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Matemática Básica(Ing.) 2
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Matemática Básica(Ing.) 3
Habilidades
1. Define la función logaritmo y evalúa logaritmos de números.
2. Relaciona las gráficas de la función logaritmo.
3. Describe las características de la función logarítmica y su gráfica según el valor de b.
4. Usa técnicas de graficación, para trazar funciones logarítmicas.
5. Determina el dominio, rango, asíntotas e intercepto con los ejes.
6. Desarrolla las propiedades de producto, cociente y cambio de base de una función logarítmica.
Matemática Básica(Ing.) 4
• ¿A qué exponente debe elevarse 10 para producir los números:
a. 100?
b. 0,001?
c. -100?
d. 30?
Introducción ¿Cómo despejan la variable x en la expresión ? x23
• ¿Cuántas veces más severo fue el terremoto de 2001 en Gujarat, India (R1 = 7.9) que el terremoto de 1999 en Atenas, Grecia (R1 = 5.9)
Matemática Básica(Ing.) 5
y = logb x si y sólo si by = x
Logaritmo en base “b”
Donde: b: base 0 < b ≠ 1 y: exponente x > 0
Si f(x) = bx, entonces f -1(x) = logbx.
logbx = y x = by
Luego:Dominio f -1 = Rango fRango f -1 = Dominio f
Matemática Básica(Ing.) 6
La función logaritmo de base b, donde 0 < b 1, se denota por logb y se define como:
Función logaritmo
f(x) = logb x
Observación:• Si x1 x2 , entonces logb x1 logbx2
• Si logb x1= logb x2, entonces x1= x2
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Gráfica de y = log2x para b >1
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x
y
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Gráficas de y = 2x , y = log2 x
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x
y
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x
y
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x
y
y = log2 x
y = 2x y = x
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• log =
y = log x si y sólo si 10y = x
Logaritmo común (en base 10)
Ejemplos:
• log 0,01 =
0, Porque 100 = 1
-2, Porque 10-2 = 0,01
½ ,
• log 1 =
Porque 101/2 = 1010
Matemática Básica(Ing.) 10
y = ln x si y sólo si ey = x
Logaritmo natural (base e)
Ejemplos:
• ln 1=
• ln 10 =
• ln ek =
0, Porque e0=1
2,302585…, Porque e2,3…=10
k , Porque ek = k
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-2
2
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6
8
10
x
y
Gráficas de y = ex, y = lnx
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-2
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x
y
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-10
-8
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-4
-2
2
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6
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10
x
y
y = lnx
y = ex y = x
Matemática Básica(Ing.) 12
logb 1 = 0
logb b = 1
logb bx = x
log 1 = 0 ln 1 = 0
log 10 = 1 ln e = 1
log 10x = x ln ex = x
b = xlogbx
10 = xlogx
e = x ln x
Propiedades
Base b Base 10 Base e
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x
y
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-2
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x
y
Graficar y = log1/2 x ; y = (1/2)x
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x
y
y = (1/2)x
y = log1/2 x
y = x
Matemática Básica(Ing.) 14
Leyes de los logaritmos
Sea b > 0, b ≠ 1. Sea R, S, C números reales con R > 0, S > 0
SRRSog bbb loglogl
SRSR
og bbb loglogl
RCRog bC
b logl
Regla del producto:
Regla del cociente:
Regla de la potencia:
Matemática Básica(Ing.) 15
1. logb R logbS = logb R + logb S
2. logb (R + S)= logb R + logb S
3. logbR / logb S = logb R - logb S
4. logb (R - S) = logb R - logb S
Errores comunes
Matemática Básica(Ing.) 16
Fórmula de cambio de base
2log5log
log25 = 2ln5ln
bx
xc
cb log
loglog
Para los números reales positivos b, c y x con b ≠ 1y c ≠ 1
Ejemplo: