cantidad única tendría que depositar el día que naciera su hijo, en una cuenta que gana el 12% anual, para que su hijo disponga de $2.000 en cada uno de sus cumpleaños 18, 19, 20 y 21
P17 = A(P/A,i,n) = x Cual es el factor P/A !
P0 = F17(P/F,i,n) = x(P/F,i,n) Cual es el factor P/F !
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Anualidades Diferidas
Cálculo de equivalencias que implican varias formulas de interés.
• De una serie de flujos de efectivo al final de cada uno de los ocho años de extensión, con cantidades de $100, $200, $500, y $400 para los siguientes cuatro años.
• Se desea encontrar a) el valor presente equivalente del gasto P0, b) el gasto futuro equivalente F8, y c) el gasto anual equivalente, A, de estos flujos de efectivo si la tasa de interés anual es del 20%
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Anualidades Diferidas
• Se desea conocer el gasto futuro equivalente, F8,
el gasto anual equivalente A,
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Anualidades Diferidas
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Anualidades Diferidas
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Gradientes
Gradientes uniformes de flujos de efectivo
Algunos problemas implican ingresos o egresos que se proyectan para que
aumenten o disminuyan en una cantidad uniforme.
Constituyen una secuencia aritmética de los flujos de efectivo. y la cantidad G se
conoce como un Gradiente Uniforme de flujos de efectivo
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Gradientes
Calculo del valor de F, cuando se conoce el de G:
El valor futuro, equivalente F, de la secuencia aritmética de los flujos de efectivo, simplificando es:
Ejemplo obtener factor F/G
i
NGNiAF
i
GF ),,/(
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Gradientes
Calcular el valor de A cuando se conoce el valor de G
Ejemplo obtener factor A/G, A = (A/G,i,N)
),,/( NiFAFAi
NGNiAF
i
GF ),,/(
),,/(),,/( NiFAi
NGNiAF
i
GA
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Gradientes
Calcular el valor de P cuando se conoce el de G
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Tasa Nominal y Efectiva
Formulación
r = Tasa de interés nominal anual
i = Tasa de interés efectiva por Período de composición (PC)=r/m
m = Número de períodos de capitalización o composición
ia = tasa de interés efectiva anual
Una tasa nominal r puede fijarse para cualquier período, 1 año, 6
meses, 1 trimestre, etc. La convención es anual
Ejemplo r= 9% anual, capitalización mensual, así m=12, por
consiguiente i = 9/12 = 0,75%
Para el ejemplo 9,38%,
; 11
m
am
ri
11m
aii
111 m
aii
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Tasa Interés para Cualquier Período
Formulación PP = Período de pago, PC = Período de composición Por ejemplo: si una compañía deposita dinero cada mes en una cuenta que da rendimiento con
una tasa de interés nominal del 14% anual, con un período de composición semestral, el período
de pago es de un mes, mientras que el período de composición es de 6 meses.
Para evaluar flujos de efectivo PP < 1 año
r = tasa de interés nominal por período de pago (PP)
m = número de períodos de composición por períodos de pago (PC)
i efectivo
11m
mri
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Tasa Interés para Cualquier Período
Problema Visteon, una compañía que salió de la Ford Motor Company, abastece de partes
importantes de automóvil a los fabricantes de automóviles alrededor del mundo, y
constituye el abastecedor más importante de la Ford. Un ingeniero pertenece al
comité de Visteon que evalúa propuestas para incorporar maquinaria de medición de
coordenadas, de la nueva generación a la fabricación de automóviles de partes de
alta precisión. Tres propuestas de venta incluyen las tasas de interés que aparecen a
continuación. Visteon hará pagos semestrales exclusivamente. El ingeniero se
encuentra confundido respecto de las tasas de interés efectivas (su valor anual y
durante el período de pago de 6 meses)
Propuesta núm. 1: 9% anual, compuesto trimestralmente
Propuesta núm. 2: 3% trimestral, compuesto trimestralmente
Propuesta núm. 3: 8,8% anual, compuesto mensualmente
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Tasa Interés para Cualquier Período
Problema
a) Determinar la tasa efectiva de cada propuesta si se harán pagos semestrales, y
construya diagramas de flujo de efectivo semejantes a los de la figura para las
tasas de las diferentes propuesta.
b) ¿Cuáles son las tasas anuales efectivas? Estas formaran parte de la elección
de la propuesta final.
c) ¿Qué propuesta incluye la tasa anual efectiva más baja?
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Muchas Gracias