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Solución Junio 2014
OPCIÓN A E1.- Discutir, y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales según los valores del
parámetro m :
+=+=+=+
122
1
mymxmmyx
ymx(2,5 puntos)
La condición fundamental para que sea compatible es que el determinante de los coeficientes ampliados sea nulo, una vez establecida esa condición analizaremos si es compatible determinado o indeterminado. Si no se anula el sistema es incompatible
( ) ( ) ( ) ( )
( ) { } ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )λλ ,1,11mindet
1/001
000011
211
221111
1
2/3/0/11010/
1121112
111
21220110
111
1221
111/
2
222
−=⇒⇒−=⇒=+⇒
⇒<==⇒
≡
=
=≠=⇒≠⇒−ℜ∈∀⇒=⇒=−⇒=
−=−+−−=−−−−
⋅=−+−−−=
+=
yxSoluciónyxyxadoerIndCompatibleSistema
incognitasdeNúmeroBArangArang
mSi
leIncompatibSistemaBArangBArangBAmmmBASi
mmmmm
mm
mmmmm
mmmmBA
E2.- Sea π el plano que pasa por los puntos A(1 , -1 , 1) , B(2 , 3 , 2) ,C(3 , 1 , 0) y r la recta dada por
23
16
27 +
=−+
=−
≡zyxr .
a) Calcular el ángulo que forman la recta r y el plano π . (1 punto) b) Calcular los puntos de r que distan 6 unidades del plano π . (1,5 puntos) a) Para determinar el plano π debemos de halla los vectores AB, AC y AG, siendo G el punto generador del plano, como los tres son coplanarios y este último es combinación lineal de los otros dos, el determinante de la matriz que forman es nulo y la ecuación pedida del plano.
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 05220121120161316011218121214
0122
141111
1,1,11,1,1,,1,2,21,1,10,1,3
1,4,11,1,12,3,2
=−+−≡⇒=−⋅++−−⋅⇒=−⋅−+⋅+−⋅−⇒=++−⋅−−⋅−−⋅++⋅+−⋅−
⇒=
−
−+−≡⇒
−+−=−−=−=−−=
=−−=
zyxzyxzyxyxzzyx
zyx
zyxzyxAGACAB
π
π
1
Solución Junio 2014 Continuación del Ejercicio E2 de la opción A a) Continuación.- Una recta y un plano pueden ser paralelos o pertenecer la recta al plano, en ese caso sus vectores directores son perpendiculares y su producto escalar nulo, y si no es nulo las recta y el plano se cortan en un punto.
( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( ) laresperpendicusonplanoelyrectaLasenarc
vv
vvsenvvsen
puntounenplanoyrectacorSevvvv
r
r
r
rr
⇒==
⇒=⋅
=+−+⋅+−+
=⋅
⋅==
⇒≠=++=−⋅−=⋅⇒
−=−=
º901
199
9
212212
9,
tan094142,1,22,1,22,1,22,1,2
222222
α
απ
π
π
ππ
b) Sean los puntos P y Q
( ) ( ) ( )( )
( )
( )( )( )
( )
−−⇒
−⋅+−=−−−=−⋅+=
⇒−=⇒−=⇒−=+
−−⇒
⋅+−=−−=⋅+=
⇒=⇒=⇒=+
⇒±=−+−+++
⇒±=+−+
−+−⋅+−−−+⋅⇒
+−=−−=
+=≡
9,3,1323
36327
32791899
1,7,9123
16127
1991899
63
54664146212
52326272
236
27
222
Pzy
xQ
Pzy
xP
zyx
r
λλλ
λλλ
λλλλλλ
λλλ
E3.- Hallar la función polinómica de grado 3 sabiendo que su gráfica pasa por el punto P(1 , 0), que tiene por tangente en el punto de abscisa x = 0 la recta de ecuación y = 2x + 1, y que su integral entre 0 y 1 vale 3. (2,5 puntos)
( ) ( )( )
( )( )
( ) [ ] [ ] [ ] [ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 1221242432121933
1243
31243
112
4331134
30101013
014
322
34312
3030112110122020320'
1100011020
23'
23
223344
1
0
10
210
210
310
423
23
2
23
223
+++−=⇒−=⇒−=+⇒=⇒
=−−=+
⇒
−=+=+
⇒=+
⇒=+++⇒=−+−+−⋅+−⋅
=+⋅+⋅+⋅⇒=+++
−=+⇒=++⇒=+⋅+⋅+⋅⇒==⇒=+⋅+⋅⇒==
=⇒=+⋅+⋅+⋅⇒=+⋅=
++=⇒+++=
∫
xxxxfaabba
ba
bababababa
xxxbxadxxbxax
bababafccbafm
ddcbaf
cbxaxxfdcxbxaxxfesfunciónLa
2
Solución Junio 2014 E4.- Sea la función ( ) 2xexf −= . Calcular sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, puntos de inflexión y asíntotas. Esbozar su gráfica. (2,5 puntos)
( ) ( )
ℜ∈∀⇒>>
ℜ∈∀⇒<−⇒>−⇒>⇒⇒−=
−
−−
xex
xxexfCrecientexexf
x
xx
00
02020'2'
2
22
∞− 0 ∞ -2 < 0 ( - ) ( - ) x > 0 ( - ) ( + )
2xe− > 0 ( + ) ( + )
Solución ( + ) ( - ) Creciente 0/ <ℜ∈∀ xx Decreciente 0/ >ℜ∈∀ xx
Máximo relativo en ( ) 100 002
===⇒= − eefx De creciente pasa a decreciente
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )
( )( )
−=−>⇒−>⇒>+
=<⇒<⇒−>−⇒>−
ℜ∈∀⇒>ℜ∈∀⇒<−
⇒>+−−
⇒>−−⇒>⇒⇒−−=⋅−+−=
−
−
−−−−
22
2112021
22
211212021
002
021212
02120''21222''
2
2
2222 22
xxx
xxxx
xex
xxe
xexfConcavidadxexexexf
x
x
xxxx
∞− 22
− 22 ∞
2 < 0 ( - ) ( - ) ( - ) 2xe− > 0 ( + ) ( + ) ( + )
x <22
( + )
( + )
( - )
x >22
−
( - )
( + )
( + )
2 < 0 ( + ) ( - ) ( + )
Concavidad
>∪
−<ℜ∈∀
22
22/ xxx Convexidad
22
22/ >>−ℜ∈∀ xx
Punto de inflexión ee
eefx 1122
22
21
42
22
2
====
−⇒−=
−
−−
Punto de inflexión ee
eefx 1122
22
21
42
22
2
====
⇒=
−
−
3
Solución Junio 2014 Continuación del Ejercicio E4 de la opción A
( )
( )
( )
( )−∞→⇒=
∞−=
−=
−==
∞→⇒=∞
====
−∞→=⇒=∞
====
∞→=⇒=∞
==
⇒⇒=⇒=
∞→∞→−∞→
∞→∞→∞→
∞→−∞→−∞→
∞→
xcuandooblicuaasíntotaexisteNoxex
exxfm
xcuandooblicuaasíntotaexisteNoxex
exxfm
oblicuasAsíntotas
xcuandoyhorizontalasíntotaExisteeee
y
xcuandoyhorizontalasíntotaExistee
y
eshorizontalAsíntotas
verticalasíntotaexisteNosoluciónexisteNoee
xf
verticalesAsíntotas
xx
x
xx
xx
x
xx
xxxxxx
xx
xx
011lim
1
limlim
011lim
1
limlim
,0,011lim1lim1lim
,0,011lim
01
2
2
2
2
222
2
2
2
Y
X
4
Solución Junio 2014
OPCIÓN B
E1.- Sea la matriz .
++++++
=654321
aaaaaaaaa
A
a) Discutir su rango en función de los valores de a. (1,5 puntos) a
b) Para a = 1, resolver la ecuación matricial
=
000
XAt , siendo At la matriz traspuesta de A. (1 punto)
( ) 200022021
44022021
654321
654321
)
=⇒ℜ∈∀⇒
≡
≡
≡
++++++
Arangaaa
aaa
aaaaaaaaa
a
⇒
=++=++=++
⇒
=
⋅
=
0753032
0
000
753642111
)
zyxzyx
zyx
zyx
A
b
t
Es una ecuación homogénea y como su rango es 2, igual que el de A, menor que el número de incógnitas el sistema es Compatible Indeterminado.
−=
⇒⇒=
⇒=+−⇒−=⇒=+⇒
≡
≡
≡
λλ
λ2
02202000
000210111
000
000420111
000
420420111
000
753642111
)
zyx
Soluciónzx
zzxzyzy
b
5
Solución Junio 2014 E2.- Calcular la recta contenida en el plano 31 =++≡ zyxπ , paralela al plano 02 =≡ xπ , y que pasa
por el punto simétrico de B(-1 , 1 , 1) respecto de 2π . (2,5 puntos) Para calcular el punto B’ simétrico de B respecto a 2π , hallaremos una recta s que contenga a B y sea
perpendicular a 2π (el vector director de este plano), el punto Q intersección de la recta y el plano es el punto medio de B y B’. Además un vector director que tiene que ser perpendicular a los vectores directores de los dos planos, ya que de uno, es paralelo y su vector director perpendicular al del plano y por estar contenida en 1π es perpendicular a su vector director. Por lo tanto el vector director de la recta r es el producto vectorial de los dos vectores directores de los planos.
( ) ( )
( )
( )( )
( )
−=+==
≡⇒−=⇒−==∧=⇒
≡
≡
⇒
=⇒=+⇒+
=
=⇒=+⇒+
=
=⇒=+−⇒+−
=
⇒⇒
==+−=
⇒=⇒=+−⇒
==+−=
≡⇒≡
µµ
λλλ
πππ
π
π
11
11,1,0
001111
0,0,11,1,1
1,1,1'
1212
11
1212
11
1012
10
1,1,011
11101
11
10,0,1
21
2
1
2
'''
'''
'''
zy
xrvkj
kjivvv
vv
B
zzz
yyy
xxx
Qzy
xQ
zy
xsv
rr
BBB
BBB
BBB
E3.- Sea la función ( ) xxf 2+= a) Hallar su dominio y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. (0,5 puntos) b) Calcular el punto de la gráfica de más cercano al punto (4 , 0). (2 puntos)
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( )=
+−−−+−
=+−
−+−
−−+−
==
+=⇒=⇒=−⇒=⇒+−
−=
+−
−==⇒+−=+−+=−+−=
⇒>ℜ∈∀⇒⇒>⇒>⇒⇒=+=
≥ℜ∈∀=⇒≥
1642164
164
21642
42164''
2222020'164
2'
164242'1641684402
)
0/00'12
12'
0/0)
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2222
xxxxx
xx
xxx
xxx
dxxddd
fxxxdxx
xxd
xxx
dxxdddxxxxxxxxd
b
ntodecrecimiehayNo
xxCrecientexxfCrecientexx
xf
xxfDomxa
6
Solución Junio 2014 Continuación del Ejercicio E3 de la opción A
( ) ( )
( )22,2
011212
16242122''
16412
16444164''
)
222
22
Punto
Mínimodxxxx
xxxxxd
b
⇒>==+⋅−
=⇒+−
=+−
−+−+−=
E4.- Sea la función ( ) ( )21 x
x
eexf+
= .
a) Calcular un punto de su gráfica tal que la recta tangente en dicho punto sea paralela al eje OX. Escribe la ecuación de la recta tangente. (1 punto) b) Calcular el área limitada por la gráfica de la función, el eje y las rectas x = 0 y x = ln 5. (1,5 puntos)
( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( ) 01404100
41tan.
41
10
0011lnln1010101
10'
11
112
121
1121'
)
20
0
3
33
2
3
22
3
2
4
2
=−⇒=−⇒−⋅=−⇒⇒=+
=
=⇒=⋅⇒=⇒=⇒=−⇒=−⇒=+
−⇒==
⇒+
−=
+
−=
+
−+=
+
−+=
+
+−+=
yyxygEcuace
ef
xxexeeeee
eexfm
eee
eee
eeee
eeee
eeeeeexf
a
xxxx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xxx
x
xxx
x
xxxxx
( )
( )
( )
( )2
05ln
5ln
0
5ln
02
lnln
112222
2
31
613
61
21
21
61
111
511
11
11
11
1
lnlnlnlnlnlnln
1
111
121
1
0lnln001
0
)
ueee
dxe
eA
KCkCekCeCeC
dtdxete
Ket
ttdtttdtdx
eeA
soluciónSinexee
eyOXconcortedePuntos
b
xx
x
KK
xx
xx
x
x
x
x
=−
=−=
−−=
+−
+−=
+−
+−=
+
−=+
=
=⇒=⇒⋅=⇒=⇒=
=⇒=+
++
−=−=−=+−
=⇒=+
=
⇒=⇒=⇒=+
⇒=⇒
∫
∫∫∫ −+−−
7
Solución Septiembre 2014
OPCIÓN A
E1.- a) Resolver la siguiente ecuación matricial X A = B - C siendo
=
1325
A ,
−
=23
12B y
−=
2111
C (1,5 puntos
b) Sean 321, FyFF las filas de una matriz cuadrada de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcular
razonadamente el valor del determinante de la matriz cuyas filas son respectivamente 313 FF − , 2F y 32F (1 punto)
( ) ( ) ( )
( )
30025623
22322323)
241485
5321
4221
5321
2111
2312
5321
5321
11
5321
123510165
1325
)
3231
3233213233213231
1
11
1111
=⋅−⋅=−
⋅−⋅⋅=−=−
−
−=
−
−⋅
−
=
−
−⋅
−−
−
=⇒
−
−=
−
−⋅
−=
⇒
−
−=⇒
=⇒⋅=⇒⇒≠−=−==
⋅−=⇒⋅−=⇒⋅−=
−
−−
−−−−
FFFF
FFFFFFFFFFFFFFFFb
X
XA
AadjAAadjA
AAExisteA
ACBXACBXIACBXAAa
ttt
E2.- Sea el punto A(1 , 1 , 3) y la recta de ecuación
==+−
≡2
02zyx
r
a) Calcular el plano perpendicular a la recta r que pase por A. (1 punto) b) Calcular la distancia del punto A a la recta r. (1,5 puntos) a) El planoπ tiene como vector director el de la recta perpendicular al vector AG, siendo G el punto genérico del plano, como ambos vectores son perpendiculares su producto escalar es nulo y la ecuación pedida del plano
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
02011
03,1,10,1,103,1,13,1,1,,
0,1,1
2
22
202
=−+≡⇒=−+−
⇒=−−−⋅⇒=⋅⇒⊥⇒
−−−=−===
⇒
==+=
≡⇒+=⇒
==+−
≡
yxyx
zyxAGvAGvzyxzyxAG
vv
zy
xrxy
zyx
r
rrr
π
λλ
π
1
Solución Septiembre 2014 Continuación del problema E.2 de la opción A b) Hallando el punto de intersección P de la recta r y el planoπ (hallado en el apartado anterior), el módulo del vector AP es la distancia buscada
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) uAPrAd
APzy
xP
zy
xr
3111,
1,1,13,1,12,0,220
02002022
2
2
222 =−+−+==
−−=−=⇒
==+=
⇒=⇒=⇒=−++⇒
==+=
≡ λλλλλλ
E3.- Sea la función f(x) = x2e-x. Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas. Esbozar su gráfica. (2,5 puntos)
( ) ( ) ( ) ( )
<⇒−>−⇒>−ℜ∈∀⇒>
>
⇒>−⇒>⇒⇒−=−=
−
−−−−
22020
0020'22' 2
xxxxe
xxexxfCrecientexexexexxf
x
xxxx
∞− 0 2 ∞ x > 0 ( - ) ( + ) ( + ) e-x> 0 ( + ) ( + ) ( + ) x < 2 ( + ) ( + ) ( - )
Solución ( - ) ( + ) ( - ) Decrecimiento ( ) ( )20/ >∪<ℜ∈∀ xxx Crecimiento 20/ <<ℜ∈∀ xx Mínimo relativo en ( ) 010000 02 =⋅==⇒= −efx de decrecimiento pasa a crecimiento
Máximo relativo en ( ) 222 4222
eefx ==⇒= − de crecimiento pasa a decrecimiento
( ) ( ) ( ) [ ] ( )( )
( ) ( ) ( )( )
−>⇒>+−ℜ∈∀⇒>+>⇒>−−
+−−−⇒>+−⇒>⇒⇒
−=+=
⇒±
=⋅
±=⇒≥=−=⋅⋅−−=∆⇒=+−
+−=−+−−=−−−−=
−
−−
−−−−−
220220
22022
22220240''
2222
2224
1284088162144024
242222''
2
22
22
xxxexx
xxexxexfConcavidad
xxxxx
xxexxxxeexxexxexf
x
xx
xxxxx
∞− 22− 22 + ∞
22−>x ( - ) ( + ) ( + )
22+>x ( - ) ( - ) ( + )
e-x> 0 ( + ) ( + ) ( + ) Solución ( + ) ( - ) ( + )
Concavidad ( ) ( )2222/ +>∪−<ℜ∈∀ xxx
Convexidad 2222/ +<<−ℜ∈∀ xx Continuación del problema E.3 de la opción A
2
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2014 Juan Carlos Alonso Gianonatti
Punto de inflexión en ( ) ( ) ( )22222022 −−−=⇒−= efx
Punto de inflexión en ( ) ( ) ( )22222022 +−+=⇒+= efx
E4.- a) Hallar el punto en el que la recta tangente a la gráfica de la función ( ) 42 +−= xxxf es paralela a la recta de ecuación 75 −= xy (1 punto)
b) Calcular el área delimitada por la parábola de ecuación ( ) 22xxf = y la recta 42 += xy (1’5 puntos)
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( ) [ ] [ ] [ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ] 2
332221
321
2
1
21
222
1
2
2
2222
2
93
18123183212414
123212412
3124
212242
0044020
0020201
12
31
22
31
129109812141
020220422422)
1043333625125'12')
uA
xxxdxxdxxA
fyy
f
x
xx
xxxxxxxxfuncionesentrecortedePuntob
fxxxxfxxfa
=−+=−−⋅−+⋅+−=
−−⋅−−−⋅+−−=⋅⋅−⋅+⋅⋅=−+=
>⇒
=+⋅==⋅=
⇒<<−
−=−
=
=+
=⇒
⋅±
=⇒≥=+=−⋅⋅−−=∆
⇒=−−⇒=−−⇒=−−⇒+=⇒
=+−=⇒=⇒=⇒=−⇒=⇒−=
−−−
−−
∫∫
Y
X
3
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2014 Juan Carlos Alonso Gianonatti
OPCIÓN B
E.1.- Sea el sistema de ecuaciones lineales
−=+−=−
mmyxymx
211
a) Discutir el sistema según los valores de m. (1,5 puntos) b) Hallar los valores de m para los que el sistema tenga alguna solución en la que x = 2. (1 punto)
mmyxymx
211−=+−=−
( ) ( )
{ } ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )1,,11mindet
1/01
0011
11
1111
1
2/121
0011
31
1111
1
min201,1
101101
01101011
1)
22
−=⇒⇒−=⇒=−⇒
⇒<==⇒
−≡
−−
−
=
⇒=≠=⇒
−−≡
−−−−
−=
⇒==⇒≠⇒−−ℜ∈∀
−=⇒=+=⇒=−
⇒=+−⇒=−⇒=⇒−=−
−=
λλyxSoluciónxyyxadoerInCompatibleSistema
incógnitasdeNúmeroBArangArang
mSi
leIncompatibSistemaBArangArang
mSi
adoDeterCompatibleSistemaincógnitasdeNúmeroArangAm
mmmm
mmmASimm
mA
a
( )
( )
( ) ( ) ( )1,212,2,1
min312931430332
21222121212212
12)
22
2
=−=⇒⇒=
⇒−=−=⋅⋅−−=∆⇒=+−
⇒−=−+−⇒−=−+−⇒−=⇒
−=+−=−
yxSoluciónmCuando
adoDeterCompatiblecomosolucionhayNomm
mmmmmmmymmy
yma
4
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2014 Juan Carlos Alonso Gianonatti
E.2.- a) Dados el punto A(3 , 5 , 1) la recta 122
1+=+=
−≡ zyxr y el plano 0523 =++−≡ zyxπ ,
determinar el punto B de π tal que la recta AB sea paralela a la recta r. (1,5 puntos)
b) Hallar las coordenadas de un vector de módulo 1 que sea perpendicular a los vectores PQ y PR siendo P(1 , 3 , -1) , Q(2 , 0 , 1) y R(-1 , 1 , 0). (1 punto) a) El punto S que se busca es el de intersección de la recta s que contiene el punto A y tiene como vector director el de la recta r , y el plano π
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )
( )0,4,11115123
15505505121069
05152233sec15
231,1,2
Qzy
xQ
ciónInterzy
xsvv rs
⇒
−+=−+=−⋅+=
⇒−=⇒−=⇒=+⇒=+++−−+
⇒=++++⋅−+⋅⇒⇒
+=+=+=
≡⇒==
λλλλλλ
λλλλλλ
b
) El vector perpendicular a PQ y PR , es el vector resultante del cálculo del producto vectorial de ambos vectores, después lo normalizaremos dividiendo sus componentes entre el valor de su modulo
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
=∧⇒++=∧
==++=∧⇒++=+−+++=∧
⇒−
−=∧⇒
−≡−−=−−−=−=−−=
772,
772,
772
724
724
724
724844444422326
211231
2,1,12,2,21,3,11,1,12,3,11,3,11,0,2
222
PRPQkjiPRPQ
PRPQkjijikkjiPRPQ
kjiPRPQ
PRPQ
5
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2014 Juan Carlos Alonso Gianonatti E.3.- Se desea construir un depósito de chapa (en forma de prisma recto, abierto y de base cuadrada) con una capacidad de 32.000 litros. ¿Cuáles han de ser las dimensiones del depósito para que se precise la menor cantidad de chapa posible en su construcción? 32.000 (2,5 puntos) Siendo B el lado de la base y H la altura del prisma
( )
( )
( )
===
=⇒⇒>
+⋅==
⇒+
=+−
=−−
==
==⇒==⇒=⇒=−
⇒=−
⇒=⇒−
=−−
=+−
==
⇒+
=+=⋅+=⇒
+=
=⇒=
dmH
dmBMínimo
dHBdA
BB
BBB
BBBBB
dHBdA
BBBB
BBA
BB
BBB
BBBB
dHdBA
BB
BB
BBBA
BHBAB
HdmHB
20160032000
4032000
400
4025600040440''
256000425600026128000226''
4064000640002
128000128000201280002
012800020'128000212800031280003'
1280001280003200044
3200032000
23
3
2
2
3
3
3
33
4
322
2
2
3333
2
3
2
3
2
33
2
32
32
22
2
232
E4.- a) Enunciar e interpretar geométricamente el Teorema de Rolle. (1 punto) b) Hallar la primitiva de xx ln2 cuya gráfica pasa por el punto (1 , 2) (1,5 puntos) a) Teorema de Rolle Sea f(x) una función continua en [a , b], derivable en (a , b) y que verifica que f(a) = f(b); entonces existe, al menos, un punto ( )b,ac∈ tal que f’(c) = 0
Demostración gráfica
En el siguiente gráfico se observan las tres condiciones: la función es continua en el intervalo cerrado [a,b], es derivable y los valores que toma la función en los puntos a y b son iguales, es decir, f(a) = f(b). Existe, por lo tanto, al menos un punto c que pertenece al intervalo abierto (a,b) en el cual la derivada de la función es igual a cero. Vale observar que c es distinto de a y de b. No debemos confundir c con f(c), que sí puede ser igual a f(a) y f(b).
Continuación del problema E.4 de la opción B
6
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2014 Juan Carlos Alonso Gianonatti En la ilustración se ve una función constante, pero el teorema no sólo se cumple en este caso. Se pueden dar tres casos en los que f(c) es distinto de f(a) y f(b), a saber:
Caso 1. El punto máximo es igual a f(a) y f(b) y el punto mínimo es distinto de ambos, lo cual implica que la curva es cóncava hacia arriba. El punto mínimo es m = f(c), y la derivada de la función en este punto es 0.
Caso 2. El punto mínimo es igual a f(a) y f(b) y el punto máximo es distinto de ambos, lo cual implica que la curva es cóncava hacia abajo (o convexa). El punto máximo es M = f(c), y la derivada de la función en este punto es 0.
Caso 3. Tanto el punto mínimo como el punto máximo son distintos a f(a) y f(b). Esto significa que dentro del intervalo cerrado [a, b] la función alcanza un punto máximo M = f(c2) mayor al valor de la función en los extremos a y b y un punto mínimo m = f(c1) menor a los mismos. Tanto en el punto máximo como en el punto mínimo, la derivada de la función es nula. Es decir, f '(c1) = 0 y f '(c2) = 0.
Continuación del problema E.4 de la opción B
7
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2014 Juan Carlos Alonso Gianonatti
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ]191ln91
9191ln
91
9191ln3
91
919
9122
912
3101
312
311ln1
3121
31ln
31
31ln
311
31ln
31ln
31
1ln
31
31ln
31
31ln
311
31ln
31ln
)
33333
3
323332
322
3323332
+−=+−=+−⋅=
=+=⇒=+−⇒=+
−⋅⋅⇒=+
−⇒=
+
−=⋅−=⋅−==
==⇒=
=⇒=
⋅−=⋅−=⋅−==
∫∫∫
∫
∫∫∫
xxxxxxxF
KKKKF
Kxxdxxxxdxx
xxxdxxxxF
xdxxvdvdxx
dxx
duxu
xxxdxxxxdxx
xxxdxxxxF
b
8
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti
1
OPCIÓN A
E1.- Sea las matrices
=
−−=
=1
2
1
4
1
3
,1
2
CyB
a
A
a) Calcular, cuando sea posible, C . B t , B t . C y B . C (0’75 puntos) b) Hallar a para que el sistema CByAx ⋅=⋅+⋅ 4 de tres ecuaciones y dos incógnitas x e y sea compatible determinado, y resolverlo para ese valor de a (1’75 puntos)
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
⋅
==
⋅−=⋅
−−−
==−⋅
=⋅
⇒−=
1313.
51331
1
2
1
413
413
826
413
3113413
1
2
1
413
)
xotropordomultiplicaxesrmultiplicapuedesenoCB
xotropordomultiplicaxesCB
xotropordomultiplicaxesBC
B
a
t
t
t
( ) ( ) ( )
{ } ( ) ( )( ) ( )
( )
−=⇒⇒
−=⇒=
−−⇒−=⇒−=⇒
−−≡
−
−−≡
−−−
⇒⇒==⇒=⇒−=
⇒=≠=⇒≠⇒−−ℜ∈∀
−=−=⇒−=⇒=+⇒=−++−+−
⇒=−−=⇒=⇒===
⇒≠−=−−=−
=⇒
=−=−=+
⇒
=
−−+
⇒
⋅=
−−⋅+
⋅
5
12,
5
28,
5
1288
5
12
5
12125
0
8
12
00
11
50
12
8
12
50
11
50
4
8
4
41
11
32
min2/0/1
3/20/1
128
2828280282801264416248
0
44
811
432
/0/det2/
053211
32
44
8
432
4
8
4
4
32
1
2
1
4
4
1
3
1
2
)
yxSolución
xxyy
adoDeterCompatibleSistemaBArangArangBAa
leIncompatibSistemaBArangArangBAa
aaaaa
a
BABAincognitasdeNúmeroBArangArang
A
yax
yx
yx
y
y
y
ax
x
x
y
a
x
b
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti
2
E2.- Sean los puntos A(1 , 2 , -1) , P(0 , 0 , 5) , Q(1 , 0 , 4) y R(0 , 1 , 6) a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A, es paralela al plano que pasa por los puntos P, Q y R, y tal que la primera componente de su vector es doble que la segunda (1’75 puntos) b) Hallar la distancia del punto A al plano que pasa por P, Q y R (0’75 puntos) a) El vector director de la recta r es perpendicular al vector director del plano π , que contiene a los puntos P, Q y R, siendo este el producto vectorial de los vectores PQ y PR y, por ello, su producto escalar es nulo
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
( )( )
( ) ( )
( )[ ] ( ) ( )
−−=+=
+=≡⇒−≡−−=−−⋅=⇒−=⇒−=
⇒=+⇒=+−⇒=⋅−⇒=⋅⇒⊥⇒
=−=
⇒−=⇒−+=−=×=⇒
=−=−=−=
λλλ
πππ
ππ
1
2
21
1,1,21,1,21,1,1211
0101201,,21,1,101,,2
1,1,1
1,1,1
110
1011,1,05,0,06,1,0
1,0,15,0,04,0,1
z
y
x
rvaa
aaaaavvvvaav
v
vjik
kji
PRPQvPR
PQ
r
rr
r
b) Conocido el vector director del plano π este es perpendicular al vector PG, siendo G el punto genérico del plano siendo su producto escalar nulo y la ecuación del plano buscado. Después hallaremos la distancia pedida
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )uAd
zyx
zyxPGvPGvzyxzyxPG
v
3
37
3
7
3
7
111
5121,
05
05,,1,1,105,,5,0,0,,
1,1,1
222==
−=
++
−−+−=
=−+−≡
⇒=−⋅−⇒=⋅⇒⊥⇒
−=−=−=
π
π
πππ
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti
3
E3.- Sea la función ( )
<≤≤+=
xsixc
xsibxxaxf
1ln
10. Hallar a, b y c sabiendo que f(x) es continua en
( )∞,0 , la recta tangente a f(x) en el punto de abcisa 16
1=x es paralela a la recta y = -4x + 3 , y se cumple
( ) 21
=∫ dxxfe
(2’5 puntos)
( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
[ ] ( ) ( )
4044442
0
220121lnln2ln2
42
4
24
16
12
416
1'
0limlim1001lnlim
11lim1
1
102'
11
111
1
=⇒=+−⇒−=⇒−=⇒
−=+=−−
=⇒=−⇒=−⇒=⇒=
−=+⇒+⇒−=+⇒−=
=+⇒==⇒=⋅==
+=⋅+==⇒
<
<<+=
∫
+−
+
−
→→→
→
bbaaba
ba
ccecxcx
c
baba
ba
f
baxfxffccxf
babaxffdContinuida
xsix
c
xsibx
a
xf
ee
xxx
x
E4.- a) Estudiar el crecimiento de la función ( ) 33 23 −+= xxxf (1 punto)
b) Probar que la ecuación 033 23 =−+ xx tiene exactamente tres raíces reales (1’5 puntos)
( ) ( ) ( )
−>⇒>+>
ℜ∈∀⇒>⇒>⇒⇒+=+=
202
0
03
0'2363'
)
2
xx
x
x
xfoCrecimientxxxxxf
a
∞− - 2 0 ∞ 3 > 0 ( + ) ( + ) ( + ) x > 0 ( - ) ( + ) ( + ) x > 2 ( - ) ( - ) ( + )
Solución ( + ) ( - ) ( + ) Creciente ( ) ( )02/ >∪−<ℜ∈∀ xxx Decreciente 02/ <<−ℜ∈∀ xx b)
Sea la ( ) 33 23 −+= xxxf que es continua y derivable en toda la recta real Existen, por lo calculado en el apartado anterior, dos extremos relativos, uno en x = -2 el otro en x = 0, de la siguiente forma Máximo relativo en x = - 2 ya que de crecimiento pasa a decrecimiento Mínimo relativo en x = 0 ya que de decrecimiento pasa a crecimiento
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4
Continuación del problema E- 4 de la opción A Apoyándonos en el Teorema de Bolzano que dice que si f(x) es continua en el intervalo [a , b] , y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo [sign f(a) ≠ sign f(b)] , entonces
existe, al menos, un punto ( )b,ac∈ tal que f(c) = 0 Estudiemos los valores de la función en el entorno de sus extremos relativos, primeramente en el intervalo [-
4 , -1], entonces ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
>=−+−=−−⋅+−=−<−=−+−=−−⋅+−=−01312832321
019348643434423
23
f
f
vemos que [sign f(-4) ≠ sign f(-1)] , entonces existe, al menos, un punto ( )1,4 −−∈c tal que f(c) = 0 y
por ello 033 23 =−+ xx Analicemos si ese punto es único en el intervalo [-4 , -1] , si hubiese otro punto d que cumpliese la ecuación
033 23 =−+ xx entonces tendríamos que f(c) = f(d) = 0 , y según el Teorema de Rolle que dice que si f(x) es una función continua en [a , b], derivable en (a , b) y que verifica que f(a) = f(b) ; entonces existe, al menos, un punto ( )bae ,∈ tal que f’(e) = 0
Como ( ) ( ) ( ) 1010130330'33' 22222 −=⇒=+⇒=+⇒=+⇒=⇒+= xxxxxfxxf No habiendo solución de f’(x) = 0 no existe un punto d en donde f(d) = 0, concluyendo que el punto
( )1,4 −−∈c es único siendo la única raíz en el intervalo señalado. Estudiemos los valores de la función en el entorno de sus extremos relativos, primeramente en el intervalo [-
1 , 0], entonces ( ) ( ) ( )
( )
<−=−+=−⋅+=>=−+−=−−⋅+−=−
0330030300
0131283232123
23
f
f
vemos que [sign f(-1) ≠ sign f(0)] , entonces existe, al menos, un punto ( )0,1−∈c tal que f(d) = 0 y por
ello 033 23 =−+ xx , siendo punto único como se ha demostrado Estudiemos los valores de la función en el entorno de sus extremos relativos, primeramente en el intervalo
[0 , 4] , entonces ( )
( )
<−=−+=−⋅+=>=−+=−⋅+=0330030300
0109348643434423
23
f
f
vemos que [sign f(0) ≠ sign f(4)] , entonces existe, al menos, un punto ( )0,1−∈c tal que f(d) = 0 y por
ello 033 23 =−+ xx , siendo punto único como se ha demostrado. Como para valores de la abcisa menores de -4 la curva es creciente , y por ello no hay puntos de corte con el eje OX, pasando lo mismo para valores mayores que 4, queda demostrado que solo hay tres raíces reales
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5
OPCIÓN B
E1.- Sea la matriz
−−
=a
a
A
10
020
02
a) ¿Para qué valores de a la matriz es inversible? (0’5 puntos) b) Estudiar el rango según los valores de a (0’5 puntos)
c) Hallar a para que cumpla AA ⋅=−
4
11 (1’5 puntos)
a) Una matriz tiene inversa cuando su determinante no es nulo
{ } 1222 00000202
10
020
02−⇒≠⇒−ℜ∈∀⇒=⇒=⇒=−⇒=⇒−=−
−= AExisteAaaaaASia
a
a
A
{ } ( )
( ) 1
010
000
000
010
020
020
0
300
)
=⇒
≡
−−
=⇒=
=⇒≠⇒−ℜ∈∀
ArangAaCuando
ArangAaComo
b
2
2
244
4
1
2424
1
2
1
22
112
244
4
1
44
10
02
10
02
1
4
4
1
1
2
10
02
10
011
20
00
022
2
1
20
00
022
00
122
001
0)
2
222
1
21
=⇒
⇒
−==
⇒±=⇒=⇒=
=⇒=⇒=
=⇒−=−
−==
⇒±=⇒=⇒=
⇒
−
−
=
−
−
=
−−
−⋅
−=
⇒
−−
−=⇒
−−=⇒⋅=
≠
−
−
aSolución
a
aaa
a
a
aaa
aa
a
aaa
a
a
a
a
A
aa
aa
aa
a
aa
aA
aa
a
aa
Aadj
a
a
AAadjA
A
aCuandoc
ttt
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6
E2.- Sean los puntos P(1 , 4 , -1) , Q(0 , 3 , -2) y la recta
=−=
≡4
1
zy
xr
a) Hallar la ecuación del plano que pasa por P, por un punto R de la recta r y es perpendicular a la recta que pasa por Q y R (1’5 puntos) b) Hallar el ángulo que forman la recta r y el plano 03=−−≡ yxπ (1 punto) a) El plano α buscado contiene al vector RP, donde R es el punto genérico de la recta r que es perpendicular al vector QR, y por ello, el producto escalar, de ambos, es nulo. Una vez obtenido el punto R el vector QR hallado, vector director del plano, es perpendicular al vector PG siendo G el punto genérico del plano su producto escalar es nulo y la ecuación buscada
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )
radsenarc
vv
vvsen
v
v
b
zxzxzyxQRPGQRPG
QR
zyxzyxPGRR
QRPRQRPR
QR
PRR
z
y
x
rzy
a
r
rr
6º30
2
1
2
1
22
1
011110
0,1,11,1,0
0,1,1
1,1,0
)
001101,0,11,4,10
1,0,12,3,01,3,1
1,4,11,4,1,,1,3,11,14,1
122
04022440242022
0211002,1,11,,00
2,1,12,3,0,4,1
1,,01,4,1,4,1,4,14
1
4
)
222222
2222
πβ
β
α
λλλλλλλλ
λλλλλλλλ
λλλλλλλλλλ
λλ
π
π
π
==
=
⇒=⋅
−=
+−+⋅++
−⋅=
⋅
⋅=⇒
−==
=+≡⇒=++−⇒=⋅+−−⇒=⋅⇒⊥
⇒
=−−−=+−−=−−=
⇒−⇒−−
⇒−=⋅±−=⇒=⋅⋅−=∆⇒=++⇒=+++++
⇒=+++++⇒=++⋅+⇒=⋅⇒⊥
⇒
++=−−+=+=−−+=
⇒
+⇒
=+=
=≡⇒+=
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7
E3.- Sea la función ( )2
2
+−=
x
xxf
a) Calcular sus asíntotas y estudiar su crecimiento y decrecimiento (1 punto) b) Dibujar el recinto comprendido entre la recta y = 1, la gráfica de la función f(x), el eje OY y la recta x = 2; calcular el área de dicho recinto (1’5 puntos)
( )
( )
( )( )
( )
( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ℜ∈∀⇒⇒
ℜ∈∀⇒>+ℜ∈∀⇒>
⇒>+
⇒>⇒⇒+
=+
+−+=+
−−+=
−∞→
=−−=
∞−
∞−
∞−
=−
−−=
−
−−=
∞∞=
−−−=+
−
==
∞→
=+−=
∞+
∞−
∞=+
−=
+
−=
∞∞=
+−=+
−
==
−∞→=
=+−−−=
∞+−
∞−−
=+−
−−=
+−
−−=
∞∞=
+−−−=
+−−−=
+−=
∞→=
=+−=
∞+
∞−
=+
−=
+
−=
∞∞=
+−=
−=⇒⇒⇒−=
+−−−=−⇒−=⇒=+
=+−=
∞+
∞−
∞=+
−=
+
−=
∞∞=
+−=+
−
==
∞→∞→∞→−∞→−∞→
∞→∞→∞→∞→∞→
∞→∞→∞→∞→−∞→
∞→∞→∞→
∞→∞→∞→∞→∞→
xCrecientexx
x
xxfoCrecimient
xx
xx
x
xxxf
xcuandooblicuaasíntotaexisteNo
x
xx
xx
xxx
x
xx
x
xx
x
x
xfm
xcuandooblicuaasíntotaexisteNo
x
xx
xx
xxx
x
xx
x
xx
x
x
xfm
oblicuasAsíntotas
xcuandoyhorizontalasíntotaExistex
x
xx
xxx
x
x
x
x
x
x
xy
xcuandoyhorizontalasíntotaExistex
x
xx
xxx
x
x
xy
eshorizontalAsíntotas
xverticalAsíntotasoluciónSinfxx
x
xx
xx
xxx
x
xx
x
xx
x
x
xfm
a
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxx
xxxxx
02
04
02
40'
2
4
2
22
2
22'
001
002
1
21
21
21
lim2
2
lim2
2lim2
2
limlim
001
002
1
21
21
21
lim2
2
lim2
2lim2
2
limlim
,1,
001
012
1
21
21
21
lim2
2
lim2
2lim
2
2lim
2
2lim
,1,
101
012
1
21
21
21
lim2
2
lim2
2lim
20
4
22
222202
001
002
1
21
21
21
lim2
2
lim2
2lim2
2
limlim
)
2
2222
2
2
22
2
22
2
2
2
22
2
22
2
2
2
22
2
22
2
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti
8
Continuación del problema E3 de la opción B b)
[ ] ( )
( ) [ ] ( ) [ ] ( ) 242
4
2
2
0
20
2
0
2
0
2
0
2
0
20
2
0
2
0
2
0
2ln42
4ln42ln4ln4ln44022
2402
4
12
42
20222
24102
2
41
2
2
2
21
utt
dt
x
dxxA
x
tx
txdtdxtxxx
x
dxdxdx
xxdx
x
xdxdx
x
xdxA
⋅=⋅=−⋅=⋅=+−−=+
+−−=
−−−
=⇒==⇒=
⇒=⇒=++−
++⋅−−=⋅
+−−=⋅
+−−=⋅
+−+⋅=
∫∫
∫∫∫∫∫∫∫
Y
X
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti
9
E4.- Determinar, de entre los triángulos isósceles de perímetro 6 metros, el que tiene área máxima (2’5 puntos)
LL
B
( )( )[ ]
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
( ) equiláteroTriángulomB
mL
MáximoA
LL
L
LL
LL
LL
LL
dL
AdA
L
LL
L
dL
AdALL
L
LA
L
L
L
L
L
LLLL
LdL
dAA
LLLL
A
LLH
LLLLLLLLLLH
BHA
LLH
BLH
BLBLH
BHL
LLBBL
⇒
=−⋅==
⇒<−=⋅
⋅−=−⋅−⋅
−⋅−=
−−−⋅−=
−−−+−−⋅=
−−
−+−−⋅==
−
−⋅−
−−−⋅==⇒=⇒=−⇒=
−−
⇒=
⇒−−=
−−=
−−−−⋅=
−−−⋅−
⋅==
⇒−⋅−⋅=−⋅⋅−=
⇒−⋅=−=
⇒−=−=−+−=
+−−=
−−=
=
−−=⇒
−±=⇒−=−=⇒
+=
−=−=⇒+=
2232
2
03311
133
322322
12332''
3232
133
3232
23233
3232
232
33''
32
2322
232
33''20203
2330'
32
233
32
363
32
3233323
322
23'
33232
32332
32396
2
962
2
3624
2
424364
2
6944
2
344
2
2
324
2
4
4
4
42
322626
2
2
2
2
222222
222222222
222
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti
OPCIÓN A E1.- a) Discutir el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro m:
−=+−=+
=+−
mmzymxmyx
mzyx
23
03(2 puntos)
b) Resolverlo para m = 0 (0’5 puntos)
( )
( )
{ } ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )λ,0,0,,0000000
001011000
mindet0)
mindet
2/2
30
131140
000
236
131140280
210
131011113
1
mindet
2/000
001011000
000
001011004
000
030011013
0
min301,0
1010
0100
9829
41
2090413
3011
13)
2
22
=⇒=⇒=+⇒=⇒
⇒=
<==⇒
−−−≡
−−−−
≡
−−
−
=
<==⇒
≡
≡
−
−
=
⇒==⇒≠⇒−∈∀
=⇒=−=
⇒=−−⇒=+−⇒=
⇒+−=+−−=−−
⋅−−=−−
−=
−
−=
zyxSoluciónyyx
adoerInCompatibleSistemamSib
adoerInCompatibleSistema
incógnitasdeNúmeroBArangArang
mSi
adoerInCompatibleSistema
incógnitasdeNúmeroBArangArang
mSi
adoDeterCompatibleSistemaincógnitasNúmeroArangAm
mmm
mmmmASi
mmmmmmm
m
mmmm
mm
mA
a
1
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti E2.- Sean el plano 0=++≡ zyxπ , la recta zyxr ==≡ y el punto A(3 , 2 , 1). a) Hallar la recta que pasa por A, es paralela a π y corta a r. (1 punto) b) Hallar los puntos de r que equidistan de A y de π . (1,5 puntos) a) El vector director de la recta s es AR, siendo R el punto genérico de esta, es perpendicular al vector director del plano π , siendo su producto escalar nulo y con ello se obtiene el vector director pedido, que con el punto A definen la recta
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )11
0231,0,11,0,112,22,32
263063012301,1,11,2,3
01,1,1
1,2,31,2,3,,,,:
−+
=−
=−≡⇒−≡−=−−−=
⇒=⇒=⇒=−⇒=−+−+−⇒=⋅−−−
⇒=⋅⇒⊥⇒
=−−−=−==⇒⇒
===
xxxsv
vvvvv
ARvRzyx
r
s
sss
λλλλλλλλλ
λλλλλλλλλλλλ
πππ
b) El módulo del vector AR, siendo R el punto genérico de la recta r, es igual a la distancia que hay entre el plano π y el punto R, de esa manera calcularemos el punto P que pertenece a r
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
⇒
=
=
=
⇒=−−
=⇒−=−
⇒=+−⇒=+−⇒=+−⇒=+−++−++−
⇒±=−+−+−⇒±=−+−+−
⇒=⇒
=++
++=
−+−+−=⇒−−−=
67,
67,
67
676767
67
6776
076014123141233124496
31233
3123
,
33
111,
1231,2,3
222222
222222
222
222
P
z
y
x
P
AdARAd
ARAR
λλ
λλλλλλλλλλλλ
λλλλλλλλ
πλλλλπ
λλλλλλ
E3.- Sea ( ) ( ) xexxf −+= 1 . Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas. Esbozar su gráfica. (2,5 puntos)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ℜ∈∀⇒>>
ℜ∈∀⇒<−⇒>⇒⇒−=−−=+−=
−
−−−−
xex
xxfoCrecimientexexexexf
x
xxxx
00
010'1111'
∞− 0 ∞ -1 < 0 ( - ) ( - ) x > 0 ( - ) ( + )
e-x > 0 ( + ) ( + ) Solución ( +) ( - )
Crecimiento 0/ <ℜ∈∀ xx Decrecimiento 0/ >ℜ∈∀ xx Máximo relativo ( ) ( ) 11.11000 0 ==+=⇒= −efx
2
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti Continuación del Problema E.3 de la opción A
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
>⇒>−ℜ∈∀⇒>
⇒>⇒⇒−=−−=−−=−
−−−−
1010
0'1111''xxxe
xfConcavidadxexeexexfx
xxxx
∞− 1 ∞ e-x > 0 ( +) ( + ) x > 1 ( - ) ( + )
Solución ( - ) ( + ) Concavidad 1/ >ℜ∈∀ xx Convexidad 1/ <ℜ∈∀ xx
Punto de inflexión ( ) ( )e
eefx 221111 11 ==+=⇒= −−
E.4.- a) Hallar ( )
11lnlim 2 +
++∞→ x
xxx
b) Calcular ∫ +++ dx
xx
111
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )[ ]
( )( )
41
2211
lim
122111lnlim
12
1111ln
lim
121ln1lim
21
11lnlim
11lnlim
)
''
'2
=⋅++
=
= →=∞∞
=+⋅
+++=
++
+++
++= →=
=∞∞
=+
+++=
⋅+
++= →=
∞∞
=++
+∞→
+∞→+∞→
+∞→+∞→+∞→
xx
xx
xxxxx
xxxxx
x
xx
x
xxx
a
x
HopitalLAplicando
xx
HopitalLAplicando
xx
HopitalLAplicando
x
Continuación del Problema E4 de la opción A
Y
X
3
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti
( ) KxxI
dttdxtx
tttdttdtdt
ttdt
ttdtt
ttdx
xxI
++++=
=⇒=+
=⋅+=+=+=+
=+
=+++
= ∫∫∫∫ ∫∫
1ln12
21
ln22ln222212211
11
2
2
4
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti
OPCIÓN B
E.1.- Sea la matriz :
−−=
221120111
M
a) Calcular M-1. (1,5 puntos) b) Calcular la matriz que cumple XM + M = M2 . (1 punto) a) Una matriz tiene inversa siempre que su determinante no sea nulo
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
−−=
−
−−=
⇒−=⇒=+⇒=+⇒=+⇒=+
−−−
−=
−−−−
⋅−
=⇒
−−−−
=⇒
−−=⇒⋅=
⇒≠−=−⋅−=⋅−⋅=−−
⋅=−−
=−−
=
−−
−
−−
−
121110110
100010001
221120111
)
321
32
311
31
310
32
232131102
31
232131102
211221
1011
031231112
3133
121
330120111
221120111
1212
1
11
1
X
IMXMIXMIIXMMMMIXMMIXb
M
MMadjMMadjM
M
MExisteM
ttt
5
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti E.2.- Sean las rectas 1−=−=≡ zyxr y mzyxs −==−≡ 2 a) Determinar m para que las rectas sean coplanarias. (1,5 puntos) b) Para m = 2, calcular la distancia entre las rectas. (1 punto) a) Para que sean coplanarias o sea para determinar un plano π que las contenga contamos con los dos vectores directores y el vector que une los puntos cualquiera de cada una de las rectas (tomaremos los indicados en las ecuaciones que las definen), que llamaremos R y S. El determinante de la matriz que forman es nulo al estar en el mismo plano y con esa condición calcularemos m. ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )
262062002
321
0111020
3200
111111
102
1,0,21,0,0,0,21,1,11,1,1
,0,21,0,0
=⇒=⇒=+−⇒=−
−−⋅
⇒=−−−
⇒=−−
⇒
−=−==
−=
mmmm
mm
mmRSv
v
mSR
r
r
b) Dado que no son rectas que se cortan y no tienen puntos comunes, ni sus vectores son proporcionales con lo que no son paralelos ni la recta r es coincidente con s habrá que terminar admitiendo que son rectas que se cruzan en el espacio. Trazaremos un plano α que conteniendo a s sea paralelo a r, plano que queda determinado por los dos vectores directores de la recta y el vector SG, siendo S un punto cualquiera de la recta s (tomaremos el indicado en la ecuación) y G el punto genérico del plano. Estos tres vectores son coplanarios y el determinante de la matriz que forman es nulo y la ecuación buscada. La distancia de uno cualquiera de los puntos R (tomaremos el indicado en la ecuación) al plano α es la distancia buscada. ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
uRdsrd
zxzxzxyxzzyx
zyx
zyxzyxSGv
v
SR
r
r
223
23
101
210,,
040220222202222
0111111
22
2,,22,0,2,,1,1,11,1,1
2,0,21,0,0
222=
−=
−++
−−==
=−−≡⇒=−−−⇒=−+−−⇒=−−−−+−++−−
⇒=−−−
≡⇒
−−=−==
−=
α
α
α
6
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti E.3.- a) Enunciar el teorema del valor medio de Lagrange. Dar su interpretación geométrica. (1 punto)
b) Estudiar la continuidad de la función:
<−
<<
0cos100
1
xsixsen
xxsikxsie x
en el intervalo
−
2,
2ππ
, según los
valores de k (1’5 puntos) a) Teorema del valor medio o de Lagrange Si f(x) es continua en [a , b] y derivable en (a , b), entonces existe, al menos, un punto ( )b,ac∈ tal que: ( ) ( ) ( ) ( )abc'fafbf −=−
Geometricamente, como f’(c) es la pendiente de la recta tangente en el punto c y ( ) ( )
abafbf
−−
es
la pendiente de la cuerda que une los puntos [a , f(a)] y [b , f(b)], el teorema dice que dichas rectas tienen la misma pendiente; luego si una función es continua en [a , b] y tiene tangente en todos los puntos de (a , b), es decir, es derivable en (a , b), entonces existe, al menos, un punto de (a , b) en el cual la recta tangente es paralela a la cuerda limitada por los puntos [a , f(a)] y [b , f(b)]
( )
( )
( ) ( ) ( ) 000limlim
010
0cos0
coslim
00
011
00cos1lim
011lim
)
00
0
'
0
01
0
=⇒====
⇒
==== →==−
=−
=
=∞
====
+−
++
−
−
→→
→→
∞∞−
→
kkfxfxf
senxxsen
senxf
eeexf
b
xx
x
HopitalLAplicando
x
x
Para que sea continua k = 0
7
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti
E4.- a) Determinar las asíntotas horizontales y verticales de la función ( )2
12 −−
=xx
xf .
(1 punto)
b) Calcular dxxx∫ −− 2
12 (1’5 puntos)
( ) ( )
( )
( )
−∞→=⇒=∞
=−−
=
∞→=⇒=∞
=−−
=
⇒⇒=−⇒−=
⇒⇒=⇒=
⇒
−=−
=
=+
=⇒
⋅±
=⇒≥=+=−⋅⋅−−=∆⇒=−−
−∞→
∞→
xcuandoyhorizontalasíntotaExistexx
y
xcuandoyhorizontalasíntotaExistexx
y
eshorizontalAsíntotas
verticalAsíntotasoluciónSinfx
verticalAsíntotasoluciónSinfx
x
xxxx
a
x
x
,0,012
1lim
,0,012
1lim
0111
0122
12
31
22
31
12910981214102
)
2
2
22
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
KxxI
dudxuxdtdxtx
ut
utut
udu
tdt
xdx
xdxdx
xxI
xxxxAABAx
BBBAx
xBxAxx
xBxAx
Bx
Axxxx
x
xxxx
b
++−
=
=⇒=+=⇒=−
=⋅=⋅−⋅=−=+
−−
=−−
=
+
−+
−=
−−⇒
=⇒=⇒=−++⇒=
−=⇒=−⇒=−−++−⇒−=
⇒=−++⇒+−−++
=+
+−
=+−
=−−
⇒
−=−
=
=+
=⇒
⋅±
=⇒≥=+=−⋅⋅−−=∆⇒=−−
∫∫∫∫∫
3
32
2
2
22
12ln
12
lnln31ln
31ln
31
31
31
131
231
21
131
231
21
3113122122
3113121111
12112
211212
12
1
12
31
22
31
12910981214102
)
8
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti
1
( ) te11tf+
=
OPCIÓN A
E1.- Sea
a) Calcular ( )∫ dttf (1’5 puntos)
b) Sea ( ) ( ) dttfxgx
0∫= . Calcular
( )xxglim
0x→ (1 punto)
( )
( )( )( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )21ln
e1eln
111ln
e1eln
e1eln
e1eln
e1elndt
e11xg
)b
drdur1u
Ke1
elne1
1e1lnu
1ulnurlnrlnuln
rdruln
1udu
udu
1uuduI
1u1
u1
1uu1
1A10B10A0u1B11B11A1u
1Bu1uA1uu
Bu1uA1u
BuA
1uu1
1ududt1ue
edudtdudteue1
1uudu
1udu
u1dt
e11I
)a
x
x
x
x
0
0
x
xx
0t
tx
0t
t
t
t
t
tt
tt
t
−+
=+
−+
=
+
−+
=
+
=+
=
=⇒=−
++
=+
−+=
−==+−=+−=
−+−=
−=
−+−=
−
−=⇒=⋅+−⋅⇒==⇒=⋅+−⋅⇒=
⇒=+−⋅⇒−+−⋅
=−
+=−
−=⇒−=⇒=⇒=⇒=+
−=
−⋅=
+=
∫
∫∫∫∫
∫∫∫
( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )
21
111
e11
e11lim
1e1
1
lim1
e1ee1e
lim1
e1eee
e1e1
lim
1
e1eee1e2
e1e21
lim00
01ln
022ln
01112ln
0e1
e2ln
xe1
e2lnlim
e1e2ln2ln
e1eln2ln0
e1eln2ln1ln
e1eln2ln1ln
e1elnxg
0x0x
x
0x
2xx
xx
0x
2x
x2x2x
x
x
0x
2x
xxxx
x
x
0x
Hopital'LAplicando0
0
x
x
0x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=+
=+
=+
=+=+
+
=
+
−+⋅
+=
=
+
⋅−+⋅⋅
+= →====+⋅
=+=+
+=+
+=+−
+=+−
+=−−
+=
→→→→
→→
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti
2
E2.- Dada la función ( )x1
aexfx2
+= , se pide
a) Hallar a para que la pendiente de la recta tangente a la función en x = 0, valga 2 (0’5 puntos) b) Para a = 1, estudiar el crecimiento, decrecimiento y extremos relativos (1 punto) c) Para a = 1, hallar sus asíntotas (1 punto) a)
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( ) 2a2111a2
101ea
201
021ea20'fx1
x21eax1
1x22eax1
ex1e2ax'f
2
0
2
02
2
x2
2
x2
2
x2x2
=⇒=⋅
⇒=+
⇒=+
⋅+⇒=⇒
++
=+
−+=
+−+
=⋅
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
ℜ∈∀⇒>+
−>ℜ∈∀⇒−>⇒−>⇒>+
ℜ∈∀⇒>
⇒>++
⇒>⇒⇒++
=⇒+
=
x0x121x/x
21x1x20x21
x0e
0x1
x21e0x'foCrecimientx1
x21ex'fx1
exf
)b
2
x2
2
x2
2
x2x2
∞− 21
− ∞
e2x > 0 ( + ) ( + )
21x −>
( - ) ( + )
(1+x)2 > 0 ( + ) ( + ) Solución ( - ) ( + )
Crecimiento ( )1x1x21/x −>∪
−>>−ℜ∈∀ Decrecimiento
21x/x −<ℜ∈∀
En relativoMínimoe2e2
21
e
211
e21f
21x 1
1212
⇒=⋅==
−+
=
−⇒−= −
−
−⋅
(De decrecimiento pasa a crecimiento)
( )( )
( )
( ) ⇒+
=
−=⇒=−+
=−⇒−=⇒=+−−⋅
x1exf
1xenverticalAsíntota0
e11
e1f1x0x1
)c
x2
212
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti
3
Continuación problema E.2 de la opción A
( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )−∞→
=∞
=−
=−
=−+−
=+==
∞→⇒∞===
=∞∞
=+
= →=∞∞
=+
=+
=+==
−∞→=
=∞−
=−
=−
=−+
=+
=
∞→
⇒∞=∞
== →=∞∞
=+
=
∞→
−
∞→
−⋅
∞→−∞→−∞→
∞→∞→
∞→∞→∞→∞→∞→
∞→
−
∞→
−⋅
∞→−∞→
∞→∞→
xcuandooblícuaasíntotaexisteNo
01exx
1limxx
elimxx
elimx
x1e
limxxflimm
xcuandooblícuaasíntotaexisteNoe2lim2e4lim
x21e2lim
xxelim
x1xelim
xx1
e
limxxflimm
oblícuasAsíntotas
xcuando,0y,horizontalasíntotaExiste
01ex1
1limx1
elimx1
elimx1
elimy
xcuandohorizontalasíntotaexisteNo11
e2limx1
elimy
eshorizontalAsíntotasónContinuaci)c
x22x2
x2
x2
x2
x
x2
xx
x2
x
x2
x
x2
x
Hopital'LAplicfando2
x2
x
x2
x
x2
xx
x2x
x2
x
x2
x
x2
x
x2
x
Hopital'LAplicfandox2
x
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4
E3.- Se considera el sistema de ecuaciones
( )( )( ) ( )( ) ( )
+−=+++−=+++−=++
2a1aazyx2a1azayx2a1azyax
3
2
a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a (1’5 puntos) b) Resolver el sistema para a = 1 (1 punto) c) Resolver el sistema para a = -2 (1 punto) )
( ) ( )
( )
{ } ( )
( ) ( )
( ) ( )λλλ=⇒
=⇒−=−⇒=++−⇒=⇒=+−⇒=+−⇒
−
−
−=
µλµ−λ−=⇒⇒−−=⇒=++⇒
=
⇒=⇒=⇒
−
−≡
−−
−≡
−−
−≡
−−
−
−=
⇒=⇒=⇒
≡
=
⇒==⇒≠⇒−−ℜ∈∀
⇒
−=−−
=
=+−
=⇒
⋅±−
=⇒>=+=−⋅⋅−=∆⇒=−+
=⇒=−
−
⇒=−+⋅−⇒=+−⇒−
−
⇒=+−⇒=⇒+−=−−−++==
,,z,y,xSolución
zxz2x20zzx2zy0zy0z3y3000
000330112
2aSi)c
,,z,y,xSoluciónzyx0zyx000
000000111
1aSi)badominerdetInCompatibleSistema
00z0z0
000
000330112
000
330330112
000
422242112
000
211121112
2aSi
adominerdetInCompatibleSistema00z0z0
000
000000111
000
111111111
1aSiadominDeterCompatibleSistemaincognitasdeNúmero3Arang0A1,2a
22
31a
12
31a
1291a0981214102aa
1a01a
0211
02aa1a02a3a211
23011
RuffiniPor02a3a0ASi2a3aaaa11aa111a111a
A
a
22
23
333
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5
E4.- Se consideran las rectas 11z
1y
32xs;
23z
21y
1xr
−+
==−
≡−
=−−
=≡ .
a) Justificar, razonadamente, que ambas rectas se cruzan (1 punto) b) Hallar la perpendicular común y que corta a las dos rectas (1’5 puntos) a) Si los vectores directores de las rectas son iguales o proporcionales pueden ser paralelas o coincidentes, en este ultimo caso, además, tendrán un punto común. Si no se cumple la igualdad o proporcionalidad las rectas pueden cortarse o ser secantes si tienen un punto común. De no cumplirse nada de lo analizado las rectas se cruzan
( )( )
( ) ( )[ ]( )
( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )1,1,0v1435,
1435,
140v
14561110,
14141110,
1428335v
1456
1411
1452,
1414
1411
1452,
1428
14113
145v
145
1412612109
141111
1411
9877779807798
081999047
0911049
04212693082422423
01,1,342,12,2302,2,142,12,23
0vvvv0vvvv
1,1,3v2,2,1v
42,12,23v
123,21,32vsyrenapoyansequerectaslasdedirectorVector
)bcruzanserectaslastotanloPortancorsenorectasLascomúnpuntotienenNo
74
731
731
7103
731
7523
75
7922
792
733
7337
32
7031
12
1231
1223
12321
32
1zy
32xs
23z21y
xr
comúnpuntountienensiVeamos
escoincidentniparalelasnisonNo12
31
1,1,3v2,2,1v
rsrsrs
rs
srssrs
rrsrrs
s
r
rs
rs
s
r
=⇒
=⇒
+−−++−+−
=
+
−+
−+
−−
−−−
−−−=
⇒−=−
=λ⇒=−
−−λ−
−=−=µ⇒=µ−⇒=−µ−⇒
=−µ−λ−=+µ+λ
⇒
=−µ−λ−=+µ+λ
⇒
=−µ−λ−+µ−λ−−µ−λ=+µ+λ+−µ+λ+−µ−λ
⇒=−⋅+µ+λ+µ−λ−−µ−λ=−⋅+µ+λ+µ−λ−−µ−λ
⇒
=⋅⇒⊥=⋅⇒⊥⇒
−=−=
+µ+λ+µ−λ−−µ−λ=
µ−−−λ+µ−λ−µ+−λ=⇒
⇒⇒
−≠⇒+−≠+⇒
−−−≠⋅+⇒=−=λ⇒=+λ⇒=
−⋅−λ
⇒−=µ⇒−=µ⇒
−
−≡
−⇒
=µ+λ=µ−λ
⇒
µ−−=λ+µ=λ−µ+=λ
⇒
µ−−=µ=µ+=
≡
λ+=λ−=
λ=≡
⇒−
≠⇒
−=−=
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6
Continuación del problema E4 de la opción A Busquemos el punto R de corte de r con la perpendicular rs
η+
η+
−
≡
η+
η+
η+−
≡⇒⇒
=−=−=
−⋅+=
=+=+=
−⋅−=
−=
716712
145
rs
716712
0145
rslarperpendicuEcuación
716
753
14103
14523z
712
751
14101
14521y
145x
R
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7
dx3x2x
12∫ ++
OPCIÓN B E1.-
a) Calcular (1’5 puntos)
b) Calcular los valores del parámetro a para que las tangentes a la gráfica de la función f(x) = ax3 + 2x2 +3 en los puntos de abcisa x = 1 y x = -1 sean perpendiculares (1 punto)
( ) ( )
dtdxtxtx
Kxtgarcttgarcdtt
dtt
dxx
I
dxx
dxx
dxxx
dxxx
I
complejasSolucionesxxa
22121
21
22
22
11
222
11
21
1211
21
1211
21
211
2121
321
081243142032)
222
2222
22
=⇒=+⇒=+
+
+⋅==
+=
+=
+
+=
++
=++
=+++
=++
=
⇒<−=−=⋅⋅−=∆⇒=++
∫∫∫
∫∫∫∫
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
−=
=⇒±=⇒==⇒=⇒−=−⇒−=−⋅+
−−=+⇒−=⇒
−=−⋅+−⋅=−=+=⋅+⋅==
⇒+=−−
315
315
35
35
915159116914343
431431
4314131'4314131'
43'
)
222
112
1
212
a
aaaaaaa
aa
mm
aafmaafm
xaxxf
b
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8
E2.- Se considera la función f(x) = ex + ln x, ( )∞∈ ,0x donde ln denota logaritmo neperiano a) Estudia la monotonía y las asíntotas de f(x) (1 punto) b) Demostrar que la ecuación x2ex – 1 = 0 tiene una única solución c en el intervalo [0 , 1] (0’75 puntos) c) Deducir que f presenta un punto de inflexión en c. Esbozar la gráfica de f (0’75 puntos)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )( )( )
( ) ( ) ( )
[ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )imparessiempresignodecambiosconedecrecient
ycrecienteseriacontrariocasoen,0cgqueenpuntosolounhaberpuedesolototanloPor
0x/xparacrecienteEsx0e
0x/x0x2x/x2x0x2
0xex20x'rCrecientexex2exx2x'g1exxg0cgquetalb,acpuntoun,menosal,existeentonces,bgsignagsign
ervalointdelextremoslosensignoointdistdevalorestomay,b,aervalointelencontinuaes
xgsiuedicequeBolzanodeTeorema1,0c0cg01e1e.11e11g0111.01e00g
1exxgSiendo)b
xcuandooblícuaasíntotaexisteNo
xeelim1
xeelim
xxe1lim
1xxe1
lim1
ex1
limx
exlnlimxxflimm
oblícuaAsíntota
xcuandofunciónexisteNo
xcuandohorizontalasíntotaexisteNoelimxlnlimexlnlimyhorizontalAsíntota
0xverticalAsíntota
0x/xCrecientexhxgxf
0x/xx0xx01
0x'hCrecientex1x'hxlnxh
x0e0x'gCrecienteex'gexg
)a
x
xxx2x2
12
02
x2
xx
x
xx
x
Hopital'LAplicando
x
x
x
x
x
x
Hopital'LAplicandox
xx
x
xx
x
x
xxx
=
>ℜ∈∀
⇒
ℜ∈∀⇒>>ℜ∈∀⇒>
−>ℜ∈∀⇒−>⇒>+
⇒>+⇒>⇒⇒+=+=⇒−=
=∈≠
⇒∈⇒=⇒
>−=−=−=<−=−=−=
−=
∞→
∞=∞+∞=+=+
= →=∞∞
=
=+
=
+
=+
= →=∞∞
=+
==
−∞→
∞→⇒∞=∞+∞=+=+=
=
>ℜ∈∀⇒⇒+=
⇒
>ℜ∈∀⇒
ℜ∈∀⇒>ℜ∈∀⇒>
⇒>⇒⇒=⇒=
ℜ∈∀⇒>⇒>⇒⇒=⇒=
∞→∞→
∞→∞→∞→∞→∞→
∞→∞→∞→
q
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9
Continuación Problema E3 de la opción B
( ) ( ) ( ) ( ) ( )Demostrado0c''f01ex0x''fx
1exx1ex''f
x1ex'f
)c
x22
x2
2xx =⇒=−⇒=⇒
−=−=⇒+=
E3.- Sea M una matriz cuadrada que cumple la ecuación M2 – 2M = 3I, donde I denota la matriz identidad a) Estudiar si existe la matriz inversa de M. En caso afirmativo expresar M -1 en términos de M e I (1’25 puntos)
b) Hallar las matrices M de la forma
abba
que cumplen la ecuación M2 – 2M = 3I
(1’25 puntos)
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )I2M
31MI2MM3
M3I2MM3MM2MMIM3M2MMI3M2M
solucionesdoslasendaseesoy0MqueesMexistaqueparacondiciónLa
03222
322M
03222
3222M
1.23422M0342314203M2M
13M2MI3M2MI3M2MI3detMdetMdet
matrizladegradoelnSiendo)a
11
111211212
1
n1n2nn1n2n
n1n2nn1n2n
nn2nnn2n2nnn2
nn2nn222
−=⇒−=
⇒=−⇒=⋅−⇒⋅=⋅−⇒⋅=⋅−
≠
≠+−=++
=
≠++=++
=
⇒⋅+±
=⇒>⋅+=−⋅⋅−−=∆⇒=−⋅−
⇒⋅=⋅−⇒⋅=⋅−⇒⋅=−⇒=−
−−
−−−−−−
−
−−
−−
( )( )
( )
( ) ( )
( )( )
−=⇒=−=⇒=−
⇒=+−⇒=−⇒=⋅−+⇒=⇒=−
−==
⇒±
=⇒>=−⋅⋅−−=∆⇒=−⋅−⇒=⋅−+⇒=
⇒=−⇒
=
=
−+−−−+
⇒
=
−+−−−+
⇒
=
−
++
⇒
=
−
++++
⇒
⋅=
⋅−
⋅
2b02b2b02b
02b2b04b312b11a01a
1a3a
2162a016314203a2a3a20a0b
01ab23003
3003
a2ba1ab21ab2a2ba
3003
a2bab2ab2b2ab2a2ba
3003
a2b2b2a2
baab2ab2ba
3003
a2b2b2a2
ababbabaabba
1001
3abba
2abba
abba
)b
222
2222
22
22
22
22
22
22
22
22
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10
E4.- Un cuadrado tiene dos vértices consecutivos en los puntos P(2 , 1 , 3) y Q(1 , 3 , 1); los otros dos sobre una recta r que pasa por el punto R(- 4 , 7 , - 6) a) Calcular la ecuación de la recta r (0’5 puntos) b) Calcular la ecuación que contiene al cuadrado (1 punto) c) Hallar las coordenadas de uno de los otros vértices (1 punto) a) La recta r es una recta paralela a la recta que une P y Q, por lo tanto tiene el vector director que esta
( ) ( ) ( ) ( )
λ+−=λ−=λ+−=
≡⇒−≡−−=−==26z
27y4x
r1,2,12,2,13,1,21,3,1PQvr
b) El plano π contiene a los puntos P, Q y R, aunque este último no sea, seguramente, vértice del cuadrado. Para hallarlo obtendremos los vectores PQ, PR y el vector PG, siendo G el punto que genera al plano, estos tres vectores son coplanarios (pertenecen al mismo plano), entonces uno es combinación lineal de los otros, por ello el determinante de la matriz que forman es nulo y la ecuación pedida.
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 03z2yx203z21y2x2
01y32x43z43z21y42x6
0322221
3z1y2x
3z,1y,2x3,1,2z,y,xPG3,2,29,6,63,1,26,7,4PR
2,2,12,2,13,1,21,3,1PQ
=+−−≡π⇒=−⋅+−+−⋅−⇒=−⋅−−⋅+−⋅+−⋅−−⋅+−⋅−
⇒=−−
−−−≡π⇒
−−−=−=−≡−−=−−−=
−≡−−=−=
c) El vector director del lado desconocido es perpendicular al de la recta y al del plano, se calcula hallando el producto vectorial de ambos. Las rectas s de los dos lados pasaran por P o por Q y tendrá como vector director el hallado.
( )( ) ( )
( ) ( )
−=
−+=
=
−+=
−=
−+=
⇒⇒−=α⇒−=α⇒
−−−
≡
−−−−
≡
−
−
−
=
−+=
−=
−+=
−=
−+=
⇒⇒−=µ⇒−=µ⇒
−−−
≡
−−−−
≡
−
−
−
⇒
−=α+λ−=α+λ−=α+λ−
⇒λ+−=α+λ−=α+λ+−=α+
⇒α+=α+=α+=
≡
⇒
−=µ+λ−=µ+λ−=µ+λ−
⇒λ+−=µ+λ−=µ+λ+−=µ+
⇒µ+=µ+=µ+=
≡
⇒≡−−−=
−−−=−−−+−−=−
−=×=⇒
−≡−−=−=
ππ
72
7331z
79
7343y
78
7351x
2Vertice7337
036
007051
335
707051
725
322151
712
7333z
75
7341y
71
7352x
1Vertice7337
036
007051
336
707051
936
322151
73244255
26312743
451
31z43y51x
s
93264265
26332741
452
33z41y52x
s
3,4,53,4,5v
k3j4i5j2ik4kj2i4212121kji
vvv2,1,22,1,2v
1,2,1v
2
1
s
rsr
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1
( )
( ) ( )[ ] ( )
−∞→=⇒=∞
== →=∞∞
==
= →=∞∞
=+
=+=+−=+=
∞→⇒∞=∞⋅∞=+=
∞→∞→
∞→
−
∞→
−
∞→−∞→
∞→
xcuando,0y,horizontalasíntotaExiste04e4lim
ex4lim
e3x2lime3x2lime3x2lime3x2limy
xcuandohorizontalasíntotaexisteNoe3x2limy
xx
Hopital'LAplicandoxx
Hopital'LAplicandox
2
x
x2
x
x2
x
x2
x
x2
x
OPCIÓN A E1.- Sea la función f(x) = (2x2 + 3) ex
a) Estudiar sus asíntotas, crecimiento, decrecimiento, extremos relativos, concavidad, convexidad y puntos de inflexión (2 puntos) b) Esbozar su gráfica (0’5 puntos) a) No hay asíntotas verticales Asíntotas horizontales
Asíntotas oblicuas
( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )−∞→
⇒=∞
=+
= →=∞∞
=+
=+
=
= →=∞∞
=+
=+
=−+−
=+
=
∞→
⇒∞=∞
=++
= →=∞∞
=+
==
∞→∞→∞→
∞→
−
∞→
−
∞→−∞→
∞→∞→∞→
xcuandooblicuaasíntotaexisteNo
04x2e
4limx1e
x4limxeex4lim
xe3x2lim
xe3x2lim
xe3x2lim
xe3x2limy
xcuandooblicuaasíntotaexisteNo11
e3x2ex4limx
e3x2limxxflimy
xx
Hopital'LAplicandoxxxxx
Hopital'LAplicandox
2
x
x2
x
x2
x
x2
x
2x
x
Hopital'LAplicandox2
xx
Crecimiento y decrecimiento ( ) ( ) ( )
( )
relativosmínimosnimáximoshayNo
ntodecrecimiedeervalosinthayNo
xoCrecimientx03x4x2
x0e0x'foCrecimient
soluciónSin082416324403x4x2e3x4x2e3x2xe4x'f
2
x
22
x2x2x
ℜ∈∀⇒⇒
ℜ∈∀⇒>++ℜ∈∀⇒>
⇒>⇒
⇒<−=−=⋅⋅−=∆⇒=++
++=++=
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2
Continuación del Problema E1 de la opción A Concavidad y Convexidad
( ) ( ) ( ) ( )
( )
ℜ∈∀⇒>
−−>⇒>++
+−>⇒>−+
⇒>
++⋅
−+⇒>⇒
−−=−−
=
+−=+−
=⇒
⋅±−
=⇒>=−=⋅⋅−=∆⇒=++
++⋅
−+=++=++++=
x0e222x0
222x
222x0
222x
0e222x
222x0x''fConcavidad
222
4228x
222
4228x
2288x085664724807x8x2
e222x
222xe7x8x2e3x4x2e4x4x''f
x
x
22
xx22x
∞− 222 −−
222 +− ∞
ex > 0 ( + ) ( + ) ( + )
0222 >+−
( - ) ( - ) ( + )
0222 >−−
( - ) ( + ) ( + )
Solución ( + ) ( - ) ( + )
Concavidad
+−>∪
−−<ℜ∈∀
222x
222x/x
Convexidad 222x
222/x +−<<−−ℜ∈∀
Puntos de inflexión
+−=
−−=⇒
222x
222x
b)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
-10 -9,5 -9 -8,5 -8 -7,5 -7 -6,5 -6 -5,5 -5 -4,5 -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1
Y
X
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3
E2.- a) Calcular ( )∫ +
dxxsen3
x2sen2 (1’25 puntos)
b) Calcular ( ) ( )
( )xsenx1xln1xlnlim
0x
−++→
(1’25 puntos)
( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) dudtt2ut3dtdxxcostxsen
Kxsen3lnt3lnulnu
dudtt3
t2dxxsen3
xcosxsen2)a
2
2222
=⇒=+=⇒=
++=+===+
=+ ∫∫∫
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) 1
22
0sen00cos201
1011
xsenxxcos2x1
1x11
limxsenxxcosxcos
x11
x11
lim
00
10011
0cos00sen01
101
1
xcosxxsenx1
1x1
1
lim
xcosxxsenx1
1x1
1
lim00
0sen001ln01ln
xsenxx1lnx1lnlim
2222
0x
22
0x
Hopital'LAplicando
0x
0x
Hopital'LAplicando
0x
−=−
=−
−−
+−
=−
−−
+−
=−+−−−
−+−
=
= →==⋅+
−=
+−
−+=
+−
−+=
=+
−−
++= →==
−++=
−++
→→
→
→→
E3.- Se considera el sistema
+=−+=++=−+
1azyx0azyx2
2zayxdonde a es un parámetro real. Se pide:
a) Discutir el sistema en función del valor de a (1’75 puntos) b) Hallar la solución del sistema para a = 1, si procede (0’75 puntos)
( )
{ } ( )
leIncompatibSistema
soluciónSin03z3z0
34
2
000050121
154
2
0150050121
34
2
030050121
102
111212121
2aSiadominDeterCompatibleSistemaincognitasdeNúmero3Arang0A1,2a
22
31x
12
31x
1291x
0981214102aa0ASi2aaa2a12a1111
a121a1
A 2222
⇒=⇒=⇒
−
−−≡
−
−
−−≡
−−
−−≡
−−−−−
−=
⇒==⇒≠⇒−−ℜ∈∀
⇒
−=−−
=
=+−
=⇒
⋅±−
=
>=+=−⋅⋅−=∆⇒=−+⇒=⇒−+=+−+−+−=−
−=
Continua del problema E2 de la opción A
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4
{ } ( )
( ) ( )
( ) ( )λλ+λ−=⇒⇒−=⇒=−++⇒+=⇒−=+−⇒=
⇒<==⇒
−−
−≡
−
−
=
⇒==⇒≠⇒−−ℜ∈∀
,32,2z,y,xSoluciónz2x2zz32xz32y2z3yadominerdetInCompatibleSistema1aSi
)b
adominerdetInCompatible.SistincognitasdeNúmero2ArangArang02
2
000310111
202
111112111
1aSiadominDeterCompatibleSistemaincognitasdeNúmero3Arang0A1,2a
E4.- Dado el punto A(2 , 1 , 1) y las rectas
=+=+
≡−=+
=≡2zx0yx
sy1z2
2yxr se pide: a) Hallar la
ecuación de la recta que pasa por A y corta a las rectas r y s (1’75 puntos) b) Hallar la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por A a) Calcularemos el vector genérico de la recta t como diferencia entre los puntos generales de las rectas r y s, partiendo de la posible ecuación continua de la recta buscada que pasa por A y por uno de los puntos genéricos de la rectas (tomaremos el de la recta s) y de hay estableceremos ecuaciones para el calculo de los parámetros que definen la recta pedida
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )⇒
−λ−λ
=µ⇒−λ=µ−λ⇒=+λ−µ−λµ⇒=µ−λµ++µ−λ−µ−λµ+λ
−λ−λ
=µ⇒−λ=−λµ⇒=+λ−µ−λµ⇒=µ−λµ++µ−λ−µ+λ−λµ
⇒
µ+µ−λµ−−µ+λ=µ−µ−λµ+λ⇒µ−−µ+λ=µ+µ−λµ+−λµ−−µ+λ=µ+−λ−λµ⇒µ−−µ+λ=−µµ−λ
µ+µ−λµ−−µ+λ=µ−µ−λµ+λ⇒µ−−µ+λ=µ+µ−λµ+−λµ−−µ+λ=µ+−λ−λµ⇒µ−−µ+λ=−µµ−λ
−µ+λµ+
=µ−λµ−
⇒−µ+λ
−µ=
µ−λµ−
⇒−µ+λ
−µ=
−µ+λµ+
=µ−λµ−
⇒−µ+λµ−−
=−µ+λµ−−
=µ−λµ−
−µ+λ−µ+λµ−λ=µ+−λ+µ+λ+−µ−λ=⇒
µ−=µ−=µ=
≡⇒−=−=
λ+=λ+−=
λ=≡
5343435304353022424
22232322023220222
224242221u222u211
224242221u222u211
2212
112
11
2212
121
2212
1,22,21,22,v
2zyx
rx2z
xy
1z22y
xr
22
22
22
22
t
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5
Continuación del Problema E4 de la opción A
( )
( )( ) ( )
( )
β−=β+=β+=
≡
α+=α+=
=≡
⇒
−≡
−−=
−+−+⋅−=
=−+−+⋅−=⇒−µ+λ−µ+λµ−λ=
=−
−=
−⋅
−⋅=µ⇒=
−=λ
==−⋅−⋅
=µ⇒=+
=λ
⇒⋅
±=λ⇒≥=−=⋅⋅−−=∆
⇒=+λ−λ⇒+λ−λ−λ=+λ−λ−λ⇒−λ−λ
=−λ−λ
1z71y52x
t
31z41y
2xt
1,7,5121,
127,
1251
43
31,2
43
312,
43
31v
3,4,0122,2222,22v1,22,v
43
341
2312
2313
31
657
224
2222232
657
3225702524492347
027388661061595343
2223
1
1
t
t
t
2
222
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6
8x4x6xy 23 ++−=
OPCIÓN B E1.- a) Determinar en que puntos de la gráfica de la función la recta tangente a la misma es paralela a la recta y = 4x + 7 (1 punto) b) Hallar el área de la región comprendida entre las rectas x = 1 y x = 4 y que está limitada por dichas rectas, la gráfica de la función ( ) 4xxf 2 −= y el eje OX (1’5 puntos)
( )
=⇒=−=
⇒=−⇒=−⇒=+−⇒=⇒+−=4x04x
0x04xx30x12x344x12x34m4x12x3'y
)a
222
( ) ( )
−>⇒>+>⇒>−
⇒>+−⇒>−2x02x
2x02x02x2x04x
)b
2
x > -2 ( - ) ( + ) ( + ) x > 2 ( - ) ( - ) ( + )
Solución ( + ) ( - ) ( + )
( )
( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ]
( ) ( ) ( ) ( ) 23333
42
42
321
21
32
1
4
2
22
2
2
2
u3
3743
4983
5643724424
3112412
31A
x4x31x4x
31dx4xdx4xA
2xsi4x2x2si4x
2xsi4xxf
=−=−++−=−⋅−−⋅+−⋅+−⋅−=
=⋅−⋅+⋅+⋅−=−++−=
>−<<−+−
−<−=
∫ ∫
E2.- a) Determinar los extremos absolutos de la función ( ) 4x4xxf 2 +−= en el intervalo [1 , 4] (1’25 puntos) b) Aplicando la definición, estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f dada por
( ) ( )
≤<−
≤≤−=
2x1si1xxln
1x0sixxxf 2
2
en el punto x = 1, donde ln denota el logaritmo neperiano (1’25 puntos)
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( )
=⇒==⇒=
⇒
=+⋅−==+⋅−=
⇒=⇒=
=+⋅−=
⇒⇒=⇒=⇒=−⇒=⇒−=
02f2xenabsolutoMínimo44f4xenabsolutoMáximo
444444f141411f
02f2xenrelativoMínimo
042422frelativoMínimo2x''f2x04x20x'f4x2x'f
)a
2
2
2
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7
Continuación del Problema E2 de la opción B ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0limlim1
01
021
1ln2ln2lim1
1ln2lim
00
111lnlim
011lim1
11
11
'2
1
2
1
===
⇒
=⋅
===⋅
= →==−
=
=−==
+−
+++
−
→→
→→→
→
xfxffx
xxx
xf
xff
xx
xx
HopitalLAplicando
x
x
Es continua en x = 1
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )[ ] ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 1'lim1'lim
122
0321010202
11131131111131ln121ln2'lim
1313113ln2ln2lim
1313113
1ln2ln2lim
00
1111311ln1212
113ln22lim
121
ln2lnln222lim
121
1ln2lnln212
lim'lim
00
1111ln1111ln2'lim
1121'lim
211
ln1ln21
ln11ln2
1021
'
11
22
1
2
1
2
1
'22
1
2
12
2
11
'2
2
1
1
2
2
2
2
=≠−=
==⋅+⋅+⋅
⋅−−=
−⋅+−⋅⋅+−−⋅⋅⋅−−
=
=−+−+−−
−−=
−+−+−−
⋅+−
=
= →==−−⋅⋅
⋅−−⋅=
−−−−
=
−+−
−−⋅+−=
−+−
⋅+−⋅+−⋅
=
= →==−⋅
⋅−−⋅⋅=
−=⋅−=
<<−
−−⋅⋅=
−
−−⋅⋅
<<−
=
+−
+
++
+
+++
+
−
→→
→
→→
→
→→→
→
→
xfxf
xf
xxxxxxxxx
xxxxxxx
xxx
xxxxxx
xxx
xxxx
xxxx
xxxxxxxf
xf
xf
xsixx
xxxxx
xxx
x
xsix
xf
xx
x
xx
HopitalLAplicando
x
xxx
HopitalLAplicando
x
x
No es derivable en x = 1
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8
E3.- a) Determinar en función del parámetro a, el rango de la matriz
−−
=aa31011a1
A
(1’5 puntos) b) Sea C una matriz 2 x 2 de columnas C1 y C2 y de determinante 5, y sea B una matriz 2 x 2 de determinante 2. Si D es la matriz de columnas 4C2 y C1 - C2, calcular el determinante de BD-1 (1 punto)
( )
{ } ( )
( ) 2Arang300000101
003101101
0aSi3Arang0A3,0a
3a0a
0a3a0aa30ASiaa3aaaa3aa31011a1
A 222
=⇒
−≡
−−
=
=⇒≠⇒−ℜ∈∀
⇒
−==
⇒=+−⇒=−−⇒=⇒−−=−+−−=−−
=
( ) 2Arang000030131
060030131
333101131
3aSi
=⇒
−−≡
−−≡
−−−−−
−=
( ) ( ) ( )
101
2012DBDB
2054CC41CC44CC4CC4DCCC4D)b
11
21122212212
−=
−⋅=⋅=⋅
−=⋅−=⋅⋅−=⋅=−=⇒−=
−−
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9
E4.- Sea s la recta de ecuaciones paramétricas
=−−=
+=
1zt1yt23x
a) Halla la ecuación de la recta r que pasa por el punto P(1 , 0 , 5) y corta perpendicularmente a la recta r (1’5 puntos) b) Hallar la ecuación del plano que contiene a r y a s (1 punto) a) El vector que une P con un punto general Sg de la recta s es perpendicular al vector director de esta y, por ello, su producto escalar nulo. Una vez hallado S la recta r queda determinada por el punto P y el vector PS
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
λ+===
≡⇒≡−=−==
=−−−=−⋅+=
⇒−=⇒=+⇒=+++⇒=−⋅−−−+
⇒=⋅⇒⊥⇒
−=
−−−+=−−−+=
5z0y1x
r1,0,04,0,05,0,11,0,1PSv
1z11y123x
1t0t550t1t4400,1,24,t1,t22
0vPSvPS0,1,2v
4,t1,t225,0,11,t1,t23PS
r
sgsgs
g
b) El plano buscado esta determinado por los dos vectores directores de r y s y por el vector PG siendo G el punto genérico del plano π buscado y P el punto dado que es el punto de corte de las rectas. Estos tres vectores son coplanarios (pertenecen al mismo plano) y el vector PG es combinación lineal de los otros dos, por eso el determinante de la matriz formada por ellos es nulo y la ecuación pedida del plano
( )( )
( ) ( ) ( )( )
01y2x
01xy20012100
5zy1x
5z,y,1x5,0,1z,y,xPG0,1,2v
1,0,0v
s
r
=−+≡π
⇒=−+⇒=−
−−≡π⇒
−−=−=−=
=
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1
( ) ( )( )
( ) ( )
( )( )
=⇒=−⇒=
=+−⇒=⇒
−=⇒−=⇒−=−⇒
=−⋅==+−=
⇒−=
21x01x200g
01xx00fOXconfuncioneslasdecortedePuntos
1x2xg1x2y1x21y21131'f11111f
1x3x'f
3
2
32
OPCIÓN A E1.- Calcular el área de la región finita y limitada por la gráfica de la función f(x) = x3 – x +1, el eje de ordenadas y la recta tangente a la grafica de f en x = 1 (2’5 puntos)
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ] ( ) [ ] [ ] [ ]
( ) ( ) ( ) 32244
10
410
210
41
0
31
0
3
1
0
1
0
31
21
1
21
321
0
21
0
3
1
21
1
21
321
0
21
0
3
u43
48612
23
4101201
2301
41A
x2x213x
41dx2x3xdxdx1x21xxA
dx1x2dx1xxdx1x2dx1xxdx1x2dx1xxA
dx1x2dx1xxdx1x2dx1xxA
=+−
=+−=−⋅+−⋅−−⋅=
⋅+⋅⋅−⋅=+−=−−+−=
−−+−=−−+−+−−+−=
−−+−+−++−=
∫∫
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫
Y
X
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2
E2.- a) Estudiar si la función [ ] ℜ→2,0:f dada por
( )
≤<−+−
≤≤=
2x1si1x27x
23
1x0sixxf 2 ,verifica la hipótesis del teorema de Rolle. Enunciar
dicho teorema (1’5 puntos)
b) Calcular ( )
( )xsenxxex2coslim
x
0x ⋅−−
→(1 punto)
a) Teorema de Rolle
Si:
• es una función continua definida en un intervalo cerrado • es derivable sobre el intervalo abierto •
Entonces: existe al menos un número perteneciente al intervalo tal que
Veamos si es continua y derivable
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
[ ]
( )( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( )
( )( ) RolledeteoremaelCumple2,0
67
67c
27c30
27c3c'f
soluciónSin01
021c'f
2f0f017612
272
232f
000f
2,0enderivableEs
21x'flimx'flim
21
276
2713x'flim
21
121x'flim
2x1si27x3
1x0six2
1
x'f
2,0encontinuaEs
1xflimxflim1f1
22
22731
27
2311
271
23xflim
11xflim1f
2
1x1x
1x
1x
1x1x2
1x
1x
⇒∈⇒
=⇒=⇒=+−=
⇒==
⇒=⇒
=−+−=−⋅+⋅−=
==
⇒==⇒
=+−
=+⋅−=
==⇒
≤<+−
≤≤=
⇒===⇒
==−+−
=−+−=−⋅+⋅−=
===
+−
+
−
+−
+
−
→→
→
→
→→
→
→
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3
Continuación del problema E2 de la opción A
( )( )
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) −∞=
−=
⋅+−−⋅−
=⋅+
−−⋅−=
=+
−−−= →==
⋅−−
=⋅
−−⋅=
⋅−−
→→
02
1001102
0cos00sen1e02sen2
xcosxxsen1ex2sen2lim
00
00011
0sen00e02cos
xsenxxex2coslim
)b
0
x
0x
Hopital'LUtilizando0x
0x
E3.- a) Calcular el rango de la matriz
=
16151413121110987654321
A (1’5 puntos)
b) Si B es una matriz cuadrada de dimensión 3 x 3 cuyo determinante vale 4, calcula el determinante de 5B y el de B2 (1 punto)
( )
164BB
5004125B5B5)b
2Arang
00000000128404321
3624120241680128404321
16151413121110987654321
)a
222
3
===
=⋅==
=⇒
≡
≡
E4.- a) Determinar la posición relativa de la recta y el plano 0yx =−≡π . (1’5 puntos) b) Hallar el plano perpendicular a π que contiene a r (1 punto) a) El plano y la recta o son paralelas, ó la recta pertenece al plano, ó tienen un punto común que es el llamado de corte
paralelasSoncomunespuntoshayNoadominerdetInCompatibleSistema
0101planoyrectaciónsecInter2z
1yx
rx2z1xy
⇒⇒
=−⇒=λ−−λ⇒⇒
λ=λ+=
λ=≡⇒
=+=
Otra forma de ver si son paralelas o la recta esta contenida en el plano es ver si el producto escalar de los vectores directores es nulo ya son perpendiculares.
( )( )
( ) ( ) 0110,1,12,1,1vv0,1,1v
2,1,1vr
r =−=−⋅=⋅⇒
−==
π
π
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4
Continuación del problema E4 de la opción A b) El plano es generado por el vector director del plano y el de la recta y el formado por un punto R de la recta (se toma el determinado en la ecuación de la recta) y el punto genérico del plano que se busca, los tres vectores son coplanarios y por lo tanto el determinante de la matriz formada por ellos nulo y la ecuación buscada del plano
( )( )( )
( ) ( ) ( )( ) 01zyx02z2y2x20x2zz1y2
0011211z1yx
z,1y,x0,1,0z,y,xRG0,1,1v
2,1,1v
0,1,0RPunto
r
=−−+≡θ⇒=−−+⇒=+−−−
⇒=−
−≡θ⇒
−=−=−=
=
π
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5
( )1x
3x3xxf2
−+−
=
OPCIÓN B
E1.- Sea
a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y sus asíntotas (2 puntos) b) Esbozar su gráfica (0’5 puntos)
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )( ) ( )
ℜ∈∀⇒>−>⇒>−
>⇒>
−−
⇒>⇒
−−
=−−
=−
−+−+−−=
−+−−−−
=
x01x2x02x
0x0
1xx2x0x'foCrecimient
1xx2x
1xx2x
1x3x3x3x3x2x2
1x3x3x1x3x2x'f
)a
22
22
2
2
22
2
2
x > 0 ( - ) ( + ) ( + ) x > 2 ( - ) ( - ) ( + )
( x – 1 )2> 0 ( + ) ( + ) ( + ) Solución ( + ) ( - ) ( + )
Crecimiento ( ) ( )2x0x/x >∪<ℜ∈∀ Decrecimiento 2x0/x <<ℜ∈∀
( )
( )
⇒⇒=−
+⋅−=⇒=
⇒⇒−=−
+⋅−=⇒=
⇒ocrecimientantodecrecimieDerelativoMínimo6
1232322f2x
ntodecrecimieaocrecimientDerelativoMáximo310
30300f0xExtremos 2
2
( ) ( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )( ) ( ) ⇒
>⇒>−⇒>−ℜ∈∀⇒>
⇒>−
⇒>⇒
−=
−+−+−
=−
−−−−⋅=
−−−−−−
=
1x01x01xx02
01x
20x''fConcavidad
1x2x''f
1xx4x22x4x2
1xx2x21x1x2
1xx2x1x21x2x2x''f
)a
33
3
3
22
3
2
4
22
Concavidad 1x/x >ℜ∈∀ Convexidad 1x/x <ℜ∈∀
Punto de Inflexión ( ) ⇒⇒−
=−
−⋅−=⇒= soluciónhayNo
05
1131310f1x
2
No hay P.I.
( ) 1xenverticalAsíntota01
1131311f1x01x
2
=⇒=−
+⋅−=⇒=⇒=−
Asíntotas Verticales
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6
Continuación del problema E1 de la opción B Horizontales
−∞→
∞==
∞−
∞−
∞+
∞+
=−−
++=
−−
++=
∞∞
=−−++
=−
+−=
∞→
∞==−+−
=
∞−
∞
∞+
∞−
=−
+−=
−
+−=
∞∞
=−
+−=
∞→∞→∞→−∞→
∞→∞→∞→
xcuandohorizontalasíntotaexisteNo
01
11
331
x1
x1
x3
x31
lim
x1
xx
x3
xx3
xx
lim1x
3x3xlim1x
3x3xlimy
xcuandohorizontalasíntotaexisteNo
01
00001
11
331
x1
x1
x3
x31
lim
x1
xx
x3
xx3
xx
lim1x
3x3xlimy
2
2
x
22
222
2
x
2
x
2
x
2
2
x
22
222
2
x
2
x
Oblicuas
( )
( )[ ]
( )
( )[ ]
−∞→−=⇒−=−−
+=
−−
+=
∞∞
=−−+
=−+−
=−
+−+−=
⋅−
−+−
=−=
=+
++=
+
++=
∞∞
=+++
=−+−
==
∞→−=⇒−=−
+−=
−
+−=
∞∞
=−+−
=−
+−+−=
⋅−
−+−
=−=
=−
+−=
−
+−=
∞∞
=−+−
=−+−
==
∞→∞→
∞→−∞→−∞→−∞→−∞→
∞→∞→∞→−∞→−∞→
∞→
∞→∞→∞→∞→∞→
∞→∞→∞→∞→∞→
xcuando2xyoblicuaasíntotaExiste2
x11
x32
lim
x1
xx
x3
xx2
limn
1x3x2lim
1x3x2lim
1xxx3x3xlimx1
1x3x3xlimmxxflimn
1
x11
x3
x31
lim
xx
xx
x3
xx3
xx
limxx
3x3xlimx
1x3x3x
limxxflimm
xcuando2xyoblicuaasíntotaExiste2
x11
x32
limn
x1
xx
x3
xx2
lim1x
3x2lim1x
xx3x3xlimx11x
3x3xlimmxxflimn
1
x11
x3
x31
lim
xx
xx
x3
xx3
xx
limxx
3x3xlimx
1x3x3x
limxxflimm
xx
xx
22
x
2
xx
2
x
22
2
222
2
x2
2
x
2
xx
x
xx
22
x
2
xx
2
x
22
2
222
2
x2
2
x
2
xx
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti
7
Continuación del problema E1 de la opción B b)
-10
-5
0
5
10
-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
E2.- a) Hallar los parámetros reales a y b para los que la función
( )( )
≤+
>−
=0xsibx
0xsix
axxsenxf
2
2 es continúa en ℜ (1’5 puntos)
b) Calcular ( ) dx
xxln
2∫ (1 punto)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
≤
>−
=
=⇒====⇒
=+==
=
=−=−=−
= →==−
=
= →−
=−
=−
= →==⋅−
=
−+
+
−
−−
−−
→→→
→
→→
=⇒=−
→→
0xsix
0xsix
xxsenxf
0b0xflimbxflim0fbb0xflim0f
0xflim
020´
20sen´
2xsenlim
00
x21xcoslim
0a1
0.2a0cos
x2axcoslim
00
00a0senxflim
)a
2
2
0x0x2
0x
0x
0x
Hopital'LUtilizando
0x
1a0a1
0x
Hopital'LUtilizando20x
Y
X
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti
8
Continuación del problema E2 de la opción B
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
−=−
===⇒=
=⇒=
++−=−⋅−=+⋅−=⋅−−⋅−=
∫ ∫
∫∫∫
−−
x1
1xdxx
xdxvdv
xdx
xdxduuxln
K1xlnx1
x1xln
x1
xdxxln
x1
xdx
x1xln
x1dx
xxln
)b
12
22
22
E3.- Discutir y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales según los valores
del parámetro m:
+=++=−−=++
1mzmyx30zyx1zyx
(2’5 puntos)
( ) { } ( )
adominerdetInCompatibleSistema01
1
000220
111
11
1
220220
111
201
113111
111
1mSi
adominDeterCompatibleincógnitasdeNúmero3Arang0A1xtodaPara
1m2m202m20ASi2m21m3m311m3111
111A
⇒
−−−≡
−−
−−−−≡
−−
=
⇒==⇒≠⇒−ℜ∈∀
⇒=⇒=⇒=−⇒=⇒−=−+++−−=−−=
E4.- a) Hallar la recta r que pasa por el punto A(1 , - 1 , 0) , esta contenida en el plano
0yx =+≡π y corta a la recta zyxs ==≡ (1’5 puntos) b) Hallar la distancia del punto B(2 , - 2 , 2) a la recta s (1 punto) a) El segundo punto P de la recta r buscada es el de intersección de la recta s y el plano π
( ) ( ) ( )
=α+−=α−=
≡⇒−=−−=⇒
===
⇒=λ⇒=λ+λ⇒
λ=λ=λ=
≡0z
1y1x
r0,1,10,1,10,0,0AP0z0y0x
P00zyx
s
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti
9
Continuación del problema E2 de la opción B Calcularemos un plano θ perpendicular a la recta s, plano que tiene como vector director el de la recta que es perpendicular al vector BG formado por el punto dado y el punto generador del plano buscado y por ello el producto escalar, de ambos, es nulo. Hallado el plano calcularemos el punto de corte S de la recta s con él, el módulo del vector BS es la distancia pedida
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) u3
64396
9166416
34
38
34BSS,Bds,Bd
34,
38,
342
32,2
32,2
322,2,2
32,
32,
32BS
32z32y32x
S3202302
02zyxzyx
sysdeciónsecInter
02zyx02z2y2x
01,1,12z,2y,2x0BGvBGv2z,2y,2x2,2,2z,y,xBG
1,1,1vv
222
s
==++
=
−+
+
−===
⇒
−=
−+−=−−
=
⇒
=
=
=
⇒=λ⇒=−λ⇒=−λ+λ+λ⇒
=−++
λ=λ=λ=
≡⇒θ
⇒=−++≡θ⇒=−+++−
⇒=⋅−+−≡θ⇒=⋅⇒⊥⇒
−+−=−−===
θθθ
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti
OPCIÓN A E1.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1 , 2) y determina en el primer cuadrante con los ejes coordenados un triángulo de área mínima. Calcular dicha área (2’5 puntos).
(1 , 2)
(0 , y)
(x , 0)
OY
OXx
y
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
3
3
33
22
3
2
2
2
4
22
2
22
2
2
2
2
2
22
2
22
21
2
1
u44221A
04yx2rx24y
x24y0x24y21220m4,0y0,2,2,1porpasarectaLa
414
1222y
2x
Mínimo0212
1222''A
Máximo021
210
20''A
1x2
1xx4x22x2x2x2
1xx2x21x2x2
dxAd''A
1xx2x1x21x2x2
dxAd''A
0x2x02x
0x2x0x2x
01x
x2x0'A1x
x2x1x
xx2x21x
x1xx2dxdA'A
1xx
1xx2x
21A
yx21A
1xx2
x1x2
x12x22
x122y
x12y2mm
x12
1x2
1x20m
y212y
102ym
=⋅=
⇒=−+≡⇒−=
⇒−=−⇒−⋅−=−⇒−=−−
=⇒
==−⋅
=
=⇒
⇒>==−
=
⇒<−=−
=−
=
⇒−
=−
+−+−−=
−−−−−
==
−−−−−−
==⇒
==⇒=−
⇒=−⇒=−
⇒=−−
⇒=⇒−−
=−
−−=
−−−
==⇒−
=−
⋅=
⇒
⋅=
−=
−−
=−−−
=−
−=⇒−
=−⇒=⇒
−=
−−
=−−
=
−=−−
=−−
=
1
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti E2.- a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función ( ) 1xxf −= en el intervalo [ ]2,2− .Calcular la función derivada de f(x) en ese intervalo (1’25 puntos) b) Calcular el área del recinto delimitado, en el primer cuadrante, por la gráfica de la función y = ln x y las rectas y = 0 , y = 1 y x = 0 (1’25 puntos)
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( ) ( )
1xenderivableesNo
1xflim1x'flim1x'flim1x'flim
2x1si11x2si1
x'f
1xencontinuaEs0xflimxflim1f011xflim1f011xflim
1xendcontinuidalaEstudiemos2x1si1x
1x2si1xxf1x01x
)a
1x1x1x
1x
1x1x1x
1x
=
⇒−=≠=⇒
=
−=⇒
<≤<≤−−
=
⇒=⇒===⇒
=−==
=−−=
⇒=⇒
<≤−<≤−−−
=⇒>⇒>−
−++
−
−++
−
→→→
→
→→→
→ b)
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
0 1 2 3 4
( )
] ( )] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )[ ] ( ) 2
e1
e0
e
1
e
0
1
0
u1e1010eeA
10111ee11ln11elne0e1xlnxxdxxlndx1A
xdxvdvdxx
dxduuxln
K1xlnxxxlnxdxxlnxx
dxxxlnxdxxln
eex1xln1yCon1ex0xln0xCon
funcionesentrecortedePuntos
−=−⋅−⋅−=
=−⋅−−⋅−=−⋅−−⋅−−=−⋅−=−⋅=
==⇒=
=⇒=
+−⋅=−⋅=−⋅=⋅−⋅=
⇒
==⇒=⇒===⇒=⇒=
⇒
∫∫
∫
∫∫∫
2
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti
E3.- a) Averiguar para que valores de m la matriz
−−−
−=
2011
101
mmA no tiene inversa
(0’5 puntos) b) Calcular la matriz inversa de A cuando m = 0 (1 punto) c) Sabemos que el determinante de una matriz cuadrada A vale -1 y que el determinante de la matriz 2. A vale -16 . ¿Cuál es el orden de la matriz? (1 punto)
( )
( )
{ }
( )
( ) 442216216121622)
210021112101
100122102
21
100122102
201010011
22001
)12
01,2
22
31
12
31
29109812141
020202220
11101
)
4
1
21
1
1
2
2222
=⇒=⇒=⇒=⇒−=−⇒−==
−
−−
−−
=
−−−−−
⋅=
⇒
−−−−−
=⇒
−
−−=⇒=−+−=⇒⋅=
=−=
⇒≠⇒−−ℜ∈
−=−−
=
=+−
=⇒
±−=⇒≥=+=−⋅⋅−=∆
=−+⇒=−+−⇒=⇒+−−=−−=−−−
−=
−
−
−
−
AdeOrdennAAc
A
AadjAAAadjA
A
bmomcuandoAexisteNo
AExisteAmtodoPara
m
mm
mmmmASimmmmm
mA
a
nnnn
ttt
3
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti
E4.- Sean la recta
=+=+
≡0zmy
1yxr y el plano ( ) 11 +=+++≡ mmzymxπ . Estudiar la posición relativa
de la recta y el plano según los valores de m (2’5 puntos) Solo pueden ser coincidentes, paralelos o cortarse, si son coincidentes o paralelos los vectores directores de la recta y del plano son perpendiculares y su producto escalar nulo, en todo los demás casos el plano y la recta se cortan.
( )( )
( ) ( ) ( )
{ }
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
paralelossonplanoelyrectaLa
comunespuntoshayNo
yxzyx
RPuntoz
yx
r
mCuando
paralelossonplanoelyrectaLa
comunespuntoshayNo
zyxzyx
RPuntoz
yx
r
mCuando
planoelencontenidaestaroparalelossonplanoelyrrectalamparaomParamtodaparapuntounencorseplanoelyrrectaLa
mm
mmmmmmmmm
vvvvmmvmv
mzy
xrmyzyx
zmyyx
r rrr
⇒⇒≠−+⇒
=+⇒+=⋅+++
−⇒
==−=−=
≡
=
⇒⇒≠−⋅+⇒
=++⇒+=⋅+++
−⇒
=−−=−=−=
≡
=
==−ℜ∈
==
⇒=−⇒=+−⇒=−++−⇒=+⋅−−
⇒=⋅⇒⊥⇒
+=−−=
⇒
−==−=
≡⇒−=⇒−=⇒
=+=+
≡
111
1:10010:
0,1,100
11
0
2121
22:11111:
0,1,11
11
1
101,0tan
10
0100110,1,1,1,1
0,1,1
,1,11
10
1
22
ππλ
λ
ππλλ
λ
ππ
λλλ
πππ
4
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti
OPCIÓN B
E1.- Dada la función xxlny = , determinar su dominio de definición, sus asíntotas, extremos relativos y
puntos de inflexión (2’5 puntos)
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
⇒===
⇒≠=
⋅−=
⋅−=
⇒
⋅−=
⋅+−−=
⋅+−−=
⋅+−−⋅=⇒=⇒=⇒=⋅⇒=⋅+−⇒=
⇒<−=
⋅+−=
⋅+−=
⇒⋅+−
=−−−
=−−−
=−−−
=
⇒==⇒==⇒=⇒=−⇒=⇒−
=−
=
∞→
⇒=∞
=== →=∞∞
===
−∞→∞→=
⇒=∞
=== →=∞∞
==
−∞==⇒=⇒⇒−∞=
∞
∞−=
∞==
>ℜ∈=⇒
>ℜ∈⇒=
⇒=
∞→∞→∞→∞→
∞→∞→∞→
→ +
23
23
23
23
23
23
23
62
1223
4
23
23
23
446
22
6
23
23
333
3344
2
122
2xx
Hopital'LAplicando2xx
xx
Hopital'LAplicando
x
0x
e2
3,eenlexióninfPuntoe2
3
e
23
e
elnef0e2
e
23611
e''f
e
eln611e''fx
xln611x
xln2332x
xln23x3x2x''f
x
xln23x3xx2
x''fex23xln3xln20xln230x''f
e1,eenrelativoMáximo0
e1
e123
eeln23e''f
xxln23
xxln121
xxln1x2x
x
xln1x2xx1
x''f
e1
eelnefeex1xln0xln10x'f
xxln1
x
xlnxx1
x'f
xcuandooblicuaasíntotaexisteNo
01x21lim
x2x1
limx
xlnlimxxxln
limm
oblicuasAsíntotaslímitehaynototanloporxcuandofunciónexisteNo
xcuando0yhorizontalasíntotaExiste
01x1lim
1x1
limxxlnlimy
eshorizontalAsíntotas
00ln
xxlnlim0xverticalAsíntota100
0ln0f
0x/xfDom0x/xxln
0xxxlnxf
5
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti E2.- Halla el valor de m para que el área limitada, en el primer cuadrante, por la función 3x4y = y la recta y = mx sea de 9 unidades cuadradas (2’5 puntos)
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
( ) ( )( )
[ ] [ ]
⇒−==
⇒±=⇒=⇒−
=
⇒−=−⋅=
−
−
−
⋅=⋅⋅−⋅⋅=
⇒−=⇒
⇒−=⇒−=⇒=+
=⇒=⇒=−
=
⇒=+−⇒=−⇒=⇒
∫ ∫
soluciónesNo12m12m
144mm14416
mm29
16m
8m
16m
4m
2m0
2m0
2m
2mx
414x
21mA
dxx4dxmxA
soluciónesNo2mxmx20mx2
2mxmx20mx2
0x
0xmx2mx20xmx4mxx4funcionesentrecortedePunto
222
2224
4
2
2
2m
042
m
02
2m
0
2m
0
3
23
E3.- Discutir según los valores de m y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones:
=+=+=+
2yxmmyx2ymx
(2’5 puntos)
( ) ( )2,0y,xSolución
0x22x2yadominDeterCompatibleSistema22
1011
0mCuando
leIncompatibSistema0mCuando0m0mSim
m222
001m0
11
m222mm22
2
001m0
11
2mm22
2
1m01m0
11
2mm22
2
1m0m10
11
m22
m11m11
=⇒
=⇒=+⇒=⇒⇒
=
⇒≠⇒=⇒=−⇒
−−+−
⇒
−+−−+−≡
−−
−+−≡
−−
−−≡
E4.- a) Calcular un vector unitario y ortogonal a los vectores ( ) ( )1,0,1wy0,2,1v −== (1 punto)
6
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti
b) Calcular el plano que contiene a las rectas 2z0
3y1
xsy1zx01y
r −=+
=−
≡
=+=+
≡
(1’5 puntos) a) Es un vector perpendicular a los dos, para hallarlo calcularemos el producto vectorial de los vectores dados
( )
( )
−=⇒⇒=+−+=
⇒−=⇒−+=−
=×=
32,
31,
32uunitarioVector9212u
2,1,2ujk2i2101021kji
wvu
222
b) Veremos, primeramente si las rectas son paralelas o se cortan en un punto, de cruzarse o de ser rectas coincidentes no existiría plano determinado por ellas. De ser paralelas sus vectores directores son iguales o proporcionales y veremos si no tienen un punto común porque, entonces, son rectas coincidentes. Si no son paralelas analizaremos si tienen un punto común y en ese caso se cortaran en él, de no tenerlo serán rectas que se cruzan
( )
( )
escoincidentsonnorectasLasleIncompatibSistema2
posibleIm311
comúnpuntountienensiVeamos
paralelasoescoincidentrectasSonvv
1,0,1v2z
3yx
s
1,0,1vz
1y1x
rz1x
1yr
sr
s
r
⇒⇒
α+=λ⇒−=−
α−=λ+
⇒=⇒
−=⇒
α+=−=α−=
≡
−=⇒
λ=−=λ−=
≡⇒−=−=
≡
Sabiendo que son paralelas hallaremos el plano por medio del haz de planos que pasando por una de las rectas (tomamos r) pasen por un punto cualquiera S de la recta s (elegimos el determinado en la ecuación de la recta)
( )( )
( ) ( )
01z2yx201y2z2x2
01y211zx
21a0a21013a120SporpaseQue
01ya1zxrporpasaqueplanosdehazdelEcuación2,3,0S
1zx01y
r
=−++≡π⇒=++−+
⇒=+⋅+−+⇒=⇒=−⇒=+−⋅+−+⇒
⇒=+⋅+−+⇒⇒
−
=+=+
≡
7
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2010 Juan Carlos Alonso Gianonatti
1
31
OPCIÓN A Ejercicio 1. [2’5 puntos] La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 90 cm. Si se hace girar alrededor de uno de sus catetos, el triángulo engendra un cono. ¿Qué medidas han de tener los catetos del triángulo
para que el volumen del cono engendrado sea máximo? (Recuerda que el volumen del cono es V = πr2h).
( ) ( )[ ]
[ ] ( )
( ) ( )
=⋅=⋅=⇒⋅=−=−=
=
⇒<π−=π−=⇒π−=−π=⇒==
==⇒=−⇒=⇒−π=−+−π=
−+−π==⇒−π=⇒
−=⇒=+
π=
cm630270023
81002r3
810023
81008100h8100r
cm330h
Máximo03603302330''Vh2h631''Vcm3302700h
27003
8100h0h381000'Vh3810031h8100h2
31'V
h8100hh231
dhdV'Vhh8100
31V
h8100r90rh
hr31V
22
22222
22
22222
2
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2010 Juan Carlos Alonso Gianonatti
2
E2.- Dada la función 1x1x)x(f
−+
= , se pide
a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad y las asíntotas (1’5 puntos)
b) Calcular el área de la región limitado por la gráfica de la función ( )xxf)x(g = , el eje OX y las rectas x =
2 , x = 4 (1 punto)
( ) ( ) { }
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
ℜ∈⇒>−ℜ∈⇒<−
⇒>−−
⇒>⇒⇒−−
=−
−−−=
−+−−
=
−ℜ∈∀=⇒=−+
=⇒=⇒=−
x01xx02
01x20)x('foCrecimient
1x2
1x1x1x
1x1x1x)x('f
1xfDom02
11111f1x01x
)a
2
2222
∞− 1 ∞ - 2 < 0 ( - ) ( - )
(x - 1)2 > 0 ( + ) ( + ) Solución ( - ) f’(x) < 0 ( - ) f’(x) < 0
Decrecimiento ( ) ( )1x1x/x >∪<ℜ∈∀
( )( ) ( ) ( )
( )
>ℜ∈⇒>⇒>−⇒>−ℜ∈⇒<−
⇒>−−
⇒>⇒⇒−−
=−
−⋅−−=
1x/x1x01x01xx04
01x40)x(''fConcavidad
1x4
1x1x22)x(''f
3
334
∞− 1 ∞
- 4 < 0 ( - ) ( - ) x > 1 ( - ) ( + )
Solución ( + ) f’’(x) > 0 ( - ) f’’(x) < 0 Concavidad 1x/x <ℜ∈∀ Convexidad 1x/x >ℜ∈∀
( )
( )
∞==
−∞==⇒
+→
−→
+
−
02xflim
02xflim
1x
1x
Asíntotas Verticales
x = 1
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3
Continuación del Problema E2 de la opción A Horizontales
( )
( )
−∞→=⇒
=−−+−
=
∞−−
∞+−
=−−
+−=
−−
+−=
∞∞
=−−+−
=−+
==
∞→=⇒
=−+
=
∞−
∞+
=−
+=
−
+=
∞∞
=−+
==
∞→∞→∞→−∞→−∞→
∞→∞→∞→∞→
xcuando1yhorizontalAsíntota
10101
11
11
x11
x11
lim
x1
xx
x1
xx
lim1x1xlim
1x1xlimxflimy
xcuando1yhorizontalAsíntota
10101
11
11
x11
x11
lim
x1
xx
x1
xx
lim1x1xlimxflimy
xxxxx
xxxx
Oblicuas o inclinadas
( )
( )
−∞→
=++
=
∞+
∞+
∞−
=+
+−=
+
+−=
∞∞
=++−
=−+
==
∞→
=−+
=
∞−
∞+
∞=−
+=
−
+=
∞∞
=−+
=−+
==
∞→∞→∞→−∞→−∞→
∞→∞→∞→∞→∞→
xcuandooblicuaAsíntotaexisteNo
00100
11
11
x11
x1
x1
lim
xx
xx
x1
xx
limxx1xlim
x1x1x
limxxflimm
xcuandooblicuaAsíntotaexisteNo
00100
11
11
x11
x1
x1
lim
xx
xx
x1
xx
limxx
1xlimx
1x1x
limxxflimm
2
x
22
2
22
x2xxx
2
x
22
2
22
x2xxx
( ) ( ) [ ]
[ ]( ) [ ]
[ ] [ ] ( ) ( )
( ) ( )
29ln2ln9lnA
2A11A1BA1B1B
x1xBBxAx
xB
1xA
x1x1x
3t4x1t2x
dtdxt1x
2ln1ln3ln22ln4lnxln2xlndtt12dx
x1dx
1x2dx
xx1xA
4,20xverticalAsíntota01
00100f0xOYCon
4,21x01x0yOXConejeslosconcortedePuntos
4,2enpositivaZona32
64
33133f
xx1x
x1x1x
xxf
)b
31
42
3
1
4
2
4
2
4
22
2
22
=−=
=⇒=−⇒=+−=⇒=−
⇒−
−+=+
−=
−+
=⇒==⇒=
⇒=⇒=−
−−⋅=−−=−=−
+−
=−+
=
∉=⇒⇒=−+
=⇒=⇒
∉−=⇒=+⇒=⇒⇒
⇒==−+
=⇒−+
=−+
=
∫∫∫∫
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4
E3.- Dadas las matrices
=
−−
−=
−=
010321
Dy642
531C,
m10010001
B :
a) Para que valores de m existe B-1. Para m = 1, calcular B-1 (1’5 puntos) b) Para m = 1 hallar la matriz X tal que X.B + C = D (1 punto) a) Existe B-1 si el det(B) es distinto de cero
{ } ( )
( )
( ) ( ) ( )
−=
⋅
−
−=
⋅
−−
−−
=
−=⇒−=⇒−=
=
⋅=⇒
=⇒
−=⇒
−=⇒=
=
⋅=⇒−ℜ∈∀⇒∃⇒=⇒=⇒=−
=
−−−
−
−
−−
632230
110010001
632250
110010001
642531
010321
)
110010001
110010001
11
110010001
100110
001
110010001
1
1
100010
010001
111
1
1
11
X
BCDXBCDXBBCDXBb
B
BBadjBBB
mPara
BadjB
BmBmBmm
B
tt
t
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5
E4.- Se considera las rectas dadas por las ecuaciones: az
21y
32xs,
2zyx21zyx
r =+
=−
≡
=−+=+−
≡ con
ℜ∈a , y el plano 02zyx =−++≡π . a) Halla el valor del parámetro a para que r y s sean perpendiculares (1’5 puntos) b) Hallar la recta t paralela a r y que pasa por el punto de s cuya coordenada es z = 0 (1 punto) a) La condición es que los vectores directores de r y s son perpendiculares y por ello su producto escalar nulo.
( )
( )
( ) ( ) 2a0a20a.12.13.00a,2,31,1,0
0vvvv
a,2,3vaz
21y32x
s
1,1,0vzy
1xr
zy1zy11x3x3
r
srsr
s
r
−=⇒=+⇒=++⇒=⋅
⇒=⋅⇒⊥⇒
=⇒
µ=µ+−=µ+=
≡
=⇒
λ=λ=
=≡⇒
=⇒=+−=⇒=
≡
b) El vector director de t es el mismo que el de r, y el punto P lo hallaremos una vez hallado µ
( )
( )
α
α=+−=
=≡⇒
−⇒
=−=+−=
=⋅+=⇒=µ⇒
µ−=µ+−=µ+=
≡
==
z1y2x
t0,1,2P
0z10.21y
2032xP0
2021y
32xs
1,1,0vv tr
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6
( ) ( )
>+
≤++=
0xsix
1xln0xsicbxx
xf2
OPCIÓN B
E1.- Calcular b y c sabiendo que la función es derivable en el punto x = 0
(2’5 puntos) La función, primero, debe de ser continua y después la función derivada continua
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( )
( )( ) ( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )[ ] ( )[ ]
( ) ( ) ( )
( ) ( )
>+
≤+−=
⇒−=⇒−====
−=⋅+++
+−
=+++
+−
=
==
= →==++⋅⋅
+−=
+++−
=++−+−
=
==
⇒
++
++
++−= →==
+⋅+⋅+−
=
=+⋅==
⇒
>+
++−=
+−+
≤+
=
=⇒====
⇒
=+
=+
=+= →==+
=
=+⋅+==
+−
++
−
+++
−
++
−
+−
+++
−
→→
→→
→
→→→
→
→→
→
→→
→→→
→
0xsix
1xln
0xsi12xx
xf
21b
21x'flimbx'flim0'f
21
02010210
1
x2x1x21x
1
limx'flim
bx'flim0'f
00
0100210ln
x1xx21xlnlim
x1xx211xln1limx'flim
bx'flim0'fx1xx2
1x1x1xln1
lim00
10010ln100x´flim
bb02x'flim0'f
0xsi1xx
1xln1xxx
1xln1x
x0xsibx2
x'f
1c1xflimcxflim0f
110
11x
1lim1
1x1
lim00
010lnxflim
cc0b0xflim0f
2
0x0x
0x0x
0x
Hopital'LAplicando220x20x0x
0x
20x
Hopital'LAplicando20x
0x
22
0x0x
0x0x
Hopital'LAplicando
0x
2
0x
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7
E2.- Calcular la siguiente integral dx2x3x2
1
2∫−
+− (2’5 puntos)
( )
( ) ( )
>ℜ∈∀⇒>⇒>−>ℜ∈∀⇒>⇒>−
⇒>−⋅−
=−
=
=+
=⇒
±=⇒>=−=⋅⋅−−=∆⇒=+−
1x/x1x01x2x/x2x02x
01x2x
12
13x
22
13x
213x0189214302x3x 22
∞− 1 2 ∞ x > 1 ( - ) ( + ) ( + ) x > 2 ( - ) ( - ) ( + ) x > 1 ( + ) f(x) > 0 ( - ) f(x) < 0 ( + ) f(x) > 0
( )
( ) ( ) [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )
629dx2x3x
6102712
35
2922
29
374
32123
237
31220
232
31dx2x3x
122122312
3111211
2311
31dx2x3x
x2x213x
31x2x
213x
31dx2x3x
x2x213x
31dx2x3xdx2x3xdx2x3x
2xsi2x3x2x1si2x3x
1xsi2x3x2x3xxf
2
1
2
2
1
2
223322332
1
2
21
21
221
311
11
211
32
1
2
11
11
211
32
1
21
1
22
1
2
2
2
2
2
=+−
−+=−+=−+−+=⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=+−
−⋅−−⋅+−⋅−−−⋅+−−⋅−−−⋅=+−
⋅−⋅⋅+⋅−⋅+⋅⋅−⋅=+−
⋅+⋅⋅−⋅=−+−++−=+−
>+−≤≤−+−
<+−=+−=
∫
∫
∫
∫
∫∫∫
−
−
−
−−−−
−−−−−
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8
E3.- Discutir según los valores del parámetro a, y resolver cuando sea posible: ( )( )
=+−+=−+
=+
aazy1ax0z1ay
1zx (2’5
puntos)
( )
( )
{ } ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
leIncompatibSistema101
000110101
101
110110101
201
211110101
2aSi,0,1Soluciónz1x
1zx0yadominerdetInCompatibleSistema001
000010101
101
101010101
1aSi2a
12a1a
1a2a1a
a1a1010101
z
2a1a
2a1a1a
2a1aa11a
2a1a1aa1a
2a1aaa1
1a00111
y
2a1a
2a1a1a
2a1a1aaa
2a1aa1aa
1a10101
x
SoluciónadominDeterCompatibleSistemaincognitasdeNúmero3Arang2,1a
1a2a
213a189214302a3a02a3a
0ASi2a3a1a1a2a1a1aa1a1
1a10101
A
2
22
222
222
⇒
≡
≡
=λλ−⇒−=
⇒=+⇒=⇒⇒
≡
=−
−=−⋅−−
−=
−⋅−−
−=
−−
=−⋅−−
−−=
−⋅−−−⋅−
=−⋅−−−⋅−−
=−⋅−−
−
=
−−
=−⋅−−
−−=
−⋅−−−−−
=−⋅−−
−−
=
⇒==⇒−ℜ∈∀
⇒
==
⇒±
=⇒=−=⋅⋅−−=∆⇒=+−⇒=−+−
⇒=⇒−+−=−+−+−=−−−=−
−=
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9
E4.- Dadas la rectas
=−=−
≡−
==−
≡4zy20yx2
ty2
1zy3
1xs , se pide halla la perpendicular a s y a t
y la distancia entre ambas rectas (2’5 puntos) Cualquier recta r que se apoya en s y en t, tiene como vector director la diferencia entre los puntos generales de las dos rectas, como esta tiene que ser perpendicular a los dos el producto escalar de este vector con el de cada uno de las rectas es nulo. Así se hallaran los parámetros µλ y que nos dará la ecuación de la recta r pedida, posteriormente al hallazgo previo del punto S de corte de la recta s con la recta r, después hallaremos el punto T, punto de corte con la recta t y la distancia pedida es la que hay entre estos puntos
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u5140012011T,Sdt,sd
0,2,1T144z
12y1x
T
1z220y101x
r1,0,1S021z
0y031x
S
1,2,014025,120,1031v11313
013130012502732731690273273294
02121130131314
0168204231084102393
0425,2,314,2,10425,2,312,1,3
0vvvv0vvvv425,2,314421,2,31v
4,2,1v44z
2yx
t4x4z4zx4
x2yt
2,1,3v21z
y31x
s
222
r
trtr
srsrr
t
s
=++=−+−+−==
⇒
⋅+−=⋅=
=
α+=α−=α−=
=α⋅+=≡⇒
⇒
⋅+==
⋅+=
−=⋅−⋅+⋅−−⋅+=⇒=µ⇒−=µ−
⇒=+µ−⇒=λ⇒=λ⇒
=−µ+λ−=+µ−λ
⇒
=+µ−λ=+µ−λ
⇒
=µ−λ++µ−λ+µ−λ+=µ−λ++µ−λ+µ−λ+
⇒
=µ−λ+µ−λµ−λ+⋅=µ−λ+µ−λµ−λ+⋅
⇒
=⋅⇒⊥=⋅⇒⊥⇒µ−λ+µ−λµ−λ+=µ−+λ+µ−λµ−λ+=
⇒
=⇒
µ+−=µ=µ=
≡⇒
−=⇒=−=
≡
=⇒
λ+=λ=λ+=
≡
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1
( ) ( ) x1xgyxlnxf −==
OPCIÓN A E1.-a) Dadas las funciones , hallar el recinto plano limitado por las rectas x = 1, x = 2 y las gráficas de f(x) y g(x) (2 puntos) b) Dar un ejemplo de función continua en un punto y que no sea derivable en él (0’5 puntos) ( ) ( ) x1xgxlnxf −=⇒=
-2
-1
0
1
2
0 1 2 3
( )
( ) ( ) ( )[ ] [ ] [ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )
2
22
21
221
2
1
21
2
1
2
1
2
1
u212ln2A
2322ln2
2311022ln212
211211ln112ln2A
x21x1xlnxdxx1dxxlndxx1dxxlnA
xdxvdvdxx
dxduuxln
1xlnxxxlnxdxxlnxx
dxxxlnxdxxln
−=
+−=+−−−−=−⋅+−−−⋅−−⋅=
⋅+−−⋅=−−=−+=
==⇒=
=⇒=
−⋅=−⋅=−⋅=⋅−⋅=
∫ ∫∫ ∫
∫
∫∫∫
Y
X
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2
Continuación del problema E1 de la opción A
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1xenderivableesNo
3xflim1xflim1f1x'flim1'f3x'flim
1xsi11xsi3
x'f
1xenContinuaEs
8xflimxflim1f851.3xflim1f851.3xflim
1xsi7x1xsi5x3
xf
)b
1x1x1x
1x
1x1x1x
1x
=
=≠==
⇒==
=⇒
≤<
=
=
===
⇒=+==
=+=⇒
≤+<+
=
−++
−
−++
−
→→→
→
→→→
→
E2.- a) Si el termino independiente de un polinomio p(x) es – 5 y el valor que toma p(x) para x = 3 es 7, ¿se puede asegurar que p(x) toma el valor 2 en algún punto del intervalo [0 , 3]. Razonar la respuesta y enunciar los resultados teóricos que se utilicen (1’5 puntos)
b) Calcular dxxsen1
xcos2∫ +
(1 punto)
a) Si, se puede asegurar, como también se puede asegurar que habrá un cero en ese intervalo
Teorema de Weierstrass es un teorema de análisis real que establece que una función continua en un intervalo cerrado y acotado (de números reales) alcanza sus valores máximo y mínimo en puntos del intervalo. También se puede enunciar en términos de conjuntos compactos. El teorema establece que una función continua transforma intervalos compactos en intervalos compactos, entendiéndose por intervalo compacto aquel que es cerrado (sus puntos frontera le pertenecen) y acotado.
De este teorema se deriva el teorema del valor intermedio que determina que si f una función continua en un intervalo [a,b] y supongamos que f(a) < f(b). Entonces para cada u tal que f(a) < u < f(b), existe un c dentro de (a,b) tal que f(c) = u. La misma conclusión se obtiene para el caso que f(b) < f(a). En nuestro caso p(0) = -5 < p(3) = 7, entonces como p(0) < 2 < p(3), existe un valor c dentro de (0 , 3) tal que p(c) = 2
Teoremas que lo confirman
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3
Continuación del Problema E2 de la opción A
( )
dtdxxcostxsen
Kxsentgarcttgarcdxt1
dtdxxsen1
xcos)b 22
=⇒=
+==+
=+ ∫∫
E3.- a) Sea B una matriz cuadrada de tamaño 3 x 3 que verifica B2 = 16.I, siendo I la matriz unidad. Calcular el determinante de B (1’5 puntos)
b) Hallar todas las matrices X que satisfacen la ecuación
=⋅
200100
X2010
(1 punto)
−==
⇒±=⇒=⋅=⋅==64B
64B256B16116I16BB
)a
33322
b) X es una matriz de tamaño 2 x 3
=⇒
===ℜ∈ℜ∈ℜ∈
⇒
=
⇒
=
⋅
100cba
X
1f0e0d
cba
200100
f2e2d2fed
200100
fedcba
2010
E4.- Se considera la recta
=−=+−
≡4zay
0azyxr con ℜ∈a , y el plano 02zyx =−++≡π .
a) Halla todos los valores de a para los que r es paralela a π (1 punto) b) Para a = 2 hallar la distancia de r a π (1 punto) c) Para a = 1 hallar la distancia de r a π (0’5 puntos) a) Para que r sea paralela al plano π se tiene que cumplir que los vectores directores de la recta y el plano sean perpendiculares y, por lo tanto, su producto escalar es nulo.
( )( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
−=−
=
=+
=⇒
±=⇒>=+=−⋅⋅−−=∆⇒=−−
⇒=++−⇒=⋅−⇒=⋅⇒⊥⇒
≡−≡
⇒
+−=λ=
λ−+=≡⇒+−=⇒−+=⇒=+−⇒
=−=+−
≡
ππ
π
12
31a
22
31a
291a0981214102aa
0a1a101,1,1a,1,a10vvvv1,1,1v
a,1,a1v
ay4zy
a1a4xray4zya1a4xa4yayx
a4azya0azyx
r
22
22rr
2r
2
222
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4
Continuación del Problema E2 de la opción A b) Al ser paralela se calculará la distancia de unos de sus puntos R, al plano dado π
( )( ) ( ) ( ) ( )
u3
323
2111
2408,Rd,rd4,0,8R
y24zy
2124xr
222
2
==++
−−++=π=π⇒−⇒
+−=λ=
λ−+⋅=≡
c) La recta es secante, ya que no puedes ser paralela por lo tanto la distancia de la recta al plano es cero.
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5
( ) ( )
( )
( )
===
=⇒⇒>
+=
⇒
+=
+−=
−−⋅==
⇒==⇒=⇒=−⇒=−
⇒=⇒
−=
−=
−==⇒
+=
⋅+=
⇒
+=+⋅⇒+⋅+⋅=⋅⋅++⋅=
=⇒⋅=
cm5'736270
6270H
cm6btecosMínimo0
64326256''P
b432b25
b432b2b325
b216bb2bb325
dbPd''P
.cm6216b216b0216b0b
216b0'Pb
216b25'P
b1080b55
b1080b55
dbdP'P
b1080b52́5
b270b4b52́5P
bH4b52́5bH20b5'12bH20b5b5'7b5'15bH4b5Pb270HHb270
23
3
3
3
3
33
4
322
2
2
3332
3
2
3
2
3
22
22
222222
22
OPCIÓN B E1.- Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 270 cm3. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 5 €/ m2 y para la base un material un 50 % más caro. Hallar las dimensiones de la caja para que el coste sea mínimo (2’5 puntos) Llamando b a la longitud de la base cuadrada y H a la altura
E2.- Hallar el valor de a para que se verifique que ( )xsenxxlim
1x2ax2lim 2
32
0x
5x
x
−=
−+
→
+
+∞→
( ) ( )( )
( )
( ) ( )( )[ ] ( )[ ]1a01a0
21aee1e
0cos22
02cos2062
x2cos2x62lim
xsenxcos2x62lim
xsenxsenxcos2x62lim
eee
1a1x2
11lim
00
xcosxsen2x3x2lim
00
xsenxxlim
1a1x2
11lim1x21a
1x21x2lim
1x21a1x2lim1
1x2ax2lim
021a
21a
0x220x20x
21a
1x25a5x1alim
1x25a5xaxlim
1x21a5xlim
1a1x2
x
Hopital'LAplicando2
0x
Hopital'LAplicando2
32
0x
5x
x
5x
x
5x
x
5x
x
xx
x
−=⇒=+⇒=+
⇒=⇒=
⋅=
⋅⋅⋅−
=⋅−
=−⋅−
=−⋅+⋅
−
===
+−
+
⇒
= →==⋅⋅
−= →==
−
+−
+=
−+
+−−
=
−++−
==
−+
++
→→→
+−
+++−
+++
−+
⋅+
+−
+∞→
→→
+
+∞→
+
+∞→
+
+∞→
∞+
+∞→
+∞→+∞→
+∞→
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6
E3.- Consideramos el sistema de ecuaciones lineales:
=++=+−+=+−
az3yx1zayx
a1azyx2,
a) Discutir el sistema para los distintos valores del parámetro a (2 puntos) b) Resolver el sistema para a = 1 (0’5 puntos)
( )
{ } ( )
( )
( ) ( )0,0,1Solución04
igualescolumnasDos04
211111212
x
04
igualescolumnasDos04
311111122
y144
4321116
4311111112
x
adominDeterCompatibleSistema041.51A1aSi)b
leIncompatibSistema
84
6
000390
512
124
6
390390
512
44
6
130390
512
1026
6222102512
516
311151512
5aSi
leIncompatibSistema4
11
000210012
111
630210012
021
622202012
011
311101012
0aSi
adominDeterCompatibleSistemaincognitasdeNúmero3Arang5,0a
5a0a
05aa0a5a0ASia5a32aa1a63111a1a12
A
2
222
⇒=−
=−
−−
=
=−
=−
==−−
=−
+−++−−=
−
−−
=
⇒≠−=−=⇒=
⇒
−−−
−≡
−−−
−≡
−−−
−≡
−−
≡
−−
=
⇒
−
−≡
−
−≡
−≡
−
=
⇒==⇒−ℜ∈∀
==
⇒=−⇒=−⇒=⇒−=+−++−−=−−
=
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7
E4.- Dados el punto P(1 , 1 , -1), la recta 3z4
6yxr −=+
=≡ y el plano
012z6x6 =−+≡π , se pide: a) Halla el punto simétrico de P respecto del plano π (1’5 puntos)
b) Hallar los puntos Q de r que distan 2
1unidades de longitud de π (1 punto)
a) Hallaremos un recta s que pase por P y es perpendicular al plano π , para generarla utilizaremos como vector director el del plano dado. Una vez hallada la recta, calcularemos el punto de corte S, de esta, con el plano que es el punto medio entre P y su simétrico P’
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )1,1,3'P
1z1z02
1z0
1y1y22
1y1
3x1x42
1x2
0,1,2S11x
1y11x
101212012161.016
1x1y
1xs1,0,16,0,6vv
'P'P'P
'P'P'P
'P'P'P
s
⇒
=⇒−=⇒−
=
=⇒+=⇒+
=
=⇒+=⇒+
=
⇒⇒
+−==+=
≡=λ⇒=−λ⋅⇒=−λ+−⋅++λ+⋅
⇒
λ+−==
λ+=≡⇒≡==π
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
−−⇒
−+=−⋅+−=
−=⇒−=µ⇒−=µ⇒+µ=−
−⇒
+=⋅+−=
=⇒=µ⇒=µ⇒+µ=
⇒
−µ++µ=−⇒++
−µ+⋅+µ=−
−µ++µ=⇒++
−µ+⋅+µ=
⇒±=π⇒
µ+=µ+−=
µ=≡
2,10,1S13z
146y1x
T112126126
0,6,0S03z
046y0x
S00126126
1261866606
123662
1
12618636606
123662
1
21r,d
3z46y
xr
)b
222
222
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1
( ) ( )x
2
e3xxf +
=
OPCIÓN A
E1.- Dada la función , se pide determinar:
a) El dominio, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas (1 punto) b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos (1 punto) c) La gráfica de f (0’5 puntos)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
∞→
=∞
=+
=++
= →=
=∞∞
=++⋅
= →=∞∞
=+
=
+
==
−∞→
∞=∞⋅====
= →=∞∞
=−−
= →=∞∞
=+−
=++
=
∞→=
=∞
== →=∞∞
=+⋅
= →=∞∞
=+
=
−⇒−=⇒=+⇒=+⇒+
=⇒=⇒
⇒==+
=⇒=⇒⇒
ℜ∈∀=⇒ℜ∈∀⇒≠
∞→∞→
∞→∞→∞→∞→
∞→∞→−∞→
−∞→−∞→−∞→
∞→∞→∞→
xcuandooblicuaAsíntotaexisteNo
02xee2
2limxeee
2lim
xee3x2lim
xe3xlim
xe
3x
limxxflimm
oblicuasAsíntotas
xcuandohorizontalAsíntotaexisteNo
2e2lim
e12lim
e2lim
e6x2lim
e9x6xlim
e9x6xlimy
xcuando0yhorizontalAsíntota
02e2lim
e3x2lim
e3xlimy
eshorizontalAsíntotas
verticalesasíntotashayNo
0,33x03x03xe
3x00yOXCon
9,0919
e300f0xOYCon
cortedePuntos
xfDomx0e)a
xxxxxxx
Hopital'LUtilizando
xxx
Hopital'LUtilizandox
2
x
x
2
xx
x
x
x
xxx
Hopital'LUtilizandoxx
Hopital'LUtilizandox
2
xx
2
x
xx
Hopital'LUtilizandoxx
Hopital'LUtilizandox
2
x
2x
2
0
2
x
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2
Continuación del Problema E1 de la Opción A
( )
( )( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
ℜ∈∀⇒>−>ℜ∈∀⇒−>⇒>+−>ℜ∈∀⇒−>⇒>+
ℜ∈∀⇒<−
⇒>++
−⇒>⇒
++−=
−−+=
+−+=
+−+=
−∞→
∞=−+⋅
=
= →=∞∞
=−−
=−−
=−−
=−−−
=
= →=∞∞
=−
+−=
++=
+
==
∞→
∞→−∞→−−∞→−−∞→
−∞→−∞→−∞→−∞→
x0e1x/x1x01x3x/x3x03x
x01
0e
1x3x0x'fCreciente
e1x3x
e1x3xe
e3x23xe
e3xee3x2x'f
)b
xcuandooblicuaAsíntotaexisteNo1
e6x2e2lim
1xe6x2lim
e1x6x2lim
exe6x2lim
xee6x2lim
xe9x6xlim
xe9x6xlim
xe
3x
limxxflimm
ónContinuacioblicuasAsíntotasónContinuaci)a
x
x
xx2
x
x2
x
x2
2xx
xx
x
Hopital'LUtilizandox
xxxxxxxxx
Hopital'LUtilizandox
2
xx
2
x
x
2
xx
∞− - 3 -1 ∞ -1 < 0 ( - ) ( - ) ( - ) x < - 3 ( - ) ( + ) ( + ) x < - 1 ( - ) ( - ) ( + ) ex ( + ) > 0 ( + ) ( + )
Solución ( - ) f’(x)<0 ( + ) f’(x)>0 ( - ) f’(x)<0 Crecimiento 1x3/x −<<−ℜ∈∀ Decrecimiento ( ) ( )1x3x/x −>∪−<ℜ∈∀
Mínimo relativo en x = -3 ( ) ( ) 0e0
e333f 33
2
==+−
=−⇒ −− De decrecimiento pasa a
crecimiento
Máximo relativo en x = -1 ( ) ( ) e4e2
e311f 1
2
1
2
==+−
=−⇒ −− De crecimiento pasa a
decrecimiento
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3
Continuación del Problema E1 de la Opción A
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
E2.- Calcular ( ) ( )( )∫ +
++e
1
23
xln1xxlnxln1
(2’5 puntos)
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( )( ) ( ) [ ] [ ] ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )[ ] 2ln231ln2ln1
2101ln11ln0101
21
t1lntt21
t1dtdt1tdx
xln1xxlnxln1
12t21t2
2ttt
1t1t3t
01lnt1x1elntex
dtx
dxtxln
t1dtdt1tdt
t1tt31dx
xln1xxlnxln31dx
xln1xxlnxln1
22
10
10
10
21
0
1
0
e
1
23
2
2
1
0
1
0
1
0
2e
1
2e
1
23
−=+−+=+−+−−+−⋅=
=+−+⋅=+
−+=+++
−−−+
+−−
+++
==⇒===⇒=
⇒=⇒=
+−+=
+++
=+++
=+++
∫∫∫
∫∫∫∫∫
X
Y
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4
E3.- Hallar la ecuación general del plano que pasa por el punto A(1 , 0 , - 1), es perpendicular
al plano 01z2yx =++−≡π y es paralelo a la recta
=−=
≡0y2x
0zr (2’5 puntos)
Los vectores directores de la recta r, del plano π y el formado por el punto A y el punto genérico G, son coplanarios y por lo tanto el determinante de la matriz que forman los tres es de valor nulo.
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 05z3y4x201z3y41x20y41z1z21x2
0211012
1zy1x
1z,y,1x1,0,1z,y,xAG2,1,1v
0,1,2v
0zy
2xry2x
0y2x0z
r
r
=−−−≡π⇒=+⋅−−−⋅⇒=−+−+⋅−−⋅
⇒=−
+−≡π⇒
+−=−−=−=
=
=λ=λ=
≡⇒=⇒
=−=
≡
π
E4.- a) Sea A una matriz cuadrada tal que A2 – 3A = - 2I (siendo I la matriz identidad). Probar que A admite inversa y utilizar la igualdad dada para expresar A-1
=
21m102m21
B
en función de A (1’5 puntos)
b) Sea la matriz de coeficientes de un sistema lineal. Hallar razonadamente
los valores de m para los que el sistema es compatible determinado (1 punto)
( ) ( ) ( )
( )
adominDeterCompatibleSistema0A49mtodoPara
49m09m40ASi9m481m2m2
21m102m21
A
0AadominDeterCompatibleSistemaelserPara)b
AdefunciónenvalorelcalculadohaseyayAExisteI3A21A
A2I3AA23AIIA23AAAI23AA)a
11
1111
⇒≠⇒
−ℜ∈
⇒=⇒=−⇒=⇒−=−−+==
⇒≠⇒
⇒−⋅=
⇒−=−⇒−=−⋅⇒−=−⋅⇒−=−⋅
−−
−−−−
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5
OPCIÓN B
E1.-De ℜ→ℜ:f se sabe que f’’(x) = x2
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )1217
3x10x
3x
12xxf
1217
1210124124
3101
31
1212C2C
31101
31
12121f
C3
x10x3x
12xx
310x
212x
31x
31
41dx
310x2x
3xxf
310x2x
3xx'f
3103
31K0K121
3101'f
Kx2x3xx2x
212x
31dx2x2xx'f
234
234
234
23423
23
23
23
232
+−++=
⇒=+−−−
=+−−−=⇒=+⋅
−++⇒=
⇒+−++=−⋅⋅+⋅+⋅⋅=
−++=
⇒−++=⇒−=−−=⇒=+⋅++⇒=
⇒+++=+⋅⋅+⋅=++=
∫
∫
+ 2x + 2 y que su gráfica tiene tangente horizontal en el punto P(1 , 2). Hallar la expresión de f (2’5 puntos)
E2.- a) Sean ( ) ( )
>≤
=−
=0xsix0xsix3
xgy2
xxxf 2 , hallar g[f(x)] (1 punto)
b) Calcular ( ) dxe3x2x+
∫ + (1´5 puntos)
( )( )
( )
( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dtdxt2x
eedtedxevdvdxedudxu3x
Ke2xe13xee3xdxee3xdxe3x
)b
0xsi00xsix3
xfg
0xsi00xsix
xf0xsi
2xx
0xsi2
xx
xf
)a
2xtt2x2x
2x2x2x2x2x2x2x
=⇒=+
====⇒==⇒=+
+⋅+=⋅−+=−⋅+=−⋅+=+
>≤
=
≤≤
=⇒
≤−
≤−−
=
+++
+++++++
∫∫
∫∫
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6
E3.- a) Determinar las coordenadas del punto simétrico de A(- 2 , 1 , 6) respecto de la recta
21z
23y
11xr +
=−
=+
≡ (2 puntos)
b) Hallar la distancia de A a r. (0’5 puntos) Hallamos un plano π que contenga al punto A y que es perpendicular a la recta r. El punto Q de intersección del plano con la recta r es el punto medio entre A y su punto simétrico A’ La ecuación del plano π es el producto escalar del vector director de la recta que es perpendicular al vector formado por A y el punto generador G del plano siendo dicho producto nulo
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )4,9,2'A
462y2y61
9110y2y15
2x2
x20
1121z5123y
011xQ10990122122321
planoelconrrectaladecortedePunto012z2y2x012z22y22x06z,1y,2x2,2,1
0AGvAGv6z,1y,2x6,1,2z,y,xAG
2,2,1v
21z23y
1xr
'A'A
'A'A
'A'A
rrr
−⇒
−=−=⇒+
=
=−=⇒+
=
=⇒+−
=
⇒
=⋅+−==⋅+==+−=
⇒=λ⇒=−λ⇒=−λ+−⋅+λ+⋅+λ+−
π⇒=−++≡π⇒=−+−++⇒=−−+⋅
⇒=⋅⇒⊥⇒
−−+=−−==
λ+−=λ+=λ+−=
≡
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7
E4.- Sean las matrices
=
=
012
By010100203
A .
a) Calcular A-1
( )
( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
−−
=
⋅
−−−−
=
⋅
−⋅
−⋅
−
=
⋅
−−
−⋅
−⋅
⋅−
⋅=
−=
⇒−=⇒−=⇒−=⇒−=
−
=
−−
−⋅
−=
−−
−=⇒
=⇒⋅=⇒⇒−==
−
−−−
−
−−
124
100
120210405
X
300
31
020200406
100010001
012
030300
021
31
010100203
2100010001
X
BAA2IXBAA2IIXBAA2IXAABA2IAXAB2BAX
)b
010100
032
31
030300
021
31A
030300
021Aadj
012100003
AAadjA1AAExiste3
010100203
A
)a
1
111
1
ttt11
(1 punto) b) Resolver la ecuación AX + 2AB = B (1´5 puntos)
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8
E4.-a) Si se sabe que el determinante
333
222
111
cbacbacba
vale 5, calcular razonadamente
222
323232
111
321
321
321
cbaccbbaa
cbay
c3c2cb3b2ba3a2a
+++ (1’5 puntos)
b) Si A es una matriz cuadrada de tamaño 2 x 2 para la cual se cumple que A-1 = At (At
( ) ( )
3aigualserpuedenoAdeanteminerdetEl
1A1A
1A1AAIAAAAAAAAA
)b
551cbacbacba
10cbacbacba
cbacbacba
cbaccbbaa
cba
3056cbacbacba
6cccbbbaaa
32c3ccb3bba3aa
2c3c2cb3b2ba3a2a
cccbbbaaa
queSabiendo
)a
2211t1
333
222
111
222
333
111
222
222
111
222
323232
111
333
222
111
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
−==
⇒±=⇒=⇒=⇒⋅=⋅⇒=⇒==
−=⋅−=⋅−+=+=+++
=⋅=⋅=⋅⋅=⋅=
=
−−−
= tras- puesta de la matriz A), ¿puede ser el determinante de A igual a 3? (1 punto)
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9
( )
==
−=⋅−=+=+=+++
=⋅=⋅=⋅=⋅⋅=⋅=
=
− t1
333
222
111
222
333
111
222
333
111
222
222
111
222
323232
111
333
222
111
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
333
222
111
321
321
321
AA
)b
5cbacbacba
1cbacbacba
0cbacbacba
cbacbacba
cbaccbbaa
cba
3056cbacbacba
6cccbbbaaa
6cccbbbaaa
32c3ccb3bba3aa
2c3c2cb3b2ba3a2a
cbacbacba
cccbbbaaa
queSabiendo
)a
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10
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1
OPCIÓN A E1.- Se divide un alambre de 100 m. de longitud en dos segmentos de longitud x y 100 – x. Con el de longitud x se forma un triángulo equilátero y con el otro un cuadrado. Sea f(x) la suma de las áreas. ¿Para que valores de x dicha suma es mínima? (2’5 puntos)
( )( ) ( ) ( )
( )
−=
+−=
−⋅−=−
−⋅=
−⋅=
⋅−−⋅
=+
=
⇒⇒>+
=⇒+
=⇒=+
⇒=++−⇒=⇒++−
=++−
=
++−=+
+−=+
−
=
=⋅⋅=⋅⋅=⇒
===−=
=
72003400
73400900700
7349100100X100
7349100
63349900
31681349900
349900X
Mínimo072
349''A349
900X900X349
0X34X99000'A72
X34X9900144
X38X181800'A
144X34X9X180090000
36X3
16XX20010000
36X3
4x100A
36X3
6X3
3X
21
6X3A
21A
6X3
2A3
4A3
4AAH
3XA
total
totaltotal
222222
total
2
triángulo222
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2
E2.- Determinar la función f tal que ( )xx
1xxx'f 2
4
+++
= y con f(1) = 2 (2’5 puntos)
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) 2ln613
x1xlnxx
21x
31xf
2ln21
312K2K2ln
21
312K
111ln11
211
311f
Kx
1xlnxx21x
31xln1xlnxx
21x
31xf
1A111B1A1x1B110B0A0x
11xBAxx1x
1xBAxxB
1xA
x1x1
xln1xlnxx21x
31xf
dxx1dx
1x1xx
21x
31dx
x1x1xx
21x
31xf
1xx
1xx
xx1xx
1xxxx
xx1xx
dxx1x
1xx21x
31dx
xx1dx1xxdx
xx1xxxf
23
23
2323
23
2323
2
2
23
3
234
24
232
22
4
−++
++−=
−+−=⇒=++−⇒=++
++⋅−⋅=
⇒++
++−=−+++−=
−=⇒=+−+−⋅⇒−==⇒=++⋅⇒=
⇒=++⇒+
++=+
+=
+
−+++−=
=−+
++−=+
++−=
−−
++
+
++−
+−−−
+++
+++−=
+++−=
+++
=
∫∫∫
∫∫ ∫∫
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3
E3.- a) Determinar las ecuaciones de los planos paralelos al plano 7z4y3x12 =−+≡π que distan seis unidades del mismo. (1’5 puntos) b) Probar que el punto P(1 , 1 , 2) pertenece a π , y calcular la recta perpendicular a π que pasa por P (1 punto) a) Por un punto cualquiera del plano dado se calcula una recta r perpendicular a él y a partir de ella se buscan los puntos de esa recta que están a la distancia pedida y por ellos pasaremos los planos pedidos
( )( )
( ) ( ) ( )( )
)aapartadoelenhalladarrectalaesrectalayapertecePquecomprobadohemosYa)b
071z4y3x1213923D0D
13504
1353
135912SporGenerado
085z4y3x1213
1105D0D1324
13313
138512QporGenerado
0Dz4y3x12formaladesongeneradosplanosLos
1350
13642z
135
13631y
1359
136121x
S
132
13642z
1331
13631y
1385
136121x
Q
Puntos
1366
131696
169169
1366136
131696
169169
64312
742431312112
42z31y
121xr
4,3,12vv2,1,1P
Tomando7831272413112
2
1
222
r
π
=+−+≡π⇒=⇒=+⋅−
−⋅+
−⋅⇒
=−−+≡π⇒−=⇒=+⋅−⋅+⋅⇒
=+−+⇒
=
−⋅−=
−=
−⋅+=
−=
−⋅+=
=⋅−=
=⋅+=
=⋅+=
⇒
−=λ⇒−=λ⇒−=λ
=λ⇒=λ⇒=λ⇒=λ
⇒±=−++
−λ−−λ++λ+
⇒
λ−=λ+=λ+=
≡⇒
−==⇒=−+⇒=⋅−⋅+⋅
π
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4
E4.- Discutir, y resolver en los casos que sea posible, el sistema
=−+=++=−+
≡03221
zyxzyxzyax
r
(2’5 puntos)
( )
( ) ( )
aa
aa
a
a
z
aa
aa
a
a
yaaaa
x
esadefunciónensoluciónlaadoDeterCompatibleesSistemaelCuando
leIncompatibSistemaBArangArang
aSi
adoDeterCompSistincognitasdeNúmeroArangAatodoPara
aaaASiaaaa
A
5163
516232
5103122111
5124
511212
51101
12111
159
519
512362
51130
122111
:,,min
3/2
315
000210551
515
420210551
53
5
420630551
025
131121551
021
131121
1151
51
min..3051
5115015015132312
13112111
−−
=−
−−+=
−=
−−
=−
+++−=
−
−
−
=−
=−−
=−
+−−−=
−
−
−
=
⇒=≠=
⇒
−−−
≡
−−−−
≡
−−
−−
−≡
−
−≡
−
−
=
⇒==⇒≠⇒
−ℜ∈
=⇒=⇒=+−⇒=⇒+−=+−+−+−=−
−=
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5
( ) 2x4xxf −=
OPCIÓN B
E1.- Sea la función a) Determinar el dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos (2 puntos) b) Esbozar su gráfica (0’5 puntos)
( ) ( )
≤ℜ∈∀⇒≤⇒−≥−⇒≥−−≥ℜ∈∀⇒−≥⇒≥+
⇒≥−⋅+⇒≥−2x/x2x2x0x2
2x/x2x0x20x2x20x4
)a
2
∞− - 2 2 ∞− 2x −≥ ( - ) ( + ) ( + )
2x ≤ ( + ) ( + ) ( - ) Solución ( - ) ( + ) ( - )
( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
≤≤−ℜ∈∀⇒>−<ℜ∈∀⇒>⇒>−−>ℜ∈∀⇒−>⇒>+
ℜ∈∀⇒>
⇒>−
+−⇒>⇒
⇒−
+−=
−
−=
−
−=
−
−−=⋅
−
−+−=
≤≤−ℜ∈∀=⇒
2x2/x0x42x/xx20x2
2x/x2x0x2x02
0x4
x2x220x'foCrecimient
x4x2x22
x4x22
x4x24
x4xx4x
x42x2x4x'f
2x2/xfDomdefinicióndeiominDo
2
2
22
2
2
2
2
22
2
2
-2 2− 2 2
2 > 0 ( + ) ( + ) ( + )
0x4 2 >− ( + ) ( + ) ( + )
2x −> ( - ) ( + ) ( + )
2x < ( + ) ( + ) ( - )
Solución ( - ) f’(x)<0 ( + ) f’(x)>0 ( - ) f’(x)<0 Crecimiento 2x2/x >>−ℜ∈∀ Decrecimiento ( ) ( )2x22x2/x <<∪−>>−ℜ∈∀
Máximo en ( ) ( ) ( ) 2222422f2x2
−=⋅−=−−−=−⇒−= de crecimiento pasa a decrecimiento
Mínimo en ( ) ( ) ( ) 2222422f2x2
=⋅=−=⇒= de decrecimiento pasa a crecimiento
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6
Continuación del problema E1 de la opción B b)
-2
-1
0
1
2
-2 -1 0 1 2
E2.- Determinar el área limitada por la parábola de ecuación y2 = x y la recta de ecuación y = x – 2 (2’5 puntos)
( ) ( )
2x02xOXejeelconrectacortedePunto1
235
295x
42
352
95x
295x
9414504x5xx4x4x2xx2xxxy
2xxxy 2222
=⇒=−⇒⇒
=−
=−
=
=+
=+
=⇒
±=
⇒=⋅⋅−−=∆⇒=+−⇒=+−⇒−=⇒
−=−⇒−=−=⇒=
-2
-1
0
1
2
3
0 1 2 3 4 5
( ) ( ) ( ) ( )
[ ] [ ] [ ] [ ]
( ) ( ) ( ) ( )
2
2223
23
2223
23
42
42
2
4
0
23
21
221
1
0
23
2
1
4
2
4
0
1
0
4
2
4
0
2
1
1
0
u29
627
63294
316
23
3246
3442
232
32A
242242104
3212
2112201
32A
x2x21x
32x
21x2x
32A
dx2xdxxdxx2dxxdx2xdxxdx2xdxxA
==+−
=+−=+−⋅
+−+=
−⋅+−⋅−
−⋅+−⋅−−⋅+
−⋅=
=⋅+⋅−
⋅+⋅−⋅+
⋅=
−−+−+=−−+−+−= ∫ ∫∫∫∫∫∫∫
Y
X
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7
E3.- Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2 , - 1 , 1) y corta perpendicularmente a la
recta z2
1y2
2xr =−
=−
≡ (2’5 puntos)
Hallamos un plano π que contenga al punto P y que es perpendicular a la recta r. El punto Q de intersección del plano con la recta r formará con el punto P el vector dirección de la recta s buscada. La ecuación del plano π es el producto escalar del vector director de la recta que es perpendicular al vector formado por P y el punto generador del plano siendo dicho producto nulo
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
λ−=µ+−=µ−=
≡
−−≡
−−=−−
−=⇒
−=
=
−⋅+=
=
−⋅+=
⇒−=λ
−=λ⇒−=λ⇒=+λ⇒=−λ+λ++λ+
⇒=−λ+λ+⋅+λ+⋅⇒π⇒
λ=λ+=λ+=
≡
=−++≡π⇒=−++⋅+−⋅⇒=−+−⋅≡π
⇒=⋅⇒⊥⇒
−+−=−−===
πππ
21z21y
2xs
2,2,134,
34,
321,1,2
31,
31,
34PQ
31z
31
3121y
34
3122x
Q51
3139039034244
03212222rconplanodelcortedePuntoz
21y22x
r
03zy2x201z1y22x201z,1y,2x1,2,2
0PGvPGv1z,1y,2x1,1,2z,y,xPG
1,2,2vv r
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8
E4.-a) Si se sabe que el determinante
333
222
111
cbacbacba
vale 5, calcular razonadamente
222
323232
111
321
321
321
cbaccbbaa
cbay
c3c2cb3b2ba3a2a
+++ (1’5 puntos)
b) Si A es una matriz cuadrada de tamaño 2 x 2 para la cual se cumple que A-1 = At (At = tras- puesta de la matriz A), ¿puede ser el determinante de A igual a 3? (1 punto)
( ) ( )
3aigualserpuedenoAdeanteminerdetEl
1A1A
1A1AAIAAAAAAAAA
)b
551cbacbacba
10cbacbacba
cbacbacba
cbaccbbaa
cba
3056cbacbacba
6cccbbbaaa
32c3ccb3bba3aa
2c3c2cb3b2ba3a2a
cccbbbaaa
queSabiendo
)a
2211t1
333
222
111
222
333
111
222
222
111
222
323232
111
333
222
111
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
−==
⇒±=⇒=⇒=⇒⋅=⋅⇒=⇒==
−=⋅−=⋅−+=+=+++
=⋅=⋅=⋅⋅=⋅=
=
−−−
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1
=−=−
≡02y1z2x
s
PRUEBA A
PROBLEMAS PR-1.- Sea r las recta que pasa por los puntos A(1 , 1 , 1) y B(3 , 1 , 2) y sea s la recta de ecuaciones
. Se pide:
a) Estudiar su posición relativa (1’5 puntos) b) Si fuera posible, calcular su punto de intersección.(0’5 puntos) c) Calcular, si existe, un plano que las contenga. (1 punto) a) Analizaremos si las rectas son paralelas estudiando si sus vectores directores son proporcionales, si ese es el caso se estudiará si hay algún punto común que de ser así las rectas son coincidentes. Si no hay proporcionalidad se analizara si tienen un punto común, de tenerlo serán rectas que se cortan o son secantes en dicho punto, de no suceder esto son rectas que se cruzan.
( ) ( ) ( )
( )
( )
ciónsecerintdepuntohayNo)b
paralelassonrectasLascomunespuntoshayNo21Como
121
21211,0,2vv
1,0,2vz
2y21x
2yz21x
s
1z1y21x
r1,0,21,1,12,1,3vAB
sr
s
r
⇒⇒≠
λ=µ+≠
λ+=µ+⇒==⇒
=⇒
λ==
λ+=⇒
=+=
≡
µ+==
µ+=≡⇒=−==
c) Se hallara el haz de planos que se generan por la recta s, de todos ellos hallaremos el que pasa por el punto A que es el mismo que el que contiene al punto B (calcularemos para los dos y demostraremos su igualdad)
( )
( )( )
( )( ) 03z2y2x02y21z2x
20201222132,1,3BporPasando
03z2y2x02y21z2x20201212111,1,1AporPasando
012z2yx02y1z2xplanosdeHaz02y
01z2xs
=+−−≡π⇒=−⋅−−−⇒−=α⇒=α−−⇒=−α−⋅−⋅α+⇒
=+−−≡π⇒=−⋅−−−⇒−=α⇒=α−−⇒=−α−⋅−⋅α+⇒
=−α−−α+⇒=−⋅α+−−⇒
=−=−−
≡
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2
PR-2.- Sea la función 2xx)x(f 2 −−= a) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad y esbozar su gráfica (1’5 puntos) b) Demostrar que no es derivable en x = 2 (0’5 puntos) c) Calcular el área de la región limitada por dicha gráfica, el eje OX y las rectas x = - 2 y x = 0 (1 punto)
( ) ( )
( ) ( )
>ℜ∈∀⇒>⇒>−−>ℜ∈∀⇒−>⇒>+
⇒>−⋅+
⇒
−==
⇒±
=⇒>=+=−⋅⋅−−=∆⇒=−−⇒>−−
2x/x2x02x1x/x1x01x
02x1x
1x2x
291x0981214102xx02xx
)a
222
∞− -1 2 ∞
x > -1 ( - ) ( + ) ( + ) x > -1 ( - ) ( - ) ( + )
Solución ( + ) f(x) > 0 ( - ) f(x) < 0 ( + ) f(x) > 0
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
≤≤−ℜ∈∀⇒>∪−<ℜ∈∀⇒
⇒>⇒⇒
>≤≤−−
−<=
<<∪−<ℜ∈∀⇒<⇒
>∪
<<−ℜ∈∀⇒>⇒
>ℜ∈∀⇒>⇒∞∉>⇒>⇒>−
<<−ℜ∈∀⇒>⇒<⇒<⇒−>−⇒>+−
−<ℜ∈∀⇒<⇒>⇒>⇒>−
⇒>
⇒
>−≤≤−+−
−<−=⇒
>−−≤≤−++−=−−−
−<−−=
2x1/xConvexidad2x1x/xConcavidad
0)x(''fConcav2xsi2
2x1si21xsi2
)x(''f
2x211x/x0)x('fntoDecrecimie
2x21x1/x0)x('foCrecimient
2x/x0)x('f,221x1x201x2
21x1/x0)x('f
21x1x21x201x2
1x/x0)x('f21x1x201x2
0)x('f
2xsi1x22x1si1x2
1xsi1x2)x('f
2xsi2xx2x1si2xx2xx
1xsi2xx)x(f
2
22
2
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3
Continuación del Problema PR-2 a) Continuación Grafica de la función
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
( )( )
( ) ( ) derivableesNo3122x'flim3122x'flim
3122x'flim3122x'flim
2xsi1x22x1si1x2
1xsi1x2)x('f
)b
2x2x
2x
2x
⇒=−⋅=≠−=+⋅−=
⇒
=−⋅=
−=+⋅−=⇒
>−≤≤−+−
−<−=
+−
+
−
→→
→
→
( ) [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )
2
223320
20
220
32
0
2
u3
103864
24
38A
022022102
31x2x
21x
31dx2xxA
)c
=−=++−=
−⋅+−⋅+−⋅−=⋅+⋅+⋅−=++−= ∫
Y
X
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4
CUESTIONES
C-1.- Sea A una matriz cuadrada tal que det(A) = -1 y det[(-2).A] = 32. Calcular el tamaño de la matriz A (1 punto) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5ordendematrizunaEs5n22322321232A2 5nnnn =⇒−=−⇒−=−⇒=−⋅−⇒=⋅−
C-2.- Calcular la matriz X que verifica AX = BBt donde
−
=
−
=213010
By23
12A , siendo Bt la
matriz traspuesta de B. (1 punto)
( )
−=
−
−−⋅
−=
−
−⋅
−
−−⋅
−==⇒
−
−=
−⋅
−
=
−
−−−
=⇒
−
−−=
⇒
−
=⇒=⇒∃⇒≠−=−−=−
=
=⇒=
−
−
−−
−−−
731
75
712
71
315121
71X
14111
2312
71BBAX
14111
2011
30
213010
BB
2312
71A
2312
Aadj
2132
AAadjA1AA0734
2312
AComo
BBAXBBAAXA
t1
t
1t
tt11
t1t11
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5
C-3.- Hallar la distancia desde el punto A(1 , 3 , -2) a la recta
λ−=λ+−=λ+=
≡21z
1y32x
s (1 punto)
Se hará pasar un plano π por A y que es perpendicular a la recta s, que tiene como vector director el de la recta que es perpendicular al vector formado por el punto generador G y A. Se calcula el punto de corte P de la recta s y el plano π y la distancia entre A y P es la pedida
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) u2103
253
2454
2374
4744
449
4252
27
25d
02213
271dd0,
21,
27P
02121z
21
211y
27
2132x
P
1470714010421960102121323
planoelyrectaladecortedePunto010z2yx302z23y1x302z,3y,1x2,1,3
0GAvGAv2z,3y,1x2,3,1z,y,xGA
2,1,3v
222
sA
222
sAPA
sss
===+=+=++=−+
+
=
−−+
++
−==⇒
−⇒
=⋅−=
−=+−=
=⋅+=
=λ⇒=−λ⇒=−λ+−λ+−λ+⇒=−λ−⋅−λ+−+λ+⋅
π⇒=−−+≡π⇒=+⋅−−+−⋅⇒=+−−⋅−
⇒=⋅⇒⊥⇒
+−−=−−=−=
C-4.- Calcular ∫ −dx
x11
2 (1 punto)
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ]
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) Kx1lnx1x1ln21x1ln
21x1ln
21I
dudxux1
dtdxtx1
uln21tln
21
udu
21
tdt
21
x1dx
21
x1dx
21dx
x1x11I
21A1A2111B11A1x
21B1B2111B11A1x
1x1Bx1Ax1x1
x1Bx1Ax1
Bx1
Ax1x1
1x1
1
2
2
+−=+⋅−=+⋅+−⋅=
==+
−==−
⋅+⋅=+=+
+−
=+⋅−
=
=⇒=⇒=−++⇒=
=⇒=⇒=−−+−⇒−=
⇒=−++⇒+⋅−−++
=+
+−
=+⋅−
=−
∫∫∫∫∫
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6
=−λ=+λ
=−
3z2xzy
5yx
PRUEBA B
PROBLEMAS
PR-1.- Sea el sistema de ecuaciones lineales .Se pide:
a) Discutirlo en función del parámetro ℜ∈λ (2 puntos) b) Resolverlo cuando sea compatible (1 punto) a)
( )
( )
( )
123
123
1253
12301
0511
z
1212
1222
12352
12231
10051
y
12143
12312
122310
12203
1015
x
)b
leIncompatibSistema
3z031
5
000210011
21
5
210210011
31
5
201210011
321
5
201
1210
01121Si
adominDeterCompatibleSistemaincognitasdeNúmero3Arang21
21120120ASi12
20110011
A
+λλ
=−λ−λ−
=−λ−
λ−λ−λ=
−λ−
λλ−
=
+λ−λ⋅
=−λ−+λ−
=−λ−−+λ−
=−λ−
−λ
=
+λ−λ⋅
=−λ−−λ−
=−λ−
λ−−λ−=
−λ−
−λλ−
=
⇒−=⇒
−−−
−≡
−−
−−−
≡
−
−−−
≡
−
−
−
−
−=λ
⇒==⇒
−−ℜ∈λ∀
−=λ⇒=λ−⇒=−λ−⇒=⇒−λ−=−
λ−
=
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7
PR-2.- Un campo de atletismo de 400 m de perímetro consiste en un rectángulo y dos semicírculos en dos lados opuestos, según la figura adjunta. Hallar las dimensiones del campo para que el área de la parte rectangular sea lo mayor posible (3 puntos)
=−=ππ
−=
π=
⇒⇒<π−=
π=⇒=⋅π⇒=⋅π−⇒=⇒⋅π−=⋅
π⋅−==
⇒⋅π−⋅=
=
π
−=⇒
=
π−=⇒π−=⇒π+=
m1002
2002002
200
200l
m200D
Máximo0''S
200D200D0D2000'SD200D2
2200dDdS'S
2DD200S
D2D200S
lDS2D200lD400l2Dl2400
2
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8
CUESTIONES
C-1.- Calcular la distancia entre las rectas: 4
3z3
2y2xsy4zx71yx3
r −=
−=−≡
−=−−=−
≡ (1 punto)
Se estudiará la posición relativa de las dos rectas, primeramente si sus vectores directores son paralelos y no tienen un punto común serán paralelas, de tenerlo las rectas serán coincidentes. De no ser paralelos estudiaremos si tienen un punto común y si lo hay serán rectas que se cortan, de no ser así se cruzarán.
( )( )
cruzanserectasLas
35
1531471477
1472
leIncompatib50133633
1332
43743231
2
43z32y
2xs
74z31y
xr
escoincidentniparalelassonNo47
33
11
4,3,1v7,3,1v4z7z1x3y
s
r
−=λ−=µ
⇒−=µ⇒−=µ−λ−=µ+λ−
⇒−=µ−λ
=µ−λ
⇒≠⇒=µ−λ=µ−λ
⇒=µ−λ
=µ−λ
⇒
µ+=λ+µ+=λ+
µ+=λ⇒
µ+=µ+=µ+=
λ+=λ+=
λ=≡
⇒≠=
⇒=
=⇒+=⇒+=
Hallaremos un plano π que conteniendo a la recta s sea paralela a la recta r. Para ello utilizaremos, en la generación del plano, los vectores directores de las dos rectas y el vector generador formado por un punto A de la recta s y el punto generador G. La distancia entre un punto, cualquiera, B de la recta r al plano π es la distancia pedida.
( )( )( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
u210
10105
105
13
410.3dd
04yx3012y3x906y318x902y32x902y42x213z33z32y72x12
0431731
3z2y2xPlano
3z,2y,2x3,2,2z,y,xGA
3,2,2A4,3,1v4,1,0B
7,3,1vr
22Brs
S
r
==−
=+
−−==
⇒=−−≡π⇒=−−⇒=−++−⇒=−⋅+−⋅−⇒=−⋅−−⋅−−⋅−−⋅+−⋅+−⋅
⇒=−−−
≡π⇒π
⇒−−−=−=⇒
=
=≡
π
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9
C-2.- Resolver la ecuación 01xxx
x1xxxx1x
=+
++
. (1 punto)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
31x1x301x31x3x3x3x21x3x3x
1xx3x21x1xx1xx1xxxx1x1xxx
x1xxxx1x
23323
233222333
−=⇒−=⇒=+⇒+=−−++++=
=+−++=+−+−+−+++=+
++
C-3.- Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función ( )x
xlnxf = en su dominio de
definición (1 punto) ( )
( ) ( )
>ℜ∈∀⇒<<ℜ∈∀⇒
⇒
ℜ∈∀⇒><⇒<⇒<⇒−>−⇒>−
⇒⇒>−
⇒>⇒⇒−
=−⋅
=
>ℜ∈∀=
ex/xntoDecrecimieex0/xoCrecimient
x0xexex1xln1xln0xln1
0x
xln10x'foCrecimientx
xln1x
xlnxx1
x'f
0x/xfDom
2
1
222
C-4.- Calcular los valores de a para los cuales el área comprendida entre la gráfica de la función
42 axy +−= y el eje OX es de 3
256unidades de superficie (1 punto)
( ) ( ) ( )( )
( ) [ ] [ ] ( ) ( )
264a64aa2128a32
3128aa
31
3128
0aa0a31
3128xax
31
3128
6256dxax2
3256
0aa00fxfaxaxxfOYarespectosimétricaEs
axax0ax0C0yOXconcortedePuntosSiendo
666666
2436a0
4a0
3a
0
42
442
4242
24242
222
==⇒=⇒⋅=⇒⋅=⇒+⋅−=
−⋅+−⋅−=⇒⋅+⋅−==⇒+−⋅=
⇒
>=+−==+−=+−−=−⇒
±=⇒=⇒=+−⇒=⇒=⇒
∫
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1
PRUEBA A
PROBLEMAS
PR-1.- Sea la función ( )1x
xxf 2
3
+=
a) Hallar su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas. Esbozar su gráfica (2 puntos)
b) Calcular el valor de . (1 punto) ( ) dxxf1
0∫
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
( )( )
( )( )( )
( ) ( )( )( )
( )⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
ℜ∈∀⇒>+−>ℜ∈∀⇒−>⇒>+<ℜ∈∀⇒<⇒>−
>ℜ∈∀⇒>ℜ∈∀⇒>
⇒>+
+−⇒>⇒
+
+−=
+
−=
+
−=
+
−−+++=
+
+⋅−++=
+
+⋅⋅+−++=
ℜ∈∀⇒⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
ℜ∈∀⇒>+ℜ∈∀⇒>ℜ∈∀⇒>+
⇒>+
+⇒>
⇒+
+=
+
+=
+
−+=
+
⋅−+=
ℜ∈∀=⇒⇒−±=⇒−=⇒=+
x01x3x/x3x0x33x/x3x0x3
0x/x0xx02
01x
x3x3x20x''fConcavidad
1xx3x3x2
1xx3x2
1xx2x6
1xx12x4x6x4x6x4x''f
1xx3xx41xx6x4
1xx3xx21x21xx6x4x''f
relativosimosminnimáximoshayNo
xCrecientex01x
x0xx03x
01xx3x0x'f
1xx3x
1xx3x
1xx2x3x3
1xxx21xx3x'f
xfDomsoluciónhayNo1x1x01x
)a
32
32
3232
2
32
3
32
35335
32
2423
42
242223
22
2
2
22
22
22
22
22
24
22
424
22
322
22
-3 0 3 ∞ ∞−2 > 0 ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) x > 0 ( - ) ( - ) ( + ) ( + )
x > - 3 ( - ) ( + ) ( + ) ( + ) x < 3 ( + ) ( + ) ( + ) ( - )
(x2+1)3 > 0 ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Solución ( + ) ( - ) ( + ) ( - )
Concavidad ( ) ( )3x03x/x <<∪−<ℜ∈∀
Convexidad ( ) ( )3x0x3/x >∪<<−ℜ∈∀
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2
Continuación del Problema PR-1 Puntos de Inflexión
En ( ) ( )( ) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⇒−=
+−
=+−
−=−⇒−=
1027,3
1027
1927
1333f3x 2
3
En ( ) ( )0,0010
010
00f0x 2
3
⇒=+
=+
=⇒=
En ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⇒=
+=
+=⇒=
1027,3
1027
1927
1333f3x 2
3
Asíntotas No las hay verticales Horizontales
( )
( )
−∞→
⇒−=+
−=+
−=
+
−=
∞∞−
=+
−=
+==
∞→⇒=+
=+
=+
=∞∞
=+
==
∞→∞→∞→−∞→−∞→
∞→∞→∞→∞→
xcuandoexisteNo
01
001
x1
x1
1lim
x1
xx
xx
lim1x
xlim1x
xlimxflimy
xcuandoexisteNo01
001
x1
x1
1lim
x1
xx
xx
lim1x
xlimxflimy
3
x
33
2
3
3
x2
3
x2
3
xx
3
x
33
2
3
3
x2
3
xx
Oblicuas o inclinadas
( )
( )[ ]
∞→=
=+
=
∞+
∞−
=+
−=
+
−=
=+
−=
∞∞
=+
−=
+−−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−
+=−=
==+
=+
=+
=∞∞
=+
=+==
∞→∞→
∞→∞→∞→∞→∞→
∞→∞→∞→∞→∞→
xcuandoxyoblicuaasíntotaExiste
001
011
1
x11
x1
lim
x1
xx
xx
lim
x1
xx
xx
lim1x
xlim1x
xxxlimx11x
xlimmxxflimn
111
011
x11
1lim
xx
xx
xx
limxx
xlimx
1xx
limxxflimm
22
x
22
2
2
x
22
2
2
x2x2
33
x2
3
xx
2
x
33
3
3
3
x3
3
x
2
3
xx
Continuación del Problema PR-1 Oblicuas o inclinadas (Continuación)
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3
( )
( )[ ]
−∞→=
=+
=
∞+
∞=+
=+
=∞∞
=+
=+
−=
+−−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−
+=−=
=−−
=−−
−=
−−
−=
−−
−=
∞∞
=−−
−=+==
∞→∞→
∞→−∞→−∞→−∞→−∞→
∞→∞→∞→−∞→−∞→
xcuandoxyoblicuaasíntotaExiste
001
011
1
x11
x1
lim
x1
xx
xx
lim
1xxlim
1xxlim
1xxxxlimx1
1xxlimmxxflimn
111
011
x11
1lim
xx
xx
xx
limxx
xlimx
1xx
limxxflimm
22
x
22
2
2
x
2x2x2
33
x2
3
xx
2
x
33
3
3
3
x3
3
x
2
3
xx
Gráfica de la función
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Y
X
[ ] ( ) [ ] ( )
( )2ln121dx
x1xx
xxx
211t1x101t0x
2dtxdxdtxdx2tx1x1x
1ln2ln21
21tln
2101
21dt
t1
21x
21dx
x1xdxxdx
x1x
b
1
02
3
3
2
2223
21
221
0
10
21
02
1
0
1
02
3
−=+
−
−−⎩⎨⎧
=+=⇒==+=⇒=
⇒=⇒=⇒=++
−⋅−=⋅−−⋅=⋅−⋅=+
−=+
∫
∫∫∫∫
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4
PR-2.- Se considera la recta z2
2y3
1xr =−
=−
≡ y el punto P(1 , 8 , 2)
a) Hállese el punto A de r tal que el vector AP es perpendicular a r (1 punto) b) Determínese el plano que es paralelo a r, pasa por B(5 , 1 , 0) y por el simétrico de P respecto de r (2 puntos)
π
a) El producto escalar de AP y el vector director de la recta r es nulo debido a la perpendicularidad.
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )1,4,4A1z
122y131x
A1141401414021249
0216223302,62,31,2,30PAvPAv
2,822,1312,8,1,22,31PA1,2,3v
z22y31x
r
rr
r
⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⋅+=⋅+=
⇒=λ⇒=λ⇒=−λ⇒=−λ+−λ+λ
⇒=−λ⋅+−λ+λ⋅⇒=−λ−λλ⋅⇒=⋅⇒⊥⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
−λ−λ+−λ+=−λλ+λ+==⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
λ=λ+=λ+=
≡
b) El plano está generado por el vector director de la recta r, el vector formado por los puntos P’, simétrico de P, y B, y por el vector generador formado por el punto genérico G y el punto B. Para hallar el punto P’ calcularemos el plano μ que contenga a P y que es perpendicular a la recta r, plano que tiene como vector director el de la recta y que es perpendicular, por lo tanto su producto escalar es nulo, a la recta formada por un punto genérico del plano G’ y el punto P, hallando el punto C, de corte del plano
π
μ con la recta r, que es el simétrico entre P y P’.
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 07z7y2x0z71y25x05xz4z31y2
0012123z1y5x
z,1y,5x0,1,5z,y,xBG0,1,20,0,70,1,5B'P
1,2,3v
planodelGeneración
0,0,7'P
21.2z2z21
84.2y2y8
4
14.2x2x14
1,4,4AC1z
122y131x
C
11616016160216293021222313rrectalayplanoelentreCcortedePunto
021zy2x302z8y21x302z,8y,1x1,2,3
0P'GvP'Gv2z,8y,1x2,8,1z,y,xP'G
1,2,3vv
planodelGeneración
r
'P'P
'P'P
'P'P
r
=−−+≡π⇒=+−⋅−+−⇒=−−⋅++−⋅−
⇒=−
−−≡π⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=−=−=−=
=
π
⇒
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−=⇒+
=
−=⇒+
=
−=⇒+
=
⇒=⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⋅+=⋅+=
=λ⇒=λ⇒=−λ⇒=−λ+λ++λ+⇒=−λ+λ++λ+μ
=−++≡μ⇒=−+−+−⇒=−−−⋅
⇒=⊥⇒⊥⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
−−−=−=
==
μ
μμμ
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5
CUESTIONES
C-1.- Calcular el límite ( )
1e2lnlim x
xsen
0x −→ (1 punto)
( ) ( ) ( ) ( )
2ln1
12lne
0cos2lne
xcos2lnlim
e
xcos2ln22
1
lim00
01ln
112ln
1e2ln
1e2lnlim
0x0x
x
xsenxsen
0x
Hopital'LAplicando0
0
0sen
x
xsen
0x
=⋅
=⋅
=⋅
=
=⋅⋅⋅
=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==−
=−
=−
→
→→
C-2.- Hallar los puntos en donde la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = x3 es paralela a la recta de ecuación y = 3x +2 (1 punto)
( ) ( ) ( )( ) ( ) (⎩
⎨⎧
−−⇒−=−⇒−=⇒=⇒=
⇒±=⇒=⇒=⇒⎩⎨⎧
==
1,111f1x1,111f1x
1x1x3x33m
x3x'f3
322
2
)
C-3.- Determinar el ángulo que forman la recta z3
1y2xr =
+=≡ y el plano 4zyx =−+≡π (1 punto)
( )( )
( ) ( )( )
''46'6º3821
42.2senarc21
42.242
42.4sen
424
3141.11.31.2
111132
1,1,11,3,2
vv
vvsen
1,1,1v1,3,2v
222222r
rr
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=α⇒==α
=⋅
−+=
−++⋅++
−⋅=
⋅
⋅=α⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
−==
π
π
π
C-4.- Resolver la ecuación 00x21
x1xx2x21x
=−
−−−−−
(1 punto)
( )
( )( )
1xsoluciónSin0206.1.4201x2x6
1x01x0126
1261146
1
01x2x61x01xx4x6
x2x2x2x8x1x1x2x2x8x10x21
x1xx2x21x
22
223
3223223
=⇒⎩⎨⎧
⇒<−=−=Δ⇒=++=⇒=−
−−−
⇒=++−⇒=−−−
⇒−−−+−−=−−⋅+−+−−=−
−−−−−
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6
PRUEBA B
PROBLEMAS
PR-1.- a) Discutir, según el valor del parámetro real a, el siguiente sistema de ecuaciones
(2’5 puntos)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=+−=++
5z2x3azayx4zyx2
b) Interpretar la discusión realizada en a) en términos de la posición relativa de los planos dados por cada una de las tres ecuaciones del sistema (0’5 puntos)
{ } ( )
( )adominerdetInCompatibleSistema
32,,23Solucióny23x3y2x6y4x24y32yx2
y32z2zy302
4
000130112
22
4
130130112
1024
406222112
514
203111112
1aSi
adominDeterCompatibleSistemaincognitasdeNúmero3Arang0A1a
1a01a0ASi1a2a33a42031a1112
A
)a
⇒λ+−λλ−⇒−=⇒=+⇒=+⇒=+−+
+−=⇒−=+−⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
=
⇒==⇒≠⇒−ℜ∈∀
=⇒=+−⇒=⇒+−=−++−=−=
b) Cuando el valor de a no es 1 los plano se cortan, los tres en un punto determinado solución del sistema. Cuando a es 1 los tres se cortan en una recta que es la que crea el haz de planos al que pertenecen los tres
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7
PR-2.- Sea la función ( ) ( ) ( )xcosxsenxf += en el intervalo [ ]π2,0 a) Hallas los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos puntos. Esbozar su gráfica (2 puntos)
b) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de f y las rectas de ecuaciones x = 0, 4
x π= e y = 2. (1
punto)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )
( )( )
( )
( ) .decrecima.crecDe222
22
45cos
45senx'f
45xenrelativoMínimo
ntodecrecimiea.crecDe222
22
4cos
4senx'f
4xenrelativoMáximo
45x
4/xntoDecrecimie
2x45
4x0/xoCrecimient
1xtgxcosxsen
xcosxcos
xsenxcos0xsenxcos0x'foCrecimientxsenxcosx'f)a
⇒=+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
=⇒π
=
⇒=+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π=⇒
π=
π<<
πℜ∈∀⇒
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π<<π∪⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π
<<ℜ∈∀⇒
⇒<⇒>
⇒>⇒>−⇒>⇒⇒−=
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 0,2 0,4 0,6 0,
Y
8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4,2 4,4 4,6 4,8 5 5,2 5,4 5,6 5,8 6 6,2X 4
Continuación del Problema PR-2
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8
( ) [ ] [ ] [ ]
2
40
40
4
0
40
4
0
u12
A
221
22
20
221
22
20sen
4sen0cos
4cos0
42A
xsenxcosx2dxxcosxsendx2A
)b
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −π
=
−−+π
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
π=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −π
⋅=
−+⋅=+−=ππ
ππ
π
∫∫
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9
CUESTIONES
C-1.- Sea un número real, y las rectas de ecuaciones 0≠αα
==≡zy
2xr y Hallar el
valor de para el que r y s son paralelas, hallar el plano que las contiene (1 punto)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
λ−=λ=λ+=
≡23z
2y41x
s
α Para que sean rectas paralelas los vectores directores de las dos recta son iguales o proporcionales
( )( )
( ) 12222122
221
42
2,2,4v,1,2v
r
r −=α⇒−=α⇒−=α⇒⋅−=α⇒−α
==⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
−=α=
Al ser paralelas calcularemos el haz de planos que pasa por una de ellas, por ejemplo el generado por r, siendo el plano buscado el que contiene al punto B de la recta s π
( )( )
( ) ( )
( ) 0z3y8x70z3y6y14x70zy273y2x
733707303441032.2221
3,2,1B
0zy2y2xplanosdeHaz0zy2y2z0y2xy2x
r
=+−≡π⇒=++−⇒=+⋅+−
⇒=α⇒=α⇒=α+−⇒=+⋅α+−⇒=+⋅α+⋅−
⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
=+⋅α+−⇒⇒⎩⎨⎧
=+⇒−==−⇒=
≡
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10
C-2.- Estudiar, en función del parámetro λ , el rango de la matriz . (1 punto) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
λ−−λ−
λ−=
21111112
A
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( )[ ] ( )
( )
{ } ( )
( )
( )
( ) 2Arang041331
113Si
2Arang021111
111Si
2Arang010112
0Si
3Arang0A3,1,0
12
24
32
24
2440412163.1.44
03403404410
0210ASi
21222112211
11112
A
2
2222
222
=⇒≠−=−−=−
−⇒=λ
=⇒≠−=−−=−
⇒=λ
=⇒≠−=⇒=λ
=⇒≠⇒−ℜ∈λ∀
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−
=λ
=+
=λ⇒
±=λ⇒>=−=−−=Δ
⎩⎨⎧
=+λ−λ⇒=−λ+λ−⇒=λ−λ+−=λ
⇒=λ−−⋅λ⇒=
λ−−⋅λ=λ+λ−⋅λ−=λ−−λ−+λ+−+λ−⋅λ−=λ−−
λ−λ−
=
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11
C-3.- Probar que la ecuación tiene alguna solución (1 punto) 02ex x2009 =+−
( )( ) ( )
( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
<+−−=+−−=−
>=+−−=+−−=−⇒+−=
−
−
02e122e22f
0880'632120552e112e11f
2exxf2
200922009
12009
x2009
No hay puntos de discontinuidad en el intervalo (-2 , -1) Teorema de conservación del signo Si f(x) es continua en , entonces existe un entorno ( ) 000 ≠xfyx ( ) 0,, 000 ≠+− δδ xxx , en el que la
función tiene el mismo signo que , es decir ( 0xf ) ( )[ ] ( )[ ] ( )δδ +−∈∀= 0xxfsign 00 ,, xxxfsign
Corolario: Si una función es continua en un punto , y toma valores positivos
y negativos 0x
( ) 0880'632120551f >=− ( ) 02f <− en todo entorno de entonces 0x ( ) 00 =xf Consecuencia de todo ello Teorema de Bolzano,- Si f(x) es continua en el intervalo [a , b], y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo ( ) ( )[ ]bfsignafsign ≠ , entonces existe, al menos, un punto ( )bac ,∈ tal que f (c) = 0 Como , entonces existe, al menos, un punto ( ) ( )[ 2fsign31fsign −≠− ] )( 1,2c −−∈ tal que f (c) = 0 (Solución o soluciones de la ecuación)
C-4.- Calcular ( )∫ + xx1
dx (1 punto)
( ) ( )txtdt2dxtx
Kxtgarc.2ttgarc.2t1
dt2tt1
tdt2xx1
dx
2
22
=⇒=⇒=
+==+
=⋅+
=+ ∫∫∫
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PRUEBA A
PROBLEMAS
PR-1.- Se considera el plano 42 =++≡ azayxπ y la recta ⎩⎨⎧
=−+=++
≡3222
zyxzyx
r
a) Determinar los valores de a para los cuales la recta y el plano son paralelos b) Para , calcular la recta que pasa por P(1 , 0 , -1), es paralela al plano 2=a π y se apoya en la recta r. a) Los vectores del plano y de la recta, al ser paralelos estos, son perpendiculares por elllo su producto escalar es nulo
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−==−=
≡
−=⇒−=−−=⇒−=⋅+
⇒=⇒⎩⎨⎧
−=+=−−
⇒=+⇒+=−⇒+=−
⇒−
=+
⇒−
=⇒=−⇒−=−−⇒−=−−
⇒+
=⇒=+⇒=+−⇒=+−⇒−=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=−−=−
=+−=+
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−+=−=+
=++⇒=⋅⇒=⇒⊥
⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−==+=
+=≡
⎩⎨⎧
==
=⇒=⇒=++−⇒=⋅−⇒=⇒⊥
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
−=⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=−=
≡⇒−=⇒=+++⇒+=⇒=−
μμμ
μμμμμμ
μμμμμμμλ
μλμλμλ
λμλμλμ
μμμ
μ
λλλ
ππ
π
ππ
π
13101
1,3,101064432
3552842
5522105155235
32
55
3223133113
55550550151
113
0542
131
51104204,2,11,,0.
10
1
1,,4,2,1
)
155023502,,11,3,50.2,,1
1,3,53151
5122131313
zy
xs
vcc
ddc
dcdccdcd
dcdddd
cccc
dcdc
dc
dcdcvvvv
zddy
cxs
dcvv
b
aaaaaavvvvaav
vz
yx
rzxzzxzyzy
s
ss
s
rr
r
1
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PR-2.- Sea 2
ln)(x
xxf = con ( )∞+∈ ,0x . Se pide:
a) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y las asíntotas. Esbozar su gráfica b) Calcular . ∫ dxxf )(
( )
⎪⎩
⎪⎨⎧
>ℜ∈∀⇒>⇒>
<⇒<⇒<⇒<⇒−>−⇒>−⇒>⇒
⇒−
=−
=−
=−⋅
=
0/0021ln1ln21ln20ln210)('
ln21ln21ln2ln21
)('
)
3
21
3444
2
xxxx
exexxxxxxfoCrecimient
xx
xxx
xxxx
x
xxxxxf
a
0 e ∞
0>x ( + ) ( + ) ex < ( + ) ( - )
Resultado ( + ) f’(x) > 0
( - ) f’(x) < 0
Crecimiento exx <<ℜ∈∀ 0/ Decrecimiento exx >ℜ∈∀ /
Hay un máximo en ( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⇒=
⋅===⇒=
ee
ee
e
ee
e
eefex21,
21ln
21
lnln 21
2
( de crecimiento pasa a decrecimiento)
( )
( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧
⇒==⇒=⇒=
ℜ∈∃/⇒⇒=⇒
−∞→→⇒∞→
=∞
===⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯=∞∞
==
−∞=−
==
∞→∞→∞→
+
+
→ +
0,110ln00
0ln0
0
012
1lim2
1
limlnlim
000lnlim
0
2
2'
2
20
exxy
xxcortedePunto
xcuandoexisteNoyxCuando
xxx
xxy
eshorizontalAsíntotas
kverticalesAsíntotas
xx
HopitalLAplicando
x
x
2
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-10
-9,5
-9
-8,5
-8
-7,5
-7
-6,5
-6
-5,5
-5
-4,5
-4
-3,5
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
0 1 2 3 4 5 6 7
Y X
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−==⇒=
=⇒=
+−⋅−=+⋅−=+⋅−=⋅−−⋅−==
−−
−
∫
∫∫∫∫∫
xxdxxvdv
xdx
dux
dxux
Kx
xx
dxxxxx
dxxxx
dxx
xx
dxx
xdxxf
b
1
ln
1ln1ln1ln11ln1ln)(
)
122
222
3
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CUESTIONES
C-1.- Calcular 23
2
0
)2(limxxxsen
x ++→
428
20.81.8
200.80cos.8
20.6)0.2(.8)0.2(cos.8
26)2(.8)2(cos.8lim
262).2(.42).2(cos.4lim
00
001.0.4
0.20.3)0.2(cos).0.2(.4
23)2(cos).2(.4lim
232).2(cos).2(.2lim
00
00)0.2()2(lim
2222222
0
22
0
'2
2020
'23
2
23
2
0
==−
=+−
=+−
=+−
=
=+−
=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==+
=+
=
=+
=+
=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==+
=+
→
→
→→→
sensenx
xsenxx
xsenxsenxx
xxsenxx
xxsensenxxxsen
x
x
HopitalLAplicando
xx
HopitalLAplicando
x
C-2.- Determinar el valor de a para que la recta tangente a la función n el punto x = 0 sea perpendicular a la recta y + x = 3
axxxf += 3)( e
( ) ( ) 110.30'3'
1
11
1113
22 =⇒=+⇒=⇒
⎩⎨⎧
+==
⇒=−
−=−=⇒−=⇒+−=
aafmaxxf
mm
mmxy
larperpendicularperpendicu
larperpendicu
C-3.- Sean las matrices . Calcula la matriz A sabiendo que
A2 = B y A3 = C
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
58813
2335
CyB
( ) ( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛===
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⋅=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=⇒⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⇒⋅=⇒∃⇒≠=−==
==
−−
−
−−
−−
CAAA
BABCAAA
C
BadjBBadjB
BBB
BCAAA
ttt
58813
1112
2335
2335
1112
1112
1112
5332
58813
..
5332
5332
11
5332
2335101910
2335
..
23
2
123
1
11
123
C-4.- Sabiendo que tres de los vértices de un paralelogramo son los puntos A(1 , 1 , 2), B(1 , 1 , 4) y C(3 , 3 , 6), hallar el área del mismo
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) 222 2432161644
44422200
4,2,22,1,16,3,32,0,02,1,14,1,1
uA
ijkji
ACABABABACABA
==+=−+=
−==×⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
=−==−=⇒×=
4
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PRUEBA B
PROBLEMAS
PR-1.- Se considera el sistema donde a es un parámetro real ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=+
−=+−
222
1
azxazy
zyx
a) Discutir el sistema en función del valor de a b) Resolver el sistema para a = 0 c) Resolver el sistema para a = 1
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( )( ) ( ) adoerInCompatibleSistemaincognitasNúmeroArangBArangaSi
leIncompatibSistemaArangBArangaSi
BArangaSi
BArangaSi
aaaaa
BASiaaaaaa
aBCCBA
BArangaSi
BArangaSia
aaBASiaaaaaa
aBCCBA
BArangaSi
BArangaSia
aaBASiaaa
aBCCBA
FrobeniusRoucheAplicando
ArangAA
mindet2/123/1
2/021111
1
3/1
1220440120242
0/2424220
211111
/
2/011011
1
3/11
22044
0120/1241221
210111
/
2/011011
1
3/11
22
0440120/1201
210111
/
2011011
0112201110111
22
222
232
222
231
22
221
⇒<==⇒=⇒=≠=⇒≠
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⇒≠−=−
⇒=
=⇒≠
⇒==⇒=−=Δ⇒=+−⇒=−+−
⇒=⇒−+−=−+−−=−−
==
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⇒≠=⇒=
=⇒≠⇒==⇒=−=Δ
⇒=+−⇒=⇒+−=−++=−
==
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⇒≠=−
⇒=
=⇒≠⇒==
⇒=−=Δ⇒=+−⇒=⇒+−=−−
==
−
=⇒≠=−
=⇒=−−=−
=
5
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Continuación de PR-1
( )
( ) ℜ∈∀−−⇒−=⇒=+⇒−=−+
⇒−=+−−⇒−=⇒=+⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −−
=
⇒⇒=
λλλλ ,,2,212112122
1222021
000110111
221
110110111
121
201110111
1)
0)
Soluciónzxzxzx
zzxzyzy
aSic
solucióntieneNoleIncompatibSistemaaSib
6
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PR-2.- Dada( )
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤−
>=02
0)(2
2
xsixx
xsix
xsenxf ,se pide:.
a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f(x)
b) Calcular ( )∫π
π
22 dxxfx
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )=
−−=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−==
=−
=⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤−
>−
=
⇒===
⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−==
===⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯===
++
−
+
−+
−
−+
→→
→
→
→→
→
→→
xxxxsenxxxxf
xff
senxf
xsix
xsix
xsenxxxf
continuaEsxfxff
xff
xxsenxf
a
x
HopitalLAplicando
x
x
x
xx
x
x
HopitalLAplicando
x
2cos24cos4lim
00'lim
220.2'lim0'00
000cos0.2'lim
022
0cos2'
0limlim0
00.20lim0
01.0.21
cos2lim00
00lim
)
2232
0
´
0
0
2
222
02
222
00
2
0
2
0
´2
0
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) [ ] ( )
( ) ( )( ) 122111
21
222
2
cos2cos21cos
21
21
2
)
1lim2'lim'10.0.21020cos
2coslim2
2cos2lim2
4cos2lim
222
2
222
2222
2
00
22
22
0
22
0
232
0
−=⋅−=−−⋅−=
⎩⎨⎧
=⇒==⇒=
⇒=⇒=⇒=
−⋅−=⋅−=⋅===
⇒=≠−==⇒=−=−=
=−=−
=−
=
∫
∫∫∫∫
+−
+++
→→
→→→
dxx
xsenx
txtxdtxdxdtxdxtx
tdttsendttsendxxsenxdxx
xsenx
b
derivableesNoxfxfxfxsen
xxsenxx
xxsenxxx
xsenxxx
xx
xxx
π
π
ππ
π
π
π
π
π
π
π
π
ππππ
ππ
7
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti
CUESTIONES
C-1.- Calcular las asíntotas de la función ( )14
12)( 2
2
+−
=xxxf
( ) ( )( )
oblícuasasíntotasexistenNox
xxx
xx
xx
xxx
xx
xxxx
xx
xx
xxfm
x
xxx
xx
xx
xxx
xx
xxxx
xx
xx
xxfm
oblícuasAsíntotas
yxCuando
x
xx
xxx
xxx
xx
xxx
xxxxfy
yxCuandox
xx
xxx
xxx
xx
xxxxfy
eshorizontalAsíntotas
verticalesasíntotasexistenNo
xxxxx
verticalesAsíntotas
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxx
040
14
144
lim4
144lim
4144lim14
144
lim)(lim
040
14
144
lim4
144lim
4144lim14
144
lim)(lim
1104
00414
1144
14
1144lim
14
144lim
14144lim
14144lim)(lim
1
04004
14
1144
14
1144lim
14
144lim
14144lim)(lim
41
4114014
2
32
33
3
333
2
3
22
2
2
32
33
3
333
2
3
22
2
2
2
22
2
222
2
2
2
2
2
2
2
22
2
222
2
2
2
222
==+
++=
+
++=
∞∞
=+
++=+
++
==
==+
+−=
+
+−=
∞∞
=+
+−=+
+−
==
=⇒−∞→⇒=+++
=
∞+
∞+
∞+
=
=+
++=
+
++=
∞∞
=+++
=+−
+−−−==
=⇒∞→
++−
=
∞+
∞+
∞−
=+
+−=
+
+−=
∞∞
=++−
==
ℜ∉∀⇒−±=⇒−=⇒−=⇒=+
∞→∞→∞→∞→−∞→
∞→∞→∞→∞→∞→
∞→∞→∞→∞→−∞→
∞→∞→∞→∞→
8
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti
9
C-2.- Calcular el rango de la matriz
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−−−
1423604233115131
( ) 2
2000000021105131
2110211021105131
14770422084405131
1423604233115131
=⇒
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛−−−−
≡
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−−−
≡
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−−−
≡
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−−−
= ArangA
C-3.- Demostrar que la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo (1 , 2)
053 =−+ xx
No hay puntos de discontinuidad en el intervalo (1 , 2) ( )( )⎩
⎨⎧
=−=−+=−=−=−+=
551052223525111
3
3
ff
Teorema de conservación del signo Si f(x) es continua en , entonces existe un entorno ( ) 000 ≠xfyx ( ) 0,, 000 ≠+− δδ xxx ,
en el que la función tiene el mismo signo que ( )0xf( )
, es decir
( )[ ] ( )[ ] δδ +−∈∀ 00 , xxxf= ,signxfsign 0x
Corolario: Si una función es continua en un punto , y toma valores negativos
y positivos en todo entorno de entonces 0x
0x( ) 31 −=f ( ) 52 =f ( ) 00 =xf Consecuencia de todo ello Teorema de Bolzano,- Si f(x) es continua en el intervalo [a , b], y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo ( ) ( )[ ]bfsignafsign ≠ , entonces existe, al menos, un punto tal que f (c) = 0 ( bac ,∈ )
]Como ( ) ( )[ 0231 =≠−= fsignfsign , entonces existe, al menos, un punto tal que f (c) = 0 (Solución o soluciones de la ecuación)
( )2,1∈c
C-4.- Dada la recta , calcular el punto P de la recta r tal que la perpendicular a r por P pase por el punto (1 , -1)
22 =+≡ yxr
( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⇒=⇒+=⇒−=−⇒=⇒=⇒⎩⎨⎧
−=−=+
⇒⎩⎨⎧
−=−=+
⇒+=−⇒+⋅=−⇒=−
−=−=⇒−=⇒+−=
58,
51
58
51623
51232
51
5115
32424
3222
1221211
21
211222
P
yyyyxxyx
yxyxyx
xyxym
mmxy larperpendicu
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PRUEBA A
PROBLEMAS
PR-1.- Sea a un parámetro real. Se considera el sistema ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−−=++−
+=++
azyaxzyxa
azayx
1121
2
a) Discutir el sistema en función del valor de a b) Resolver el sistema para a = 0 c) Resolver el sistema para a = 1
( ) ( )
( )
{ } ( )
( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⇒=+−=⇒=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−++⇒=⇒=−
⇒=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅+⇒−=⇒−=⇒
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
=
−−−⇒+−=⇒=+⇒−−=⇒−=+⇒=
⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
=
⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−
−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−
−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
−
−=+
⇒==⇒≠⇒−−ℜ∈∀
⇒⎩⎨⎧
−==
⇒=+⇒=+⇒=
⇒+=−++−+−+−=−++−−−+−=−−
−=
21,2,
23
23
21233
212211
1212
2112
113
200210111
313
220210111
013
111210111
1)
,1,222110
)
mindet.01
2
000110101
11
2
110110101
112
110211101
0
71
1
000030111
91
1
060030111
31
1
020030111
211
111212111
1
min.300,11
00100
21211212111
21111
2
2222
Soluciónxxyy
yzz
aConcSolución
zxzxzyzyaCuandob
adoerInCompSistema
aCuando
leIncompatibSistema
aCuandoy
adoDeterCompSistemaincognitasdeNúmeroArangAaaa
aaaaASi
aaaaaaaaaaaaa
aa
A
λλλ
1
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PR-2.- Hallar entre los puntos de la parábola de ecuación , los que se 12 −= xy
encuentran a distancia mínima del punto ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
21,2A
( )( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )0,1
0
45
32
45
45
415
42116
47964
2
41741
41741
451167
21''
417141
417
21451116
21''
4174
4174
2451165
2''
4174
241232
4174
4174
124
17432''
4174
4174
124
17
2
4174
1
41742
444
1743
2''
0111010'4
174
12
41742
44'
417
4144
212
211
212
1,
4
23
44
236
4
336
44
2342
4
4
23
4
3
4
342
333
4
3
4
3
2422
22
222
2
2
−
⇒>⋅=⋅
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
+−
⋅=+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
+−⋅=−
+−⋅+−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
+−+−⋅⋅=−⇒
++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
+++⋅=
+⎜⎝⎛ ++
++++⋅=
++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
⋅=
++
++
+++
⋅=++
+++
++++
⋅=
⇒=⇒−=−=⇒−=⇒=+⇒=
⇒++
+⋅=
++
+=
⇒+−+++=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++=
−=⇒
Solución
Mínimod
dxxxx
xxxd
xxx
xxx
xxxx
xxxxd
xx
xx
xx
xx
xxx
xxxx
d
yxxxdSi
xx
x
xx
xd
xxxxxxd
xdyxd
xyyxpuntoelSea
2
42116
141
15
44
17
2451
43
11
4
2
4
6
4
62
42
2
4
2
⋅=+
−⋅+
+−
+⎟⎠⎞
+
+
=−−
++=
++
x
xx
xx
xx
x
2
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti
CUESTIONES
C-1.- Sea A una matriz 3x3 de columnas C1 , C2 y C3 (en ese orden). Sea B la matriz de columnas C1+ C2, 2C1 + 3C3 y C2 (en ese orden). Calcular el determinante de B en función del de A
( ) AACCC
CCCCCCCCCCCCCCCC
CCCCCCCCCCCCCB
⋅−=−=−⋅+⋅=
=⋅+⋅=+=++=
=+++=++=
3.301302
3232032
323232
321
2312112312112311
2312231123121
C-2.- Estudia la continuidad en R de la función ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
≠−
00
0cos1
xsi
xsix
x
( )
continuaEs
senxsenx
xfx
HopitalLAplicando
x⇒===⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==
−⇒=
−=
−=
→→00
1lim
00cos1lim
00
011
00cos10
0
'
0
C-3.- Sean las matrices . Calcula la matriz A sabiendo que
A2 = B y A3 = C
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
58813
2335
CyB
( ) ( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛===
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⋅=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=⇒⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⇒⋅=⇒∃⇒≠=−==
==
−−
−
−−
−−
CAAA
BABCAAA
C
BadjBBadjB
BBB
BCAAA
ttt
58813
1112
2335
2335
1112
1112
1112
5332
58813
..
5332
5332
11
5332
2335101910
2335
..
23
2
123
1
11
123
C-4.- Calcular ( )∫ −1xxdx
( )( )( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
dtdxtx
Kx
xxxtxtdtx
xdx
xdx
xxdx
BBAxABAx
BxxAxx
BxxAx
BxA
xx
=⇒=−
+−
=−+−=+−=+−=−
+−=−
⎩⎨⎧
=⇒=+−⇒=−=⇒=+−⇒=
⇒=+−⇒−+−
=−
+=−
∫∫∫∫1
1ln1lnlnlnlnln11
111.111110.100
111
111
1
3
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PRUEBA B
PROBLEMAS
PR-1.- Se consideran las rectas r y s de ecuaciones respectivas ⎩⎨⎧
==
≡⎩⎨⎧
==
≡20
,01
zx
szy
r
a) Estudiar la posición relativa de r y s b) Determinar la recta que corta perpendicularmente a r y s c) Hallar la distancia entre r y s
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) uddAzyx
B
czyx
rs
Azyx
Av
vvvvvvvv
v
b
cruzansequerectasSoncorsenoantessonNo
paralelasniescoincidentsonNo
vzyx
s
vzyx
r
a
ABrs
rs
srssrs
rrsrrsrs
s
r
242011002,1,0210
)
10
0,1,0010
1,0,02,0,0
10100,1,02,1,0.000,0,12,1,0.
2,1,
)
tansec20
10
10
01
0,1,02
0
0,0,101
)
222 ==−+−+−==⇒⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
≡
⇒⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
⇒≡−=
⇒⎩⎨⎧
=⇒=−⇒=⋅−−⇒=⇒⊥=⇒=⋅−−⇒=⇒⊥
⇒−−=
⇒⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
≠==
⇒⇒≠⇒
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨
⎧=⇒
===
≡
⎪⎩
⎪⎨
⎧=⇒
===
≡
α
μμμλλμλ
μλ
μλ
μ
λ
4
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PR-2 Sea ( ) ( )∞∈+−= ,0ln2)( xconxxxf . a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Los extremos relativos, los intervalos de concavidad y convexidad y las asíntotas de f
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈ 1,1
2ec tal que f(c) = 0 b) Probar que existe un punto
⎩⎨⎧
><⇒−>−⇒>−
⇒>−
⇒>⇒⇒+−
=+−=0
1101010)('111)('
xxxx
xxxfoCrecimient
xx
xxf
0 1 ∞
x < 1 ( + ) ( - ) x > 0 ( + ) ( + )
Zonas ( + ) f’(x) > 0 ( - ) f’(x) < 0 Crecimiento Decrecimiento 10/ <<ℜ∈∀ xx 1/ >ℜ∈∀ xx En x = 1 ( ) ( )1,110121ln12)1( ⇒=+−=+−=f Un máximo relativo ( de crecimiento pasa a decrecimiento)
( ) ( )( )⎩
⎨⎧
∞∈∀⇒>∞∈∀⇒<−
⇒>−⇒>⇒⇒−=−−−
=,00,001
010)(''11)('' 2222 xxx
xxfConcavidad
xxxxxf
0 ∞
-1 < 0 ( - ) x2 > 0 ( + ) Zonas ( - ) f’’(x) < 0
Convexidad 0/ >ℜ∈∀ xx Asíntotas Verticales
( )[ ] ( )
( )[ ] −
→→
+
→→
=⇒+−=
=⇒−∞=+−=+−=
=⇒
−−
++
0ln2lim)(lim
00ln02ln2lim)(lim0)0(
00
00
xparafuncióndelímiteexisteNoxxxf
xenverticalAsíntotaxxxfxparafunciónexisteNof
xx
xx
Horizontales
( )[ ] ( )
−∞→⇒=∞→
−∞=⇒>ℜ∈∀⇒>⇒∞−∞=+−==
−∞→
∞→∞→∞→
xparafuncióndelímiteexisteNoxfyxparafuncióndeiteexisteNo
xfxxxxxxxfy
x
xxx
)(limlim
)(lim0/lnln2lim)(lim
5
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti
Oblícuas
( )[ ] ( )
[ ] ( )[ ] ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧
=+=+−=
−=−−=−+−=−+−=+−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−∞→⇒=
∞→
∞=+=++−=−=
−=⇒−=+−=+−=+−=
=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯=∞∞
+−=+−=+−
==
−
−∞→
∞→∞→∞→
∞→∞→
∞→∞→∞→∞→∞→
1011ln12)1(
12121.212ln212ln121ln121
)
)(lim
ln2limln2lim)(lim
11011lim11
1
lim1
10lnlimlim2limln2lim)(lim
22222
2222
'
feee
ee
eeeee
f
b
xcuandofuncióndelímiteexisteNoxxfm
xcuandooblicuauinclinadaasíntotaexisteNo
xxxxmxxfn
mx
x
xx
xx
xxxx
xxfm
x
xxx
xx
HopitalLUtilizando
xxxxx
Teorema de conservación del signo Si f(x) es continua en , entonces existe un entorno ( ) 000 ≠xfyx ( ) 0,, 000 ≠+− δδ xxx ,
en el que la función tiene el mismo signo que ( )0xf( )
, es decir
( )[ ] ( )[ ] δδ +−∈∀ 00 , xxxf= ,signxfsign 0x
Corolario: Si una función es continua en un punto , y toma valores negativos 0x
22
11ee
f −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ y positivos en todo entorno de entonces ( ) 11 =f 0x ( ) 00 =xf
Consecuencia de todo ello Teorema de Bolzano,- Si f(x) es continua en el intervalo [a , b], y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo ( ) ( )[ ]bfsignafsign ≠ , entonces existe, al menos, un punto tal que f (c) = 0 ( bac ,∈ )
Como ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=≠−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ 1111
22 fsignee
fsign , entonces existe, al menos, un punto
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∈ 1,1
2ec tal que f (c) = 0
6
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti
CUESTIONES C-1.- Sea a un número real. Discutir el sistema de ecuaciones siguiente, según los
valores de a: ( )⎩⎨⎧
=−+=+
0120
yaxyax
Al ser un sistema homogéneo solo puede ser Compatible, siendo Determinado de solución (0 , 0 ) si el determinante de los coeficientes no es nulo siendo indeterminado cuando es cero
( )
{ } ( ) ( )( )
( )
( )
( ) ℜ∈−⇒−=⇒=+⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⇒<=⇒=
ℜ∈⇒=⇒=+−⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−
⇒<=⇒−=⇒⇒===−−ℜ∈∀
⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−
=
=+
=
⇒±
=⇒>=+=Δ⇒=−−⇒=⇒−−=−−=−
=
μμμ
λλλ
,2,20200
0012
00
1212
mindetº12
,,000
0011
00
2211
mindetº110,0minº22,1
12
31
22
31
2910981020221
121 22
Solxyyx
adoerInCompatibleincognitasdeNArangaSi
Solyxyx
adoerInCompatibleincognitasdeNArangaSiSoladoDeterCompatibleincognitasdeNAranga
x
x
xaaASiaaaaa
aA
C-2.- Hallar el seno del ángulo formado por la recta r y el plano π dados por
zyxzy
zxr =+≡
⎩⎨⎧
=+=
≡ π,32
( )
( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) 9
333
193
212
212111
2,1,21,1,1
2,1,223
232323
1,1,1
222222==
++−=
−++−⋅−++
−−⋅−=
⇒⋅
⋅=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−=⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
−==−=
≡⇒−=⇒−=
−=
α
α
λλλ
π
π
π
sen
vv
vvsen
vz
yx
ryxyz
v
r
r
r
7
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti
8
C-3.- Calcular los valores del número real a sabiendo que 81lim 20=
−−→ x
axeax
x
( )
( )
⎩⎨⎧
−==
⇒±=
⇒=⇒=⇒====⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==−
=
=−
=−
=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==−−
=⋅−−
=−−
→
⋅
→→→
44
16
16822222
lim00
0.21
21lim
2lim
00
001
0011lim
222020.22
0
'0
00
'0
2
0
20
aa
a
aaaeaeaeaeax
eax
aaeeaex
axe
aax
x
HopitalLAplicandoa
ax
x
ax
x
HopitalLAplicandoaax
x
C-4.- Calcular ( )∫−− 219 x
dx
( )
KxsenarctsenarcI
dudtutdtdxtx
usenarcu
duu
du
t
dtt
dtt
dt
x
dxI
+−
==
=⇒==⇒=−
=−
=−
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
=
−
=−
=−−
= ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫
31
3
33
1
113
31
31
31
913919 222222
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti
1
052 =−−+≡ zyxπ
PRUEBA A
PROBLEMAS PR-1.- Sea el plano y la recta zyxr ==≡ . Se pide: a) Calcular la distancia de la recta al plano b) Hallar un plano que contenga a r y sea perpendicular a π c) Hallar el punto simétrico de P(-1 , 3 , 3) respecto a π a) Para que halla distancia entre plano y recta estos deben de ser paralelos estos, por los tanto los vectores directores de ambos son perpendiculares por ello su producto escalar es nulo
( )( )
( ) ( )
( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )3,6,2'
33022
30
6932
329
2112
121
0,29,
21
06923
627
693
63
691
6996069054622
052323123
31
2,1,1
)
0033
0220111211
,,0,0,0,,1,1,12,1,1
)
665
65
211
50.2000,0,0
02111,1,12,1,1.1,1,12,1,1
'''
'''
'''
222
−⇒
−=⇒−⋅=⇒+
=
=⇒=+⇒+
=
=⇒=+−⇒+−
=
⇒
⇒
=⋅−=
=+=
=+−=
=⇒=⇒=+−⇒=−+−+
⇒=−−−+++−≡⇒
−=+=+−=
≡⇒−==
=−≡⇒=−
⇒=−+−+−⇒=−≡⇒
=−==
−=
=−
=++
−−+==⇒
⇒⊥⇒=−+=⋅−=⇒
=−=
P
zzz
yyy
xxx
Q
z
y
x
Q
zy
xsvv
c
yxyx
yxzzyxzyx
zyxzyxOGv
v
b
uddrdepuntounOSiendo
rvvvvv
v
PPP
PPP
PPP
s
r
Ar
rrr
λλλλλ
λλλπλλλ
σ
σ
π
π
π
ππ
πππ
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti
2
PR-2.- Sea f la función dada por 1
)( 2 −=
xxxf .
a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los puntos de inflexión y las asíntotas. Esbozar su gráfica b) Calcular el área de la región limitada por dicha gráfica y las rectas x = -4, x = -2
( )( )( )
( )( )
( ) { }
( )( ) ( ) ( )
( )( )
( )
ℜ∈∀⇒−ℜ∈∀⇒−>⇒>+
ℜ∈∀⇒<−⇒ℜ∈∀∃/⇒>−
⇒>−
+−⇒>⇒⇒
−
+−=
−
−−=
−
−−=
−−∀=
⇒
=−
=⇒=⇒=−
−=−−
−=−⇒−=⇒=+
⇒=−+⇒=−
xxxxx
xxxxxfoCrecimient
xx
xx
xxxxxf
xfDom
fxx
fxxxxx
a
22
22
22
2
22
2
22
2
22
2
2
22
1101
0101
0110'
11
11
121'
1,101
1211101
01
1111101
01101
)
∞− ∞ -1 < 0 ( - )
x2 + 1 > 0 ( + ) (x2 – 1) > 0 ( + ) Solución ( - ) f’(x) < 0
Decreciente para ℜ∈∀x
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
( )
−>ℜ∈∀⇒−>⇒>+>ℜ∈∀⇒>⇒>−
⇒>−=−
ℜ∈∀⇒>+>ℜ∈∀⇒>
ℜ∈∀⇒>
⇒>−
+⇒>⇒⇒
−
+=
−
−−−=
−
−−−−=
−
+−−−=
−
+−−−−=
1/1011/101
011
030/0
02
01
320''1
32''
1
321
2221
12121
121212''
232
2
32
2
32
2
32
3
32
33
32
22
42
2222
xxxxxxxx
xx
xxxxx
xxxxxfConcavidad
xxxxf
xxx
xxxxx
xxxxx
xxxxxxxf
∞− -1 0 1 ∞ 2 > 0 ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) x > 0 ( - ) ( - ) ( + ) ( + )
x2 + 3 > 0 ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) x > -1 ( - ) ( + ) ( + ) ( + ) x > 1 ( - ) ( - ) ( - ) ( + )
Solución ( - ) f’’(x) < 0 ( + ) f’’(x) > 0 ( - ) f’’(x) < 0 ( + ) f’’(x) > 0 Continuación problema 2 de la Opción A
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3
a) Continuación Concavidad ( ) ( )101/ >∪<<−ℜ∈∀ xxx Convexidad ( ) ( )101/ <<∪−<ℜ∈∀ xxx
Punto de inflexión en x = 0 ( ) 010
00 2 =−
=⇒ f
No hay puntos de inflexión en x = -1 y x =1 ya que son puntos de discontinuidad de la función.
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
( ) −∞→⇒=∞
=−
=−−
−=−=
∞→⇒=∞
=−
=−
=−=
⇒=⇒−∞→
=−
=−
∞−
=−
−=
−
−=
∞∞
−=−
−=
−=
=⇒∞→
=−
=−
∞=−
=−
=∞∞
=−
=
−∞==−
=
∞==−
=
⇒=
∞=−=−−
−=
−∞=−=−−
−=
⇒−=
∞→∞→−∞→
∞→∞→∞→
∞→∞→∞→−∞→
∞→∞→∞→
−−→
++→
−−−→
++−→
−
−
−
−
xcuandoexisteNoxxx
xx
xx
m
xcuandoexisteNoxxx
xx
xx
m
oblícuasAsíntotas
yxCuandoxxx
xx
xxx
xx
xx
xxy
yxCuandoxxx
xx
xxx
xx
xxy
eshorizontalAsíntotas
xf
xfxEn
xf
xfxEn
verticalesAsíntotas
xxx
xxx
xxxx
xxx
v
v
v
v
011
1lim1
lim1lim
011
1lim1
lim1lim
0
001
011
1
1
1
lim1
lim1
lim1
lim
0
001
011
1
1
1
lim1
lim1
lim
01
11
1lim
01
11
1lim1
01
11
1lim
01
11
1lim1
22
2
22
2
222
2
22
2
2
22
222
2
22
2
2
2
21
21
21
21
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4
Continuación del Problema 2 de la Opción A a) Continuación Gráfica
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
[ ] ( )
( )( )
2
2
22
153
15
3
15
3
4
22
2
42
2
42
5ln21
315ln
21
312215144
221
3ln15ln21ln
21
21
21
111
)
uA
uxuxduxdxduxdxux
xududu
udx
xxdx
xxdx
xxA
b
⋅=⋅=
=−−=⇒−==−−=⇒−=
⇒=⇒=⇒=−
−⋅=⋅=⋅=⋅=−
=−
−=−
= ∫∫∫∫∫−
−
−
−
−
−
Y
X
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5
CUESTIONES
C-1.- Hallar para que valores de a es inversible
+=
aaa
A1
34y calcular la inversa de A para a =
0
{ }
( )
( )
=
−
−⋅
−=
−
−=⇒
=⇒⋅=⇒−=−−=⇒=
−−ℜ∈∀⇒∃⇒
−=−
=
=+
=⇒
±=
⇒>=+=∆⇒=−−⇒=⇒−−=+
=⇒≠⇒∃
−
−
−
−
041
10
0140
41
0140
04101440.300
4,11
253
42
53
2253
0251690430431
430
1
12
1
221
A
AadjAAadjA
AAaSi
aAa
aa
aaCSiaaa
aaAAA
ttt
C-2.- Calcular ( )
−
+→ xxx
11ln1lim
0
( ) ( )( )( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 21
21ln1
201ln1
111ln1lim
1111ln
1lim
00
001ln010
1ln1lim
11ln1
111
lim
111ln
111
lim
00
01ln.001ln0
1ln1lnlim
01
01ln11
1ln1lim
00
'
000
'
00
=+
==++
=
+++
=
+++
++= →=
==+++
=
+++
=
++++
+−+
=
⋅+
++
+−
=
= →==++−
=
++−
=∞−∞=−+
=
−
+
→→
→→→
→→
xxxx
xxxx
xxxx
xx
xx
x
x
xxxx
xx
xx
HopitalLAplicando
xxx
HopitalLAplicando
xx
C-3.- Hallar el área del triángulo cuyos vértices son : )0,1,1(A , )0,1,2( −B y )0,4,2(C
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
⋅=⋅=⇒=++=×
=+=−=×⇒
=−=−=−−=⇒×⋅=
2222
255
215500
523031021
0,3,10,1,10,4,20,2,10,1,10,1,2
21
uSACAB
kkkkji
ACABAC
ABACABS
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6
C-4.- Demostrar que la curvas ( ) ( )x
xgyxsenxf 1== se cortan en algún punto del intervalo
25,2 ππ
( )( ) ( )
>−=−=−
=
<−=−=−=⇒−=
⇒=−⇒=⇒=
012
511.2
512
52
52
50110.21222
1
0111
πππππππππ
senf
senfxxsenxfSiendo
xxsenxxsenx
xsen
No hay puntos de discontinuidad en el intervalo
25,2 ππ
Teorema de conservación del signo Si f(x) es continua en ( ) 000 ≠xfyx , entonces existe un entorno ( ) 0,, 000 ≠+− δδ xxx , en el que la
función tiene el mismo signo que ( )0xf , es decir ( )[ ] ( )[ ] ( )δδ +−∈∀= 000 ,, xxxxfsignxfsign
Corolario: Si una función es continua en un punto 0x , y toma valores negativos ( ) 12 −=πf y
positivos 12
52
5−=
ππf en todo entorno de 0x entonces ( ) 00 =xf
Consecuencia de todo ello Teorema de Bolzano,- Si f(x) es continua en el intervalo [a , b], y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo ( ) ( )[ ]bfsignafsign ≠ , entonces existe, al menos, un punto ( )bac ,∈ tal que f (c) = 0
Como ( )
−=
≠−= 1
25
2512 πππ fsignfsign , entonces existe, al menos, un punto
∈
25,2 ππc tal que f (c) = 0 (Solución o soluciones de la ecuación)
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7
=
=
=
=
=
352
220
,100010000
,227
,321
EyDCBA
PRUEBA B
PROBLEMAS
PR-1.- Sean las matrices
a) Hallar la matriz ABT, donde BT indica la matriz traspuesta de B.¿ Es invertible? b) Hallar el rango de la matriz AT D
c) Calcular
=
zyx
M que verifique la ecuación (ABT + C)M = E
( )
( ) ( ) ( ) ( ) 1102.32.20.1220
321
)
00.3.2227227227
3266214414227
66214414227
227321
)
=⇒=++=
⋅=
⇒==⋅⋅==⇒
=⋅
=
DArangDA
b
inversatieneNo
ABAB
a
tt
tt
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
−⋅=
++−++−
−−⋅=
⋅
−−
−−⋅=+=
−−
−−⋅=+⇒
−−
−−=+⇒
=+
+∃⇒==−−−++⋅=⋅==+
⇒
=
+
=+⇒+=
−
−
−
−
2176
71
3.75.02.213.05.72.14
3.25.22.11
71
352
702107142211
71
702107142211
71
702107142211
74265221147
71.72824302424357763452221
776214514227
76214514227
100010000
66214414227
)
1
1
1
1
ECABM
CABCABadjCAB
CABCAB
CABECABM
c
t
ttttt
tt
tt
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8
PR-2.- Sea la función ( ) xexxf −+= a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos, los intervalos de concavidad y convexidad y las asíntotas b) Demostrar que existe algún número real c tal que c + e-c = 4
( ) ( )
00ln1lnln1
1111010'1'
)
>⇒>⇒>⇒>
⇒<⇒−<⇒−>−⇒>−⇒>⇒⇒−= −−−−
xexeee
eeexfoCrecimientexf
a
xx
xxxxx
Decrecimiento 0/ <ℜ∈∀ xx Crecimiento 0/ >ℜ∈∀ xx Mínimo en x = 0 ( ) 11000 0 =+=+= −ef (de crecimiento pasa a decrecimiento)
( ) ( ) ℜ∈∀⇒>⇒>⇒⇒= −− xexfConcavidadexf xx 00'''' Concavidad ℜ∈∀⇒ x Asíntotas verticales Como ex > 0 no existen asíntotas verticales Asíntotas horizontales
( )
( ) ( )
( )
oblícuaasíntotaexisteNoxCuando
ex
ex
exx
xexm
xyxCuandoe
exexn
xexe
xx
xexm
oblicuasAsíntotas
xcuandohorizontalasíntotaSinxeComoexexy
xcuandohorizontalasíntotahayNoe
xexy
x
x
x
x
x
xx
x
x
xx
x
x
x
x
xx
x
xx
x
x
xx
x
x
x
xx
x
x
⇒−∞→
∞=∞+=+=+=+−−
=+
=
=⇒∞→⇒=∞
===−+=
=+=∞
+=+=+=+
=
−∞→⇒∞=>=∞+−∞=+−=+=
∞→⇒∞=+∞=∞
+∞=
+=+=
∞→∞→∞→∞→
−
−∞→
∞→
−
∞→
−
∞→
∞→
−
∞→∞→
−
∞→
∞→
−
−∞→
∞→
−
∞→
11
lim1lim1limlimlim
011limlim.1lim
101111lim1limlimlim
limlim
011limlim
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9
Continuación del Problema 2 de la Opción B b) Como la función es continua y ya sabemos sus valores en los limites derecho e izquierdo en
∞−∞+ y cuyo valor es igual ∞+ , tendremos que buscar los puntos intermedios en sonde existan mínimos relativos y, de estos, elegir el de menor ordenada que es el mínimo absoluto que debe de ser inferior a 4 Ya hemos hallado que hay un mínimo relativo en (0 , 1) con lo que la ( ) 1/Im >ℜ∈= yyf Esto significa que habrá dos valores de la función que cuya ordenada valdrá 4, uno a la derecha de x = 0 y otro a su izquierda
C-1.- Hallar a y b para que la función ( )
<
=>+
=
0
00ln
)(
xsix
xsenxsib
xsixxaxf
π, sea continua en toda ℜ
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ππ
ππππππ
==⇒=====
⇒
=== →===
=
>=+=+=
−+
−−
+
+
→→
→→
→
baxfbfaxf
xsenxf
bfxsiaaaxf
xx
x
HopitalLApicando
x
x
00
0
'
0
0
lim0lim
0.cos1
coslim00
00.lim
0000ln0lim
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10
C-2.- Dadas las rectas
==
≡
=+=−+
≡52
720
yx
syyxzyx
r , hallar un punto de cada una de ellas, de tal
forma, que el vector que los una sea perpendicular a ambas Llamando rs a la recta buscada y R Y S a los puntos de intersección de esta con las rectas del enunciado y además su vector director es perpendicular con cada una de las rectas dadas por lo que sus productos escalares son nulos
( )
( )
( ) ( )
( )( )( )( )
( ) ( ) ( )0,2,10,2,1437,53,3.25
452
4373
13.27
47331557226
0707,5,25.1,0,0022607541007,5,25.1,1,2
0.0.7,5,257,5,227
1,0,052
1,1,27
27702727
≡−−=−−−−=⇒
===
=−==
=−=
⇒=⇒=+⇒=⇒=⇒
=+=+
⇒
=−−⇒=−−−−=−+⇒=++−−++−⇒=−−−−−−
⇒
=⇒⊥=⇒⊥⇒−−−−=−−−−−=
⇒
=⇒
===
≡
−−=⇒
−==−=
≡⇒−=⇒=−+−⇒−=
rs
rssrss
rsrrsrrs
s
r
v
zyx
S
zy
xR
vvvvvvvvv
vzyx
s
vz
yx
ryzzyyyx
µµλλµλµλ
µλµλλλµλµλλλµλλλ
µλλλµλλλ
µ
λλλ
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11
C-3.- Discutir en función de a el sistema
=−=+
1ayxaayax
( ) ( )
{ } ( )
( )λ,11mindet10
0100
0
min20,1101
00101
12
SoluciónxadoerInCompatibleSistema
aSi
adoDeterCompatibleSistemaincognitasdeNúmeroArangaaa
aaaASiaaaa
aaa
A
⇒=⇒⇒
=
⇒==⇒−−ℜ∈∀
⇒
−=⇒=+=
⇒=+⇒=⇒+−=−−=−
=
( )λλ ,11mindet01
0011
11
1111
1
−⇒−=⇒⇒
≡
−−−
−=
SoluciónyxadoerInCompatibleSistema
aSi
C-4.- Hallare el área del recinto limitado por las curvas de ecuaciones 63,42 −=−= xyxy Puntos de intersección o corte
( )( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )
2
223312
212
212
3
1
2
21
2
1
2
22
1
2
1
2
2
22
22
61
6122714
229
3721221
21321
312
213
31
23634
23
23
46
236
296
233
23
474
494
23
23
23
0422234111
634
12
13
22
13
2130189023634
uA
xxxA
dxxxdxxdxxdxxgdxxfA
fg
g
ff
gfgf
xxgxxf
Si
x
xxxxxx
=−+−
=
−+−=−⋅+−⋅⋅−−⋅=⋅+⋅⋅−⋅=
+−=−−−=−=
⇒
<
⇒
−=−=−=−⋅=
−=−=−
=
⇒
=−==−=−==
⇒
−=−=
=−
=
=+
=⇒
±=⇒>=−=∆⇒=+−⇒−=−
∫∫∫∫∫
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PRUEBA A
PROBLEMAS
PR-1.- PR-1.- Se considera el sistema , donde a es un parámetro real. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+=−+=++
22204
zyxzyax
azyx
a) Discutir el sistema en función del valor de a. b) Resolver el sistema para 1=a
( )
( )2,,224221)
mindet.024
000100111
224
100100111
64
4
300200
111
204
122111
111
1
244
000560122
204
122442122
204
122221122
204
122
1121
2111
21
min.301,21
21
42
431
14
31
491
09810120122222112211
11222
λλ−⇒−=⇒=++⇒=⇒=
⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
=
⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
≡⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−
≡⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−
≡
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−
−
−=
⇒==⇒≠⇒⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−−ℜ∈∀
⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−=−
=
=+
=⇒
±=
>=+=Δ⇒=−−⇒=⇒−−=++−+−−=−−=
SoluciónyxyxzaCuandob
adoerInCompSistema
aCuando
leIncompatibSistema
aCuando
adoDeterCompSistemaincognitasdeNúmeroArangAa
a
aa
aaASiaaaaaaa
A
1
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PR-2.- Sea f la función dada por . 22)( xxexf −=
a) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y las asíntotas de f. b) Determinar el número de soluciones de la ecuación 2)( =xf en el intervalo [ ]. 1,0
( ) ( ( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
ℜ∈⇒>⇒<⇒−>−⇒>−
ℜ∈⇒>
⇒−⇒>⇒−=−=
−
−−
xexxxx
exxfoexexxf
xx
xxxx
01101
02120)('1222)('
2
22
2
222 )
<ℜ∈
⇒−
xx
Crecimientxx
1/
2
1 ∞ ∞− 2 > 0 ( + ) ( + ) x < 1 ( + ) ( - )
022 >−xxe ( + ) ( + )
Solución ( + ) f’(x) > 0 ( - ) f’(x) < 0 Creciente Decreciente 1/ <ℜ∈∀ xx 1/ >ℜ∈∀ xx Máximo en x = 1 en (1 , e) de creciente pasa a decreciente ef == − 211.2)1( e Asíntotas verticales no hay ya que el Dom(f) = ℜ∈∀x Asíntotas horizontales
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
⎪⎩
⎪⎨⎧
−−=−+=
⇒−±=−±
=−±
=
>⋅−=Δ⇒=+−⇒=−⋅−⇒=⇒=
−∞→⇒=∞
=⋅
=∞
===
∞→⇒=∞⋅∞−
−
−
−=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯=
∞∞
=
=−
=⋅−∞=⋅−∞=−
=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯=∞∞
==
=⇒−∞→⇒=∞
=====
=⇒∞→⇒=∞
====
−−
+∞→
−−
∞→
−
−∞→
−∞→
−∞→
∞−−
∞→
−
∞→
∞−+−−−
∞→
−
−∞→
∞−−−
∞→
∞→
∞→
2ln112ln11
2ln112
2ln1222
2ln142
02ln4402ln202lnln22lnln2
)
011lim0limlim
0222
2lim
22lim01
22limlim
001limlim
001lim
2222
2
22
2'
2
2'
2
2lim22
2lim2
22
2
22
2
2
22
222
22
xx
x
xxexxee
b
xcuandoexisteNoexx
ex
em
xcuandoexisteNoex
exeex
xem
oblícuasAsíntotas
yxCuandoeeeey
yxCuandoeeey
xxxx
xxx
xx
x
xx
x
xxx
HopitalLApicando
xxx
xx
x
HopitalLApicandoxx
x
xxxx
x
xx
x
xxxx
x
x
x
2
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti
CUESTIONES
C-1.- .- Sean X una matriz , I la matriz identidad 22× 22× y . Hallar X
sabiendo que
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
1012
B
IBBBX +2=+
( )
( )
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=−+=
⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⋅=⇒⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=⇒⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⇒⋅=
⇒∃⇒≠==⇒−+=−+=⇒−+=
−
−−
−−−
1021
23
10211
211
1001
1021
21
1012
2011
21
2011
11021
021012
1
11
11212
IBBX
BadjBBadjBB
B
BBIBBBIBBXBIBBX
ttt
C-2.- Determinar el punto simétrico de respecto del plano de ecuación )3,0,4(P yx = . Calcularemos la recta r que pasa por P y tiene como vector director el del plano dado (vector que es perpendicular al plano) y hallaremos el punto de intersección de esta con el plano que nos da el punto M, que es el punto medio entre P y su simétrico P’
( )
( ) ( )3,4,0'
333.22
33
42.22
02
042.22
42
3,2,2
32
242424
304
0,1,1
''
''
''
P
zz
yy
xx
M
zy
xM
zyx
rvv
PP
PP
PP
r
⇒
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=−=⇒+
=
==⇒+
=
=−=⇒+
=
⇒
⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
==−=
⇒−=⇒=−⇒−=+⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−=+=
≡⇒−== λλλλλλ
π
C-3.- Determinar en qué puntos de la gráfica de la función , la recta tangente a la misma es paralela a la recta
13 23 ++−= xxxy7+= xy
( )
( ) ( )( ) ( )⎩
⎨⎧
−⇒−=+−=++⋅−=⇒=++⋅−=
⇒⎩⎨⎧
=⇒=−=
⇒=−⇒=−⇒=+−⇒+−=⇒=
1,2131281223221,0110.0300
2020
0230631163163'1
23
23
222
ff
xxx
xxxxxxxxym
3
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti
C-4.- Calcular el área del recinto limitado por la curva de ecuación , el eje OX y las rectas y
xy ln=1=x 2=x .
[ ] ( ) ( ) ( )
⎪⎩
⎪⎨⎧
==⇒=
=⇒=
−=−−=−−=−==
∫
∫∫∫
xdxvdvdxx
dxduux
udxx
dxxxxdxxA
ln
12ln2122ln21ln12ln2lnln 22
1
2
1
2
1
21
4
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PRUEBA B
PROBLEMAS PR-1.- De una recta r se sabe que está contenida en el plano π de ecuación , que
pertenece a r , y que el vector que une A y 0=− yx
)0,0,0(A )1,0,1( −B es perpendicular a r. Determinar la recta r, y calcular la distancia entre r y el plano paralelo a que pasa por B. π
( )( )
( ) ( )( )
( )
udd
yxdDDyxBporpasaquePlano
cyx
rv
babababaabavvvv
vABbav
cbyax
r
rA
r
rrr
22
21
11
1000110010
1,1,1
000011,0,11,,0.
1,0,11,,
000
22=
−=
+
−−==
⇒=−−≡⇒−=⇒=+−⇒=+−⇒
⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
≡⇒≡
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⇒=−⇒=−⇒=−=−=−⋅⇒=⇒⊥⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
−==≡⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=+=+=
≡
αα
ππ
π
α
λλλ
λλλλλλ
5
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PR-2 Sea la función 4
)( 2 +=
xxxf . Se pide hallar:
a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f , los máximos y mínimos relativos y las asíntotas. Esbozar su gráfica. b) El área de la región limitada por la gráfica de f, el eje OX y las rectas . 2,2 =−= xx
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
ℜ∈∀⇒>+<ℜ∈∀⇒<⇒−>−⇒>−
−>ℜ∈∀⇒−>⇒>+
⇒>+
−⋅+⇒>⇒⇒
+
−⋅+=
+
−=
+
−+=
xxxxxxx
xxxxx
xxxfoCrecimientx
xxx
xx
xxxxf
042/2202
2/202
04220)('
422
44
424)('
22
222222
2
22
2
∞− -2 2 ∞
x < -2 ( - ) ( + ) ( + ) x < 2 ( + ) ( + ) ( - )
( ) 042 >+x ( + ) ( + ) ( + ) Resultado ( - ) f’(x) < 0 ( + ) f’(x) > 0 ( - ) f’(x) < 0
Creciente 22/ <<−ℜ∈∀ xx Decreciente ( ) ( )22/ >∪−<ℜ∈∀ xxx
Mínimo relativo en ( ) 4
142
2)2(2 2 −=+−
−=−⇒−= fx de decreciente pasa a
creciente
Máximo relativo en 41
422)2(2 2 =+
=⇒= fx de creciente pasa a decreciente
Asíntota vertical
ℜ∉∀⇒−±=⇒−=⇒=+ xxxx 4404 22 No existen asíntotas verticales Asíntota horizontal
0
001
041
1
41
1
lim4
lim4
lim4
lim
0001
041
1
41
1
lim4
lim4
lim
222
2
2
22
222
2
2
2
=⇒−∞→
⇒=+
=
∞+
∞−
=+
−=
+
−=
∞∞−
=+
−=
+=
=⇒∞→⇒=+
=
∞+
∞=+
=+
=∞∞
=+
=
∞→∞→∞→−∞→
∞→∞→∞→
yxCuandox
x
xxx
xx
xx
xxy
yxCuando
x
x
xxx
xx
xxy
xxxx
xxx
6
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti
Continuación del Problema 2 de la opción B Asíntota oblicua o inclinada
( )
( )oblicuasasíntotasexistenNo
xxxx
xx
x
m
xxxx
xx
x
m
xxx
xxx
⇒=∞
=+
=+−
−=+=
=∞
=+
=+
=+=
∞→∞→−∞→
∞→∞→∞→
014
1lim4
lim4lim
014
1lim4
lim4lim
22
2
22
2
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Y
X
[ ] ( )
⎩⎨⎧
=⇒==⇒=
⇒=⇒=⇒=+
==−====+
= ∫∫∫
8240
224
2ln48ln4ln8lnln
212
42
)
2
284
8
4
8
4
2
02
txtxdtxdxdtxdxtx
uttdtdt
tdx
xxA
b
7
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti
CUESTIONES C-1.- Discutir, en función del número real m, el rango de la matriz
( ) ( )
{ } ( )
( )
( ) 2000100312
100100312
500300
312
212324312
3
2000450212
212642212
212321212
2
33,2
23
225102524106060
66241264168212321
12
212321
12
22
22
=⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−=
=
=⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
−=
−=
=⇒−−ℜ∈∀
⇒⎩⎨⎧
−==
⇒±
=⇒>=+=Δ⇒=−−⇒=++−⇒=
⇒++−=+−+−−=+−+++−−=−−
+=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−+=
ArangA
mSi
ArangA
mSi
Arangm
mm
mmmmmASi
mmmmmmmmmmmm
A
mm
A
. C-2.- Sea A el punto medio del segmento de extremos y )1,2,3(P )1,0,1(−Q
). Calcular el
volumen del tetraedro de vértices A, , y . )3,1,2(B ) 4,3(D3,2,1(C 1,( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) 3
3510
6164
61
032210201
61
0,3,21,1,11,4,32,1,01,1,13,2,12,0,11,1,13,1,2
611,1,1
12
11
12
02
12
13
uV
ADACAB
ADACABVA
z
y
x
A
A
A
=−⋅=−−⋅=⋅=
⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−==−==−=
⇒×⋅⋅=⇒⇒
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+
=
=+
=
=−+
=
8
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti
9
C-3.- Discutir si la ecuación 2sen =+ xx tiene alguna solución real.
( )
( )
⎪⎩
⎪⎨⎧
>−
=−=−+=−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
<−=−=−+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+=
02
212
212
2222
022020002
,0int2
ππππππ
π
senf
senf
ervaloelenxsenxxffunciónladenulosvaloreshaberpuedesiEstudiemos
No hay puntos de discontinuidad en el intervalo ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
2,0 π
Teorema de conservación del signo Si f(x) es continua en , entonces existe un entorno ( ) 000 ≠xfyx ( ) 0,, 000 ≠+− δδ xxx ,
en el que la función tiene el mismo signo que ( )0xf( )
, es decir
( )[ ] ( )[ ] δδ +−∈∀ 00 , xxxf= ,signxfsign 0x
Corolario: Si una función es continua en un punto , y toma valores negativos
y positivos
0x
( ) 20 −=f2
22
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ππf en todo entorno de entonces 0x ( ) 00 =xf
Consecuencia de todo ello Teorema de Bolzano,- Si f(x) es continua en el intervalo [a , b], y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo ( ) ( )[ ]bfsignafsign ≠ , entonces existe, al menos, un punto tal que f (c) = 0 ( bac ,∈ )
Como ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛≠−=
22
220 ππfsignfsign , entonces existe, al menos, un punto
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∈
2,0 πc tal que f (c) = 0 (Solución o soluciones de la ecuación)
C-4.- Calcular, si existe, el valor de 2
2
0
)(limx
ee xx
x
−
→
− .
( )( )
( ) ( ) ( ) 411222lim1
22lim00
0
lim2
2lim00
0)()(lim
0022
0
22
0
'00
22
00
'2
200
2
2
0
=+=+=+=+
=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==−
=
=−
=+−
=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==−
=−
−
→
−
→
−
→
−−
→
−
→
eeeeeeeex
eex
eeeeeexee
xx
x
xx
x
HopitalLAplicando
xx
x
xxxx
x
HopitalLAplicandoxx
x
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti
1
=+=+
≡
=+=−
≡32
2,
322
zxyx
syz
myxr
-PRUEBA A
PROBLEMAS PR-1.- Sean r y s las rectas dadas por:
.
a) Hállese el valor de m para que ambas rectas se corten b) Para 1=m , hállese la ecuación del plano que contiene a r y s.
( )
( )
( )( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0236710023671001617110011814121812
0122421111
1,1,11,1,1,,1,2,2
4,2,11,1,1
11.41.2311.21
11
55
534612
5132211
230)
155
512412866
5143221
213
min.051884142221
210
342122
32
423212
23
2123
2123223
42322432232
)
=−++≡⇒=+−−−⇒=−−−−−−⇒=−+−−−−−−−−−−
⇒=−−−−−−
≡⇒
−−−=−=−−=
−=⇒
⇒
=−+==+−=
=⇒=
−−
=−
−++−=
−
−−−−−
=⇒
=−−
=−
−−+++−=
−
−−−−−
=
⇒≠−=−−+−=−−−−=⇒
−=−−−=−+−
=+
⇒
=−++−=+−
−=⇒
=+−=−=
≡⇒+−=−−=⇒−=
−+=+−=
=≡⇒+−=−⋅−=⇒−=
zyxzyxzyxyxzzyx
zyx
zyxzyxAGvv
A
zy
xAAcortedePunto
b
m
adoDeterCompSistemaAmm
mm
zyx
szzyzx
mzmy
xrmxmxzmxy
a
s
r
π
π
λ
µλµλ
µλ
µλµλ
µλ
µµµ
λλ
λ
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti
2
PR-2.- Considérense las funciones xx exgexf −−== )( ,)( . Para cada recta r perpendicular al eje OX, sean A y B los puntos de corte de dicha recta con las gráficas de f y g, respectivamente. Determínese la recta r para la cual el segmento AB es de longitud mínima.
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) OYejeElxrxy
maB
AMínimo
eed
ee
eeee
eeee
eeeeed
aaeeeede
ee
eeee
eeee
eeeedaddd
eed
ee
eeaad
eaBeag
eaAeafaxrectalaSiendo
AB
a
a
a
aaa
a
aaa
a
aaaa
AB
aaaAB
a
a
a
aaa
a
aaa
a
aaaaAB
ABa
a
AB
a
a
aa
ABa
a
aa
⇒=≡⇒−⋅=−
⇒=⇒
−⇒⇒>=
+=
+=
⇒+
=+−
=−−
=−−
=
⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=−⇒=
−=
−−=
+−=
+−==⇒
+=
+=
++−=⇒
−⇒−=
⇒=⇒= −
00011
01
1,1,0
021
1110''
1121212''
0021010'
1121212'1
111,
,
0
0.2
2
2
22
2
23
2
22
0222
2
2
22
2
23
2
222
2222
CUESTIONES
C-1.- Hállense las matrices A cuadradas de orden 2, que verifican la igualdad:
AA
=
1101
1101
.
=
⇒
=⇒+==⇒+=+
===⇒=+
⇒
++
=
++
⇒
⋅
=
⋅
aca
A
bdbddacadc
bbbaba
dbcaba
ddcbba
dcba
dcba
0
0
00
1101
1101
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti
3
C-2.- Calcúlese la distancia del punto ( )1,1,1P a la recta
−==
+−=≡
λ
λ
zyx
r 022
.
Se trazara un plano π perpendicular a la recta por el punto P, que cortara a esta en el punto A . La distancia entre P y A es la que existe entre punto y recta.
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) udd
Azy
xA
zxzxzyx
PGvPGvzyxzyxPG
vv
PA
r
6411110101
1,0,01
001.22
105501222
012011201,1,11,0,2
01,1,11,1,1,,
1,0,2
222Pr =++=++−+−==
−⇒
−==
=+−=⇒=⇒=+−⇒=−−−+−⋅
⇒=−−≡⇒=−−−⇒=−−−⋅−
⇒=⋅⇒⊥⇒
−−−=−=−==
λλλλ
π
πππ
C-3.- Calcúlese el valor de 20
))2ln(cos(limx
xx→
.
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 212
0cos2
0.2cos2
2cos2lim
2cos2lim
12cos
2
lim00
00.22lim2cos
2
lim
2
222cos
1
lim00
01ln
00cosln
00.2cosln2coslnlim
2222020
2
0
'
00
0
'220
−=−=−=−=−=−=
=−
= →==−=−
=−
=
=⋅−⋅
= →=====
→→
→→→
→→
xx
xtgx
xtgx
xxsen
x
xsenx
xx
xx
x
HopitalLAplicando
xx
x
HopitalLAplicando
x
C-4.- Hállese el área del recinto limitado por la parábola 2xy −= y la recta 32 −= xy
( ) ( ) ( )
[ ] [ ] [ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]
2
223313
13
213
3
1
3
21
3
21
3
1
3
21
3
22
332
3362428128
328
3133131313
212
31
323232
32
42
12
42
216201612403232
uA
xxxA
dxxxdxxdxxdxxdxxA
x
xxxxxx
=++−
=++−=
−−+−−−−−⋅−=+⋅⋅−⋅−=
=+−−=−+−−=−−−=
−=−−
=
=+−
=⇒
±−=⇒>=+=∆⇒=−+⇒−=−
−−−
−−−−−∫∫∫∫∫
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti
4
=++=++=++
424)1(
32
azyxzyazyx
PRUEBA B
PROBLEMAS
PR-1.- Se considera el sistema de ecuaciones lineales .
a) Discútase el sistema según el valor del parámetro real a. b) Resuélvase el sistema para a=2.
( ) ( )
( ) ( )
{ } ( )
( ) ( )1,1,0,,
031.11.21334131143
100130121
443
221130121
min2)
10143
000120121
443
121120121
1
90943
000100121
143
200100121
443
121100121
1
min.301,1
101101
011
01011212121
110121
)
222
=⇒
⇒=⇒=++⇒=⇒=⇒=+⇒=⇒
≡
⇒=
⇒ℜ∉∀⇒=⇒
≡
=
⇒ℜ∉∀⇒=⇒
≡
−≡
−
−=
⇒==⇒≠⇒−−ℜ∈∀
⇒
=⇒=−−=⇒=+
⇒=−⋅+
⇒=−⇒=⇒−=−−+=−+−++=+=
zyxSolución
xxyyyz
adoDeterCompatibleSistemaaSib
leIncompatibSistemaxz
aSi
leIncompatibSistemaxz
aSi
adoDeterCompSistemaincognitasdeNúmeroArangAa
aaaa
aa
aASiaaaaaaaa
aA
a
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5
PR-2.- Dada la función 11)(
+−
=xxxf , se pide:
a) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los puntos de inflexión y las asíntotas de f. Esbócese su gráfica. b) Calcúlese el área de la región limitada por dicha gráfica y las rectas 0,0 == yx .
( ) { }
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
−>⇒>+ℜ∈∀⇒<−
⇒>+−
⇒>⇒⇒+−
=++−
⋅=
ℜ∈∀⇒
⇒
ℜ∈∀⇒>+ℜ∈∀⇒>
⇒>+
⇒>⇒⇒+
=+
−−+=
−−ℜ∈∀=⇒−
=+−−−
=−⇒−=⇒=+
10104
0140)(''
14
1122)(''
0102
01
20)('1
21
11)('
102
1111)1(101
)
334
2222
xxx
xxfConcavidad
xxxxf
xoCrecimientxx
xx
xfoCrecimientxx
xxxf
xfDomfxx
a
∞− -1 ∞
-4 < 0 ( - ) ( - ) x > -1 ( - ) ( + )
Solución ( + ) f’’(x) > 0 ( - ) f’’(x) < 0 Concavidad 1/ −<ℜ∈∀ xx Convexidad 1/ >ℜ∈∀ xx No existe punto de inflexión porque en x = -1 hay una asíntota vertical Asíntota verticales En x = -1 como se ha determinado en el análisis del Dominio de la función
110101
11
11lim
1
1
lim11lim
11lim
110101
11
11
11
11lim
1
1
lim11lim
=⇒−∞→⇒=+−−−
=+−
−−=
+−
−−=
∞∞
=+−−−
=+−
=
=⇒∞→⇒=+−
=
∞+
∞−
=+
−=
+
−=
∞∞
=+−
=
∞→∞→∞→−∞→
∞→∞→∞→
yxCuando
x
x
xxx
xxx
xx
xxy
yxCuando
x
x
xxx
xxx
xxy
xxxx
xxx
Asíntotas horizontales
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6
Continuación del Problema 2 de la Opción B a) Continuación
( )
oblicuaasíntotaexisteNoxCuandox
xx
xx
xx
xxx
xxx
xxx
m
oblicuaasíntotaexisteNoxCuandox
xx
xx
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
m
xxxx
xxxxx
⇒−∞→
⇒=+−−
=∞−∞
−∞
−=
−
−−=
−
−−=
∞∞
=−−−
=+−
=
⇒∞→
=+−
=∞+∞
−∞=
+
−=
+
−=
∞∞
=+−
=+−
=+−
=
∞→∞→∞→−∞→
∞→∞→∞→∞→∞→
00100
1
11
11
11
lim
1
lim1lim11
lim
00100
1
11
11
11
lim
1
lim1lim1
1lim11
lim
2
22
2
22
2
2
22
2
22
2
Asíntotas oblicuas
-15
-10
-5
0
5
10
15
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Y
X
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7
Continuación del Problema 2 de la Opción B
[ ] ( ) [ ] ( )
( ) ( ) 2
12
1
2
01
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
12ln22ln021
1021
1
2ln1ln21ln210121
121
21
211
11
11
11
11
1010
11010)0(0
)
uA
txtx
dtdxtx
tdtt
xdxx
dxdxx
A
xxx
dxxxdx
xxdx
xxA
xxy
fxCuando
b
−⋅=−⋅−−=
=⇒==⇒=
⇒=⇒=+
−−−=⋅−−=−=+
−=
+−=
−−−
+−
+−
=+−
−=+−
=⇒
=⇒=−⇒=
−=+−
=⇒=
∫∫∫∫
∫∫∫
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8
C-1.- Dadas las matrices
−−−=
111101011
P y
−
−=
200010001
A , hállese razonadamente la
matriz B sabiendo que ABP = .
( )
−
−−=
−
−−⋅
−
−==
⇒
−
−−⋅=⇒
−
−−=⇒
−−−
=⇒⋅=
⇒∃⇒≠=++−=−−
−=
=⇒=⇒=
−
−−
−
−−−−
202110111
101110
111
200010001
101110
111
11
101110
111
110101111
1
01111111101011
1
11
1
1111
APB
PadjPPadjPP
P
PP
APBAPBIAPBPP
ttt
C-2.- Hállese la distancia entre el plano π , que pasa por los puntos A(2,0,-1), B(0,0,0) y C(1,1,2), y el plano β de ecuación 0625 =−+− zyx . Para que haya distancia deben de ser paralelos, vamos a comprobarlos. Si, efectivamente, lo son se halla la distancia de uno cualquiera de los puntos al plano β
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )udd
vvvvzyx
zyx
yxyxzyzyx
zyxzyxBGBC
BA
B 530
30306
42516
251
60.20.50
0625025
40420211102
,,0,0,0,,2,1,10,0,02,1,1
1,0,20,0,01,0,2
222==
++
−
+−+
−+−==
⇒⇒=⇒
=−+−≡=+−≡
+≡⇒=−++−⇒=−≡⇒
=−==−=
−=−−=
βαβ
βπβπ βαβπ
ππ
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9
C-3.- Sea dcxbxaxxf +++= 23)( . Determínense a, b, c y d para que la recta 01 =+y sea tangente a la gráfica de f en el punto )1,0( − , y la recta 02 =−− yx sea tangente a la gráfica de f en el punto )1,1( − .
1)(1
0111123033
12311.21.31)1('0111.1.1)1(000.20.30)0('
110.0.0.1)0(
23)('
23
2
23
2
23
23
−−=⇒=
⇒=−⇒−=⇒=−⇒
=+=−−
⇒
=+⇒=+⇒===+⇒−=−+⇒−==⇒=++⇒==−=⇒−=+++⇒−=
+++=
xxxfa
abbbaba
babafmbabafccbafmddcbaf
cbxaxaxxf
C-4.- Determínense los valores de a y b para los cuales 1)(sen
)cos(1lim 2
2
0=
−++→ x
xbxaxx
.
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )[ ]
( )( ) ( )[ ] ( )
( )( ) 1
sen
cos12lim
21122121
212
01212
00.20c20cos2
2c2cos2lim
00
00102
000c02
00.2c2
2lim
00
01100
0sen0cos10.0.
sencos1lim
2
2
0
222220
'
220
'2
2
2
2
0
=−+
⇒=⇒=⇒=+⇒=+
−+
=−+
=−+
= →==
==→=⋅⋅++
=⋅
++=
++=
= →==−++
=−++
=−++
→
→
→
→
x
xx
aaaa
asenos
axxsenxxos
xa
brealvaloruntenerallegarparabbos
senbaxosx
xsenbax
bax
xbxax
x
x
HopitalLAplicando
x
HopitalLAplicando
x
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PRUEBA A
PROBLEMAS
PR-1.- .- a) Hállese el valor de a para el que la recta y el plano ⎩⎨⎧
=−+=+−
≡252
12zyx
zyxr
01 =++−≡ zyaxπ sean paralelos b) Para , calcúlese la ecuación del plano que contiene a r y es perpendicular a 2=a π a) Los vectores directores de recta y plano son perpendiculares y por ello su producto escalar nulo.
( )
( )( ) ( )
( )( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 04740714021361
0131112
1
,,10,0,1,,1,3,11,1,2
0,0,1)
201301,1,1,3,10
1,1,
1,3,131
312111333
=−−+≡⇒=+−−−⇒=−−−+++−−
⇒=−−
≡⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−=≡
−≡
=⇒=+−⇒=−⋅⇒=⋅⇒⊥
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−≡
≡⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
==+=
≡⇒=⇒=+−+⇒+=⇒=−⇒=−
zyxzyxyxzzyx
zyx
zyxzyxRGv
v
rrectaladepuntoRb
aaavvvv
av
vzy
xrzyzyzzxzxzx
r
rr
r
β
β
λλλ
π
ππ
π
1
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PR-2.- a) Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento , sus máximos y mínimos relativos, asíntotas y puntos de inflexión. Demuéstrese que para
todo x se tiene que
xxexf −=)(
exf 1)( ≤
]1,b) Pruébese que la ecuación tiene alguna solución en xex =3 ( ∞−
( )<⇒−>−⇒>
ℜ∈∀⇒>−⇒>⇒−=−=
−−−−−
1100
10)('1)('xxx
eexfoCrecimientxexeexf
xxxxx
∞
( )⎩⎨⎧
−⇒>
10x
1 ∞− 0>−xe ( + ) ( + )
x < 1 ( + ) ( - ) Solución ( + ) f’(x) > 0 ( - ) f’(x) < 0
Crecimiento 1/ <ℜ∈∀ xx Decrecimiento 1 / >ℜ∈∀ xx
Máximo relativo en x = 1 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⇒=⋅= −
eeef 1,111)1( 1 , de crecimiento pasa a
decrecimiento Asíntota vertical Como , no existen asíntotas verticales ( ) ℜ∈∀= xfDom Asíntota horizontal
horizontalasíntotaexisteNoxCuandoxexey
yee
xxey
x
x
x
x
xx
HopitalLAplicandoxx
x
x
⇒−∞→⇒−∞=−==
=⇒∞⇒=∞
==⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯=∞∞
===
∞→
−
−∞→
∞→∞→
−
∞→
limlim
0011limlimlim ' xCuando →
Asíntota oblicua
oblicuaasíntotaexisteNoxCuandoex
xem
oblicuaasíntotaexisteNoxCuandoex
xem
x
x
x
x
xx
x
x
⇒−∞→⇒∞===
⇒∞→⇒=∞
===
∞→
−
−∞→
∞→
−
∞→
limlim
011limlim
( ) ( )[ ] ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⇒=⇒=
=−=⇒−=−−−−=−−=
=⇒=−⇒=−−⇒=⇒−−=−+−=−−−=
−
−−−−−
−−−−−
22
22
2,2.222
123)('''322)('''
202020)(''2111)(''
inf
eefx
eexfxeexexexf
xxxexfxexexeexf
lexióndePunto
xxxx
xxxxx
2
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti
Continuación del Problema 1 de la opción A
ℜ∈∀⇒>⇒ℜ∈∀⇒>−
⇒ℜ∈∀⇒>−
⎩⎨⎧
⇒ℜ∈∀⇒>
ℜ∈∀⇒>⇒>−⇒
−=
−=−
−−−−
+
xex
ex
ex
e
xe
xexe
xxexee
xee
exeex
e
xx
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
101
00
01 1111
1
Veamos si g(x) se anula No hay puntos de discontinuidad en el intervalo
b
( ) ( )⎧ >−=⇒−=
01.313
1egexxg x
( )⎩⎨
<−=−= 010.30
)
0eg
( ]1,∞− TSi
eorema de conservación del signo f(x) es continua en , entonces existe un entorno ( ) 000 ≠xfyx ( ) 0,, 000 ≠+− δδ xxx ,
en el que la función tiene o que el mismo sign ( )0xf( )
, es decir
( )[ ] ( )[ ] δδ +−∈∀ 00 , xxxf= ,signxfsign 0x
Corolario: Si una función es continua en un punto , y toma valores positivos
en todo entorno de entonces 0x
( ) 10 −= 0x ( ) 00 =xg ( ) eg −= 31 y positivos g
onsecuencia de todo ello C Teorema de Bolzano,- Si f(x) es continua en el intervalo [a , b], y toma valores de distinto
s del intervalosigno en los extremo ( ) ( )[ ]bfsignafsign ≠ , ent , un punto ( )bac ,∈ tal que f (c) = 0
onces existe, al menos
Como ( ) ( )[ ]1031 −=≠−= fsignefsign , entonces existe, al menos, un punto [ ] ( ]1,1,0 ∞−∈∈c tal que f (c) = 0 (Solución o soluciones de la ecuación)
3
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti
CUESTIONES
C-1.- Sea m un número real. Discútase, en función de m, el sistema de ecuaciones
lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+=
2121
111
mmmA
Al ser un sistema de ecuaciones homogéneas, los valores que no anulen al determinante de la matriz de los coeficientes darán lugar a sistemas Compatibles Determinados con solución trivial (0 , 0 , 0), los valores que lo anulan generan sistemas Compatibles Indeterminados
( )
{ } ( )( )
( )
( )μλμλ ,,
mindet..1000
000000111
000
222111111
1
0,0,0min...301
1220440120120
1213212122212
1111
22
22
−−⇒−−=
⇒=⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
=
⇒⇒==⇒≠⇒−ℜ∈∀
==⇒=−=Δ⇒=+−⇒=−+−⇒=
−+−=−+−−=−+−−+++=+
=
Soluciónzyx
adoerInCompatSistArangA
mSi
SoluciónadoDeterCompatSistincognitasNumArangAm
mmmmmASi
mmmmmmmmmmmm
mmA
C-2.- Hállense las ecuaciones de la recta que pasa por P(2 , 1 , -1), está contenida en el
plano 132 =++≡ zyxπ , y es perpendicular a la recta ⎩⎨⎧
+=−=
≡432
zyzx
s
( )
( )
( )( )( )( )
( )
31
51
12
3,5,11,35,
31
3103
310
35053
0642012
032012
3,2,11,,1,1,21,,
0.0.
1,1,2423
1,,1
12
+=
−−
=−
≡
−≡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⇒=⇒=+−⇒−=⇒=−−⇒
⎩⎨⎧
=−−−=++
⇒
⎩⎨⎧
=++=++
⇒⎩⎨⎧
⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
=⇒⊥=⇒⊥⇒
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨
⎧=⇒
=+=+−=
≡
=⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−=+=+=
≡
zyxr
aabbba
ba
baba
baba
vvvvvvvv
vz
yx
s
bavz
byax
r
rr
srsr
s
r
ππ
λλλβββ
4
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti
C-3.- Calcúlese 20
cos1))ln(cos(limx
xxx
+−→
( )[ ] ( )[ ] ( )
( ) ( )
122
2
111
2
0cos0cos
1
2
coscos
1
lim
00
000
0.200
2lim
2cos
1
lim
00
0111ln
00cos10coslncos1coslnlim
22
0
'
00
'220
−=−
=−−
=−−
=−−
=
=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==−
=−−
=−−
=−−⋅
=
=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==+−
=+−
=+−
→
→→
→
xx
sentgx
xsenxtgx
xsenxsenx
xxx
x
HopitalLAplicando
xx
HopitalLAplicando
x
C-4.- Calcúlese el área del recinto limitado por la curva de ecuación y por la recta tangente a dicha curva en el punto x = 0.
xxxy 23 23 +−=
( ) ( )( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2233442233
442233442232
232
332
4
10
221
321
410
210
310
430
2
3
0
1
0
2
1
3
2
232323
23
2
223
2322323
2
232
232323411212
1241010101
4103
212
313
41
212
313
41
212
313
41
212
2323232
083
82454273
427
827
23.2
23.3
23
23
12
13
22
13
2130189023
0023023
21.201.21.311
3030
0303232
tansecint
tan.02
020220.60.30'
00.20.30263''
−−−+−⋅−−+−−
−−⋅+−−−+−⋅−−=⋅⋅−⋅⋅+⋅−
−⋅⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅=
+−−+−++−−=
<−=+−
=+−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−
=
=+
=⇒
±=⇒>=−=Δ⇒=+−
=
⇒=+−⇒=+−⇒⎩⎨⎧
===+−=
⇒⎩⎨⎧
=⇒=−=
⇒=−⇒=−⇒+−=
−
=−
⇒−⋅=−⇒⎩⎨⎧
=+−===+−=
⇒+−==
∫ ∫ ∫ ∫
xxx
xxxxxxxA
dxxxxdxxxxdxxxxdxxA
f
y
xxxx
xxxxxxxfunciónladecortedePuntos
yf
xxx
xxxxxxxx
gentegraficaciónerdePuntos
genteEcyx
xyfmxf
xxxfy
5
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PRUEBA B
PROBLEMAS PR-1.- Discútase, en función del parámetro real k el siguiente sistema de ecuaciones
lineales: . Resuélvase el sistema cuando sea posible ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=+=+
0323
03
kyxkyx
ykx
( ) ( )( )
{ } ( )
( )
( )3,3393093
33min030
0010
33
030
332333
3
0,0min000
001023
000
101023
000
203023
000
033023
053,
53
53
5930
593
5335min
03
0
005033
03
0
332333
3
3/0/3,0,3
303303
003309090
0323
03/ 23
−⇒=⇒=⇒=−
⇒−=⇒=−⇒⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⇒⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⇒−=⇒=−⇒=−−
⇒−=⇒−=⇒⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−
−
−=
⇒>=⇒≠⇒−−ℜ∈∀
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⇒=−−=⇒=+
=⇒=−+⇒=−⇒=−⇒==
Soluciónxxx
yyadoDeterCompatibleSistema
kSi
SoluciónadoDeterCompatibleSistema
kSi
Soluciónxxx
yyadoDeterCompatibleSistema
kSi
leIncompatibSistemaincognitasdeNúmeroBArangBAx
kkkk
kkkkkkkk
kk
kBA
6
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PR-2.- .- Sea x
xxf224)( −
= ,
a) Determínense el dominio de f, sus asíntotas, simetrías, y máximos y mínimos relativos. Esbócese su gráfica.
b) Calcúlese ( ) ( )∫2
1
ln dxxxf
( ) { }
( )
( )
( )
( )
xyxCuandoxx
xxxx
xn
x
xx
xx
xx
xxx
x
m
xyxCuandoxx
xxxx
xn
x
xx
xx
xx
xxx
x
m
oblicuasAsíntotasxcuandoexisteNo
x
x
xxxx
xxx
xxy
xcuandoexisteNo
x
x
xx
xx
xx
xy
eshorizontalAsíntotas
xf
xfx
verticalesAsíntotas
xfDomxfx
a
xxx
xxxx
xxx
xxxx
xxxx
xxx
x
x
2
044lim224lim224lim
21
201
24
1
24
lim
24
lim24lim
24
lim
2
044lim224lim224lim
21
201
24
1
24
lim
24
lim24lim
24
lim
02
020
1
24
lim
24
lim24lim24lim
02
020
1
24
1
24
lim
24
lim24lim
04
00.24lim
04
00.24lim
0
004
00.24)0(0
)
222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
222
2
2
2
2
22
2
0
2
0
2
−=⇒−∞→
=∞
−=−−
+−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−=
−=−
=−
∞=−
=−
=−
=
−
=
−=⇒∞→
=∞
=+−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−=
−=−
=−
∞=−
=−
=−
=
−
=
−∞→⇒
−=−−
=−
−=
−
−=
∞−∞−
=−−
=−
=
∞→⇒−=−
=
∞
−∞=
−=
−=
∞∞−
=−
=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∞==−
=
−∞==−
=⇒=
−ℜ∈∀=⇒ℜ∉∀∃/⇒=−
=⇒=
∞→∞→−∞→
∞→∞→∞→−∞→
∞→∞→∞→
∞→∞→∞→∞→
∞→∞→∞→−∞→
∞→∞→∞→
++→
−−→
+
−
7
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti
Continuación del Problema 2 de la Opción B
( )
( )
relativosmínimosnimáximoshayNo
xxxxfx
xxx
xxxxxf
origenalrespectoSimétricaxfx
xxxxf
⇒−±=⇒−=⇒=+⇒=⇒+
⋅−=−−
=−−−
=
⇒−=−
−=−−
=−
22020)('2242244)('
2424)(
222
2
2
2
2
2
22
-15
-10
-5
0
5
10
15
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Y
X
( ) ( ) ( )
[ ] ( ){ } { } [ ]
( ){ } ( )212ln2ln
2112
212ln
222ln
2112
212ln22ln
21
210.12ln202ln
211ln12ln2
21
21
ln
01ln12ln2ln
21ln
212ln2ln4ln24
)
22222
21
2222
1
222ln0
2
2
2
1
22
1
22ln
0
2
1
2
1
2
1
2
+−⋅=−⋅+⋅−⋅=−⋅+⋅−⋅=
⋅++⋅−−⋅=+−−⋅=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⋅==⇒=
=⇒=
⎩⎨⎧
==⇒==⇒=
⇒=⇒=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⋅−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ⋅−=−=
−=
∫
∫
∫∫∫∫∫
I
xdxxtI
xdxxvdvdxxx
dxduux
txtxdt
xdxtx
xdxxxxdttdxxxdx
xxdxx
xxI
b
8
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti
C-1.- ¿Existen máximos y mínimos absolutos de la función 1cos)( += xxf en el intervalo [ ]π,0 ?. Justifíquese su existencia y calcúlense.
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )0,0111cos
2,021110cos00.
int011cos''
010cos0''cos''
,0000)(')('
ππππ
ππ
π
⇒=+−=+=⇒=⇒=+=+=⇒=
⎩⎨⎧
⇒>=−−=−=⇒<−=−=
⇒−=
ℜ∈+=⇒=⇒=−⇒=⇒−=
fxenabsolutoMínimofxenabsolutoMáximo
absolutosextremossonestoservalodelextremospuntoslosencumplenserelativosextremoslosComo
MínimofMáximof
xxf
kkxxsenxsenxfxsenxf
C-2.- Dadas las matriz , determínense los valores del número real a
para los cuales existe la matriz inversa de P
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+=
543012
21a
aP
( ) ( )
ℜ∈∀⇒
ℜ∉∀⇒<−=−=Δ⇒=+−⇒=−+−⇒=
−+−=−−−++=−+−++=+=⇒≠
− aPExiste
aaaaaP
aaaaaaaaaaaa
PP
1
22
22
0801801000151030151030
1510320338552013815543012
210
C-3.- Calcúlense las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de la
función 1
)( 2
2
+=
xxxf en el punto x = 0
( )( ) ( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( )⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=⇒−⋅−=−⇒−=−=−=
=⇒−⋅=−⇒⇒==+
⋅==
⇒==+
=
⇒+
=+
−+=
+
−+=
00010
01
101
0'1'
0000.tan.010
1002)0('
010
1000
12
1222
1212)('
22
2
2
2222
33
22
22
xxyf
m
yxygEcfm
f
xx
xxxx
xxxxxxf
9
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti
10
C-4.- El triángulo ABC es rectángulo en A, siendo A(3 , 0 , -1), B(6 , -4 , 5) y C(5 , 3 , z). Calcúlese el valor de z y hállese el área del triángulo. Los vectores AB y AC son perpendiculares, entre si, siendo su producto escalar nulo.
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2
222
85421
179221792231889124
1326431,3,210,3,2
21
0040666
0161261,3,26,4,31,3,21,0,3,3,56,4,31,0,35,4,6
uA
ACABkjijikkjiACAB
kjiACABACACABA
zzz
zzACABzzAC
AB
⋅=
++−=×⇒++−=−−+++−=×
−=×⇒=+=⇒×⋅=
=⇒=⇒=++−
=++−⇒+⋅−=⋅⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
+=−−=−=−−−=
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PRUEBA A
PROBLEMAS
PR-1.- .- a) Discútase el sistema , en función del valor de a. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−++=++
=−+
1)1(302
2
azyaxazyxzayx
b) Para el valor , hállese, si procede, la solución del sistema. 1=a
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )2,10,662210
10462224
2
100310111
64
2
210310111
002
123112111
min1)
.330
338
4
000500212
658
4
2000500212
138
4
400500212
104
236124212
21
02
1233
2112
1211
21
.3034
2
000210101
74
2
210210101
102
113012101
0
min.3021,0
21012
0012012
2222232131231113
1211
)
2222
−⇒−=⇒=−+
−=−⇒−=+−⇒=⇒−=−⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−
−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−
−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
⇒=
⇒ℜ∉∀⇒=
⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−
−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−≡
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−
=
⇒ℜ∉∀⇒−=⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−
=
⇒==⇒≠⇒⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−ℜ∈∀
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⇒=−
=⇒=−⇒=⇒−=
−=+−−+−−=++−++−+−=−+
−=
Soluciónxx
yyzz
adoDeterCompatibleSistemaaCuandob
leIncompatibSistemazz
aSi
leIncompatibSistemazz
aSi
adoDeterCompatibleSistincognitasdeNúmeroArangAa
aaa
aaASiaaA
aaaaaaaaaaaaa
aa
A
a
1
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PR-2.- a) Calcúlense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función , sus extremos relativos, puntos de inflexión y asíntotas
21)( xexf −=
( ) −= xexf 2'
b) Esbócese la gráfica de f y calcúlese . ∫3
1 )( dxxxf
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
ℜ∈∀⇒>>ℜ∈∀⇒>ℜ∈∀⇒<−
⇒>−⇒>⇒−
−−
xexxx
xxexfsioCrecimient
x
xx
00/0
02020'
2
22
1
11
0 ∞− ∞
-2 < 0 ( - ) ( - ) x > 0 ( - ) ( + )
02
>1−xe ( + ) ( + ) Solución ( + ) f’(x) > 0 ( - ) f’(x) < 0
Crecimiento 0/ <ℜ∈∀ xx Decrecimiento 0/ <ℜ∈∀ xx Máximo relativo en x = 0 ( ) ( )eeef ,00
201 == − de crecimiento pasa a decrecimiento
( ) ( ) ( )( )
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⇒===⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⇒−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⇒===⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⇒=
⇒=⇒=⇒=−⇒=⇒−−=−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−−
eeeefx
eeeefx
xxxxfxexxe
lexión
xxx
,22
22
22
,22
22
22
21120210''2122
21
2112
21
21
2112
21
2222111
2
2
222
⇒±=
−=
x
exf
dePuntos
21
2''
inf
Asíntotas verticales
( ) verticalesasíntotasexistenNoxfDom ⇒ℜ∈∀= Asíntotas horizontales
00limlimlim
00limlim
2
22
2
2
11
1
=⇒−∞→⇒=∞
====
=⇒∞→⇒=∞
===
∞→
−
∞→
−
−∞→
∞→
−
∞→
yxCuandoeeeeey
yxCuandoeeeey
xx
x
x
x
x
xx
x
x
Asíntotas oblicuas
hayNoxCuandoexee
xe
xem
hayNoxCuandoexe
ex
em
xx
x
x
x
x
xx
x
x
⇒−∞→⇒=∞−
=−
=−
==
⇒∞→⇒=∞
===
∞→
−
∞→
−
−∞→
∞→
−
∞→
0limlimlim
0limlim
2
22
2
2
11
1
2
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti
Continuación del Problema 2 de la Opción A
0
1
2
3
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Y
X
[ ] ( )
⎩⎨⎧
=⇒=−=⇒=
⇒−=⇒=−⇒=−
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅−=−⋅−=⋅−=−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅= −
−−
−− ∫∫∫
0183
221
2111
21
21
21
21
2
)
2
8
8
808
8
0
80
8
0
3
1
1 2
txtxdtxdxdtxdxtx
ee
eeeedtedtedxxe
b
tttx
3
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti
CUESTIONES
C-1.- Sea A una matriz de columnas y determinante 4. Sea B otra matriz de determinante 2. Si C es la matriz de columnas
22× 21 ,CC22× 21 CC + y , calcúlese el
determinante de la matriz . 23C
1−C⋅B
61
1221
124.33333
11
212221221
===⋅=⋅=
==⋅=+=+=
−−
CB
CBCBBC
CCCCCCCCCC
C-2.- Calcúlese la distancia del origen al plano π que pasa por y contiene a la recta
)0,2,1(Azyxr =−=+≡ 3/)1(2/)2( .
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
( )ud
zyxxzzy
zyx
zyxzyxABAB
v
O
r
59595
595
731
50.70.30
0573019223
0013132
21
,2,10,2,1,,0,1,30,2,10,1,2
1,3,2
222==
+−+
++−=
=++−≡⇒=−++−−−
⇒=−−
−−≡⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=−=−−=−−=
=
π
π
π
C-3.- Calcúlese xx exx )ln(lim
+∞→
011lim
1
lim
1)ln(lim
1)ln(lim)ln(lim ''
=∞
===
=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯=∞∞
=+
=⋅+
=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯=∞∞
=
+∞→+∞→
+∞→+∞→+∞→
xxxx
HopitalLUtilizandoxxxx
HopitalLUtilizandoxx
xeex
ex
ex
xx
exx
4
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti
C-4.- Aplicando el teorema de Lagrange de los incrementos finitos, demuéstrese que
para se verifica: 0>x 21)(arctg)2(arctg
xxxx+
<− .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0/112
7121
32
121
32.2
1210
0124206
01602
01220
320
4124160192
0.4160.16
20.4120.2
126'''
12''
12'
4116192'''
4116''
412'.2
!1!0
!20''
!10'0
23
3333
332
2
222
3332
22
222
32
2
222
32
2
222
11
2
>ℜ∈∀⇒+
<+−=−=
+−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−+−=−=−=
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+−+=+⋅
−⋅+
+⋅
⋅−
+⋅+=
+−+=+⋅
−⋅+
+⋅−
⋅++=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+
−=⇒
+−=⇒
+=⇒=
+
−=⇒
+−=⇒
+=⇒=
⋅+
+⋅++⋅+⋅+= ++
xxx
xxxgxfxh
xxxxxxxtgarcxtgarcxgxfxh
xxxtgarcxg
xxxx
xxtgarcxf
xxxg
xxxg
xxgxtgarcxg
xxxf
xxxf
xxfxtgarcxf
xn
xfxn
fxfxffxf nn
nn ϑ
5
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PRUEBA B
PROBLEMAS PR-1.- a) Determínese el punto simétrico de )7,1,3( −−A respecto de la recta
21
231 +=
−=+≡
zyxr .
b) Hállese la distancia entre A y r. a) Por A trazaremos un plano π perpendicular a la recta r que tiene como vector genérico al de la recta que es perpendicular al vector formado por A y el punto genérico del plano G por lo que su producto escalar es nulo. Se halla el punto de corte de recta y plano que nos da el punto B, punto medio entre A y su simétrico A’
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) (( )
( )
)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) udd
b
A
zz
yy
xx
B
zy
xB
zyx
r
zyxzyxzyx
AGvAGvzyxzyxAG
vv
ABAr
AA
AA
AA
r
228220571133
)
3,3,3'
37522
75
31122
11
33322
33
5,1,3
221223
21209180152122321
2123
1
0152207212307,1,32,2,1
07,1,37,1,3,,
2,2,1
222222
''
''
''
==−++=−−−+−−+−−−==
−−−⇒
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−=−−−⋅=⇒+−
=−
−=−−⋅=⇒+
=−
−=−−−⋅=⇒+−
=−
⇒−−−
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+−=−+=−−=
⇒−=⇒=+⇒=++−++++−⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−=+=+−=
≡
=+++≡⇒=++−++⇒=+−+⋅
⇒=⋅⇒⊥⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
+−+=−−−===
λλλλλλλλ
π
πππ
6
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PR-2.- Sea , )ln()( xexf x += ),0( ∞∈x . a) Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y sus asíntotas.
b) Pruébese que f tiene un punto de inflexión en el intervalo ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ 1 ,21 y esbócese la gráfica
de f.
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>−=
<−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⇒−
=−−+
=+−+
=
∞→
+=
++=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯=
=∞∞
=+
=+
=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯=∞∞
=+
=
+
=
∞→
∞=+=+
=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯=∞∞
=+
=
=⇒=⇒≥∈∀=
>ℜ∈∀⇒⇒⎩⎨⎧
>ℜ∈∀⇒>ℜ∉∀⇒−>⇒−>⇒>+
⇒>+
⇒>⇒⇒+
=+=
∞→∞→
∞→∞→∞→∞→
∞→∞→∞→
011''
044
44
41
14
21''
1111''
21
121
21''111)(''
)
22lim
21lim
21lim
2lim1lim
1
lim
1lim1
lim1lim
000
0/0/0
1lnln101
010)('11)('
)
2
12
2
212
2
2
2
2
2
'
'2
'
ef
eee
f
ef
ef
xex
xxeexxe
xxexeexxf
bxcuandooblicuaasíntotaexisteNo
xeexex
xexxee
xxe
xx
xe
y
oblicuasAsíntotasxcuandohorizontalasíntotaexisteNo
xexeex
xey
eshorizontalAsíntotasxverticalasíntotaExiste
xxxfDomverticalesAsíntotas
xxoCrecimientxxx
xxexexex
xexfoCrecimientx
xex
exf
a
xxxxxxx
x
x
xx
x
HopitalLAplicando
x
x
xx
x
HopitalLAplicandox
x
x
x
x
x
xx
x
HopitalLAplicandox
x
xxx
xxx
7
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti
Continuación del Problema 2 de la opción B
No hay puntos de discontinuidad en el intervalo ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 1,
21
Teorema de conservación del signo Si f(x) es continua en , entonces existe un entorno ( ) 000 ≠xfyx ( ) 0,, 000 ≠+− δδ xxx ,
en el que la función tiene el mismo signo que ( )0xf( )
, es decir
( )[ ] ( )[ ] δδ +−∈∀ 00 , xxxf= ,signxfsign 0x
Corolario: Si una función es continua en un punto , y toma valores negativos 0x
421'' −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ef y positivos ( ) 11'' −= ef en todo entorno de entonces 0x ( ) 00 =xf
Consecuencia de todo ello Teorema de Bolzano,- Si f(x) es continua en el intervalo [a , b], y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo ( ) ( )[ ]bfsignafsign ≠ , entonces existe, al menos, un punto tal que f (c) = 0 ( bac ,∈ )
Como ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=≠−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ 11''4
21'' efsignefsign , entonces existe, al menos, un punto
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∈ 1,
21c tal que f’’ (c) = 0 (Solución o soluciones de la ecuación) que es el punto de
inflexión buscado
8
IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti
C-1.- Dadas las matrices , , hállense las matrices X que
satisfacen
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
001001001
A
2A
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
223012001
C
CAXC +=+
( ) ( ) ( )
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛==⋅+=
⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=−⇒
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⋅⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
−+=−+=⇒−+=⇒−+=
−
−−−−
100010001
0
000000000
001001001
001001001
001001001
001001001
001001001
1
22
12121212
ICIX
AAA
CAAICAACXCAACXCCAACXC
C-2.- Dados el punto y la recta )1,5,3( −A4
122
1 +=+=
−≡
zyxr , hállese el punto B
perteneciente a r tal que el vector de extremos A y B es paralelo al plano π de ecuación . 0523 =++− zyx
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )( )( )
( )5,3,15141
3121121
10880421466
01,2,34,7,220
1,2,34,7,221,5,341,2,21
412
21
−−−⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−⋅+−=−=−+−=−=−⋅+=
⇒−=⇒=+⇒=+−++−
⇒=−⋅+−+−⇒=⋅⇒⊥
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=+−+−=−−+−+−+=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−=+−=
+=
Bzyx
B
vABvAB
vAB
zyx
genéricoB
λλλλλ
λλλ
λλλλλλ
λλλ
ππ
π
C-3.- Estúdiese, según los valores de los números reales α y β , la continuidad de la función f definida por
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
≠++
=0 si
0 si 1)( /1
x
xe
xxf x
β
α.
( )
( )( )
( ) ( ) ( )
0
0lim0lim
01
1
0lim
0
011111
0lim
00
010
010
==⇒
⇒=====⇒
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=∞
=+
=
+
+=
=
=+
=+
=+
=
+
+=
+−
++
−−
→→
∞→
∞
∞−→
βα
βαααα
β
ααααα
continuiaserPara
xffxf
ee
xf
fe
ee
xf
xx
x
x
9
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10
C-4.- Hállese el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones 2xy = ,
2
2xy = , . xy 2=
( )
( )⎩⎨⎧
=⇒=−=
⇒=−⇒=−⇒=⇒=
⎩⎨⎧
=⇒=−=
⇒=−⇒=−⇒=
=⇒=⇒=⇒=
4040
0404422
2020
02022
0022
222
22
2222
2
xxx
xxxxxxxx
xxx
xxxxxx
xxxxxx
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1 0 1 2 3 4 5
Y
X
[ ] [ ] [ ]
( ) ( ) ( ) 2332233
40
342
22
0
4
0
20
324
2
2
43
123
323683
321238
66412
3804
612402
31
31
21
212
31
212
uA
xxxdxxdxxdxxA
==−+
=−+=−+=−⋅−−+−⋅=
⇒⋅⋅−⋅⋅+⋅=−+= ∫ ∫∫
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PRUEBA A
PROBLEMAS PR-1.- a) Calcúlense los valores de a para los cuales las rectas
y son perpendiculares. ⎩⎨⎧
=−++−=+−+
≡0330163
zyxazayx
r⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=+=−−=
≡λλλ
azy
xs
131
b) Para , calcúlese la recta que pasa por y se apoya en r y s. 1=a )1,1,1( a) Lo son, también, los vectores directores de ambas y por lo tanto su producto escalar es nulo
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
λαλ
λαλ
λαλ
λαλ
λαλ
λαλ
λαλ
λαλ
λαλλαλαλα
λαλαλα
λλλ
ααα
−+−−
=−−−
−−=
++
⇒−+−
−−=
−−−−−
=+++
⇒−+−
−−=
−−−−−
=+++
≡⇒−+−−−−+=
⇒−−−−−+++−=⇒
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=+=−−=
≡
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−=+−=
≡
−≡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⇒+−=⇒−+−=
⇒=−+−+−⇒−=−
=⇒=−+⇒⎩⎨⎧
=−++−=+−+
≡
⎩⎨⎧
=−=
⇒±=⇒=−⇒=++−+−⇒=−⋅+−
⇒=⇒⊥⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
+−≡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
+=
⇒⋅+
++−−
=⇒⋅+
++−+
++−
=
⇒=−+⋅+−
++
+−⇒⋅+−
++
=
⇒−−=+⇒=−−++⇒⎩⎨⎧
=−++−=+−+
≡
41312
92
4111
3131
911
411
313
9141,31,9
14,332,191
1314
3291
4,3,91,43,
49
49133
432
033432
432
4380834
099330163
)
33
909039690,1,13,96,9
0.,1,1
3,96,91,3
96,39
39
331
33396
3338
0333
963
83
963
8
698308693099330163
222
zyxtv
v
zy
xs
zy
xr
vzxzzx
zzxzzyzyzyx
zyxr
b
aa
aaaaaaaaaa
vvvvav
aaaa
aa
av
za
aa
axza
aaa
ax
zza
aa
xza
aa
y
zayazayazyx
azayxr
t
t
r
srsr
s
r
1
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti
Continuación del Problema 1 de la Opción A
( )( ) ( )( )( ) ( )
( )( )
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=−=+=
≡⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=+=
≡
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−≡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⋅−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−+⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−−⋅=⇒−=⇒=
≡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅−+⋅+−⋅=⇒=⇒=
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−=−
=⋅−
−⋅=⇒==
−=
=−
=⋅−
−⋅=⇒==
+=
⇒±
=
⇒=−=Δ⇒=+−⇒+−−=+−−
⇒−⋅−=−⋅−⇒−−
=−−
⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−
=⇒−=−
−−
=⇒−=−
⇒⎩⎨⎧
=−+−⇒=−+−=−+−⇒=−+−
⇒⎩⎨⎧
++=+−++−+=+−++−
⇒⎩⎨⎧
++=+−++=+−+
⇒+−
=++
+=
++
γγγ
ββ
λα
λα
λα
λα
α
αααααααα
ααααα
αα
α
ααλααλ
ααλααλ
αλααλλααλααλλα
λαλλλαλλλαλαλλαλλλα
λαλλαλλαλλαλ
λαλ
λαλ
λαλ
20191
691
17191
20,9,6932,
103,
1023
54
6141,
54
6131,
54
619
54
61
0,7,90,47,
490
4141,0
4131,0
4190
41
54
6564
61133
2618
61
488
48210
0
41
0
41133
2418
41
4812
48210
48410
496100011024133521272288
1331427214272
28133
28
72282872
1332828133
0728207282013382013382
3428294282
314129412
41312
92
)
21
222
22
22
xy
xt
xyx
t
v
v
ónContinuacib
t
t
2
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PR-2.- a) Estúdiese la derivabilidad de , sus intervalos de
crecimiento y decrecimiento y sus puntos de inflexión. Esbócese su gráfica. ⎩⎨⎧
≤>+
=0 x,
0 ),1ln()( 2
2
xxx
xf
b) Calcúlese el área delimitada por la gráfica de y las rectas )(xf 1−=x , , . 1=x 0=y
( ) ( )
( ) ( )2ln,12ln11ln)1(1inf
020/11
0/11010)(''
0 x2
0 si112
1212
)(''
0/0/0
0202
0/01
0/002
01
2
0)('
00.2)('lim)0('
010
010.2)('lim
0 x2
0 si1
2)('
)
2
222
2
22
2
22
0
202
⇒=+=⇒=⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
≠⎩⎨⎧
≤ℜ∉⇒−=≤ℜ∈⇒=
⇒=−⇒=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
≤
>+
−⋅=
+
−+⋅
=
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎩⎨⎧
≤ℜ∈∀⇒⇒>ℜ∈∀⇒>
ℜ∈∀⇒>⇒>
⎪⎩
⎪⎨
⎧>ℜ∈∀⇒⇒
ℜ∈∀⇒>+>ℜ∈∀⇒>
ℜ∈∀⇒>⇒>
+⇒>⇒
⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
===
==+
=⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤
>+=
−
+
→
→
fxlexióndepuntoExiste
xxxx
xxfsi
xxx
xxxx
xf
xxntoDecrecimiexxx
xx
xxoCrecimientxx
xxxx
xx
xfoCrecimient
derivableEsxff
xf
six
xxx
xf
a
x
x
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Y
X
3
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti
Continuación del Problema 2 de la Opción A
( ) [ ] ( )[ ]
( )
( )[ ] ( ) ( )[ ]
[ ] [ ]
( ) ( ) 2
1
0
10
102
1
0
2
22
1
02
1
02
22233
22
1
02
10
20
1
1
0
01
322
2352ln0
4222ln
310120122ln
31
222ln31
11222ln
31
111
1
11122ln
31
1201ln011ln110
31
121ln
121ln
311ln
utgarctgarcA
xtgarcxdxx
dxA
x
xx
dxx
dxx
xA
xvdvdx
dxxxduux
dxxxxxxxdxxdxxA
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅+−+=−⋅+−⋅−+=
⋅+⋅−+=+
+−+=
−−−
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−−+=
+−+⋅−+⋅+−−⋅=
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⇒=+
=⇒=+
+−++⋅=++=
∫∫
∫∫
∫∫ ∫−
−
ππ
4
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti
CUESTIONES
C-1.- Sea la matriz . Calcúlese el determinante de A sabiendo que
, donde Id es la matriz identidad y 0 es la matriz nula.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
cba
A0
0Id22 =+− AA
( ) ( )( )
( )
11001
1001
101021102
002
101
0000
1021
0000
120212
0000
1001
2022
0
000
2
2
2
2
2
2
2
22
==⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⇒=−⎩⎨⎧
=−+⇒=−+=
⇒=−+
=⇒=−
⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−+−
⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−−++−
⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +
⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
AA
ccca
bcab
aa
ccaba
ccbbcabaa
cba
cbcaba
cbcaba
cba
cba
A
C-2 Discútase, según el valor de a, el rango de la matriz ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
a10312121
( )
( ) 231
331
31013
1300130121
330130121
10130121
10312121
=⇒−=
=⇒⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−−ℜ∈∀
−=⇒=+
⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
ArangaSi
Aranga
aaSi
aaaaA
5
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti
C-3.- Calcúlese el simétrico de respecto del plano )1,1,1(P 0=++ zyx . Se traza, desde P, una recta r perpendicular al plano dado y cuyo vector director es el de este. Se hallara el punto de corte A, de la recta y el plano, que es el punto intermedio entre P y su simétrico P’.
( )
( )( )( )
( ) ( )1,1,1'
11022
10
11022
10
11022
10
0,0,0011011011
10330111111
1,1,1
'
'
'
'
'
'
−−−⇒
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−=−⋅=⇒+
=
−=−⋅=⇒+
=
−=−⋅=⇒+
=
⇒⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+==−+==−+=
⇒−=⇒=+⇒=+++++⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=+=+=
≡⇒=
P
zz
yy
xx
Azyx
A
zyx
rv
PP
PP
PP
r λλλλλλλλ
C-4 Calcúlense los valores de 0≠λ para los cuales 11)(cos
)(senlim 2
2
0−=
−→ xx
x λ.
( )( )
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]
( ) ( )( )
( ) ( )( )
⎩⎨⎧
−==
⇒±=⇒=⇒−=−⇒⋅−
−=
⋅−⋅−
=−
−=
=−−
−=
⋅+⋅−−−
=
=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==⋅⋅⋅−
⋅⋅=
=⋅−
=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==−
=−
→
→→
→→
11
11111
0102cos
0020c2cos
2clim
cos22c2
limcoscos2
2c2lim
00
00cos20c02
cos2c2
lim00
10.cos0sen
1cossen
lim
2222
222
2
222
0
222
222
0
22
0
'2
2
0
'2
2
2
2
0
λλ
λλλλλλλλ
λλλλλλλλλλ
λλλ
λλλλλ
senosx
xsenxxosxsenx
xsenxxosxxxsenxsen
xsenxxxossen
os
xsenxxosx
xx
x
xx
HopitalLAplicando
x
HopitalLAplicando
x
6
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PRUEBA B
PROBLEMAS PR-1.- Sea k un número real. Considérese el sistema de ecuaciones lineales
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=++=++
2
1
kkzyxkzkyx
zykx.
a) Discútase según los valores de k e interprétese geométricamente el resultado. b) Resuélvase el sistema para . 2=k
( ) ( )
( ) ( )
{ } ( )
paralelossonplanostresLos
alproporcionesparNingúnleIncompatibSistema
zz
kSipuntounencorseplanostresLos
adoDeterCompatSistincognitasdeNúmeroArangAk
kkkk
kkkkk
kk
kkkkkkk
kkASikkkkkkk
kk
A
a
⇒−
≠⇒≠−
⇒−
≠−
⇒
ℜ∉⇒=⋅⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−−
−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−−
−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−−
−
−=
⇒==⇒≠⇒−−ℜ∈∀
⇒⎩⎨⎧
−=⇒=+=⇒=−
⇒=+−⇒=+−⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−−
=
=+−
=⇒
±−=
−
>=+=Δ⇒=−+⇒−+⋅−=+−−
−
=+−⇒=⇒+−=−−−++==
12
11
11
12
21
12
6063
1
000330112
93
1
330330112
84
1
422242112
42
1
211121112
2tan
min..301,2
202101
0210232
231
12
31
291
0211
09810221232112301
1
0230231111
1111
)
23
223
333
7
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti
Continuación del Problema 1 de la opción B
( )
planostreslosdecortedePuntoSolución
xxxxyyyy
zz
kSib
planomismoelseaoescoincidentsonplanostresLosSolución
zyxadoerInCompatibleSistema
kSiónContinuacia
⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
−=⇒−=⇒−=⇒=++⇒=⇒=⇒−=⇒=+
⇒=⇒=⋅⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⇒−−
−−=⇒⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
49,
41,
43
43
232
25121
49
412
41
433
49333
493
49188
1831
800130112
2131
930130112
731
310130112
841
422242112
421
211121112
2)
,,1
1mindet001
000000111
111
111111111
1)
αλαλ
8
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PR-2.- Sea sen a) un punto de la gráfica de la función ,(aP )(sen)( xxf = en el intervalo [ ]π,0 . Sea la recta tangente a dicha gráfica en el punto P y el área de la región determinada por las rectas ,
Pr PA
Pr 0=x , π=x , 0=y . Calcúlese el punto P para el cual el área es mínima. (Nota: Puede asumirse, sin demostrar, que la recta se mantiene por encima del eje 0X entre 0 y
PA
Pr π )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
( ) [ ] ( ) ( )[ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ){ }[ ]
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
[ ]
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⇒⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⇒>=+⋅⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⋅⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⇒<−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅⋅=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⋅⋅=
⇒⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⋅⋅==
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⇒=+−
∈+==⇒=⇒=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⋅⇒=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⋅⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +⋅−==
⋅+⋅−=⋅+−+⋅−==
⋅−−+⋅−==⇒⋅−+⋅=
−⋅−+−⋅⋅=⋅−+⋅⋅=
⋅−+=−+=
−+=−+=⇒=⎩⎨⎧
−+=−+=−+⋅=⇒=−=⇒+−=⇒=−+⇒=
−+=⇒=−+−≡⇒−⋅=−⇒==⇒=
∫∫∫
1,22
,2
01002222
cos2
''
02
02
1002
0cos0''
2cos''
20
2
,0000
20'
22'
2coscos
2'
coscos2
'coscos2
0cos0cos21coscos
21
coscoscoscos
coscoscoscos1cos0coscos0cos0
coscos0coscos0
coscos0coscoscoscos)('c)('
2
2
2
22
22
2200
2
000
πππ
ππππππππ
πππππ
ππ
ππππ
ππππ
ππππ
ππππ
ππ
πππ
ππ
πππ
PsenP
MínimosenA
MáximosenA
asenaada
AdA
aa
NkksenarcaasenaasenASi
aasenasenaasendadAA
asenaasenasenaaaasendadAA
asenaaaasendadAAaaasenaA
aaasenaxaaasenxaA
dxaaasendxxadxaaasenxaA
aaasenaaasenayxaaasenaaasenaaasenayx
atgaxaaasenxaaaasenxay
aaasenxayaaasenyxaraxaasenyaafmxosxf
p
9
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C-1.- Calcúlese ∫ ++dx
xx 1341
2
( ) ( )
Kxtgarcttgarcutgarcduu
duu
I
dudtutdtdxtx
dxt
dtt
dxt
dxx
dxx
I
xxx
++
⋅=⋅=⋅=+
⋅=+
⋅=
=⇒==⇒=+
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
⋅=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=+
=++
=+−+
=
ℜ∉⇒<−=−=Δ⇒=++
∫ ∫
∫∫∫∫∫
32
31
331
31
11
313
11
91
33
2
91
31
191
919
19
192
11342
103652160134
22
22222
2
C-2.- Sea . Determínense los valores de m para los cuales no es
invertible (donde Id denota la matriz identidad).
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
3221
A IdmA +
( )
( ) ( )
{ } ( ) 1
2
22
1
052,52
525252
2524
220420416014
1443343132
21
032
210
03221
−
−
+∃⇒≠+⇒+−−−−ℜ∈∀
⎩⎨⎧
−−=+−=
⇒±−=±−
=±−
=⇒=+=Δ⇒=−+
⇒−+=−+++=−+⋅+=+
+=+
⇒≠+⇒+∃⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=+
IdAIdAm
mmmmmSi
mmmmmmmm
mIdA
IdAIdAm
mm
mIdA
C-3.- Calcúlese )(sen)ln(lim
0xx
x→
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )( )
( )( )
( ) ( )( ) ( )
010
011.0.2
000cos0c02
cosc2lim
00
100
0cos00sen
cossenlim
sencos
1
lim
0sen1
0l
sen1
llim00sen0lnsenlnlim
0
'22
0
2
0
'
00
=−=−
−=⋅−⋅
−=
=−
−=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==⋅
−=⋅
−=−=−
=
=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯=∞∞
−===⋅−∞==
→→→
→→
senossen
xxsenxxosxsen
xxx
xx
x
n
x
xnxx
x
HopitalLAplicando
xx
HopitalLAplicando
xx
10
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11
C-4.- Calcúlese el volumen del tetraedro de vértices , , , .
)1,1,1(A )3,2,1(B )1,3,2(C)2,1,3(D
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
3
23
699
6118
102021210
1,0,21,1,12,1,30,2,11,1,11,3,22,1,01,1,13,2,1
61
uVADACAB
ADACAB
ADACABV
==−⋅=⇒−−==×⋅
⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−==−==−=
⇒×⋅⋅=
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1
xey 22 −=
PRUEBA A
PROBLEMAS PR-1.- Sea la función . a) Estúdiese su monotonía, extremos relativos y asíntotas. b) Calcúlese el área de la región plana comprendida entre la gráfica de la función y las rectas x= 1 y x= -1.
( )( )
( )
( )
( )
( )
−∞→⇒=∞
−=⋅∞
−=−=−
==
∞→⇒=∞
=⋅∞
===
=⇒−∞→⇒=∞
=====
=⇒∞→⇒=∞
====
ℜ∈∀
−=−=
=
⇒==
≥−=
=⇒=
≥ℜ∈∀⇒
ℜ∈∀⇒>ℜ∈∀⇒<−
⇒−
<ℜ∈∀⇒
ℜ∈∀⇒>ℜ∈∀⇒>
⇒>⇒>⇒
⇒
≥−<
=⇒
≥<=
=⇒>
∞∞→
−
∞→−∞→
∞∞→
−
∞→
∞∞→
−
∞→−∞→
∞∞→
−
∞→
−
⋅−−
−−
−−
−⋅−
xcuandooblicuaasíntotasexisteNoexex
exem
xcuandooblicuaasíntotasexisteNoexex
em
oblicuaAsíntota
yxcuandohorizontalAsíntotasee
eey
yxcuandohorizontalAsíntotasee
ey
eshorizontalAsíntotas
verticalesasíntotastoloporexistennoxcontinuaEs
eslonoto
loporderechalaae
izquierdalaaefderivableesnopuntoeseenperontoDecrecimieapasa
oCrecimientDeeexsie
izquierdalaaefxenrelativoMáximoserPodia
xxntoDecrecimiexex
e
xxoCrecimientxe
xe
xfoCrecimient
xsiexsie
xfxsie
xsieexfx
xx
x
x
x
x
xx
x
x
xx
x
x
x
x
xx
x
x
x
xx
xx
x
x
x
xx
0222lim2lim2lim
0222lim2lim
00222lim2lim2lim
00222lim2lim
,tan,
tan
,44
440',
2.2204
4400
0/004
4
0/0
0404
0'
0404
'02
0220
2
22
2
2
222
22
0
0
0022
0
22
22
2
2
2
22
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2
Continuación del Problema 1 de la opción A
[ ] [ ] ( ) ( )
22
2
222
022020
02
0
1
1
0
0
2
2
0
1
0
20
1
2
22221111
2100
22
0021
22
22
2222
)
ue
eeee
A
uxuxdudxux
txtxdtdxtx
eeeeeeduedteduedtedxedxeA
b
utututxx
−=−=
−−
−=
−=⇒==⇒=
⇒−=⇒=−
=⇒=−=⇒−=
⇒=⇒=
−−−=−=−=
−+=+= −−−
−− −
−−
−∫ ∫ ∫ ∫∫∫
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3
PR-2.- Sea la recta
=+−=++
≡032
01zxyx
r .
a) Escríbase la recta en forma paramétrica b) Para cada punto P de r, determínese la ecuación de la recta que pasa por P y corta perpendicularmente al eje OZ
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )0
23110,1,2323,1,
2302301,0,023,1,0
1,0,023,1,23,01,00
0)
231
321
)
λλλ
λλλλλλλλ
λααλαλλλ
αλλλαλλλ
α
λλ
λ
+−=
−−++
=−
⇒⇒−−=−−+−−=
+=⇒=−+⇒=⋅−+−−⇒=⋅
⇒⊥⇒
=−+−−=−+−−−−=⇒
===
≡
+=−−=
=≡⇒
+=−−=
≡
zyxEcuaciónv
vv
vvv
v
zyx
OZEje
b
zy
xr
xzxy
r
a
t
OZt
OZtOZ
t
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4
CUESTIONES
C-1.- De todas las primitivas de la función 2( ) 2 tg(x)sec ( )f x x= , hállese la que pasa por el punto
P( , 1).4π
( )
( ) xtgxFKKKtg
xdxdttxtg
KtgKxtgtdttdxx
xtgxF
222
2
2222
0114
1
cos
41
2122
cos12
=⇒=⇒+=⇒+
=
=⇒=
+
=⇒+=⋅⋅==⋅= ∫∫
π
π
C-2.- .- Demuéstrese que las gráficas de las funciones xexf =)( y x
xg 1)( = se cortan en un punto x > 0.
( )
( )
<−=−
=
>−=−
=
⇒⇒−
=⇒=−⇒=04
41
141
41
011
111
10114
41
1
ee
h
eeh
xxexh
xe
xeSi
xxx
No hay puntos de discontinuidad en el intervalo
1,
41
Teorema de conservación del signo Si h(x) es continua en ( ) 000 ≠xhyx , entonces existe un entorno ( ) 0,, 000 ≠+− δδ xxx , en el que la
función tiene el mismo signo que ( )0xh , es decir ( )[ ] ( )[ ] ( )δδ +−∈∀= 000 ,, xxxxhsignxhsign
Corolario: Si una función es continua en un punto 0x , y toma valores negativos 441 4 −=
eh y
positivos ( ) 11 −= ef en todo entorno de 0x entonces ( ) 00 =xh Consecuencia de todo ello Teorema de Bolzano,- Si h(x) es continua en el intervalo [a , b], y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo ( ) ( )[ ]bhsignahsign ≠ , entonces existe, al menos, un punto ( )bac ,∈ tal que f (c) = 0
Como ( )
−=≠−=
114
41 4 ehsignehsign , entonces existe, al menos, un punto
∈ 1,
41c tal
que h (c) = 0 (Intersección de la dos funciones) C-3.- Se tiene una matriz M cuadrada de orden 3 cuyas columnas son respectivamente C1 , C2 y C3 y cuyo determinante vale 2. Se considera la matriz A cuyas columnas son - C2 , C3 + C2 , 3C1. Calcúlese razonadamente el determinante de A-1 en caso de que exista esa matriz.
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5
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
911
93313133
03333
1
321231132
1321221321232
−==
−=⋅−=⋅−⋅=⋅−⋅−=⋅−=
−−=−−=+−=
−
AA
CCCCCCCCCA
CCCCCCCCCCCCCA
C-4 Determínese si el plano 0432 =−+≡ yxπ corta o no al segmento de extremos A(2,1,3) y B(3,2,1)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
ABsegmentoalcortanoplanoElByAentreestanoCpuntoEldddd
d
d
d
C
z
y
x
C
zyx
rAB
BCAB
ACAB
BC
AC
AB
⇒⇒
<>
⇒
==
−+
+
=
−+
−+
−=
==
−+
+
=
−+
−+
−=
=−++=
⇒
=
−⋅−=
=−=
=−=
⇒−=⇒=+⇒=−+++
⇒=−+⋅++⋅⇒
−=+=+=
≡⇒−=−=
568
25384
516
58
58
5211
522
573
563
2554
56
53
53
5213
521
572
6211
521,
52,
57
521
5323
52
531
57
532
53035043324
04132223
12
2,1,13,1,21,2,3
222222
222222
222
λλλλ
λλλλλ
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6
=++=++=++
11
zyxzyx
zyx
λλ
λ
PRUEBA B
PROBLEMAS
PR-1.- Se considera el sistema .
a) Discútase según los valores del parámetro λ . b) Resuélvase para 3−=λ . c) Resuélvase para 1.λ =
{ } ( )
( )
( )αβαβ
λ
λ
λ
λ
λ
λλλλλλλλλλ
λ
,,111001
000000111
mindet1)
1,1,11
211144144443
040400
111
113
131311
111
min3)
mindet001
000000111
111
111111111
1
minº301
122044
01201201211111
11111
)
2222
+−−⇒+−−=⇒=++⇒
⇒=
−−−⇒−=
⇒−=−−⇒−=⇒=−⇒−=⇒=−⇒
−
−−≡
−
−−
⇒−=
⇒
≡
=
⇒==⇒≠⇒−ℜ∈∀
==⇒=−=∆
⇒=+−⇒=−+−⇒=⇒−+−=−−−++==
Soluciónzyxzyx
adoerInCompatibleSistemaSic
Soluciónx
xyyzz
adoDeterCompatibleSistemaSib
adoerInCompatibleSistema
Si
adoDeterCompatibleSistemaincognitasdeNArangA
ASiA
a
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7
PR-2.- Sea cbxaxxxf +++= 23)( . Determínense a, b y c de modo que )(xf tenga un extremo relativo en 0=x , la recta tangente a la gráfica de )(xf en 1=x sea paralela a la recta 04 =− xy , y el área comprendida por la gráfica de )(xf , el eje OX y las rectas 0=x , 1=x , sea igual a 1.
( )
( )( )
[ ] [ ] [ ]
( )127
21
127
61
4111
61
411
31
21
411
21
21124121.31'41
00020.30'00
23'
23
1
0
10
10
310
423
2
2
2
+⋅+=
=−−=⇒=++⇒=+⋅⋅+⋅⇒=
++
=⇒=⇒=⋅+=⇒=⇒=
=⇒=+⋅+=⇒=⇒=
++=
∫
xxxf
ccxcxxdxcxx
aaafmx
bbafmx
baxxxf
C-1.- Calcúlese 0
1 1limsen x x x→
−
020
00120
000cos20
cos2lim
coscoslim
00
10011
0cos0010cos
cos1coslim
00
0000lim
01
0111lim
0
0
'
0
'
00
==⋅−⋅
−=
⋅−−
=−
−=
=−+
−= →==
⋅+−
=⋅+−
=+
−=
= →==⋅
−=
−=∞−∞=−=
−
→
→→
→→
sensen
xxsenxxsen
xxsenxxxsen
senxxxsenx
sensen
xxsenxxsen
senxsenx
x
x
HopitalLAplicando
x
HopitalLAplicando
xx
C-2.- Calcúlese 2( 1)x dx
x−
∫
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) KxxxxxxxxtttI
dttdxtx
dtdttdttdtttdttdttt
tdxx
xI
++−=+⋅−⋅=+⋅⋅−⋅⋅=
=⇒=
+−=+−=−=−
=−
= ∫∫∫∫∫∫∫
23
45
234
512
314
512
2
24212212211
23535
2
242422222
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8
C-3.- .- Hállese la ecuación del plano que contiene a la recta zyxr ==≡ y es perpendicular al plano 01 =−−+≡ zyxπ
( )( )
( ) ( ) ( )0022
00111
111,,0,0,0,,
1,1,11,1,1
=−≡⇒=+−
⇒=+−−++−⇒=−
≡⇒
=−==
−=
yxyx
yxzzyxzyx
zyxzyxPGv
v
r
α
απ
C-4.- Dada la matriz 2 11B1 23
− = −
hállese una matriz X que verifique la ecuación -1XB+B=B .
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
=
−
=−=
⇒
=
⋅
=⇒
=
⋅⋅=⇒
⋅=
⇒
−
−⋅=⇒⋅=⇒∃⇒=−⋅=
−−
⋅=
−=⇒−=⇒−=⇒−=
−
−−
−−
−−−−−−−
4444
1001
5445
5445
2112
2112
2112
2112
31
311
2112
31
2112
311
3114
91
2112
31
21
211
112
21121111
IBX
BBBadj
BBadjB
BBB
IBXBBBXIBBBXBBBBXB
t
tt
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PRUEBA A
PROBLEMAS PR-1.- a) Calcúlense los valores de a para los cuales las rectas
y son perpendiculares. ⎩⎨⎧
=−++−=+−+
≡0330163
zyxazayx
r⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=+=−−=
≡λλλ
azy
xs
131
b) Para , calcúlese la recta que pasa por y se apoya en r y s. 1=a )1,1,1( a) Lo son, también, los vectores directores de ambas y por lo tanto su producto escalar es nulo
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
λαλ
λαλ
λαλ
λαλ
λαλ
λαλ
λαλ
λαλ
λαλλαλαλα
λαλαλα
λλλ
ααα
−+−−
=−−−
−−=
++
⇒−+−
−−=
−−−−−
=+++
⇒−+−
−−=
−−−−−
=+++
≡⇒−+−−−−+=
⇒−−−−−+++−=⇒
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=+=−−=
≡
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−=+−=
≡
−≡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⇒+−=⇒−+−=
⇒=−+−+−⇒−=−
=⇒=−+⇒⎩⎨⎧
=−++−=+−+
≡
⎩⎨⎧
=−=
⇒±=⇒=−⇒=++−+−⇒=−⋅+−
⇒=⇒⊥⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
+−≡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
+=
⇒⋅+
++−−
=⇒⋅+
++−+
++−
=
⇒=−+⋅+−
++
+−⇒⋅+−
++
=
⇒−−=+⇒=−−++⇒⎩⎨⎧
=−++−=+−+
≡
41312
92
4111
3131
911
411
313
9141,31,9
14,332,191
1314
3291
4,3,91,43,
49
49133
432
033432
432
4380834
099330163
)
33
909039690,1,13,96,9
0.,1,1
3,96,91,3
96,39
39
331
33396
3338
0333
963
83
963
8
698308693099330163
222
zyxtv
v
zy
xs
zy
xr
vzxzzx
zzxzzyzyzyx
zyxr
b
aa
aaaaaaaaaa
vvvvav
aaaa
aa
av
za
aa
axza
aaa
ax
zza
aa
xza
aa
y
zayazayazyx
azayxr
t
t
r
srsr
s
r
1
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti
Continuación del Problema 1 de la Opción A
( )( ) ( )( )( ) ( )
( )( )
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=−=+=
≡⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=+=
≡
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−≡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⋅−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−+⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−−⋅=⇒−=⇒=
≡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅−+⋅+−⋅=⇒=⇒=
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−=−
=⋅−
−⋅=⇒==
−=
=−
=⋅−
−⋅=⇒==
+=
⇒±
=
⇒=−=Δ⇒=+−⇒+−−=+−−
⇒−⋅−=−⋅−⇒−−
=−−
⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−
=⇒−=−
−−
=⇒−=−
⇒⎩⎨⎧
=−+−⇒=−+−=−+−⇒=−+−
⇒⎩⎨⎧
++=+−++−+=+−++−
⇒⎩⎨⎧
++=+−++=+−+
⇒+−
=++
+=
++
γγγ
ββ
λα
λα
λα
λα
α
αααααααα
ααααα
αα
α
ααλααλ
ααλααλ
αλααλλααλααλλα
λαλλλαλλλαλαλλαλλλα
λαλλαλλαλλαλ
λαλ
λαλ
λαλ
20191
691
17191
20,9,6932,
103,
1023
54
6141,
54
6131,
54
619
54
61
0,7,90,47,
490
4141,0
4131,0
4190
41
54
6564
61133
2618
61
488
48210
0
41
0
41133
2418
41
4812
48210
48410
496100011024133521272288
1331427214272
28133
28
72282872
1332828133
0728207282013382013382
3428294282
314129412
41312
92
)
21
222
22
22
xy
xt
xyx
t
v
v
ónContinuacib
t
t
2
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PR-2.- a) Estúdiese la derivabilidad de , sus intervalos de
crecimiento y decrecimiento y sus puntos de inflexión. Esbócese su gráfica. ⎩⎨⎧
≤>+
=0 x,
0 ),1ln()( 2
2
xxx
xf
b) Calcúlese el área delimitada por la gráfica de y las rectas )(xf 1−=x , , . 1=x 0=y
( ) ( )
( ) ( )2ln,12ln11ln)1(1inf
020/11
0/11010)(''
0 x2
0 si112
1212
)(''
0/0/0
0202
0/01
0/002
01
2
0)('
00.2)('lim)0('
010
010.2)('lim
0 x2
0 si1
2)('
)
2
222
2
22
2
22
0
202
⇒=+=⇒=⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
≠⎩⎨⎧
≤ℜ∉⇒−=≤ℜ∈⇒=
⇒=−⇒=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
≤
>+
−⋅=
+
−+⋅
=
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎩⎨⎧
≤ℜ∈∀⇒⇒>ℜ∈∀⇒>
ℜ∈∀⇒>⇒>
⎪⎩
⎪⎨
⎧>ℜ∈∀⇒⇒
ℜ∈∀⇒>+>ℜ∈∀⇒>
ℜ∈∀⇒>⇒>
+⇒>⇒
⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
===
==+
=⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤
>+=
−
+
→
→
fxlexióndepuntoExiste
xxxx
xxfsi
xxx
xxxx
xf
xxntoDecrecimiexxx
xx
xxoCrecimientxx
xxxx
xx
xfoCrecimient
derivableEsxff
xf
six
xxx
xf
a
x
x
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Y
X
3
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti
Continuación del Problema 2 de la Opción A
( ) [ ] ( )[ ]
( )
( )[ ] ( ) ( )[ ]
[ ] [ ]
( ) ( ) 2
1
0
10
102
1
0
2
22
1
02
1
02
22233
22
1
02
10
20
1
1
0
01
322
2352ln0
4222ln
310120122ln
31
222ln31
11222ln
31
111
1
11122ln
31
1201ln011ln110
31
121ln
121ln
311ln
utgarctgarcA
xtgarcxdxx
dxA
x
xx
dxx
dxx
xA
xvdvdx
dxxxduux
dxxxxxxxdxxdxxA
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅+−+=−⋅+−⋅−+=
⋅+⋅−+=+
+−+=
−−−
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−−+=
+−+⋅−+⋅+−−⋅=
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⇒=+
=⇒=+
+−++⋅=++=
∫∫
∫∫
∫∫ ∫−
−
ππ
4
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti
CUESTIONES
C-1.- Sea la matriz . Calcúlese el determinante de A sabiendo que
, donde Id es la matriz identidad y 0 es la matriz nula.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
cba
A0
0Id22 =+− AA
( ) ( )( )
( )
11001
1001
101021102
002
101
0000
1021
0000
120212
0000
1001
2022
0
000
2
2
2
2
2
2
2
22
==⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⇒=−⎩⎨⎧
=−+⇒=−+=
⇒=−+
=⇒=−
⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−+−
⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−−++−
⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +
⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
AA
ccca
bcab
aa
ccaba
ccbbcabaa
cba
cbcaba
cbcaba
cba
cba
A
C-2 Discútase, según el valor de a, el rango de la matriz ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
a10312121
( )
( ) 231
331
31013
1300130121
330130121
10130121
10312121
=⇒−=
=⇒⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−−ℜ∈∀
−=⇒=+
⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
ArangaSi
Aranga
aaSi
aaaaA
5
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti
C-3.- Calcúlese el simétrico de respecto del plano )1,1,1(P 0=++ zyx . Se traza, desde P, una recta r perpendicular al plano dado y cuyo vector director es el de este. Se hallara el punto de corte A, de la recta y el plano, que es el punto intermedio entre P y su simétrico P’.
( )
( )( )( )
( ) ( )1,1,1'
11022
10
11022
10
11022
10
0,0,0011011011
10330111111
1,1,1
'
'
'
'
'
'
−−−⇒
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−=−⋅=⇒+
=
−=−⋅=⇒+
=
−=−⋅=⇒+
=
⇒⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+==−+==−+=
⇒−=⇒=+⇒=+++++⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=+=+=
≡⇒=
P
zz
yy
xx
Azyx
A
zyx
rv
PP
PP
PP
r λλλλλλλλ
C-4 Calcúlense los valores de 0≠λ para los cuales 11)(cos
)(senlim 2
2
0−=
−→ xx
x λ.
( )( )
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]
( ) ( )( )
( ) ( )( )
⎩⎨⎧
−==
⇒±=⇒=⇒−=−⇒⋅−
−=
⋅−⋅−
=−
−=
=−−
−=
⋅+⋅−−−
=
=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==⋅⋅⋅−
⋅⋅=
=⋅−
=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==−
=−
→
→→
→→
11
11111
0102cos
0020c2cos
2clim
cos22c2
limcoscos2
2c2lim
00
00cos20c02
cos2c2
lim00
10.cos0sen
1cossen
lim
2222
222
2
222
0
222
222
0
22
0
'2
2
0
'2
2
2
2
0
λλ
λλλλλλλλ
λλλλλλλλλλ
λλλ
λλλλλ
senosx
xsenxxosxsenx
xsenxxosxxxsenxsen
xsenxxxossen
os
xsenxxosx
xx
x
xx
HopitalLAplicando
x
HopitalLAplicando
x
6
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PRUEBA B
PROBLEMAS PR-1.- Sea k un número real. Considérese el sistema de ecuaciones lineales
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=++=++
2
1
kkzyxkzkyx
zykx.
a) Discútase según los valores de k e interprétese geométricamente el resultado. b) Resuélvase el sistema para . 2=k
( ) ( )
( ) ( )
{ } ( )
paralelossonplanostresLos
alproporcionesparNingúnleIncompatibSistema
zz
kSipuntounencorseplanostresLos
adoDeterCompatSistincognitasdeNúmeroArangAk
kkkk
kkkkk
kk
kkkkkkk
kkASikkkkkkk
kk
A
a
⇒−
≠⇒≠−
⇒−
≠−
⇒
ℜ∉⇒=⋅⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−−
−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−−
−≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−−
−
−=
⇒==⇒≠⇒−−ℜ∈∀
⇒⎩⎨⎧
−=⇒=+=⇒=−
⇒=+−⇒=+−⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−−
=
=+−
=⇒
±−=
−
>=+=Δ⇒=−+⇒−+⋅−=+−−
−
=+−⇒=⇒+−=−−−++==
12
11
11
12
21
12
6063
1
000330112
93
1
330330112
84
1
422242112
42
1
211121112
2tan
min..301,2
202101
0210232
231
12
31
291
0211
09810221232112301
1
0230231111
1111
)
23
223
333
7
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti
Continuación del Problema 1 de la opción B
( )
planostreslosdecortedePuntoSolución
xxxxyyyy
zz
kSib
planomismoelseaoescoincidentsonplanostresLosSolución
zyxadoerInCompatibleSistema
kSiónContinuacia
⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
−=⇒−=⇒−=⇒=++⇒=⇒=⇒−=⇒=+
⇒=⇒=⋅⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⇒−−
−−=⇒⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛≡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
49,
41,
43
43
232
25121
49
412
41
433
49333
493
49188
1831
800130112
2131
930130112
731
310130112
841
422242112
421
211121112
2)
,,1
1mindet001
000000111
111
111111111
1)
αλαλ
8
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti
PR-2.- Sea sen a) un punto de la gráfica de la función ,(aP )(sen)( xxf = en el intervalo [ ]π,0 . Sea la recta tangente a dicha gráfica en el punto P y el área de la región determinada por las rectas ,
Pr PA
Pr 0=x , π=x , 0=y . Calcúlese el punto P para el cual el área es mínima. (Nota: Puede asumirse, sin demostrar, que la recta se mantiene por encima del eje 0X entre 0 y
PA
Pr π )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
( ) [ ] ( ) ( )[ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ){ }[ ]
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
[ ]
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⇒⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⇒>=+⋅⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⋅⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⇒<−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅⋅=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⋅⋅=
⇒⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⋅⋅==
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⇒=+−
∈+==⇒=⇒=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⋅⇒=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⋅⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +⋅−==
⋅+⋅−=⋅+−+⋅−==
⋅−−+⋅−==⇒⋅−+⋅=
−⋅−+−⋅⋅=⋅−+⋅⋅=
⋅−+=−+=
−+=−+=⇒=⎩⎨⎧
−+=−+=−+⋅=⇒=−=⇒+−=⇒=−+⇒=
−+=⇒=−+−≡⇒−⋅=−⇒==⇒=
∫∫∫
1,22
,2
01002222
cos2
''
02
02
1002
0cos0''
2cos''
20
2
,0000
20'
22'
2coscos
2'
coscos2
'coscos2
0cos0cos21coscos
21
coscoscoscos
coscoscoscos1cos0coscos0cos0
coscos0coscos0
coscos0coscoscoscos)('c)('
2
2
2
22
22
2200
2
000
πππ
ππππππππ
πππππ
ππ
ππππ
ππππ
ππππ
ππππ
ππ
πππ
ππ
πππ
PsenP
MínimosenA
MáximosenA
asenaada
AdA
aa
NkksenarcaasenaasenASi
aasenasenaasendadAA
asenaasenasenaaaasendadAA
asenaaaasendadAAaaasenaA
aaasenaxaaasenxaA
dxaaasendxxadxaaasenxaA
aaasenaaasenayxaaasenaaasenaaasenayx
atgaxaaasenxaaaasenxay
aaasenxayaaasenyxaraxaasenyaafmxosxf
p
9
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti
C-1.- Calcúlese ∫ ++dx
xx 1341
2
( ) ( )
Kxtgarcttgarcutgarcduu
duu
I
dudtutdtdxtx
dxt
dtt
dxt
dxx
dxx
I
xxx
++
⋅=⋅=⋅=+
⋅=+
⋅=
=⇒==⇒=+
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
⋅=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=+
=++
=+−+
=
ℜ∉⇒<−=−=Δ⇒=++
∫ ∫
∫∫∫∫∫
32
31
331
31
11
313
11
91
33
2
91
31
191
919
19
192
11342
103652160134
22
22222
2
C-2.- Sea . Determínense los valores de m para los cuales no es
invertible (donde Id denota la matriz identidad).
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
3221
A IdmA +
( )
( ) ( )
{ } ( ) 1
2
22
1
052,52
525252
2524
220420416014
1443343132
21
032
210
03221
−
−
+∃⇒≠+⇒+−−−−ℜ∈∀
⎩⎨⎧
−−=+−=
⇒±−=±−
=±−
=⇒=+=Δ⇒=−+
⇒−+=−+++=−+⋅+=+
+=+
⇒≠+⇒+∃⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=+
IdAIdAm
mmmmmSi
mmmmmmmm
mIdA
IdAIdAm
mm
mIdA
C-3.- Calcúlese )(sen)ln(lim
0xx
x→
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )( )
( )( )
( ) ( )( ) ( )
010
011.0.2
000cos0c02
cosc2lim
00
100
0cos00sen
cossenlim
sencos
1
lim
0sen1
0l
sen1
llim00sen0lnsenlnlim
0
'22
0
2
0
'
00
=−=−
−=⋅−⋅
−=
=−
−=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯==⋅
−=⋅
−=−=−
=
=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯=∞∞
−===⋅−∞==
→→→
→→
senossen
xxsenxxosxsen
xxx
xx
x
n
x
xnxx
x
HopitalLAplicando
xx
HopitalLAplicando
xx
10
IES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2005 Juan Carlos Alonso Gianonatti
11
C-4.- Calcúlese el volumen del tetraedro de vértices , , , .
)1,1,1(A )3,2,1(B )1,3,2(C)2,1,3(D
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
3
23
699
6118
102021210
1,0,21,1,12,1,30,2,11,1,11,3,22,1,01,1,13,2,1
61
uVADACAB
ADACAB
ADACABV
==−⋅=⇒−−==×⋅
⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−==−==−=
⇒×⋅⋅=