Polinomios

transcript

Polinomios

Christiam Huertas R.w3.xhuertas.blogspot.com

Universidad de Ciencias y Humanidades

Christiam Huertas R. w3.xhuertas.blogspot.com Polinomios

Constantes y variables

Algunos conceptos basicos asociados al algebra son:

Constante: es cualquier numero. Este numero debe estar en unconjunto determinado.

Ejemplos: 1; − 3;1

2; 2009;

√3; . . .

Constantes matematicas famosas:π = 3.1415926535897932384626433832795028841971693993 . . .e = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369 . . .γ = 0.5772156649015328606065120900824024310421593 . . .φ = 1.618033988749894848204586834365638117720 . . .

Variable: es un sımbolo (letra), y representa un numero de unconjunto numerico determinado.

Ejemplo: Sea x ∈ N, entonces:x = 1 ∨ x = 3 ∨ x = 6 ∨ x = 10 ∨ . . .Luego, x es una variable.

Expresion matematica

Cualquier combinacion de numeros y letras enlazadas por lasdiferentes operaciones matematicas se denomina una expresionmatematica.

Ejemplos:

1 3x − 5

3x − 5

3 sen(√

3x − 5)

4 2ax3 − n 5√

y + 1−mx

5 x2 + 2y +5

z− 3

Notacion matematica

La representacion simbolica que nos permite reconocer cuales sonlas variables de una expresion matematica se llama notacionmatematica.

Ejemplos:

1 P( x︸︷︷︸variable

) = 3ax2 − 5x + m

2 Q( x ; y︸︷︷︸variables

) = 2xny2 − 3x7b2 + y4 + 1

x − 1︸︷︷︸variable

)= x4 − x3 + mx2 + n2x − 2 + c

4 f(2x − 3︸︷︷︸variable

) = ax2 − 3x5 + 7kx − r

Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico

Exprese el perımetro y el area de una cancha de futbol.

Supongamos que mide x metros de largo e y metros de ancho,tenemos que:

Perımetro =2x + 2yArea =x .y

Con el lenguaje algebarico las informaciones se expresan de formamas sencilla.

Frases en lenguaje algebraico

Lenguaje ordinario V Lenguaje algebraico

1 El triple de un numero: 3x

2 El cuadrado de la suma de dos numeros: (a + b)2

3 Dos numeros naturales consecutivos: n, n + 1

4 Hoy tengo 20 anos. ¿Cuanto tendre cuando pasen x anos?:20 + x

5 Hoy tengo 20 anos. ¿Cuantos anos tenıa hace y anos?:20− y

6 Un numero par: 2n

7 Area del triangulo de base b y altura h:b.h

Al Juarismi

Abu Abdallah Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, conocidogeneralmente como al-Jwarizmi matematico, astronomo ygeografo persa musulman chiı, vivio aproximadamente entre 780 y850.Debemos a su nombre y al de su obra principal, Hisab al yabr ua almuqabala, nuestras palabras algebra, guarismo y algoritmo. Dehecho, es considerado como el padre del algebra.

Expresiones algebraicas

Una expresion algebraica es una combinacion de letras, numeros y

signos de operaciones aritmeticas(

+,−, ·,÷, ( )n, n√ )

. Las letras

suelen representar cantidades desconocidas y se denominanvariables o incognitas. Las expresiones algebraicas nos permitentraducir al lenguaje matematico expresiones del lenguaje habitual.

Ejemplos:

1 Suma de cuadrados: a2 + b2

2 El triple de un numero menos el doble de otro: 3x − 2y

3 Suma de varias potencias de un numero: x4 + x3 + x2 + x

4 Suma de los n primeros numeros naturales:

1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n + 1)

Valor numerico (VN)

Si le asignamos valores a las variables de una expresion matematicay efectuamos las operaciones que se indican, el numero real que seobtiene se llama valor numerico de la expresion.

Ejemplo 1:

Dada la expresion matematica P(x) = 3x − 1

Si x = 1→ P(1) = 3.1− 1 = 2

Si x = 2→ P(2) = 3.2− 1 = 5

Si x =√

2→ P(√

2) = 3.√

2− 1 = 3√

2− 1

Si x =1

3→ P( 1

3) = 3.

3− 1 = 0

Valor numerico (VN)

Ejemplo 2:

Dada la expresion matematica T(x ;y) =x − y

Si x = 2 ∧ y = 1→ T(2;1) =2− 1

2 + 1=

Si x = 0 ∧ y = 4→ T(0;4) =0− 4

0 + 4=− 4

4= − 1

Si x = 1 ∧ y = −1→ T(1;−1) =1− (−1)

1 + (−1)=

0, no existe

Valor numerico (VN)

Ejemplo 3:

Dada la expresion matematica R(x+1) = x2 − x + 1, calcule el valorde R(0).

Hacemos x + 1 = 0→ x = − 1

Luego, R(0) = (−1)2 − (− 1) + 1 = 3

Ejemplo 4:

Dada la expresion matematica N( 3√x−1) = x2 + x − 10, calcule elvalor de N(1).

Hacemos 3√

x − 1 = 1→ 3√

x = 2→ x = 8

Luego, N(1) = 82 + 8− 10 = 62

Polinomio

La expresion que enlaza variables y/o constantes mediante unacombinacion finita de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y/opotenciaciones, en las cuales los exponentes de las variables sonenteros positivos se llama polinomio.

Ejemplos:

1 P(x ;y ;z) = −2x4y2z7 es un polinomio de un termino(monomio) con tres variables.

2 Q(x) = 5x3 + 1 es un polinomio de dos terminos (binomio)con una variable.

3 R(x ;y) = 2x4 − y9 + 7x es un polinomio de tres terminos(trinomio) con dos variables.

4 M(x) = x3 + x2 + x + 5 es un polinomio de cuatro terminos.

5 N(x) = 2 es un polinomio constante de variable x .

No son polinomios

1 P(x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + · · ·

2 Q(x) = 3x5 − x2 + log x4

3 R(x) = x3 + x2 + x−1 + 9

4 M(x ;y) =x2 + y3

x4 + y5

5 N(x ;y) = x4 + y3 +√

x5 + 6

6 F(x ;y) = x2y5 − 2y12 + cos(x2 + y2)

Son expresiones matematicas.

Polinomios de una variable

Polinomio lineal

Forma general: P(x) = ax + b ; a 6= 0

dondex es la variable.a y b son los coeficientes.a es llamado coeficiente principal.b es llamado termino independiente.Su grado es 1.

Ejemplos:

1 P(x) = 5x − 2

2 Q(x) = 3x + 8

3 R(x) = x + 4

4 M(x) = 7x

Polinomio cuadratico

Forma general: P(x) = ax2 + bx + c ; a 6= 0

dondex es la variable.a, b y c son los coeficientes.a es llamado coeficiente principal.c es llamado termino independiente.Su grado es 2 (mayor exponente de la variable).

Ejemplos:

1 P(x) = 3x2 − 2x + 5

2 Q(x) = x2 + 3x − 1

3 R(x) = 6x2 + 11

4 M(x) = 4x2 − 3x

Polinomio cubico

Forma general: P(x) = ax3 + bx2 + cx + d ; a 6= 0

dondex es la variable.a, b, c y d son los coeficientes.a es llamado coeficiente principal.d es llamado termino independiente.Su grado es 3 (mayor exponente de la variable).

Ejemplos:

1 P(x) = 5x3 − x2 + 2x − 7

2 Q(x) = x3 + 4x + 2

3 R(x) = 2x3 + 6x2 + 1

4 M(x) = x3 − 1

Polinomio de grado n

Forma general:

P(x) = a0xn + a1x

n−1 + · · ·+ an−1x + an ; a0 6= 0

dondex es la variable.a0, a1, a2, ..., an son los coeficientes.a0 es llamado coeficiente principal.an es llamado termino independiente.Su grado es n (mayor exponente de la variable).

Ejemplos:

1 P(x) = 5x4 − x3 + 2x − 3 es un polinomio de grado 4.

2 Q(x) = 2x3 + 4x2 + x5 − 7x + 1 es un polinomio de grado 5

3 R(x) = x7 + 2x5 − 3x10 + 9 es un polinomio de grado 10

Propiedades

Consideremos el polinomio de grado n

P(x) = a0xn + a1x

n−1 + · · ·+ an−1x + an ; a0 6= 0

Luego, se cumple

1 Suma de coeficientes

n∑k=0

ak = a0 + a1 + a2 + · · · + an = P(1)

2 Termino independiente

TI = an = P(0)

Ejemplo 1

Dado el polinomio P(x) = (2x − 1)10 + 3(x + 1)4 − 2

calcule la suma de coeficientes y su termino independiente.

Solucion:

Suma de coeficientes:

P(1) = (2.1− 1)10 + 3(1 + 1)4 − 2

= (1)10 + 3(2)4 − 2

= 1 + 48− 2 = 47

Termino independiente:

P(0) = (2.0− 1)10 + 3(0 + 1)4 − 2

= (− 1)10 + 3(1)4 − 2

= 1 + 3− 2 = 2

Ejemplo 2

Dado el polinomio P( x−23 ) = x3 + x2 + x + 1

calcule la suma de coeficientes y su termino independiente.

Solucion:

Suma de coeficientes: P(1)

Hacemosx − 2

3= 1→ x = 5

Luego, P(1) = 53 + 52 + 5 + 1 = 156

Termino independiente: P(0)

Hacemosx − 2

3= 0→ x = 2

Luego, P(0) = 23 + 22 + 2 + 1 = 15

Cambio de variable

Las variables de un polinomio (o expresion algebraica) pueden sersustituidas por cualquier otra variable o polinomio, quedando elpolinomio en terminos de la nueva variable.

Ejemplo 1:

Dado el polinomio P(x) = 3x − 2; cambiemos su variable x porotras variables.

Si x <> y → P(y) = 3y − 2

Si x <> z → P(z) = 3z − 2

Si x <> 2t → P(2t) = 3.2t − 2 = 6t − 2

Si x <> x + 1 → P(x+1) = 3(x + 1)− 2 = 3x + 1

Si x <> x2 → P(x2) = 3x2 − 2

Si x <> 2x − 1 → P(2x−1) = 3(2x − 1)− 2 = 6x − 5

Si x <> P(x) → P(P(x)) = 3P(x) − 2

Aplicaciones

1 Dada la expresion matematica P(x ;y) =x2 − y2

x2 + y2

halle el valor de P(√

2+1;√

2−1)

2 Dados los polinomios f(x−2) = x2 + 2 ∧ g(x+2) = x2 − 2

Si h(x) = f(x+1) + g(x−1), calcule el valor de h(4).

3 Si P es un polinomio lineal que verifica P(x+1) − P(x) = 2

calcule su coeficiente principal.

4 Si P(x) es un polinomio monico de segundo grado, cuyotermino independiente es 5 y la suma de sus coeficientes esigual a 3, calcule el valor de P(−1).

Polinomios

Education