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Alonso Fernández Galián
- 1 -
TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD
Aunque el concepto de función está implícito en los trabajos de Newton, Leibniz, Euler,… no
fue hasta el siglo XIX en que se definió de manera precisa. El estudio riguroso de funciones se
inicia con los trabajos de Cauchy y el uso que hace éste de la noción de límite.
1.1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Una función real de variable real f es una regla cálculo, de manera que a cada número x real
de cierto conjunto D, llamado dominio de la función, le corresponde un único número real y:
f
D ℝ ⎯→⎯ ℝ
)(xfyx =→
Una función real de variable real tiene asociada una gráfica, formada por los puntos ),( yx del
plano cuyas coordenadas satisfacen la expresión analítica de la función.
Dominio e imagen. El dominio de una función es el conjunto de números reales en los que está
definida la función; es decir, el conjunto de números reales que puede tomar la variable x.
Análogamente, la imagen o recorrido de una función es el conjunto de todos los valores que
alcanza la variable y.
y ( ) fIm Existe un número )( fDx tal que )(xfy =
Gráficamente:
Dominio:
( ) bafD ,=
Imagen:
( ) dcf ,Im =
Gráficamente, el dominio de una función es el conjunto de valores de x sobre los que está
representada la gráfica de la función:
( )=fD ℝ 0− ( ) )+= ,0fD ( ) ( )+= ,0fD
Matemáticas II
- 2 -
1.2 CÁLCULO DE LÍMITES
Intuitivamente, el límite de la función f cuando 0xx → es el valor al que se aproxima la
función a medida que tomamos valores de x cada vez más próximos a 0xx = (en el anexo se
puede ver la definición formal de límite).
De manera similar, el límite de la función f cuando →x es el valor al que se aproxima la
función a medida que tomamos valores de x cada vez más grandes.
Cálculo de límites: evaluación de la función. Para calcular el límite de una función cuando
ax → se sustituye x por a y se opera. Para operaciones con 0 y con el infinito tenemos:
1 si ,00/
1 si ,0/0
0/
/
===
===
===+
===+
kkkk
kkk
kk
k
k
0k
•Ejemplo: Calcular los siguientes límites en un punto:
(a) ( ) 534232lim4
=−=−→
xx
(d) 2
1
7
1lim
5=
+−→ xx
(b) ==−→ 0
2
3
2lim
3 xx (e) 0
5
0
1
4lim
4==
+
−
→ x
x
x
(c) ==−→ 0
1
)2(
1lim
22 xx (f) 1
1
1
3
1
3
1lim
00===
→ xx
•Ejemplo: Calcular el límite de ( )62
962
−
+−=
x
xxxf cuando 3→x .
Podemos tratar de estimar el límite dando valores:
03
......
0005,09999,2
005,0999,2
05,099,2
)(
−
−
−
−
xfx
03
......
0005,00001,3
005,0001,3
05,001,3
)(
+
xfx
Parece que el límite es 0. Comprobémoslo:
02
0
2
3lim
)3(2
)3(lim
0
0
62
96lim
3
2
3
ind2
3==
−=
−
−=
=
−
+−
→→→
x
x
x
x
xx
xxx
Tema 1: Funciones. Límites y continuidad
- 3 -
Indeterminaciones. Una indeterminación es una “operación” con 0 ó que no está definida de
antemano, sino que depende de cada límite concreto. Las indeterminaciones son:
00 0100
0−
Veamos cómo se resuelven los casos más frecuentes.
Indeterminación del tipo / cuando x → . Se resuelve dividiendo el numerador y el deno-
minador entre la mayor potencia de x.
•Ejemplo: Calcula los siguientes límites:
(a) 07
0
007
00
327
13
lim327
13
lim327
13lim
32
3
3
3
3
2
3
2
==++
+=
++
+
=++
+
=
=
++
+
→→→
xx
xx
x
xx
x
x
xx
x
xxx
[…]
•Ejemplo: Calcula el límite cuando 1→x de la siguiente función:
+
−
−
−
=
1 si1
23
1 si,1
1
)(
xx
x
xx
x
xf
Como se trata de una función definida a trozos, calculamos los límites laterales.
( )( )( )( ) ( )( ) 2
1
1
1lim
11
1lim
11
11lim
0
0
1
1lim)(lim
111
ind
11=
+=
+−
−=
+−
+−=
=
−
−=
−−−−− →→→→→ xxx
x
xx
xx
x
xxf
xxxxx
2
1
1
23lim)(lim
11=
+
−=
++ →→ x
xxf
xx
Como los límites laterales son iguales, concluimos que:
( )2
1lim
1=
→xf
x
•Ejemplo: Calcular los siguientes límites en el infinito:
(a) ( ) =+=+→
3535lim xx
(d) −=−
=
−
+
→ 55
3lim
2 xx
x
(b) ( ) −=++−→
xxxx
23 42lim (e) ==
→33lim x
x
(c) 01
4
1lim =
=
→ xx (f) 0
1
2
122lim =
===
−
−→
x
x
Matemáticas II
- 4 -
Muchos otros casos de indeterminación pueden reducirse al tipo / mediante algún cálculo.
Indeterminación del tipo 0/0 cuando x tiende a un punto. Se resuelven factorizando el numera-
dor y el denominador para simplificar el factor que los anula.
[…]
(b) 2
1
06
3
16
3lim
6
3
lim6
3lim
2
2
2
2
2
2
=+
=
−
=−
=
=
− →→→
xx
xx
x
x
xx
x
xxx
(c) ==+
−=
+
−
=+
−
=
=
+
−
→→→ 0
1
00
01
12
31
lim12
3
lim12
3lim
42
3
4
2
4
4
2
4
xx
x
x
x
x
xx
x
xx
xxx
Nota: En la práctica basta con comparar el grado del numerador y del denominador.
•Ejemplo: Calcula los siguientes límites:
(a) 2
3
4
6
1
3lim
)3)(1(
)3)(3(lim
0
0
32
9lim
332
2
3==
+
+=
−+
−+=
=
−−
−
→→→ x
x
xx
xx
xx
x
xxx
(b) ==+
=+
+=
=
++
+
−→−→−→ 0
3
2
3lim
)2(
)2(3lim
0
0
44
63lim
22222 xx
x
xx
x
xxx
Si x está afectada por una raíz se multiplican el numerador y el denominador por la
expresión conjugada para que aparezca explícitamente el factor que los anula.
(c) ( ) ( )
( )( )( ) ( )( )
=
−+
+++=
++−+
+++=
=
−+
+
−→−→−→ 2255516
165lim
1616
165lim
0
0
16
5lim
x
xx
xx
xx
x
x
xxx
( )( ) ( ) 216lim
5
165lim
55=++=
+
+++=
−→−→x
x
xx
xx.
Otras indeterminaciones cuando x tiende a un punto pueden reducirse a este caso:
(c) 2
3
)1)(1(
)2)(1(lim
0
0
)1)(1(
2lim
1
2
1lim
1
2
121=
+−
+−=
=
−+
−+=−=
−−
− →→→ xx
xx
xx
xx
xx
x
xxx
•Ejemplo: Calcula el siguiente límite:
( ) ( )( )
=+−
+−−−=−=−−
→→ xx
xxxxxx
xx 1
11lim1lim
( ) ( )0
1
1
1lim
1
1lim
1
1lim
22
=
−=
+−
−=
+−
−−=
+−
−−=
→→→ xxxx
xx
xx
xx
xxx
Tema 1: Funciones. Límites y continuidad
- 5 -
1.3 CONTINUIDAD. DISCONTINUIDADES
Intuitivamente decimos que una función es continua si su gráfica no está rota; es decir, si pode-
mos dibujarla sin levantar el lápiz del papel.
Definición de continuidad en un punto. Se dice que una función f es continua en el punto
0xx = si el límite de la función cuando 0xx → coincide con el propio valor de la función:
f es continua en 0xx = )()(lim 00
xfxfxx
=→
Si una función no es continua en el punto 0xx = se dice que es discontinua en dicho punto.
Tipos de discontinuidad. Si una función es discontinua en el punto 0xx = puede ser que la dis-
continuidad sea no evitable o que sea evitable. A su vez, una discontinuidad no evitable puede
ser una discontinuidad de salto finito o una discontinuidad de salto infinito:
• Discontinuidad no evitable de salto finito: Una función presenta una discontinuidad no evita-
ble de salto finito en el punto 0xx = si los límites laterales cuando 0xx → son distintos:
)(lim)(lim00
xfxfxxxx +− →→
• Discontinuidad no evitable de salto infinito: Una función presenta una discontinuidad no evi-
table de salto infinito en el punto 0xx = si el límite cuando 0xx → es infinito:
=→
)(lim0
xfxx
• Discontinuidad evitable: Una función presenta una discontinuidad evitable en el punto 0xx =
si el límite cuando 0xx → existe y es finito, pero no coincide con el valor de la función:
)()(lim 00
xfxfxx
→
Nota: Si L es el límite cuando 0xx → ,
podemos construir la función:
=
=
0
0
si
si)()(ˆ
xxL
xxxfxf
que es igual que f cuando 0xx , pe-
ro que es continua en el punto 0xx = .
Matemáticas II
- 6 -
Estudio de la continuidad de una función. Según todo lo anterior, para estudiar si una función
es continua en un punto 0xx = hay que comprobar las tres condiciones siguientes:
(i) )(lim0
xfxx→
(los límites laterales en 0xx = son finitos y coinciden).
(ii) )( 0xf (la función está definida en 0xx = ).
(iii) )()(lim 00
xfxfxx
=→
(los dos valores obtenidos anteriormente son iguales).
Nota: Las funciones elementales son continuas en todo su dominio. Por ejemplo, la función
4
63)(
2 −
+=
x
xxf
es continua en ( )=fD ℝ 2− , mientras que en los puntos 2=x y 2−=x la función no
puede ser continua porque no está definida en ellos.
• Ejemplo: Calcular el valor de k para que la siguiente función sea continua en todo ℝ.
−
−=
1 si,25
1 si,)(
2
xx
xkxxxf
El único punto donde la función podría no ser continua es en 1=x .
Calculamos k de manera que los límites laterales en 1=x sean iguales.
231
3)(lim
1)(lim
1
1
−==−
=
−=
+
−
→
→
kk
xf
kxf
x
x
Para este valor de k, se cumple entonces que 3)(lim1
=→
xfx
. Como también 3)1( =f ,
concluimos que para 2−=k la función es continua en toda la recta real.
•Ejemplo: Estudia la continuidad de la siguiente función:
−
−
−
=
2 si3
6
2 si63
4
)(
2
xx
xx
x
xf
La función es continua en ℝ 2− . Veamos qué ocurre en 2=x .
Estudiemos primero los límites laterales:
3
4)(lim
3
4
3
6lim
3
4
)2(3
)2)(2(lim
0
0
63
4lim
2
2
2
2
2
=
=−
=−
+−=
=
−
−
→
→
→→
+
−−
xfx
x
xx
x
x
x
x
xx
Como también 3/4)2( =f , concluimos que la función es continua en 2=x . Por tanto:
La función es continua en todo ℝ
Tema 1: Funciones. Límites y continuidad
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1.4 EL TEOREMA DE BOLZANO
Presentamos ahora un importante teorema sobre continuidad con múltiples aplicaciones.
Teorema de Bolzano: Si una función f es continua en el intervalo cerrado ba , y toma
valores de signo contrario en los extremos, entonces existe punto c del interior del intervalo,
( )ba , , en el que la función se anula. Brevemente:
( )bac
bf
afii
baencontinuafi
,
revés) al (o 0)(
0)()(
,)(
tal que 0)( =cf
Gráficamente, el teorema de Bolzano significa que si una función continua pasa de estar por
encima del eje OX a estar por debajo, o al revés, entonces debe cortar a dicho eje.
Aplicaciones del teorema de Bolzano
El teorema de Bolzano permite asegurar la existencia de la solución de muchas ecuaciones, así
como acotar dichas soluciones.
•Ejemplo: Demostrar que la función 27)( 3 +−= xxxf corta al eje de abscisas al menos
una vez en el intervalo 3,1 .
La función es continua en toda la recta real, luego en particular lo es en el intervalo 3,1 .
Además:
04)1( −=f y 08)3( =f
Por lo tanto, por el teorema de Bolzano podemos afirmar que existe un ( )3,1c tal que:
0)( =cf
•Ejemplo: Demostrar que la siguiente ecuación tiene alguna solución en el intervalo ( )e,1 .
032ln =+− xx
Consideremos la función 32ln)( +−= xxxf . Estamos bajo las hipótesis del teorema de
Bolzano, pues:
(i) La función es continua en e,1
(ii) 01)1( =f
024)( −= eef
Por tanto, existe un ( )ec ,1 tal que 0)( =cf . Es decir, un ( )ec ,1 tal que:
032ln =+− cc
Matemáticas II
- 8 -
El teorema de Bolzano también nos permite asegurar la intersección de dos gráficas.
Nota: Con más generalidad, el teorema de Bolzano permite demostrar que una función continua
en un intervalo ba , toma todos los valores comprendidos entre )(af y )(bf .
•Ejemplo: Demuestra que la función xxf x −= 2)( toma el valor 4=y en intervalo 3,0 .
Buscamos un valor de x para el que se cumpla que 42 =− xx, o equivalentemente, que:
042 =−− xx
Consideremos la función 424)()( −−=−= xxfxg x . Dicha función es continua en
el intervalo 3,0 . Además, 03)0( −=g y 01)3( =g . Por tanto, por el teorema de
Bolzano podemos afirmar que existe un ( )3,0c tal que 0)( =cg . Es decir:
4)( −=cf
•Ejemplo: Demostrar que la ecuación xx 22 log4 =− tiene alguna solución, indicando un
intervalo donde encontrarla.
En primer lugar, notemos que la ecuación es equivalente a:
0log4 22 =−− xx
Así, consideremos la función xxxf 22 log4)( −−= , que es continua. Busquemos por
tanteo un intervalo en el que la función cambie de signo:
03)1( −=f ,
01)2( −=f ,
010)4( =f .
Según esto, aplicando el teorema de Bolzano en el intervalo 4,2 , podemos afirmar que
existe un ( )4,2c tal que 0)( =cf . Tal c es solución de la ecuación:
cccccf 22
22 log40log40)( =−=−−=
•Ejemplo: Demostrar que las gráficas de las funciones xexf −=)( y xxg sen )( = se cortan
en algún punto.
Notemos que el problema equivale a resolver la ecuación xe x sen =−, o equivalentemente:
0sen =−− xe x
Consideremos la función xexh x sen )( −= − . La función es continua, busquemos un
intervalo en el que se satisfaga el teorema de Bolzano. Probemos con 2/,0 :
01)0( =h y 011
2 2/−=
eh
Ahora, por el teorema de Bolzano, existe un c en nuestro intervalo tal que 0)( =ch .
==−= −− cecech cc sen 0sen 0)( f y g se cortan en c.
Tema 1: Funciones. Límites y continuidad
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1.5 EL TEOREMA DE WEIERSTRASS
Veamos finalmente un resultado de carácter teórico que necesitaremos en más adelante.
Teorema de Weierstrass: Toda función continua f en un intervalo cerrado ba , alcanza sus
valores máximo y mínimo en dicho intervalo. Es decir:
-Existencia del máximo absoluto: bax ,1 tal que baxxfxf ,),()( 1 .
-Existencia del mínimo absoluto: bax ,2 tal que baxxfxf ,),()( 2 .
(dichos valores máximo y mínimo se pueden alcanzar en a o b). Gráficamente,
Notas:
-La existencia de los valores máximo y mínimo no está asegurada si la función no es continua.
Por ejemplo, la siguiente función no alcanza su valor máximo.
-Tampoco tienen por qué alcanzarse los valores máximo o mínimo si el intervalo no es cerrado.
Por ejemplo:
Matemáticas II
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ANEXO: DEFINICIÓN - DE LÍMITE
Veamos la definición formal de límite.
Límite en un punto. La función f tiene límite L cuando 0xx → si, para todo 0 , existe un
0 tal que para cualquier x que esté a una distancia de 0x menor que , entonces )(xf está
a una distancia de L menor que . Brevemente:
Lxfxx
=→
)(lim0
−− Lxfentoncesxxsiquetal )(,,0,0 0
Es decir, podemos obtener valores de )(xf tan próximos a L como queramos (con una
diferencia menor que el ‘margen de error’ que deseemos) sin más que tomar valores de x
suficientemente próximos a 0x (en concreto, a distancia menor que cierto ).
Límite en el infinito. La función f tiene límite L cuando →x si, para todo 0 , existe un
0K tal que para cualquier x mayor que K, entonces )(xf está a una distancia de L menor que
. Brevemente:
Lxfxx
=→
)(lim0
− LxfentoncesKxsiquetalK )(,,0,0
Es decir, podemos obtener valores de )(xf tan próximos a L como queramos (con una
diferencia menor que el ‘margen de error’ que deseemos) sin más que tomar valores de x
suficientemente grandes (en concreto, mayores que cierto K).
Tema 1: Funciones. Límites y continuidad
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Funciones reales de variable real
1. Calcula el dominio de las siguientes funciones.
(a) 4
53)(
2 −
+=
x
xxf (b)
1)(
2 −=
x
xxg
(c) ( )2ln)( 2 −= xxu (d) 1
5)(
2 ++=
xxxv
2. Calcula razonadamente el dominio de las siguientes funciones.
(a) xxxf cos7)( += (b)
−
−=
40 si14
02 si)(
2
xx
xxxf
(c) 3
)1ln()(
−
+=
x
xxf (d)
1
3)(
−=
xexf
3. Representa de manera aproximada las siguientes funciones indicando su dominio y su
recorrido.
(a) 3)2()( 2 +−= xxf (b) 13)( +−= xxg (c) 2)( += xxh
Cálculo de límites
4. Calcula los siguientes límites:
(a) ( )234lim xx
−→
(b) 16
1lim
+→ xx (c)
x
x x
+
→
13lim
(d) 23
3lim
x
x
x
−
→ (e)
( )21 1
2lim
−→ x
x
x (f)
2
1lim
2 +→ xx
5. Calcula razonadamente los siguientes límites.
(a) x
x
x 2
6lim
+→ (b)
x
x
x 10
7lim
+→ (c)
2
1
02lim x
x→
6. Calcula los siguientes límites:
(a) 45
32lim
3
2
++
+
+→ xx
xx
x (b)
53
163lim
2
+
+−
+→ x
xx
x (b)
7
25lim
+
−
+→ x
x
x
(c) 15
2lim
2
3
+−
+
+→ xx
xx
x (d)
2lim
++→ x
x
x (d)
x
xx
x
59lim
4 +
+→
7. Calcula los siguientes límites:
(a)
−−+
−→11lim 22 xx
x (b)
+−
−+→ 2
3
2
3lim
22
x
x
x
x
x
EJERCICIOS DEL TEMA 1
Matemáticas II
- 12 -
8. Calcula los siguientes límites en un punto.
(a) xx
xx
x 3
6lim
2
2
3 −
−−
→ (b)
22 )2(
5lim
+−→ xx (c)
1
1lim
21 +
+
−→ x
x
x
(d) 11
lim0 +−→ x
x
x (e)
1
1lim
2
4
1 −
−
→ x
x
x (f)
2
5lim
2 −→ x
x
x
(g) 416
39lim
0 −+
−+
→ x
x
x (h)
642
96lim
2
2
3 −−
+−
→ xx
xx
x (i) xx
x
x
5
25
5
2
2
7lim −
−
→
9. Calcula razonadamente los siguientes límites.
(a)
+
−
→ 2 si1
2 si34lim
22 xx
xx
x (b)
−−
−+
−→ 1 si16
1 si37lim
1 xx
xx
x
Continuidad
10. Estudia la continuidad de las siguientes funciones.
(a)
−
−
−−
=
254
213
1
)(
2
xsix
xsi
xsixx
xf (b)
−
−=
0 si,3
0 si,1
3
)(
xx
xxxf
11. Considera la siguiente función:
x
xxxf
−=
22)(
Estudia su continuidad en el punto 0=x y, si presenta algún tipo de discontinuidad, indicando
de qué tipo es.
12. La función 1
1)(
2
−
−=
x
xxf no está definida en 1=x , por lo que no es continua en dicho
punto. Averigua K de modo que la siguiente función sí sea continua:
=
−
−
=
1 si,
1 si,1
1
)(~
2
xK
xx
x
xf
13. Calcula el valor de a para que la siguiente función sea continua.
−
+=
1 si,3
1 si,1)(
2 xax
xxxf
14. Calcula el valor de a y b para que la siguiente función sea continua en toda la recta real.
−
−+−
−−
=
2 si,
21 si,3
1 si,
)(3
2
xbx
xbxax
xbax
xf
Tema 1: Funciones. Límites y continuidad
- 13 -
15. Dada la función1
1)(
−
−=
x
xxf ,
(a) Indica el tipo de discontinuidad que presenta en 1=x .
(b) ¿Cómo deberíamos definir )1(f para que la función resultante fuera continua?
16. Determina el valor del parámetro a ℝ para que la función sea continua en 3=x .
−
−+
=3 si
3
21
3 si
)(
2
xx
x
xax
xf
17. Calcula a y b de modo que la siguiente función sea continua.
+
−
=
xx
xxb
xxa
xg
si,
0 si),(sen
0 si,)1(
)(
2
18. Se considera la función
+
=
1 si,
10 si,ln)(
2 xbax
xxxf
Determinar los valores de a y b para que f sea continua y cumpla que 3)2( =f .
El teorema de Bolzano
19. Dada la función:
35)( xxxf −=
(a) Utiliza el teorema de Bolzano para demostrar que corta al eje OX en el intervalo ( )3,2 .
(b) Encuentra dicha raíz por métodos algebraicos.
20. Demostrar que la ecuación 0cos =− xx tiene al menos una solución, indicando un intervalo
donde encontrarla.
21. Consideremos la función 146)( 3 +−= xxxf , ¿corta al eje de abscisas en el intervalo
( )0,1− ? ¿y en el intervalo ( )1,0 ?
22. Comprobar que la ecuación
xxxx cossen 2 +=
posee alguna solución real en 0,− .
23. Utilizar el teorema de Bolzano para demostrar que la siguiente ecuación tiene alguna
solución real, indicando un intervalo donde encontrarla.
xe x =+− 2
Matemáticas II
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24. Probar que las gráficas de xxf ln)( = y xexg −=)( se cortan en algún punto.
25. Probar que la función 1)( 23 ++= xxxf toma el valor 5 en el intervalo ( )2,1 .
26. La función xxf /1)( = cumple que 0)1( −f y 0)1( f . Sin embargo, no corta al eje de
abscisas en ningún punto. ¿Contradice este hecho el teorema de Bolzano?
27. Enuncia el teorema de Bolzano. Como aplicación de este teorema, demuestra que las
gráficas de las funciones 2
)( xexf = y ( )2cos2)( xxg = se cortan en, al menos, un punto.
28. Considera la función 1)( 3 −= xxf . Demuestra que la función toma todos los valores
comprendidos entre 0 y 7.
Selección de Ejercicios de PAEG - EvAU
Junio 2009-2010
Junio 2010-2011 (Reserva)