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Prof.: Rodrigo Carvalho
SISTEMAS LINEARES
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Consideramos como equação linear toda equação do tipo a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... +anxn = b, onde:
I. a1, a2 ,a3 , ..., an são os coeficientes das incógnitas;II. x1, x2, x3 , ..., xn são as incógnitas;III. b é o termo independente.
EQUAÇÃO LINEAR
DEFINIÇÃO:
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I. Os expoentes das incógnitas são todos iguais a 1; II. As incógnitas são separadas em termos, pelos
sinais de adição e subtração;III. Quando o termo independente é nulo (b = 0), a
equação linear é homogênea.
Exemplos:a) 3x + 2y = 11b) 8x – y + 3z = 0 (homogênea)
OBSERVAÇÕES
Contra-exemplos: a) 3x² + y = 5 b) 1/x + y = 3
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A solução de uma equação linear é uma seqüência (conjunto ordenado) de números que possuem tantos elementos quanto for o número de incógnitas da equação e que tornam a sentença verdadeira.
Exemplos:a) Uma solução da equação linear 3x + 2y = 11 é o par ordenado (1, 4), pois a sentença 3.1 + 2.4 = 11 é verdadeira.
SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR
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d) A equação linear 0x + 0y = 3 não admite solução.
b) Uma solução da equação linear 8x – y + 3z = - 1 é o terno ordenado (0, 4, 1), pois a sentença 8.0 – 4 + 3.1 = -1 é verdadeira.
*Equações lineares especiais
c) A equação linear 0x + 0y = 0 admite como solução qualquer par ordenado.
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Exemplo: O sistema seguinte é um sistema linear 2 x 2.
73y2x
8y5x
SISTEMA LINEAR Chama-se sistema linear m x n um conjunto de m equações lineares a n incógnitas.
O objetivo de resolver um sistema é determinar todas as sua soluções.
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CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Podemos classificar um sistema linear quanto ao número de soluções em:
a) SISTEMA POSSÍVEL E DETERMINADO (SPD)
Admite uma única solução.
b) SISTEMA POSSÍVEL E INDETERMINADO (SPI)
Admite infinitas soluções.
c) SISTEMA IMPOSSÍVEL (SI)
Não admite solução.
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Utiliza-se a Regra de Cramer para a solução de sistemas lineares. Essa regra consiste em:1. Calcular o determinante da matriz dos coeficientes, que será simbolizado por e denominado determinante principal.
2. Colocam-se os termos independentes no lugar da coluna de cada incógnita e calculam-se os determinantes que serão simbolizados por , denominados determinantes secundários(determinante das incógnitas).
3. Cada variável será determinada pela razão:
,...z,y,x zyx
,...,, zyx
REGRA DE CRAMER
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Discutir um sistema linear é determinar quando ele é um SPD, SPI ou SI, a depender de um ou mais parâmetros presentes no sistema.
DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Sistema
Possível
Impossível
Determinado
Indeterminado0
0ΔΔΔ e 0Δ zyx
0Δou 0Δou 0Δ e 0Δ zyx
( )
( )
( )
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01. Discutir o sistema .
bay6x
72y3x
02. O sistema é possível e determinado se, e somente se:
2y m4x
1yx
Exercícios:
14)
1)
4)
4)
2)
me
md
mc
mb
ma
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SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS
Sistemas lineares homogêneos são sistemas nos quais todos os termos independentes são nulos.
Exemplo:
0zy3x
0zy2x
0z-yx
Esse tipo de sistema sempre admite a solução (0,0,0,0,...,0), chamada de SOLUÇÃO TRIVIALSOLUÇÃO TRIVIAL.
Sendo assim, os sistemas homogêneos são sempre possíveis. Caso seja determinado, admite apenas a solução trivial. Se for indeterminado, admite outras infinitas soluções, além da trivial.
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SISTEMA LINEAR ESCALONADO
Dizemos que um sistema linear é um sistema escalonado quando:
a) em cada equação há pelo menos um coeficiente não nulo;
b) o número de coeficientes nulos, antes do primeiro coeficiente não nulo, cresce da esquerda para a direita, de equação para equação.
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Exemplos:
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RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
ESCALONADO Ex.1: Resolvendo o sistema escalonado a seguir temos:
Como z = 1, substituindo esse valor na 2ª equação, temos que y = 1. Substituindo os valores de z e y na 1ª equação, chegamos à conclusão de que x = 5. Portanto, S = {(5,1,1)}.
SPD
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Ex.2: Resolvendo o sistema escalonado a seguir temos:
A 3ª equação indica uma impossibilidade. Logo não existe terno ordenado que possa ser solução do sistema.
SI
Portanto, S = O.
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Ex.3: Resolvendo o sistema escalonado a seguir temos:
A 3ª equação pode ser resolvida para qualquer valor de z, logo pode ser suprimida do sistema.O sistema, então, passa a ser escrito da seguinte forma:
A incógnita z passa a ser chamada de variável livre, podendo ser a ela atribuído qualquer valor . Rk
Logo, x = 2 - 2k e y = k + 1.
Portanto, S = {(2 - 2k, k + 1, k), }. Rk
SPI
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ESCALONAMENTO DE UM SISTEMA LINEAR
PROPRIEDADE
Todo sistema linear pode ser transformado num sistema escalonado por meio das seguintes operações elementares sobre suas equações:
I. Permutar duas equações;
II. Multiplicar uma equação por um número não nulo;
III. Somar à uma equação, uma outra previamente multiplicada por uma constante.
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104zy-3x
5z2y-2x
43zyx
b)
8z3y2x
-52zy-3x
7z-2yx
)
:abaixo sistemas osresolver er classifica Escalonar, 1)
a
Exemplos:
153y6x
5y2xc)
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Com base nos conhecimentos sobre matrizes, determinantes e sistemas lineares, é correto afirmar:
racional.númerouméxentão,inversíveléx1
2xmatrizaSe(02)
(01) Se duas matrizes quadradas de mesma ordem, A e B, são simétricas, então a matriz (A + B) também é simétrica.
.3a
x1x1
310
12x2x
entãoa,11x
xxe nulo não real número um éxSe(04)
U F B A 2007
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.2
7 a - b então ,impossível é
3ay2x
by-x sistema oSe(08)
c. e b a, de reais valoresos sejam quequaisquer
o,determinad e possível éc1)y(a1)x-(a
b1)y-(a-1)x(alinear sistema O(16)