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Métodos numéricos
Aproximación para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias
Bioing. Analía S. Cherniz
Modelización de Sistemas Biológicos por Computadora
03/08/2010
Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía
Organización
1 IntroducciónEcuaciones diferenciales ordinarias (EDOs)Errores
2 Aproximación mediante Expansión en Series de Taylor
3 Fórmulas de Integración Abiertas o CerradasMétodos de Paso SimpleMétodos de Paso MúltipleMétodos de Predictor-Corrector
4 Conclusiones
5 Bibliografía
A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/2010 2 / 33
Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía
Organización
1 IntroducciónEcuaciones diferenciales ordinarias (EDOs)Errores
2 Aproximación mediante Expansión en Series de Taylor
3 Fórmulas de Integración Abiertas o CerradasMétodos de Paso SimpleMétodos de Paso MúltipleMétodos de Predictor-Corrector
4 Conclusiones
5 Bibliografía
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Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía
Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs)
Introducción
Frecuentemente sucede que no es posible hallar la solución analítica de lasecuaciones diferenciales planteadas en los modelos. En estos casos losmétodos numéricos permiten resolver el modelo alcanzando una soluciónaproximada del mismo.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
f
(t, y,
dy
dt,d2y
dt2, · · · , d
ny
dtn
)= 0
Solución única: n condiciones
Condiciones en t = t0: Problema de condiciones iniciales
Condiciones en más de un valor de t: Problema de condiciones decontorno
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Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía
Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs)
Introducción
Frecuentemente sucede que no es posible hallar la solución analítica de lasecuaciones diferenciales planteadas en los modelos. En estos casos losmétodos numéricos permiten resolver el modelo alcanzando una soluciónaproximada del mismo.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
f
(t, y,
dy
dt,d2y
dt2, · · · , d
ny
dtn
)= 0
Solución única: n condiciones
Condiciones en t = t0: Problema de condiciones iniciales
Condiciones en más de un valor de t: Problema de condiciones decontorno
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Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía
Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs)
Introducción
Clasi�cación según la cantidad de puntos evaluados
Métodos de Paso Simple
Métodos de Paso Múltiple
Clasi�cación según los puntos evaluados
Métodos Explícitos
Métodos Implícitos
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Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía
Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs)
Introducción
Clasi�cación según la cantidad de puntos evaluados
Métodos de Paso Simple
Métodos de Paso Múltiple
Clasi�cación según los puntos evaluados
Métodos Explícitos
Métodos Implícitos
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Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía
Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs)
Introducción
Ecuacion Diferencial Ordinaria
t2d2y
dt2+ t
dy
dt+ (t2 − p2)y = 0
donde p es una constante.
Sistema de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
y1 = dydt =⇒ dy1
dt = d2ydt2
y1 − dy
dt = 0
t2 dy1
dt + ty1 + (t2 − p2)y = 0
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Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía
Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs)
Introducción
Ecuacion Diferencial Ordinaria
t2d2y
dt2+ t
dy
dt+ (t2 − p2)y = 0
donde p es una constante.
Sistema de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
y1 = dydt =⇒ dy1
dt = d2ydt2
y1 − dy
dt = 0
t2 dy1
dt + ty1 + (t2 − p2)y = 0
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Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía
Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs)
Introducción
EDO 1er orden
F
(t, y,
dy
dt
)= 0
de�nida en el intervalo [a, b]. Se puede escribir en forma explícita:
dy
dt= f(t, y)
Solución aproximada
Se divide el intervalo de variación de t en subintervalos o pasos
Se aproxima la solución verdadera y(t) en n+ 1 valores igualmenteespaciados de t: t0, t1, · · · , tn.
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Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía
Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs)
Introducción
EDO 1er orden
F
(t, y,
dy
dt
)= 0
de�nida en el intervalo [a, b]. Se puede escribir en forma explícita:
dy
dt= f(t, y)
Solución aproximada
Se divide el intervalo de variación de t en subintervalos o pasos
Se aproxima la solución verdadera y(t) en n+ 1 valores igualmenteespaciados de t: t0, t1, · · · , tn.
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Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía
Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs)
Introducción
Solución aproximada
Tamaño de paso:
h =b− an
Valores de t:ti = t0 + ih; i = 0, 1, 2, · · · , n
La solución se da en forma tabular para n+ 1 valores discretos de t.
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Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía
Errores
Errores
Error de discretización o de truncamiento
Si y(ti) es la solución verdadera en los puntos ti y yi la aproximacióncalculada. El error de truncamiento es:
|εi| = |yi − y(ti)|
El error de truncamiento queda determinado únicamente por el particularprocedimiento o método numérico utilizado, esto es, por la naturaleza delas aproximaciones efectuadas en el método.
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Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía
Errores
Errores
Otros errores
Errores de redondeo
Errores asociados a la formulación del problema
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Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía
Series de Taylor
Organización
1 IntroducciónEcuaciones diferenciales ordinarias (EDOs)Errores
2 Aproximación mediante Expansión en Series de Taylor
3 Fórmulas de Integración Abiertas o CerradasMétodos de Paso SimpleMétodos de Paso MúltipleMétodos de Predictor-Corrector
4 Conclusiones
5 Bibliografía
A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/2010 11 / 33
Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía
Series de Taylor
Series de Taylor
La serie de Taylor de una función f(x) in�nitamente derivable (real ocompleja), de�nida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se de�ne como lasiguiente suma:
f(x) =∞∑
n=0
f (n)(a)n!
(x− a)n
Se puede expresar la solución y(t) alrededor del punto ti como unaexpansión en series de Taylor:
y(ti +h) = y(ti)+hy′(ti)+h2
2y′′(ti)+ ...+
hn
n!y(n)(ti)+
h(n+1)
(n+ 1)!y(n+1)(ε)
A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/2010 12 / 33
Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía
Series de Taylor
Aproximación por Series de Taylor
Dado que y′ = f(t, y), utilizando la regla de la cadena obtenemos:
y′′ = f ′(t, y) = ft(t, y) + fy(t, y)y′ = ft(t, y) + fy(t, y)f(t, y)
Ecuación
yi+1 = yi + y′ih+ · · ·+y
(n)i
n!hn
donde
y(k)(t) =d(k−1)f(t, y(t))
dtk−1
A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/2010 13 / 33
Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía
Series de Taylor
Aproximación por Series de Taylor
Dado que y′ = f(t, y), utilizando la regla de la cadena obtenemos:
y′′ = f ′(t, y) = ft(t, y) + fy(t, y)y′ = ft(t, y) + fy(t, y)f(t, y)
Ecuación
yi+1 = yi + y′ih+ · · ·+y
(n)i
n!hn
donde
y(k)(t) =d(k−1)f(t, y(t))
dtk−1
A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/2010 13 / 33
Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía
Series de Taylor
Aproximación por Series de Taylor
Ejemplo dy
dt− ky = 0
y(t0) = y0
donde k es una constante.
A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/2010 14 / 33
Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía
Series de Taylor
Aproximación por Series de Taylor
Características
No se utiliza si f no es sencilla de derivar.
La expansión en series de Taylor es válida si ti+1 ≈ ti.
A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/2010 15 / 33
Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía
Métodos de Paso Simple
Organización
1 IntroducciónEcuaciones diferenciales ordinarias (EDOs)Errores
2 Aproximación mediante Expansión en Series de Taylor
3 Fórmulas de Integración Abiertas o CerradasMétodos de Paso SimpleMétodos de Paso MúltipleMétodos de Predictor-Corrector
4 Conclusiones
5 Bibliografía
A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/2010 16 / 33
Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía
Métodos de Paso Simple
Métodos de Paso Simple
Método de Euler
Método de Runge-Kutta
Son métodos explícitos que permiten obtner yi+1 teniendo solamente laecuación diferencial y la información en el punto ti.
Sólo requieren de la condición inicial para arrancarlos.
Permiten el avance paso a paso en el tiempo sin necesidad de recurrira procedimientos iterativos.
A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/2010 17 / 33
Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía
Métodos de Paso Simple
Método de Euler
Ecuación
yi+1 = yi + hf(ti, yi)
Interpretación geométrica
A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/2010 18 / 33
Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía
Métodos de Paso Simple
Método de Euler
Características principales
Método de 1er orden, con error global de aproximación O(h).
Si el paso de integración que se utiliza no es lo su�cientementepequeño, el método podría tornarse inestable.
Se utiliza comúnmente como método iniciador.
A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/2010 19 / 33
Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía
Métodos de Paso Simple
Método de Runge-Kutta
Ecuación
yi+1 = yi +(K1 + 2K2 + 2K3 +K4
6
)K1 = hf(ti, yi)
K2 = hf(ti +h
2, yi +
K1
2)
K3 = hf(ti +h
2, yi +
K2
2)
K4 = hf(ti + h, yi +K3)
A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/2010 20 / 33
Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía
Métodos de Paso Simple
Método de Runge-Kutta
Características
No es neceario evaluar derivadas.
La desventaja es que es necesario evaluar la función f en variospuntos.
Es un método de 4to órden, con un error de aproximación O(h4).
A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/2010 21 / 33
Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía
Métodos de Paso Múltiple
Organización
1 IntroducciónEcuaciones diferenciales ordinarias (EDOs)Errores
2 Aproximación mediante Expansión en Series de Taylor
3 Fórmulas de Integración Abiertas o CerradasMétodos de Paso SimpleMétodos de Paso MúltipleMétodos de Predictor-Corrector
4 Conclusiones
5 Bibliografía
A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/2010 22 / 33
Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía
Métodos de Paso Múltiple
Métodos de Paso Múltiple
Características
Además de yi y/o fi, requieren evaluar y o f en otros valores de t,fuera del intervalo de integración considerado, [ti, ti+1].
La desventaja es que requieren más información de la quenormalmente se dispone para arrancar el procedimiento.
Debe utilizarse algún otro método para arrancar
A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/2010 23 / 33
Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía
Métodos de Paso Múltiple
Métodos de Paso Múltiple
Midpoint
yi+1 = yi−1 + 2hf(ti, yi)
La primera aproximación se realiza por Euler.
El orden del método es O(h2).
A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/2010 24 / 33
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Métodos de Predictor-Corrector
Organización
1 IntroducciónEcuaciones diferenciales ordinarias (EDOs)Errores
2 Aproximación mediante Expansión en Series de Taylor
3 Fórmulas de Integración Abiertas o CerradasMétodos de Paso SimpleMétodos de Paso MúltipleMétodos de Predictor-Corrector
4 Conclusiones
5 Bibliografía
A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/2010 25 / 33
Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía
Métodos de Predictor-Corrector
Métodos de Predictor-Corrector
Método de Milne
Método de Adams Moulton
A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/2010 26 / 33
Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía
Métodos de Predictor-Corrector
Método de Milne
pi+1 = yi−3 +4h3
(2f(ti, yi)− f(ti−1, yi−1) + 2f(ti−2, yi−2))
ci+1 = yi−1 +h
3(f(ti+1, pi+1) + 4f(ti, yi) + f(ti−1, yi−1))
yi+1 = ci+1
A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/2010 27 / 33
Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía
Métodos de Predictor-Corrector
Método de Adams Moulton
pi+1 = yi +h
24(55f(ti, yi)− 59f(ti−1, yi−1) + 37f(ti−2, yi−2)
−9f(ti−3, yi−3))
ci+1 = yi+h
24(9f(ti+1, pi+1) + 19f(ti, yi)− f(ti−1, yi−1) + f(ti−2, yi−2))
yi+1 = ci+1
A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/2010 28 / 33
Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía
Organización
1 IntroducciónEcuaciones diferenciales ordinarias (EDOs)Errores
2 Aproximación mediante Expansión en Series de Taylor
3 Fórmulas de Integración Abiertas o CerradasMétodos de Paso SimpleMétodos de Paso MúltipleMétodos de Predictor-Corrector
4 Conclusiones
5 Bibliografía
A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/2010 29 / 33
Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía
Conclusiones
Conclusiones
Los métodos numéricos:
permiten resolver el modelo alcanzando una solución aproximada delmismo.
tienen errores asociados a su órden y al paso utilizado.
A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/2010 30 / 33
Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía
Organización
1 IntroducciónEcuaciones diferenciales ordinarias (EDOs)Errores
2 Aproximación mediante Expansión en Series de Taylor
3 Fórmulas de Integración Abiertas o CerradasMétodos de Paso SimpleMétodos de Paso MúltipleMétodos de Predictor-Corrector
4 Conclusiones
5 Bibliografía
A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/2010 31 / 33
Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía
Bibliografía
Bibliografía
Nicolás J. Scenna y Alejandro S. M. Santa Cruz. Capítulo XIII.
Métodos Numéricos Aproximación para la Solución de Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias. ISBN: 950-42-0022-2. 1999
José Díaz Medina. Capítulo 8. Ecuaciones diferenciales ordinarias.Departament de Física Atómica, Molecular i Nuclear Facultat deFísica, Universitat de Valéncia.
Francisco M. Gonzalez-Longatt. Comparación de Métodos Numéricos
para la Solución Ecuación Diferencial de 1er Orden.
A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/2010 32 / 33
Introducción Aproximación por Series de Taylor Fórmulas de Integración Conclusiones Bibliografía
Bibliografía
Métodos numéricos:
Aproximación para la solución de
ecuaciones diferenciales ordinarias
Modelización de Sistemas Biológicos por Computadora
A. Cherniz Métodos numéricos 03/08/2010 33 / 33