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Lección 2.1
Integración por Sustitución
11/07/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 22
Objetivo
Al finalizar esta lección podrá:
• Reconocer cuándo se debe usar el método de
sustitución para integrar.
• Reconocer cuándo usar la Regla de la Potencia de la
Integración para hallar la integral indefinida y
definida.
• Usar la Regla de la Sustitución de la Integración.
• Usar la técnica de multipicar y dividir constantes en
conjunto con la Regla de la Sustitución para hallar la
integral indefinida y definida.
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011 2 de 22
Regla de la sustitución
• Sea u una función diferenciable y F una
función tal que F’(u) = f(u). Entonces,
• Pasos a seguir:
1. Seleccione u y calcule el diferencial du.
2. Exprese el integral en términos de u.
3. Integre.
4. Exprese resultado en términos de variable
original
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011
cuFdxxuuf )()()(
3 de 22
Ejemplo 1
• Encuentre:
• Solución:
1. Seleccione u y calcule el diferencial du:
2. Escriba el integral en términos de u:
3. Integre:
4. Exprese resultado en términos de variable original
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011
xdxx 2142
12 xu xdx
du2
duu4c
u
5
5
c
xxdxx
5
121
5242
xdxdu 2
4 de 22
Ejemplo 2
• Encuentre:
• Solución:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011
dx
x
x 8lncos
8ln xu
dxx
du1
cu )sin(
cxdxx
x
)8sin(ln
)8cos(ln
dxx
x1
8lncos
duu)cos(
5 de 22
Ejemplo 3
• Encuentre:
• Solución:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011
dxxx332 52
52 3 xu
dxxdu 26 duu3
6
1c
u
46
1 4
c
xdxxx
24
5252
43332
dxxx 233 52
dxxx 233 6526
1
6 de 22
Ejemplo 4
• Encuentre:
• Solución:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011
dxx
x241
241 xu
xdxdu 8
duu 21
8
1
cu
21
21
8
1
dxxx 41 21
2
xdxx 8418
121
2
cu
4
21
cx
dxx
x
4
41
41
2
2
7 de 22
Ejercicio #1
• Calcule:
• Solución:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011
dxex x342
34xu
dxxdu 212
dxxe x 24 3
dxxe x 24 1212
1 3
dueu
12
1
ceu
12
1
ce x
12
34
8 de 22
Ejercicio #2
• Calcule:
• Solución:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011
dwww
wlncos
11
wwu ln
dww
du
11 uducos
dw
www
11lncos
cu sin
cww )lnsin(
9 de 22
Ejemplo 5
• Calcule:
• Solución:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011
dxxx ))cos(2)(sin( 4
)cos(2 xu
)()sin( xdx
dx
dx
du
cu
5
5
dxxdu )1)(sin( duu 4)(
dxxx )sin())cos(2( 4
c
x
5
)cos(25
dxxdu )sin(1
10 de 22
Ejercicio #3
• Calcule:
• Solución:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011
dzzz )3(sin3cos 10
zu 3sin
zdz
dz
dz
du33cos
cu
113
1 11
dzzdu 3cos3
duu 10)(3
1
dzzz 3cos3)3(sin3
1 10
cz
33
3sin11
1010 )3(sin)3(sin zz
11 de 22
Ejemplo 6
• Compare:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011
dy
y 4
3
4 yu
dydu
dy
y
y
4
32
dy
y
y22 4
3
dyy 4
32
dy
y 4
13
duu
13
42 yu
ydydu 2
ydy
y2
4
1
2
32
duu
1
2
3
42 yu
ydydu 2
ydy
y2
)4(
1
2
322
duu2
1
2
3
cy 4ln3 cy 4ln2
3 2
Continúa en la
próxima …
c
y
42
32
duu 2
2
3
12 de 22
Ejemplo 6 ….
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011
dy
y 4
32
2
yu
dydu2
1
dyy
14
4
32
dy
y1
2
1
4
32
dy
y 2
1
12
12
4
32
du
u21
1
2
3
cu 1tan2
3
cy
2tan
2
3 1c
a
u
adu
ua
1
22tan
11
:recordar para Fórmula
13 de 22
Fórmulas para recordar
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011
tan𝑢 𝑑𝑢 = −ln | cos 𝑢| + 𝑐
cot 𝑢 𝑑𝑢 = ln | sin 𝑢| + 𝑐
𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑑𝑢 = ln | sec 𝑢 + tan𝑢 | + 𝑐
𝑐𝑠𝑐 𝑢 𝑑𝑢 = −ln | csc 𝑢 + cot 𝑢 | + 𝑐
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Ejercicios #4
• Calcule:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011
dxex x
342
dxxx sincos3
dxx
x
7 3
2
dxxx )5cos( 43
dxx
25
12
ce x 34
12
1
cx 4cos4
1
cx 37ln3
1
cx )5sin(20
1 4
cx
5tan
5
1 1
dxx
6csc c
xx
6cot
6cscln6
15 de 22
Ejemplo 7
• Calcule:
• Solución:
• Calcule los límites de integración en términos de u.
• Proceda con la sustitución. Incluya los nuevos límites
de integración
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011
dxx
0
1
25)1(
1 xu dxdu
01)1()1( u 11)0()0( u
duu1
0
25
1
0
26
26
u
26
1
26
)0(
26
)1( 2626
dxx
0
1
25)1(
16 de 22
Ejemplo 8
• Calcule:
• Solución:
• Calcule los límites de integración en términos de u.
• Proceda con la sustitución. Incluya los nuevos límites
de integración
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011
dxx
xe
1
ln
xu ln dxx
du1
dxx
x
e
1
1ln
01ln)1( u 1ln)( eeu
duu
1
0
1
0
2
2
u
2
1
2
0
2
1 22
dx
xx
e
1
1ln
17 de 22
Ejercicios #5
• Calcule:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011
1
0
32 1 dxxx
1
0
32 212
1xdxx
2
1
4
42
1 u
8
15
2
1
4
8
1u
2
1
3
2
1duu
44 128
1
18 de 22
Ejemplo 9
• Calcule:
• Solución:
• Calcule los límites de integración en términos de u.
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011
dxx
x
12
0
2
3tan6
3sec
xu 3tan6 xdxdu 3sec3 2
4tan6
)03tan(6)0( u
dxxx
12
0
2 3sec33tan6
1
3
1
7
6
1
3
1du
u
dxxx
12
0
2 3sec3tan6
1
)12
3tan(612
u 716
0tan6 606
7
6||ln
3
1u
|6|ln|7|ln3
1 6ln7ln
3
1
6
7ln
3
1
19 de 22
Ejemplo 10
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011
2
1
61
cotcsc dttt tu
dtdu
2
1
2
1
u
2
66
1
6
1
u
2
1
61
csccot1
dttt
2
6
csccot1
duuu
2
6
csc1
u
6csc
2csc
1
6sin
1
2sin
11
211
1
20 de 22
Ejercicios #6
• Calcule:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011
4
0 12
1dx
x
4
0
2
1
2)12(2
1dxx
9
1
2
1
212
1
u
2
9
1
2
1
2
1duu
9
1
2
1
u 21
21
19
21 de 22
Actividades 2.1
• Ejercicios: Stewart; Problemas impares 1 –
33 de la página 392 y 39 -53 de la página
392. Soluciones en página 109
• Referencias:
• Visual Calculus: Tutorial: Integration using
Substitution Ejercicios: Integration by
Substitution.
• Paul's Online Math Notes - Substitution Rule
for the Indefinite Integrals ; More Substituion
Rule; Substitution Rule for Definite Integrals.
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011 22 de 22