Post on 24-Mar-2020
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Momento Angular
Os slides marcados (*) nΓ£o serΓ£o cobrados.
São derivaçáes matemÑticas para alunos interessados.
https://www.youtube.com/watch?v=PwE3eiREYA4&t=101s
https://www.youtube.com/watch?v=-Cc-jGnIwCM
Momento Angular de uma PARTΓCULA
π = π« Γ π© = π(π« Γ π―)
ππ
ππ‘= π
ππ«
ππ‘Γ π― + π« Γ
ππ―
ππ‘
= π« Γ π
Momento angular da partΓcula em
relação à origem escolhida
TORQUE da forΓ§a π em relação Γ
origem escolhida
ππ
ππ‘π
Sobre |π Γ π|
ππ
π
πβ₯
ππ π
πβ₯
π Γ π = ππ sin π = ππβ₯ = πβ₯π
π
π«
π―
π―β²π£β₯
π
π―
π―β²π£β₯
π
π―π = π
π Γ© ortogonal a π« e π―
π = πππ£β₯
π
sentido em que π« gira em torno de π
Ilustração 1: Movimento Linear Uniforme
π«π―
π
bπ«β²
π€πβ
π = 0 (ππππ π‘)
πβ² = β ππ£π π€ (ππππ π‘)
π«β²(π‘1)
π«β²(π‘2)
π«(π‘1)
π«(π‘2)π
Ilustração 2: Movimento Circular Uniforme
π―(π‘1)
π―(π‘2)
π π‘1 = π π‘2 = β ππ π£ π€
πβ² π‘1 β πβ² π‘2
πβ
π€
π
βπ
π 2
π 1
Momento Angular de um SISTEMA DE PARTΓCULAS
π
πππ
ππ‘= (ππ)ππ₯π‘
ππ₯1ππ‘
= π«1 Γ (π 1 + π)
ππ₯2ππ‘
= π«2 Γ (π 2 β π)
π(π₯1 + π₯2)
ππ‘= π«1 Γ π 1 + π«2 Γ π 2
π«1 β π«2 Γ π = 0
π«1
π«2
(π«1βπ«2)
πππ
ππ‘= (ππ)ππ₯π‘
Apenas forças EXTERNAS são capazes de alterar o momento angular de um sistema
de partΓculas
Momento Angular vs. Momento Linear
πππ
ππ‘= (ππ)ππ₯π‘
ππ
ππ‘= π ππ₯π‘
sem atrito
Como fazer para se deslocar?
Como fazer para girar?
https://www.youtube.com/watch?v=-Cc-jGnIwCM
O vetor π e o momento de inΓ©rcia πΌ
ππ
π
π€
π«π
ππ = πππ(π«π Γ π―π)
π Γ π β π = (π Γ π) β π
= πππ( π€ Γ π«π) β π―π
π
= πππππ(πππ) = πΌ0π
π―π
CORPO RΓGIDO (direção de rotação fixa)
πππ(π«π Γ π―π) β π€ππ β π€ =
No caso de direção de rotação ao longo de um eixo de simetria...
ππ
ππ = πΌππ π€
π€
π π
πππ
ππ‘= (ππ)ππ₯π‘
nos problemas de EIXO FIXO
πΌ0πΌ = π πΉβ₯
π β₯
π
π β₯ (inΓΊtil)
(produz rotação)
πΌ0πΌ = π πΉβ₯
ππ«
π€ πππ
ππ‘= π« Γ π
π
π(ππβ π€)
ππ‘= (π« Γ π ) β π€
π(πΌ0π)
ππ‘= π πΉβ₯
πΌ
= ( π€ Γ π«) β π
(*)
Um resultado ΓΊtil:
ππ = π π Γ π + ππΆ
π
ππ = π π Γ π + ππΆ
ππ«π
π―π
πΆ
ππ
βΉ ππππ―π = 0
ππππ«π = 0
Do ponto de vista do CM...
ππ =
π
ππ(π + π«π) Γ (π + π―π)
= π π Γ π +
π
ππ(π«π Γ π―π)
ππΆ
(*)
Ilustração-1
π2
π1π―2π«2
π1 = 2 kg
π«1 = β1, 0 m
π―1 = 0, β2 m/s
π2 = 1 kg
π«2 = +1, 0 m
π―2 = 0, +1 m/s
ππ = 5 kg m2/s π€
π(π Γ π) = 1 kg m2/s π€
π’
π£
ππ―1
π«1
π
π₯π1 = 4 kg m2/s π€ π₯π2 = 1 kg m2/s π€
π = β13, 0 m
π = 0, β1 m/s
Do ponto de vista do CM ...
π―1
π―2
π2
π«2π1 π«1
π«1 = π«1 β π
= 0, β1 m/s
= +43, 0 m
= 0, +2 m/s
ππΆ = 4 kg m2/s π€
= β23, 0 m
π«2 = π«2 β π
π―1 = π―1 β π π―2 = π―2 β π π’
π£
πΆ
Ilustração-2 (girando um disco girante)
π
Ξ© ππ β π€ = π π Γ π β π€ +ππ2
2π
π
π
π€
π Γ π β π€ = ( π€ Γ π) β π
ππ β π³ = ππ·2Ξ© +ππ2
2π
π·
= π·2πΊ
π = π·Ξ©π
A equação do ππΆ
Observação Chave:
π ππ Γ π + ππΆ
ππ‘
πππ
ππ‘= (ππ)ππ₯π‘
= π(π + π«π) Γ π π
ππ₯π‘
π(ππ Γ π)
ππ‘= π
ππ
ππ‘Γ π + π Γ
ππ
ππ‘= π Γ π ππ₯π‘
ππ«π
πΆ
ππ ππ
π πππ₯π‘π
= π Γ π ππ₯π‘ + (ππΆ)ππ₯π‘
(*)
πππ
ππ‘= (ππ)ππ₯π‘
πππΆ
ππ‘= (ππΆ)ππ₯π‘
VΓ‘lido mesmo que πΆ nΓ£o seja inercial, como acontece geralmente
ππ ππ
ππ = π ππ₯π‘
πΌπΆπΌ = (ππΆ)ππ₯π‘
πππΆ
ππ‘= (ππΆ)ππ₯π‘
nos problemas de ROLAMENTO
π«πΆ
πΌπΆπΌ = π πΆπΉβ₯ππ₯π‘
π β₯
π πΆ
π β₯ (inΓΊtil)
(produz rotação)πΆ
π€ πππΆ
ππ‘= π«πΆ Γ π
π(ππΆβ π€)
ππ‘= (π«πΆ Γ π ) β π€
π(πΌπΆπ)
ππ‘= π πΆπΉβ₯
π
πΌ
= ( π€ Γ π«πΆ) β π
(*)
As equaçáes para a Rotaçãomais geral possΓvel do
CORPO RΓGIDO
πππ
ππ‘= (ππ)ππ₯π‘
πππΆ
ππ‘= (ππΆ)ππ₯π‘
ππ = π ππ₯π‘
Use quando HΓ um ponto fixo
Use quando NΓO HΓ um ponto fixo
APLICAΓΓES
Conservação de Momento Angular
1- Patinadora girando
π
ππ
π
πβ²
ππ
π
πΌππ = πΌπβ² πβ²
πΎ aumentou?
12πΌπβ² πβ²2 β 1
2πΌππ2
= βππββ + ππππ‘
π€
π πΌππ
ππ‘= π πΉβ₯
ππ₯π‘
Peso e normal NΓO exercem torque em relação ao eixo fixo
ββ
π π = 12πΌππ2 πΌπ
πΌπβ² β 1
https://www.youtube.com/watch?v=PwE3eiREYA4&t=101s
https://www.youtube.com/watch?v=0RVyhd3E9hY
πΌπππππ > πΌπ ππ‘ > πΌπ’ππππβπ‘
ππππππ < ππ ππ‘ < ππ’ππππβπ‘
https://www.youtube.com/watch?v=5cRb0xvPJ2M
2-Cadeira GiratΓ³ria + Disco
π
πΆ
π + π π
π π
πππ
ππ‘= (ππ)ππ₯π‘
0
π
= ππ2π/2 π’
π€ π£
π’
ππ β π€ = 0
ππ = π π Γ π + ππΆ
1. A componente de (ππ)ππ₯π‘ (peso e eixo) na
direção π€ Γ© zero.
2. O peso e o eixo (sem atrito) tΓͺm torque em relação a π, mas nΓ£o na direção do eixo. Esses torques tendem a tombar/destombar o eixo, mas nΓ£o o fazem girar.
3. ππ = π π Γ π + (ππΆ)πππ ππ
πππ π
1. Agora o disco preto e a cadeira executam tambΓ©m um MCU de raio π e velocidade angular Ξ©
2. (ππβ² )ππ πβ π€ = π πππ π Γ πππ π β π€ + (ππΆ)ππ πβ π€
3. (ππβ² )πππβ π€ = βπΌπππΞ©
0 = βπΌΞ© β ππ 2 Ξ© + ππ2/2 π
Ξ© =ππ2/2
πΌ + ππ 2π
π
π€ π£
π’
= βππ 2Ξ© + ππ2/2 π
Conservação de ππ β π€:
π
Ξ©
π
πππ π
3-Massa jogada na porta
π―0
π
π
π€
π
π
ππ β π€ = πππ£0 ππβ² β π€ = ππ ππ + πΌπππ
πππ
ππ‘= (ππ)ππ₯π‘
Eixo e peso nΓ£o exercem
torque na direção π€
π =πππ£0
ππ2 + πΌππ
Em detalhe
π
π
π―0 π€ π
π π Γ π―0 β π€ = π π€ Γ π β π―0
= πππ£0
E se a massa nΓ£o grudar na porta?
π
πβ²
π―π
ππβ² β π€ = βπππ£ + πΌπππβ²πβ² =
ππ(π£0 + π£)
πΌπππ =
πππ£0
ππ2 + πΌππ
gruda nΓ£o gruda
4-Bola solta no carrosselπππ
ππ‘= (ππ)ππ₯π‘
πβ²
π
π
π Energia Γ© conservada?
π€π
Eixo e pesos nΓ£o exercem
torque na direção π€ππ―
ππ β π€ = πΌπππ π ππβ² β π€ = (πΌπππ + ππ2)πβ²