Post on 27-Jan-2016
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Planos en 3D
Dr. Gustavo Rodríguez Zurita
R1 plano
Planos en 3D.
0P
Punto por el que sabemos pasa el plano
Punto cualquiera sobre nuestro plano
Resta vectorial contenida en el plano
Coordenadas de punto en recta cumplen
P
0r
r
R1 plano
n
0)()()(
0
,,),,(
,,),,(
000
0
00000000
zzcyybxxa
rrn
rr
zyxrzyxP
zyxrzyxP
Resta perpendicular a normal al plano n
cban ,,
Ecuación escalar del plano pasando por P0(x0,y0,z0).
cban ,, 0000 ,, zyxP
0)()()( 000 zzcyybxxa
)(
0
0)(
0
000
000
000
czbyaxd
con
dczbyax
czbyaxczbyax
czczbybyaxax
Ecuación Lineal
Ejemplo 4.
Encontrar la ecuación del plano pasando por P(2,4,-1) con normal <2,3,4>. Hallar los interceptos.
0)()()( 000 zzcyybxxa
Usando la ecuación del plano
432
142 000
cba
zyxy por los datos, se identifica que
substituyendo
0)1()4(3)2(2 zcyx
Ejemplo 4
12432
012432
0416432
04124432
04412342
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
Distribuyendo los factores y simplificando La intersección con el eje x sale de y=z=0,2x=12, o x=6La intersección con el eje y sale de x=z=0,3y=12, o y=4La intersección con el eje z sale de x=y=0,4z=12, o z=3
plano plano
Ejemplo 5Encontrar la ecuación del plano pasando por los puntos P(1,3,2) Q(3,-1,6) y R(5,2,0)
2,1,42,3,10,2,5
4,4,22,3,16,1,3
PRPR
PQPQ
Los siguientes vectores se encuentran sobre el plano inspeccionado
Se requieren dos vectores independientes en el plano para encontrar un vector normal usando su producto CRUZ, o vectorial.
kji
kjikji
kji
kji
n
ˆ14ˆ20ˆ12
14ˆ)20(ˆ)12(ˆ162ˆ164ˆ48ˆ
14
42ˆ24
42ˆ21
44ˆ
214
442
ˆˆˆ
2,1,44,4,2
Usando los vectores se encuentra n con producto X
Ejemplo 5
507106
0100142012
0286012142012
0)2(14)3(20)1(12
zyx
zyx
zyx
zyx
Utilizando el vector P y las componentes de n
La intersección con el eje x sale de y=z=0,6x=50, o x=8.33La intersección con el eje y sale de x=z=0,10y=50, o y=5La intersección con el eje z sale de x=y=0,7z=50, o z=7.14
plano plano
Ejemplo 5
R1 R2 R3 plano R1 R2 R3 plano R1 R2 R3 plano
Visualizando los puntos P(1,3,2) Q(3,-1,6) y R(5,2,0)
Ejemplo 6
tztytx 5432
18254 zyx
2
2010
18210
1810822012
1821020128
18)5(2)4(5)32(4
t
t
t
ttt
ttt
ttt
Encontrar el punto de intersección entre la recta de ecuaciones paramétricas
y el plano con ecuación
Como el punto buscado debe cumplir con ambas expresiones, se sustituyen las paramétricas en la ecuación del plano para hallar t.
3)2(5)2(
8)2(4)2(
462)2(32)2(
z
y
x
Regresando a las ecuaciones paramétricas para encontrar las coordenadas correspondientes a t = -2…
…indicando que las coordenadas buscadas son
3,8,4
Ejemplo 6
tztytx 5432 18254 zyx
3,8,4
R planoR plano R plano
Ejemplo 7
Encontrar el ángulo entre los dos planos descritos por las ecuaciones
1321 zyxzyx
Encontrar las ecuaciones simétricas para la recta de intersección L.
Los ángulos entre los planos son los ángulos entre sus respectivas normales n1 y n2.
3,2,11,1,1 21 nn
Por los coeficientes de las ecuaciones:
ba
bababa
)cos()cos( De:
21
21)cos(nn
nn
Ejemplo 7
42
2143
321
321111
3,2,11,1,1)cos(
22222221
21
nn
nn
Substituyendo para el coseno:
Tomando el arco coseno de 2/√(42) se obtiene un ángulo entre planos de valor 1.257 rad o 72.025°
plano_1 plano_2
Ejemplo 7
plano_1 plano_2
Se requiere además un punto de cada plano. Puede buscarse uno cualquiera pero común a ambos, el cual pertenecerá a la recta de intersección L.Tomando z = 0 en las ecuaciones de ambos planos, se simplifican éstas. Resolviendo
0
1
33
12
222
12
1
y
x
x
yx
yx
yx
yxEl punto tiene coordenadas <1,0,0>
Con ese punto y con los números directores de las normales, las gráficas de los planos, por separado primero, son
plano_1 plano_2
Ejemplo 7Para hallar la ecuación de L, notamos que debe ser perpendicular a los dos vectores normales “simultáneamente”.
Un vector perpendicular a las dos normales puede encontrarse con su producto vectorial o CRUZ (X):
kji
kji
kji
kji
nnv
ˆ3ˆ2ˆ5
)12(ˆ)13(ˆ)23(ˆ
21
11ˆ31
11ˆ32
11ˆ
321
111
ˆˆˆ
21
Así, los números directores que pueden usarse para L son a = 5, b = -2 y c = -3.
Las ecuaciones simétricas se pueden escribir entonces como
325
1
zyx
plano_1 plano_2 R1
Ejemplo 8
Encontrar la distancia D entre el punto P1(x1,y1,z1) y el plano ax+by+cz+d = 0. Use P0(x0,y0,z0).
plano_zero R Raux
P1
D
P0
b
n
222
111
222
111
222
000111
222
010101
010101
)(
)(
)()()(
,,
cba
dczbyax
cba
dczbyax
cba
czbyaxczbyax
cba
zzcyybxxa
n
nbD
zzyyxxb
Ejemplo 9Encontrar la distancia D entre los planos paralelos
10x+2y-2z = 5 y 5x+y-z = 1. Los planos son paralelos porque sus normales <10,2,-2> y <5,1,-1> lo son.Tomamos cualquier punto de un plano y calculamos su distancia al otro plano.
6
3
32
1
332
3
392
3
272
3
1125
12
5
)1(15
1)0(1)0(1)2
1(5
0,0,2/1
2/1
510
0
222D
x
x
zySe toma un punto con coordenadas y=0 y z=0
La coordenada x faltante resulta
Usando la fórmula de distancia D, por substitución
plano_1 plano_2
52210
1005
zyx
zyx
Ejemplo 9 bisEncontrar la distancia D entre los planos paralelos
10x+2y-2z = 5 y 5x+y-z = 1. Los planos son paralelos porque sus normales <10,2,-2> y <5,1,-1> lo son.Tomamos cualquier punto de un plano y calculamos su distancia al otro plano.
Se toma un punto con coordenadas x=0 y z=0
La coordenada y faltante resulta
Usando la fórmula de distancia D, por substitución
plano_1 plano_2
52210
1005
zyx
zyx
6
3
27
12/5
27
1)0(1)2/5(1)0(5
0,2/5,0
2/5
52
0
D
y
y
zx
Ejemplo 10Encontrar la distancia D entre las líneas rectas oblicuas del ejemplo 3.
Puede considerarse que las rectas están en planos paralelos. La distancia entre esos planos es la distancia entre las rectas.
RA RB
szsysx
sL
tztytx
tL
4332
,
4321
,
2
1
Conclusiones