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Tema 3Técnicas de Modulación Analógica
MODULACIÓNEN FRECUENCIA
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ
Departamento de Ingeniería Electrónica
Vigencia Noviembre 2010H. Romero
Sumario
1. Frecuencia de una señal periódica y frecuenciainstantánea.
2. Modulación de fase (PM) y Modulación de frecuencia (FM).3. Determinación de la frecuencia instantánea para una señal
modulada en fase y en frecuencia.4. Expresiones complejas para una señal modulada en fase
y en frecuencia.5. Análisis de una señal modulada en fase y en frecuencia
cuando la modulante es una señal senusoidal.6. Espectro de frecuencia de una señal modulada en
frecuencia.
Sumario
7. Modulación de frecuencia de banda estrecha o angosta:NBFM .
8. Modulación de frecuencia de banda ancha: WBFM .9. Generación de señales moduladas en ángulo.10.Demodulación de FM .11.Potencia asociada a una señal con modulación de ángulo.12.Sistema de comunicación con modulación angular en
presencia de ruido.
Frecuencia de una señal periódica y frecuencia instantánea
Una señal periódica es aquella que se repite cada Tsegundos.
Tf
πfw
twAtg
c
c
1
2
),cos()(
=
=
+=
también y
donde
φ
wt [rad]
g(t)
A
-AT
φ
La Frecuencia puede ser lineal (f) o angular (w).
Frecuencia Instantánea de una señal
Es el valor que toma la frecuencia de la señal en uninstante de tiempo t i , se conoce como frecuenciainstantánea de la función f(t).
w
f(t)
w
f(t)
tt
tt
wo
2wo
wo
2wo
a) b)
T 2T 3T 4TT 2T
Cambios bruscos de FrecuenciaCambios graduales de
Frecuencia
Justificación del uso de la Modulación de Frecuencia
En la modulación AM la información se coloca en laamplitud de la señal portadora.
¿Qué desventaja trae esto?
Es posible hacer varia la frecuencia de la señal ymantener constante la amplitud, dando origen a la FM .
Justificación del uso de la Modulación de Frecuencia
Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia
Sea la ecuación : )cos()( φ+= twAtg c
))(cos()( ttwAtg c φ+=
Si hacemos variar φ(t), se tendrá unadependencia del tiempo “t” de la fase de laecuación .
Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia
X ))(cos()( ttwAtg c φ+=
cos(Wc.t)
)(tm
Considere el diagrama de la figura siguiente
Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia
Consideremos la ecuación :
kp es constante m(t) es la modulante
φ ( ) ( )t k m tp=
))(cos()( tmktwAtg pCPM +=
Esta ecuación representa una señal modulada en fase y se denota como gPM(t)
Fase de la señal
Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia
El índice de modulación de PM:
Es la máxima desviación de fase que puede darse a la función gPM(t) y está dado por el
valor máximo de la amplitud de la modulante por la constante k P
[radianes] max
)(tmk pmp == φβ
Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia
Si ctte donde =−∞−∞
== ∫∫ fff kt
dmkt
dmkt ,)()()( ττττφ
))(cos()( ttwAtg c φ+=Sustituyendo en :
−∞+= ∫
tdmktwAtg fcFM ττ )(cos)(
Esta ecuación representa la señal modulada en frecuencia y se denota por gFM(t)
Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia
El índice de modulación de FM:
β φ τ τf m f
max
k m dt
= =−∞∫ ( )
Está dado por el máximo valor positivo de la integral de la modulante por el factor de escala k f
Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia
Técnica Ecuación Índice de Modulación
MODULACIÓN EN FASE
MODULACIÓN EN FRECUENCIA
max
)(∫∞−
==t
dmk fmf ττφβ
−∞+= ∫
tdmktwAtg fcFM ττ )(cos)(
))(cos()( tmktwAtg pCPM +=max
)(tmk pmp == φβ
Frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia
La frecuencia instantánea se define como :
w td t
dti ( )( )= θ
[ ]w t w kd
dtm ti c p( ) ( )= +
Señal Modulada en Fase
w t w k m ti c f( ) ( )= +
Señal Modulada en Frecuencia
Cuando la modulante va de – a + su derivada es positiva, siendo la frecuencia máxima.
Cuando la modulante va de + a - su derivada es negativa, siendo la frecuencia mínima.
Representación gráfica de una
señal modulada en FASE.
Frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia
Cuando la modulante tiene su máximo “+” su frecuencia es máxima.
Cuando la modulante tiene su máximo “-” su frecuencia es mínima.
Representación gráfica de una
señal modulada en FRECUENCIA
Frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia
Frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia
Expresiones complejas para señales moduladas en fase y en frecuencia
{ } { }g t Ae AePMj t j w t k m tc p( ) Re Re( ) ( ( ))= = +θ
][)( )(tmjktjwPM
pc eeAtg •=
Para la Modulación de frecuencia, se tiene:
∫= ∞−
+t
dmktwj
FM
fc
Aetg))((
)(ττ ]))([
)(∫
•=⇒ ∞−
tdmjk
tjwFM
f
c eAetgττ
Para la Modulación en Fase, se tiene:
Considérese, que la señal modulante es:
constantem donde 0 == ),cos()( 0 twmtm m
))(cos()( tmktwAtg pCPM +=:que tiene se Como
Reemplazando por la modulante dada, se tiene:
[ ]g t A w t w tPM c p m( ) cos cos= + βEcuación de PM cuando
la modulante es una onda senusoidal
Análisis de una señal modulada en fase y en frecuencia con modulante senusoidal
Considérese, que la señal modulante es:
constantem donde 0 == ),cos()( 0 twmtm m
Reemplazando la modulante, tiene:
Como: g t A t k m dt
FM c f( ) cos ( )= +−∞
∫ω τ τ
[ ]g t A w t w tFM c f m( ) cos sen= + βEcuación de FM cuando la
modulante es una señal senusoidal
Análisis de una señal modulada en fase y en frecuencia con modulante senusoidal
Índice de modulación para modulación en fase y en frecuencia con modulante senusoidal
Se puede determinar la desviación de frecuenciaangular de la señal modulada en frecuenciacuando la modulante es una señal senusoidal.Representa el índice de modulación para FM
β fm
f
f= ∆
modulante frecuencia
frecuencia de desviación
==∆
mf
f
∆f f fi c= −OJO
Modulación de Frecuencia
Desarrollemos las expresiones complejas con una modulante senusoidal
{ })(Re)( tjFM Aetg θ=:Como { }tsenwjtjw
FMmfc eAetg βRe)( =⇒
e F ej w tn
jnw t
n
f m mβ sen =
=−∞
∞
∑
FT
f t e dtT
e e dtnjnw t
T
j w t jnw t
T
m f m m= =− −∫ ∫1 1
( ). senβ
en donde:
Si:
Realizando un cambio de variable:
∫−
−=π
π
ϑϑβ ϑπ
deFnsenj
nf )(
2
1
Modulación de Frecuencia
La solución de la integral se obtiene por medio de lafunción de BESSEL de primera clase y se indica como
donde n es el orden y ββββ es el argumento.
J n ( )β
Teoría de las Funciones de BESSELLa expresión matemática para determinar los valores de cadauno de los componentes espectrales, está definida como:
( )( )
( )( )
( )( )
+
+−
++
+−
= L
!3!3
2/
!21!2
2/
!1!1
2/
!
1
2)(
642
nnnnnJ ffff
fN
βββββ
Usando la función de BESSEL, se puede expresar unaecuación en otra forma. Veamos
∑∞
−∞=
++=+⇒n
n
nnxmJxm
2cos)()coscos(
παα
El argumento de la primera ecuación, es una funcióntrigonométrica, en la segunda es una función trigonométric a conargumento simple.
Modulación de Frecuencia
Teoría de las Funciones de BESSELNormalmente para trabajar con las funciones de Besselno hay que hacer todos los engorrosos cálculos. Alcontrario, es muy simple empleando las tablas yacalculadas, llamadas TABLAS DE BESSEL.
Propiedades de las funciones de BESSEL:
Elemento Descripción
Son de valor real
Para n PAR
Para n IMPAR
J n ( )β)()( ββ nn JJ −=)()( ββ nn JJ −−=
Friedrich Wilhelm Bessel
Modulación de Frecuencia
FUNCIÓN DE BESSELPortadora ORDEN DE LA FUNCIÓN
J0 J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7 J8 J9 J10 J11 J12 J13 J14 J150 1,00 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
0,1 1,00 0,05 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
0,2 0,99 0,10 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
0,25 0,98 0,12 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
0,5 0,94 0,24 0,03 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
0,75 0,86 0,35 0,07 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
1 0,77 0,44 0,11 0,02 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
1,5 0,51 0,56 0,23 0,06 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
2 0,22 0,58 0,35 0,13 0,03 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
2,4 0,00 0,52 0,43 0,20 0,06 0,02 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
3 -0,26 0,34 0,49 0,31 0,13 0,04 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
4 -0,40 -0,07 0,36 0,43 0,28 0,13 0,05 0,02 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
5 -0,18 -0,33 0,05 0,36 0,39 0,26 0,13 0,05 0,02 0,01 ~ ~ ~ ~ ~ ~
6 0,15 -0,28 -0,24 0,11 0,36 0,36 0,25 0,13 0,06 0,02 0,01 ~ ~ ~ ~ ~
7 0,30 0,00 -0,30 -0,17 0,16 0,35 0,34 0,23 0,13 0,06 0,02 0,01 ~ ~ ~ ~
8 0,17 0,23 -0,11 -0,29 -0,11 0,19 0,34 0,32 0,22 0,13 0,06 0,03 0,01 ~ ~ ~
9 -0,09 0,25 0,14 -0,18 -0,27 -0,06 0,20 0,33 0,31 0,21 0,12 0,06 0,03 0,01 ~ ~
10 -0,25 0,04 0,25 0,06 -0,22 -0,23 -0,01 0,22 0,32 0,29 0,21 0,12 0,06 0,03 0,01 ~
11 -0,17 -0,18 0,14 0,23 -0,02 -0,24 -0,20 0,02 0,22 0,31 0,28 0,20 0,12 0,06 0,03 0,01
12 0,05 -0,22 -0,08 0,20 0,18 -0,07 -0,24 -0,17 0,05 0,23 0,30 0,27 0,20 0,12 0,07 0,03
13 0,21 -0,07 -0,22 0,00 0,22 0,13 -0,12 -0,24 -0,14 0,07 0,23 0,29 0,26 0,19 0,12 0,07
14 0,17 0,13 -0,15 -0,18 0,08 0,22 0,08 -0,15 -0,23 -0,11 0,09 0,24 0,29 0,25 0,19 0,12
15 -0,01 0,21 0,04 -0,19 -0,12 0,13 0,21 0,03 -0,17 -0,22 -0,09 0,10 0,24 0,28 0,25 0,18
Generación de Señales Moduladas en Angulo
Funciones de Bessel para valores de n = 0 a n = 15
β f
Representa la Portadora de la señal Modulada
Para este índice de modulación la portadora se hace
CERO !
Desde J1 Hasta J15
representan las
bandas laterales
Índice de Modulación
A mayor índice de Modulación, mayor numero de Bandas
Laterales
Generación de Señales Moduladas en Angulo
Las funciones de Bessel pueden ser graficadas,obteniéndose por ejemplo las siguientes graficaspara valores de n = 0 a n = 4
Retomando el análisis, la ecuación
puede ser reescrita como:
y empleándola en la expresión general para FM :
e F ej w tn
jnw t
n
f m mβ sen =
=−∞
∞
∑
e J ej w tn
jnw t
n
m mβ βsen ( )==−∞
∞
∑
g t Ae J eFMjw t
njnw t
n
c m( ) Re ( )=
=−∞
∞
∑ β
∑∞
−∞=
+=⇒n
mcnFM tnwwJAtg )cos()()( β
Modulación de Frecuencia
Calculo de Ancho de Banda
Según las ecuaciones Bessel el ancho de banda esinfinito.
Una banda lateral es significativa si tiene magnitudigual ó mayor al 1 % de la magnitud de la portadora nomodulada.
J n ( ) .β ≥ 0 01
SI limitamos la información a las bandas lateralessignificativas, podemos calcular el ancho de banda segúnBessel:
mnwW 2=
W w wm= +2( )∆ )1(2 β+≈⇒ mwW
La regla de Carlson también puede usarse paradeterminar el ancho de banda:
Donde n el numero de bandas lateralesWm es el ancho de banda de la señal modulante
Calculo de Ancho de Banda
Análisis espectral para una señal modulada en
frecuencia para diferentes índices de
modulación.
Calculo de Ancho de Banda
Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM
FM posee un ancho debanda amplio.
Lo cual se constituye en una limitación cuando ladisponibilidad de ancho banda es limitada.
La excelente relación señal a ruido que posee la haceinteresante aún a pesar de la limitación anterior.
Es por esto que se busca disminuir su ancho de banda
La ecuación de una señal modulada en frecuencia es:
[ ]tsenwtwAtg mfcFM β+= cos)(
También puede ser reescrita usando identidadestrigonométricas como:
φ β βFM c f m c f mt A w t w t A w t w t( ) cos cos( sen ) sen sen( sen )= −
Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM
Considerando:
En primer lugar, que los valores de ββββ son pequeños,entonces:
cos( sen )β f mw t ≈ 1 tsenwtsenwsen mfmf ββ ≈)(y
Segundo, los valores de ββββf, pueden ser tomados comomenores a 0,2
Así que:
φ βNBFM c f c mt A w t A w t w t( ) cos sen sen= +
Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM
Esta es la ecuación para la modulación de frecuencia debanda angosta y se denota como NBFM, donde ββββf es elíndice de modulación para FM .
φ βNBFM c f c mt A w t A w t w t( ) cos sen sen= +
Señal Portadora
Índice de Modulación
Señal Modulante
En ausencia de modulante, solo está presente la portadora defrecuencia w c llamada frecuencia de reposo. En caso contrario, lafrecuencia de la señal portadora se desvía por encima y por de bajo dewc en un valor dado según ββββf
Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM
Realizando una comparación entre los resultados para AM y NBFM se puede establecer lo siguiente:
�Ambas modulaciones poseen dos bandas lateralesy su ancho de banda es igual a 2w m.
�En AM la modulación se agrega en fase con laportadora mientras que en NBFM se hace encuadratura.
�La modulación AM proporciona variación deamplitud sin desviación de fase mientras que NBFMda origen a una variación de fase con muy pequeñocambio de amplitud.
Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM
Generación de Señales Moduladas en Angulo
Generación de NBFM y NBPM.
CASO DE NBPM: Si partimos de la ecuación:
)()(cos)( twsentwsenAtwAtg cmfcNBPM β−=
∑
cos wc
t
90
f(t)X kp +
+
a) Caso NBPM
g tNBPM
( )
Generación de Señales Moduladas en Angulo
Generación de NBFM y NBPM.
CASO DE NBFM: Si se integra la función antes de ingresaral sistema, se tiene NBFM , según vimos.
Entonces para generar NBFM se tiene:
∑
90
f(t)X kf +
+
∫
cos wc
t
g tNBFM
( )
Tarea:
- Investigue las técnicas de demodulación de FM yPM
- ¿Como se calcula la potencia en las bandaslaterales?
Actividades:
- Realice ejercicios prácticos
Fin del Tema 3Final del Tema 3