Post on 18-Jul-2016
description
transcript
RESUMEN PSU MATEMÁTICA Por Ignacio Osorio G.
Estudiante Ing. Comercial UC
ignacio.osorio@live.com
CONJUNTOS
Naturales o Enteros positivos:
Cardinales o Enteros no negativos:
Enteros Negativos:
Enteros no positivos:
Enteros:
Racionales:
Irracionales:
Reales:
No son números reales las expresiones de la forma , con a y n par.
Ej:
NÚMEROS EN POTENCIA DE 10 (NOTACIÓN DECIMAL POCISIONAL)
Todo número puede ser expresado en potencia de diez.
abc,de
MÚLTIPLOS Y DIVISORES
En la expresión en que a, b y c son enteros, a es múltiplo de b y de c o bien
b y c son divisores o factores de a.
El 0 no es divisor de número alguno, pues la división por 0 no existe.
El 1 es divisor o factor de todos los números reales
REGLAS DE DIVISIBILIDAD
POR CUANDO
2 Termina en cifra par
3 La suma de sus cifras es múltiplo de 3 4 Las dos últimas cifras son ceros o múltiplos de 4
5 Termina en 5 o en 0 6 Es divisible por 2 y por 3 a la vez
8 Las tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8 9 La suma de sus cifras es múltiplo de 9
10 Termina en 0
LENGUAJE ALGEBRÁICO
Neutro aditivo: 0
Neutro multiplicativo o la unidad: 1
Inverso aditivo u opuesto de x = -x
Inverso multiplicativo o recíproco de y =
El “entre” excluye los extremos
Semi-suma de dos números:
Semi-diferencia de dos números:
Sucesor de n=n+1
Antecesor de n=n-1
Número par: 2k
Número impar: 2k-1
El exceso de p sobre q es n unidades: p – q = n
P excede a q en n unidades: p = q + n
P es a unidades mayor que q: p = q +a
P es a unidades menor que q: p = q – a
Múltiplos consecutivos de n: nx, nx+n, nx+2n, nx+3n…
NÚMEROS PRIMOS
Son aquellos enteros positivos que tienen sólo dos divisores distintos. Los primeros
números primos son: 2, 3, 5, 7, 11,13…
NÚMEROS COMPUESTOS
Son todos los enteros positivos mayores que uno que no son primos. Todo número
compuesto se puede expresar de manera única como el producto de factores primos.
Los primeros primos son: 4, 6, 8, 9, 10…
El 1 no es ni primo ni compuesto
El único par primo existente es el 2
VALOR ABSOLUTO
Es la distancia que existe entre un número y el 0.
•|n|=
•
FRACCIÓN PROPIA E IMPROPIA
1. Si
2. Si
NÚMERO MIXTO
Toda fracción impropia se puede escribir como un número mixto:
=
RELACIÓN DE ORDEN EN Q
Para comparar números racionales, se pueden usar los siguientes procedimientos:
Igualar numeradores
Igualar denominadores
Convertir a número decimal
Comparar los productos cruzados
ORDEN DECRECIENTE: de más a menos
ORDEN CRECIENTE: de menos a más
FRACCIÓN DE UNA FRACCIÓN
Corresponde al producto entre ellas.
Ej: Un tercio de la mitad de un cuarto de x es:
TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL FINITO A FRACCIÓN
Se escribe en el numerador todos los dígitos que forman el número decimal, y en el
denominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras tenga dicho número.
abc,de
DECIMAL PERIÓDICO A FRACCIÓN
DECIMAL SEMIPERIÓDICO A FRACCIÓN
ESTIMAR es redondear cada valor durante toda la operación
APROXIMAR es redondear cierto valor. Si la cifra a la cual se aproxima es
menor que 5, se deja como 0, pero si es mayor o igual a 5, se aumenta una unidad a
la cifra mayor siguiente.
TRUNCAR es reemplazar las valores de las cifras estimadas por ceros sin importar
su valor.
NOTACIÓN CIENTÍFICA
Se escribe de la forma en que 1 k y n Z
Ej: 4,25
NOTCIÓN ABREVIADA
Se escribe de la forma
Ej: 425
POTENCIAS EN
, con a
RAÍCES EN
Las raíces están definidas para en .
RAZÓN
Es una comparación entre dos cantidades mediante una división o formando el
cuociente entre ellas. Se escribe a:b o
, que se lee “a es a b”; donde a se denomina
antecedente y b consecuente.
El valor de la razón es el cuociente entre las cantidades:
=K
Serie de razones: Es la igualdad de dos o más razones. La serie de razones
, que también se escribe como x : y : z = a : b : c, tienea la propiedad
fundamental de que:
PROPORCIÓN
Es una igualdad entre dos razones:
y se lee “a es a b como c es a
d”, donde a y d son los extremos, b y c los medios.
Dada la proporción :
, existe una constante k, denominada constante de
proporcionalidad, tal que: .
Proporcionalidad directa: dos variables x e y son directamente
proporcionales si el cuociente entre sus valores correspondientes es
constante.
En una proporcionalidad directa, si una de las variables aumenta (disminuye)
n veces, la otra aumenta (disminuye) el mismo número de veces.
Dos magnitudes son directamente proporcionales si
al representar los pares de valores, los puntos se
sitúan en una recta que pasa por el origen.
Proporcionalidad Inversa: Dos variables x e y son inversamente
proporcionales cuando el producto entre las cantidades correspondientes se
mantiene constante.
El gráfico de la proporcionalidad inversa corresponde
a una hipérbola equilátera en el 1er cuadrante.
n n veces
n m n m
n factores
Proporcionalidad compuesta: Es la combinación de
Proporcionalidades directas, inversas o ambas.
Ej: a2 es inversamente proporcional a y directamente proporcional a c, se
escribe:
PORCENTAJES
El p% de q es igual a
El a% del b% de c =
a% de c b% de c = (a c)% de c a es el b% de c: a=
Variación porcentual
AUMENTO: Al aumentar una cantidad C en su P porciento se obtiene una
cantidad final C´:
DISMINUCIÓN: Al disminuir una cantidad C en su P porciento se obtiene una
cantidad final C´:
INTERÉS SIMPLE
Una cantidad C crece a una taza de interés simple del i% por unidad de tiempo en un
periodo de n unidades, en un régimen de crecimiento simple, si el crecimiento en
cada unidad de tiempo es fijo. La ganancia o utilidad G, y la cantidad Cf después de
cumplido el periodo n está dada por:
Modelo Lineal
INTERÉS COMPUESTO
Una cantidad C crece a una taza del i% por unidad de tiempo en un periodo de n
unidades, en un régimen de crecimiento compuesto, si el crecimiento en cada unidad
de tiempo se agrega a C de modo que al final de cada unidad hay una nueva cantidad.
La ganancia o utilidad G, y la fórmula para calcular la cantidad Cf después de
cumplido el periodo n es:
Modelo Exponencial
ECUACIÓN DE PRIMER GRADO
Una ecuación se denomina de primer grado o lineal si el mayor exponente de la
incógnita es 1. Toda ecuación de 1er grado en una variable puede expresarse de la
forma:
ax + b = 0
Análisis de las soluciones de una ecuación de primer grado
El número de soluciones de la ecuación ax + b = 0 depende de los valores de a y b. Se
pueden dar tres casos:
1. Si , la ecuación tiene SOLUCIÓN ÚNICA
2. Si la ecuación tiene INFINITAS SOUCIONES
3. Si la ecuación NO TIENE SOLUCIÓN
PROBLEMAS DE TRABAJOS
Si un trabajador o máquina puede realizar un trabajo en un tiempo a y otro en un
tiempo b, la ecuación que permite calcular el tiempo t que demoran ambos en
realizar conjuntamente el mismo trabajo es:
Si además existe cierto impedimento c que disminuye el tiempo del trabajo, a la
ecuación anterior se resta
. (Ej. Un desagüe que funciona conjuntamente con llaves
que llenan una tina)
PROBLEMAS DE EDADES
En estos problemas conviene representar las edades de los personajes con letras
diferentes indicando en una tabla sus edades pasadas,presentes y/o futuras, según
corresponda.
Edad pasada (hace b años)
Edad actual Edad futura (dentro de c años)
x-b x x+c y-b y y+c
TRAZOS
1. Segmento: Trazo limitado por dos puntos en sus extremos.
2. Rayo: Trazo limitado en un extremo por un punto, y por el otro se extiende
indefinidamente.
3. Recta: Trazo infinito hacia ambos extremos. Se extiende indefinidamente.
ÁNGULOS
Clasificación de acuerdo a su medida
Ángulo nulo : Mide 0°
Ángulo Agudo : Mide más de 0° y menos de 90° (
Ángulo Recto : Mide 90°
Ángulo Obtuso : Mide más de 90° y menos de 180° (
Ángulo Extendido : Mide 180°
Ángulo Completo : Mide 360°
Clasificación de los ángulos según su pocisión
Ángulos consecutivos: tienen un vértice y un lado en común
Ángulos adyacentes o par lineal: tienen el vértice y un lado en común y los
otros dos lados yacen sobre una misma recta. Son consecutivos y
suplementarios.
Ángulos opuestos por el vértice: tienen el vértice en común y los lados de uno
de ellos son las prolongaciones de los lados del otro.
Ángulos contiguos: Son aquellos que no comparten vértice, sinó que
comparten un lado en común en el interior de un polígono.
Clasificación de los ángulos de acuerdo a la suma de sus medidas
Ángulos Complementarios: Suman 90°. Si son ángulos complementarios,
es el complemento de y es el complemento de El complemento de un
ángulo x es 90 - x.
Ángulos Suplementarios: Suman 180°. Si son ángulos suplementarios,
es el suplemento de y es el suplemento de El complemento de un ángulo
x es 180 - x.
TRIÁNGULOS
Clasificación de los triángulos:
Según sus lados Según sus ángulos Escaleno: Tiene sus tres lados de distinta medida Isóseles: Tiene dos lados de igual medida. Al lado distinto se le llama base, y los ángulos que yacen sobre la base son equivalentes. Equilátero: Tiene sus trés lados y ángulos de igual medida.
Acutángulo: Tiene sus tres ángulos agudos Rectángulo: Tiene un ángulo recto Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso
Observaciones:
1) En todo triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.
2) Cada lado de un triángulo por obligacion es mayor que la diferencia de los
otros dos lados, y menor que su suma.
3) Para efecto de la PSU, se considera que el triángulo equilátero es un caso
especial de los triángulos isóseles.
SEMEJANZA: Es la “igual forma” que tienen dos o más polígonos, independiente
del distinto o igual tamaño y superficie que tengan entre si. En el triángulo, para que
se cumpla la semejanza basta con que dos de sus ángulos interiores sean iguales. En
el resto de los polígonos deben coincidir no sólo los ángulos, sinó que además los
lados respectivos deben estár en la misma proporción.
EQUIVALENCIA: ( Es la “igual superficie” o “área” entre dos omás polígonos,
independiente de la forma que tengan.
CONGRUENCIA Se cumple cuando dos o más polígonos cumplen con la
equivalencia (igual superficie) y la semejanza (igual forma) a la vez.
Congruencia de triángulos
Dos triángulos son congruentes si y sólo si existe una correspondencia entre sus
vértices, de mnodo que cada par de lados y ángulos correspondientes sean
congruentes.
Postulados de congruencia de triángulos:
1. ALA : Si tienen respectivamente iguales un lado y los dos ángulos
adyacentes a ese lado.
2. LAL : Cuando tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos
respectivamente iguales.
3. LLL : Si tienen sus tres lados respectivamente iguales.
4. LLA>: Cuando tiene dos lados y al ángulo opuesto al mayor de esos
lados respectivamente iguales.
Elementos secundarios del triángulo
ALTURA: Es el segmento perpendicular que va desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación. Ortocentro (H): punto de
intersección de las alturas.
BISECTRIZ: Es el trazo que divide al ángulo en dos ángulos congruentes. Incentro (I): punto de
intersección de las bisectrices. Equidista de los lados del triángulo.
TRANSVERSAL DE GRAVEDAD: Es el trazo que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Baricentro o centro de
Gravedad (G): Punto de intersección de las transversales de gravedad.
Observación: Si entonces
Trazar transversales de gravedad divide al en triángulos equivalentes.
SIMETRAL: Es la recta perpendicular que pasa por el punto de cada lado del triángulo. Circuncentro (O): punto de
intersección de las simetrales. Equidista de los vértices del triángulo.
MEDIANA: Es el segmento de recta que unelos puntos medios de los lados del triángulo. Mide la mitad que el lado al cual es paralelo, y dividen el en 4 triángulos congruentes. Observación:
C
n
C0
C
n
C0
A
B
E
C
H
D
F
A
B
E
C
D
F
G
A
B
C
A
á
á
á
á
B
C
E
D
F
DATOS
En todo triángulo isóseles coinciden los elementos secundarios
correspondientes al lado distinto.
En todo triángulo equilátero coinciden los elementos secundarios
correspondientes a cualquier lado. Además coinciden los puntos singulares
(de intersección)
POLÍGONOS
Un polígono es una figura plana, cerrada, limitada por trazos llamados lados y que se
intersectan sólo en sus puntos extremos (no se cruzan).
1. Cóncavos: 2. Convexos:
No son polígonos: Pues tienen lados que se intersectan (cruzan).
NOMBRE DE POLÍGONOS
TRIÁNGULOS 3 LADOS CUADRILÁTERO 4 LADOS PENTÁGONO 5 LADOS HEXÁGONO 6 LADOS HEPTÁGONO 7 LADOS OCTÓGONO 8 LADOS
PROPIEDADES DE POLÍGONOS DE n LADOS:
Suma de los ángulos interiores = 180 (n-2)
Suma de los ángulos exteriores = 360
Diagonales trazables desde un vértice = n-3
Total de diagonales trazables en el polígono =
Número de triángulos que se pueden formar desde un vértice con diagonales =
n-2
POLÍGONO REGULAR
Es aquel que tiene sus lados y sus ángulos respectivamente congruentes. En caso
contrario se dice que es irregular.
Medida de cada ángulo interior =
Medida de cada ángulo exterior =
El hexágono regular es un polígono regular especial formado por la conformación de
seis triángulos equiláteros.
Cuadrilátero: Es cualquier polígono de 4 lados. Se clasifican el paralelogramos
(lados opuestos paralelos), trapecios (un par de lados paralelos), y trapezoides (sin
lados paralelos). Tanto la suma de sus ángulos interiores como exteriores es 360 .
Siempre que se trazen uniones entre los puntos medios en cualquier cuadrilátero se
forma un paralelógramo.
1) Paralelógramos: Es aquel que tiene dos pares de lados opuestos paralelos.
Siempre sus lados y ángulos opuestos son congruentes, y los ángulos contiguos
son suplementarios.
i. Cuadrado: El cuadrado es un polígono de cuatro lados, con la particularidad de que todos ellos son iguales. Además sus cuatro ángulos son de 90 cada uno. Se caracteriza porque sus diagonales son conruentes, se dimidian, intersectan en ángulos rectos y son bisectrices. Además las diagonales trazan cuatro triángulos congruentes.
Área =
Perímetro =
ii. Rombo: El rombo es un cuadrilátero paralelogramo cuyos
cuatro lados son de igual longitud y sus ángulos interiores opuestos son iguales. Sus diagonales son perpendiculares entre si y cada una divide a la otra en partes iguales. Las diagonales son bisectrices.
Área =
Perímetro = 4
iii. Rectángulo: Es un polígono que tiene los lados opuestos congruentes y sus cuatro ángulos interiores son rectos. Sus diagonales son congruentes y se dimidian. Los triángulos interiores generados por las diagonales que son opuestos por el vértice, son isósceles congruentes.
Área = Perímetro =
iv. Romboide: Es un paralelogramo que tiene los lados y ángulos iguales dos a dos. Sus diagonales se dimidian.
Área = Perímetro =
2) Trapecio: Es aquel cuadrilátero que tiene sólo un par de lados paralelos,
llamados bases. En todos los trapecios, los ángulos colaterales internos entre
las bases ( ) suman 180°.
El trapecio isósceles en específico, se
caracteriza porque sus diagonales son
congruentes, y sus ángulos opuestos
son suplementarios.
La mediana es un segmento que va
desde el punto medio de un lado no
paralelo hasta el punto medio del otro, y su medida es el promedio de las bases.
3) Trapezoide: Es aquel cuadrilátero que no tiene par de lados paralelos. Se
clasifican en simétricos (deltoides) y asimétricos.
Trapezoide asimétrico:
Trapezoide simétrico o Deltoides: Sus diagonales
son perpendiculares, una diagonal es bisectriz, y
esta es a su vez simetral de la otra diagonal.
PRODUCTOS NOTABLES
Cuadrado de binomio
Corresponde al producto de un binomio por sí mismo.
Suma por su diferencia
Corresponde al producto de la suma de dos términos por su diferencia.
Binomios con término común
FACTORIZACIÓN
Es el proceso de escribir un polinomio como el producto de sus factores.
Factor común
Diferencia de cuadrados
Trinomio cuadrado perfecto
Trinomio de la forma
CIRCUNFERENCIA
Es una figura plana, cerrada, formada por una infinita cantidad de puntos ubicados a
una misma distancia de un punto central. Dado un punto
O y una distancia r, se llama circunferencia de centro O y
de radio r al conjunto de todos los puntos que están a la
distancia r del punto O.
Área = Perímetro =
En un sector circular
Área =
Perímetro =
Elementos secundarios de la circunferencia
Radio: trazo cuyos extremos son el centro de la circunferencia y un punto de
esta
Cuerda: Trazo cutos extremos son dos puntos de la circunferencia
Diámetro: Cuerda que contiene al centro de la circunferencia. Es la cuerda de
mayor longitud, equivalente a dos radios (d=2r)
Secante: Recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia
Tangente: Recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto (llamado
punto de tangencia).
Arco: Es una parte de la circunferencia determinada por dod puntos de ella.
Posee longitud y medida angular.
Ángulo inscrito: Es todo ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y
parte de sus rayos son cuerdas de esta.
Ángulo de centro: Es todo ángulo interior cuyo vértice es el centro de la
circunferencia.
Teoremas de la circunferencia
a) La medida angular de un arco es igual a la medida del
ángulo del centro que subtiende al arco.
b) Todo ángulo inscrito en una circunferencia, tiene como
medida la mitad del ángulo de centro, que subtiende el
mismo arco.
c) Todos los ángulos inscritos en una circunferencia que
subtienden un mismo arco tienen igual medida.
d) Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
e) En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los
ángulos opuestos son suplementarios
f) La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al
radio en el punto de tangencia.
g) La medida del ángulo interior de la circunferencia
corresponde a la semi-suma de los arcos que subtiende.
h) La medida del ángulo exterior de la circunferencia
corresponde a la semi-diferencia de los arcos que subtiende.
i) La medida del ángulo semi inscrito corresponde a la del
ángulo inscrito que subtiende el mismo arco.
TEOREMA DE PITÁGORAS
En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de
los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
TRÍOS PITAGÓRICOS
a b c
3 4 5
5 12 13
7 24 25
8 15 17
a a a
a
a 3a a
a n
TRIÁNGULOS NOTABLES
TEOREMA DE LAS BISECTRICES
En el triángulo rectángulo, al trazar una bisectriz
desde el ángulo recto, se cumple que:
ECUACIÓN DE LA RECTA
El sistema ortogonal (canónico o perpendicular): Usado
para determinar la posición de puntos en un plano por
medio de coordenadas cartesianas rectangulares.
Posee cuatro cuadrantes.
Distancia entre dos puntos A y B
Coordenadas del punto medio de un segmento
Pendiente de una recta
Es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación (ángulo que forma la recta
con el eje x, en sentido antihorario, desde el eje x hacia la recta)
Una recta que es paralela al eje X tiene pendiente igual a 0
Una recta que es paralela al eje y tiene pendiente indeterminada en IR
Ecuación principal de la recta
Donde m es la pendiente y n es el coeficiente de pocisión (punto de intersección con
el eje Y)
Ecuación general de la recta
ax+by+c=0
Donde la pendiente es
y el coeficiente de pocisión es
Ecuación de la recta dados dos puntos
Dados dos puntos y de la recta:
Ecuación de la recta dado un punto y la pendiente
CASO PARTICULAR
La ecuación de la recta que pasa por dos puntos que están en los ejes.
Siendo (a,0) el punto de intersección de la recta con el eje X, y (0,b) el punto de
intersección de la recta con el eje Y.
Rectas paralelas: Dos rectas son paralelas solamente si tienen pendientes
iguales.
si y sólo si
Rectas perpendiculares: Dos rectas son perpendiculares si y sólo si el
producto de sus pendientes es -1.
si y sólo si
SISTEMAS DE ECUACIONES
Dos ecuaciones lineales (de 1er grado) constituyen un sistema de ecuaciones si
tienen las mismas dos incógnitas (x,y).
La forma general de un sistema de ecuaciones de primer grado es:
Solución del sistema: Es todo par (x,y) que satisfaga simultáneamente ambas
ecuaciones.
Para comprobar que un par dado (a,b) es solución de un sistema, se deben
reemplazar los valores.
Análisis de las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales
Cada ecuación de un sistema de ecuaciones, representa una recta en un sistema de
ejes coordenados, y se llamma solución del sistemaal punto(s) de intersección de
estas.
o SOLUCIÓN ÚNICA: Si
, lo cual implica que las rectas se intersectan en
un únicopunto (a, b), siendo este la solución del sistema.
o INFINITAS SOLUCIONES: Si
, lo cual implica que las infinitas dos
rectas coinciden, dandoinfinitas soluciones al sistema.
o NO TIENE SOLUCIÓN: Si
, lo cual implica que las dos rectas son
paralelas (no se intersectan), por lo que no hay solución.
Resolución algebraica
o Método de sustitución: Se debe despejar una de las variables en una de las
ecuaciones y luego reemplazarla en la otra ecuación,generándose así una
ecuación con una incógnita.
o Método de igualación: Se debe despejar la misma variable en ambas
ecuaciones y luego éstos resultados se igualan, generándose así una ecuación
con una incógnita.
o Método de reducción: Se deben igualar los coeficientes de una de las
incógnitas, en ambas ecuaciones, multiplicando ambos miembros
convenientemente, obteniéndose un sistema equivalente al dado, y luego se
suman o restan ambas ecuaciones, resultando así una ecuación con una
incógnita.
INECUACIONES
Llamamos desigualdades a expresiones de la forma a > b, a < b, .
Propiedades:
I. Si a los dos miembros de la desigualdad se le suma o resta un mismo
número, la desigualdad no cambia.
II. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo
número positivo, el sentido de la desigualdad no cambia.
III. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo
número negativo, el sentido de la desigualdad cambia.
IV. Si a los miembros de una desigualdad, ambos del mismo signo, se
toman sus inversos multiplicativos (recíprocos), el sentido de la
desigualdad cambia.
V. Si a los miembros de una desigualdad, cada uno de distinto signo, se
toman sus inversos multiplicativos, el sentido de la desigualdad no
cambia.
Inecuaciones de primer grado con una incógnita
Son verdaderas para un conjunto de valores de la incógnita x, el cual se llama
conjunto solución de la inecuación. Este conjunto se puede representar por medio
de:
o Notación de conjuntos: Se toma un conjunto de referencia IR, y se limita
el intervalo para el cual x da verdadera la inecuación.
Ej: {x / x > 2}
o Gráfica: Sobre una recta numérica IR, se dibuja el o los sectores que
hacen la inecuación verdadera. Punto pintado (•) toma al valor
( ), y punto sin pintar (ο) no toma el valor
( ).
Ej: se representa
o Intervalos: Representan el sector en el cual los valores que puede tomar
x cumplen la inecuación. Para representar intervalos cerrados (en los
cuales se toma el valor numérico), se utilizan [ y ], correspondientes a
. Para representar intervalos abiertos (en los cuales no se toma el
valor numérico), se utilizan ] y [, correspondientes a .
Ej: se representa ]-2,5]
Un intervalo abierto también se puede representar con paréntesis ) (
Unión ( ): Consiste en agregar los intervalos de dos o más inecuaciones para
generar un mayor conjunto solución de resultados posibles de x.
Si al aplicar unión, se cubren todos los valores de la recta numérica, ]- , + , se dice
que el conjunto solución es
Intersección ( ): Consiste en ver los intervalos en com´´un que tienen dos o más
inecuaciones.
Eje X Eje Y
Eje de las Abscisas Eje de las Ordenadas
Eje Horizontal Eje Vertical
Dominio Recorrido
X Y
Variable Independiente Variable Dependiente
Dato de Entrada Dato de Salida
Preimágen Imágen
Argumento de la función Valor de la función
Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita
La solución del sistema es la INTERSECCIÓN de los conjuntos de cada
inecuación, que representa los intervalos de valores que ambas inecuaciones tienen
en común.
Si dos inecuaciones no tienen valores en común dentro de sus intervalos, se dice que
la intersección es vacía ( )
FUNCIONES
Definición: Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación
que asigna a cada elemento x del conjunto A uno y sólo un elemento del conjunto B.
Dominio: Es el conjunto de todos los valores para los cuales está definida la función
y se denota Dom f. Para conocer el dominio se debe despejar y, y ver las limitancias
que se imponen a x.
Ej: Siendo
, el Dom f = , pues para , la función se
indefine.
Recorrido: Es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente (y),
y se denota Rec f. Para conocer el recorrido se debe despejar x, y ver las limitancias
que se imponen a y.
Ej: Siendo
, se observa que al despejar y resulta
, por lo que
Rec f = ,pues para x=0 la función se indefine.
Evaluación de una función:
CRECIENTE: Al aumentar la variable independiente, también aumenta la
variable dependiente.
DECRECIENTE: Es aquella que al aumentar la variable independiente, la
variable dependiente disminuye.
CONSTANTE: Es aquella que para todos los valores de la variable
independiente, la variable dependiente toma un único valor.
Se puede evaluar una función tanto en su generalidad como en un intervalo
específico.
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número real x, denotado |x|,
es siempre un valor real no negativo.
FUNCIÓN PARTE ENTERA
Dado un número real x, la función parte entera le
asigna el mayor entero que es menor o igual a x. Su
representación gráfica es llamada función
escalonada.
El Rec f =
FUNCIÓN EXPONENCIAL
Es la función definida como
Con y .
El gráfico de la función puede ser de dos maneras,
dependiendo del valor de a:
i. (Gráfica creciente)
ii. (Gráfica decreciente)
La gráfica no corta las abscisas
FUNCIÓN RAÍZ
Si x es un número real no negativo, se define la función
raíz cuadrada de x por
La función raíz es creciente, pero considerada como un
modelo de crecimiento lento.
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Es una función
Con . El gráfico de la función
puede ser de dos maneras, dependiendo del valor de
a:
i. (Gráfica creciente)
ii. (Gráfica decreciente)
LOGARITMOS
Definición: El logairmo de un número real positivo b en base a, positiva y distinta
de 1, es el número m a que se debe elevar la base para obtener dicho número.
Con . La expresión se lee “el logaritmo de b en base a
es m”. El logaritmo es la operación inversa de la exponenciación.
Propiedades:
, y se lee “Logaritmo natural de euler es igual a 1 “
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Una ecuación de segundo grado es una ecuación de la forma, o que se puede reducir
a la forma: , donde , .
El cálculo de las soluciones o raíces de esta ecuación, se realiza aplicando la
siguiente fórmula:
Si son las soluciones de la ecuación, esta se puede escribir como:
Si son las soluciones (o raíces) de la ecuación de segundo grado
, entonces siempre se cumple que
FUNCIÓN CUADRÁTICA
A la función de segundo grado , siendo
a,b y c reales y se le denomina función cuadrática.
La representación gráfica de la función es una parábola,
simétrica con respecto a una recta paralela al eje de las
ordenadas. Dicha recta recibe el nombre de eje de simetría.
Concavidad: Es la abertura que tiene la parábola.
Si a > 0, la concavidad de la parábola está orientada hacia arriba.
Si a < 0, la concavidad de la parábola está orientada hacia abajo.
Intersección con el eje y: La parábola siempre intersecta al eje de las ordenadas en
y=c, determinado por el punto (0,c)
Ceros de la función: Los ceros o raíces son los valores para los cuales y = 0.
Discriminante : La expresión se denomina discriminante, pues
determina la naturaleza de las soluciones de la ecuación cuadrática.
: Dos soluciones distintas. Intersecta al eje x en dos puntos,
por lo que el eje de las abscisas es secante a la parábola.
: Sus soluciones son idénticas (una sola raíz real), por lo
que la recta es tangente al eje x.
: La parábola no intersecta al eje x, no tiene solución real,
sinó dos raíces complejas conjugadas.
Vértice de la parábola: Es el punto de menor o mayor valor en la parábola, y es
donde intersectan el eje de simetría y la parábola.
Eje de simetría: Es una recta que divide a la parábola en dos “ramas” congruentes.
Observaciones:
Si b=0, l parábola tiene como eje de simetría al eje Y.
Si a y b tienen igual signo, la parábola está a la izquierda del eje Y
Si a y b tienen distinto signo, la parábola está a la derecha del eje Y
Dadas las coordenadas del vértice (h,k), la función toma la forma
f(x)=
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
o AA: Teorema fundamental de la semejanza en triángulos. Basta con que
los ángulos respectivos coincidan.
o LAL: Basta que tengaun un ángulo congruente comprendido entre lados
proporcionales.
o LLL: Basta que sus lados sean proporcionales
o LLA>: Basta que tengan dos de sus lados respectivamente
proporcionales, y los ángulos opuestos a los mayores de estos lados,
congruentes.
Observaciones:
1. Los simbolos de semejanza, congruencia y equivalencia ( )
tienen implícito un orden respectivo, que permite determinar qué
lados tienen la correspondencia entre si.
Ej: Si ,
2. Entre triángulos semejantes se produce una proporcion directa entre
sus lados. Siendo .
3. Toda paralela a un lado de un triángulo, determina un triángulo
semejante al primero.
TEOREMAS REFERENTE A TRIÁNGULOS SEMEJANTES
o Em triángulos semejantes, dos lados homólogos están en la misma razón
que dos trazos homólogos cualesquiera y también en la misma razón
que sus perímetros.
o Las áreas de triángulos semejantes están en una razón equivalente al
cuadrado de la razón que se encuentran dos trazos homólogos
cualesquiera.
Estos teoremas también se cumplen en polígonos semejantes y en el círculo.
TEOREMA DE THALES
Si dos rectas se cortan por tres o más paralelas, los segmentos determinados en una
de ellas son, respectivamente, proporcionales a los
segmentos determinados en la otra.
El la figura, L1 y L2 son rectas y .
Entonces:
TEOREMA DE EUCLIDES
El triángulo de la figura es rectángulo en C y es altura. a y b son catetos, c
hipotenusa, p y q son proyecciones de los catetos a y b sobre la hipotenusa.
Los triángulos ACB, ACD y CDB son semejantes.
Referente a la altura: En todo triángulo
rectángulo, la altura correspondiente a la
hipotenusa es media proporcional
geométrica entre las proyecciones de los
catetos sobre la hipotenusa.
Referente a los catetos: En todo triángulo rectángulo cada cateto es media
proporcional geométrica entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto
sobre la hipotenusa.
TEOREMA DE LAS CUERDAS
Si dos cuerdas de una circunferencia se cortan en el interior de
ella, el producto de los segmentos determinados en una de ellas
es igual al producto de segmentos determinados en la otra.
TEOREMA DE LAS SECANTES
Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan
dos secantes, el producto de una de ellas por su segmento
exterior es igual al producto de la otra secante por su
segmento exterior.
TEOREMA DE LA TANGENTE Y LA SECANTE
Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan una
tangente y una secante, la tangente es media proporcional
geométrica entre la secante y su segmento exterior.
DIVISIÓN DE TRAZOS
I. División Interna: Un punto P perteneciente a un trazo lo divide en
la razón m : n, si .
II. División Áurea o Divina: Dividir un trazo en sección áurea o divina,
consiste en dividirlo en dos segmentos, de modo que la razón entre el
trazo entero y el segmento mayor sea igual a la razón entre el segmento
mayor y menor. ( ).
La razón
se denomina RAZÓN ÁUREA, y su valor es el NÚMERO ÁUREO.
TRIGONOMETRÍA
Razones trigonométricas: En el triángulo rectángulo, se definen las siguientes
razones con respecto a un ángulo acutángulo .
Razones Notables: Necen de la regularidad que se produce en el triángulo
rectángulo isósceles ( , 90 ), y en el que corresponde a la mitad de un
equilátero (30 ).
30 45 60
Sen
Cos
Tg
1
Identidades trigonométricas
α α tg α α tg α =
cos α α sen2 α 2 α cotg α =
Problema del tipo trigonométrico
Ángulos de elevación y de depresión son
aquellos formados por la horizontal,
considerada a nivel del ojo del observador y
la línea de mira, según que el objeto
observado esté pot sobre o bajo la última.
Con respecto a un observador, los ángulos
de elevación y de depresión constituyen
ángulos alternos internos entre paralelas, por lo tanto, sus medidas son iguales.
ESTADÍSTICA
Es una rama de la matemática que comprende mátodosy técnicas que se emplean en
la recolección, ordenamiento, resumen, análisis, interpretación y comunicación de
conjuntos de datos.
o Población: Es un conjunto cuyos elementos poseen alguna
característica en común que se quiere estudiar, ya sea de individuos, de
animales, de objetos, de medidas, de producciones, de acontecimientos o
de sucesos. Las poblaciones pueden ser finitaso infinitas.
o Muestra: Es un subconjunto de la población, que debe ser
representativa y aleatoria.
o Variable Cualitativa: Son aquellas que cuando las observaciones
realizadas se refieren a un atributo (no son numéricas), por ejemplo:
sexo, nacionalidad, profesión, etc.
o Variable cuantitativa: Son aquellas en que cada observación tiene un
valor expresado por un número real, por ejemplo: peso, temperatura,
salario, etc. Las variables cuantitativas pueden ser de dos tipos:
1. Discretas: Son numerables. Suelen tomar valores enteros. Ej:
número de hijos, número de departamentos en un edificio, notas
en un colegio, etc.
2. Continuas: Susceptibles de tomar cualquier valor, por ejemplo: el
peso, la estatura, etc.
Tabulación de datos
o Frecuencia (f): También denominada frecuencia absoluta. Es el número
de veces que se repite un dato.
o Frecuencia Acumulada (fac): Es la que se obtiene sumando
ordenadamente las frecuencias absolutas hasta la que ocupa la última
pocisión.
o Frecuencia Relativa (fr): Es el cuociente entre la frecuencia absoluta de
uno de los valores de la variable y el total de datos, expresada en
porciento.
o Frecuencia Relativa Acumulada (frac): Es la que se obtiene sumando
ordenadamente la frecuencia relativa hasta la que ocupa la última
pocisión.
o Marca de clase: Se define como el promedio de los lados extremos de un
intervalo
Medidas de tendencia central
Las medidas de tendencia central son indicadores que representan valores
numéricos en torno a los cuales tienden a agruparselos valores de una variable
estadística. Los principales son la media aritmética, la mediana y la moda.
o Media Aritmética o Promedio ( ): Es el cuociente entre la suma de
todos los datos y el número de datos. Si se tienen n datos;
su media aritmética es:
o Media aritmética para datos organizados en una tabla de
frecuencias: Si los datos son; , y las frecuencias son
, entonces la media aritmética es:
o Moda (Mo): Es el dato que aparece con mayor frecuencia, es decir, el
que más se repite. Si no hay un dato que tenga la mayor frecuencia que
otro se dice que la distribución de frecuencias es amodal. Si existe un
solo dato que tenga mayor frecuencia la distribución de frecuencia es
unimodal. De existir dos (o más) datos que tienen la misma frecuencia,
siendo esta la mayor, se dice que la muestra es bimodal (o polimodal).
o Mediana (Me): Es el dato que ocupa la pocisión central de la muestra
cuando estos se encuentran ordenados en forma creciente o
decreciente. Si la muestra tiene un número par de datos, la mediana es
la media aritmética de los dos términos centrales.
Medidas de pocisión
o Cuartiles: Son los tres valores que dividen a un conjunto ordenado de
datos en cuatro partes iguales. Q1, Q2 y Q3 determinan los valores
correspondientes al 25%, 50% y 75% de los datos, respectivamente.
Para calcular los cuartiles (datos no agrupados) se procede de la
siguiente manera:
1º Se ordenan los datos de menor a mayor
2º Se determina la pocisión que ocupa cada cuartil mediante la fórmula
pQk =
En donde K = {1, 2, 3} y N es el número de datos. En caso de ser un
decimal, se aproxima al entero más cercano superior.
Observación: Q2 coincide con la mediana
o Percentiles: Son los valores que dividen a un conjunto ordenado de
datos en 100 partes iguales. El Percentil de orden K se denota Pk, y en el
caso discreto es la observación cuya frecuencia absoluta acumulada
alcanza el valor igual al k% de las observaciones.
Para calcular los percentiles se procede de la siguiente manera:
1º Se ordenan los datos de menor a mayor.
2º Se calcula la pocisión que ocupa el percentil,con la fórmula
pPk
En donde K = {1, 2, 3, …, 99} y N es el número de datos. Si es decimal se
aproxima al entero más cercano superior.
Observación: P50 coincide con la mediana
Medidas de dispersión
o Rango: En un conjunto de datos, corresponde a la diferencia entre el
mayor y el menor de los datos.
o Desviación Estandar: Es una medida de dispersión que indica cuánto
tienden a alejárselos datos de la media aritmética de éstos. La
desviación estándar (σ) se calcula mediante la siguiente fórmula:
Observación: Si la Desviación Estandar de un dato, es igual a 0, quiere
decir que el dato corresponde al promedio del conjunto de datos.
PROBABILIDADES
Nociones elementales:
o Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo, bajo las
mismas condiciones,un número indefinido de veces.
o Experimento aleatorio: Experimento cuyo resultado no sse puede
predecir, existiendo un conjunto de resultados posibles (espacio
muestral).
o Evento o suceso: Es un resultadoparticular del espacio muestral.
1. Evento cierto: Es elpropio espacio muestral
2. Evemto imposible: Es aquel que no tiene elementos, es
decir, el subconjunto vacío del espacio muestral.
o Eventos mutuamente excluyentes: Son aquellos eventos donde la
ocurrencia de uno de ellos impide la ocurrencia del otro. No tienen
ningún posible resultado en común dentro del espacio muestral.
o Eventos complementarios: Son aquellos que no tienen elementos
comunes, perojuntos completan el espacio muestral.
Técnicas de conteo
Principio Multiplicativo: Si un determinado suceso ocurre en k etapas
diferentes, en donde la primera etapa puede ocurrir de n1 maneras diferentes
y así sucesivamente, entonces el número total de maneras en que ocurre
elsuceso está dado por:
n1 n2 n3 nk
Principio aditivo: Si dado un determinado suceso que tiene alternativas de
llevarse a cabo, donde la primera de estas alternativaspuede realizarse de n1
maneras, la segunda alternativa puede llevarse a cabo de n2 maneras,y así
sucesivamente, hasta la última alternativa que puede realizarse de nk maneras,
entonces el número total de maneras en que ocurre este suceso es:
n1 + n2 + n3 + … + nk
PROBABILIDAD CLÁSICA
La probabilidad de que ocurra un suceso A se obtiene dividiendo el número de casos
favorables al evento A por el número total de casos posibles.
Observaciones:
La probabilidad de que un suceso A ocurra es igual a uno menos la
probabilidad de que no ocurra. Es decir, que siendo A´= (A no ocurre):
P(A) = 1 – P(A´)
, siendo la probabilidad de un
evento imposible igual a 0,y la de un evento cierto igual a 1.
TRIÁNGULO DE PASCAL
El triángulo de pascal se utiliza en experimentos aleatorios
que tengan dos sucesos equiprobables de
ocurrencia,comopor ejemplo: lanzar una moneda, elsexode
unapersona, respuestas del tipo V o F, Si o No, etc.
Ej: En el caso del lanzamiento de una moneda cuatro veces (o lanzar 4 monedas a la
vez) se obtienen 24 resultados, que al determinarlos por medio del triángulo de
pascal son:
Esta situación se grafica de la siguiente
manera:
En que significa que hay cuatrocasos favorables para obtener 3 caras y 1 sello.
PROBABILIDADES DE EVENTOS
Si A y B son dos sucesos no excluyentes (pueden ocurrir ambos al mismo
tiempo), la probabilidad de que ocurran A o B o ambos está dada por:
Si A y B son dos sucesos excluyentes (nopueden ocurrir ambos a la vez), la
probabilidad de que ocurra A o B está dadapor:
Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia o no
ocurrencia de uno no influye sobre laprobabilidad de ocurrencia ono
ocurrencia del otro.
Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. La probabilidad
condicional de A, dado B, se calcula como la probabilidad del suceso A, bajo
lacondición de que el suceso B a ocurrido.
TRASLACIONES
Son aquellas isometrías que permiten desplazar en línea recta todos los puntos del
plano. Este desplazamiento se realiza siguiendo una determinada dirección, sentido
y distancia, por lo que toda traslación queda definida por lo que se llama su “vector
de traslación”.
Observaciones:
Con una traslación, una figura jamás rota, es decir,el ángulo que forma con la
horizontal no varía.
Con una traslación una figura conserva todas sus dimensiones, tanto lineales como
angulares.
No importa el número de traslaciones que se realicen, siempre es posible resumirlas
en una única.
VECTORES
Un vector es una herramienta geométrica utilizada para
representar una magnitud del cual depende únicamente
un módulo (o longitud), un sentido y una dirección
(u orientación) para quedar definido.
La imagen representa un vector desde A hasta B.
o Suma de vectores: Para sumar dos vectores
libres y se escogen como representantes
dos vectores tales que el extremo de uno
coincida con el origen del otro vector. Otra
manera de sumar vectores es por medio de la
Regla del paralelogramo, en la que s e toman
como representantes dos vectores con
el origen en común, se trazan rectas
paralelas a los vectores obteniéndose
un paralelogramo cuya diagonal coincide
con la suma de los vectores.
o Resta de vectores: Para restar dos vectores
l ibres y se suma con el opuesto de .
ROTACIONES
Son aquellas isometrías que permiten girar todos los
puntos del plano. Cada punto gira siguiendo un arco que
tiene un centro y un ángulo bien determinados,por lo
que toda rotación queda definida por su centro de
rotación y por su ángulo de giro. Si la rotación se efectúa
en sentido contrario a las manecillas del reloj, se dice que la rotación es positiva o
antihoraria; en caso contrario,se dice que la rotación es negativa u horaria.
Una rotación de centro P y ángulo de giro α, se representa por R (P, α). Si la rotación
es negativa,se representa por R (P, -α).
SIMETRÍAS
Son aquellas transoformaciones isométricas que invierten los puntos y figuras del
plano. Esta reflexión puede ser respecto de un punto (Simetría central) o respecto
de una recta (simetría axial).
Simetría Central
Dado un punto fijo del plano, se llama simetría
(reflexión) con respecto a O a aquella isometría que
lleva cada punto (A, B y C) del plano a una pocisión
A´, B´ y C´, de modo que cada nuevo punto esté al lado contrario del inicial, y que:
.
El punto O se denomina centro de simetría, y los pares A A´, B B´ y C C´ son puntos
correspondientes u homólogos de la simetría.
Simetría Axial
Dada una recta fija L del plano, se llama simetría axialcon
respecto a L o reflexión con respecto a L, a aquella isometría
tal que, si A y A´ son puntos homólogos con respecto a ella,
L y, además, el punto medio de está en L.
Eje de simetría
Es aquella recta que atraviesa una figura dividiéndola en dos partes simétricas con
respecto a la recta. Existen figuras que no tienen, tienen sólo uno, o tienen más de un
eje de simetría. La circunferencia tiene infinitos ejes de simetría.
En geometría, un centro de simetría es un punto de una figura u objeto tal que
cualquier recta que por él pasa ha de encontrar a ambos lados y a la misma
distancia, puntos correspondientes. Dentro de los polígonos regulares, sólo tienen
centro de simetría aquellos con número par de lados. Además, tienen centro de
simetría el rombo y el rectángulo.
TESELACIÓN DELPLANO
Es la entera división delplano mediante la repetición de
una o más figuras que encajan perfectamente unas con
otras, sin superponerse ni dejando espacios vacíos entre
ellas. Esta partición delplano suele llamarse también
mosaico o embaldosado.
Todos los triángulos y todos los cuadriláteros teselan por si mismos el plano.
Los únicos polígonos regulares que teselan el plano son el triángulo equilátero,
el cuadrado y el hexágono regular, pues sus ángulos interiores son divisores de
360°.
Si queremos teselar el plano utilizando dos omás polígonos, es necesario que en
cada vértice la suma de todos los ángulos sea 360°
DETERMINACIÓN DE UN PLANO
Un plano queda determinado por:
i. Dos rectas que se intersectan en un punto
ii. Tres puntos nocolineales
iii. Una recta y un punto no pertenenciente a ella
iv. Dos rectas paralelas no coincidentes.
DETERMINACIÓN DE UNA RECTA
Una recta queda determinada por:
i. Dos puntos distintos
ii. La intersección de dos planos no paralelos
POLIEDRO
Cuerpo limitado por cuatro o más polígonos donde cada polígono se denomina
cara,sus lados aristas y la inetrseccion de las aristas se llaman vértices.
PRISMA
Poliedro limitado por paralelógramos (caras laterales del prisma) y dos polígonos
congruentes cuyos planos son paralelos (bases del prisma).
ÁNGULO DIEDRO
Es el ángulo formado por dos
semplanos, que tienen una arista
en común y su medida es el ángulo
rectilíneo formado por dos rectas
perpendiculares a la arista en un mismo punto.
CUERPOS GENERADOS POR LA REVOLUCIÓN DE FIGURAS PLANAS
Los cuerpos de revolución se obtienen haciendo girar una superficie plana alrededor
de un eje.
CUERPOS GENERADOS POR TRASLACIÓN DE FIGURAS PLANAS
Se generan por traslación de una superficie plana:
CUADRO RESUMEN DE ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS
PUNTOS EN EL ESPACIO
En el espacio tridimensional encontramos tres ejes X, Y, Z mutuamente
perpendiculares que generan también tres planos perpendiculares XY, XZ y el YZ.
El paralelepípedo del dibujo, tiene tres de sus vértices en los ejes en tanto que el
punto K está en el plano YZ, el punto L, en
elplano XZ y el punto M en elplano
XY,peroel punto A está suspendido en el
espacio, encerradopor los tres planos. Este
punto A tienen las cordenadas (a, b, c).
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Con a > 0 se cumple que:
1)
2)
IMPORTANTE:
ESTE RESUMEN ES SÓLO PARA USO PERSONAL CON FINES DE ESTUDIO Y
APRENDIZAJE. LOS DERECHOS DE AUTOR DE LAS RESPECTIVAS FUENTES
ESTÁN RESERVADOS. QUEDA ESTRICTAMENTE PROHIBIDO COMERCIALIZAR
ESTE RESUMEN.
FUENTES:
GUÍAS DE ESTUDIO PREUNIVERSITARIO PEDRO DE VALDIVIA
MANUAL DE PREPARACIÓN PSU MATEMÁTICA UC
VERSIÓN 2011
¡MUCHO ÉXITO!