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IF-UNAM 30 de mayo de 2008
Realización óptica de sistemas cuánticos y
evaluación de series divergentes
Héctor M. Moya Cessa
http://speckle.inaoep.mx/ICSSUR/hector_moya.htm
IF-UNAM 30 de mayo de 2008
Resumen:
• Realización óptica de un invariante cuántico• Realización óptica de un divisor de haz
“cuántico”• La función de Wigner como herramienta
para evaluar series divergentes.
IF-UNAM 30 de mayo de 2008
Gente involucrada
• M. Fernández Guasti (UAM-I)• S. Chávez Cerda• V. Arrizon, • R. Mar Sarao (e. doc.) • Roberto de Jesús León (e. lic. BUAP)• E. Martí Panameño (BUAP)
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221 ( ) ,
2qI q qρ ρρ
• • = + −
2 ( ) 0q t q••
+ Ω =
2 3( ) 1/tρ ρ ρ••
+ Ω =
Oscilador armónico dependiente de t, clásico
Invariante de Ermakov-Lewis
Ecuación de Ermakov
Lewis, PRL (1967).
Realización óptica de un invariante cuántico
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2^^ ^ ^
21 ( )2
qI p qρ ρρ
• = + −
Compresión y desplazamiento
^^ ^ ^ ^ 2ln^ ^( ) 22i qi q p pq
S e D eρρρ
•
−+= =
Caso cuántico
^ ^ ^| | |S D Tψ ϕ ϕ>= >≡ >
H. Moya-Cessa and M. Fernández GuastiPHYSICS LETTERS A 311, 1 (2003).
^ ^2 2^
2 ( )2 2p qH t= + Ω
G es un invariante si su derivada es cero.
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| |i Ht
ψ ψ∂ > = >∂
2 2^ ^^
0 0 2
^ ^
| 1 1| , ( ) ( )( ) 2 2
2
p qi H H t nt t
q i pa
ϕ ϕ ϖρ
∂ > += > = ≡ +∂
+=
Se ha factorizado la dependencia temporal
^ ^ ^| | |S D Tψ ϕ ϕ>= >≡ >
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^ ^ 1| ( ) exp ( ) ( ) | (0)2
t T i dt t nψ ϖ ψ >= − + > ∫
Si ρ(0)=1 y su derivada evaluada en cero es cero
^ 1| exp ( ) ( ) | (0)2
i dt t nϕ ϖ ϕ >= − + > ∫
^
^
| (0) (0) | (0)
| (0) (0) | (0) | (0)
T
T
ψ ϕ
ϕ ψ ψ+
>= >
>= >= >
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cos[ ( , ) ]A B A B tA B A B
ρ ω≅ ++ +
^^ ^ ^ ^ 2ln^ ^( ) 22i qi q p pq
S e D eρρρ
•
−+= =
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Ecuación de onda paraxial
Suponemos ahora dos medios GRIN pegados
GRaded INdex referring to an optical material with refractive index in the form of a parabolic curve, decreasing from the center towards the cladding.
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2 2 2 2 2 2 21 1 1 1( , ) ( , ) ( ),k x y k x y x y z Lβ ν µ= = − + <
2 2 2 2 2 2 22 2 2 2( , ) ( , ) ( ),k x y k x y x y z Lβ ν µ= = − + >
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2 2 22 2 2 ( )( ) ( )2 2
yx p z yp z xEi g z Ez
µν + +∂ = − − + ∂
,x yd dp i p idx dy
= − = −
22 1 0
22 0
22 1 0
22 0
21 022 0
( )
( )
( )
z zz
z z
z zz
z z
z zg z
z z
νν
ν
µµµ
ββ
<= > <
= > <
= >
Tomamos unidades tal que =1
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2 2 22 2 2 ( )( )2 2
yx p z yp z xiz
µνε ε + +∂ = − − ∂
( )i g z dzE e ε− ∫=
w w wT S D=
2ln ( ) 22 , ,ww
w ww
i wi wp p w
w wS e D e w x yρρρ
•
−+= = =
22 3
2 ( ) 1/xx x
d zdz
ρ ν ρ ρ+ =2
2 32 ( ) 1/y
y y
dz
dzρ
µ ρ ρ+ =
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x yTTε ξ=
1 2( 0) ( ) ( )z G x G yε = =
1 22 2
1 1( ) exp ( ) ( ) exp ( ) ( )( ) 2 ( ) 2
x y
x x y ydz dzz T i N G x T i N G y
z zε
ρ ρ
= − + − + ∫ ∫
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2
21( ) ( ) , ( ) ( )2 !
x
n n x n nnu x H x e Nu x nu x
n
−= =
222
10
( )( ) exp ( )2 !
n
nn
xG x e u xn
αα α∞−
=
−= − =
∑
Arfken, capítulo de Hermite, problemas
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Ecuación paraxial nuevamente
Consideremos la co-propagación de dos haces, uno de prueba y otro, señal, en un medio Kerr. El haz de prueba produce un índice de refracción
Si el haz de prueba, tiene un perfil gaussiano, es astigmático, y ligeramente inclinado, produce un términoxy
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0
1( ) ( 1) , | | ,n
nW n nα α ρ α
π
∞
=
= − < >∑
Función de Wigner para evaluar series divergentes
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Abel: "Divergent series are on the whole devil's work, and it is a shame that one dares to found any proof on them. One can get out of them what one wants if one uses them, and it is they which have made so much unhappiness and so many paradoxes. Can one think of anything more appalling than to say that
where m is a positive number. Here's something to laugh at, friends."
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Conclusiones
• Se mostró la realización óptica de sistemas cuánticos, tales como el oscilador cuántico dependiente del tiempo y el divisor de haz cuántico.
• Se usó la función de Wigner como una nueva forma de evaluar series divergentes.
• Apéndice sigue …