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Universidad de Costa Rica
Instituto Tecnológico de Costa Rica
PRIMER EXAMEN PARCIAL
CÁLCULO I Valor: 56 puntos. Tiempo máximo: 3 horas.
Sábado 18 de abril de 2015 INSTRUCCIONES GENERALES
Antes de contestar lea cuidadosamente las instrucciones y los enunciados de las preguntas.
Este examen consta de dos partes. La primera de ellas es de selección única (5 puntos) y la segunda es de desarrollo (51 puntos).Utilice únicamente bolígrafo de tinta indeleble azul o negra para resolver este examen. No se aceptan apelaciones sobre aquellos ejercicios que deje resueltos con lápiz o presenten algún tipo de alteración.
Trabaje con el mayor orden y aseo posible. Si alguna respuesta o procedimiento está desordenado, éste no se calificará.
ESTE EXAMEN DEBERÁ SER RESUELTO EN EL CUADERNO DE EXAMEN. ESCRIBA LAS RESPUESTAS DE LA PARTE DE SELECCIÓN. EN LA PARTE DE DESARROLLO DEBE APARECER TODO EL PROCEDIMIENTO QUE JUSTIFIQUE CORRECTAMENTE LA SOLUCIÓN Y LA RESPUESTA DE CADA ÍTEM.
Recuerde que sólo puede utilizar calculadora que únicamente efectúe las operaciones básicas. No se permite el uso de calculadora científica de ningún tipo.
La prueba debe resolverse individualmente.
I PARTE. SELECCIÓN ÚNICA. Valor: 5 puntos (un punto cada respuesta correcta). Instrucciones: A continuación se le presentan 5 enunciados con cuatro opciones de respuesta de las cuales solamente una es correcta. Marque una equis sobre la letra que antecede a la opción que completa correctamente cada enunciado. Recuerde trasladar su respuesta al cuaderno de examen escribiendo el número de enunciado y la opción seleccionada.
1. Sabiendo que 1001
1lim100
1
xx
x, entonces considere las siguientes afirmaciones:
De ellas, con certeza, ¿cuál o cuáles son verdaderas? (A) Solamente I y III (B) Solamente I y II (C) Solamente II (D) Solamente I
2. Analice las siguientes afirmaciones, referidas a dos funciones 푓 y ℎ tales que
xf
x 0lim y 0lim
0
xh
x:
De ellas, con certeza, ¿cuál o cuáles son verdaderas? (A) Solamente II y III (B) Solamente I y II (C) Solamente III (D) Solamente I
3. El valor de c para el cual el 65
lim 22
xxcxc
xexiste, corresponde a
(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 2
I. 5011lim 2
100
1
xx
x.
II. 3
10011lim 3
100
1
xx
x.
III. 251
1lim 4
100
1
xx
x.
I. 0x es la ecuación de una asíntota asíntota vertical de la gráfica de f.
II. )(lim0
xhxfx
no existe.
III. )0(f no existe.
4. Sea 푓 una función definida en su máximo dominio, tal que 16
672)( 4
2
x
xxxf .
Considere las siguientes afirmaciones:
De ellas, con certeza, ¿cuál o cuáles son verdaderas? (A) Solamente II y III (B) Solamente I y III (C) Solamente III (D) Solamente I 5. Sea 푓 una función tal que 221)( xxf , 5,5x , entonces )(lim
2xf
x
corresponde a (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 5
I. 푓 posee una discontinuidad evitable en 2x .
II. 푓 posee una discontinuidad inevitable en 4x .
III. 0y es la ecuación de la asíntota horizontal de la gráfica de 푓.
II PARTE: DESARROLLO. Valor: 51 puntos. 1) Construya la gráfica de una función 푓 que satisfaga, simultáneamente, cada una de las
siguientes condiciones: (8 puntos)
4,3 RID f 4)(lim3
xfx
f es continua en todo su dominio )1(' f no existe 6)(lim
xf
x 02' f
)(lim4
xfx
3,,2' xxf
2) Calcule, si existen, los siguientes límites:
a) x
xxx
1
2422lim2
(5 puntos)
Note que como x , entonces 1)1(1 xxx , luego
1
2422lim
22
xxx
x
x
1
2422lim
2
xxx
x
x
1
2422lim
2
xxx
x
x
xx
xxxx
x 11
2422
lim2
211
2422
lim2
x
xxxx
b) 3
6
0 1212112lim
xx
xx
(Sugerencia: Realice un cambio de variable) (5 puntos)
00
1212112lim
3
6
0
xxx
x forma indeterminada
Si intentáramos racionalizar, el procedimiento sería bastante largo, por lo tanto un cambio de variable nos permitiría trabajar con expresiones polinomiales, como se muestra a continuación: Sea 126 xy , entonces 6 12 xy y 32 12 xy (proponer el cambio de variable de tal manera que las otras expresiones queden en términos de “ y ”). Además note que cuando 10 yx .
Ahora se reescribe el límite en términos de la nueva variable: 001lim 261
yyy
y
forma indeterminada. Al factorizar el denominador se tiene: 111 2226 yyyyyy
Luego 41
111111
111lim
111)1(lim 221221
yyyyyyy
yyy
c)
20
)cos()2cos()2cos()3cos(limx
xxxxx
(5 puntos)
Al evaluar se tiene 00)cos()2cos()2cos()3cos(lim 20
xxxxx
x forma indeterminada, por
lo tanto se sigue que
20
)cos()3cos()2cos(limx
xxxx
20
)cos()2cos()2cos(limx
xxxxx
20
)cos()2(sen)(sen)2cos()cos()2cos(limx
xxxxxxx
20
)2(sen)(sen1)2cos()cos()2cos(limx
xxxxxx
220
)2(sen)(sen)2cos()2cos(1)cos()2cos(limx
xxxx
xxxx
220
)2(sen)(sen)2cos()2cos(1)cos()2cos(limx
xxxx
xxxx
xx
xxx
xx
xxxx
x 2)2(sen2)(sen)2cos(
)2cos(1)2cos(1)2cos(1)cos()2cos(lim 20
x
xx
xxxx
xsenx
xsenxxx 2
)2(sen2)(sen)2cos()2cos(1
12
)2(22
)2(2)cos()2cos(lim0
4211211212111
3) Determine los valores de m y b de tal forma que la función RIh ,0: , tal que
8si
80si25)(xbmx
xxxh , sea derivable en 8x . Utilice la definición de derivada
en un punto. (8 puntos)
Para que h sea derivable en 8x debemos verificar que: a) h es continua en 8x : bmbmx
x
8lim
8 y 925lim
8
x
x, para que )(lim
8xh
xexista entonces
mbbm 8998 (**). Luego 9)8( h .
b) )8(')8(' hh :
4
1428
162lim8
42lim8
925lim8
)8()(lim)8('8888
xxx
xx
xx
xhxhh
xxxx
mxxm
xmmx
xbmx
xhxhh
xxxx
8)8(lim
8989lim
89lim
8)8()(lim)8('
88
(**)
88
Por lo tanto 41
m , luego .74189 b
4) En cada uno de los siguientes casos determine dxdy
. No es necesario simplificar:
a) 1
sen2
24 3
xey
x
(6 puntos)
22
24222223
1
2)(sen16)()cos()(sen4´'3333
xxexxeeey
xxxx
b) 35 32 2sec xxxxy (7 puntos)
)22(2tan2sec2sec13
5
12sec3' 225 322
5 43
225 3 xxxxxxxxxx
xxxxxxy
5) Sea RIRIf : tal que 24)( xxf . Determine las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto de coordenadas 4,1 y que son tangentes a la gráfica de f . (7 puntos) Note que fG4,1 . Consideremos fGba , , tal que las rectas que pasan por ba, y por 4,1 son tangentes a la gráfica de f . Como fGba , , entonces baaaf 22 44)( . (1) Además aaf 2)(' es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en ba, . (2) Por otro lado, como la recta (rectas) pasan por ba, y 4,1 , entonces su pendiente
también está dado por ab
14 .(3)
De (2) y (3) se tiene que aab 2
14
, luego de (1) sustituimos y se tiene que
202144 2
aaaa
a .
Si 0a , entonces 4b y 0)0(' f , por lo tanto la ecuación de la recta tangente es
4y .
Si 2a , entonces 0b y 40)2(' f , por lo tanto la ecuación de la recta tangente es 84 xy .