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POLINOMIOS
1
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email del profesor alejandropadroniesmartinmirandacom
IESPROFESORMARTIacuteNMIRANDA
POLINOMIOS4ordmESOMATEMAacuteTICASACADEacuteMICAS
ALUMNOA
GRUPO
4ordmESO
POLINOMIOS
2
RADICALES Y LOGARITMOS
POLINOMIOS 3
EXPRESIONES POLINOacuteMICAS 3
MONOMIOS 3
Monomios semejantes 3
POLINOMIOS 4
Grado de un polinomio 4
OPERACIONES CON POLINOMIOS 5
Suma y resta de polinomios 5
Multiplicacioacuten de polinomios 7
DIVISIOacuteN DE POLINOMIOS 9
REGLA DE RUFFINI 9
Divisioacuten de polinomios 9
Regla de Ruffini 10
TEOREMA DEL RESTO 12
Teorema del resto 12
Raiacuteces o ceros de un polinomio 13
Propiedades de las raiacuteces de un polinomio 13
Descomposicioacuten factorial de un polinomio 14
Polinomio irreducible 14
FRACCIONES ALGEBRAICAS 17
SIMPLIFICACIOacuteN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS 17
POLINOMIOS
3
POLINOMIOS
EXPRESIONES POLINOacuteMICAS
MONOMIOS
Un monomio es una expresioacuten algebraica formada por el producto de un nuacutemero llamado coeficiente y una o varias letras elevadas a un nuacutemero natural que forman la parte literal del monomio
Las letras de la parte literal se llaman variables
El grado de un monomio es el exponente de la letra que forma la parte literal si solo hay una o la suma de los exponentes si hay maacutes de una
Monomiossemejantes
Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal
Ejemplo
POLINOMIOS
4
POLINOMIOS
Un polinomio es una expresioacuten algebraica formada por la suma o la resta de dos o maacutes monomios no semejantes Por ejemplo tenemos
Gradodeunpolinomio
El grado de un pol inomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x
Seguacuten su grado los polinomios pueden ser de
TIPO EJEMPLO PRIMER GRADO P(x)= 3x+2 SEGUNDO GRADO P(x)=2x 2 +3x+2 TERCER GRADO P(x)=x 3 -2x 2 +3x+2
TEN EN CUENTA LO SIGUIENTE
bull Cada uno de los monomios que forman un polinomio se denomina teacutermino y el que no tiene parte literal teacutermino independiente
bull Al mayor de los grados de los teacuterminos de un polinomio reducido se le llama grado del polinomio
8116)( 23 +--= xxxxP2832432)( 323 ++--= xxxxxQ
xxxR21366)( 3 -+=
POLINOMIOS
5
OPERACIONESCONPOLINOMIOS
Sumayrestadepolinomios
Para sumar (o restar) polinomios se agrupan los monomios del mismo grado y se suman (o restan) sus coeficientes
Ejemplo
Dado los polinomios
A(x) = 3x4 minus 5x3 + x + 7
B(x) = minus 8x3 minus 6x2 minus3x +3
Calcula
a) A(x) +B(x)
3x4 minus 5x3 + x + 7 minus 8x3 minus 6x2 minus3x + 3
3x4 minus 13x3 minus 6x2 minus 2x+10
b) A(x) ndash B(x)
Para ello calculamos el opuesto de B(x)
3x4 minus 5x3 + x + 7 8x3 + 6x2 +3x minus 3
3x4 + 3x3 + 6x2 + 4x + 4
POLINOMIOS
6
O tambieacuten de la forma
Para sumar polinomios hay que agrupar los monomios semejantes Asiacute
(4x3 + 5x minus 6) minus (3x3 minus 2x2 + 7x) + (6x3 + 4x2 minus x + 5) =
= 4x3 + 5x minus 6 minus 3x3 + 2x2 minus 7x + 6x3 + 4x2 minus x + 5 =
= (4x3 minus 3x3 + 6x3 ) + (2x2 + 4x2 ) + (5xminus 7x minus x) + (minus6 + 5) =
= 7x3 + 6x2 minus 3x minus 1
EJERCICIO MULTIPLICACIOacuteN DE POLINOMIOS
1) Dados los polinomios P(x) Q(x) y R(x) escritos maacutes abajo
Calcula
a) P(x) + Q(x)
b) P(x) minus Q(x)
c) P(x) + Q(x) minus R(x)
d) P(x) minus Q(x) minus R(x)
SOLUCIOacuteN
1x2xR(x)35xQ(x)89x4xP(x) 2333 +-=+=+-=
4x9xx3(x)(x)(x)d)10x9xx7(x)(x)(x)c)
5x9x(x)(x)b)11x9x9(x)(x)a)
23
23
3
3
+-+-=--
+-+=-+
+--=-
+-=+
RQPRQP
QPQP
POLINOMIOS
7
Multiplicacioacutendepolinomios
Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por todos los monomios del otro y despueacutes se suman los polinomios obtenidos
c) (2x3 minus 3x2 + 4x) (2x2 minus 3)
Tambieacuten se puede hacer de forma lineal
d) (2x2 + 5x minus6) (3x2 minus 2x minus 3) =
= 6x4 minus 4x3 + 6x2 + 15x3 minus10x2 + 15x minus 18x2 + 12x minus18=
= 6x4 + 11x3 minus 22x2 + 27x minus 18
POLINOMIOS
8
EJERCICIOS MULTIPLICACIOacuteN DE POLINOMIOS
2) Sabiendo que
119879(119909) = 2119909 + 3
3) Calcula las siguientes operaciones de polinomios
a)
b) 5119909 ∙ 119876(119909)
c)
d) 5119909 ∙ 119877(119909) minus 3 ∙ 119876(119909)
8116)( 23 +--= xxxxP
2832432)( 323 ++--= xxxxxQ
xxxR21366)( 3 -+=
32)( -= xxS
)()( xSxR times)()( xTxQ times
POLINOMIOS
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DIVISIOacuteN DE POLINOMIOS
REGLADERUFFINI
Divisioacutendepolinomios
La divisioacuten de dos polinomios y tiene por objeto hallar dos polinomios de forma que se verifique la PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LA DIVISIOacuteN
DIVIDENDO = DIVISOR COCIENTE + RESTO
Si los grados de y son p y q respectivamente esta operacioacuten es posible cuando
Ejemplo
Se ordenan el dividendo y el divisor dejando un hueco en el lugar de todos los teacuterminos que faltan si el dividendo es incompleto
Se dividen los teacuterminos principales del dividendo y el divisor obteniendo el primer teacutermino del cociente
Se multiplica el divisor por el cociente y el resultado se le resta al dividendo
Se repite este proceso hasta llegar a un polinomio cuyo grado sea menor que el del divisor
41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1 119909 minus 2 minus41199090 + 81199091 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 111199091 minus 6119909 + 1 minus111199091
+ 221199095
221199095 minus 6119909 + 1 minus221199095 + 44119909 38119909 + 1 minus38119909 + 76
77
SOLUCIOacuteN
P(x)= 41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1
Q(x)= 119909 minus 2
C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)
R(x)= 77 (Resto)
( )xP ( )xQ ( ) ( )xRyxC
( ) ( ) ( ) ( )xRxCxQxP +times=
( )xP ( )xQ qp sup3
POLINOMIOS
10
RegladeRuffini
La divisioacuten estudiada anteriormente permite realizar cualquier divisioacuten de polinomios Pero si el divisor es un binomio de la forma hay una forma maacutes sencilla y raacutepida para realizarla que es lo se conoce como REGLA DE RUFFINI
Usando el ejemplo de la divisioacuten anterior calculamos la divisioacuten
(41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1) (119909 minus 2)
4 3 0 minus6 1 2 8 22 44 76 4 11 22 38 77
C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)
R(x)= 77 (Resto)
Ejemplo 2 entre
1 minus2 3 minus5 2 2 0 6 1 0 3 1
C(x)= 1199095 + 3 (Cociente)
R(x)= 1 (Resto)
Se colocan los coeficientes del dividendo de forma ordenada y decreciente antildeadiendo ceros si no es completo Se coloca el valor de del divisor
El primer coeficiente del cociente es el primero del dividendo
Se multiplica este por y se suma el producto al segundo teacutermino del dividendo Asiacute sucesivamente
Los coeficientes obtenidos con un grado menos que el dividendo constituyen el cociente de la divisioacuten El uacuteltimo teacutermino es el resto de la divisioacuten
Por tanto
y entonces
( )ax plusmn
532)( 23 -+-= xxxxp 2)( -= xxq
a
a
1)(3)( 2 =+= xrxxc532 23 -+- xxx )2( -= x 1)3( 2 ++times x
POLINOMIOS
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EJERCICIOS DE RUFFINI
4) Efectuacutea las divisiones de x3 -5x2 + 6x ndash2 entre a) x + 2 b) x ndash 3
Escribe en cada caso la igualdad dividendo = divisor middot cociente + resto
5) Efectuacutea las divisiones de 3x4 ndashx2 +5x entre a) x ndash 2 b) x+1
Escribe en cada caso la igualdad dividendo = divisor middot cociente + resto
6) Aplica la regla de Ruffini y averigua cuaacuteles de las siguientes divisiones son exactas
(r=0)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
7) Halla el valor de m para que cada una de estas divisiones sea una divisioacuten exacta
a)
b)
c)
d) (21199095 + 119898119909 + 2) (119909 minus 2) =
8) En cada caso calcula el valor de m para que la divisioacuten tenga los restos que se te piden
a) R= 1
b) R= -2
c) R= 3
d) R= -1
9) Calcula el valor de m para que el polinomio 119875(119909) = 21199091 +1198981199095 + 5119909 + 2 sea divisible
por (x+1)
( ) =+-+ )3(104 4 xxx
( ) =+++ )8(48142 xxx
( ) =-- )1(34 xx
( ) =-+- )2(242 xxx
( ) =+-+ )4(12103 23 xxx
( ) =++ )1(4 xxx
( ) =++++ )4(48 23 xmxxx
( ) =-+-- )5(5102 23 xmxxx
( ) =---+ )2(432 234 xmxxx
( ) =+-+ )3(42 xmxx
( ) =-+- )1(5 23 xmxx
( ) =-+++ )3(125 24 xmxxx
( ) =+-+- )1(104 235 xmxxx
POLINOMIOS
12
TEOREMADELRESTO
Teoremadelresto
El valor numeacuterico de un polinomio P(x) para x=a coincide con el resto de la divisioacuten P(x)(x-a)
Demostracioacuten
Ejemplo Calcula el valor numeacuterico de los siguientes polinomios
a) 119875(119909) = 1199095 minus 5119909 + 6 en x=3
1 minus5 6 3 3 minus6 1 minus2 0
Por lo que P(3)=0
b) 119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5 en x= minus5
1 minus3 minus9 minus5 minus2 minus2 10 minus2
1 minus5 1 minus7
Por lo que P (minus2)=minus7
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) RaPRaCaaaPRxCaxxP =THORN+times-=THORN+times-=
POLINOMIOS
13
Raiacutecesocerosdeunpolinomio
Un nuacutemero a es una raiacutez del polinomio P(x) si P(a)=0
EJEMPLO
no es raiacutez del polinomio porque su resto es
es raiacutez de porque
Propiedadesdelasraiacutecesdeunpolinomio
- Las raiacuteces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del teacutermino independiente
- El nuacutemero de raiacuteces de un polinomio es menor o igual que su grado
10) Calcular el valor numeacuterico de los siguientes polinomios
a) en x=2 b) en x=ndash3 c) en x=1 x=0 d) +1 en x=ndash1 x=0 e) en x=2 f) en x=1 x=0
11) Calcula el valor de m en el polinomio P(x)= para que dicho polinomio
tenga como raiacutez x=2 despueacutes factoriza el polinomio resultante
12) Comprueba que el polinomio P(x)= no tiene raiacuteces enteras
13) Calcula en el polinomio P(x)= el valor de k sabiendo que el valor de P(x)
para x=1 es igual a 7
2=x 12)( 2 +-= xxxp 01)2( sup1=p
1=x 12)( 2 +-= xxxp 01121)1( 2 =+-=p
44)( 23 +--= xxxxP1623)( 34 ---= xxxxP666)( 23 -+-= xxxxPxxxxxP 99)( 234 +--=2045)( 23 --+= xxxxP124)( 25 +-+= xxxxP
424 +-mxx
291312 23 -+- xxx
kxx -- 62 2
POLINOMIOS
14
Descomposicioacutenfactorialdeunpolinomio
FACTORIZAR UN POLINOMIO es escribirlo como producto de polinomios de menor grado posible
Para ello es necesario obtener las raiacuteces de dicho polinomio puesto que dado
si es una raiacutez de es exacta
si a su vez es una raiacutez de
Observa que tambieacuten es una raiacutez de pues sustituyendo en se cumple que
porque
Se tiene entonces que
Este proceso puede continuar si tienen maacutes raiacuteces lo cual permite factorizar
Polinomioirreducible
Un polinomio es IRREDUCIBLE o PRIMO cuando no es posible descomponerlo como producto de polinomios de grado mayor o igual que 1
( )xP
a ( )xP THORN ( ) ( )axxP - THORN ( ) ( ) ( )xQaxxP times-=
b ( )xQ THORN ( ) ( ) ( )xCbxxQ times-=
b ( )xP ( ) ( ) ( )xQaxxP times-=
( ) ( ) ( ) 0=times-= bQabbP ( ) 0=bQ
( ) ( ) ( ) ( )xCbxaxxP times-times-=
( ) ( )xPoxC( )xP
POLINOMIOS
15
Ejemplo
Factoriza los siguientes polinomios
a) 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6
Las posibles soluciones enteras del polinomio son plusmn 1 plusmn 2 plusmn 3 plusmn 6
1 minus4 1 6
-1 minus1 5 minus6 1 minus5 6 0 3 3 minus6 1 minus2 0 2 2 1 0
Con lo que el polinomio factorizado es 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6 = (119909 + 1) ∙ (119909 minus 3) ∙ (119909 minus 2)
b) 119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5
Las posibles soluciones enteras del polinomio son plusmn 1 plusmn 2 plusmn 5
1 minus3 minus9 minus5 minus1 minus1 4 5
1 minus4 minus5 0 minus1 minus1 5
1 minus5 0 5 5 1 0
Con lo que el polinomio factorizado es
119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5 = (119909 + 1) ∙ (119909 + 1) ∙ (119909 minus 5) = (119909 + 1)5 ∙ (119909 minus 5)
POLINOMIOS
16
EJERCICIOS
14) Factoriza los siguientes polinomios
a) P(x) = 1199091 minus 51199095 + 7119909 minus 3
b) Q(x) = 1199095 minus 119909 minus 2
c) R(x) = 1199095 minus 5119909 + 6
d) T(x) = 1199090 minus 31199091 + 41199095 + 3119909 minus 5
e) A(x) = 1199090 minus 21199095 + 1
f) B(x) = 1199091 minus 1
g) C(x) = 1199090 + 1199091 minus 21199095 minus 119909 + 1
h) D(x)=1199091 minus 119909 minus 6
i) E(x)=1199090 minus 1199091 minus 71199095 + 13119909 minus 6
15) Factoriza los siguientes polinomios
a) P(x) = 1199090 minus 71199091 minus 61199095 + 72119909
b) P(x) = 1199090 minus 1199091 minus 251199095 + 25119909
c) P(x) = 1199090 + 1199091 minus 361199095 minus 36119909
d) P(x) = 1199090 minus 251199095
e) P(x) = 1199090 + 41199091 minus 51199095
f) P(x) = 1199090 minus 41199091 minus 121199095
g) D(x)=119909I + 21199090 minus 51199091 minus 61199095
16) Determinar las raiacuteces y factorizar el siguiente polinomio
119875(119909) = 1199090 minus 81199091 + 171199095 + 2119909 minus 24
17) Escribe un polinomio de grado 4 con soacutelo las raiacuteces 0 y 1 (dobles)
CONCLUSIONES
18) Dado el polinomio 119875(119909) = 1199091 + 1198861199095 + 119887119909 + 3 calcular el valor de a y b para que x=1
sea una raiacutez del polinomio y 17 sea el valor numeacuterico para x=2
19) Dados los polinomios
119875(119909) = 1199091 + 21199095 minus 119909 + 3
119876(119909) = 21199090 + 1199095 + 5119909 + 2
a) Calcula el valor numeacuterico del polinomio para x=2
b) Calcula la suma de los polinomios P(x) y Q(x)
20) Dado el polinomio 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6 calcula
a) Las raiacuteces del polinomio
b) El valor numeacuterico para 119909 = minus3
21) Dado el polinomio119875(119909) = 21199095 minus 119886119909 + 119887 calcula el valor de a y b para que cumpla las
siguientes condiciones
a) El 1 es raiacutez
b) El valor numeacuterico para x = 0 es 12
POLINOMIOS
17
FRACCIONESALGEBRAICAS
Fraccioacutenalgebraica
Una fraccioacuten algebraica L(M)N(M)
es una fraccioacuten que tiene por denominador un polinomio
EJEMPLOS
Fraccioacutenequivalente
es equivalente a
SIMPLIFICACIOacuteNDEFRACCIONESALGEBRAICAS
Para simplificar una fraccioacuten algebraica hay que descomponer factorialmente el numerador y el denominador y eliminar despueacutes los factores comunes de ambos
EJEMPLO
EJERCICIOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
22) Factoriza numerador y denominador y luego simplifica
a) b) c) d)
Sol a) 53 b) x2 c) d)
31
2 -+
xx
4583 2
+--
xxx
213x-
( )( )xBxA ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )xDxC
xBxAxCxBxDxA
xDxC
=Ucirctimes=timesUcirc
13
)2)(1()2)(3(
2365
23
23
++
=++++
=++++
xx
xxxxxx
xxxxxx
3+3x5+5x
6-2x3x-x2
1-xx+x
2
2
2x+x412x2
1-xx
1+2x6
POLINOMIOS
18
23) Descomponer en factores y simplificar
a) b) c) d)
e) f) g)MOPQMMRSMOPS
h)
Sol a) x-1 b) c) d) e) f) 1 g) h)
24) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas factorizando el numerador y
denominador
a) Sol
b) Sol
c) Sol
d) Sol
e) Sol
f) Sol
g) Sol
h) Sol
25) Resuelve
a) Simplifica la siguiente expresioacuten
1199091 minus 1199095 minus 8119909 + 121199091 + 21199095 minus 5119909 minus 6
OPERACIONESCONFRACCIONESALGEBRAICAS
Sumaorestadefraccionesalgebraicas
Para sumar o restar fracciones algebraicas se reducen a comuacuten denominador y se suman o se restan los numeradores
Productodefraccionesalgebraicas
El producto de fracciones algebraicas es otra fraccioacuten algebraica que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores
119875(119909)119876(119909) ∙
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909) ∙ 119877(119909)119876(119909) ∙ 119878(119909)
1+x1-x2
)1-(x1-x2
2
4-2x4-x2
4-x4+4x+x
2
2
16+8x+x16-x
2
2
4+4x+x2)+(x x
2 81-x9-x
4
2
1-x1+x
22+x
2-x2+x
4+x4-x
2+xx
3+x3-x
9+x12
5654
3
23
+--+xx
xxx ( )55
2 -++xx
xx
652
2
2
+--xxxx
3-xx
6544
2
2
++++xxxx
32
++xx
62107
2
2
--+-xxxx
( )2325+times-xx
1833182
2
2
-+-xx
x ( )( )23
32-times-timesxx
1123
23
2
--+-+xxxxx ( )
( ) ( )113 3
1
-times+-timesxx
x
2354
3
23
+--+
xxxx
( ) ( )21552
+times-++xxxx
5654
3
23
+--+xx
xxx ( )55
2 -++timesxxxx
POLINOMIOS
19
Divisioacutendefraccionesalgebraicas
Para dividir dos fracciones algebraicas nos da como resultado otra fraccioacuten algebraica que se obtiene al multiplicar la primera fraccioacuten algebraica por la inversa de la segunda fraccioacuten algebraica
119875(119909)119876(119909)
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909)119876(119909) ∙
119878(119909)119877(119909) =
119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)
26) Efectuacutea las operaciones
a) 0MRU
+ 5MR5
b) UMRI
minus VMP5
c) P1MPU
+ WMP1
d) P1MRQ
minus SMPU
27) Opera y simplifica si es posible
a) UMOP1MP0
minus 5MP0
minus UMRU
b) U5MOR1MPI
minus UMPU
minus M5MRI
c) MR15MOPIMR0
+ 5MMP0
+ UMPU
d) MRU5MORIMPU0
+ MPIMP5
minus QMRV
28) Realiza las operaciones
a) 0MPU
∙ MR55
b) P1MPU
MP1M
c) MPI5MORMP1
∙ MOPU1MO
d) M5MORMRU
MO
5MPU
29) Efectuacutea las operaciones y simplifica su resultado
a) SM1MP1
∙ MOPU1MO
b) 5MPQMOP0
∙ MOP0MR0MOPQMRS
c) MP1M∙ M
OR1MMOPS
d) MRIMPI
∙ MOP5IMOR5I
30) Efectuacutea estas divisiones de fracciones algebraicas y simplifica su resultado
a) X UMP5
minus MP11199092minus4
Y ∙ MR5Mminus M
5
b) UMRU
+ 5MMOPU
minus UMPU
c)
d) MOP5MMOPIMRQ
∙ MOR0MR0MOP0M
e) MPUMOPU
MRUMOR5MRU
31) Realiza la siguiente operacioacuten simplificando el resultado
1356
2 +-+
xxx
POLINOMIOS
2
RADICALES Y LOGARITMOS
POLINOMIOS 3
EXPRESIONES POLINOacuteMICAS 3
MONOMIOS 3
Monomios semejantes 3
POLINOMIOS 4
Grado de un polinomio 4
OPERACIONES CON POLINOMIOS 5
Suma y resta de polinomios 5
Multiplicacioacuten de polinomios 7
DIVISIOacuteN DE POLINOMIOS 9
REGLA DE RUFFINI 9
Divisioacuten de polinomios 9
Regla de Ruffini 10
TEOREMA DEL RESTO 12
Teorema del resto 12
Raiacuteces o ceros de un polinomio 13
Propiedades de las raiacuteces de un polinomio 13
Descomposicioacuten factorial de un polinomio 14
Polinomio irreducible 14
FRACCIONES ALGEBRAICAS 17
SIMPLIFICACIOacuteN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS 17
POLINOMIOS
3
POLINOMIOS
EXPRESIONES POLINOacuteMICAS
MONOMIOS
Un monomio es una expresioacuten algebraica formada por el producto de un nuacutemero llamado coeficiente y una o varias letras elevadas a un nuacutemero natural que forman la parte literal del monomio
Las letras de la parte literal se llaman variables
El grado de un monomio es el exponente de la letra que forma la parte literal si solo hay una o la suma de los exponentes si hay maacutes de una
Monomiossemejantes
Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal
Ejemplo
POLINOMIOS
4
POLINOMIOS
Un polinomio es una expresioacuten algebraica formada por la suma o la resta de dos o maacutes monomios no semejantes Por ejemplo tenemos
Gradodeunpolinomio
El grado de un pol inomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x
Seguacuten su grado los polinomios pueden ser de
TIPO EJEMPLO PRIMER GRADO P(x)= 3x+2 SEGUNDO GRADO P(x)=2x 2 +3x+2 TERCER GRADO P(x)=x 3 -2x 2 +3x+2
TEN EN CUENTA LO SIGUIENTE
bull Cada uno de los monomios que forman un polinomio se denomina teacutermino y el que no tiene parte literal teacutermino independiente
bull Al mayor de los grados de los teacuterminos de un polinomio reducido se le llama grado del polinomio
8116)( 23 +--= xxxxP2832432)( 323 ++--= xxxxxQ
xxxR21366)( 3 -+=
POLINOMIOS
5
OPERACIONESCONPOLINOMIOS
Sumayrestadepolinomios
Para sumar (o restar) polinomios se agrupan los monomios del mismo grado y se suman (o restan) sus coeficientes
Ejemplo
Dado los polinomios
A(x) = 3x4 minus 5x3 + x + 7
B(x) = minus 8x3 minus 6x2 minus3x +3
Calcula
a) A(x) +B(x)
3x4 minus 5x3 + x + 7 minus 8x3 minus 6x2 minus3x + 3
3x4 minus 13x3 minus 6x2 minus 2x+10
b) A(x) ndash B(x)
Para ello calculamos el opuesto de B(x)
3x4 minus 5x3 + x + 7 8x3 + 6x2 +3x minus 3
3x4 + 3x3 + 6x2 + 4x + 4
POLINOMIOS
6
O tambieacuten de la forma
Para sumar polinomios hay que agrupar los monomios semejantes Asiacute
(4x3 + 5x minus 6) minus (3x3 minus 2x2 + 7x) + (6x3 + 4x2 minus x + 5) =
= 4x3 + 5x minus 6 minus 3x3 + 2x2 minus 7x + 6x3 + 4x2 minus x + 5 =
= (4x3 minus 3x3 + 6x3 ) + (2x2 + 4x2 ) + (5xminus 7x minus x) + (minus6 + 5) =
= 7x3 + 6x2 minus 3x minus 1
EJERCICIO MULTIPLICACIOacuteN DE POLINOMIOS
1) Dados los polinomios P(x) Q(x) y R(x) escritos maacutes abajo
Calcula
a) P(x) + Q(x)
b) P(x) minus Q(x)
c) P(x) + Q(x) minus R(x)
d) P(x) minus Q(x) minus R(x)
SOLUCIOacuteN
1x2xR(x)35xQ(x)89x4xP(x) 2333 +-=+=+-=
4x9xx3(x)(x)(x)d)10x9xx7(x)(x)(x)c)
5x9x(x)(x)b)11x9x9(x)(x)a)
23
23
3
3
+-+-=--
+-+=-+
+--=-
+-=+
RQPRQP
QPQP
POLINOMIOS
7
Multiplicacioacutendepolinomios
Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por todos los monomios del otro y despueacutes se suman los polinomios obtenidos
c) (2x3 minus 3x2 + 4x) (2x2 minus 3)
Tambieacuten se puede hacer de forma lineal
d) (2x2 + 5x minus6) (3x2 minus 2x minus 3) =
= 6x4 minus 4x3 + 6x2 + 15x3 minus10x2 + 15x minus 18x2 + 12x minus18=
= 6x4 + 11x3 minus 22x2 + 27x minus 18
POLINOMIOS
8
EJERCICIOS MULTIPLICACIOacuteN DE POLINOMIOS
2) Sabiendo que
119879(119909) = 2119909 + 3
3) Calcula las siguientes operaciones de polinomios
a)
b) 5119909 ∙ 119876(119909)
c)
d) 5119909 ∙ 119877(119909) minus 3 ∙ 119876(119909)
8116)( 23 +--= xxxxP
2832432)( 323 ++--= xxxxxQ
xxxR21366)( 3 -+=
32)( -= xxS
)()( xSxR times)()( xTxQ times
POLINOMIOS
9
DIVISIOacuteN DE POLINOMIOS
REGLADERUFFINI
Divisioacutendepolinomios
La divisioacuten de dos polinomios y tiene por objeto hallar dos polinomios de forma que se verifique la PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LA DIVISIOacuteN
DIVIDENDO = DIVISOR COCIENTE + RESTO
Si los grados de y son p y q respectivamente esta operacioacuten es posible cuando
Ejemplo
Se ordenan el dividendo y el divisor dejando un hueco en el lugar de todos los teacuterminos que faltan si el dividendo es incompleto
Se dividen los teacuterminos principales del dividendo y el divisor obteniendo el primer teacutermino del cociente
Se multiplica el divisor por el cociente y el resultado se le resta al dividendo
Se repite este proceso hasta llegar a un polinomio cuyo grado sea menor que el del divisor
41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1 119909 minus 2 minus41199090 + 81199091 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 111199091 minus 6119909 + 1 minus111199091
+ 221199095
221199095 minus 6119909 + 1 minus221199095 + 44119909 38119909 + 1 minus38119909 + 76
77
SOLUCIOacuteN
P(x)= 41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1
Q(x)= 119909 minus 2
C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)
R(x)= 77 (Resto)
( )xP ( )xQ ( ) ( )xRyxC
( ) ( ) ( ) ( )xRxCxQxP +times=
( )xP ( )xQ qp sup3
POLINOMIOS
10
RegladeRuffini
La divisioacuten estudiada anteriormente permite realizar cualquier divisioacuten de polinomios Pero si el divisor es un binomio de la forma hay una forma maacutes sencilla y raacutepida para realizarla que es lo se conoce como REGLA DE RUFFINI
Usando el ejemplo de la divisioacuten anterior calculamos la divisioacuten
(41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1) (119909 minus 2)
4 3 0 minus6 1 2 8 22 44 76 4 11 22 38 77
C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)
R(x)= 77 (Resto)
Ejemplo 2 entre
1 minus2 3 minus5 2 2 0 6 1 0 3 1
C(x)= 1199095 + 3 (Cociente)
R(x)= 1 (Resto)
Se colocan los coeficientes del dividendo de forma ordenada y decreciente antildeadiendo ceros si no es completo Se coloca el valor de del divisor
El primer coeficiente del cociente es el primero del dividendo
Se multiplica este por y se suma el producto al segundo teacutermino del dividendo Asiacute sucesivamente
Los coeficientes obtenidos con un grado menos que el dividendo constituyen el cociente de la divisioacuten El uacuteltimo teacutermino es el resto de la divisioacuten
Por tanto
y entonces
( )ax plusmn
532)( 23 -+-= xxxxp 2)( -= xxq
a
a
1)(3)( 2 =+= xrxxc532 23 -+- xxx )2( -= x 1)3( 2 ++times x
POLINOMIOS
11
EJERCICIOS DE RUFFINI
4) Efectuacutea las divisiones de x3 -5x2 + 6x ndash2 entre a) x + 2 b) x ndash 3
Escribe en cada caso la igualdad dividendo = divisor middot cociente + resto
5) Efectuacutea las divisiones de 3x4 ndashx2 +5x entre a) x ndash 2 b) x+1
Escribe en cada caso la igualdad dividendo = divisor middot cociente + resto
6) Aplica la regla de Ruffini y averigua cuaacuteles de las siguientes divisiones son exactas
(r=0)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
7) Halla el valor de m para que cada una de estas divisiones sea una divisioacuten exacta
a)
b)
c)
d) (21199095 + 119898119909 + 2) (119909 minus 2) =
8) En cada caso calcula el valor de m para que la divisioacuten tenga los restos que se te piden
a) R= 1
b) R= -2
c) R= 3
d) R= -1
9) Calcula el valor de m para que el polinomio 119875(119909) = 21199091 +1198981199095 + 5119909 + 2 sea divisible
por (x+1)
( ) =+-+ )3(104 4 xxx
( ) =+++ )8(48142 xxx
( ) =-- )1(34 xx
( ) =-+- )2(242 xxx
( ) =+-+ )4(12103 23 xxx
( ) =++ )1(4 xxx
( ) =++++ )4(48 23 xmxxx
( ) =-+-- )5(5102 23 xmxxx
( ) =---+ )2(432 234 xmxxx
( ) =+-+ )3(42 xmxx
( ) =-+- )1(5 23 xmxx
( ) =-+++ )3(125 24 xmxxx
( ) =+-+- )1(104 235 xmxxx
POLINOMIOS
12
TEOREMADELRESTO
Teoremadelresto
El valor numeacuterico de un polinomio P(x) para x=a coincide con el resto de la divisioacuten P(x)(x-a)
Demostracioacuten
Ejemplo Calcula el valor numeacuterico de los siguientes polinomios
a) 119875(119909) = 1199095 minus 5119909 + 6 en x=3
1 minus5 6 3 3 minus6 1 minus2 0
Por lo que P(3)=0
b) 119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5 en x= minus5
1 minus3 minus9 minus5 minus2 minus2 10 minus2
1 minus5 1 minus7
Por lo que P (minus2)=minus7
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) RaPRaCaaaPRxCaxxP =THORN+times-=THORN+times-=
POLINOMIOS
13
Raiacutecesocerosdeunpolinomio
Un nuacutemero a es una raiacutez del polinomio P(x) si P(a)=0
EJEMPLO
no es raiacutez del polinomio porque su resto es
es raiacutez de porque
Propiedadesdelasraiacutecesdeunpolinomio
- Las raiacuteces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del teacutermino independiente
- El nuacutemero de raiacuteces de un polinomio es menor o igual que su grado
10) Calcular el valor numeacuterico de los siguientes polinomios
a) en x=2 b) en x=ndash3 c) en x=1 x=0 d) +1 en x=ndash1 x=0 e) en x=2 f) en x=1 x=0
11) Calcula el valor de m en el polinomio P(x)= para que dicho polinomio
tenga como raiacutez x=2 despueacutes factoriza el polinomio resultante
12) Comprueba que el polinomio P(x)= no tiene raiacuteces enteras
13) Calcula en el polinomio P(x)= el valor de k sabiendo que el valor de P(x)
para x=1 es igual a 7
2=x 12)( 2 +-= xxxp 01)2( sup1=p
1=x 12)( 2 +-= xxxp 01121)1( 2 =+-=p
44)( 23 +--= xxxxP1623)( 34 ---= xxxxP666)( 23 -+-= xxxxPxxxxxP 99)( 234 +--=2045)( 23 --+= xxxxP124)( 25 +-+= xxxxP
424 +-mxx
291312 23 -+- xxx
kxx -- 62 2
POLINOMIOS
14
Descomposicioacutenfactorialdeunpolinomio
FACTORIZAR UN POLINOMIO es escribirlo como producto de polinomios de menor grado posible
Para ello es necesario obtener las raiacuteces de dicho polinomio puesto que dado
si es una raiacutez de es exacta
si a su vez es una raiacutez de
Observa que tambieacuten es una raiacutez de pues sustituyendo en se cumple que
porque
Se tiene entonces que
Este proceso puede continuar si tienen maacutes raiacuteces lo cual permite factorizar
Polinomioirreducible
Un polinomio es IRREDUCIBLE o PRIMO cuando no es posible descomponerlo como producto de polinomios de grado mayor o igual que 1
( )xP
a ( )xP THORN ( ) ( )axxP - THORN ( ) ( ) ( )xQaxxP times-=
b ( )xQ THORN ( ) ( ) ( )xCbxxQ times-=
b ( )xP ( ) ( ) ( )xQaxxP times-=
( ) ( ) ( ) 0=times-= bQabbP ( ) 0=bQ
( ) ( ) ( ) ( )xCbxaxxP times-times-=
( ) ( )xPoxC( )xP
POLINOMIOS
15
Ejemplo
Factoriza los siguientes polinomios
a) 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6
Las posibles soluciones enteras del polinomio son plusmn 1 plusmn 2 plusmn 3 plusmn 6
1 minus4 1 6
-1 minus1 5 minus6 1 minus5 6 0 3 3 minus6 1 minus2 0 2 2 1 0
Con lo que el polinomio factorizado es 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6 = (119909 + 1) ∙ (119909 minus 3) ∙ (119909 minus 2)
b) 119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5
Las posibles soluciones enteras del polinomio son plusmn 1 plusmn 2 plusmn 5
1 minus3 minus9 minus5 minus1 minus1 4 5
1 minus4 minus5 0 minus1 minus1 5
1 minus5 0 5 5 1 0
Con lo que el polinomio factorizado es
119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5 = (119909 + 1) ∙ (119909 + 1) ∙ (119909 minus 5) = (119909 + 1)5 ∙ (119909 minus 5)
POLINOMIOS
16
EJERCICIOS
14) Factoriza los siguientes polinomios
a) P(x) = 1199091 minus 51199095 + 7119909 minus 3
b) Q(x) = 1199095 minus 119909 minus 2
c) R(x) = 1199095 minus 5119909 + 6
d) T(x) = 1199090 minus 31199091 + 41199095 + 3119909 minus 5
e) A(x) = 1199090 minus 21199095 + 1
f) B(x) = 1199091 minus 1
g) C(x) = 1199090 + 1199091 minus 21199095 minus 119909 + 1
h) D(x)=1199091 minus 119909 minus 6
i) E(x)=1199090 minus 1199091 minus 71199095 + 13119909 minus 6
15) Factoriza los siguientes polinomios
a) P(x) = 1199090 minus 71199091 minus 61199095 + 72119909
b) P(x) = 1199090 minus 1199091 minus 251199095 + 25119909
c) P(x) = 1199090 + 1199091 minus 361199095 minus 36119909
d) P(x) = 1199090 minus 251199095
e) P(x) = 1199090 + 41199091 minus 51199095
f) P(x) = 1199090 minus 41199091 minus 121199095
g) D(x)=119909I + 21199090 minus 51199091 minus 61199095
16) Determinar las raiacuteces y factorizar el siguiente polinomio
119875(119909) = 1199090 minus 81199091 + 171199095 + 2119909 minus 24
17) Escribe un polinomio de grado 4 con soacutelo las raiacuteces 0 y 1 (dobles)
CONCLUSIONES
18) Dado el polinomio 119875(119909) = 1199091 + 1198861199095 + 119887119909 + 3 calcular el valor de a y b para que x=1
sea una raiacutez del polinomio y 17 sea el valor numeacuterico para x=2
19) Dados los polinomios
119875(119909) = 1199091 + 21199095 minus 119909 + 3
119876(119909) = 21199090 + 1199095 + 5119909 + 2
a) Calcula el valor numeacuterico del polinomio para x=2
b) Calcula la suma de los polinomios P(x) y Q(x)
20) Dado el polinomio 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6 calcula
a) Las raiacuteces del polinomio
b) El valor numeacuterico para 119909 = minus3
21) Dado el polinomio119875(119909) = 21199095 minus 119886119909 + 119887 calcula el valor de a y b para que cumpla las
siguientes condiciones
a) El 1 es raiacutez
b) El valor numeacuterico para x = 0 es 12
POLINOMIOS
17
FRACCIONESALGEBRAICAS
Fraccioacutenalgebraica
Una fraccioacuten algebraica L(M)N(M)
es una fraccioacuten que tiene por denominador un polinomio
EJEMPLOS
Fraccioacutenequivalente
es equivalente a
SIMPLIFICACIOacuteNDEFRACCIONESALGEBRAICAS
Para simplificar una fraccioacuten algebraica hay que descomponer factorialmente el numerador y el denominador y eliminar despueacutes los factores comunes de ambos
EJEMPLO
EJERCICIOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
22) Factoriza numerador y denominador y luego simplifica
a) b) c) d)
Sol a) 53 b) x2 c) d)
31
2 -+
xx
4583 2
+--
xxx
213x-
( )( )xBxA ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )xDxC
xBxAxCxBxDxA
xDxC
=Ucirctimes=timesUcirc
13
)2)(1()2)(3(
2365
23
23
++
=++++
=++++
xx
xxxxxx
xxxxxx
3+3x5+5x
6-2x3x-x2
1-xx+x
2
2
2x+x412x2
1-xx
1+2x6
POLINOMIOS
18
23) Descomponer en factores y simplificar
a) b) c) d)
e) f) g)MOPQMMRSMOPS
h)
Sol a) x-1 b) c) d) e) f) 1 g) h)
24) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas factorizando el numerador y
denominador
a) Sol
b) Sol
c) Sol
d) Sol
e) Sol
f) Sol
g) Sol
h) Sol
25) Resuelve
a) Simplifica la siguiente expresioacuten
1199091 minus 1199095 minus 8119909 + 121199091 + 21199095 minus 5119909 minus 6
OPERACIONESCONFRACCIONESALGEBRAICAS
Sumaorestadefraccionesalgebraicas
Para sumar o restar fracciones algebraicas se reducen a comuacuten denominador y se suman o se restan los numeradores
Productodefraccionesalgebraicas
El producto de fracciones algebraicas es otra fraccioacuten algebraica que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores
119875(119909)119876(119909) ∙
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909) ∙ 119877(119909)119876(119909) ∙ 119878(119909)
1+x1-x2
)1-(x1-x2
2
4-2x4-x2
4-x4+4x+x
2
2
16+8x+x16-x
2
2
4+4x+x2)+(x x
2 81-x9-x
4
2
1-x1+x
22+x
2-x2+x
4+x4-x
2+xx
3+x3-x
9+x12
5654
3
23
+--+xx
xxx ( )55
2 -++xx
xx
652
2
2
+--xxxx
3-xx
6544
2
2
++++xxxx
32
++xx
62107
2
2
--+-xxxx
( )2325+times-xx
1833182
2
2
-+-xx
x ( )( )23
32-times-timesxx
1123
23
2
--+-+xxxxx ( )
( ) ( )113 3
1
-times+-timesxx
x
2354
3
23
+--+
xxxx
( ) ( )21552
+times-++xxxx
5654
3
23
+--+xx
xxx ( )55
2 -++timesxxxx
POLINOMIOS
19
Divisioacutendefraccionesalgebraicas
Para dividir dos fracciones algebraicas nos da como resultado otra fraccioacuten algebraica que se obtiene al multiplicar la primera fraccioacuten algebraica por la inversa de la segunda fraccioacuten algebraica
119875(119909)119876(119909)
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909)119876(119909) ∙
119878(119909)119877(119909) =
119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)
26) Efectuacutea las operaciones
a) 0MRU
+ 5MR5
b) UMRI
minus VMP5
c) P1MPU
+ WMP1
d) P1MRQ
minus SMPU
27) Opera y simplifica si es posible
a) UMOP1MP0
minus 5MP0
minus UMRU
b) U5MOR1MPI
minus UMPU
minus M5MRI
c) MR15MOPIMR0
+ 5MMP0
+ UMPU
d) MRU5MORIMPU0
+ MPIMP5
minus QMRV
28) Realiza las operaciones
a) 0MPU
∙ MR55
b) P1MPU
MP1M
c) MPI5MORMP1
∙ MOPU1MO
d) M5MORMRU
MO
5MPU
29) Efectuacutea las operaciones y simplifica su resultado
a) SM1MP1
∙ MOPU1MO
b) 5MPQMOP0
∙ MOP0MR0MOPQMRS
c) MP1M∙ M
OR1MMOPS
d) MRIMPI
∙ MOP5IMOR5I
30) Efectuacutea estas divisiones de fracciones algebraicas y simplifica su resultado
a) X UMP5
minus MP11199092minus4
Y ∙ MR5Mminus M
5
b) UMRU
+ 5MMOPU
minus UMPU
c)
d) MOP5MMOPIMRQ
∙ MOR0MR0MOP0M
e) MPUMOPU
MRUMOR5MRU
31) Realiza la siguiente operacioacuten simplificando el resultado
1356
2 +-+
xxx
POLINOMIOS
3
POLINOMIOS
EXPRESIONES POLINOacuteMICAS
MONOMIOS
Un monomio es una expresioacuten algebraica formada por el producto de un nuacutemero llamado coeficiente y una o varias letras elevadas a un nuacutemero natural que forman la parte literal del monomio
Las letras de la parte literal se llaman variables
El grado de un monomio es el exponente de la letra que forma la parte literal si solo hay una o la suma de los exponentes si hay maacutes de una
Monomiossemejantes
Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal
Ejemplo
POLINOMIOS
4
POLINOMIOS
Un polinomio es una expresioacuten algebraica formada por la suma o la resta de dos o maacutes monomios no semejantes Por ejemplo tenemos
Gradodeunpolinomio
El grado de un pol inomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x
Seguacuten su grado los polinomios pueden ser de
TIPO EJEMPLO PRIMER GRADO P(x)= 3x+2 SEGUNDO GRADO P(x)=2x 2 +3x+2 TERCER GRADO P(x)=x 3 -2x 2 +3x+2
TEN EN CUENTA LO SIGUIENTE
bull Cada uno de los monomios que forman un polinomio se denomina teacutermino y el que no tiene parte literal teacutermino independiente
bull Al mayor de los grados de los teacuterminos de un polinomio reducido se le llama grado del polinomio
8116)( 23 +--= xxxxP2832432)( 323 ++--= xxxxxQ
xxxR21366)( 3 -+=
POLINOMIOS
5
OPERACIONESCONPOLINOMIOS
Sumayrestadepolinomios
Para sumar (o restar) polinomios se agrupan los monomios del mismo grado y se suman (o restan) sus coeficientes
Ejemplo
Dado los polinomios
A(x) = 3x4 minus 5x3 + x + 7
B(x) = minus 8x3 minus 6x2 minus3x +3
Calcula
a) A(x) +B(x)
3x4 minus 5x3 + x + 7 minus 8x3 minus 6x2 minus3x + 3
3x4 minus 13x3 minus 6x2 minus 2x+10
b) A(x) ndash B(x)
Para ello calculamos el opuesto de B(x)
3x4 minus 5x3 + x + 7 8x3 + 6x2 +3x minus 3
3x4 + 3x3 + 6x2 + 4x + 4
POLINOMIOS
6
O tambieacuten de la forma
Para sumar polinomios hay que agrupar los monomios semejantes Asiacute
(4x3 + 5x minus 6) minus (3x3 minus 2x2 + 7x) + (6x3 + 4x2 minus x + 5) =
= 4x3 + 5x minus 6 minus 3x3 + 2x2 minus 7x + 6x3 + 4x2 minus x + 5 =
= (4x3 minus 3x3 + 6x3 ) + (2x2 + 4x2 ) + (5xminus 7x minus x) + (minus6 + 5) =
= 7x3 + 6x2 minus 3x minus 1
EJERCICIO MULTIPLICACIOacuteN DE POLINOMIOS
1) Dados los polinomios P(x) Q(x) y R(x) escritos maacutes abajo
Calcula
a) P(x) + Q(x)
b) P(x) minus Q(x)
c) P(x) + Q(x) minus R(x)
d) P(x) minus Q(x) minus R(x)
SOLUCIOacuteN
1x2xR(x)35xQ(x)89x4xP(x) 2333 +-=+=+-=
4x9xx3(x)(x)(x)d)10x9xx7(x)(x)(x)c)
5x9x(x)(x)b)11x9x9(x)(x)a)
23
23
3
3
+-+-=--
+-+=-+
+--=-
+-=+
RQPRQP
QPQP
POLINOMIOS
7
Multiplicacioacutendepolinomios
Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por todos los monomios del otro y despueacutes se suman los polinomios obtenidos
c) (2x3 minus 3x2 + 4x) (2x2 minus 3)
Tambieacuten se puede hacer de forma lineal
d) (2x2 + 5x minus6) (3x2 minus 2x minus 3) =
= 6x4 minus 4x3 + 6x2 + 15x3 minus10x2 + 15x minus 18x2 + 12x minus18=
= 6x4 + 11x3 minus 22x2 + 27x minus 18
POLINOMIOS
8
EJERCICIOS MULTIPLICACIOacuteN DE POLINOMIOS
2) Sabiendo que
119879(119909) = 2119909 + 3
3) Calcula las siguientes operaciones de polinomios
a)
b) 5119909 ∙ 119876(119909)
c)
d) 5119909 ∙ 119877(119909) minus 3 ∙ 119876(119909)
8116)( 23 +--= xxxxP
2832432)( 323 ++--= xxxxxQ
xxxR21366)( 3 -+=
32)( -= xxS
)()( xSxR times)()( xTxQ times
POLINOMIOS
9
DIVISIOacuteN DE POLINOMIOS
REGLADERUFFINI
Divisioacutendepolinomios
La divisioacuten de dos polinomios y tiene por objeto hallar dos polinomios de forma que se verifique la PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LA DIVISIOacuteN
DIVIDENDO = DIVISOR COCIENTE + RESTO
Si los grados de y son p y q respectivamente esta operacioacuten es posible cuando
Ejemplo
Se ordenan el dividendo y el divisor dejando un hueco en el lugar de todos los teacuterminos que faltan si el dividendo es incompleto
Se dividen los teacuterminos principales del dividendo y el divisor obteniendo el primer teacutermino del cociente
Se multiplica el divisor por el cociente y el resultado se le resta al dividendo
Se repite este proceso hasta llegar a un polinomio cuyo grado sea menor que el del divisor
41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1 119909 minus 2 minus41199090 + 81199091 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 111199091 minus 6119909 + 1 minus111199091
+ 221199095
221199095 minus 6119909 + 1 minus221199095 + 44119909 38119909 + 1 minus38119909 + 76
77
SOLUCIOacuteN
P(x)= 41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1
Q(x)= 119909 minus 2
C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)
R(x)= 77 (Resto)
( )xP ( )xQ ( ) ( )xRyxC
( ) ( ) ( ) ( )xRxCxQxP +times=
( )xP ( )xQ qp sup3
POLINOMIOS
10
RegladeRuffini
La divisioacuten estudiada anteriormente permite realizar cualquier divisioacuten de polinomios Pero si el divisor es un binomio de la forma hay una forma maacutes sencilla y raacutepida para realizarla que es lo se conoce como REGLA DE RUFFINI
Usando el ejemplo de la divisioacuten anterior calculamos la divisioacuten
(41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1) (119909 minus 2)
4 3 0 minus6 1 2 8 22 44 76 4 11 22 38 77
C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)
R(x)= 77 (Resto)
Ejemplo 2 entre
1 minus2 3 minus5 2 2 0 6 1 0 3 1
C(x)= 1199095 + 3 (Cociente)
R(x)= 1 (Resto)
Se colocan los coeficientes del dividendo de forma ordenada y decreciente antildeadiendo ceros si no es completo Se coloca el valor de del divisor
El primer coeficiente del cociente es el primero del dividendo
Se multiplica este por y se suma el producto al segundo teacutermino del dividendo Asiacute sucesivamente
Los coeficientes obtenidos con un grado menos que el dividendo constituyen el cociente de la divisioacuten El uacuteltimo teacutermino es el resto de la divisioacuten
Por tanto
y entonces
( )ax plusmn
532)( 23 -+-= xxxxp 2)( -= xxq
a
a
1)(3)( 2 =+= xrxxc532 23 -+- xxx )2( -= x 1)3( 2 ++times x
POLINOMIOS
11
EJERCICIOS DE RUFFINI
4) Efectuacutea las divisiones de x3 -5x2 + 6x ndash2 entre a) x + 2 b) x ndash 3
Escribe en cada caso la igualdad dividendo = divisor middot cociente + resto
5) Efectuacutea las divisiones de 3x4 ndashx2 +5x entre a) x ndash 2 b) x+1
Escribe en cada caso la igualdad dividendo = divisor middot cociente + resto
6) Aplica la regla de Ruffini y averigua cuaacuteles de las siguientes divisiones son exactas
(r=0)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
7) Halla el valor de m para que cada una de estas divisiones sea una divisioacuten exacta
a)
b)
c)
d) (21199095 + 119898119909 + 2) (119909 minus 2) =
8) En cada caso calcula el valor de m para que la divisioacuten tenga los restos que se te piden
a) R= 1
b) R= -2
c) R= 3
d) R= -1
9) Calcula el valor de m para que el polinomio 119875(119909) = 21199091 +1198981199095 + 5119909 + 2 sea divisible
por (x+1)
( ) =+-+ )3(104 4 xxx
( ) =+++ )8(48142 xxx
( ) =-- )1(34 xx
( ) =-+- )2(242 xxx
( ) =+-+ )4(12103 23 xxx
( ) =++ )1(4 xxx
( ) =++++ )4(48 23 xmxxx
( ) =-+-- )5(5102 23 xmxxx
( ) =---+ )2(432 234 xmxxx
( ) =+-+ )3(42 xmxx
( ) =-+- )1(5 23 xmxx
( ) =-+++ )3(125 24 xmxxx
( ) =+-+- )1(104 235 xmxxx
POLINOMIOS
12
TEOREMADELRESTO
Teoremadelresto
El valor numeacuterico de un polinomio P(x) para x=a coincide con el resto de la divisioacuten P(x)(x-a)
Demostracioacuten
Ejemplo Calcula el valor numeacuterico de los siguientes polinomios
a) 119875(119909) = 1199095 minus 5119909 + 6 en x=3
1 minus5 6 3 3 minus6 1 minus2 0
Por lo que P(3)=0
b) 119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5 en x= minus5
1 minus3 minus9 minus5 minus2 minus2 10 minus2
1 minus5 1 minus7
Por lo que P (minus2)=minus7
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) RaPRaCaaaPRxCaxxP =THORN+times-=THORN+times-=
POLINOMIOS
13
Raiacutecesocerosdeunpolinomio
Un nuacutemero a es una raiacutez del polinomio P(x) si P(a)=0
EJEMPLO
no es raiacutez del polinomio porque su resto es
es raiacutez de porque
Propiedadesdelasraiacutecesdeunpolinomio
- Las raiacuteces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del teacutermino independiente
- El nuacutemero de raiacuteces de un polinomio es menor o igual que su grado
10) Calcular el valor numeacuterico de los siguientes polinomios
a) en x=2 b) en x=ndash3 c) en x=1 x=0 d) +1 en x=ndash1 x=0 e) en x=2 f) en x=1 x=0
11) Calcula el valor de m en el polinomio P(x)= para que dicho polinomio
tenga como raiacutez x=2 despueacutes factoriza el polinomio resultante
12) Comprueba que el polinomio P(x)= no tiene raiacuteces enteras
13) Calcula en el polinomio P(x)= el valor de k sabiendo que el valor de P(x)
para x=1 es igual a 7
2=x 12)( 2 +-= xxxp 01)2( sup1=p
1=x 12)( 2 +-= xxxp 01121)1( 2 =+-=p
44)( 23 +--= xxxxP1623)( 34 ---= xxxxP666)( 23 -+-= xxxxPxxxxxP 99)( 234 +--=2045)( 23 --+= xxxxP124)( 25 +-+= xxxxP
424 +-mxx
291312 23 -+- xxx
kxx -- 62 2
POLINOMIOS
14
Descomposicioacutenfactorialdeunpolinomio
FACTORIZAR UN POLINOMIO es escribirlo como producto de polinomios de menor grado posible
Para ello es necesario obtener las raiacuteces de dicho polinomio puesto que dado
si es una raiacutez de es exacta
si a su vez es una raiacutez de
Observa que tambieacuten es una raiacutez de pues sustituyendo en se cumple que
porque
Se tiene entonces que
Este proceso puede continuar si tienen maacutes raiacuteces lo cual permite factorizar
Polinomioirreducible
Un polinomio es IRREDUCIBLE o PRIMO cuando no es posible descomponerlo como producto de polinomios de grado mayor o igual que 1
( )xP
a ( )xP THORN ( ) ( )axxP - THORN ( ) ( ) ( )xQaxxP times-=
b ( )xQ THORN ( ) ( ) ( )xCbxxQ times-=
b ( )xP ( ) ( ) ( )xQaxxP times-=
( ) ( ) ( ) 0=times-= bQabbP ( ) 0=bQ
( ) ( ) ( ) ( )xCbxaxxP times-times-=
( ) ( )xPoxC( )xP
POLINOMIOS
15
Ejemplo
Factoriza los siguientes polinomios
a) 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6
Las posibles soluciones enteras del polinomio son plusmn 1 plusmn 2 plusmn 3 plusmn 6
1 minus4 1 6
-1 minus1 5 minus6 1 minus5 6 0 3 3 minus6 1 minus2 0 2 2 1 0
Con lo que el polinomio factorizado es 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6 = (119909 + 1) ∙ (119909 minus 3) ∙ (119909 minus 2)
b) 119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5
Las posibles soluciones enteras del polinomio son plusmn 1 plusmn 2 plusmn 5
1 minus3 minus9 minus5 minus1 minus1 4 5
1 minus4 minus5 0 minus1 minus1 5
1 minus5 0 5 5 1 0
Con lo que el polinomio factorizado es
119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5 = (119909 + 1) ∙ (119909 + 1) ∙ (119909 minus 5) = (119909 + 1)5 ∙ (119909 minus 5)
POLINOMIOS
16
EJERCICIOS
14) Factoriza los siguientes polinomios
a) P(x) = 1199091 minus 51199095 + 7119909 minus 3
b) Q(x) = 1199095 minus 119909 minus 2
c) R(x) = 1199095 minus 5119909 + 6
d) T(x) = 1199090 minus 31199091 + 41199095 + 3119909 minus 5
e) A(x) = 1199090 minus 21199095 + 1
f) B(x) = 1199091 minus 1
g) C(x) = 1199090 + 1199091 minus 21199095 minus 119909 + 1
h) D(x)=1199091 minus 119909 minus 6
i) E(x)=1199090 minus 1199091 minus 71199095 + 13119909 minus 6
15) Factoriza los siguientes polinomios
a) P(x) = 1199090 minus 71199091 minus 61199095 + 72119909
b) P(x) = 1199090 minus 1199091 minus 251199095 + 25119909
c) P(x) = 1199090 + 1199091 minus 361199095 minus 36119909
d) P(x) = 1199090 minus 251199095
e) P(x) = 1199090 + 41199091 minus 51199095
f) P(x) = 1199090 minus 41199091 minus 121199095
g) D(x)=119909I + 21199090 minus 51199091 minus 61199095
16) Determinar las raiacuteces y factorizar el siguiente polinomio
119875(119909) = 1199090 minus 81199091 + 171199095 + 2119909 minus 24
17) Escribe un polinomio de grado 4 con soacutelo las raiacuteces 0 y 1 (dobles)
CONCLUSIONES
18) Dado el polinomio 119875(119909) = 1199091 + 1198861199095 + 119887119909 + 3 calcular el valor de a y b para que x=1
sea una raiacutez del polinomio y 17 sea el valor numeacuterico para x=2
19) Dados los polinomios
119875(119909) = 1199091 + 21199095 minus 119909 + 3
119876(119909) = 21199090 + 1199095 + 5119909 + 2
a) Calcula el valor numeacuterico del polinomio para x=2
b) Calcula la suma de los polinomios P(x) y Q(x)
20) Dado el polinomio 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6 calcula
a) Las raiacuteces del polinomio
b) El valor numeacuterico para 119909 = minus3
21) Dado el polinomio119875(119909) = 21199095 minus 119886119909 + 119887 calcula el valor de a y b para que cumpla las
siguientes condiciones
a) El 1 es raiacutez
b) El valor numeacuterico para x = 0 es 12
POLINOMIOS
17
FRACCIONESALGEBRAICAS
Fraccioacutenalgebraica
Una fraccioacuten algebraica L(M)N(M)
es una fraccioacuten que tiene por denominador un polinomio
EJEMPLOS
Fraccioacutenequivalente
es equivalente a
SIMPLIFICACIOacuteNDEFRACCIONESALGEBRAICAS
Para simplificar una fraccioacuten algebraica hay que descomponer factorialmente el numerador y el denominador y eliminar despueacutes los factores comunes de ambos
EJEMPLO
EJERCICIOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
22) Factoriza numerador y denominador y luego simplifica
a) b) c) d)
Sol a) 53 b) x2 c) d)
31
2 -+
xx
4583 2
+--
xxx
213x-
( )( )xBxA ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )xDxC
xBxAxCxBxDxA
xDxC
=Ucirctimes=timesUcirc
13
)2)(1()2)(3(
2365
23
23
++
=++++
=++++
xx
xxxxxx
xxxxxx
3+3x5+5x
6-2x3x-x2
1-xx+x
2
2
2x+x412x2
1-xx
1+2x6
POLINOMIOS
18
23) Descomponer en factores y simplificar
a) b) c) d)
e) f) g)MOPQMMRSMOPS
h)
Sol a) x-1 b) c) d) e) f) 1 g) h)
24) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas factorizando el numerador y
denominador
a) Sol
b) Sol
c) Sol
d) Sol
e) Sol
f) Sol
g) Sol
h) Sol
25) Resuelve
a) Simplifica la siguiente expresioacuten
1199091 minus 1199095 minus 8119909 + 121199091 + 21199095 minus 5119909 minus 6
OPERACIONESCONFRACCIONESALGEBRAICAS
Sumaorestadefraccionesalgebraicas
Para sumar o restar fracciones algebraicas se reducen a comuacuten denominador y se suman o se restan los numeradores
Productodefraccionesalgebraicas
El producto de fracciones algebraicas es otra fraccioacuten algebraica que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores
119875(119909)119876(119909) ∙
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909) ∙ 119877(119909)119876(119909) ∙ 119878(119909)
1+x1-x2
)1-(x1-x2
2
4-2x4-x2
4-x4+4x+x
2
2
16+8x+x16-x
2
2
4+4x+x2)+(x x
2 81-x9-x
4
2
1-x1+x
22+x
2-x2+x
4+x4-x
2+xx
3+x3-x
9+x12
5654
3
23
+--+xx
xxx ( )55
2 -++xx
xx
652
2
2
+--xxxx
3-xx
6544
2
2
++++xxxx
32
++xx
62107
2
2
--+-xxxx
( )2325+times-xx
1833182
2
2
-+-xx
x ( )( )23
32-times-timesxx
1123
23
2
--+-+xxxxx ( )
( ) ( )113 3
1
-times+-timesxx
x
2354
3
23
+--+
xxxx
( ) ( )21552
+times-++xxxx
5654
3
23
+--+xx
xxx ( )55
2 -++timesxxxx
POLINOMIOS
19
Divisioacutendefraccionesalgebraicas
Para dividir dos fracciones algebraicas nos da como resultado otra fraccioacuten algebraica que se obtiene al multiplicar la primera fraccioacuten algebraica por la inversa de la segunda fraccioacuten algebraica
119875(119909)119876(119909)
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909)119876(119909) ∙
119878(119909)119877(119909) =
119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)
26) Efectuacutea las operaciones
a) 0MRU
+ 5MR5
b) UMRI
minus VMP5
c) P1MPU
+ WMP1
d) P1MRQ
minus SMPU
27) Opera y simplifica si es posible
a) UMOP1MP0
minus 5MP0
minus UMRU
b) U5MOR1MPI
minus UMPU
minus M5MRI
c) MR15MOPIMR0
+ 5MMP0
+ UMPU
d) MRU5MORIMPU0
+ MPIMP5
minus QMRV
28) Realiza las operaciones
a) 0MPU
∙ MR55
b) P1MPU
MP1M
c) MPI5MORMP1
∙ MOPU1MO
d) M5MORMRU
MO
5MPU
29) Efectuacutea las operaciones y simplifica su resultado
a) SM1MP1
∙ MOPU1MO
b) 5MPQMOP0
∙ MOP0MR0MOPQMRS
c) MP1M∙ M
OR1MMOPS
d) MRIMPI
∙ MOP5IMOR5I
30) Efectuacutea estas divisiones de fracciones algebraicas y simplifica su resultado
a) X UMP5
minus MP11199092minus4
Y ∙ MR5Mminus M
5
b) UMRU
+ 5MMOPU
minus UMPU
c)
d) MOP5MMOPIMRQ
∙ MOR0MR0MOP0M
e) MPUMOPU
MRUMOR5MRU
31) Realiza la siguiente operacioacuten simplificando el resultado
1356
2 +-+
xxx
POLINOMIOS
4
POLINOMIOS
Un polinomio es una expresioacuten algebraica formada por la suma o la resta de dos o maacutes monomios no semejantes Por ejemplo tenemos
Gradodeunpolinomio
El grado de un pol inomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x
Seguacuten su grado los polinomios pueden ser de
TIPO EJEMPLO PRIMER GRADO P(x)= 3x+2 SEGUNDO GRADO P(x)=2x 2 +3x+2 TERCER GRADO P(x)=x 3 -2x 2 +3x+2
TEN EN CUENTA LO SIGUIENTE
bull Cada uno de los monomios que forman un polinomio se denomina teacutermino y el que no tiene parte literal teacutermino independiente
bull Al mayor de los grados de los teacuterminos de un polinomio reducido se le llama grado del polinomio
8116)( 23 +--= xxxxP2832432)( 323 ++--= xxxxxQ
xxxR21366)( 3 -+=
POLINOMIOS
5
OPERACIONESCONPOLINOMIOS
Sumayrestadepolinomios
Para sumar (o restar) polinomios se agrupan los monomios del mismo grado y se suman (o restan) sus coeficientes
Ejemplo
Dado los polinomios
A(x) = 3x4 minus 5x3 + x + 7
B(x) = minus 8x3 minus 6x2 minus3x +3
Calcula
a) A(x) +B(x)
3x4 minus 5x3 + x + 7 minus 8x3 minus 6x2 minus3x + 3
3x4 minus 13x3 minus 6x2 minus 2x+10
b) A(x) ndash B(x)
Para ello calculamos el opuesto de B(x)
3x4 minus 5x3 + x + 7 8x3 + 6x2 +3x minus 3
3x4 + 3x3 + 6x2 + 4x + 4
POLINOMIOS
6
O tambieacuten de la forma
Para sumar polinomios hay que agrupar los monomios semejantes Asiacute
(4x3 + 5x minus 6) minus (3x3 minus 2x2 + 7x) + (6x3 + 4x2 minus x + 5) =
= 4x3 + 5x minus 6 minus 3x3 + 2x2 minus 7x + 6x3 + 4x2 minus x + 5 =
= (4x3 minus 3x3 + 6x3 ) + (2x2 + 4x2 ) + (5xminus 7x minus x) + (minus6 + 5) =
= 7x3 + 6x2 minus 3x minus 1
EJERCICIO MULTIPLICACIOacuteN DE POLINOMIOS
1) Dados los polinomios P(x) Q(x) y R(x) escritos maacutes abajo
Calcula
a) P(x) + Q(x)
b) P(x) minus Q(x)
c) P(x) + Q(x) minus R(x)
d) P(x) minus Q(x) minus R(x)
SOLUCIOacuteN
1x2xR(x)35xQ(x)89x4xP(x) 2333 +-=+=+-=
4x9xx3(x)(x)(x)d)10x9xx7(x)(x)(x)c)
5x9x(x)(x)b)11x9x9(x)(x)a)
23
23
3
3
+-+-=--
+-+=-+
+--=-
+-=+
RQPRQP
QPQP
POLINOMIOS
7
Multiplicacioacutendepolinomios
Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por todos los monomios del otro y despueacutes se suman los polinomios obtenidos
c) (2x3 minus 3x2 + 4x) (2x2 minus 3)
Tambieacuten se puede hacer de forma lineal
d) (2x2 + 5x minus6) (3x2 minus 2x minus 3) =
= 6x4 minus 4x3 + 6x2 + 15x3 minus10x2 + 15x minus 18x2 + 12x minus18=
= 6x4 + 11x3 minus 22x2 + 27x minus 18
POLINOMIOS
8
EJERCICIOS MULTIPLICACIOacuteN DE POLINOMIOS
2) Sabiendo que
119879(119909) = 2119909 + 3
3) Calcula las siguientes operaciones de polinomios
a)
b) 5119909 ∙ 119876(119909)
c)
d) 5119909 ∙ 119877(119909) minus 3 ∙ 119876(119909)
8116)( 23 +--= xxxxP
2832432)( 323 ++--= xxxxxQ
xxxR21366)( 3 -+=
32)( -= xxS
)()( xSxR times)()( xTxQ times
POLINOMIOS
9
DIVISIOacuteN DE POLINOMIOS
REGLADERUFFINI
Divisioacutendepolinomios
La divisioacuten de dos polinomios y tiene por objeto hallar dos polinomios de forma que se verifique la PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LA DIVISIOacuteN
DIVIDENDO = DIVISOR COCIENTE + RESTO
Si los grados de y son p y q respectivamente esta operacioacuten es posible cuando
Ejemplo
Se ordenan el dividendo y el divisor dejando un hueco en el lugar de todos los teacuterminos que faltan si el dividendo es incompleto
Se dividen los teacuterminos principales del dividendo y el divisor obteniendo el primer teacutermino del cociente
Se multiplica el divisor por el cociente y el resultado se le resta al dividendo
Se repite este proceso hasta llegar a un polinomio cuyo grado sea menor que el del divisor
41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1 119909 minus 2 minus41199090 + 81199091 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 111199091 minus 6119909 + 1 minus111199091
+ 221199095
221199095 minus 6119909 + 1 minus221199095 + 44119909 38119909 + 1 minus38119909 + 76
77
SOLUCIOacuteN
P(x)= 41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1
Q(x)= 119909 minus 2
C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)
R(x)= 77 (Resto)
( )xP ( )xQ ( ) ( )xRyxC
( ) ( ) ( ) ( )xRxCxQxP +times=
( )xP ( )xQ qp sup3
POLINOMIOS
10
RegladeRuffini
La divisioacuten estudiada anteriormente permite realizar cualquier divisioacuten de polinomios Pero si el divisor es un binomio de la forma hay una forma maacutes sencilla y raacutepida para realizarla que es lo se conoce como REGLA DE RUFFINI
Usando el ejemplo de la divisioacuten anterior calculamos la divisioacuten
(41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1) (119909 minus 2)
4 3 0 minus6 1 2 8 22 44 76 4 11 22 38 77
C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)
R(x)= 77 (Resto)
Ejemplo 2 entre
1 minus2 3 minus5 2 2 0 6 1 0 3 1
C(x)= 1199095 + 3 (Cociente)
R(x)= 1 (Resto)
Se colocan los coeficientes del dividendo de forma ordenada y decreciente antildeadiendo ceros si no es completo Se coloca el valor de del divisor
El primer coeficiente del cociente es el primero del dividendo
Se multiplica este por y se suma el producto al segundo teacutermino del dividendo Asiacute sucesivamente
Los coeficientes obtenidos con un grado menos que el dividendo constituyen el cociente de la divisioacuten El uacuteltimo teacutermino es el resto de la divisioacuten
Por tanto
y entonces
( )ax plusmn
532)( 23 -+-= xxxxp 2)( -= xxq
a
a
1)(3)( 2 =+= xrxxc532 23 -+- xxx )2( -= x 1)3( 2 ++times x
POLINOMIOS
11
EJERCICIOS DE RUFFINI
4) Efectuacutea las divisiones de x3 -5x2 + 6x ndash2 entre a) x + 2 b) x ndash 3
Escribe en cada caso la igualdad dividendo = divisor middot cociente + resto
5) Efectuacutea las divisiones de 3x4 ndashx2 +5x entre a) x ndash 2 b) x+1
Escribe en cada caso la igualdad dividendo = divisor middot cociente + resto
6) Aplica la regla de Ruffini y averigua cuaacuteles de las siguientes divisiones son exactas
(r=0)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
7) Halla el valor de m para que cada una de estas divisiones sea una divisioacuten exacta
a)
b)
c)
d) (21199095 + 119898119909 + 2) (119909 minus 2) =
8) En cada caso calcula el valor de m para que la divisioacuten tenga los restos que se te piden
a) R= 1
b) R= -2
c) R= 3
d) R= -1
9) Calcula el valor de m para que el polinomio 119875(119909) = 21199091 +1198981199095 + 5119909 + 2 sea divisible
por (x+1)
( ) =+-+ )3(104 4 xxx
( ) =+++ )8(48142 xxx
( ) =-- )1(34 xx
( ) =-+- )2(242 xxx
( ) =+-+ )4(12103 23 xxx
( ) =++ )1(4 xxx
( ) =++++ )4(48 23 xmxxx
( ) =-+-- )5(5102 23 xmxxx
( ) =---+ )2(432 234 xmxxx
( ) =+-+ )3(42 xmxx
( ) =-+- )1(5 23 xmxx
( ) =-+++ )3(125 24 xmxxx
( ) =+-+- )1(104 235 xmxxx
POLINOMIOS
12
TEOREMADELRESTO
Teoremadelresto
El valor numeacuterico de un polinomio P(x) para x=a coincide con el resto de la divisioacuten P(x)(x-a)
Demostracioacuten
Ejemplo Calcula el valor numeacuterico de los siguientes polinomios
a) 119875(119909) = 1199095 minus 5119909 + 6 en x=3
1 minus5 6 3 3 minus6 1 minus2 0
Por lo que P(3)=0
b) 119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5 en x= minus5
1 minus3 minus9 minus5 minus2 minus2 10 minus2
1 minus5 1 minus7
Por lo que P (minus2)=minus7
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) RaPRaCaaaPRxCaxxP =THORN+times-=THORN+times-=
POLINOMIOS
13
Raiacutecesocerosdeunpolinomio
Un nuacutemero a es una raiacutez del polinomio P(x) si P(a)=0
EJEMPLO
no es raiacutez del polinomio porque su resto es
es raiacutez de porque
Propiedadesdelasraiacutecesdeunpolinomio
- Las raiacuteces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del teacutermino independiente
- El nuacutemero de raiacuteces de un polinomio es menor o igual que su grado
10) Calcular el valor numeacuterico de los siguientes polinomios
a) en x=2 b) en x=ndash3 c) en x=1 x=0 d) +1 en x=ndash1 x=0 e) en x=2 f) en x=1 x=0
11) Calcula el valor de m en el polinomio P(x)= para que dicho polinomio
tenga como raiacutez x=2 despueacutes factoriza el polinomio resultante
12) Comprueba que el polinomio P(x)= no tiene raiacuteces enteras
13) Calcula en el polinomio P(x)= el valor de k sabiendo que el valor de P(x)
para x=1 es igual a 7
2=x 12)( 2 +-= xxxp 01)2( sup1=p
1=x 12)( 2 +-= xxxp 01121)1( 2 =+-=p
44)( 23 +--= xxxxP1623)( 34 ---= xxxxP666)( 23 -+-= xxxxPxxxxxP 99)( 234 +--=2045)( 23 --+= xxxxP124)( 25 +-+= xxxxP
424 +-mxx
291312 23 -+- xxx
kxx -- 62 2
POLINOMIOS
14
Descomposicioacutenfactorialdeunpolinomio
FACTORIZAR UN POLINOMIO es escribirlo como producto de polinomios de menor grado posible
Para ello es necesario obtener las raiacuteces de dicho polinomio puesto que dado
si es una raiacutez de es exacta
si a su vez es una raiacutez de
Observa que tambieacuten es una raiacutez de pues sustituyendo en se cumple que
porque
Se tiene entonces que
Este proceso puede continuar si tienen maacutes raiacuteces lo cual permite factorizar
Polinomioirreducible
Un polinomio es IRREDUCIBLE o PRIMO cuando no es posible descomponerlo como producto de polinomios de grado mayor o igual que 1
( )xP
a ( )xP THORN ( ) ( )axxP - THORN ( ) ( ) ( )xQaxxP times-=
b ( )xQ THORN ( ) ( ) ( )xCbxxQ times-=
b ( )xP ( ) ( ) ( )xQaxxP times-=
( ) ( ) ( ) 0=times-= bQabbP ( ) 0=bQ
( ) ( ) ( ) ( )xCbxaxxP times-times-=
( ) ( )xPoxC( )xP
POLINOMIOS
15
Ejemplo
Factoriza los siguientes polinomios
a) 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6
Las posibles soluciones enteras del polinomio son plusmn 1 plusmn 2 plusmn 3 plusmn 6
1 minus4 1 6
-1 minus1 5 minus6 1 minus5 6 0 3 3 minus6 1 minus2 0 2 2 1 0
Con lo que el polinomio factorizado es 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6 = (119909 + 1) ∙ (119909 minus 3) ∙ (119909 minus 2)
b) 119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5
Las posibles soluciones enteras del polinomio son plusmn 1 plusmn 2 plusmn 5
1 minus3 minus9 minus5 minus1 minus1 4 5
1 minus4 minus5 0 minus1 minus1 5
1 minus5 0 5 5 1 0
Con lo que el polinomio factorizado es
119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5 = (119909 + 1) ∙ (119909 + 1) ∙ (119909 minus 5) = (119909 + 1)5 ∙ (119909 minus 5)
POLINOMIOS
16
EJERCICIOS
14) Factoriza los siguientes polinomios
a) P(x) = 1199091 minus 51199095 + 7119909 minus 3
b) Q(x) = 1199095 minus 119909 minus 2
c) R(x) = 1199095 minus 5119909 + 6
d) T(x) = 1199090 minus 31199091 + 41199095 + 3119909 minus 5
e) A(x) = 1199090 minus 21199095 + 1
f) B(x) = 1199091 minus 1
g) C(x) = 1199090 + 1199091 minus 21199095 minus 119909 + 1
h) D(x)=1199091 minus 119909 minus 6
i) E(x)=1199090 minus 1199091 minus 71199095 + 13119909 minus 6
15) Factoriza los siguientes polinomios
a) P(x) = 1199090 minus 71199091 minus 61199095 + 72119909
b) P(x) = 1199090 minus 1199091 minus 251199095 + 25119909
c) P(x) = 1199090 + 1199091 minus 361199095 minus 36119909
d) P(x) = 1199090 minus 251199095
e) P(x) = 1199090 + 41199091 minus 51199095
f) P(x) = 1199090 minus 41199091 minus 121199095
g) D(x)=119909I + 21199090 minus 51199091 minus 61199095
16) Determinar las raiacuteces y factorizar el siguiente polinomio
119875(119909) = 1199090 minus 81199091 + 171199095 + 2119909 minus 24
17) Escribe un polinomio de grado 4 con soacutelo las raiacuteces 0 y 1 (dobles)
CONCLUSIONES
18) Dado el polinomio 119875(119909) = 1199091 + 1198861199095 + 119887119909 + 3 calcular el valor de a y b para que x=1
sea una raiacutez del polinomio y 17 sea el valor numeacuterico para x=2
19) Dados los polinomios
119875(119909) = 1199091 + 21199095 minus 119909 + 3
119876(119909) = 21199090 + 1199095 + 5119909 + 2
a) Calcula el valor numeacuterico del polinomio para x=2
b) Calcula la suma de los polinomios P(x) y Q(x)
20) Dado el polinomio 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6 calcula
a) Las raiacuteces del polinomio
b) El valor numeacuterico para 119909 = minus3
21) Dado el polinomio119875(119909) = 21199095 minus 119886119909 + 119887 calcula el valor de a y b para que cumpla las
siguientes condiciones
a) El 1 es raiacutez
b) El valor numeacuterico para x = 0 es 12
POLINOMIOS
17
FRACCIONESALGEBRAICAS
Fraccioacutenalgebraica
Una fraccioacuten algebraica L(M)N(M)
es una fraccioacuten que tiene por denominador un polinomio
EJEMPLOS
Fraccioacutenequivalente
es equivalente a
SIMPLIFICACIOacuteNDEFRACCIONESALGEBRAICAS
Para simplificar una fraccioacuten algebraica hay que descomponer factorialmente el numerador y el denominador y eliminar despueacutes los factores comunes de ambos
EJEMPLO
EJERCICIOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
22) Factoriza numerador y denominador y luego simplifica
a) b) c) d)
Sol a) 53 b) x2 c) d)
31
2 -+
xx
4583 2
+--
xxx
213x-
( )( )xBxA ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )xDxC
xBxAxCxBxDxA
xDxC
=Ucirctimes=timesUcirc
13
)2)(1()2)(3(
2365
23
23
++
=++++
=++++
xx
xxxxxx
xxxxxx
3+3x5+5x
6-2x3x-x2
1-xx+x
2
2
2x+x412x2
1-xx
1+2x6
POLINOMIOS
18
23) Descomponer en factores y simplificar
a) b) c) d)
e) f) g)MOPQMMRSMOPS
h)
Sol a) x-1 b) c) d) e) f) 1 g) h)
24) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas factorizando el numerador y
denominador
a) Sol
b) Sol
c) Sol
d) Sol
e) Sol
f) Sol
g) Sol
h) Sol
25) Resuelve
a) Simplifica la siguiente expresioacuten
1199091 minus 1199095 minus 8119909 + 121199091 + 21199095 minus 5119909 minus 6
OPERACIONESCONFRACCIONESALGEBRAICAS
Sumaorestadefraccionesalgebraicas
Para sumar o restar fracciones algebraicas se reducen a comuacuten denominador y se suman o se restan los numeradores
Productodefraccionesalgebraicas
El producto de fracciones algebraicas es otra fraccioacuten algebraica que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores
119875(119909)119876(119909) ∙
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909) ∙ 119877(119909)119876(119909) ∙ 119878(119909)
1+x1-x2
)1-(x1-x2
2
4-2x4-x2
4-x4+4x+x
2
2
16+8x+x16-x
2
2
4+4x+x2)+(x x
2 81-x9-x
4
2
1-x1+x
22+x
2-x2+x
4+x4-x
2+xx
3+x3-x
9+x12
5654
3
23
+--+xx
xxx ( )55
2 -++xx
xx
652
2
2
+--xxxx
3-xx
6544
2
2
++++xxxx
32
++xx
62107
2
2
--+-xxxx
( )2325+times-xx
1833182
2
2
-+-xx
x ( )( )23
32-times-timesxx
1123
23
2
--+-+xxxxx ( )
( ) ( )113 3
1
-times+-timesxx
x
2354
3
23
+--+
xxxx
( ) ( )21552
+times-++xxxx
5654
3
23
+--+xx
xxx ( )55
2 -++timesxxxx
POLINOMIOS
19
Divisioacutendefraccionesalgebraicas
Para dividir dos fracciones algebraicas nos da como resultado otra fraccioacuten algebraica que se obtiene al multiplicar la primera fraccioacuten algebraica por la inversa de la segunda fraccioacuten algebraica
119875(119909)119876(119909)
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909)119876(119909) ∙
119878(119909)119877(119909) =
119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)
26) Efectuacutea las operaciones
a) 0MRU
+ 5MR5
b) UMRI
minus VMP5
c) P1MPU
+ WMP1
d) P1MRQ
minus SMPU
27) Opera y simplifica si es posible
a) UMOP1MP0
minus 5MP0
minus UMRU
b) U5MOR1MPI
minus UMPU
minus M5MRI
c) MR15MOPIMR0
+ 5MMP0
+ UMPU
d) MRU5MORIMPU0
+ MPIMP5
minus QMRV
28) Realiza las operaciones
a) 0MPU
∙ MR55
b) P1MPU
MP1M
c) MPI5MORMP1
∙ MOPU1MO
d) M5MORMRU
MO
5MPU
29) Efectuacutea las operaciones y simplifica su resultado
a) SM1MP1
∙ MOPU1MO
b) 5MPQMOP0
∙ MOP0MR0MOPQMRS
c) MP1M∙ M
OR1MMOPS
d) MRIMPI
∙ MOP5IMOR5I
30) Efectuacutea estas divisiones de fracciones algebraicas y simplifica su resultado
a) X UMP5
minus MP11199092minus4
Y ∙ MR5Mminus M
5
b) UMRU
+ 5MMOPU
minus UMPU
c)
d) MOP5MMOPIMRQ
∙ MOR0MR0MOP0M
e) MPUMOPU
MRUMOR5MRU
31) Realiza la siguiente operacioacuten simplificando el resultado
1356
2 +-+
xxx
POLINOMIOS
5
OPERACIONESCONPOLINOMIOS
Sumayrestadepolinomios
Para sumar (o restar) polinomios se agrupan los monomios del mismo grado y se suman (o restan) sus coeficientes
Ejemplo
Dado los polinomios
A(x) = 3x4 minus 5x3 + x + 7
B(x) = minus 8x3 minus 6x2 minus3x +3
Calcula
a) A(x) +B(x)
3x4 minus 5x3 + x + 7 minus 8x3 minus 6x2 minus3x + 3
3x4 minus 13x3 minus 6x2 minus 2x+10
b) A(x) ndash B(x)
Para ello calculamos el opuesto de B(x)
3x4 minus 5x3 + x + 7 8x3 + 6x2 +3x minus 3
3x4 + 3x3 + 6x2 + 4x + 4
POLINOMIOS
6
O tambieacuten de la forma
Para sumar polinomios hay que agrupar los monomios semejantes Asiacute
(4x3 + 5x minus 6) minus (3x3 minus 2x2 + 7x) + (6x3 + 4x2 minus x + 5) =
= 4x3 + 5x minus 6 minus 3x3 + 2x2 minus 7x + 6x3 + 4x2 minus x + 5 =
= (4x3 minus 3x3 + 6x3 ) + (2x2 + 4x2 ) + (5xminus 7x minus x) + (minus6 + 5) =
= 7x3 + 6x2 minus 3x minus 1
EJERCICIO MULTIPLICACIOacuteN DE POLINOMIOS
1) Dados los polinomios P(x) Q(x) y R(x) escritos maacutes abajo
Calcula
a) P(x) + Q(x)
b) P(x) minus Q(x)
c) P(x) + Q(x) minus R(x)
d) P(x) minus Q(x) minus R(x)
SOLUCIOacuteN
1x2xR(x)35xQ(x)89x4xP(x) 2333 +-=+=+-=
4x9xx3(x)(x)(x)d)10x9xx7(x)(x)(x)c)
5x9x(x)(x)b)11x9x9(x)(x)a)
23
23
3
3
+-+-=--
+-+=-+
+--=-
+-=+
RQPRQP
QPQP
POLINOMIOS
7
Multiplicacioacutendepolinomios
Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por todos los monomios del otro y despueacutes se suman los polinomios obtenidos
c) (2x3 minus 3x2 + 4x) (2x2 minus 3)
Tambieacuten se puede hacer de forma lineal
d) (2x2 + 5x minus6) (3x2 minus 2x minus 3) =
= 6x4 minus 4x3 + 6x2 + 15x3 minus10x2 + 15x minus 18x2 + 12x minus18=
= 6x4 + 11x3 minus 22x2 + 27x minus 18
POLINOMIOS
8
EJERCICIOS MULTIPLICACIOacuteN DE POLINOMIOS
2) Sabiendo que
119879(119909) = 2119909 + 3
3) Calcula las siguientes operaciones de polinomios
a)
b) 5119909 ∙ 119876(119909)
c)
d) 5119909 ∙ 119877(119909) minus 3 ∙ 119876(119909)
8116)( 23 +--= xxxxP
2832432)( 323 ++--= xxxxxQ
xxxR21366)( 3 -+=
32)( -= xxS
)()( xSxR times)()( xTxQ times
POLINOMIOS
9
DIVISIOacuteN DE POLINOMIOS
REGLADERUFFINI
Divisioacutendepolinomios
La divisioacuten de dos polinomios y tiene por objeto hallar dos polinomios de forma que se verifique la PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LA DIVISIOacuteN
DIVIDENDO = DIVISOR COCIENTE + RESTO
Si los grados de y son p y q respectivamente esta operacioacuten es posible cuando
Ejemplo
Se ordenan el dividendo y el divisor dejando un hueco en el lugar de todos los teacuterminos que faltan si el dividendo es incompleto
Se dividen los teacuterminos principales del dividendo y el divisor obteniendo el primer teacutermino del cociente
Se multiplica el divisor por el cociente y el resultado se le resta al dividendo
Se repite este proceso hasta llegar a un polinomio cuyo grado sea menor que el del divisor
41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1 119909 minus 2 minus41199090 + 81199091 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 111199091 minus 6119909 + 1 minus111199091
+ 221199095
221199095 minus 6119909 + 1 minus221199095 + 44119909 38119909 + 1 minus38119909 + 76
77
SOLUCIOacuteN
P(x)= 41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1
Q(x)= 119909 minus 2
C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)
R(x)= 77 (Resto)
( )xP ( )xQ ( ) ( )xRyxC
( ) ( ) ( ) ( )xRxCxQxP +times=
( )xP ( )xQ qp sup3
POLINOMIOS
10
RegladeRuffini
La divisioacuten estudiada anteriormente permite realizar cualquier divisioacuten de polinomios Pero si el divisor es un binomio de la forma hay una forma maacutes sencilla y raacutepida para realizarla que es lo se conoce como REGLA DE RUFFINI
Usando el ejemplo de la divisioacuten anterior calculamos la divisioacuten
(41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1) (119909 minus 2)
4 3 0 minus6 1 2 8 22 44 76 4 11 22 38 77
C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)
R(x)= 77 (Resto)
Ejemplo 2 entre
1 minus2 3 minus5 2 2 0 6 1 0 3 1
C(x)= 1199095 + 3 (Cociente)
R(x)= 1 (Resto)
Se colocan los coeficientes del dividendo de forma ordenada y decreciente antildeadiendo ceros si no es completo Se coloca el valor de del divisor
El primer coeficiente del cociente es el primero del dividendo
Se multiplica este por y se suma el producto al segundo teacutermino del dividendo Asiacute sucesivamente
Los coeficientes obtenidos con un grado menos que el dividendo constituyen el cociente de la divisioacuten El uacuteltimo teacutermino es el resto de la divisioacuten
Por tanto
y entonces
( )ax plusmn
532)( 23 -+-= xxxxp 2)( -= xxq
a
a
1)(3)( 2 =+= xrxxc532 23 -+- xxx )2( -= x 1)3( 2 ++times x
POLINOMIOS
11
EJERCICIOS DE RUFFINI
4) Efectuacutea las divisiones de x3 -5x2 + 6x ndash2 entre a) x + 2 b) x ndash 3
Escribe en cada caso la igualdad dividendo = divisor middot cociente + resto
5) Efectuacutea las divisiones de 3x4 ndashx2 +5x entre a) x ndash 2 b) x+1
Escribe en cada caso la igualdad dividendo = divisor middot cociente + resto
6) Aplica la regla de Ruffini y averigua cuaacuteles de las siguientes divisiones son exactas
(r=0)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
7) Halla el valor de m para que cada una de estas divisiones sea una divisioacuten exacta
a)
b)
c)
d) (21199095 + 119898119909 + 2) (119909 minus 2) =
8) En cada caso calcula el valor de m para que la divisioacuten tenga los restos que se te piden
a) R= 1
b) R= -2
c) R= 3
d) R= -1
9) Calcula el valor de m para que el polinomio 119875(119909) = 21199091 +1198981199095 + 5119909 + 2 sea divisible
por (x+1)
( ) =+-+ )3(104 4 xxx
( ) =+++ )8(48142 xxx
( ) =-- )1(34 xx
( ) =-+- )2(242 xxx
( ) =+-+ )4(12103 23 xxx
( ) =++ )1(4 xxx
( ) =++++ )4(48 23 xmxxx
( ) =-+-- )5(5102 23 xmxxx
( ) =---+ )2(432 234 xmxxx
( ) =+-+ )3(42 xmxx
( ) =-+- )1(5 23 xmxx
( ) =-+++ )3(125 24 xmxxx
( ) =+-+- )1(104 235 xmxxx
POLINOMIOS
12
TEOREMADELRESTO
Teoremadelresto
El valor numeacuterico de un polinomio P(x) para x=a coincide con el resto de la divisioacuten P(x)(x-a)
Demostracioacuten
Ejemplo Calcula el valor numeacuterico de los siguientes polinomios
a) 119875(119909) = 1199095 minus 5119909 + 6 en x=3
1 minus5 6 3 3 minus6 1 minus2 0
Por lo que P(3)=0
b) 119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5 en x= minus5
1 minus3 minus9 minus5 minus2 minus2 10 minus2
1 minus5 1 minus7
Por lo que P (minus2)=minus7
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) RaPRaCaaaPRxCaxxP =THORN+times-=THORN+times-=
POLINOMIOS
13
Raiacutecesocerosdeunpolinomio
Un nuacutemero a es una raiacutez del polinomio P(x) si P(a)=0
EJEMPLO
no es raiacutez del polinomio porque su resto es
es raiacutez de porque
Propiedadesdelasraiacutecesdeunpolinomio
- Las raiacuteces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del teacutermino independiente
- El nuacutemero de raiacuteces de un polinomio es menor o igual que su grado
10) Calcular el valor numeacuterico de los siguientes polinomios
a) en x=2 b) en x=ndash3 c) en x=1 x=0 d) +1 en x=ndash1 x=0 e) en x=2 f) en x=1 x=0
11) Calcula el valor de m en el polinomio P(x)= para que dicho polinomio
tenga como raiacutez x=2 despueacutes factoriza el polinomio resultante
12) Comprueba que el polinomio P(x)= no tiene raiacuteces enteras
13) Calcula en el polinomio P(x)= el valor de k sabiendo que el valor de P(x)
para x=1 es igual a 7
2=x 12)( 2 +-= xxxp 01)2( sup1=p
1=x 12)( 2 +-= xxxp 01121)1( 2 =+-=p
44)( 23 +--= xxxxP1623)( 34 ---= xxxxP666)( 23 -+-= xxxxPxxxxxP 99)( 234 +--=2045)( 23 --+= xxxxP124)( 25 +-+= xxxxP
424 +-mxx
291312 23 -+- xxx
kxx -- 62 2
POLINOMIOS
14
Descomposicioacutenfactorialdeunpolinomio
FACTORIZAR UN POLINOMIO es escribirlo como producto de polinomios de menor grado posible
Para ello es necesario obtener las raiacuteces de dicho polinomio puesto que dado
si es una raiacutez de es exacta
si a su vez es una raiacutez de
Observa que tambieacuten es una raiacutez de pues sustituyendo en se cumple que
porque
Se tiene entonces que
Este proceso puede continuar si tienen maacutes raiacuteces lo cual permite factorizar
Polinomioirreducible
Un polinomio es IRREDUCIBLE o PRIMO cuando no es posible descomponerlo como producto de polinomios de grado mayor o igual que 1
( )xP
a ( )xP THORN ( ) ( )axxP - THORN ( ) ( ) ( )xQaxxP times-=
b ( )xQ THORN ( ) ( ) ( )xCbxxQ times-=
b ( )xP ( ) ( ) ( )xQaxxP times-=
( ) ( ) ( ) 0=times-= bQabbP ( ) 0=bQ
( ) ( ) ( ) ( )xCbxaxxP times-times-=
( ) ( )xPoxC( )xP
POLINOMIOS
15
Ejemplo
Factoriza los siguientes polinomios
a) 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6
Las posibles soluciones enteras del polinomio son plusmn 1 plusmn 2 plusmn 3 plusmn 6
1 minus4 1 6
-1 minus1 5 minus6 1 minus5 6 0 3 3 minus6 1 minus2 0 2 2 1 0
Con lo que el polinomio factorizado es 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6 = (119909 + 1) ∙ (119909 minus 3) ∙ (119909 minus 2)
b) 119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5
Las posibles soluciones enteras del polinomio son plusmn 1 plusmn 2 plusmn 5
1 minus3 minus9 minus5 minus1 minus1 4 5
1 minus4 minus5 0 minus1 minus1 5
1 minus5 0 5 5 1 0
Con lo que el polinomio factorizado es
119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5 = (119909 + 1) ∙ (119909 + 1) ∙ (119909 minus 5) = (119909 + 1)5 ∙ (119909 minus 5)
POLINOMIOS
16
EJERCICIOS
14) Factoriza los siguientes polinomios
a) P(x) = 1199091 minus 51199095 + 7119909 minus 3
b) Q(x) = 1199095 minus 119909 minus 2
c) R(x) = 1199095 minus 5119909 + 6
d) T(x) = 1199090 minus 31199091 + 41199095 + 3119909 minus 5
e) A(x) = 1199090 minus 21199095 + 1
f) B(x) = 1199091 minus 1
g) C(x) = 1199090 + 1199091 minus 21199095 minus 119909 + 1
h) D(x)=1199091 minus 119909 minus 6
i) E(x)=1199090 minus 1199091 minus 71199095 + 13119909 minus 6
15) Factoriza los siguientes polinomios
a) P(x) = 1199090 minus 71199091 minus 61199095 + 72119909
b) P(x) = 1199090 minus 1199091 minus 251199095 + 25119909
c) P(x) = 1199090 + 1199091 minus 361199095 minus 36119909
d) P(x) = 1199090 minus 251199095
e) P(x) = 1199090 + 41199091 minus 51199095
f) P(x) = 1199090 minus 41199091 minus 121199095
g) D(x)=119909I + 21199090 minus 51199091 minus 61199095
16) Determinar las raiacuteces y factorizar el siguiente polinomio
119875(119909) = 1199090 minus 81199091 + 171199095 + 2119909 minus 24
17) Escribe un polinomio de grado 4 con soacutelo las raiacuteces 0 y 1 (dobles)
CONCLUSIONES
18) Dado el polinomio 119875(119909) = 1199091 + 1198861199095 + 119887119909 + 3 calcular el valor de a y b para que x=1
sea una raiacutez del polinomio y 17 sea el valor numeacuterico para x=2
19) Dados los polinomios
119875(119909) = 1199091 + 21199095 minus 119909 + 3
119876(119909) = 21199090 + 1199095 + 5119909 + 2
a) Calcula el valor numeacuterico del polinomio para x=2
b) Calcula la suma de los polinomios P(x) y Q(x)
20) Dado el polinomio 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6 calcula
a) Las raiacuteces del polinomio
b) El valor numeacuterico para 119909 = minus3
21) Dado el polinomio119875(119909) = 21199095 minus 119886119909 + 119887 calcula el valor de a y b para que cumpla las
siguientes condiciones
a) El 1 es raiacutez
b) El valor numeacuterico para x = 0 es 12
POLINOMIOS
17
FRACCIONESALGEBRAICAS
Fraccioacutenalgebraica
Una fraccioacuten algebraica L(M)N(M)
es una fraccioacuten que tiene por denominador un polinomio
EJEMPLOS
Fraccioacutenequivalente
es equivalente a
SIMPLIFICACIOacuteNDEFRACCIONESALGEBRAICAS
Para simplificar una fraccioacuten algebraica hay que descomponer factorialmente el numerador y el denominador y eliminar despueacutes los factores comunes de ambos
EJEMPLO
EJERCICIOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
22) Factoriza numerador y denominador y luego simplifica
a) b) c) d)
Sol a) 53 b) x2 c) d)
31
2 -+
xx
4583 2
+--
xxx
213x-
( )( )xBxA ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )xDxC
xBxAxCxBxDxA
xDxC
=Ucirctimes=timesUcirc
13
)2)(1()2)(3(
2365
23
23
++
=++++
=++++
xx
xxxxxx
xxxxxx
3+3x5+5x
6-2x3x-x2
1-xx+x
2
2
2x+x412x2
1-xx
1+2x6
POLINOMIOS
18
23) Descomponer en factores y simplificar
a) b) c) d)
e) f) g)MOPQMMRSMOPS
h)
Sol a) x-1 b) c) d) e) f) 1 g) h)
24) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas factorizando el numerador y
denominador
a) Sol
b) Sol
c) Sol
d) Sol
e) Sol
f) Sol
g) Sol
h) Sol
25) Resuelve
a) Simplifica la siguiente expresioacuten
1199091 minus 1199095 minus 8119909 + 121199091 + 21199095 minus 5119909 minus 6
OPERACIONESCONFRACCIONESALGEBRAICAS
Sumaorestadefraccionesalgebraicas
Para sumar o restar fracciones algebraicas se reducen a comuacuten denominador y se suman o se restan los numeradores
Productodefraccionesalgebraicas
El producto de fracciones algebraicas es otra fraccioacuten algebraica que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores
119875(119909)119876(119909) ∙
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909) ∙ 119877(119909)119876(119909) ∙ 119878(119909)
1+x1-x2
)1-(x1-x2
2
4-2x4-x2
4-x4+4x+x
2
2
16+8x+x16-x
2
2
4+4x+x2)+(x x
2 81-x9-x
4
2
1-x1+x
22+x
2-x2+x
4+x4-x
2+xx
3+x3-x
9+x12
5654
3
23
+--+xx
xxx ( )55
2 -++xx
xx
652
2
2
+--xxxx
3-xx
6544
2
2
++++xxxx
32
++xx
62107
2
2
--+-xxxx
( )2325+times-xx
1833182
2
2
-+-xx
x ( )( )23
32-times-timesxx
1123
23
2
--+-+xxxxx ( )
( ) ( )113 3
1
-times+-timesxx
x
2354
3
23
+--+
xxxx
( ) ( )21552
+times-++xxxx
5654
3
23
+--+xx
xxx ( )55
2 -++timesxxxx
POLINOMIOS
19
Divisioacutendefraccionesalgebraicas
Para dividir dos fracciones algebraicas nos da como resultado otra fraccioacuten algebraica que se obtiene al multiplicar la primera fraccioacuten algebraica por la inversa de la segunda fraccioacuten algebraica
119875(119909)119876(119909)
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909)119876(119909) ∙
119878(119909)119877(119909) =
119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)
26) Efectuacutea las operaciones
a) 0MRU
+ 5MR5
b) UMRI
minus VMP5
c) P1MPU
+ WMP1
d) P1MRQ
minus SMPU
27) Opera y simplifica si es posible
a) UMOP1MP0
minus 5MP0
minus UMRU
b) U5MOR1MPI
minus UMPU
minus M5MRI
c) MR15MOPIMR0
+ 5MMP0
+ UMPU
d) MRU5MORIMPU0
+ MPIMP5
minus QMRV
28) Realiza las operaciones
a) 0MPU
∙ MR55
b) P1MPU
MP1M
c) MPI5MORMP1
∙ MOPU1MO
d) M5MORMRU
MO
5MPU
29) Efectuacutea las operaciones y simplifica su resultado
a) SM1MP1
∙ MOPU1MO
b) 5MPQMOP0
∙ MOP0MR0MOPQMRS
c) MP1M∙ M
OR1MMOPS
d) MRIMPI
∙ MOP5IMOR5I
30) Efectuacutea estas divisiones de fracciones algebraicas y simplifica su resultado
a) X UMP5
minus MP11199092minus4
Y ∙ MR5Mminus M
5
b) UMRU
+ 5MMOPU
minus UMPU
c)
d) MOP5MMOPIMRQ
∙ MOR0MR0MOP0M
e) MPUMOPU
MRUMOR5MRU
31) Realiza la siguiente operacioacuten simplificando el resultado
1356
2 +-+
xxx
POLINOMIOS
6
O tambieacuten de la forma
Para sumar polinomios hay que agrupar los monomios semejantes Asiacute
(4x3 + 5x minus 6) minus (3x3 minus 2x2 + 7x) + (6x3 + 4x2 minus x + 5) =
= 4x3 + 5x minus 6 minus 3x3 + 2x2 minus 7x + 6x3 + 4x2 minus x + 5 =
= (4x3 minus 3x3 + 6x3 ) + (2x2 + 4x2 ) + (5xminus 7x minus x) + (minus6 + 5) =
= 7x3 + 6x2 minus 3x minus 1
EJERCICIO MULTIPLICACIOacuteN DE POLINOMIOS
1) Dados los polinomios P(x) Q(x) y R(x) escritos maacutes abajo
Calcula
a) P(x) + Q(x)
b) P(x) minus Q(x)
c) P(x) + Q(x) minus R(x)
d) P(x) minus Q(x) minus R(x)
SOLUCIOacuteN
1x2xR(x)35xQ(x)89x4xP(x) 2333 +-=+=+-=
4x9xx3(x)(x)(x)d)10x9xx7(x)(x)(x)c)
5x9x(x)(x)b)11x9x9(x)(x)a)
23
23
3
3
+-+-=--
+-+=-+
+--=-
+-=+
RQPRQP
QPQP
POLINOMIOS
7
Multiplicacioacutendepolinomios
Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por todos los monomios del otro y despueacutes se suman los polinomios obtenidos
c) (2x3 minus 3x2 + 4x) (2x2 minus 3)
Tambieacuten se puede hacer de forma lineal
d) (2x2 + 5x minus6) (3x2 minus 2x minus 3) =
= 6x4 minus 4x3 + 6x2 + 15x3 minus10x2 + 15x minus 18x2 + 12x minus18=
= 6x4 + 11x3 minus 22x2 + 27x minus 18
POLINOMIOS
8
EJERCICIOS MULTIPLICACIOacuteN DE POLINOMIOS
2) Sabiendo que
119879(119909) = 2119909 + 3
3) Calcula las siguientes operaciones de polinomios
a)
b) 5119909 ∙ 119876(119909)
c)
d) 5119909 ∙ 119877(119909) minus 3 ∙ 119876(119909)
8116)( 23 +--= xxxxP
2832432)( 323 ++--= xxxxxQ
xxxR21366)( 3 -+=
32)( -= xxS
)()( xSxR times)()( xTxQ times
POLINOMIOS
9
DIVISIOacuteN DE POLINOMIOS
REGLADERUFFINI
Divisioacutendepolinomios
La divisioacuten de dos polinomios y tiene por objeto hallar dos polinomios de forma que se verifique la PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LA DIVISIOacuteN
DIVIDENDO = DIVISOR COCIENTE + RESTO
Si los grados de y son p y q respectivamente esta operacioacuten es posible cuando
Ejemplo
Se ordenan el dividendo y el divisor dejando un hueco en el lugar de todos los teacuterminos que faltan si el dividendo es incompleto
Se dividen los teacuterminos principales del dividendo y el divisor obteniendo el primer teacutermino del cociente
Se multiplica el divisor por el cociente y el resultado se le resta al dividendo
Se repite este proceso hasta llegar a un polinomio cuyo grado sea menor que el del divisor
41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1 119909 minus 2 minus41199090 + 81199091 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 111199091 minus 6119909 + 1 minus111199091
+ 221199095
221199095 minus 6119909 + 1 minus221199095 + 44119909 38119909 + 1 minus38119909 + 76
77
SOLUCIOacuteN
P(x)= 41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1
Q(x)= 119909 minus 2
C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)
R(x)= 77 (Resto)
( )xP ( )xQ ( ) ( )xRyxC
( ) ( ) ( ) ( )xRxCxQxP +times=
( )xP ( )xQ qp sup3
POLINOMIOS
10
RegladeRuffini
La divisioacuten estudiada anteriormente permite realizar cualquier divisioacuten de polinomios Pero si el divisor es un binomio de la forma hay una forma maacutes sencilla y raacutepida para realizarla que es lo se conoce como REGLA DE RUFFINI
Usando el ejemplo de la divisioacuten anterior calculamos la divisioacuten
(41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1) (119909 minus 2)
4 3 0 minus6 1 2 8 22 44 76 4 11 22 38 77
C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)
R(x)= 77 (Resto)
Ejemplo 2 entre
1 minus2 3 minus5 2 2 0 6 1 0 3 1
C(x)= 1199095 + 3 (Cociente)
R(x)= 1 (Resto)
Se colocan los coeficientes del dividendo de forma ordenada y decreciente antildeadiendo ceros si no es completo Se coloca el valor de del divisor
El primer coeficiente del cociente es el primero del dividendo
Se multiplica este por y se suma el producto al segundo teacutermino del dividendo Asiacute sucesivamente
Los coeficientes obtenidos con un grado menos que el dividendo constituyen el cociente de la divisioacuten El uacuteltimo teacutermino es el resto de la divisioacuten
Por tanto
y entonces
( )ax plusmn
532)( 23 -+-= xxxxp 2)( -= xxq
a
a
1)(3)( 2 =+= xrxxc532 23 -+- xxx )2( -= x 1)3( 2 ++times x
POLINOMIOS
11
EJERCICIOS DE RUFFINI
4) Efectuacutea las divisiones de x3 -5x2 + 6x ndash2 entre a) x + 2 b) x ndash 3
Escribe en cada caso la igualdad dividendo = divisor middot cociente + resto
5) Efectuacutea las divisiones de 3x4 ndashx2 +5x entre a) x ndash 2 b) x+1
Escribe en cada caso la igualdad dividendo = divisor middot cociente + resto
6) Aplica la regla de Ruffini y averigua cuaacuteles de las siguientes divisiones son exactas
(r=0)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
7) Halla el valor de m para que cada una de estas divisiones sea una divisioacuten exacta
a)
b)
c)
d) (21199095 + 119898119909 + 2) (119909 minus 2) =
8) En cada caso calcula el valor de m para que la divisioacuten tenga los restos que se te piden
a) R= 1
b) R= -2
c) R= 3
d) R= -1
9) Calcula el valor de m para que el polinomio 119875(119909) = 21199091 +1198981199095 + 5119909 + 2 sea divisible
por (x+1)
( ) =+-+ )3(104 4 xxx
( ) =+++ )8(48142 xxx
( ) =-- )1(34 xx
( ) =-+- )2(242 xxx
( ) =+-+ )4(12103 23 xxx
( ) =++ )1(4 xxx
( ) =++++ )4(48 23 xmxxx
( ) =-+-- )5(5102 23 xmxxx
( ) =---+ )2(432 234 xmxxx
( ) =+-+ )3(42 xmxx
( ) =-+- )1(5 23 xmxx
( ) =-+++ )3(125 24 xmxxx
( ) =+-+- )1(104 235 xmxxx
POLINOMIOS
12
TEOREMADELRESTO
Teoremadelresto
El valor numeacuterico de un polinomio P(x) para x=a coincide con el resto de la divisioacuten P(x)(x-a)
Demostracioacuten
Ejemplo Calcula el valor numeacuterico de los siguientes polinomios
a) 119875(119909) = 1199095 minus 5119909 + 6 en x=3
1 minus5 6 3 3 minus6 1 minus2 0
Por lo que P(3)=0
b) 119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5 en x= minus5
1 minus3 minus9 minus5 minus2 minus2 10 minus2
1 minus5 1 minus7
Por lo que P (minus2)=minus7
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) RaPRaCaaaPRxCaxxP =THORN+times-=THORN+times-=
POLINOMIOS
13
Raiacutecesocerosdeunpolinomio
Un nuacutemero a es una raiacutez del polinomio P(x) si P(a)=0
EJEMPLO
no es raiacutez del polinomio porque su resto es
es raiacutez de porque
Propiedadesdelasraiacutecesdeunpolinomio
- Las raiacuteces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del teacutermino independiente
- El nuacutemero de raiacuteces de un polinomio es menor o igual que su grado
10) Calcular el valor numeacuterico de los siguientes polinomios
a) en x=2 b) en x=ndash3 c) en x=1 x=0 d) +1 en x=ndash1 x=0 e) en x=2 f) en x=1 x=0
11) Calcula el valor de m en el polinomio P(x)= para que dicho polinomio
tenga como raiacutez x=2 despueacutes factoriza el polinomio resultante
12) Comprueba que el polinomio P(x)= no tiene raiacuteces enteras
13) Calcula en el polinomio P(x)= el valor de k sabiendo que el valor de P(x)
para x=1 es igual a 7
2=x 12)( 2 +-= xxxp 01)2( sup1=p
1=x 12)( 2 +-= xxxp 01121)1( 2 =+-=p
44)( 23 +--= xxxxP1623)( 34 ---= xxxxP666)( 23 -+-= xxxxPxxxxxP 99)( 234 +--=2045)( 23 --+= xxxxP124)( 25 +-+= xxxxP
424 +-mxx
291312 23 -+- xxx
kxx -- 62 2
POLINOMIOS
14
Descomposicioacutenfactorialdeunpolinomio
FACTORIZAR UN POLINOMIO es escribirlo como producto de polinomios de menor grado posible
Para ello es necesario obtener las raiacuteces de dicho polinomio puesto que dado
si es una raiacutez de es exacta
si a su vez es una raiacutez de
Observa que tambieacuten es una raiacutez de pues sustituyendo en se cumple que
porque
Se tiene entonces que
Este proceso puede continuar si tienen maacutes raiacuteces lo cual permite factorizar
Polinomioirreducible
Un polinomio es IRREDUCIBLE o PRIMO cuando no es posible descomponerlo como producto de polinomios de grado mayor o igual que 1
( )xP
a ( )xP THORN ( ) ( )axxP - THORN ( ) ( ) ( )xQaxxP times-=
b ( )xQ THORN ( ) ( ) ( )xCbxxQ times-=
b ( )xP ( ) ( ) ( )xQaxxP times-=
( ) ( ) ( ) 0=times-= bQabbP ( ) 0=bQ
( ) ( ) ( ) ( )xCbxaxxP times-times-=
( ) ( )xPoxC( )xP
POLINOMIOS
15
Ejemplo
Factoriza los siguientes polinomios
a) 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6
Las posibles soluciones enteras del polinomio son plusmn 1 plusmn 2 plusmn 3 plusmn 6
1 minus4 1 6
-1 minus1 5 minus6 1 minus5 6 0 3 3 minus6 1 minus2 0 2 2 1 0
Con lo que el polinomio factorizado es 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6 = (119909 + 1) ∙ (119909 minus 3) ∙ (119909 minus 2)
b) 119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5
Las posibles soluciones enteras del polinomio son plusmn 1 plusmn 2 plusmn 5
1 minus3 minus9 minus5 minus1 minus1 4 5
1 minus4 minus5 0 minus1 minus1 5
1 minus5 0 5 5 1 0
Con lo que el polinomio factorizado es
119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5 = (119909 + 1) ∙ (119909 + 1) ∙ (119909 minus 5) = (119909 + 1)5 ∙ (119909 minus 5)
POLINOMIOS
16
EJERCICIOS
14) Factoriza los siguientes polinomios
a) P(x) = 1199091 minus 51199095 + 7119909 minus 3
b) Q(x) = 1199095 minus 119909 minus 2
c) R(x) = 1199095 minus 5119909 + 6
d) T(x) = 1199090 minus 31199091 + 41199095 + 3119909 minus 5
e) A(x) = 1199090 minus 21199095 + 1
f) B(x) = 1199091 minus 1
g) C(x) = 1199090 + 1199091 minus 21199095 minus 119909 + 1
h) D(x)=1199091 minus 119909 minus 6
i) E(x)=1199090 minus 1199091 minus 71199095 + 13119909 minus 6
15) Factoriza los siguientes polinomios
a) P(x) = 1199090 minus 71199091 minus 61199095 + 72119909
b) P(x) = 1199090 minus 1199091 minus 251199095 + 25119909
c) P(x) = 1199090 + 1199091 minus 361199095 minus 36119909
d) P(x) = 1199090 minus 251199095
e) P(x) = 1199090 + 41199091 minus 51199095
f) P(x) = 1199090 minus 41199091 minus 121199095
g) D(x)=119909I + 21199090 minus 51199091 minus 61199095
16) Determinar las raiacuteces y factorizar el siguiente polinomio
119875(119909) = 1199090 minus 81199091 + 171199095 + 2119909 minus 24
17) Escribe un polinomio de grado 4 con soacutelo las raiacuteces 0 y 1 (dobles)
CONCLUSIONES
18) Dado el polinomio 119875(119909) = 1199091 + 1198861199095 + 119887119909 + 3 calcular el valor de a y b para que x=1
sea una raiacutez del polinomio y 17 sea el valor numeacuterico para x=2
19) Dados los polinomios
119875(119909) = 1199091 + 21199095 minus 119909 + 3
119876(119909) = 21199090 + 1199095 + 5119909 + 2
a) Calcula el valor numeacuterico del polinomio para x=2
b) Calcula la suma de los polinomios P(x) y Q(x)
20) Dado el polinomio 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6 calcula
a) Las raiacuteces del polinomio
b) El valor numeacuterico para 119909 = minus3
21) Dado el polinomio119875(119909) = 21199095 minus 119886119909 + 119887 calcula el valor de a y b para que cumpla las
siguientes condiciones
a) El 1 es raiacutez
b) El valor numeacuterico para x = 0 es 12
POLINOMIOS
17
FRACCIONESALGEBRAICAS
Fraccioacutenalgebraica
Una fraccioacuten algebraica L(M)N(M)
es una fraccioacuten que tiene por denominador un polinomio
EJEMPLOS
Fraccioacutenequivalente
es equivalente a
SIMPLIFICACIOacuteNDEFRACCIONESALGEBRAICAS
Para simplificar una fraccioacuten algebraica hay que descomponer factorialmente el numerador y el denominador y eliminar despueacutes los factores comunes de ambos
EJEMPLO
EJERCICIOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
22) Factoriza numerador y denominador y luego simplifica
a) b) c) d)
Sol a) 53 b) x2 c) d)
31
2 -+
xx
4583 2
+--
xxx
213x-
( )( )xBxA ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )xDxC
xBxAxCxBxDxA
xDxC
=Ucirctimes=timesUcirc
13
)2)(1()2)(3(
2365
23
23
++
=++++
=++++
xx
xxxxxx
xxxxxx
3+3x5+5x
6-2x3x-x2
1-xx+x
2
2
2x+x412x2
1-xx
1+2x6
POLINOMIOS
18
23) Descomponer en factores y simplificar
a) b) c) d)
e) f) g)MOPQMMRSMOPS
h)
Sol a) x-1 b) c) d) e) f) 1 g) h)
24) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas factorizando el numerador y
denominador
a) Sol
b) Sol
c) Sol
d) Sol
e) Sol
f) Sol
g) Sol
h) Sol
25) Resuelve
a) Simplifica la siguiente expresioacuten
1199091 minus 1199095 minus 8119909 + 121199091 + 21199095 minus 5119909 minus 6
OPERACIONESCONFRACCIONESALGEBRAICAS
Sumaorestadefraccionesalgebraicas
Para sumar o restar fracciones algebraicas se reducen a comuacuten denominador y se suman o se restan los numeradores
Productodefraccionesalgebraicas
El producto de fracciones algebraicas es otra fraccioacuten algebraica que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores
119875(119909)119876(119909) ∙
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909) ∙ 119877(119909)119876(119909) ∙ 119878(119909)
1+x1-x2
)1-(x1-x2
2
4-2x4-x2
4-x4+4x+x
2
2
16+8x+x16-x
2
2
4+4x+x2)+(x x
2 81-x9-x
4
2
1-x1+x
22+x
2-x2+x
4+x4-x
2+xx
3+x3-x
9+x12
5654
3
23
+--+xx
xxx ( )55
2 -++xx
xx
652
2
2
+--xxxx
3-xx
6544
2
2
++++xxxx
32
++xx
62107
2
2
--+-xxxx
( )2325+times-xx
1833182
2
2
-+-xx
x ( )( )23
32-times-timesxx
1123
23
2
--+-+xxxxx ( )
( ) ( )113 3
1
-times+-timesxx
x
2354
3
23
+--+
xxxx
( ) ( )21552
+times-++xxxx
5654
3
23
+--+xx
xxx ( )55
2 -++timesxxxx
POLINOMIOS
19
Divisioacutendefraccionesalgebraicas
Para dividir dos fracciones algebraicas nos da como resultado otra fraccioacuten algebraica que se obtiene al multiplicar la primera fraccioacuten algebraica por la inversa de la segunda fraccioacuten algebraica
119875(119909)119876(119909)
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909)119876(119909) ∙
119878(119909)119877(119909) =
119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)
26) Efectuacutea las operaciones
a) 0MRU
+ 5MR5
b) UMRI
minus VMP5
c) P1MPU
+ WMP1
d) P1MRQ
minus SMPU
27) Opera y simplifica si es posible
a) UMOP1MP0
minus 5MP0
minus UMRU
b) U5MOR1MPI
minus UMPU
minus M5MRI
c) MR15MOPIMR0
+ 5MMP0
+ UMPU
d) MRU5MORIMPU0
+ MPIMP5
minus QMRV
28) Realiza las operaciones
a) 0MPU
∙ MR55
b) P1MPU
MP1M
c) MPI5MORMP1
∙ MOPU1MO
d) M5MORMRU
MO
5MPU
29) Efectuacutea las operaciones y simplifica su resultado
a) SM1MP1
∙ MOPU1MO
b) 5MPQMOP0
∙ MOP0MR0MOPQMRS
c) MP1M∙ M
OR1MMOPS
d) MRIMPI
∙ MOP5IMOR5I
30) Efectuacutea estas divisiones de fracciones algebraicas y simplifica su resultado
a) X UMP5
minus MP11199092minus4
Y ∙ MR5Mminus M
5
b) UMRU
+ 5MMOPU
minus UMPU
c)
d) MOP5MMOPIMRQ
∙ MOR0MR0MOP0M
e) MPUMOPU
MRUMOR5MRU
31) Realiza la siguiente operacioacuten simplificando el resultado
1356
2 +-+
xxx
POLINOMIOS
7
Multiplicacioacutendepolinomios
Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por todos los monomios del otro y despueacutes se suman los polinomios obtenidos
c) (2x3 minus 3x2 + 4x) (2x2 minus 3)
Tambieacuten se puede hacer de forma lineal
d) (2x2 + 5x minus6) (3x2 minus 2x minus 3) =
= 6x4 minus 4x3 + 6x2 + 15x3 minus10x2 + 15x minus 18x2 + 12x minus18=
= 6x4 + 11x3 minus 22x2 + 27x minus 18
POLINOMIOS
8
EJERCICIOS MULTIPLICACIOacuteN DE POLINOMIOS
2) Sabiendo que
119879(119909) = 2119909 + 3
3) Calcula las siguientes operaciones de polinomios
a)
b) 5119909 ∙ 119876(119909)
c)
d) 5119909 ∙ 119877(119909) minus 3 ∙ 119876(119909)
8116)( 23 +--= xxxxP
2832432)( 323 ++--= xxxxxQ
xxxR21366)( 3 -+=
32)( -= xxS
)()( xSxR times)()( xTxQ times
POLINOMIOS
9
DIVISIOacuteN DE POLINOMIOS
REGLADERUFFINI
Divisioacutendepolinomios
La divisioacuten de dos polinomios y tiene por objeto hallar dos polinomios de forma que se verifique la PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LA DIVISIOacuteN
DIVIDENDO = DIVISOR COCIENTE + RESTO
Si los grados de y son p y q respectivamente esta operacioacuten es posible cuando
Ejemplo
Se ordenan el dividendo y el divisor dejando un hueco en el lugar de todos los teacuterminos que faltan si el dividendo es incompleto
Se dividen los teacuterminos principales del dividendo y el divisor obteniendo el primer teacutermino del cociente
Se multiplica el divisor por el cociente y el resultado se le resta al dividendo
Se repite este proceso hasta llegar a un polinomio cuyo grado sea menor que el del divisor
41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1 119909 minus 2 minus41199090 + 81199091 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 111199091 minus 6119909 + 1 minus111199091
+ 221199095
221199095 minus 6119909 + 1 minus221199095 + 44119909 38119909 + 1 minus38119909 + 76
77
SOLUCIOacuteN
P(x)= 41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1
Q(x)= 119909 minus 2
C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)
R(x)= 77 (Resto)
( )xP ( )xQ ( ) ( )xRyxC
( ) ( ) ( ) ( )xRxCxQxP +times=
( )xP ( )xQ qp sup3
POLINOMIOS
10
RegladeRuffini
La divisioacuten estudiada anteriormente permite realizar cualquier divisioacuten de polinomios Pero si el divisor es un binomio de la forma hay una forma maacutes sencilla y raacutepida para realizarla que es lo se conoce como REGLA DE RUFFINI
Usando el ejemplo de la divisioacuten anterior calculamos la divisioacuten
(41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1) (119909 minus 2)
4 3 0 minus6 1 2 8 22 44 76 4 11 22 38 77
C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)
R(x)= 77 (Resto)
Ejemplo 2 entre
1 minus2 3 minus5 2 2 0 6 1 0 3 1
C(x)= 1199095 + 3 (Cociente)
R(x)= 1 (Resto)
Se colocan los coeficientes del dividendo de forma ordenada y decreciente antildeadiendo ceros si no es completo Se coloca el valor de del divisor
El primer coeficiente del cociente es el primero del dividendo
Se multiplica este por y se suma el producto al segundo teacutermino del dividendo Asiacute sucesivamente
Los coeficientes obtenidos con un grado menos que el dividendo constituyen el cociente de la divisioacuten El uacuteltimo teacutermino es el resto de la divisioacuten
Por tanto
y entonces
( )ax plusmn
532)( 23 -+-= xxxxp 2)( -= xxq
a
a
1)(3)( 2 =+= xrxxc532 23 -+- xxx )2( -= x 1)3( 2 ++times x
POLINOMIOS
11
EJERCICIOS DE RUFFINI
4) Efectuacutea las divisiones de x3 -5x2 + 6x ndash2 entre a) x + 2 b) x ndash 3
Escribe en cada caso la igualdad dividendo = divisor middot cociente + resto
5) Efectuacutea las divisiones de 3x4 ndashx2 +5x entre a) x ndash 2 b) x+1
Escribe en cada caso la igualdad dividendo = divisor middot cociente + resto
6) Aplica la regla de Ruffini y averigua cuaacuteles de las siguientes divisiones son exactas
(r=0)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
7) Halla el valor de m para que cada una de estas divisiones sea una divisioacuten exacta
a)
b)
c)
d) (21199095 + 119898119909 + 2) (119909 minus 2) =
8) En cada caso calcula el valor de m para que la divisioacuten tenga los restos que se te piden
a) R= 1
b) R= -2
c) R= 3
d) R= -1
9) Calcula el valor de m para que el polinomio 119875(119909) = 21199091 +1198981199095 + 5119909 + 2 sea divisible
por (x+1)
( ) =+-+ )3(104 4 xxx
( ) =+++ )8(48142 xxx
( ) =-- )1(34 xx
( ) =-+- )2(242 xxx
( ) =+-+ )4(12103 23 xxx
( ) =++ )1(4 xxx
( ) =++++ )4(48 23 xmxxx
( ) =-+-- )5(5102 23 xmxxx
( ) =---+ )2(432 234 xmxxx
( ) =+-+ )3(42 xmxx
( ) =-+- )1(5 23 xmxx
( ) =-+++ )3(125 24 xmxxx
( ) =+-+- )1(104 235 xmxxx
POLINOMIOS
12
TEOREMADELRESTO
Teoremadelresto
El valor numeacuterico de un polinomio P(x) para x=a coincide con el resto de la divisioacuten P(x)(x-a)
Demostracioacuten
Ejemplo Calcula el valor numeacuterico de los siguientes polinomios
a) 119875(119909) = 1199095 minus 5119909 + 6 en x=3
1 minus5 6 3 3 minus6 1 minus2 0
Por lo que P(3)=0
b) 119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5 en x= minus5
1 minus3 minus9 minus5 minus2 minus2 10 minus2
1 minus5 1 minus7
Por lo que P (minus2)=minus7
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) RaPRaCaaaPRxCaxxP =THORN+times-=THORN+times-=
POLINOMIOS
13
Raiacutecesocerosdeunpolinomio
Un nuacutemero a es una raiacutez del polinomio P(x) si P(a)=0
EJEMPLO
no es raiacutez del polinomio porque su resto es
es raiacutez de porque
Propiedadesdelasraiacutecesdeunpolinomio
- Las raiacuteces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del teacutermino independiente
- El nuacutemero de raiacuteces de un polinomio es menor o igual que su grado
10) Calcular el valor numeacuterico de los siguientes polinomios
a) en x=2 b) en x=ndash3 c) en x=1 x=0 d) +1 en x=ndash1 x=0 e) en x=2 f) en x=1 x=0
11) Calcula el valor de m en el polinomio P(x)= para que dicho polinomio
tenga como raiacutez x=2 despueacutes factoriza el polinomio resultante
12) Comprueba que el polinomio P(x)= no tiene raiacuteces enteras
13) Calcula en el polinomio P(x)= el valor de k sabiendo que el valor de P(x)
para x=1 es igual a 7
2=x 12)( 2 +-= xxxp 01)2( sup1=p
1=x 12)( 2 +-= xxxp 01121)1( 2 =+-=p
44)( 23 +--= xxxxP1623)( 34 ---= xxxxP666)( 23 -+-= xxxxPxxxxxP 99)( 234 +--=2045)( 23 --+= xxxxP124)( 25 +-+= xxxxP
424 +-mxx
291312 23 -+- xxx
kxx -- 62 2
POLINOMIOS
14
Descomposicioacutenfactorialdeunpolinomio
FACTORIZAR UN POLINOMIO es escribirlo como producto de polinomios de menor grado posible
Para ello es necesario obtener las raiacuteces de dicho polinomio puesto que dado
si es una raiacutez de es exacta
si a su vez es una raiacutez de
Observa que tambieacuten es una raiacutez de pues sustituyendo en se cumple que
porque
Se tiene entonces que
Este proceso puede continuar si tienen maacutes raiacuteces lo cual permite factorizar
Polinomioirreducible
Un polinomio es IRREDUCIBLE o PRIMO cuando no es posible descomponerlo como producto de polinomios de grado mayor o igual que 1
( )xP
a ( )xP THORN ( ) ( )axxP - THORN ( ) ( ) ( )xQaxxP times-=
b ( )xQ THORN ( ) ( ) ( )xCbxxQ times-=
b ( )xP ( ) ( ) ( )xQaxxP times-=
( ) ( ) ( ) 0=times-= bQabbP ( ) 0=bQ
( ) ( ) ( ) ( )xCbxaxxP times-times-=
( ) ( )xPoxC( )xP
POLINOMIOS
15
Ejemplo
Factoriza los siguientes polinomios
a) 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6
Las posibles soluciones enteras del polinomio son plusmn 1 plusmn 2 plusmn 3 plusmn 6
1 minus4 1 6
-1 minus1 5 minus6 1 minus5 6 0 3 3 minus6 1 minus2 0 2 2 1 0
Con lo que el polinomio factorizado es 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6 = (119909 + 1) ∙ (119909 minus 3) ∙ (119909 minus 2)
b) 119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5
Las posibles soluciones enteras del polinomio son plusmn 1 plusmn 2 plusmn 5
1 minus3 minus9 minus5 minus1 minus1 4 5
1 minus4 minus5 0 minus1 minus1 5
1 minus5 0 5 5 1 0
Con lo que el polinomio factorizado es
119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5 = (119909 + 1) ∙ (119909 + 1) ∙ (119909 minus 5) = (119909 + 1)5 ∙ (119909 minus 5)
POLINOMIOS
16
EJERCICIOS
14) Factoriza los siguientes polinomios
a) P(x) = 1199091 minus 51199095 + 7119909 minus 3
b) Q(x) = 1199095 minus 119909 minus 2
c) R(x) = 1199095 minus 5119909 + 6
d) T(x) = 1199090 minus 31199091 + 41199095 + 3119909 minus 5
e) A(x) = 1199090 minus 21199095 + 1
f) B(x) = 1199091 minus 1
g) C(x) = 1199090 + 1199091 minus 21199095 minus 119909 + 1
h) D(x)=1199091 minus 119909 minus 6
i) E(x)=1199090 minus 1199091 minus 71199095 + 13119909 minus 6
15) Factoriza los siguientes polinomios
a) P(x) = 1199090 minus 71199091 minus 61199095 + 72119909
b) P(x) = 1199090 minus 1199091 minus 251199095 + 25119909
c) P(x) = 1199090 + 1199091 minus 361199095 minus 36119909
d) P(x) = 1199090 minus 251199095
e) P(x) = 1199090 + 41199091 minus 51199095
f) P(x) = 1199090 minus 41199091 minus 121199095
g) D(x)=119909I + 21199090 minus 51199091 minus 61199095
16) Determinar las raiacuteces y factorizar el siguiente polinomio
119875(119909) = 1199090 minus 81199091 + 171199095 + 2119909 minus 24
17) Escribe un polinomio de grado 4 con soacutelo las raiacuteces 0 y 1 (dobles)
CONCLUSIONES
18) Dado el polinomio 119875(119909) = 1199091 + 1198861199095 + 119887119909 + 3 calcular el valor de a y b para que x=1
sea una raiacutez del polinomio y 17 sea el valor numeacuterico para x=2
19) Dados los polinomios
119875(119909) = 1199091 + 21199095 minus 119909 + 3
119876(119909) = 21199090 + 1199095 + 5119909 + 2
a) Calcula el valor numeacuterico del polinomio para x=2
b) Calcula la suma de los polinomios P(x) y Q(x)
20) Dado el polinomio 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6 calcula
a) Las raiacuteces del polinomio
b) El valor numeacuterico para 119909 = minus3
21) Dado el polinomio119875(119909) = 21199095 minus 119886119909 + 119887 calcula el valor de a y b para que cumpla las
siguientes condiciones
a) El 1 es raiacutez
b) El valor numeacuterico para x = 0 es 12
POLINOMIOS
17
FRACCIONESALGEBRAICAS
Fraccioacutenalgebraica
Una fraccioacuten algebraica L(M)N(M)
es una fraccioacuten que tiene por denominador un polinomio
EJEMPLOS
Fraccioacutenequivalente
es equivalente a
SIMPLIFICACIOacuteNDEFRACCIONESALGEBRAICAS
Para simplificar una fraccioacuten algebraica hay que descomponer factorialmente el numerador y el denominador y eliminar despueacutes los factores comunes de ambos
EJEMPLO
EJERCICIOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
22) Factoriza numerador y denominador y luego simplifica
a) b) c) d)
Sol a) 53 b) x2 c) d)
31
2 -+
xx
4583 2
+--
xxx
213x-
( )( )xBxA ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )xDxC
xBxAxCxBxDxA
xDxC
=Ucirctimes=timesUcirc
13
)2)(1()2)(3(
2365
23
23
++
=++++
=++++
xx
xxxxxx
xxxxxx
3+3x5+5x
6-2x3x-x2
1-xx+x
2
2
2x+x412x2
1-xx
1+2x6
POLINOMIOS
18
23) Descomponer en factores y simplificar
a) b) c) d)
e) f) g)MOPQMMRSMOPS
h)
Sol a) x-1 b) c) d) e) f) 1 g) h)
24) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas factorizando el numerador y
denominador
a) Sol
b) Sol
c) Sol
d) Sol
e) Sol
f) Sol
g) Sol
h) Sol
25) Resuelve
a) Simplifica la siguiente expresioacuten
1199091 minus 1199095 minus 8119909 + 121199091 + 21199095 minus 5119909 minus 6
OPERACIONESCONFRACCIONESALGEBRAICAS
Sumaorestadefraccionesalgebraicas
Para sumar o restar fracciones algebraicas se reducen a comuacuten denominador y se suman o se restan los numeradores
Productodefraccionesalgebraicas
El producto de fracciones algebraicas es otra fraccioacuten algebraica que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores
119875(119909)119876(119909) ∙
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909) ∙ 119877(119909)119876(119909) ∙ 119878(119909)
1+x1-x2
)1-(x1-x2
2
4-2x4-x2
4-x4+4x+x
2
2
16+8x+x16-x
2
2
4+4x+x2)+(x x
2 81-x9-x
4
2
1-x1+x
22+x
2-x2+x
4+x4-x
2+xx
3+x3-x
9+x12
5654
3
23
+--+xx
xxx ( )55
2 -++xx
xx
652
2
2
+--xxxx
3-xx
6544
2
2
++++xxxx
32
++xx
62107
2
2
--+-xxxx
( )2325+times-xx
1833182
2
2
-+-xx
x ( )( )23
32-times-timesxx
1123
23
2
--+-+xxxxx ( )
( ) ( )113 3
1
-times+-timesxx
x
2354
3
23
+--+
xxxx
( ) ( )21552
+times-++xxxx
5654
3
23
+--+xx
xxx ( )55
2 -++timesxxxx
POLINOMIOS
19
Divisioacutendefraccionesalgebraicas
Para dividir dos fracciones algebraicas nos da como resultado otra fraccioacuten algebraica que se obtiene al multiplicar la primera fraccioacuten algebraica por la inversa de la segunda fraccioacuten algebraica
119875(119909)119876(119909)
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909)119876(119909) ∙
119878(119909)119877(119909) =
119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)
26) Efectuacutea las operaciones
a) 0MRU
+ 5MR5
b) UMRI
minus VMP5
c) P1MPU
+ WMP1
d) P1MRQ
minus SMPU
27) Opera y simplifica si es posible
a) UMOP1MP0
minus 5MP0
minus UMRU
b) U5MOR1MPI
minus UMPU
minus M5MRI
c) MR15MOPIMR0
+ 5MMP0
+ UMPU
d) MRU5MORIMPU0
+ MPIMP5
minus QMRV
28) Realiza las operaciones
a) 0MPU
∙ MR55
b) P1MPU
MP1M
c) MPI5MORMP1
∙ MOPU1MO
d) M5MORMRU
MO
5MPU
29) Efectuacutea las operaciones y simplifica su resultado
a) SM1MP1
∙ MOPU1MO
b) 5MPQMOP0
∙ MOP0MR0MOPQMRS
c) MP1M∙ M
OR1MMOPS
d) MRIMPI
∙ MOP5IMOR5I
30) Efectuacutea estas divisiones de fracciones algebraicas y simplifica su resultado
a) X UMP5
minus MP11199092minus4
Y ∙ MR5Mminus M
5
b) UMRU
+ 5MMOPU
minus UMPU
c)
d) MOP5MMOPIMRQ
∙ MOR0MR0MOP0M
e) MPUMOPU
MRUMOR5MRU
31) Realiza la siguiente operacioacuten simplificando el resultado
1356
2 +-+
xxx
POLINOMIOS
8
EJERCICIOS MULTIPLICACIOacuteN DE POLINOMIOS
2) Sabiendo que
119879(119909) = 2119909 + 3
3) Calcula las siguientes operaciones de polinomios
a)
b) 5119909 ∙ 119876(119909)
c)
d) 5119909 ∙ 119877(119909) minus 3 ∙ 119876(119909)
8116)( 23 +--= xxxxP
2832432)( 323 ++--= xxxxxQ
xxxR21366)( 3 -+=
32)( -= xxS
)()( xSxR times)()( xTxQ times
POLINOMIOS
9
DIVISIOacuteN DE POLINOMIOS
REGLADERUFFINI
Divisioacutendepolinomios
La divisioacuten de dos polinomios y tiene por objeto hallar dos polinomios de forma que se verifique la PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LA DIVISIOacuteN
DIVIDENDO = DIVISOR COCIENTE + RESTO
Si los grados de y son p y q respectivamente esta operacioacuten es posible cuando
Ejemplo
Se ordenan el dividendo y el divisor dejando un hueco en el lugar de todos los teacuterminos que faltan si el dividendo es incompleto
Se dividen los teacuterminos principales del dividendo y el divisor obteniendo el primer teacutermino del cociente
Se multiplica el divisor por el cociente y el resultado se le resta al dividendo
Se repite este proceso hasta llegar a un polinomio cuyo grado sea menor que el del divisor
41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1 119909 minus 2 minus41199090 + 81199091 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 111199091 minus 6119909 + 1 minus111199091
+ 221199095
221199095 minus 6119909 + 1 minus221199095 + 44119909 38119909 + 1 minus38119909 + 76
77
SOLUCIOacuteN
P(x)= 41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1
Q(x)= 119909 minus 2
C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)
R(x)= 77 (Resto)
( )xP ( )xQ ( ) ( )xRyxC
( ) ( ) ( ) ( )xRxCxQxP +times=
( )xP ( )xQ qp sup3
POLINOMIOS
10
RegladeRuffini
La divisioacuten estudiada anteriormente permite realizar cualquier divisioacuten de polinomios Pero si el divisor es un binomio de la forma hay una forma maacutes sencilla y raacutepida para realizarla que es lo se conoce como REGLA DE RUFFINI
Usando el ejemplo de la divisioacuten anterior calculamos la divisioacuten
(41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1) (119909 minus 2)
4 3 0 minus6 1 2 8 22 44 76 4 11 22 38 77
C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)
R(x)= 77 (Resto)
Ejemplo 2 entre
1 minus2 3 minus5 2 2 0 6 1 0 3 1
C(x)= 1199095 + 3 (Cociente)
R(x)= 1 (Resto)
Se colocan los coeficientes del dividendo de forma ordenada y decreciente antildeadiendo ceros si no es completo Se coloca el valor de del divisor
El primer coeficiente del cociente es el primero del dividendo
Se multiplica este por y se suma el producto al segundo teacutermino del dividendo Asiacute sucesivamente
Los coeficientes obtenidos con un grado menos que el dividendo constituyen el cociente de la divisioacuten El uacuteltimo teacutermino es el resto de la divisioacuten
Por tanto
y entonces
( )ax plusmn
532)( 23 -+-= xxxxp 2)( -= xxq
a
a
1)(3)( 2 =+= xrxxc532 23 -+- xxx )2( -= x 1)3( 2 ++times x
POLINOMIOS
11
EJERCICIOS DE RUFFINI
4) Efectuacutea las divisiones de x3 -5x2 + 6x ndash2 entre a) x + 2 b) x ndash 3
Escribe en cada caso la igualdad dividendo = divisor middot cociente + resto
5) Efectuacutea las divisiones de 3x4 ndashx2 +5x entre a) x ndash 2 b) x+1
Escribe en cada caso la igualdad dividendo = divisor middot cociente + resto
6) Aplica la regla de Ruffini y averigua cuaacuteles de las siguientes divisiones son exactas
(r=0)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
7) Halla el valor de m para que cada una de estas divisiones sea una divisioacuten exacta
a)
b)
c)
d) (21199095 + 119898119909 + 2) (119909 minus 2) =
8) En cada caso calcula el valor de m para que la divisioacuten tenga los restos que se te piden
a) R= 1
b) R= -2
c) R= 3
d) R= -1
9) Calcula el valor de m para que el polinomio 119875(119909) = 21199091 +1198981199095 + 5119909 + 2 sea divisible
por (x+1)
( ) =+-+ )3(104 4 xxx
( ) =+++ )8(48142 xxx
( ) =-- )1(34 xx
( ) =-+- )2(242 xxx
( ) =+-+ )4(12103 23 xxx
( ) =++ )1(4 xxx
( ) =++++ )4(48 23 xmxxx
( ) =-+-- )5(5102 23 xmxxx
( ) =---+ )2(432 234 xmxxx
( ) =+-+ )3(42 xmxx
( ) =-+- )1(5 23 xmxx
( ) =-+++ )3(125 24 xmxxx
( ) =+-+- )1(104 235 xmxxx
POLINOMIOS
12
TEOREMADELRESTO
Teoremadelresto
El valor numeacuterico de un polinomio P(x) para x=a coincide con el resto de la divisioacuten P(x)(x-a)
Demostracioacuten
Ejemplo Calcula el valor numeacuterico de los siguientes polinomios
a) 119875(119909) = 1199095 minus 5119909 + 6 en x=3
1 minus5 6 3 3 minus6 1 minus2 0
Por lo que P(3)=0
b) 119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5 en x= minus5
1 minus3 minus9 minus5 minus2 minus2 10 minus2
1 minus5 1 minus7
Por lo que P (minus2)=minus7
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) RaPRaCaaaPRxCaxxP =THORN+times-=THORN+times-=
POLINOMIOS
13
Raiacutecesocerosdeunpolinomio
Un nuacutemero a es una raiacutez del polinomio P(x) si P(a)=0
EJEMPLO
no es raiacutez del polinomio porque su resto es
es raiacutez de porque
Propiedadesdelasraiacutecesdeunpolinomio
- Las raiacuteces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del teacutermino independiente
- El nuacutemero de raiacuteces de un polinomio es menor o igual que su grado
10) Calcular el valor numeacuterico de los siguientes polinomios
a) en x=2 b) en x=ndash3 c) en x=1 x=0 d) +1 en x=ndash1 x=0 e) en x=2 f) en x=1 x=0
11) Calcula el valor de m en el polinomio P(x)= para que dicho polinomio
tenga como raiacutez x=2 despueacutes factoriza el polinomio resultante
12) Comprueba que el polinomio P(x)= no tiene raiacuteces enteras
13) Calcula en el polinomio P(x)= el valor de k sabiendo que el valor de P(x)
para x=1 es igual a 7
2=x 12)( 2 +-= xxxp 01)2( sup1=p
1=x 12)( 2 +-= xxxp 01121)1( 2 =+-=p
44)( 23 +--= xxxxP1623)( 34 ---= xxxxP666)( 23 -+-= xxxxPxxxxxP 99)( 234 +--=2045)( 23 --+= xxxxP124)( 25 +-+= xxxxP
424 +-mxx
291312 23 -+- xxx
kxx -- 62 2
POLINOMIOS
14
Descomposicioacutenfactorialdeunpolinomio
FACTORIZAR UN POLINOMIO es escribirlo como producto de polinomios de menor grado posible
Para ello es necesario obtener las raiacuteces de dicho polinomio puesto que dado
si es una raiacutez de es exacta
si a su vez es una raiacutez de
Observa que tambieacuten es una raiacutez de pues sustituyendo en se cumple que
porque
Se tiene entonces que
Este proceso puede continuar si tienen maacutes raiacuteces lo cual permite factorizar
Polinomioirreducible
Un polinomio es IRREDUCIBLE o PRIMO cuando no es posible descomponerlo como producto de polinomios de grado mayor o igual que 1
( )xP
a ( )xP THORN ( ) ( )axxP - THORN ( ) ( ) ( )xQaxxP times-=
b ( )xQ THORN ( ) ( ) ( )xCbxxQ times-=
b ( )xP ( ) ( ) ( )xQaxxP times-=
( ) ( ) ( ) 0=times-= bQabbP ( ) 0=bQ
( ) ( ) ( ) ( )xCbxaxxP times-times-=
( ) ( )xPoxC( )xP
POLINOMIOS
15
Ejemplo
Factoriza los siguientes polinomios
a) 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6
Las posibles soluciones enteras del polinomio son plusmn 1 plusmn 2 plusmn 3 plusmn 6
1 minus4 1 6
-1 minus1 5 minus6 1 minus5 6 0 3 3 minus6 1 minus2 0 2 2 1 0
Con lo que el polinomio factorizado es 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6 = (119909 + 1) ∙ (119909 minus 3) ∙ (119909 minus 2)
b) 119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5
Las posibles soluciones enteras del polinomio son plusmn 1 plusmn 2 plusmn 5
1 minus3 minus9 minus5 minus1 minus1 4 5
1 minus4 minus5 0 minus1 minus1 5
1 minus5 0 5 5 1 0
Con lo que el polinomio factorizado es
119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5 = (119909 + 1) ∙ (119909 + 1) ∙ (119909 minus 5) = (119909 + 1)5 ∙ (119909 minus 5)
POLINOMIOS
16
EJERCICIOS
14) Factoriza los siguientes polinomios
a) P(x) = 1199091 minus 51199095 + 7119909 minus 3
b) Q(x) = 1199095 minus 119909 minus 2
c) R(x) = 1199095 minus 5119909 + 6
d) T(x) = 1199090 minus 31199091 + 41199095 + 3119909 minus 5
e) A(x) = 1199090 minus 21199095 + 1
f) B(x) = 1199091 minus 1
g) C(x) = 1199090 + 1199091 minus 21199095 minus 119909 + 1
h) D(x)=1199091 minus 119909 minus 6
i) E(x)=1199090 minus 1199091 minus 71199095 + 13119909 minus 6
15) Factoriza los siguientes polinomios
a) P(x) = 1199090 minus 71199091 minus 61199095 + 72119909
b) P(x) = 1199090 minus 1199091 minus 251199095 + 25119909
c) P(x) = 1199090 + 1199091 minus 361199095 minus 36119909
d) P(x) = 1199090 minus 251199095
e) P(x) = 1199090 + 41199091 minus 51199095
f) P(x) = 1199090 minus 41199091 minus 121199095
g) D(x)=119909I + 21199090 minus 51199091 minus 61199095
16) Determinar las raiacuteces y factorizar el siguiente polinomio
119875(119909) = 1199090 minus 81199091 + 171199095 + 2119909 minus 24
17) Escribe un polinomio de grado 4 con soacutelo las raiacuteces 0 y 1 (dobles)
CONCLUSIONES
18) Dado el polinomio 119875(119909) = 1199091 + 1198861199095 + 119887119909 + 3 calcular el valor de a y b para que x=1
sea una raiacutez del polinomio y 17 sea el valor numeacuterico para x=2
19) Dados los polinomios
119875(119909) = 1199091 + 21199095 minus 119909 + 3
119876(119909) = 21199090 + 1199095 + 5119909 + 2
a) Calcula el valor numeacuterico del polinomio para x=2
b) Calcula la suma de los polinomios P(x) y Q(x)
20) Dado el polinomio 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6 calcula
a) Las raiacuteces del polinomio
b) El valor numeacuterico para 119909 = minus3
21) Dado el polinomio119875(119909) = 21199095 minus 119886119909 + 119887 calcula el valor de a y b para que cumpla las
siguientes condiciones
a) El 1 es raiacutez
b) El valor numeacuterico para x = 0 es 12
POLINOMIOS
17
FRACCIONESALGEBRAICAS
Fraccioacutenalgebraica
Una fraccioacuten algebraica L(M)N(M)
es una fraccioacuten que tiene por denominador un polinomio
EJEMPLOS
Fraccioacutenequivalente
es equivalente a
SIMPLIFICACIOacuteNDEFRACCIONESALGEBRAICAS
Para simplificar una fraccioacuten algebraica hay que descomponer factorialmente el numerador y el denominador y eliminar despueacutes los factores comunes de ambos
EJEMPLO
EJERCICIOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
22) Factoriza numerador y denominador y luego simplifica
a) b) c) d)
Sol a) 53 b) x2 c) d)
31
2 -+
xx
4583 2
+--
xxx
213x-
( )( )xBxA ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )xDxC
xBxAxCxBxDxA
xDxC
=Ucirctimes=timesUcirc
13
)2)(1()2)(3(
2365
23
23
++
=++++
=++++
xx
xxxxxx
xxxxxx
3+3x5+5x
6-2x3x-x2
1-xx+x
2
2
2x+x412x2
1-xx
1+2x6
POLINOMIOS
18
23) Descomponer en factores y simplificar
a) b) c) d)
e) f) g)MOPQMMRSMOPS
h)
Sol a) x-1 b) c) d) e) f) 1 g) h)
24) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas factorizando el numerador y
denominador
a) Sol
b) Sol
c) Sol
d) Sol
e) Sol
f) Sol
g) Sol
h) Sol
25) Resuelve
a) Simplifica la siguiente expresioacuten
1199091 minus 1199095 minus 8119909 + 121199091 + 21199095 minus 5119909 minus 6
OPERACIONESCONFRACCIONESALGEBRAICAS
Sumaorestadefraccionesalgebraicas
Para sumar o restar fracciones algebraicas se reducen a comuacuten denominador y se suman o se restan los numeradores
Productodefraccionesalgebraicas
El producto de fracciones algebraicas es otra fraccioacuten algebraica que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores
119875(119909)119876(119909) ∙
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909) ∙ 119877(119909)119876(119909) ∙ 119878(119909)
1+x1-x2
)1-(x1-x2
2
4-2x4-x2
4-x4+4x+x
2
2
16+8x+x16-x
2
2
4+4x+x2)+(x x
2 81-x9-x
4
2
1-x1+x
22+x
2-x2+x
4+x4-x
2+xx
3+x3-x
9+x12
5654
3
23
+--+xx
xxx ( )55
2 -++xx
xx
652
2
2
+--xxxx
3-xx
6544
2
2
++++xxxx
32
++xx
62107
2
2
--+-xxxx
( )2325+times-xx
1833182
2
2
-+-xx
x ( )( )23
32-times-timesxx
1123
23
2
--+-+xxxxx ( )
( ) ( )113 3
1
-times+-timesxx
x
2354
3
23
+--+
xxxx
( ) ( )21552
+times-++xxxx
5654
3
23
+--+xx
xxx ( )55
2 -++timesxxxx
POLINOMIOS
19
Divisioacutendefraccionesalgebraicas
Para dividir dos fracciones algebraicas nos da como resultado otra fraccioacuten algebraica que se obtiene al multiplicar la primera fraccioacuten algebraica por la inversa de la segunda fraccioacuten algebraica
119875(119909)119876(119909)
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909)119876(119909) ∙
119878(119909)119877(119909) =
119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)
26) Efectuacutea las operaciones
a) 0MRU
+ 5MR5
b) UMRI
minus VMP5
c) P1MPU
+ WMP1
d) P1MRQ
minus SMPU
27) Opera y simplifica si es posible
a) UMOP1MP0
minus 5MP0
minus UMRU
b) U5MOR1MPI
minus UMPU
minus M5MRI
c) MR15MOPIMR0
+ 5MMP0
+ UMPU
d) MRU5MORIMPU0
+ MPIMP5
minus QMRV
28) Realiza las operaciones
a) 0MPU
∙ MR55
b) P1MPU
MP1M
c) MPI5MORMP1
∙ MOPU1MO
d) M5MORMRU
MO
5MPU
29) Efectuacutea las operaciones y simplifica su resultado
a) SM1MP1
∙ MOPU1MO
b) 5MPQMOP0
∙ MOP0MR0MOPQMRS
c) MP1M∙ M
OR1MMOPS
d) MRIMPI
∙ MOP5IMOR5I
30) Efectuacutea estas divisiones de fracciones algebraicas y simplifica su resultado
a) X UMP5
minus MP11199092minus4
Y ∙ MR5Mminus M
5
b) UMRU
+ 5MMOPU
minus UMPU
c)
d) MOP5MMOPIMRQ
∙ MOR0MR0MOP0M
e) MPUMOPU
MRUMOR5MRU
31) Realiza la siguiente operacioacuten simplificando el resultado
1356
2 +-+
xxx
POLINOMIOS
9
DIVISIOacuteN DE POLINOMIOS
REGLADERUFFINI
Divisioacutendepolinomios
La divisioacuten de dos polinomios y tiene por objeto hallar dos polinomios de forma que se verifique la PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LA DIVISIOacuteN
DIVIDENDO = DIVISOR COCIENTE + RESTO
Si los grados de y son p y q respectivamente esta operacioacuten es posible cuando
Ejemplo
Se ordenan el dividendo y el divisor dejando un hueco en el lugar de todos los teacuterminos que faltan si el dividendo es incompleto
Se dividen los teacuterminos principales del dividendo y el divisor obteniendo el primer teacutermino del cociente
Se multiplica el divisor por el cociente y el resultado se le resta al dividendo
Se repite este proceso hasta llegar a un polinomio cuyo grado sea menor que el del divisor
41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1 119909 minus 2 minus41199090 + 81199091 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 111199091 minus 6119909 + 1 minus111199091
+ 221199095
221199095 minus 6119909 + 1 minus221199095 + 44119909 38119909 + 1 minus38119909 + 76
77
SOLUCIOacuteN
P(x)= 41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1
Q(x)= 119909 minus 2
C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)
R(x)= 77 (Resto)
( )xP ( )xQ ( ) ( )xRyxC
( ) ( ) ( ) ( )xRxCxQxP +times=
( )xP ( )xQ qp sup3
POLINOMIOS
10
RegladeRuffini
La divisioacuten estudiada anteriormente permite realizar cualquier divisioacuten de polinomios Pero si el divisor es un binomio de la forma hay una forma maacutes sencilla y raacutepida para realizarla que es lo se conoce como REGLA DE RUFFINI
Usando el ejemplo de la divisioacuten anterior calculamos la divisioacuten
(41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1) (119909 minus 2)
4 3 0 minus6 1 2 8 22 44 76 4 11 22 38 77
C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)
R(x)= 77 (Resto)
Ejemplo 2 entre
1 minus2 3 minus5 2 2 0 6 1 0 3 1
C(x)= 1199095 + 3 (Cociente)
R(x)= 1 (Resto)
Se colocan los coeficientes del dividendo de forma ordenada y decreciente antildeadiendo ceros si no es completo Se coloca el valor de del divisor
El primer coeficiente del cociente es el primero del dividendo
Se multiplica este por y se suma el producto al segundo teacutermino del dividendo Asiacute sucesivamente
Los coeficientes obtenidos con un grado menos que el dividendo constituyen el cociente de la divisioacuten El uacuteltimo teacutermino es el resto de la divisioacuten
Por tanto
y entonces
( )ax plusmn
532)( 23 -+-= xxxxp 2)( -= xxq
a
a
1)(3)( 2 =+= xrxxc532 23 -+- xxx )2( -= x 1)3( 2 ++times x
POLINOMIOS
11
EJERCICIOS DE RUFFINI
4) Efectuacutea las divisiones de x3 -5x2 + 6x ndash2 entre a) x + 2 b) x ndash 3
Escribe en cada caso la igualdad dividendo = divisor middot cociente + resto
5) Efectuacutea las divisiones de 3x4 ndashx2 +5x entre a) x ndash 2 b) x+1
Escribe en cada caso la igualdad dividendo = divisor middot cociente + resto
6) Aplica la regla de Ruffini y averigua cuaacuteles de las siguientes divisiones son exactas
(r=0)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
7) Halla el valor de m para que cada una de estas divisiones sea una divisioacuten exacta
a)
b)
c)
d) (21199095 + 119898119909 + 2) (119909 minus 2) =
8) En cada caso calcula el valor de m para que la divisioacuten tenga los restos que se te piden
a) R= 1
b) R= -2
c) R= 3
d) R= -1
9) Calcula el valor de m para que el polinomio 119875(119909) = 21199091 +1198981199095 + 5119909 + 2 sea divisible
por (x+1)
( ) =+-+ )3(104 4 xxx
( ) =+++ )8(48142 xxx
( ) =-- )1(34 xx
( ) =-+- )2(242 xxx
( ) =+-+ )4(12103 23 xxx
( ) =++ )1(4 xxx
( ) =++++ )4(48 23 xmxxx
( ) =-+-- )5(5102 23 xmxxx
( ) =---+ )2(432 234 xmxxx
( ) =+-+ )3(42 xmxx
( ) =-+- )1(5 23 xmxx
( ) =-+++ )3(125 24 xmxxx
( ) =+-+- )1(104 235 xmxxx
POLINOMIOS
12
TEOREMADELRESTO
Teoremadelresto
El valor numeacuterico de un polinomio P(x) para x=a coincide con el resto de la divisioacuten P(x)(x-a)
Demostracioacuten
Ejemplo Calcula el valor numeacuterico de los siguientes polinomios
a) 119875(119909) = 1199095 minus 5119909 + 6 en x=3
1 minus5 6 3 3 minus6 1 minus2 0
Por lo que P(3)=0
b) 119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5 en x= minus5
1 minus3 minus9 minus5 minus2 minus2 10 minus2
1 minus5 1 minus7
Por lo que P (minus2)=minus7
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) RaPRaCaaaPRxCaxxP =THORN+times-=THORN+times-=
POLINOMIOS
13
Raiacutecesocerosdeunpolinomio
Un nuacutemero a es una raiacutez del polinomio P(x) si P(a)=0
EJEMPLO
no es raiacutez del polinomio porque su resto es
es raiacutez de porque
Propiedadesdelasraiacutecesdeunpolinomio
- Las raiacuteces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del teacutermino independiente
- El nuacutemero de raiacuteces de un polinomio es menor o igual que su grado
10) Calcular el valor numeacuterico de los siguientes polinomios
a) en x=2 b) en x=ndash3 c) en x=1 x=0 d) +1 en x=ndash1 x=0 e) en x=2 f) en x=1 x=0
11) Calcula el valor de m en el polinomio P(x)= para que dicho polinomio
tenga como raiacutez x=2 despueacutes factoriza el polinomio resultante
12) Comprueba que el polinomio P(x)= no tiene raiacuteces enteras
13) Calcula en el polinomio P(x)= el valor de k sabiendo que el valor de P(x)
para x=1 es igual a 7
2=x 12)( 2 +-= xxxp 01)2( sup1=p
1=x 12)( 2 +-= xxxp 01121)1( 2 =+-=p
44)( 23 +--= xxxxP1623)( 34 ---= xxxxP666)( 23 -+-= xxxxPxxxxxP 99)( 234 +--=2045)( 23 --+= xxxxP124)( 25 +-+= xxxxP
424 +-mxx
291312 23 -+- xxx
kxx -- 62 2
POLINOMIOS
14
Descomposicioacutenfactorialdeunpolinomio
FACTORIZAR UN POLINOMIO es escribirlo como producto de polinomios de menor grado posible
Para ello es necesario obtener las raiacuteces de dicho polinomio puesto que dado
si es una raiacutez de es exacta
si a su vez es una raiacutez de
Observa que tambieacuten es una raiacutez de pues sustituyendo en se cumple que
porque
Se tiene entonces que
Este proceso puede continuar si tienen maacutes raiacuteces lo cual permite factorizar
Polinomioirreducible
Un polinomio es IRREDUCIBLE o PRIMO cuando no es posible descomponerlo como producto de polinomios de grado mayor o igual que 1
( )xP
a ( )xP THORN ( ) ( )axxP - THORN ( ) ( ) ( )xQaxxP times-=
b ( )xQ THORN ( ) ( ) ( )xCbxxQ times-=
b ( )xP ( ) ( ) ( )xQaxxP times-=
( ) ( ) ( ) 0=times-= bQabbP ( ) 0=bQ
( ) ( ) ( ) ( )xCbxaxxP times-times-=
( ) ( )xPoxC( )xP
POLINOMIOS
15
Ejemplo
Factoriza los siguientes polinomios
a) 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6
Las posibles soluciones enteras del polinomio son plusmn 1 plusmn 2 plusmn 3 plusmn 6
1 minus4 1 6
-1 minus1 5 minus6 1 minus5 6 0 3 3 minus6 1 minus2 0 2 2 1 0
Con lo que el polinomio factorizado es 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6 = (119909 + 1) ∙ (119909 minus 3) ∙ (119909 minus 2)
b) 119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5
Las posibles soluciones enteras del polinomio son plusmn 1 plusmn 2 plusmn 5
1 minus3 minus9 minus5 minus1 minus1 4 5
1 minus4 minus5 0 minus1 minus1 5
1 minus5 0 5 5 1 0
Con lo que el polinomio factorizado es
119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5 = (119909 + 1) ∙ (119909 + 1) ∙ (119909 minus 5) = (119909 + 1)5 ∙ (119909 minus 5)
POLINOMIOS
16
EJERCICIOS
14) Factoriza los siguientes polinomios
a) P(x) = 1199091 minus 51199095 + 7119909 minus 3
b) Q(x) = 1199095 minus 119909 minus 2
c) R(x) = 1199095 minus 5119909 + 6
d) T(x) = 1199090 minus 31199091 + 41199095 + 3119909 minus 5
e) A(x) = 1199090 minus 21199095 + 1
f) B(x) = 1199091 minus 1
g) C(x) = 1199090 + 1199091 minus 21199095 minus 119909 + 1
h) D(x)=1199091 minus 119909 minus 6
i) E(x)=1199090 minus 1199091 minus 71199095 + 13119909 minus 6
15) Factoriza los siguientes polinomios
a) P(x) = 1199090 minus 71199091 minus 61199095 + 72119909
b) P(x) = 1199090 minus 1199091 minus 251199095 + 25119909
c) P(x) = 1199090 + 1199091 minus 361199095 minus 36119909
d) P(x) = 1199090 minus 251199095
e) P(x) = 1199090 + 41199091 minus 51199095
f) P(x) = 1199090 minus 41199091 minus 121199095
g) D(x)=119909I + 21199090 minus 51199091 minus 61199095
16) Determinar las raiacuteces y factorizar el siguiente polinomio
119875(119909) = 1199090 minus 81199091 + 171199095 + 2119909 minus 24
17) Escribe un polinomio de grado 4 con soacutelo las raiacuteces 0 y 1 (dobles)
CONCLUSIONES
18) Dado el polinomio 119875(119909) = 1199091 + 1198861199095 + 119887119909 + 3 calcular el valor de a y b para que x=1
sea una raiacutez del polinomio y 17 sea el valor numeacuterico para x=2
19) Dados los polinomios
119875(119909) = 1199091 + 21199095 minus 119909 + 3
119876(119909) = 21199090 + 1199095 + 5119909 + 2
a) Calcula el valor numeacuterico del polinomio para x=2
b) Calcula la suma de los polinomios P(x) y Q(x)
20) Dado el polinomio 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6 calcula
a) Las raiacuteces del polinomio
b) El valor numeacuterico para 119909 = minus3
21) Dado el polinomio119875(119909) = 21199095 minus 119886119909 + 119887 calcula el valor de a y b para que cumpla las
siguientes condiciones
a) El 1 es raiacutez
b) El valor numeacuterico para x = 0 es 12
POLINOMIOS
17
FRACCIONESALGEBRAICAS
Fraccioacutenalgebraica
Una fraccioacuten algebraica L(M)N(M)
es una fraccioacuten que tiene por denominador un polinomio
EJEMPLOS
Fraccioacutenequivalente
es equivalente a
SIMPLIFICACIOacuteNDEFRACCIONESALGEBRAICAS
Para simplificar una fraccioacuten algebraica hay que descomponer factorialmente el numerador y el denominador y eliminar despueacutes los factores comunes de ambos
EJEMPLO
EJERCICIOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
22) Factoriza numerador y denominador y luego simplifica
a) b) c) d)
Sol a) 53 b) x2 c) d)
31
2 -+
xx
4583 2
+--
xxx
213x-
( )( )xBxA ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )xDxC
xBxAxCxBxDxA
xDxC
=Ucirctimes=timesUcirc
13
)2)(1()2)(3(
2365
23
23
++
=++++
=++++
xx
xxxxxx
xxxxxx
3+3x5+5x
6-2x3x-x2
1-xx+x
2
2
2x+x412x2
1-xx
1+2x6
POLINOMIOS
18
23) Descomponer en factores y simplificar
a) b) c) d)
e) f) g)MOPQMMRSMOPS
h)
Sol a) x-1 b) c) d) e) f) 1 g) h)
24) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas factorizando el numerador y
denominador
a) Sol
b) Sol
c) Sol
d) Sol
e) Sol
f) Sol
g) Sol
h) Sol
25) Resuelve
a) Simplifica la siguiente expresioacuten
1199091 minus 1199095 minus 8119909 + 121199091 + 21199095 minus 5119909 minus 6
OPERACIONESCONFRACCIONESALGEBRAICAS
Sumaorestadefraccionesalgebraicas
Para sumar o restar fracciones algebraicas se reducen a comuacuten denominador y se suman o se restan los numeradores
Productodefraccionesalgebraicas
El producto de fracciones algebraicas es otra fraccioacuten algebraica que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores
119875(119909)119876(119909) ∙
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909) ∙ 119877(119909)119876(119909) ∙ 119878(119909)
1+x1-x2
)1-(x1-x2
2
4-2x4-x2
4-x4+4x+x
2
2
16+8x+x16-x
2
2
4+4x+x2)+(x x
2 81-x9-x
4
2
1-x1+x
22+x
2-x2+x
4+x4-x
2+xx
3+x3-x
9+x12
5654
3
23
+--+xx
xxx ( )55
2 -++xx
xx
652
2
2
+--xxxx
3-xx
6544
2
2
++++xxxx
32
++xx
62107
2
2
--+-xxxx
( )2325+times-xx
1833182
2
2
-+-xx
x ( )( )23
32-times-timesxx
1123
23
2
--+-+xxxxx ( )
( ) ( )113 3
1
-times+-timesxx
x
2354
3
23
+--+
xxxx
( ) ( )21552
+times-++xxxx
5654
3
23
+--+xx
xxx ( )55
2 -++timesxxxx
POLINOMIOS
19
Divisioacutendefraccionesalgebraicas
Para dividir dos fracciones algebraicas nos da como resultado otra fraccioacuten algebraica que se obtiene al multiplicar la primera fraccioacuten algebraica por la inversa de la segunda fraccioacuten algebraica
119875(119909)119876(119909)
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909)119876(119909) ∙
119878(119909)119877(119909) =
119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)
26) Efectuacutea las operaciones
a) 0MRU
+ 5MR5
b) UMRI
minus VMP5
c) P1MPU
+ WMP1
d) P1MRQ
minus SMPU
27) Opera y simplifica si es posible
a) UMOP1MP0
minus 5MP0
minus UMRU
b) U5MOR1MPI
minus UMPU
minus M5MRI
c) MR15MOPIMR0
+ 5MMP0
+ UMPU
d) MRU5MORIMPU0
+ MPIMP5
minus QMRV
28) Realiza las operaciones
a) 0MPU
∙ MR55
b) P1MPU
MP1M
c) MPI5MORMP1
∙ MOPU1MO
d) M5MORMRU
MO
5MPU
29) Efectuacutea las operaciones y simplifica su resultado
a) SM1MP1
∙ MOPU1MO
b) 5MPQMOP0
∙ MOP0MR0MOPQMRS
c) MP1M∙ M
OR1MMOPS
d) MRIMPI
∙ MOP5IMOR5I
30) Efectuacutea estas divisiones de fracciones algebraicas y simplifica su resultado
a) X UMP5
minus MP11199092minus4
Y ∙ MR5Mminus M
5
b) UMRU
+ 5MMOPU
minus UMPU
c)
d) MOP5MMOPIMRQ
∙ MOR0MR0MOP0M
e) MPUMOPU
MRUMOR5MRU
31) Realiza la siguiente operacioacuten simplificando el resultado
1356
2 +-+
xxx
POLINOMIOS
10
RegladeRuffini
La divisioacuten estudiada anteriormente permite realizar cualquier divisioacuten de polinomios Pero si el divisor es un binomio de la forma hay una forma maacutes sencilla y raacutepida para realizarla que es lo se conoce como REGLA DE RUFFINI
Usando el ejemplo de la divisioacuten anterior calculamos la divisioacuten
(41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1) (119909 minus 2)
4 3 0 minus6 1 2 8 22 44 76 4 11 22 38 77
C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)
R(x)= 77 (Resto)
Ejemplo 2 entre
1 minus2 3 minus5 2 2 0 6 1 0 3 1
C(x)= 1199095 + 3 (Cociente)
R(x)= 1 (Resto)
Se colocan los coeficientes del dividendo de forma ordenada y decreciente antildeadiendo ceros si no es completo Se coloca el valor de del divisor
El primer coeficiente del cociente es el primero del dividendo
Se multiplica este por y se suma el producto al segundo teacutermino del dividendo Asiacute sucesivamente
Los coeficientes obtenidos con un grado menos que el dividendo constituyen el cociente de la divisioacuten El uacuteltimo teacutermino es el resto de la divisioacuten
Por tanto
y entonces
( )ax plusmn
532)( 23 -+-= xxxxp 2)( -= xxq
a
a
1)(3)( 2 =+= xrxxc532 23 -+- xxx )2( -= x 1)3( 2 ++times x
POLINOMIOS
11
EJERCICIOS DE RUFFINI
4) Efectuacutea las divisiones de x3 -5x2 + 6x ndash2 entre a) x + 2 b) x ndash 3
Escribe en cada caso la igualdad dividendo = divisor middot cociente + resto
5) Efectuacutea las divisiones de 3x4 ndashx2 +5x entre a) x ndash 2 b) x+1
Escribe en cada caso la igualdad dividendo = divisor middot cociente + resto
6) Aplica la regla de Ruffini y averigua cuaacuteles de las siguientes divisiones son exactas
(r=0)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
7) Halla el valor de m para que cada una de estas divisiones sea una divisioacuten exacta
a)
b)
c)
d) (21199095 + 119898119909 + 2) (119909 minus 2) =
8) En cada caso calcula el valor de m para que la divisioacuten tenga los restos que se te piden
a) R= 1
b) R= -2
c) R= 3
d) R= -1
9) Calcula el valor de m para que el polinomio 119875(119909) = 21199091 +1198981199095 + 5119909 + 2 sea divisible
por (x+1)
( ) =+-+ )3(104 4 xxx
( ) =+++ )8(48142 xxx
( ) =-- )1(34 xx
( ) =-+- )2(242 xxx
( ) =+-+ )4(12103 23 xxx
( ) =++ )1(4 xxx
( ) =++++ )4(48 23 xmxxx
( ) =-+-- )5(5102 23 xmxxx
( ) =---+ )2(432 234 xmxxx
( ) =+-+ )3(42 xmxx
( ) =-+- )1(5 23 xmxx
( ) =-+++ )3(125 24 xmxxx
( ) =+-+- )1(104 235 xmxxx
POLINOMIOS
12
TEOREMADELRESTO
Teoremadelresto
El valor numeacuterico de un polinomio P(x) para x=a coincide con el resto de la divisioacuten P(x)(x-a)
Demostracioacuten
Ejemplo Calcula el valor numeacuterico de los siguientes polinomios
a) 119875(119909) = 1199095 minus 5119909 + 6 en x=3
1 minus5 6 3 3 minus6 1 minus2 0
Por lo que P(3)=0
b) 119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5 en x= minus5
1 minus3 minus9 minus5 minus2 minus2 10 minus2
1 minus5 1 minus7
Por lo que P (minus2)=minus7
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) RaPRaCaaaPRxCaxxP =THORN+times-=THORN+times-=
POLINOMIOS
13
Raiacutecesocerosdeunpolinomio
Un nuacutemero a es una raiacutez del polinomio P(x) si P(a)=0
EJEMPLO
no es raiacutez del polinomio porque su resto es
es raiacutez de porque
Propiedadesdelasraiacutecesdeunpolinomio
- Las raiacuteces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del teacutermino independiente
- El nuacutemero de raiacuteces de un polinomio es menor o igual que su grado
10) Calcular el valor numeacuterico de los siguientes polinomios
a) en x=2 b) en x=ndash3 c) en x=1 x=0 d) +1 en x=ndash1 x=0 e) en x=2 f) en x=1 x=0
11) Calcula el valor de m en el polinomio P(x)= para que dicho polinomio
tenga como raiacutez x=2 despueacutes factoriza el polinomio resultante
12) Comprueba que el polinomio P(x)= no tiene raiacuteces enteras
13) Calcula en el polinomio P(x)= el valor de k sabiendo que el valor de P(x)
para x=1 es igual a 7
2=x 12)( 2 +-= xxxp 01)2( sup1=p
1=x 12)( 2 +-= xxxp 01121)1( 2 =+-=p
44)( 23 +--= xxxxP1623)( 34 ---= xxxxP666)( 23 -+-= xxxxPxxxxxP 99)( 234 +--=2045)( 23 --+= xxxxP124)( 25 +-+= xxxxP
424 +-mxx
291312 23 -+- xxx
kxx -- 62 2
POLINOMIOS
14
Descomposicioacutenfactorialdeunpolinomio
FACTORIZAR UN POLINOMIO es escribirlo como producto de polinomios de menor grado posible
Para ello es necesario obtener las raiacuteces de dicho polinomio puesto que dado
si es una raiacutez de es exacta
si a su vez es una raiacutez de
Observa que tambieacuten es una raiacutez de pues sustituyendo en se cumple que
porque
Se tiene entonces que
Este proceso puede continuar si tienen maacutes raiacuteces lo cual permite factorizar
Polinomioirreducible
Un polinomio es IRREDUCIBLE o PRIMO cuando no es posible descomponerlo como producto de polinomios de grado mayor o igual que 1
( )xP
a ( )xP THORN ( ) ( )axxP - THORN ( ) ( ) ( )xQaxxP times-=
b ( )xQ THORN ( ) ( ) ( )xCbxxQ times-=
b ( )xP ( ) ( ) ( )xQaxxP times-=
( ) ( ) ( ) 0=times-= bQabbP ( ) 0=bQ
( ) ( ) ( ) ( )xCbxaxxP times-times-=
( ) ( )xPoxC( )xP
POLINOMIOS
15
Ejemplo
Factoriza los siguientes polinomios
a) 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6
Las posibles soluciones enteras del polinomio son plusmn 1 plusmn 2 plusmn 3 plusmn 6
1 minus4 1 6
-1 minus1 5 minus6 1 minus5 6 0 3 3 minus6 1 minus2 0 2 2 1 0
Con lo que el polinomio factorizado es 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6 = (119909 + 1) ∙ (119909 minus 3) ∙ (119909 minus 2)
b) 119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5
Las posibles soluciones enteras del polinomio son plusmn 1 plusmn 2 plusmn 5
1 minus3 minus9 minus5 minus1 minus1 4 5
1 minus4 minus5 0 minus1 minus1 5
1 minus5 0 5 5 1 0
Con lo que el polinomio factorizado es
119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5 = (119909 + 1) ∙ (119909 + 1) ∙ (119909 minus 5) = (119909 + 1)5 ∙ (119909 minus 5)
POLINOMIOS
16
EJERCICIOS
14) Factoriza los siguientes polinomios
a) P(x) = 1199091 minus 51199095 + 7119909 minus 3
b) Q(x) = 1199095 minus 119909 minus 2
c) R(x) = 1199095 minus 5119909 + 6
d) T(x) = 1199090 minus 31199091 + 41199095 + 3119909 minus 5
e) A(x) = 1199090 minus 21199095 + 1
f) B(x) = 1199091 minus 1
g) C(x) = 1199090 + 1199091 minus 21199095 minus 119909 + 1
h) D(x)=1199091 minus 119909 minus 6
i) E(x)=1199090 minus 1199091 minus 71199095 + 13119909 minus 6
15) Factoriza los siguientes polinomios
a) P(x) = 1199090 minus 71199091 minus 61199095 + 72119909
b) P(x) = 1199090 minus 1199091 minus 251199095 + 25119909
c) P(x) = 1199090 + 1199091 minus 361199095 minus 36119909
d) P(x) = 1199090 minus 251199095
e) P(x) = 1199090 + 41199091 minus 51199095
f) P(x) = 1199090 minus 41199091 minus 121199095
g) D(x)=119909I + 21199090 minus 51199091 minus 61199095
16) Determinar las raiacuteces y factorizar el siguiente polinomio
119875(119909) = 1199090 minus 81199091 + 171199095 + 2119909 minus 24
17) Escribe un polinomio de grado 4 con soacutelo las raiacuteces 0 y 1 (dobles)
CONCLUSIONES
18) Dado el polinomio 119875(119909) = 1199091 + 1198861199095 + 119887119909 + 3 calcular el valor de a y b para que x=1
sea una raiacutez del polinomio y 17 sea el valor numeacuterico para x=2
19) Dados los polinomios
119875(119909) = 1199091 + 21199095 minus 119909 + 3
119876(119909) = 21199090 + 1199095 + 5119909 + 2
a) Calcula el valor numeacuterico del polinomio para x=2
b) Calcula la suma de los polinomios P(x) y Q(x)
20) Dado el polinomio 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6 calcula
a) Las raiacuteces del polinomio
b) El valor numeacuterico para 119909 = minus3
21) Dado el polinomio119875(119909) = 21199095 minus 119886119909 + 119887 calcula el valor de a y b para que cumpla las
siguientes condiciones
a) El 1 es raiacutez
b) El valor numeacuterico para x = 0 es 12
POLINOMIOS
17
FRACCIONESALGEBRAICAS
Fraccioacutenalgebraica
Una fraccioacuten algebraica L(M)N(M)
es una fraccioacuten que tiene por denominador un polinomio
EJEMPLOS
Fraccioacutenequivalente
es equivalente a
SIMPLIFICACIOacuteNDEFRACCIONESALGEBRAICAS
Para simplificar una fraccioacuten algebraica hay que descomponer factorialmente el numerador y el denominador y eliminar despueacutes los factores comunes de ambos
EJEMPLO
EJERCICIOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
22) Factoriza numerador y denominador y luego simplifica
a) b) c) d)
Sol a) 53 b) x2 c) d)
31
2 -+
xx
4583 2
+--
xxx
213x-
( )( )xBxA ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )xDxC
xBxAxCxBxDxA
xDxC
=Ucirctimes=timesUcirc
13
)2)(1()2)(3(
2365
23
23
++
=++++
=++++
xx
xxxxxx
xxxxxx
3+3x5+5x
6-2x3x-x2
1-xx+x
2
2
2x+x412x2
1-xx
1+2x6
POLINOMIOS
18
23) Descomponer en factores y simplificar
a) b) c) d)
e) f) g)MOPQMMRSMOPS
h)
Sol a) x-1 b) c) d) e) f) 1 g) h)
24) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas factorizando el numerador y
denominador
a) Sol
b) Sol
c) Sol
d) Sol
e) Sol
f) Sol
g) Sol
h) Sol
25) Resuelve
a) Simplifica la siguiente expresioacuten
1199091 minus 1199095 minus 8119909 + 121199091 + 21199095 minus 5119909 minus 6
OPERACIONESCONFRACCIONESALGEBRAICAS
Sumaorestadefraccionesalgebraicas
Para sumar o restar fracciones algebraicas se reducen a comuacuten denominador y se suman o se restan los numeradores
Productodefraccionesalgebraicas
El producto de fracciones algebraicas es otra fraccioacuten algebraica que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores
119875(119909)119876(119909) ∙
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909) ∙ 119877(119909)119876(119909) ∙ 119878(119909)
1+x1-x2
)1-(x1-x2
2
4-2x4-x2
4-x4+4x+x
2
2
16+8x+x16-x
2
2
4+4x+x2)+(x x
2 81-x9-x
4
2
1-x1+x
22+x
2-x2+x
4+x4-x
2+xx
3+x3-x
9+x12
5654
3
23
+--+xx
xxx ( )55
2 -++xx
xx
652
2
2
+--xxxx
3-xx
6544
2
2
++++xxxx
32
++xx
62107
2
2
--+-xxxx
( )2325+times-xx
1833182
2
2
-+-xx
x ( )( )23
32-times-timesxx
1123
23
2
--+-+xxxxx ( )
( ) ( )113 3
1
-times+-timesxx
x
2354
3
23
+--+
xxxx
( ) ( )21552
+times-++xxxx
5654
3
23
+--+xx
xxx ( )55
2 -++timesxxxx
POLINOMIOS
19
Divisioacutendefraccionesalgebraicas
Para dividir dos fracciones algebraicas nos da como resultado otra fraccioacuten algebraica que se obtiene al multiplicar la primera fraccioacuten algebraica por la inversa de la segunda fraccioacuten algebraica
119875(119909)119876(119909)
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909)119876(119909) ∙
119878(119909)119877(119909) =
119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)
26) Efectuacutea las operaciones
a) 0MRU
+ 5MR5
b) UMRI
minus VMP5
c) P1MPU
+ WMP1
d) P1MRQ
minus SMPU
27) Opera y simplifica si es posible
a) UMOP1MP0
minus 5MP0
minus UMRU
b) U5MOR1MPI
minus UMPU
minus M5MRI
c) MR15MOPIMR0
+ 5MMP0
+ UMPU
d) MRU5MORIMPU0
+ MPIMP5
minus QMRV
28) Realiza las operaciones
a) 0MPU
∙ MR55
b) P1MPU
MP1M
c) MPI5MORMP1
∙ MOPU1MO
d) M5MORMRU
MO
5MPU
29) Efectuacutea las operaciones y simplifica su resultado
a) SM1MP1
∙ MOPU1MO
b) 5MPQMOP0
∙ MOP0MR0MOPQMRS
c) MP1M∙ M
OR1MMOPS
d) MRIMPI
∙ MOP5IMOR5I
30) Efectuacutea estas divisiones de fracciones algebraicas y simplifica su resultado
a) X UMP5
minus MP11199092minus4
Y ∙ MR5Mminus M
5
b) UMRU
+ 5MMOPU
minus UMPU
c)
d) MOP5MMOPIMRQ
∙ MOR0MR0MOP0M
e) MPUMOPU
MRUMOR5MRU
31) Realiza la siguiente operacioacuten simplificando el resultado
1356
2 +-+
xxx
POLINOMIOS
11
EJERCICIOS DE RUFFINI
4) Efectuacutea las divisiones de x3 -5x2 + 6x ndash2 entre a) x + 2 b) x ndash 3
Escribe en cada caso la igualdad dividendo = divisor middot cociente + resto
5) Efectuacutea las divisiones de 3x4 ndashx2 +5x entre a) x ndash 2 b) x+1
Escribe en cada caso la igualdad dividendo = divisor middot cociente + resto
6) Aplica la regla de Ruffini y averigua cuaacuteles de las siguientes divisiones son exactas
(r=0)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
7) Halla el valor de m para que cada una de estas divisiones sea una divisioacuten exacta
a)
b)
c)
d) (21199095 + 119898119909 + 2) (119909 minus 2) =
8) En cada caso calcula el valor de m para que la divisioacuten tenga los restos que se te piden
a) R= 1
b) R= -2
c) R= 3
d) R= -1
9) Calcula el valor de m para que el polinomio 119875(119909) = 21199091 +1198981199095 + 5119909 + 2 sea divisible
por (x+1)
( ) =+-+ )3(104 4 xxx
( ) =+++ )8(48142 xxx
( ) =-- )1(34 xx
( ) =-+- )2(242 xxx
( ) =+-+ )4(12103 23 xxx
( ) =++ )1(4 xxx
( ) =++++ )4(48 23 xmxxx
( ) =-+-- )5(5102 23 xmxxx
( ) =---+ )2(432 234 xmxxx
( ) =+-+ )3(42 xmxx
( ) =-+- )1(5 23 xmxx
( ) =-+++ )3(125 24 xmxxx
( ) =+-+- )1(104 235 xmxxx
POLINOMIOS
12
TEOREMADELRESTO
Teoremadelresto
El valor numeacuterico de un polinomio P(x) para x=a coincide con el resto de la divisioacuten P(x)(x-a)
Demostracioacuten
Ejemplo Calcula el valor numeacuterico de los siguientes polinomios
a) 119875(119909) = 1199095 minus 5119909 + 6 en x=3
1 minus5 6 3 3 minus6 1 minus2 0
Por lo que P(3)=0
b) 119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5 en x= minus5
1 minus3 minus9 minus5 minus2 minus2 10 minus2
1 minus5 1 minus7
Por lo que P (minus2)=minus7
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) RaPRaCaaaPRxCaxxP =THORN+times-=THORN+times-=
POLINOMIOS
13
Raiacutecesocerosdeunpolinomio
Un nuacutemero a es una raiacutez del polinomio P(x) si P(a)=0
EJEMPLO
no es raiacutez del polinomio porque su resto es
es raiacutez de porque
Propiedadesdelasraiacutecesdeunpolinomio
- Las raiacuteces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del teacutermino independiente
- El nuacutemero de raiacuteces de un polinomio es menor o igual que su grado
10) Calcular el valor numeacuterico de los siguientes polinomios
a) en x=2 b) en x=ndash3 c) en x=1 x=0 d) +1 en x=ndash1 x=0 e) en x=2 f) en x=1 x=0
11) Calcula el valor de m en el polinomio P(x)= para que dicho polinomio
tenga como raiacutez x=2 despueacutes factoriza el polinomio resultante
12) Comprueba que el polinomio P(x)= no tiene raiacuteces enteras
13) Calcula en el polinomio P(x)= el valor de k sabiendo que el valor de P(x)
para x=1 es igual a 7
2=x 12)( 2 +-= xxxp 01)2( sup1=p
1=x 12)( 2 +-= xxxp 01121)1( 2 =+-=p
44)( 23 +--= xxxxP1623)( 34 ---= xxxxP666)( 23 -+-= xxxxPxxxxxP 99)( 234 +--=2045)( 23 --+= xxxxP124)( 25 +-+= xxxxP
424 +-mxx
291312 23 -+- xxx
kxx -- 62 2
POLINOMIOS
14
Descomposicioacutenfactorialdeunpolinomio
FACTORIZAR UN POLINOMIO es escribirlo como producto de polinomios de menor grado posible
Para ello es necesario obtener las raiacuteces de dicho polinomio puesto que dado
si es una raiacutez de es exacta
si a su vez es una raiacutez de
Observa que tambieacuten es una raiacutez de pues sustituyendo en se cumple que
porque
Se tiene entonces que
Este proceso puede continuar si tienen maacutes raiacuteces lo cual permite factorizar
Polinomioirreducible
Un polinomio es IRREDUCIBLE o PRIMO cuando no es posible descomponerlo como producto de polinomios de grado mayor o igual que 1
( )xP
a ( )xP THORN ( ) ( )axxP - THORN ( ) ( ) ( )xQaxxP times-=
b ( )xQ THORN ( ) ( ) ( )xCbxxQ times-=
b ( )xP ( ) ( ) ( )xQaxxP times-=
( ) ( ) ( ) 0=times-= bQabbP ( ) 0=bQ
( ) ( ) ( ) ( )xCbxaxxP times-times-=
( ) ( )xPoxC( )xP
POLINOMIOS
15
Ejemplo
Factoriza los siguientes polinomios
a) 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6
Las posibles soluciones enteras del polinomio son plusmn 1 plusmn 2 plusmn 3 plusmn 6
1 minus4 1 6
-1 minus1 5 minus6 1 minus5 6 0 3 3 minus6 1 minus2 0 2 2 1 0
Con lo que el polinomio factorizado es 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6 = (119909 + 1) ∙ (119909 minus 3) ∙ (119909 minus 2)
b) 119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5
Las posibles soluciones enteras del polinomio son plusmn 1 plusmn 2 plusmn 5
1 minus3 minus9 minus5 minus1 minus1 4 5
1 minus4 minus5 0 minus1 minus1 5
1 minus5 0 5 5 1 0
Con lo que el polinomio factorizado es
119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5 = (119909 + 1) ∙ (119909 + 1) ∙ (119909 minus 5) = (119909 + 1)5 ∙ (119909 minus 5)
POLINOMIOS
16
EJERCICIOS
14) Factoriza los siguientes polinomios
a) P(x) = 1199091 minus 51199095 + 7119909 minus 3
b) Q(x) = 1199095 minus 119909 minus 2
c) R(x) = 1199095 minus 5119909 + 6
d) T(x) = 1199090 minus 31199091 + 41199095 + 3119909 minus 5
e) A(x) = 1199090 minus 21199095 + 1
f) B(x) = 1199091 minus 1
g) C(x) = 1199090 + 1199091 minus 21199095 minus 119909 + 1
h) D(x)=1199091 minus 119909 minus 6
i) E(x)=1199090 minus 1199091 minus 71199095 + 13119909 minus 6
15) Factoriza los siguientes polinomios
a) P(x) = 1199090 minus 71199091 minus 61199095 + 72119909
b) P(x) = 1199090 minus 1199091 minus 251199095 + 25119909
c) P(x) = 1199090 + 1199091 minus 361199095 minus 36119909
d) P(x) = 1199090 minus 251199095
e) P(x) = 1199090 + 41199091 minus 51199095
f) P(x) = 1199090 minus 41199091 minus 121199095
g) D(x)=119909I + 21199090 minus 51199091 minus 61199095
16) Determinar las raiacuteces y factorizar el siguiente polinomio
119875(119909) = 1199090 minus 81199091 + 171199095 + 2119909 minus 24
17) Escribe un polinomio de grado 4 con soacutelo las raiacuteces 0 y 1 (dobles)
CONCLUSIONES
18) Dado el polinomio 119875(119909) = 1199091 + 1198861199095 + 119887119909 + 3 calcular el valor de a y b para que x=1
sea una raiacutez del polinomio y 17 sea el valor numeacuterico para x=2
19) Dados los polinomios
119875(119909) = 1199091 + 21199095 minus 119909 + 3
119876(119909) = 21199090 + 1199095 + 5119909 + 2
a) Calcula el valor numeacuterico del polinomio para x=2
b) Calcula la suma de los polinomios P(x) y Q(x)
20) Dado el polinomio 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6 calcula
a) Las raiacuteces del polinomio
b) El valor numeacuterico para 119909 = minus3
21) Dado el polinomio119875(119909) = 21199095 minus 119886119909 + 119887 calcula el valor de a y b para que cumpla las
siguientes condiciones
a) El 1 es raiacutez
b) El valor numeacuterico para x = 0 es 12
POLINOMIOS
17
FRACCIONESALGEBRAICAS
Fraccioacutenalgebraica
Una fraccioacuten algebraica L(M)N(M)
es una fraccioacuten que tiene por denominador un polinomio
EJEMPLOS
Fraccioacutenequivalente
es equivalente a
SIMPLIFICACIOacuteNDEFRACCIONESALGEBRAICAS
Para simplificar una fraccioacuten algebraica hay que descomponer factorialmente el numerador y el denominador y eliminar despueacutes los factores comunes de ambos
EJEMPLO
EJERCICIOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
22) Factoriza numerador y denominador y luego simplifica
a) b) c) d)
Sol a) 53 b) x2 c) d)
31
2 -+
xx
4583 2
+--
xxx
213x-
( )( )xBxA ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )xDxC
xBxAxCxBxDxA
xDxC
=Ucirctimes=timesUcirc
13
)2)(1()2)(3(
2365
23
23
++
=++++
=++++
xx
xxxxxx
xxxxxx
3+3x5+5x
6-2x3x-x2
1-xx+x
2
2
2x+x412x2
1-xx
1+2x6
POLINOMIOS
18
23) Descomponer en factores y simplificar
a) b) c) d)
e) f) g)MOPQMMRSMOPS
h)
Sol a) x-1 b) c) d) e) f) 1 g) h)
24) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas factorizando el numerador y
denominador
a) Sol
b) Sol
c) Sol
d) Sol
e) Sol
f) Sol
g) Sol
h) Sol
25) Resuelve
a) Simplifica la siguiente expresioacuten
1199091 minus 1199095 minus 8119909 + 121199091 + 21199095 minus 5119909 minus 6
OPERACIONESCONFRACCIONESALGEBRAICAS
Sumaorestadefraccionesalgebraicas
Para sumar o restar fracciones algebraicas se reducen a comuacuten denominador y se suman o se restan los numeradores
Productodefraccionesalgebraicas
El producto de fracciones algebraicas es otra fraccioacuten algebraica que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores
119875(119909)119876(119909) ∙
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909) ∙ 119877(119909)119876(119909) ∙ 119878(119909)
1+x1-x2
)1-(x1-x2
2
4-2x4-x2
4-x4+4x+x
2
2
16+8x+x16-x
2
2
4+4x+x2)+(x x
2 81-x9-x
4
2
1-x1+x
22+x
2-x2+x
4+x4-x
2+xx
3+x3-x
9+x12
5654
3
23
+--+xx
xxx ( )55
2 -++xx
xx
652
2
2
+--xxxx
3-xx
6544
2
2
++++xxxx
32
++xx
62107
2
2
--+-xxxx
( )2325+times-xx
1833182
2
2
-+-xx
x ( )( )23
32-times-timesxx
1123
23
2
--+-+xxxxx ( )
( ) ( )113 3
1
-times+-timesxx
x
2354
3
23
+--+
xxxx
( ) ( )21552
+times-++xxxx
5654
3
23
+--+xx
xxx ( )55
2 -++timesxxxx
POLINOMIOS
19
Divisioacutendefraccionesalgebraicas
Para dividir dos fracciones algebraicas nos da como resultado otra fraccioacuten algebraica que se obtiene al multiplicar la primera fraccioacuten algebraica por la inversa de la segunda fraccioacuten algebraica
119875(119909)119876(119909)
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909)119876(119909) ∙
119878(119909)119877(119909) =
119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)
26) Efectuacutea las operaciones
a) 0MRU
+ 5MR5
b) UMRI
minus VMP5
c) P1MPU
+ WMP1
d) P1MRQ
minus SMPU
27) Opera y simplifica si es posible
a) UMOP1MP0
minus 5MP0
minus UMRU
b) U5MOR1MPI
minus UMPU
minus M5MRI
c) MR15MOPIMR0
+ 5MMP0
+ UMPU
d) MRU5MORIMPU0
+ MPIMP5
minus QMRV
28) Realiza las operaciones
a) 0MPU
∙ MR55
b) P1MPU
MP1M
c) MPI5MORMP1
∙ MOPU1MO
d) M5MORMRU
MO
5MPU
29) Efectuacutea las operaciones y simplifica su resultado
a) SM1MP1
∙ MOPU1MO
b) 5MPQMOP0
∙ MOP0MR0MOPQMRS
c) MP1M∙ M
OR1MMOPS
d) MRIMPI
∙ MOP5IMOR5I
30) Efectuacutea estas divisiones de fracciones algebraicas y simplifica su resultado
a) X UMP5
minus MP11199092minus4
Y ∙ MR5Mminus M
5
b) UMRU
+ 5MMOPU
minus UMPU
c)
d) MOP5MMOPIMRQ
∙ MOR0MR0MOP0M
e) MPUMOPU
MRUMOR5MRU
31) Realiza la siguiente operacioacuten simplificando el resultado
1356
2 +-+
xxx
POLINOMIOS
12
TEOREMADELRESTO
Teoremadelresto
El valor numeacuterico de un polinomio P(x) para x=a coincide con el resto de la divisioacuten P(x)(x-a)
Demostracioacuten
Ejemplo Calcula el valor numeacuterico de los siguientes polinomios
a) 119875(119909) = 1199095 minus 5119909 + 6 en x=3
1 minus5 6 3 3 minus6 1 minus2 0
Por lo que P(3)=0
b) 119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5 en x= minus5
1 minus3 minus9 minus5 minus2 minus2 10 minus2
1 minus5 1 minus7
Por lo que P (minus2)=minus7
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) RaPRaCaaaPRxCaxxP =THORN+times-=THORN+times-=
POLINOMIOS
13
Raiacutecesocerosdeunpolinomio
Un nuacutemero a es una raiacutez del polinomio P(x) si P(a)=0
EJEMPLO
no es raiacutez del polinomio porque su resto es
es raiacutez de porque
Propiedadesdelasraiacutecesdeunpolinomio
- Las raiacuteces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del teacutermino independiente
- El nuacutemero de raiacuteces de un polinomio es menor o igual que su grado
10) Calcular el valor numeacuterico de los siguientes polinomios
a) en x=2 b) en x=ndash3 c) en x=1 x=0 d) +1 en x=ndash1 x=0 e) en x=2 f) en x=1 x=0
11) Calcula el valor de m en el polinomio P(x)= para que dicho polinomio
tenga como raiacutez x=2 despueacutes factoriza el polinomio resultante
12) Comprueba que el polinomio P(x)= no tiene raiacuteces enteras
13) Calcula en el polinomio P(x)= el valor de k sabiendo que el valor de P(x)
para x=1 es igual a 7
2=x 12)( 2 +-= xxxp 01)2( sup1=p
1=x 12)( 2 +-= xxxp 01121)1( 2 =+-=p
44)( 23 +--= xxxxP1623)( 34 ---= xxxxP666)( 23 -+-= xxxxPxxxxxP 99)( 234 +--=2045)( 23 --+= xxxxP124)( 25 +-+= xxxxP
424 +-mxx
291312 23 -+- xxx
kxx -- 62 2
POLINOMIOS
14
Descomposicioacutenfactorialdeunpolinomio
FACTORIZAR UN POLINOMIO es escribirlo como producto de polinomios de menor grado posible
Para ello es necesario obtener las raiacuteces de dicho polinomio puesto que dado
si es una raiacutez de es exacta
si a su vez es una raiacutez de
Observa que tambieacuten es una raiacutez de pues sustituyendo en se cumple que
porque
Se tiene entonces que
Este proceso puede continuar si tienen maacutes raiacuteces lo cual permite factorizar
Polinomioirreducible
Un polinomio es IRREDUCIBLE o PRIMO cuando no es posible descomponerlo como producto de polinomios de grado mayor o igual que 1
( )xP
a ( )xP THORN ( ) ( )axxP - THORN ( ) ( ) ( )xQaxxP times-=
b ( )xQ THORN ( ) ( ) ( )xCbxxQ times-=
b ( )xP ( ) ( ) ( )xQaxxP times-=
( ) ( ) ( ) 0=times-= bQabbP ( ) 0=bQ
( ) ( ) ( ) ( )xCbxaxxP times-times-=
( ) ( )xPoxC( )xP
POLINOMIOS
15
Ejemplo
Factoriza los siguientes polinomios
a) 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6
Las posibles soluciones enteras del polinomio son plusmn 1 plusmn 2 plusmn 3 plusmn 6
1 minus4 1 6
-1 minus1 5 minus6 1 minus5 6 0 3 3 minus6 1 minus2 0 2 2 1 0
Con lo que el polinomio factorizado es 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6 = (119909 + 1) ∙ (119909 minus 3) ∙ (119909 minus 2)
b) 119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5
Las posibles soluciones enteras del polinomio son plusmn 1 plusmn 2 plusmn 5
1 minus3 minus9 minus5 minus1 minus1 4 5
1 minus4 minus5 0 minus1 minus1 5
1 minus5 0 5 5 1 0
Con lo que el polinomio factorizado es
119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5 = (119909 + 1) ∙ (119909 + 1) ∙ (119909 minus 5) = (119909 + 1)5 ∙ (119909 minus 5)
POLINOMIOS
16
EJERCICIOS
14) Factoriza los siguientes polinomios
a) P(x) = 1199091 minus 51199095 + 7119909 minus 3
b) Q(x) = 1199095 minus 119909 minus 2
c) R(x) = 1199095 minus 5119909 + 6
d) T(x) = 1199090 minus 31199091 + 41199095 + 3119909 minus 5
e) A(x) = 1199090 minus 21199095 + 1
f) B(x) = 1199091 minus 1
g) C(x) = 1199090 + 1199091 minus 21199095 minus 119909 + 1
h) D(x)=1199091 minus 119909 minus 6
i) E(x)=1199090 minus 1199091 minus 71199095 + 13119909 minus 6
15) Factoriza los siguientes polinomios
a) P(x) = 1199090 minus 71199091 minus 61199095 + 72119909
b) P(x) = 1199090 minus 1199091 minus 251199095 + 25119909
c) P(x) = 1199090 + 1199091 minus 361199095 minus 36119909
d) P(x) = 1199090 minus 251199095
e) P(x) = 1199090 + 41199091 minus 51199095
f) P(x) = 1199090 minus 41199091 minus 121199095
g) D(x)=119909I + 21199090 minus 51199091 minus 61199095
16) Determinar las raiacuteces y factorizar el siguiente polinomio
119875(119909) = 1199090 minus 81199091 + 171199095 + 2119909 minus 24
17) Escribe un polinomio de grado 4 con soacutelo las raiacuteces 0 y 1 (dobles)
CONCLUSIONES
18) Dado el polinomio 119875(119909) = 1199091 + 1198861199095 + 119887119909 + 3 calcular el valor de a y b para que x=1
sea una raiacutez del polinomio y 17 sea el valor numeacuterico para x=2
19) Dados los polinomios
119875(119909) = 1199091 + 21199095 minus 119909 + 3
119876(119909) = 21199090 + 1199095 + 5119909 + 2
a) Calcula el valor numeacuterico del polinomio para x=2
b) Calcula la suma de los polinomios P(x) y Q(x)
20) Dado el polinomio 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6 calcula
a) Las raiacuteces del polinomio
b) El valor numeacuterico para 119909 = minus3
21) Dado el polinomio119875(119909) = 21199095 minus 119886119909 + 119887 calcula el valor de a y b para que cumpla las
siguientes condiciones
a) El 1 es raiacutez
b) El valor numeacuterico para x = 0 es 12
POLINOMIOS
17
FRACCIONESALGEBRAICAS
Fraccioacutenalgebraica
Una fraccioacuten algebraica L(M)N(M)
es una fraccioacuten que tiene por denominador un polinomio
EJEMPLOS
Fraccioacutenequivalente
es equivalente a
SIMPLIFICACIOacuteNDEFRACCIONESALGEBRAICAS
Para simplificar una fraccioacuten algebraica hay que descomponer factorialmente el numerador y el denominador y eliminar despueacutes los factores comunes de ambos
EJEMPLO
EJERCICIOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
22) Factoriza numerador y denominador y luego simplifica
a) b) c) d)
Sol a) 53 b) x2 c) d)
31
2 -+
xx
4583 2
+--
xxx
213x-
( )( )xBxA ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )xDxC
xBxAxCxBxDxA
xDxC
=Ucirctimes=timesUcirc
13
)2)(1()2)(3(
2365
23
23
++
=++++
=++++
xx
xxxxxx
xxxxxx
3+3x5+5x
6-2x3x-x2
1-xx+x
2
2
2x+x412x2
1-xx
1+2x6
POLINOMIOS
18
23) Descomponer en factores y simplificar
a) b) c) d)
e) f) g)MOPQMMRSMOPS
h)
Sol a) x-1 b) c) d) e) f) 1 g) h)
24) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas factorizando el numerador y
denominador
a) Sol
b) Sol
c) Sol
d) Sol
e) Sol
f) Sol
g) Sol
h) Sol
25) Resuelve
a) Simplifica la siguiente expresioacuten
1199091 minus 1199095 minus 8119909 + 121199091 + 21199095 minus 5119909 minus 6
OPERACIONESCONFRACCIONESALGEBRAICAS
Sumaorestadefraccionesalgebraicas
Para sumar o restar fracciones algebraicas se reducen a comuacuten denominador y se suman o se restan los numeradores
Productodefraccionesalgebraicas
El producto de fracciones algebraicas es otra fraccioacuten algebraica que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores
119875(119909)119876(119909) ∙
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909) ∙ 119877(119909)119876(119909) ∙ 119878(119909)
1+x1-x2
)1-(x1-x2
2
4-2x4-x2
4-x4+4x+x
2
2
16+8x+x16-x
2
2
4+4x+x2)+(x x
2 81-x9-x
4
2
1-x1+x
22+x
2-x2+x
4+x4-x
2+xx
3+x3-x
9+x12
5654
3
23
+--+xx
xxx ( )55
2 -++xx
xx
652
2
2
+--xxxx
3-xx
6544
2
2
++++xxxx
32
++xx
62107
2
2
--+-xxxx
( )2325+times-xx
1833182
2
2
-+-xx
x ( )( )23
32-times-timesxx
1123
23
2
--+-+xxxxx ( )
( ) ( )113 3
1
-times+-timesxx
x
2354
3
23
+--+
xxxx
( ) ( )21552
+times-++xxxx
5654
3
23
+--+xx
xxx ( )55
2 -++timesxxxx
POLINOMIOS
19
Divisioacutendefraccionesalgebraicas
Para dividir dos fracciones algebraicas nos da como resultado otra fraccioacuten algebraica que se obtiene al multiplicar la primera fraccioacuten algebraica por la inversa de la segunda fraccioacuten algebraica
119875(119909)119876(119909)
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909)119876(119909) ∙
119878(119909)119877(119909) =
119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)
26) Efectuacutea las operaciones
a) 0MRU
+ 5MR5
b) UMRI
minus VMP5
c) P1MPU
+ WMP1
d) P1MRQ
minus SMPU
27) Opera y simplifica si es posible
a) UMOP1MP0
minus 5MP0
minus UMRU
b) U5MOR1MPI
minus UMPU
minus M5MRI
c) MR15MOPIMR0
+ 5MMP0
+ UMPU
d) MRU5MORIMPU0
+ MPIMP5
minus QMRV
28) Realiza las operaciones
a) 0MPU
∙ MR55
b) P1MPU
MP1M
c) MPI5MORMP1
∙ MOPU1MO
d) M5MORMRU
MO
5MPU
29) Efectuacutea las operaciones y simplifica su resultado
a) SM1MP1
∙ MOPU1MO
b) 5MPQMOP0
∙ MOP0MR0MOPQMRS
c) MP1M∙ M
OR1MMOPS
d) MRIMPI
∙ MOP5IMOR5I
30) Efectuacutea estas divisiones de fracciones algebraicas y simplifica su resultado
a) X UMP5
minus MP11199092minus4
Y ∙ MR5Mminus M
5
b) UMRU
+ 5MMOPU
minus UMPU
c)
d) MOP5MMOPIMRQ
∙ MOR0MR0MOP0M
e) MPUMOPU
MRUMOR5MRU
31) Realiza la siguiente operacioacuten simplificando el resultado
1356
2 +-+
xxx
POLINOMIOS
13
Raiacutecesocerosdeunpolinomio
Un nuacutemero a es una raiacutez del polinomio P(x) si P(a)=0
EJEMPLO
no es raiacutez del polinomio porque su resto es
es raiacutez de porque
Propiedadesdelasraiacutecesdeunpolinomio
- Las raiacuteces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del teacutermino independiente
- El nuacutemero de raiacuteces de un polinomio es menor o igual que su grado
10) Calcular el valor numeacuterico de los siguientes polinomios
a) en x=2 b) en x=ndash3 c) en x=1 x=0 d) +1 en x=ndash1 x=0 e) en x=2 f) en x=1 x=0
11) Calcula el valor de m en el polinomio P(x)= para que dicho polinomio
tenga como raiacutez x=2 despueacutes factoriza el polinomio resultante
12) Comprueba que el polinomio P(x)= no tiene raiacuteces enteras
13) Calcula en el polinomio P(x)= el valor de k sabiendo que el valor de P(x)
para x=1 es igual a 7
2=x 12)( 2 +-= xxxp 01)2( sup1=p
1=x 12)( 2 +-= xxxp 01121)1( 2 =+-=p
44)( 23 +--= xxxxP1623)( 34 ---= xxxxP666)( 23 -+-= xxxxPxxxxxP 99)( 234 +--=2045)( 23 --+= xxxxP124)( 25 +-+= xxxxP
424 +-mxx
291312 23 -+- xxx
kxx -- 62 2
POLINOMIOS
14
Descomposicioacutenfactorialdeunpolinomio
FACTORIZAR UN POLINOMIO es escribirlo como producto de polinomios de menor grado posible
Para ello es necesario obtener las raiacuteces de dicho polinomio puesto que dado
si es una raiacutez de es exacta
si a su vez es una raiacutez de
Observa que tambieacuten es una raiacutez de pues sustituyendo en se cumple que
porque
Se tiene entonces que
Este proceso puede continuar si tienen maacutes raiacuteces lo cual permite factorizar
Polinomioirreducible
Un polinomio es IRREDUCIBLE o PRIMO cuando no es posible descomponerlo como producto de polinomios de grado mayor o igual que 1
( )xP
a ( )xP THORN ( ) ( )axxP - THORN ( ) ( ) ( )xQaxxP times-=
b ( )xQ THORN ( ) ( ) ( )xCbxxQ times-=
b ( )xP ( ) ( ) ( )xQaxxP times-=
( ) ( ) ( ) 0=times-= bQabbP ( ) 0=bQ
( ) ( ) ( ) ( )xCbxaxxP times-times-=
( ) ( )xPoxC( )xP
POLINOMIOS
15
Ejemplo
Factoriza los siguientes polinomios
a) 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6
Las posibles soluciones enteras del polinomio son plusmn 1 plusmn 2 plusmn 3 plusmn 6
1 minus4 1 6
-1 minus1 5 minus6 1 minus5 6 0 3 3 minus6 1 minus2 0 2 2 1 0
Con lo que el polinomio factorizado es 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6 = (119909 + 1) ∙ (119909 minus 3) ∙ (119909 minus 2)
b) 119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5
Las posibles soluciones enteras del polinomio son plusmn 1 plusmn 2 plusmn 5
1 minus3 minus9 minus5 minus1 minus1 4 5
1 minus4 minus5 0 minus1 minus1 5
1 minus5 0 5 5 1 0
Con lo que el polinomio factorizado es
119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5 = (119909 + 1) ∙ (119909 + 1) ∙ (119909 minus 5) = (119909 + 1)5 ∙ (119909 minus 5)
POLINOMIOS
16
EJERCICIOS
14) Factoriza los siguientes polinomios
a) P(x) = 1199091 minus 51199095 + 7119909 minus 3
b) Q(x) = 1199095 minus 119909 minus 2
c) R(x) = 1199095 minus 5119909 + 6
d) T(x) = 1199090 minus 31199091 + 41199095 + 3119909 minus 5
e) A(x) = 1199090 minus 21199095 + 1
f) B(x) = 1199091 minus 1
g) C(x) = 1199090 + 1199091 minus 21199095 minus 119909 + 1
h) D(x)=1199091 minus 119909 minus 6
i) E(x)=1199090 minus 1199091 minus 71199095 + 13119909 minus 6
15) Factoriza los siguientes polinomios
a) P(x) = 1199090 minus 71199091 minus 61199095 + 72119909
b) P(x) = 1199090 minus 1199091 minus 251199095 + 25119909
c) P(x) = 1199090 + 1199091 minus 361199095 minus 36119909
d) P(x) = 1199090 minus 251199095
e) P(x) = 1199090 + 41199091 minus 51199095
f) P(x) = 1199090 minus 41199091 minus 121199095
g) D(x)=119909I + 21199090 minus 51199091 minus 61199095
16) Determinar las raiacuteces y factorizar el siguiente polinomio
119875(119909) = 1199090 minus 81199091 + 171199095 + 2119909 minus 24
17) Escribe un polinomio de grado 4 con soacutelo las raiacuteces 0 y 1 (dobles)
CONCLUSIONES
18) Dado el polinomio 119875(119909) = 1199091 + 1198861199095 + 119887119909 + 3 calcular el valor de a y b para que x=1
sea una raiacutez del polinomio y 17 sea el valor numeacuterico para x=2
19) Dados los polinomios
119875(119909) = 1199091 + 21199095 minus 119909 + 3
119876(119909) = 21199090 + 1199095 + 5119909 + 2
a) Calcula el valor numeacuterico del polinomio para x=2
b) Calcula la suma de los polinomios P(x) y Q(x)
20) Dado el polinomio 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6 calcula
a) Las raiacuteces del polinomio
b) El valor numeacuterico para 119909 = minus3
21) Dado el polinomio119875(119909) = 21199095 minus 119886119909 + 119887 calcula el valor de a y b para que cumpla las
siguientes condiciones
a) El 1 es raiacutez
b) El valor numeacuterico para x = 0 es 12
POLINOMIOS
17
FRACCIONESALGEBRAICAS
Fraccioacutenalgebraica
Una fraccioacuten algebraica L(M)N(M)
es una fraccioacuten que tiene por denominador un polinomio
EJEMPLOS
Fraccioacutenequivalente
es equivalente a
SIMPLIFICACIOacuteNDEFRACCIONESALGEBRAICAS
Para simplificar una fraccioacuten algebraica hay que descomponer factorialmente el numerador y el denominador y eliminar despueacutes los factores comunes de ambos
EJEMPLO
EJERCICIOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
22) Factoriza numerador y denominador y luego simplifica
a) b) c) d)
Sol a) 53 b) x2 c) d)
31
2 -+
xx
4583 2
+--
xxx
213x-
( )( )xBxA ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )xDxC
xBxAxCxBxDxA
xDxC
=Ucirctimes=timesUcirc
13
)2)(1()2)(3(
2365
23
23
++
=++++
=++++
xx
xxxxxx
xxxxxx
3+3x5+5x
6-2x3x-x2
1-xx+x
2
2
2x+x412x2
1-xx
1+2x6
POLINOMIOS
18
23) Descomponer en factores y simplificar
a) b) c) d)
e) f) g)MOPQMMRSMOPS
h)
Sol a) x-1 b) c) d) e) f) 1 g) h)
24) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas factorizando el numerador y
denominador
a) Sol
b) Sol
c) Sol
d) Sol
e) Sol
f) Sol
g) Sol
h) Sol
25) Resuelve
a) Simplifica la siguiente expresioacuten
1199091 minus 1199095 minus 8119909 + 121199091 + 21199095 minus 5119909 minus 6
OPERACIONESCONFRACCIONESALGEBRAICAS
Sumaorestadefraccionesalgebraicas
Para sumar o restar fracciones algebraicas se reducen a comuacuten denominador y se suman o se restan los numeradores
Productodefraccionesalgebraicas
El producto de fracciones algebraicas es otra fraccioacuten algebraica que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores
119875(119909)119876(119909) ∙
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909) ∙ 119877(119909)119876(119909) ∙ 119878(119909)
1+x1-x2
)1-(x1-x2
2
4-2x4-x2
4-x4+4x+x
2
2
16+8x+x16-x
2
2
4+4x+x2)+(x x
2 81-x9-x
4
2
1-x1+x
22+x
2-x2+x
4+x4-x
2+xx
3+x3-x
9+x12
5654
3
23
+--+xx
xxx ( )55
2 -++xx
xx
652
2
2
+--xxxx
3-xx
6544
2
2
++++xxxx
32
++xx
62107
2
2
--+-xxxx
( )2325+times-xx
1833182
2
2
-+-xx
x ( )( )23
32-times-timesxx
1123
23
2
--+-+xxxxx ( )
( ) ( )113 3
1
-times+-timesxx
x
2354
3
23
+--+
xxxx
( ) ( )21552
+times-++xxxx
5654
3
23
+--+xx
xxx ( )55
2 -++timesxxxx
POLINOMIOS
19
Divisioacutendefraccionesalgebraicas
Para dividir dos fracciones algebraicas nos da como resultado otra fraccioacuten algebraica que se obtiene al multiplicar la primera fraccioacuten algebraica por la inversa de la segunda fraccioacuten algebraica
119875(119909)119876(119909)
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909)119876(119909) ∙
119878(119909)119877(119909) =
119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)
26) Efectuacutea las operaciones
a) 0MRU
+ 5MR5
b) UMRI
minus VMP5
c) P1MPU
+ WMP1
d) P1MRQ
minus SMPU
27) Opera y simplifica si es posible
a) UMOP1MP0
minus 5MP0
minus UMRU
b) U5MOR1MPI
minus UMPU
minus M5MRI
c) MR15MOPIMR0
+ 5MMP0
+ UMPU
d) MRU5MORIMPU0
+ MPIMP5
minus QMRV
28) Realiza las operaciones
a) 0MPU
∙ MR55
b) P1MPU
MP1M
c) MPI5MORMP1
∙ MOPU1MO
d) M5MORMRU
MO
5MPU
29) Efectuacutea las operaciones y simplifica su resultado
a) SM1MP1
∙ MOPU1MO
b) 5MPQMOP0
∙ MOP0MR0MOPQMRS
c) MP1M∙ M
OR1MMOPS
d) MRIMPI
∙ MOP5IMOR5I
30) Efectuacutea estas divisiones de fracciones algebraicas y simplifica su resultado
a) X UMP5
minus MP11199092minus4
Y ∙ MR5Mminus M
5
b) UMRU
+ 5MMOPU
minus UMPU
c)
d) MOP5MMOPIMRQ
∙ MOR0MR0MOP0M
e) MPUMOPU
MRUMOR5MRU
31) Realiza la siguiente operacioacuten simplificando el resultado
1356
2 +-+
xxx
POLINOMIOS
14
Descomposicioacutenfactorialdeunpolinomio
FACTORIZAR UN POLINOMIO es escribirlo como producto de polinomios de menor grado posible
Para ello es necesario obtener las raiacuteces de dicho polinomio puesto que dado
si es una raiacutez de es exacta
si a su vez es una raiacutez de
Observa que tambieacuten es una raiacutez de pues sustituyendo en se cumple que
porque
Se tiene entonces que
Este proceso puede continuar si tienen maacutes raiacuteces lo cual permite factorizar
Polinomioirreducible
Un polinomio es IRREDUCIBLE o PRIMO cuando no es posible descomponerlo como producto de polinomios de grado mayor o igual que 1
( )xP
a ( )xP THORN ( ) ( )axxP - THORN ( ) ( ) ( )xQaxxP times-=
b ( )xQ THORN ( ) ( ) ( )xCbxxQ times-=
b ( )xP ( ) ( ) ( )xQaxxP times-=
( ) ( ) ( ) 0=times-= bQabbP ( ) 0=bQ
( ) ( ) ( ) ( )xCbxaxxP times-times-=
( ) ( )xPoxC( )xP
POLINOMIOS
15
Ejemplo
Factoriza los siguientes polinomios
a) 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6
Las posibles soluciones enteras del polinomio son plusmn 1 plusmn 2 plusmn 3 plusmn 6
1 minus4 1 6
-1 minus1 5 minus6 1 minus5 6 0 3 3 minus6 1 minus2 0 2 2 1 0
Con lo que el polinomio factorizado es 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6 = (119909 + 1) ∙ (119909 minus 3) ∙ (119909 minus 2)
b) 119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5
Las posibles soluciones enteras del polinomio son plusmn 1 plusmn 2 plusmn 5
1 minus3 minus9 minus5 minus1 minus1 4 5
1 minus4 minus5 0 minus1 minus1 5
1 minus5 0 5 5 1 0
Con lo que el polinomio factorizado es
119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5 = (119909 + 1) ∙ (119909 + 1) ∙ (119909 minus 5) = (119909 + 1)5 ∙ (119909 minus 5)
POLINOMIOS
16
EJERCICIOS
14) Factoriza los siguientes polinomios
a) P(x) = 1199091 minus 51199095 + 7119909 minus 3
b) Q(x) = 1199095 minus 119909 minus 2
c) R(x) = 1199095 minus 5119909 + 6
d) T(x) = 1199090 minus 31199091 + 41199095 + 3119909 minus 5
e) A(x) = 1199090 minus 21199095 + 1
f) B(x) = 1199091 minus 1
g) C(x) = 1199090 + 1199091 minus 21199095 minus 119909 + 1
h) D(x)=1199091 minus 119909 minus 6
i) E(x)=1199090 minus 1199091 minus 71199095 + 13119909 minus 6
15) Factoriza los siguientes polinomios
a) P(x) = 1199090 minus 71199091 minus 61199095 + 72119909
b) P(x) = 1199090 minus 1199091 minus 251199095 + 25119909
c) P(x) = 1199090 + 1199091 minus 361199095 minus 36119909
d) P(x) = 1199090 minus 251199095
e) P(x) = 1199090 + 41199091 minus 51199095
f) P(x) = 1199090 minus 41199091 minus 121199095
g) D(x)=119909I + 21199090 minus 51199091 minus 61199095
16) Determinar las raiacuteces y factorizar el siguiente polinomio
119875(119909) = 1199090 minus 81199091 + 171199095 + 2119909 minus 24
17) Escribe un polinomio de grado 4 con soacutelo las raiacuteces 0 y 1 (dobles)
CONCLUSIONES
18) Dado el polinomio 119875(119909) = 1199091 + 1198861199095 + 119887119909 + 3 calcular el valor de a y b para que x=1
sea una raiacutez del polinomio y 17 sea el valor numeacuterico para x=2
19) Dados los polinomios
119875(119909) = 1199091 + 21199095 minus 119909 + 3
119876(119909) = 21199090 + 1199095 + 5119909 + 2
a) Calcula el valor numeacuterico del polinomio para x=2
b) Calcula la suma de los polinomios P(x) y Q(x)
20) Dado el polinomio 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6 calcula
a) Las raiacuteces del polinomio
b) El valor numeacuterico para 119909 = minus3
21) Dado el polinomio119875(119909) = 21199095 minus 119886119909 + 119887 calcula el valor de a y b para que cumpla las
siguientes condiciones
a) El 1 es raiacutez
b) El valor numeacuterico para x = 0 es 12
POLINOMIOS
17
FRACCIONESALGEBRAICAS
Fraccioacutenalgebraica
Una fraccioacuten algebraica L(M)N(M)
es una fraccioacuten que tiene por denominador un polinomio
EJEMPLOS
Fraccioacutenequivalente
es equivalente a
SIMPLIFICACIOacuteNDEFRACCIONESALGEBRAICAS
Para simplificar una fraccioacuten algebraica hay que descomponer factorialmente el numerador y el denominador y eliminar despueacutes los factores comunes de ambos
EJEMPLO
EJERCICIOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
22) Factoriza numerador y denominador y luego simplifica
a) b) c) d)
Sol a) 53 b) x2 c) d)
31
2 -+
xx
4583 2
+--
xxx
213x-
( )( )xBxA ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )xDxC
xBxAxCxBxDxA
xDxC
=Ucirctimes=timesUcirc
13
)2)(1()2)(3(
2365
23
23
++
=++++
=++++
xx
xxxxxx
xxxxxx
3+3x5+5x
6-2x3x-x2
1-xx+x
2
2
2x+x412x2
1-xx
1+2x6
POLINOMIOS
18
23) Descomponer en factores y simplificar
a) b) c) d)
e) f) g)MOPQMMRSMOPS
h)
Sol a) x-1 b) c) d) e) f) 1 g) h)
24) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas factorizando el numerador y
denominador
a) Sol
b) Sol
c) Sol
d) Sol
e) Sol
f) Sol
g) Sol
h) Sol
25) Resuelve
a) Simplifica la siguiente expresioacuten
1199091 minus 1199095 minus 8119909 + 121199091 + 21199095 minus 5119909 minus 6
OPERACIONESCONFRACCIONESALGEBRAICAS
Sumaorestadefraccionesalgebraicas
Para sumar o restar fracciones algebraicas se reducen a comuacuten denominador y se suman o se restan los numeradores
Productodefraccionesalgebraicas
El producto de fracciones algebraicas es otra fraccioacuten algebraica que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores
119875(119909)119876(119909) ∙
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909) ∙ 119877(119909)119876(119909) ∙ 119878(119909)
1+x1-x2
)1-(x1-x2
2
4-2x4-x2
4-x4+4x+x
2
2
16+8x+x16-x
2
2
4+4x+x2)+(x x
2 81-x9-x
4
2
1-x1+x
22+x
2-x2+x
4+x4-x
2+xx
3+x3-x
9+x12
5654
3
23
+--+xx
xxx ( )55
2 -++xx
xx
652
2
2
+--xxxx
3-xx
6544
2
2
++++xxxx
32
++xx
62107
2
2
--+-xxxx
( )2325+times-xx
1833182
2
2
-+-xx
x ( )( )23
32-times-timesxx
1123
23
2
--+-+xxxxx ( )
( ) ( )113 3
1
-times+-timesxx
x
2354
3
23
+--+
xxxx
( ) ( )21552
+times-++xxxx
5654
3
23
+--+xx
xxx ( )55
2 -++timesxxxx
POLINOMIOS
19
Divisioacutendefraccionesalgebraicas
Para dividir dos fracciones algebraicas nos da como resultado otra fraccioacuten algebraica que se obtiene al multiplicar la primera fraccioacuten algebraica por la inversa de la segunda fraccioacuten algebraica
119875(119909)119876(119909)
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909)119876(119909) ∙
119878(119909)119877(119909) =
119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)
26) Efectuacutea las operaciones
a) 0MRU
+ 5MR5
b) UMRI
minus VMP5
c) P1MPU
+ WMP1
d) P1MRQ
minus SMPU
27) Opera y simplifica si es posible
a) UMOP1MP0
minus 5MP0
minus UMRU
b) U5MOR1MPI
minus UMPU
minus M5MRI
c) MR15MOPIMR0
+ 5MMP0
+ UMPU
d) MRU5MORIMPU0
+ MPIMP5
minus QMRV
28) Realiza las operaciones
a) 0MPU
∙ MR55
b) P1MPU
MP1M
c) MPI5MORMP1
∙ MOPU1MO
d) M5MORMRU
MO
5MPU
29) Efectuacutea las operaciones y simplifica su resultado
a) SM1MP1
∙ MOPU1MO
b) 5MPQMOP0
∙ MOP0MR0MOPQMRS
c) MP1M∙ M
OR1MMOPS
d) MRIMPI
∙ MOP5IMOR5I
30) Efectuacutea estas divisiones de fracciones algebraicas y simplifica su resultado
a) X UMP5
minus MP11199092minus4
Y ∙ MR5Mminus M
5
b) UMRU
+ 5MMOPU
minus UMPU
c)
d) MOP5MMOPIMRQ
∙ MOR0MR0MOP0M
e) MPUMOPU
MRUMOR5MRU
31) Realiza la siguiente operacioacuten simplificando el resultado
1356
2 +-+
xxx
POLINOMIOS
15
Ejemplo
Factoriza los siguientes polinomios
a) 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6
Las posibles soluciones enteras del polinomio son plusmn 1 plusmn 2 plusmn 3 plusmn 6
1 minus4 1 6
-1 minus1 5 minus6 1 minus5 6 0 3 3 minus6 1 minus2 0 2 2 1 0
Con lo que el polinomio factorizado es 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6 = (119909 + 1) ∙ (119909 minus 3) ∙ (119909 minus 2)
b) 119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5
Las posibles soluciones enteras del polinomio son plusmn 1 plusmn 2 plusmn 5
1 minus3 minus9 minus5 minus1 minus1 4 5
1 minus4 minus5 0 minus1 minus1 5
1 minus5 0 5 5 1 0
Con lo que el polinomio factorizado es
119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5 = (119909 + 1) ∙ (119909 + 1) ∙ (119909 minus 5) = (119909 + 1)5 ∙ (119909 minus 5)
POLINOMIOS
16
EJERCICIOS
14) Factoriza los siguientes polinomios
a) P(x) = 1199091 minus 51199095 + 7119909 minus 3
b) Q(x) = 1199095 minus 119909 minus 2
c) R(x) = 1199095 minus 5119909 + 6
d) T(x) = 1199090 minus 31199091 + 41199095 + 3119909 minus 5
e) A(x) = 1199090 minus 21199095 + 1
f) B(x) = 1199091 minus 1
g) C(x) = 1199090 + 1199091 minus 21199095 minus 119909 + 1
h) D(x)=1199091 minus 119909 minus 6
i) E(x)=1199090 minus 1199091 minus 71199095 + 13119909 minus 6
15) Factoriza los siguientes polinomios
a) P(x) = 1199090 minus 71199091 minus 61199095 + 72119909
b) P(x) = 1199090 minus 1199091 minus 251199095 + 25119909
c) P(x) = 1199090 + 1199091 minus 361199095 minus 36119909
d) P(x) = 1199090 minus 251199095
e) P(x) = 1199090 + 41199091 minus 51199095
f) P(x) = 1199090 minus 41199091 minus 121199095
g) D(x)=119909I + 21199090 minus 51199091 minus 61199095
16) Determinar las raiacuteces y factorizar el siguiente polinomio
119875(119909) = 1199090 minus 81199091 + 171199095 + 2119909 minus 24
17) Escribe un polinomio de grado 4 con soacutelo las raiacuteces 0 y 1 (dobles)
CONCLUSIONES
18) Dado el polinomio 119875(119909) = 1199091 + 1198861199095 + 119887119909 + 3 calcular el valor de a y b para que x=1
sea una raiacutez del polinomio y 17 sea el valor numeacuterico para x=2
19) Dados los polinomios
119875(119909) = 1199091 + 21199095 minus 119909 + 3
119876(119909) = 21199090 + 1199095 + 5119909 + 2
a) Calcula el valor numeacuterico del polinomio para x=2
b) Calcula la suma de los polinomios P(x) y Q(x)
20) Dado el polinomio 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6 calcula
a) Las raiacuteces del polinomio
b) El valor numeacuterico para 119909 = minus3
21) Dado el polinomio119875(119909) = 21199095 minus 119886119909 + 119887 calcula el valor de a y b para que cumpla las
siguientes condiciones
a) El 1 es raiacutez
b) El valor numeacuterico para x = 0 es 12
POLINOMIOS
17
FRACCIONESALGEBRAICAS
Fraccioacutenalgebraica
Una fraccioacuten algebraica L(M)N(M)
es una fraccioacuten que tiene por denominador un polinomio
EJEMPLOS
Fraccioacutenequivalente
es equivalente a
SIMPLIFICACIOacuteNDEFRACCIONESALGEBRAICAS
Para simplificar una fraccioacuten algebraica hay que descomponer factorialmente el numerador y el denominador y eliminar despueacutes los factores comunes de ambos
EJEMPLO
EJERCICIOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
22) Factoriza numerador y denominador y luego simplifica
a) b) c) d)
Sol a) 53 b) x2 c) d)
31
2 -+
xx
4583 2
+--
xxx
213x-
( )( )xBxA ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )xDxC
xBxAxCxBxDxA
xDxC
=Ucirctimes=timesUcirc
13
)2)(1()2)(3(
2365
23
23
++
=++++
=++++
xx
xxxxxx
xxxxxx
3+3x5+5x
6-2x3x-x2
1-xx+x
2
2
2x+x412x2
1-xx
1+2x6
POLINOMIOS
18
23) Descomponer en factores y simplificar
a) b) c) d)
e) f) g)MOPQMMRSMOPS
h)
Sol a) x-1 b) c) d) e) f) 1 g) h)
24) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas factorizando el numerador y
denominador
a) Sol
b) Sol
c) Sol
d) Sol
e) Sol
f) Sol
g) Sol
h) Sol
25) Resuelve
a) Simplifica la siguiente expresioacuten
1199091 minus 1199095 minus 8119909 + 121199091 + 21199095 minus 5119909 minus 6
OPERACIONESCONFRACCIONESALGEBRAICAS
Sumaorestadefraccionesalgebraicas
Para sumar o restar fracciones algebraicas se reducen a comuacuten denominador y se suman o se restan los numeradores
Productodefraccionesalgebraicas
El producto de fracciones algebraicas es otra fraccioacuten algebraica que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores
119875(119909)119876(119909) ∙
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909) ∙ 119877(119909)119876(119909) ∙ 119878(119909)
1+x1-x2
)1-(x1-x2
2
4-2x4-x2
4-x4+4x+x
2
2
16+8x+x16-x
2
2
4+4x+x2)+(x x
2 81-x9-x
4
2
1-x1+x
22+x
2-x2+x
4+x4-x
2+xx
3+x3-x
9+x12
5654
3
23
+--+xx
xxx ( )55
2 -++xx
xx
652
2
2
+--xxxx
3-xx
6544
2
2
++++xxxx
32
++xx
62107
2
2
--+-xxxx
( )2325+times-xx
1833182
2
2
-+-xx
x ( )( )23
32-times-timesxx
1123
23
2
--+-+xxxxx ( )
( ) ( )113 3
1
-times+-timesxx
x
2354
3
23
+--+
xxxx
( ) ( )21552
+times-++xxxx
5654
3
23
+--+xx
xxx ( )55
2 -++timesxxxx
POLINOMIOS
19
Divisioacutendefraccionesalgebraicas
Para dividir dos fracciones algebraicas nos da como resultado otra fraccioacuten algebraica que se obtiene al multiplicar la primera fraccioacuten algebraica por la inversa de la segunda fraccioacuten algebraica
119875(119909)119876(119909)
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909)119876(119909) ∙
119878(119909)119877(119909) =
119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)
26) Efectuacutea las operaciones
a) 0MRU
+ 5MR5
b) UMRI
minus VMP5
c) P1MPU
+ WMP1
d) P1MRQ
minus SMPU
27) Opera y simplifica si es posible
a) UMOP1MP0
minus 5MP0
minus UMRU
b) U5MOR1MPI
minus UMPU
minus M5MRI
c) MR15MOPIMR0
+ 5MMP0
+ UMPU
d) MRU5MORIMPU0
+ MPIMP5
minus QMRV
28) Realiza las operaciones
a) 0MPU
∙ MR55
b) P1MPU
MP1M
c) MPI5MORMP1
∙ MOPU1MO
d) M5MORMRU
MO
5MPU
29) Efectuacutea las operaciones y simplifica su resultado
a) SM1MP1
∙ MOPU1MO
b) 5MPQMOP0
∙ MOP0MR0MOPQMRS
c) MP1M∙ M
OR1MMOPS
d) MRIMPI
∙ MOP5IMOR5I
30) Efectuacutea estas divisiones de fracciones algebraicas y simplifica su resultado
a) X UMP5
minus MP11199092minus4
Y ∙ MR5Mminus M
5
b) UMRU
+ 5MMOPU
minus UMPU
c)
d) MOP5MMOPIMRQ
∙ MOR0MR0MOP0M
e) MPUMOPU
MRUMOR5MRU
31) Realiza la siguiente operacioacuten simplificando el resultado
1356
2 +-+
xxx
POLINOMIOS
16
EJERCICIOS
14) Factoriza los siguientes polinomios
a) P(x) = 1199091 minus 51199095 + 7119909 minus 3
b) Q(x) = 1199095 minus 119909 minus 2
c) R(x) = 1199095 minus 5119909 + 6
d) T(x) = 1199090 minus 31199091 + 41199095 + 3119909 minus 5
e) A(x) = 1199090 minus 21199095 + 1
f) B(x) = 1199091 minus 1
g) C(x) = 1199090 + 1199091 minus 21199095 minus 119909 + 1
h) D(x)=1199091 minus 119909 minus 6
i) E(x)=1199090 minus 1199091 minus 71199095 + 13119909 minus 6
15) Factoriza los siguientes polinomios
a) P(x) = 1199090 minus 71199091 minus 61199095 + 72119909
b) P(x) = 1199090 minus 1199091 minus 251199095 + 25119909
c) P(x) = 1199090 + 1199091 minus 361199095 minus 36119909
d) P(x) = 1199090 minus 251199095
e) P(x) = 1199090 + 41199091 minus 51199095
f) P(x) = 1199090 minus 41199091 minus 121199095
g) D(x)=119909I + 21199090 minus 51199091 minus 61199095
16) Determinar las raiacuteces y factorizar el siguiente polinomio
119875(119909) = 1199090 minus 81199091 + 171199095 + 2119909 minus 24
17) Escribe un polinomio de grado 4 con soacutelo las raiacuteces 0 y 1 (dobles)
CONCLUSIONES
18) Dado el polinomio 119875(119909) = 1199091 + 1198861199095 + 119887119909 + 3 calcular el valor de a y b para que x=1
sea una raiacutez del polinomio y 17 sea el valor numeacuterico para x=2
19) Dados los polinomios
119875(119909) = 1199091 + 21199095 minus 119909 + 3
119876(119909) = 21199090 + 1199095 + 5119909 + 2
a) Calcula el valor numeacuterico del polinomio para x=2
b) Calcula la suma de los polinomios P(x) y Q(x)
20) Dado el polinomio 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6 calcula
a) Las raiacuteces del polinomio
b) El valor numeacuterico para 119909 = minus3
21) Dado el polinomio119875(119909) = 21199095 minus 119886119909 + 119887 calcula el valor de a y b para que cumpla las
siguientes condiciones
a) El 1 es raiacutez
b) El valor numeacuterico para x = 0 es 12
POLINOMIOS
17
FRACCIONESALGEBRAICAS
Fraccioacutenalgebraica
Una fraccioacuten algebraica L(M)N(M)
es una fraccioacuten que tiene por denominador un polinomio
EJEMPLOS
Fraccioacutenequivalente
es equivalente a
SIMPLIFICACIOacuteNDEFRACCIONESALGEBRAICAS
Para simplificar una fraccioacuten algebraica hay que descomponer factorialmente el numerador y el denominador y eliminar despueacutes los factores comunes de ambos
EJEMPLO
EJERCICIOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
22) Factoriza numerador y denominador y luego simplifica
a) b) c) d)
Sol a) 53 b) x2 c) d)
31
2 -+
xx
4583 2
+--
xxx
213x-
( )( )xBxA ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )xDxC
xBxAxCxBxDxA
xDxC
=Ucirctimes=timesUcirc
13
)2)(1()2)(3(
2365
23
23
++
=++++
=++++
xx
xxxxxx
xxxxxx
3+3x5+5x
6-2x3x-x2
1-xx+x
2
2
2x+x412x2
1-xx
1+2x6
POLINOMIOS
18
23) Descomponer en factores y simplificar
a) b) c) d)
e) f) g)MOPQMMRSMOPS
h)
Sol a) x-1 b) c) d) e) f) 1 g) h)
24) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas factorizando el numerador y
denominador
a) Sol
b) Sol
c) Sol
d) Sol
e) Sol
f) Sol
g) Sol
h) Sol
25) Resuelve
a) Simplifica la siguiente expresioacuten
1199091 minus 1199095 minus 8119909 + 121199091 + 21199095 minus 5119909 minus 6
OPERACIONESCONFRACCIONESALGEBRAICAS
Sumaorestadefraccionesalgebraicas
Para sumar o restar fracciones algebraicas se reducen a comuacuten denominador y se suman o se restan los numeradores
Productodefraccionesalgebraicas
El producto de fracciones algebraicas es otra fraccioacuten algebraica que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores
119875(119909)119876(119909) ∙
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909) ∙ 119877(119909)119876(119909) ∙ 119878(119909)
1+x1-x2
)1-(x1-x2
2
4-2x4-x2
4-x4+4x+x
2
2
16+8x+x16-x
2
2
4+4x+x2)+(x x
2 81-x9-x
4
2
1-x1+x
22+x
2-x2+x
4+x4-x
2+xx
3+x3-x
9+x12
5654
3
23
+--+xx
xxx ( )55
2 -++xx
xx
652
2
2
+--xxxx
3-xx
6544
2
2
++++xxxx
32
++xx
62107
2
2
--+-xxxx
( )2325+times-xx
1833182
2
2
-+-xx
x ( )( )23
32-times-timesxx
1123
23
2
--+-+xxxxx ( )
( ) ( )113 3
1
-times+-timesxx
x
2354
3
23
+--+
xxxx
( ) ( )21552
+times-++xxxx
5654
3
23
+--+xx
xxx ( )55
2 -++timesxxxx
POLINOMIOS
19
Divisioacutendefraccionesalgebraicas
Para dividir dos fracciones algebraicas nos da como resultado otra fraccioacuten algebraica que se obtiene al multiplicar la primera fraccioacuten algebraica por la inversa de la segunda fraccioacuten algebraica
119875(119909)119876(119909)
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909)119876(119909) ∙
119878(119909)119877(119909) =
119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)
26) Efectuacutea las operaciones
a) 0MRU
+ 5MR5
b) UMRI
minus VMP5
c) P1MPU
+ WMP1
d) P1MRQ
minus SMPU
27) Opera y simplifica si es posible
a) UMOP1MP0
minus 5MP0
minus UMRU
b) U5MOR1MPI
minus UMPU
minus M5MRI
c) MR15MOPIMR0
+ 5MMP0
+ UMPU
d) MRU5MORIMPU0
+ MPIMP5
minus QMRV
28) Realiza las operaciones
a) 0MPU
∙ MR55
b) P1MPU
MP1M
c) MPI5MORMP1
∙ MOPU1MO
d) M5MORMRU
MO
5MPU
29) Efectuacutea las operaciones y simplifica su resultado
a) SM1MP1
∙ MOPU1MO
b) 5MPQMOP0
∙ MOP0MR0MOPQMRS
c) MP1M∙ M
OR1MMOPS
d) MRIMPI
∙ MOP5IMOR5I
30) Efectuacutea estas divisiones de fracciones algebraicas y simplifica su resultado
a) X UMP5
minus MP11199092minus4
Y ∙ MR5Mminus M
5
b) UMRU
+ 5MMOPU
minus UMPU
c)
d) MOP5MMOPIMRQ
∙ MOR0MR0MOP0M
e) MPUMOPU
MRUMOR5MRU
31) Realiza la siguiente operacioacuten simplificando el resultado
1356
2 +-+
xxx
POLINOMIOS
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FRACCIONESALGEBRAICAS
Fraccioacutenalgebraica
Una fraccioacuten algebraica L(M)N(M)
es una fraccioacuten que tiene por denominador un polinomio
EJEMPLOS
Fraccioacutenequivalente
es equivalente a
SIMPLIFICACIOacuteNDEFRACCIONESALGEBRAICAS
Para simplificar una fraccioacuten algebraica hay que descomponer factorialmente el numerador y el denominador y eliminar despueacutes los factores comunes de ambos
EJEMPLO
EJERCICIOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
22) Factoriza numerador y denominador y luego simplifica
a) b) c) d)
Sol a) 53 b) x2 c) d)
31
2 -+
xx
4583 2
+--
xxx
213x-
( )( )xBxA ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )xDxC
xBxAxCxBxDxA
xDxC
=Ucirctimes=timesUcirc
13
)2)(1()2)(3(
2365
23
23
++
=++++
=++++
xx
xxxxxx
xxxxxx
3+3x5+5x
6-2x3x-x2
1-xx+x
2
2
2x+x412x2
1-xx
1+2x6
POLINOMIOS
18
23) Descomponer en factores y simplificar
a) b) c) d)
e) f) g)MOPQMMRSMOPS
h)
Sol a) x-1 b) c) d) e) f) 1 g) h)
24) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas factorizando el numerador y
denominador
a) Sol
b) Sol
c) Sol
d) Sol
e) Sol
f) Sol
g) Sol
h) Sol
25) Resuelve
a) Simplifica la siguiente expresioacuten
1199091 minus 1199095 minus 8119909 + 121199091 + 21199095 minus 5119909 minus 6
OPERACIONESCONFRACCIONESALGEBRAICAS
Sumaorestadefraccionesalgebraicas
Para sumar o restar fracciones algebraicas se reducen a comuacuten denominador y se suman o se restan los numeradores
Productodefraccionesalgebraicas
El producto de fracciones algebraicas es otra fraccioacuten algebraica que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores
119875(119909)119876(119909) ∙
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909) ∙ 119877(119909)119876(119909) ∙ 119878(119909)
1+x1-x2
)1-(x1-x2
2
4-2x4-x2
4-x4+4x+x
2
2
16+8x+x16-x
2
2
4+4x+x2)+(x x
2 81-x9-x
4
2
1-x1+x
22+x
2-x2+x
4+x4-x
2+xx
3+x3-x
9+x12
5654
3
23
+--+xx
xxx ( )55
2 -++xx
xx
652
2
2
+--xxxx
3-xx
6544
2
2
++++xxxx
32
++xx
62107
2
2
--+-xxxx
( )2325+times-xx
1833182
2
2
-+-xx
x ( )( )23
32-times-timesxx
1123
23
2
--+-+xxxxx ( )
( ) ( )113 3
1
-times+-timesxx
x
2354
3
23
+--+
xxxx
( ) ( )21552
+times-++xxxx
5654
3
23
+--+xx
xxx ( )55
2 -++timesxxxx
POLINOMIOS
19
Divisioacutendefraccionesalgebraicas
Para dividir dos fracciones algebraicas nos da como resultado otra fraccioacuten algebraica que se obtiene al multiplicar la primera fraccioacuten algebraica por la inversa de la segunda fraccioacuten algebraica
119875(119909)119876(119909)
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909)119876(119909) ∙
119878(119909)119877(119909) =
119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)
26) Efectuacutea las operaciones
a) 0MRU
+ 5MR5
b) UMRI
minus VMP5
c) P1MPU
+ WMP1
d) P1MRQ
minus SMPU
27) Opera y simplifica si es posible
a) UMOP1MP0
minus 5MP0
minus UMRU
b) U5MOR1MPI
minus UMPU
minus M5MRI
c) MR15MOPIMR0
+ 5MMP0
+ UMPU
d) MRU5MORIMPU0
+ MPIMP5
minus QMRV
28) Realiza las operaciones
a) 0MPU
∙ MR55
b) P1MPU
MP1M
c) MPI5MORMP1
∙ MOPU1MO
d) M5MORMRU
MO
5MPU
29) Efectuacutea las operaciones y simplifica su resultado
a) SM1MP1
∙ MOPU1MO
b) 5MPQMOP0
∙ MOP0MR0MOPQMRS
c) MP1M∙ M
OR1MMOPS
d) MRIMPI
∙ MOP5IMOR5I
30) Efectuacutea estas divisiones de fracciones algebraicas y simplifica su resultado
a) X UMP5
minus MP11199092minus4
Y ∙ MR5Mminus M
5
b) UMRU
+ 5MMOPU
minus UMPU
c)
d) MOP5MMOPIMRQ
∙ MOR0MR0MOP0M
e) MPUMOPU
MRUMOR5MRU
31) Realiza la siguiente operacioacuten simplificando el resultado
1356
2 +-+
xxx
POLINOMIOS
18
23) Descomponer en factores y simplificar
a) b) c) d)
e) f) g)MOPQMMRSMOPS
h)
Sol a) x-1 b) c) d) e) f) 1 g) h)
24) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas factorizando el numerador y
denominador
a) Sol
b) Sol
c) Sol
d) Sol
e) Sol
f) Sol
g) Sol
h) Sol
25) Resuelve
a) Simplifica la siguiente expresioacuten
1199091 minus 1199095 minus 8119909 + 121199091 + 21199095 minus 5119909 minus 6
OPERACIONESCONFRACCIONESALGEBRAICAS
Sumaorestadefraccionesalgebraicas
Para sumar o restar fracciones algebraicas se reducen a comuacuten denominador y se suman o se restan los numeradores
Productodefraccionesalgebraicas
El producto de fracciones algebraicas es otra fraccioacuten algebraica que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores
119875(119909)119876(119909) ∙
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909) ∙ 119877(119909)119876(119909) ∙ 119878(119909)
1+x1-x2
)1-(x1-x2
2
4-2x4-x2
4-x4+4x+x
2
2
16+8x+x16-x
2
2
4+4x+x2)+(x x
2 81-x9-x
4
2
1-x1+x
22+x
2-x2+x
4+x4-x
2+xx
3+x3-x
9+x12
5654
3
23
+--+xx
xxx ( )55
2 -++xx
xx
652
2
2
+--xxxx
3-xx
6544
2
2
++++xxxx
32
++xx
62107
2
2
--+-xxxx
( )2325+times-xx
1833182
2
2
-+-xx
x ( )( )23
32-times-timesxx
1123
23
2
--+-+xxxxx ( )
( ) ( )113 3
1
-times+-timesxx
x
2354
3
23
+--+
xxxx
( ) ( )21552
+times-++xxxx
5654
3
23
+--+xx
xxx ( )55
2 -++timesxxxx
POLINOMIOS
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Divisioacutendefraccionesalgebraicas
Para dividir dos fracciones algebraicas nos da como resultado otra fraccioacuten algebraica que se obtiene al multiplicar la primera fraccioacuten algebraica por la inversa de la segunda fraccioacuten algebraica
119875(119909)119876(119909)
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909)119876(119909) ∙
119878(119909)119877(119909) =
119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)
26) Efectuacutea las operaciones
a) 0MRU
+ 5MR5
b) UMRI
minus VMP5
c) P1MPU
+ WMP1
d) P1MRQ
minus SMPU
27) Opera y simplifica si es posible
a) UMOP1MP0
minus 5MP0
minus UMRU
b) U5MOR1MPI
minus UMPU
minus M5MRI
c) MR15MOPIMR0
+ 5MMP0
+ UMPU
d) MRU5MORIMPU0
+ MPIMP5
minus QMRV
28) Realiza las operaciones
a) 0MPU
∙ MR55
b) P1MPU
MP1M
c) MPI5MORMP1
∙ MOPU1MO
d) M5MORMRU
MO
5MPU
29) Efectuacutea las operaciones y simplifica su resultado
a) SM1MP1
∙ MOPU1MO
b) 5MPQMOP0
∙ MOP0MR0MOPQMRS
c) MP1M∙ M
OR1MMOPS
d) MRIMPI
∙ MOP5IMOR5I
30) Efectuacutea estas divisiones de fracciones algebraicas y simplifica su resultado
a) X UMP5
minus MP11199092minus4
Y ∙ MR5Mminus M
5
b) UMRU
+ 5MMOPU
minus UMPU
c)
d) MOP5MMOPIMRQ
∙ MOR0MR0MOP0M
e) MPUMOPU
MRUMOR5MRU
31) Realiza la siguiente operacioacuten simplificando el resultado
1356
2 +-+
xxx
POLINOMIOS
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Divisioacutendefraccionesalgebraicas
Para dividir dos fracciones algebraicas nos da como resultado otra fraccioacuten algebraica que se obtiene al multiplicar la primera fraccioacuten algebraica por la inversa de la segunda fraccioacuten algebraica
119875(119909)119876(119909)
119877(119909)119878(119909) =
119875(119909)119876(119909) ∙
119878(119909)119877(119909) =
119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)
26) Efectuacutea las operaciones
a) 0MRU
+ 5MR5
b) UMRI
minus VMP5
c) P1MPU
+ WMP1
d) P1MRQ
minus SMPU
27) Opera y simplifica si es posible
a) UMOP1MP0
minus 5MP0
minus UMRU
b) U5MOR1MPI
minus UMPU
minus M5MRI
c) MR15MOPIMR0
+ 5MMP0
+ UMPU
d) MRU5MORIMPU0
+ MPIMP5
minus QMRV
28) Realiza las operaciones
a) 0MPU
∙ MR55
b) P1MPU
MP1M
c) MPI5MORMP1
∙ MOPU1MO
d) M5MORMRU
MO
5MPU
29) Efectuacutea las operaciones y simplifica su resultado
a) SM1MP1
∙ MOPU1MO
b) 5MPQMOP0
∙ MOP0MR0MOPQMRS
c) MP1M∙ M
OR1MMOPS
d) MRIMPI
∙ MOP5IMOR5I
30) Efectuacutea estas divisiones de fracciones algebraicas y simplifica su resultado
a) X UMP5
minus MP11199092minus4
Y ∙ MR5Mminus M
5
b) UMRU
+ 5MMOPU
minus UMPU
c)
d) MOP5MMOPIMRQ
∙ MOR0MR0MOP0M
e) MPUMOPU
MRUMOR5MRU
31) Realiza la siguiente operacioacuten simplificando el resultado
1356
2 +-+
xxx