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Unidad 7
Anualidades diferidas
Objetivos
Al finalizar la unidad, el alumno:
Calcularelmontoproducidoporunaanualidaddiferida. Calcularelvalorpresenteoactualdeunaanualidaddiferida. Calcularelvalordelarentadeunaanualidaddiferida. Calculareltiempooplazodeunaanualidaddiferida.
209
Introduccin
En la actualidad estamos muy acostumbrados a promociones en tiendas departamentales, donde nos ofrecen mercanca, para pagar con mensualidades fijas durante 3 o 6 meses, realizando el primer pago tres meses despus de realizada la compra, o promociones en agencias
de viajes que ofrecen paquetes de viaje, con el eslogan viaje ahora y pague despus; pues bien,
situaciones como stas, desde el punto de vista de las matemticas financieras, se conocen como
anualidades diferidas.
Revisaremos a lo largo de esta unidad los elementos de las anualidades diferidas,
asimismo estudiaremos cmo calcular el valor de las rentas, el nmero de pagos y el valor
presente de la anualidad.
7.1. Clculo del monto
En la unidad 5 se definieron las anualidades diferidas como una serie de pagos iguales
realizados en periodos de tiempos iguales, siempre que el primer pago se efecte cierto tiempo
despus de la firma del convenio, por ejemplo: cuando se adquiere un compromiso de pago
el da de hoy, mediante abonos mensuales, pero realizando el primero de ellos dentro de 6
meses, esto lo podemos apreciar mejor si observamos la grfica 7.1.
Figura 7.1.
R R R R R
Firma del
contrato
Periodos diferidos otiempo de aplazamiento
210
matemticas Financieras
Si observas con cuidado la figura 7.1, podrs darte cuenta que los pagos se inician cierto
tiempo despus de pactada la operacin. Al tiempo que se deja antes de pagar se le conoce como
tiempo de aplazamiento, el cual representaremos con la letra m, y para efecto de operaciones,
debe estar expresado en las mismas unidades de tiempo que los pagos, es decir, si los pagos
son mensuales el tiempo de aplazamiento debe expresarse en meses.
Al igual que en el caso de las anualidades anticipadas, su monto y algunos otros de sus
valores, se pueden calcular por medio de las frmulas para anualidades vencidas. La figura 7.2
nos permite visualizar la relacin entre las anualidades vencidas y las diferidas.
Figura 7.2.
Si observas la figura 7.2, cuando se calcula el monto, el tiempo de
aplazamiento no afecta el resultado, debido a que, al tratarse de tiempo
previo a los depsitos, durante ese tiempo no se ganaron y ni se pagaron
intereses, lo que nos permite definir el monto de una anualidad diferida
de la misma forma que el de una anualidad vencida; aunque en la realidad
es poco usual el clculo del monto de una anualidad diferida, se puede
realizar con la misma frmula que para una anualidad vencida:
Donde:
M es el monto de la anualidad
M Ri
i
n
=( )1+ 1
R es la renta
i es la tasa por periodo de capitalizacin
n es el nmero de pagos
Por qu no afecta el tiempo de aplazamiento
para el clculo del monto?
R R R R R
Firma del
contrato
Periodos diferidos otiempo de aplazamiento
Anualidad vencida
uniDaD 7
211
Ejemplos
1. Una tienda departamental pone en el mes de mayo su plan de ventas Compre ahora
y pague hasta agosto. El seor Gmez decidi aprovechar la oferta y adquirir 3 trajes que
le entregaron inmediatamente. Si acord pagar mediante 4 mensualidades de $975 cada
una a partir de agosto, con un cargo de 18% anual convertible mensualmente, cul es
el precio que se tendra que haber pagado por sus trajes si se comprara en la misma fecha
que se realizar el ltimo pago?
Solucin
Se identifican los datos:
R=$975
i = =0 1812
0 015.
.
n=4 pagos mensuales
Se sustituyen los datos en la frmula para el clculo del monto de una anualidad
diferida y se realizan las operaciones,
M Ri
i
n= + ( )1 1M = + 975 1 0 015 1
0 015
4( . )
.
M = = =975 1 015 10 015
751 061363551 1
0 015975
0 061363551
0
4
9( ).
.
.
.
.
..( . )
015975 4 0909034=
M = 3 988.63
Los trajes tendrn un costo de $3 988.63 para cuando termine de pagarlos.
2. Armando Rodrguez adquiri un equipo de cmputo, para lo cual le dieron la
oportunidad de liquidar con 5 pagos mensuales de $2 700 cada uno, realizando el primero
212
matemticas Financieras
de ellos 6 meses despus de efectuada la compra. Si Armando liquidara su equipo con un solo
pago el da que corresponde al ltimo pago, con cunto pagar su deuda, considerando una
tasa de inters de 18% anual compuesto mensualmente?
Solucin
Se identifican los datos:
R=$2 700
i = =0 1812
0 015.
.
n=5 pagos mensuales
Se sustituyen los datos en la frmula para el clculo del monto de una anualidad
diferida y se realizan las operaciones:
M Ri
i
n= + ( )1 1M = + 2 700 1 0 015 1
0 015
5
( . )
.
M = = = 2 700 1 015 10 015
2 7001 077284004 1
0 0152 700
0 07725
( ).
.
.
.
. 884004
0 015.=
= 2 700(5.152266933)
M = 13 911.12
El equipo tendr un costo de $13 911.12 para cuando termine de pagarlos.
7.2. Clculo del valor presente
Para el caso del valor presente, se considera como si se tratara de una anualidad vencida,
sin embargo es de suma importancia no perder de vista el tiempo diferido, que en este caso
uniDaD 7
213
genera intereses en este periodo, ya que el dinero se traslad en el tiempo hacia el pasado, lo
cual podemos observar de manera sencilla en la figura 7.3.
Figura 7.3.
Si obtenemos el valor presente como si se tratara de una
anualidad vencida, tendramos despus que trasladar dicho valor al
momento del inicio de la anualidad, es decir, a la fecha de la firma
del convenio, lo cual podemos lograr realizando un traslado de
valores tal como lo hicimos en la unidad 4 (ecuaciones de valor),
utilizando la frmula para el clculo del valor presente de una
cantidad dada:
CM
iM i
n
n = + = + ( ) ( )1 1Donde n en realidad corresponde al tiempo diferido, el cual, como ya se mencion,
se identifica con la letra m, y el monto (M) est determinado por el valor presente de una
anualidad vencida ( Ri
i
n1 1 + ( ))
Se sustituyen estos elementos (monto y m) en la frmula para valor presente:
C=M(1+i)n
Cmo afecta el valor del tiempo diferido para calcular el valor presente de una anualidad diferida?
R R R R R
Firma del
contrato
Periodos diferidos otiempo de aplazamiento
Pagos
Anualidad vencida
214
matemticas Financieras
C Ri
ii
nm= + + 1 1 1( ) ( )
Donde:
C es el valor presente de la anualidad
R es la rentaC R
i
ii
nm= + + 1 1 1( ) ( )
i es la tasa por periodo de capitalizacin
n es el nmero de pagos
m es el nmero de periodos diferidos
Para poder definir el valor de m (periodos diferidos), es necesario trazar la grfica
de tiempo.
Ejemplos
1. Calcula el valor actual de una renta semestral de $3 200 efectuada durante 6 aos,
si el primer pago se debe realizar dentro de ao y medio, si consideramos una tasa de 32%
capitalizable semestralmente.
Solucin
Se identifican los datos y se traza la grfica del tiempo (figura 7.4) para determinar
el valor de m:
R=$3 200
i = =0 322
0 16.
.
n=6 (2)=12 pagos semestrales durante 6 aos
m=2 semestres
uniDaD 7
215
Figura 7.4.
Se sustituyen los datos en la frmula para calcular el valor presente de una anualidad
diferida y se realizan las operaciones:
C Ri
ii
nm= + + 1 1 1( ) ( )
C = + + 3 200 1 1 0 160 16
1 0 1612
2
( . )
.( . )
C = + 3 200 1 1 160 16
1 0 1612
2 ( . )
.( . )
C = 3 200 1 0 1684628440 16
0 743162901 ( )
( ).
..
C = =3 200 0 8315371560 16
0 743162901 3 200 5 197107225 .
.. ( . )( ) (( . ) .0 743162901 =
C = 12 359.35
Significa que el valor actual es $12 359.35.
2. Cul es el precio de contado de una recmara que se compr con pagos mensuales
de $2 150 durante 24 meses, comenzando a pagarlos 6 meses despus de entregada, con una
tasa de inters de 19.2% anual capitalizable mensualmente?
Periodos diferidos otiempo de aplazamiento
Anualidad vencida
R1
R2
R3
R4 R11 R12
m = 2
0 1 2
Valor
actual
n = 12
Semestres
216
matemticas Financieras
Solucin
Se identifican los datos y se traza la grfica del tiempo (figura 7.5) para determinar
el valor de m:
R=$2 150
i = =0 19212
0 016.
.
n=24
m=5
Figura 7.5.
Se sustituyen los datos en la frmula para calcular el valor presente de una anualidad
diferida y se realizan las operaciones:
C Ri
ii
nm= + + 1 1 1( ) ( )
C = + + 2 150 1 1 0 0160 016
1 0 01624
5 ( )
.
.( . )
C = 2150 1 1 0160 016
1 01624
5 ( . )
.( . )
Periodos diferidos otiempo de aplazamiento
Anualidad vencida
R1
R2
R3
R4
m = 5
0 1 2
Valor
actual
n = 24
3 4 5 6
R23
R24
Meses
uniDaD 7
217
C = 2 150 1 0 6832049570 016
0 923701098
( )
( ).
..
C = 2 150 0 3167950430 016
0 923701098 .
..( )
C = 2 150(19.79969019) (0.923701098)=39 321.34
El precio de contado de la recmara es $39 321.34.
Ejercicio 1
1. La Seora Gmez pretende realizar 8 depsitos bimestrales de $8 000 en el banco,
realizando el primero de ellos dentro de 10 meses. Cul ser el saldo en la cuenta despus de
realizar el ltimo depsito si el banco le paga 12% anual capitalizable bimestralmente?
2. Un ganadero estima que su ganado comenzar a producir dentro de seis meses,
con una produccin con valor de $120 000 mensuales y que se mantendr durante 10
aos. Cul es el valor actual de la produccin si se fija una tasa de 16% anual capitalizable
mensualmente?
3. Si se compra una camioneta mediante un programa de financiamiento que consiste
en realizar 48 pagos mensuales de $5 400 cada uno, realizando el primero de ellos 6 meses
despus de entregada la camioneta, cul es el precio de contado del automvil si la tasa de
inters es de 18% anual capitalizable mensualmente?
4. Adrin compr un equipo de sonido el cual se comprometi a liquidar con 10
pagos mensuales de $1 200 cada uno, realizando el primero de ellos 3 meses despus de
adquirido el equipo, con una tasa de inters de 24% anual convertible mensual. Cul es
el precio de contado del equipo?
5. Cunto ahorrar una persona que realiza 20 depsitos mensuales de $9 000 cada
uno, si realiza el primero dentro de 8 meses en un banco que paga un inters de 30%
anual con capitalizacin mensual?
218
matemticas Financieras
7.3. Clculo de la renta
Como ocurre con las anualidades vencidas y las anticipadas, en
las anualidades diferidas se presentan situaciones en las que se
requiere conocer el valor de las rentas a realizar, esto se puede
determinar despejndolo de las frmulas para calcular el monto,
o calcular el valor presente, esto en funcin de los datos con
que se cuente; aunque ya se ha mencionado que en el caso de las anualidades diferidas
la mayora de los clculos se realizan en funcin del valor presente, por lo cual en esta
parte nos limitaremos a explicar el clculo del valor de las rentas cuando se conoce el
valor presente de la anualidad.
Ejemplos
1. El seor Ramrez deposita el da de hoy $370 000 en una institucin bancaria
que paga 18% anual convertible mensualmente para que dentro de ao y medio pueda
disponer de una cantidad mensual para gastos personales durante 3 aos. Cul es el valor
de cada retiro mensual?
Solucin
Se traza el diagrama de tiempo y se identifican los datos (figura 7.6):
Figura 7.6.
Cmo se puede determinar el valor de la renta de una
anualidad diferida?
Periodos diferidos otiempo de aplazamiento
Anualidad vencida
R1
R2
R3
R4
0 1
Valor
actual
n = 36
16 17 18
R35 R36
m = 17
Meses
uniDaD 7
219
C=$370 000
i = =0 1812
0 015.
.
n=36
m=17
Se sustituyen los datos en la frmula:
C Ri
ii
n
m= + + 1 1 1( ) ( )370 000
1 1 0 015
0 0151 0 015
3617 = + + R ( . )
.( . )
370 0001 0 585089735
0 0150 77638526
= R ( ) ( )..
.
370 0000 414910265
0 0150 77638526 = R .
..( )
370 000= R(27.6606843)(0.77638526)
370 000= R(21.4753476)
R = =370 00021 4753476
17 229 06
.
.
Lo que significa que se pueden realizar retiros de $17 229.06.
.
2. Ana Patricia Gonzlez contrajo una deuda con valor actual de $742 000, la cual
se comprometi a cubrir con 24 pagos bimestrales, realizando el primero de ellos un ao
despus de adquirida la deuda. Si la tasa de inters pactada es de 13.8% anual convertible
bimestralmente, cunto pagara Ana Patricia cada bimestre?
Solucin
Se traza el diagrama de tiempo y se identifican los datos (figura 7.7):
220
matemticas Financieras
Figura 7.7.
C=$742 000
i = =0 1386
0 023.
.
n=24
m=5
Se sustituyen los datos en la frmula:
C Ri
ii
nm= + + 1 1 1( ) ( )
742 0001 1 0 023
0 0231 0 023
245 = + + R ( . )
.( . )
742 0001 0 579408405
0 0230 892527962
= R ( ) ( )..
.
742 0000 420591595
0 0230 892527962 = R .
..( )
742 000 = R(18.28659109)(0.892527962)
742 000 = R(16.32129388)
R = =742 00016 32129388
45 462 08
.
.
Los pagos deben ser de $45 462.08 cada uno.
Periodos diferidos otiempo de aplazamiento
Anualidad vencida
R1
R2
R3
R4
0 1
Valor
actual
n = 24
R R
m = 5
Bimestres4 5 6
uniDaD 7
221
Ejercicio 2
1. Ricardo Pereira solicita un crdito para comprar una casa con valor de $1 536 000.
Si acuerda liquidarlo con pagos mensuales durante 15 aos, y el banco le permite iniciar
sus pagos 6 meses despus de otorgado el crdito, con una tasa de inters de 21% anual
convertible mensual, de cunto debe ser cada pago mensual?
2. Lupita decide comprar un equipo de cmputo con valor de $28 750. La tienda ofrece
una promocin que consiste en realizar 18 pagos mensuales, iniciando los pagos 3 meses
despus de realizada la compra. Cul es el importe de cada pago si la tienda aplica una tasa
de inters de 18% anual capitalizable mensualmente?
3. Una persona que se va a jubilar dentro de 6 aos actualmente tiene depositados
$250 000 en una cuenta bancaria que le paga 15% de inters anual convertible semestralmente.
Cunto podr retirar semestralmente durante los 15 aos siguientes a su jubilacin?
4. Al realizar un estudio acerca del rendimiento de una plantacin de caf, se estima que
sta tardar 4 aos en producir, manteniendo dicha produccin durante 20 aos. Si el dueo de
la plantacin considera que actualmente tiene un valor de $150 000 000, y se supone una tasa
de inters de 7% anual con capitalizacin anual, de cunto ser la produccin anual de dicha
plantacin de caf durante los 20 aos que se mantendr la produccin?
5. Una inmobiliaria ofrece unos departamentos con valor de $520 000 en preventa,
mediante un crdito que consiste en mensualidades fijas durante 30 aos, las cuales se
comenzarn a pagar cuando se entregue el departamento, lo cual se espera sea 10 meses
despus de la firma del convenio. Si la inmobiliaria trabaja con una tasa de inters de 24%
anual compuesto mensualmente, de cunto debe ser cada pago mensual?
7.4. Clculo del tiempo o plazo de una anualidad diferida
Cuando se requiere conocer el nmero de pagos o plazo de una anualidad diferida se puede
recurrir a las frmulas para calcular su valor presente o el monto, sin embargo, tal como
ocurre con el valor de la renta, el monto se comporta como una anualidad vencida, por lo
tanto, la mayora de los clculos se enfocar al valor presente; en nuestro caso nos referiremos
nicamente a clculos en los cuales el valor presente es un dato conocido.
222
matemticas Financieras
Para determinar el nmero de rentas, simplemente despejaremos su valor de la frmula
del valor presente C Ri
ii
nm= + + 1 1 1( ) ( )
Ejemplo
1. Rosario Luna guarda en una cuenta bancaria $240 000 con una tasa de inters de
15% anual capitalizable bimestralmente. Cuntos retiros bimestrales de $12 000 podr
realizar, comenzando dentro de 2 aos?
Solucin
Se identifican los datos y se realiza la grfica de tiempo (figura 7.8):
C=$240 000
R=$12 000
i = =0 156
0 025.
.
m=11 bimestres
Figura 7.8.
Periodos diferidos otiempo de aplazamiento
Anualidad vencida
R1
R2
R3
R4
0 1
Valor
actual
n
m = 11
Bimestres10 11 12
Rn
uniDaD 7
223
Se sustituyen los datos en la frmula para el clculo de una anualidad diferida:
C Ri
ii
nm= + + 1 1 1( ) ( )
240 000 12 0001 1 0 025
0 0251 0 025 11 = + + ( . )
.( . )
n
240 000
12 000
1 1 025
0 0251 025 11
= ( . )
.( . )
n
201 1 025
0 0250 762144782= ( . )
.( . )
n
20
0 762144782
1 1 025
0 025
.
.
.
( )= n26 24173316
1 1 025
0 025.
.
.
( )= n(26.24173316)(0.025)=1(1.025)n
(1.025)n=10.656043329
(1.025)n=0.343956671
Ya que esto es una ecuacin exponencial, se aplican logaritmos en ambos lados de la
igualdad y se utilizan sus propiedades:
log(1.025)n=log 0.343956671
(n)log1.025=log 0.343956671
= = = n log .log .
.
..
0 343956671
1 025
0 463496263
0 01072386543 22
multiplicando por 1:
n=43.22
Se requieren aproximadamente 44 pagos.
224
matemticas Financieras
nota: cuando el resultado es decimal, normalmente se ajusta el valor del ltimo pago y se
redondea el nmero de pagos al entero inmediato. en este curso no se realizar el ajuste del
ltimo pago, simplemente se redondear el nmero de pagos al entero inmediato.
Otra opcin es despejar primero el valor de n de la frmula para calcular el valor
presente de la anualidad, obteniendo con esto una frmula que nos permita calcular de
manera directa el nmero de rentas.
De esta forma el despeje quedara:
C Ri
ii
nm= + + 1 1 1( ) ( )
Ri
i
C
i
n
m
1 1
1
+ = + ( ) ( )1 1
1
+ = + ( ) ( )ii CR in m + = + ( ) ( )1 1 1i CiR in mMultiplicando por 1 y aplicando logaritmos en ambos lados de la igualdad obtenemos:
+ + = ( ) ( ) ( )1 1 1 1i CiR in m( )
( )1 1
1+ + =i CiR in m
log log( )
( )1 11
+ = + i CiR in m( ) log( ) log
( ) + = + n i CiR i m1 1 1
( )( )
log
log( ) = ++
n
Ci
R i
i
m1
1
1
uniDaD 7
225
Multiplicando por 1 para que n sea positiva se tiene que:
Donde:
n es el nmero de pagos
C es el valor presente de la anualidad
n
Ci
R i
i
m= ++ log ( )
log ( )
11
1 R es la renta
i es la tasa por periodo de capitalizacin
m es el nmero de periodos diferidos
Ejemplo
Regina Luna compr una videograbadora con valor de $2 700, la cual acord
pagar mediante pagos mensuales de $350 cada uno con un inters de 24% capitalizable
mensualmente. Cuntos pagos mensuales se deben realizar para liquidar la videograbadora,
si el primero se realiza 3 meses despus de haberla adquirido?
Solucin
Se identifican los datos y se traza la grfica de tiempo (figura 7.9):
C=$2 700
R=$350
i = =0 2412
0 02.
.
m=2
Figura 7.9.
Periodos diferidos o tiempo de aplazamiento
Anualidad vencida
R1
R2
R3
R4
m = 2
0 1 2
Valor
actual
n Meses
Rn
3
226
matemticas Financieras
Se sustituyen en los datos en la frmula que tiene despejado el nmero de rentas:
n = ++ = log ( . )( . )
log( . )
log12 700 0 02
350 1 0 02
1 0 02
154
2
3350 0 961168781
1 02
( . )
log .
= n = ++ =
961168781 1 0 1605188571 02
) log( . )
log .
= n = = = log( . )
log .
.
.(
0 839481143
1 02
0 075989054
0 00860017176288 84 8 84. ) .=
Por lo cual sabemos que se requieren aproximadamente 9 pagos.
Ejercicio 3
1. La Seora Flores compra un automvil con valor de $195 620, mediante un crdito
que se liquidar con pagos bimestrales de $11 500 cada uno con una tasa de inters de 18%
compuesto bimestralmente, con el acuerdo de realizar el primer pago un ao despus de
otorgado el prstamo. Con cuntos pagos saldar su deuda la seora Flores?
2. Si solicitas un crdito por $150 000, el cual te comprometes a pagar mediante
abonos trimestrales de $9 750 cada uno y realizar el primero de ellos 6 meses despus de
otorgado el crdito, con una tasa de inters de 20% anual compuesto trimestralmente, con
cuntos pagos se saldar tu deuda?
3. Una empresa comercializadora requiere comprar una bodega para almacenaje, la
cual tiene un precio de $750 000. Si le otorgan un crdito hipotecario, la empresa pagar
con mensualidades de $8 750 cada una con una tasa de inters de 10.8% capitalizable
mensualmente. Cuntos pagos se deben realizar para liquidar el crdito si adems acuerda
realizar el primero 8 meses despus de entregada la bodega?
4. Para pagar una sala que tiene un costo de $18 000 se debe realizar una serie de
pagos mensuales por $6 500 cada uno, iniciando 6 meses despus de la compra. Cuntos
pagos se deben realizar para liquidar la sala si la tasa de inters es de 15% anual convertible
mensualmente?
uniDaD 7
227
5. La seora Martnez compr una cocina con valor de $35 000 mediante un crdito
que consiste en pagos mensuales de $4 500 cada uno, realizando el primero de ellos 3 meses
despus, con una tasa de inters de 10.2% anual convertible mensualmente. Cuntos pagos
hay que realizar para saldar la deuda?
Problemas resueltos
1. Durante el mes de noviembre una tienda departamental anuncia su promocin anual
compre ahora y pague hasta febrero. La seora Urquiza decidi aprovechar la oferta y
comprar ropa que le entregaron inmediatamente (en noviembre). Si acuerda pagar mediante
6 mensualidades de $523 cada una (iniciando en febrero por la promocin), con un cargo de
21% anual convertible mensualmente, cul es el precio que se tendra que haber pagado por la
ropa si se comprara en la misma fecha en que se realizar el ltimo pago?
Solucin
Se identifican los datos:
R=$523
i = =0 2112
0 0175.
.
n=6 pagos mensuales
Como se pide determinar el valor de la ropa en el momento del ltimo pago, significa que se
debe calcular el monto de las rentas, por lo tanto el tiempo diferido no afecta para nada.
Se sustituyen los datos en la frmula para el clculo del monto de una anualidad
diferida y se realizan las operaciones:
M Ri
i
n= + ( )1 1M = + 523 1 0 0175 1
0 0175
6( . )
.
228
matemticas Financieras
M = = =523 1 0175 10 0175
5231 109702354 1
0 0175523
0 10970236( ).
.
.
.
. 554
0 0175523 6 268705943
.( . )=
M = 3 278.53
La ropa tendr un costo de $3 278.53 para cuando termine de pagarla.
2. Calcula el valor actual de una renta semestral de $8 645 efectuada durante 10
aos, si el primer pago se debe realizar dentro de 4 aos y consideramos una tasa de 18%
capitalizable semestralmente.
Solucin
Se identifican los datos y se traza la grfica del tiempo (figura 7.10) para determinar
el valor de m:
R=$8 645
i = =0 182
0 09.
.
n=10 (2)=20 pagos semestrales durante 10 aos
m=7
Figura 7.10.
Se sustituyen los datos en la frmula para calcular el valor presente de una anualidad
diferida y se realizan las operaciones:
m = 7
6
Periodos diferidos o tiempo de aplazamiento
Anualidad vencida
R1
R2
R3
R4
0 1
Valor
actual
n = 20
7 8 Semestres
R19
R20
uniDaD 7
229
C Ri
ii
nm= + + 1 1 1( ) ( )
C = + + 8 6451 1 0 090 09
1 0 0920
7 ( )
( ).
..
C = 8 6451 1 090 09
1 0920
7
( )
( ).
..
C = 8 6451 0 1784308890 09
0 547034244
( )
( ).
..
C = =8 645 0 8215691110 09
0 547034244 8 645 9 128545678 0 54.
.. ( . ) .( ) ( 77034244) =
C = 43 169.91
Significa que el valor actual es $43 169.91.
3. Alberto deposita el da de hoy $150 000 en una cuenta bancaria que le paga
18% anual convertible trimestralmente, para que dentro de 5 aos pueda disponer de
una cantidad trimestral fija para gastos personales durante 7 aos. Cul es el valor de
cada retiro trimestral?
Solucin
Se traza el diagrama de tiempo y se identifican los datos (figura 7.11):
Figura 7.11.
m = 19
Periodos diferidos otiempo de aplazamiento
Anualidad vencida
R1
R2
R3
R4
0 1
Valor
actual
n = 7(4) = 28
R27
R28
18 19 20 Trimestres
230
matemticas Financieras
C=$150 000
i = =0 184
0 045.
.
n=28
m=19
Se sustituyen los datos en la frmula:
C Ri
ii
nm= + + 1 1 1( ) ( )
150 0001 1 0 045
0 0451 0 045
2819
= + + R ( ) ( )..
.
150 0001 0 291570691
0 0450 433301788
= R ( ) ( )..
.
150 0000 708429309
0 0450 433301788 = R .
..( )
150 000 = R(15.74287353)(0.433301788)
150 000 = R(6.82141525)
R = =150 0006 82141525
21 989 57
.
.
Lo que significa que se pueden realizar retiros de $21 989.57.
4. Cuntos retiros bimestrales de $10 420 se podrn realizar, comenzando dentro
de ao y medio, si la cuenta tiene actualmente $240 000 y gana un inters de 18% anual
capitalizable bimestralmente?
Solucin
Se identifican los datos y se realiza la grfica de tiempo (figura 7.12):
uniDaD 7
231
C=$240 000
R=$10 420
i = =0 186
0 03.
.
m=8
Figura 7.12.
Se sustituyen los datos en la frmula para el clculo de una anualidad diferida:
C Ri
ii
nm= + + 1 1 1( ) ( )
240 000 10 4201 1 0 03
0 031 0 03 8 = + + ( ) ( ).
..
n
240 000
10 420
1 1 03
0 031 03 8= ( ) ( ).
..
n
23 03262956
1 1 03
0 030 789409234.
.
..
( )( )= n
23 03262956
0 789409234
1 1 03
0 03
.
.
.
.
( ) = n
29 177046031 1 03
0 03.
.
.
( )= n
Periodos diferidos otiempo de aplazamiento
Anualidad vencida
R1
R2
R3
R4
0 1
Valor
actual
n
Rn
m = 8
7 8 9 Bimestres
232
matemticas Financieras
(29.17704603) (0.03) = 1(1.03)n
(1.03)n = 10.87531138
(1.03)n = 0.12468862
Ya que esto es una ecuacin exponencial, se aplican logaritmos en ambos lados de la
igualdad y se utilizan sus propiedades,
log(1.03)n = log0.1248862
(n)log 1.03 = log0.12468862
= = = n log .log .
.
..
0 1248862
1 03
0 904173181
0 01283722470 43
Multiplicando por 1:
n=70.43
Se requieren aproximadamente 71 pagos.
nota: cuando el resultado es decimal, normalmente se ajusta el valor del ltimo pago y se
redondea el nmero de pagos al entero inmediato. en este curso no se realizar el ajuste del
ltimo pago, simplemente se redondear el nmero de pagos al entero inmediato.
5. Una empresa compr equipo con valor de $985 620, el cual acord liquidar mediante
pagos semestrales de $250 000 cada uno, con un inters de 32% capitalizable semestralmente.
Cuntos pagos se necesitan realizar para liquidar el equipo, si el primero de ellos se realiza
18 meses despus de haberlo adquirido?
Solucin
Se identifican los datos y se traza la grfica de tiempo (figura 7.13):
C=$985 620
R=$250 000
uniDaD 7
233
i = =0 322
0 16.
.
m=2
Figura 7.13.
Recuerda que puedes sustituir los valores en la frmula para determinar el valor presente
de la anualidad, y posteriormente se despeja el nmero de rentas (tal como el ejercicio anterior)
o bien se sustituyen los datos en la frmula que tiene despejado el nmero de rentas, que
es lo que se presenta a continuacin:
n
Ci
R i
i
m= ++ log ( )
log( )
11
1
n = ++ = log ( . )( . )
log( . )
l1985 620 0 16
250 000 1 0 16
1 0 16
2
oog
.
( . )
log .
1157 699 2
250 000 0 743162901
1 16
=
= ++ = ) log( .743162901 1 0 8 =
4488001741 16
)
log .
n = = = log( . )log .
.
.( .
0 151199826
1 16
0 820448708
0 06445798912 773 12 73) .=
Por lo cual sabemos que se requieren aproximadamente 13 pagos.
Periodos diferidos otiempo de aplazamiento
Anualidad vencida
R1
R2
R3
R4
0 1 2
Valor
actual
3
n
Rn
m = 2
Semestres
234
matemticas Financieras
Problemas propuestos
1. Se estima que un pozo petrolero comenzar a producir dentro de 2 aos, con
una produccin con valor de $982 000 anuales y que se mantendr durante 32 aos.
Cul es el valor actual de la produccin, si se fija una tasa de 19% anual capitalizable
anualmente?
2. Cul es el monto de una deuda que se cubre con 10 pagos semestrales de $16 500,
si el primero de ellos se realiza 2 aos despus de formado el convenio con una tasa de inters
de 15% anual compuesto semestralmente?
3. La seora Martnez pretende realizar 7 depsitos de $68 000 trimestrales en
el banco, realizando el primero de ellos dentro de 12 meses. Cul ser el saldo en la
cuenta despus de realizar el ltimo depsito si el banco le paga 24% anual capitalizable
trimestralmente?
4. Una persona que se jubilar dentro de 8 aos actualmente tiene depositados $1 250 000
en una cuenta bancaria que genera 25% de inters anual convertible semestralmente. Cunto
podr retirar semestralmente durante los 30 aos siguientes a su jubilacin?
5. El seor Fernndez compra un automvil con valor de $216 585, mediante un crdito
que se liquidar con pagos mensuales de $14 500 cada uno con una tasa de inters de 12%
anual compuesto mensualmente, acordando realizar el primer pago 6 meses despus de que le
entregan el automvil. Con cuntos pagos saldar su deuda el seor Fernndez?
uniDaD 7
235
Respuestas a los ejercicios
ejercicio 1
1. $68 663.75
2. $6 704 567.55
3. $170 641.90
4. $10 360.54
5. $229 901.92
ejercicio 2
1. $30 666.18
2. $1 889.86
3. $46 899.59
4. $17 345 308.95
5. $12 438.93
ejercicio 3
1. 31 pagos, aproximadamente.
2. 34 pagos, aproximadamente.
3. 193 pagos, aproximadamente.
4. 4 pagos, aproximadamente.
5. 9 pagos, aproximadamente.
236
matemticas Financieras
Respuestas a los problemas propuestos
1. $4 326 603.32
2. $233 426.94
3. $570 780.96
4. $915 120.72
5. 18 pagos, aproximadamente.
Matemticas inancieras Unidad 7. Anualidades diferidasNombre:
Grupo: Nmero de cuenta:
Profesor: Campus:
237
Autoevaluacin
1. El seor Ramrez piensa depositar $500 mensuales en una cuenta de ahorros comenzando
dentro de 8 meses. Si el banco paga 18% de inters anual capitalizable mensualmente, la cantidad que
habr reunido despus de 15 depsitos es:
a ) $6 341.04
b) $7 341.07
c ) $8 341.07
d) $9 341.07
2. Alberto compr un equipo de sonido en una promocin de compre ahora y comience a
pagar dentro de seis meses, con 12 pagos mensuales de $378. Si la tasa de inters es de 21% anual
con capitalizacin mensual, el precio actual del equipo de sonido que compr Alberto es:
a ) $3 722.25
b) $4 222.25
c ) $4 722.25
d) $5 222.25
3. Indica el nmero de pagos semestrales por $3 000 que se requieren para liquidar una deuda
de $50 243.64, si la tasa de inters es de 9.1% convertible semestralmente y si el primer pago se realiza
2 aos despus de autorizado el crdito:
a ) 44 pagos.
b) 45 pagos.
c ) 46 pagos.
d) 47 pagos.
238
4. El seor Martnez desea pagar un crdito con valor actual de $570 000 mediante 20 pagos
trimestrales, realizando el primero dentro de dos aos. Si la tasa de inters es de 28% anual con
capitalizacin trimestral, el valor de los depsitos es:
a ) $86 397.41
b) $863 974.14
c ) $96 397.41
d) $963 974.14
5. Cuntos pagos mensuales por $8 960 se requieren para pagar un automvil con valor
de $258 300, si la agencia concede al comprador realizar el primer pago 7 meses despus de que le
entregan el automvil y una tasa preferencial de 12% anual compuesta mensualmente?
a) 34 pagos.
b) 35 pagos.
c) 36 pagos.
d) 37 pagos.