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Matematicas Empresariales
Tema 2: Calculo Diferencial para funciones de variasvariables.
Philippe Bechouche
Departamento de Matematica AplicadaUniversidad de Granada
phbe@ugr.es
GADE-Doble Grado en Ade DerechoCurso 2012-2013
Philippe Bechouche Tema 2: Calculo Diferencial para funciones de varias variables. 1 / 39
1 Derivadas parciales de orden 1Derivadas parciales para funciones reales de varias variablesVector gradienteMatriz Jacobiana de una funcion vectorial de varias variables.Regla de la cadena
2 Derivadas parciales de orden 2Derivadas parciales de orden 2Matriz hessiana
3 Polinomio de Taylor
Philippe Bechouche Tema 2: Calculo Diferencial para funciones de varias variables. 2 / 39
Derivadas parciales de orden 1 Derivadas parciales para funciones reales de varias variables
1 Derivadas parciales de orden 1Derivadas parciales para funciones reales de varias variablesVector gradienteMatriz Jacobiana de una funcion vectorial de varias variables.Regla de la cadena
2 Derivadas parciales de orden 2Derivadas parciales de orden 2Matriz hessiana
3 Polinomio de Taylor
Philippe Bechouche Tema 2: Calculo Diferencial para funciones de varias variables. 3 / 39
Derivadas parciales de orden 1 Derivadas parciales para funciones reales de varias variables
Derivadas parciales de primer orden
Definicion
Dada la funcion f(x1, x2, . . . , xn) y un x0 en el interior del dominio sedefinen las derivadas parciales de orden 1 en x0 como
∂f
∂x1(x0) = lım
h→0
f(x0 + (h, 0, . . . , 0))− f(x0)
h
∂f
∂x2(x0) = lım
h→0
f(x0 + (0, h, 0, . . . , 0))− f(x0)
h...
∂f
∂xn(x0) = lım
h→0
f(x0 + (0, 0, . . . , 0, h))− f(x0)
h
A lo largo de las trasparencias, la barra de x se usara para denotar avectores:
x = (x1, x2, . . . , xn) x0 = (x01, x02, . . . , x0n)Philippe Bechouche Tema 2: Calculo Diferencial para funciones de varias variables. 4 / 39
Derivadas parciales de orden 1 Derivadas parciales para funciones reales de varias variables
Derivada parcial de primer orden
Notacion
∂ es el sımbolo de derivada parcial.Otras notaciones posibles para una funcion de 2 variables son:
Derivada parcial de f con respecto de x:
∂f
∂x(x, y) = fx(x, y) = D1f(x, y)
Derivada parcial de f con respecto de y:
∂f
∂y(x, y) = fy(x, y) = D2f(x, y)
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Derivadas parciales de orden 1 Derivadas parciales para funciones reales de varias variables
Derivadas parciales de primer orden
La derivada parcial de f respecto de xi, ∂f/∂xi, es la derivada de lafuncion que consiste en interpretar f como si solo dependiera de xi yel resto de variables fuesen constantes.
La derivada parcial ∂f∂xi
(x0) mide el crecimiento de f en x0 cuando lavariable xi aumenta y el resto de variables permanecen constantes.
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Derivadas parciales de orden 1 Derivadas parciales para funciones reales de varias variables
Derivadas parciales de primer orden
∂f
∂x(1, 1) ≡ pendiente de la curva sobre la grafica en (1, 1, f(1, 1)).
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Derivadas parciales de orden 1 Derivadas parciales para funciones reales de varias variables
Derivadas parciales de primer orden
La derivada parcial ∂f/∂xi se calcula con las reglas de derivacion usualespero interpretando que la unica variable es xi.
Ejemplo
Calcular todas las derivadas parciales de la funcionf(x, y) = x3 + y3 − 3xy
∂f
∂x(x, y) = 3x2 − 3y
∂f
∂y(x, y) = 3y2 − 3x
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Derivadas parciales de orden 1 Derivadas parciales para funciones reales de varias variables
Derivadas parciales de primer orden
La derivada parcial ∂f/∂xi se calcula con las reglas de derivacion usualespero interpretando que la unica variable es xi.
Ejemplo
Calcular todas las derivadas parciales de la funcionf(x, y) = x3 + y3 − 3xy
∂f
∂x(x, y) = 3x2 − 3y
∂f
∂y(x, y) = 3y2 − 3x
Philippe Bechouche Tema 2: Calculo Diferencial para funciones de varias variables. 8 / 39
Derivadas parciales de orden 1 Derivadas parciales para funciones reales de varias variables
Derivadas parciales de primer orden
La derivada parcial ∂f/∂xi se calcula con las reglas de derivacion usualespero interpretando que la unica variable es xi.
Ejemplo
Calcular todas las derivadas parciales de la funcion f(x, y) = yexy
∂f
∂x(x, y) = y2exy
∂f
∂y(x, y) = exy + xyexy
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Derivadas parciales de orden 1 Derivadas parciales para funciones reales de varias variables
Derivadas parciales de primer orden
La derivada parcial ∂f/∂xi se calcula con las reglas de derivacion usualespero interpretando que la unica variable es xi.
Ejemplo
Calcular todas las derivadas parciales de la funcion f(x, y) = yexy
∂f
∂x(x, y) = y2exy
∂f
∂y(x, y) = exy + xyexy
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Derivadas parciales de orden 1 Derivadas parciales para funciones reales de varias variables
Ejemplos de derivadas parciales primer orden
f(x, y) = 4xy
∂f
∂x(x, y) =
4y
∂f
∂y(x, y) =
4x
f(x, y) = exy
∂f
∂x(x, y) =
yexy
∂f
∂y(x, y) =
xexy
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Derivadas parciales de orden 1 Derivadas parciales para funciones reales de varias variables
Ejemplos de derivadas parciales primer orden
f(x, y) = 4xy
∂f
∂x(x, y) = 4y
∂f
∂y(x, y) =
4x
f(x, y) = exy
∂f
∂x(x, y) =
yexy
∂f
∂y(x, y) =
xexy
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Derivadas parciales de orden 1 Derivadas parciales para funciones reales de varias variables
Ejemplos de derivadas parciales primer orden
f(x, y) = 4xy
∂f
∂x(x, y) = 4y
∂f
∂y(x, y) = 4x
f(x, y) = exy
∂f
∂x(x, y) =
yexy
∂f
∂y(x, y) =
xexy
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Derivadas parciales de orden 1 Derivadas parciales para funciones reales de varias variables
Ejemplos de derivadas parciales primer orden
f(x, y) = 4xy
∂f
∂x(x, y) = 4y
∂f
∂y(x, y) = 4x
f(x, y) = exy
∂f
∂x(x, y) = yexy
∂f
∂y(x, y) =
xexy
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Derivadas parciales de orden 1 Derivadas parciales para funciones reales de varias variables
Ejemplos de derivadas parciales primer orden
f(x, y) = 4xy
∂f
∂x(x, y) = 4y
∂f
∂y(x, y) = 4x
f(x, y) = exy
∂f
∂x(x, y) = yexy
∂f
∂y(x, y) = xexy
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Derivadas parciales de orden 1 Derivadas parciales para funciones reales de varias variables
Ejemplos de derivadas parciales de primer orden
f(x, y) = exy + y
∂f
∂x(x, y) =
yexy
∂f
∂y(x, y) =
xexy + 1
f(x, y) = x3 + y3 − 3xy
∂f
∂x(x, y) =
3x2 − 3y
∂f
∂y(x, y) =
3y2 − 3x
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Derivadas parciales de orden 1 Derivadas parciales para funciones reales de varias variables
Ejemplos de derivadas parciales de primer orden
f(x, y) = exy + y
∂f
∂x(x, y) = yexy
∂f
∂y(x, y) =
xexy + 1
f(x, y) = x3 + y3 − 3xy
∂f
∂x(x, y) =
3x2 − 3y
∂f
∂y(x, y) =
3y2 − 3x
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Derivadas parciales de orden 1 Derivadas parciales para funciones reales de varias variables
Ejemplos de derivadas parciales de primer orden
f(x, y) = exy + y
∂f
∂x(x, y) = yexy
∂f
∂y(x, y) = xexy + 1
f(x, y) = x3 + y3 − 3xy
∂f
∂x(x, y) =
3x2 − 3y
∂f
∂y(x, y) =
3y2 − 3x
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Derivadas parciales de orden 1 Derivadas parciales para funciones reales de varias variables
Ejemplos de derivadas parciales de primer orden
f(x, y) = exy + y
∂f
∂x(x, y) = yexy
∂f
∂y(x, y) = xexy + 1
f(x, y) = x3 + y3 − 3xy
∂f
∂x(x, y) = 3x2 − 3y
∂f
∂y(x, y) =
3y2 − 3x
Philippe Bechouche Tema 2: Calculo Diferencial para funciones de varias variables. 11 / 39
Derivadas parciales de orden 1 Derivadas parciales para funciones reales de varias variables
Ejemplos de derivadas parciales de primer orden
f(x, y) = exy + y
∂f
∂x(x, y) = yexy
∂f
∂y(x, y) = xexy + 1
f(x, y) = x3 + y3 − 3xy
∂f
∂x(x, y) = 3x2 − 3y
∂f
∂y(x, y) = 3y2 − 3x
Philippe Bechouche Tema 2: Calculo Diferencial para funciones de varias variables. 11 / 39
Derivadas parciales de orden 1 Derivadas parciales para funciones reales de varias variables
Ejemplos de derivadas parciales de primer orden
f(x, y, z) = ln(x + yz2) +sen(xy)
z2 + 1
∂f
∂x(x, y, z) =
1
x + yz2+
y cos(xy)
z2 + 1
∂f
∂y(x, y, z) =
z2
x + yz2+
x cos(xy)
z2 + 1
∂f
∂z(x, y, z) =
2yz
x + yz2− 2z sen(xy)
(z2 + 1)2
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Derivadas parciales de orden 1 Derivadas parciales para funciones reales de varias variables
Ejemplos de derivadas parciales de primer orden
f(x, y, z) = ln(x + yz2) +sen(xy)
z2 + 1
∂f
∂x(x, y, z) =
1
x + yz2+
y cos(xy)
z2 + 1
∂f
∂y(x, y, z) =
z2
x + yz2+
x cos(xy)
z2 + 1
∂f
∂z(x, y, z) =
2yz
x + yz2− 2z sen(xy)
(z2 + 1)2
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Derivadas parciales de orden 1 Derivadas parciales para funciones reales de varias variables
Ejemplos de derivadas parciales de primer orden
f(x, y, z) = ln(x + yz2) +sen(xy)
z2 + 1
∂f
∂x(x, y, z) =
1
x + yz2+
y cos(xy)
z2 + 1
∂f
∂y(x, y, z) =
z2
x + yz2+
x cos(xy)
z2 + 1
∂f
∂z(x, y, z) =
2yz
x + yz2− 2z sen(xy)
(z2 + 1)2
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Derivadas parciales de orden 1 Derivadas parciales para funciones reales de varias variables
Ejemplos de derivadas parciales de primer orden
f(x, y, z) = ln(x + yz2) +sen(xy)
z2 + 1
∂f
∂x(x, y, z) =
1
x + yz2+
y cos(xy)
z2 + 1
∂f
∂y(x, y, z) =
z2
x + yz2+
x cos(xy)
z2 + 1
∂f
∂z(x, y, z) =
2yz
x + yz2− 2z sen(xy)
(z2 + 1)2
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Derivadas parciales de orden 1 Derivadas parciales para funciones reales de varias variables
Ejemplos de derivadas parciales de primer orden
f(x, y, z) = xy + 2xz + 3yz + xyz + 10
∂f
∂x(x, y, z) =
y + 2z + yz
∂f
∂y(x, y, z) =
x + 3z + xz
∂f
∂y(x, y, z) =
2x + 3y + xy
Philippe Bechouche Tema 2: Calculo Diferencial para funciones de varias variables. 13 / 39
Derivadas parciales de orden 1 Derivadas parciales para funciones reales de varias variables
Ejemplos de derivadas parciales de primer orden
f(x, y, z) = xy + 2xz + 3yz + xyz + 10
∂f
∂x(x, y, z) = y + 2z + yz
∂f
∂y(x, y, z) =
x + 3z + xz
∂f
∂y(x, y, z) =
2x + 3y + xy
Philippe Bechouche Tema 2: Calculo Diferencial para funciones de varias variables. 13 / 39
Derivadas parciales de orden 1 Derivadas parciales para funciones reales de varias variables
Ejemplos de derivadas parciales de primer orden
f(x, y, z) = xy + 2xz + 3yz + xyz + 10
∂f
∂x(x, y, z) = y + 2z + yz
∂f
∂y(x, y, z) = x + 3z + xz
∂f
∂y(x, y, z) =
2x + 3y + xy
Philippe Bechouche Tema 2: Calculo Diferencial para funciones de varias variables. 13 / 39
Derivadas parciales de orden 1 Derivadas parciales para funciones reales de varias variables
Ejemplos de derivadas parciales de primer orden
f(x, y, z) = xy + 2xz + 3yz + xyz + 10
∂f
∂x(x, y, z) = y + 2z + yz
∂f
∂y(x, y, z) = x + 3z + xz
∂f
∂y(x, y, z) = 2x + 3y + xy
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Derivadas parciales de orden 1 Derivadas parciales para funciones reales de varias variables
Ejemplos de derivadas parciales de primer orden
f(x, y) = ln(xy)
∂f
∂x(x, y) =
y
xy=
1
x
∂f
∂y(x, y) =
x
xy=
1
y
f(x, y) = 4x2 + x
∂f
∂x(x, y) =
8x + 1
∂f
∂y(x, y) =
0
Philippe Bechouche Tema 2: Calculo Diferencial para funciones de varias variables. 14 / 39
Derivadas parciales de orden 1 Derivadas parciales para funciones reales de varias variables
Ejemplos de derivadas parciales de primer orden
f(x, y) = ln(xy)
∂f
∂x(x, y) =
y
xy=
1
x
∂f
∂y(x, y) =
x
xy=
1
y
f(x, y) = 4x2 + x
∂f
∂x(x, y) =
8x + 1
∂f
∂y(x, y) =
0
Philippe Bechouche Tema 2: Calculo Diferencial para funciones de varias variables. 14 / 39
Derivadas parciales de orden 1 Derivadas parciales para funciones reales de varias variables
Ejemplos de derivadas parciales de primer orden
f(x, y) = ln(xy)
∂f
∂x(x, y) =
y
xy=
1
x
∂f
∂y(x, y) =
x
xy=
1
y
f(x, y) = 4x2 + x
∂f
∂x(x, y) =
8x + 1
∂f
∂y(x, y) =
0
Philippe Bechouche Tema 2: Calculo Diferencial para funciones de varias variables. 14 / 39
Derivadas parciales de orden 1 Derivadas parciales para funciones reales de varias variables
Ejemplos de derivadas parciales de primer orden
f(x, y) = ln(xy)
∂f
∂x(x, y) =
y
xy=
1
x
∂f
∂y(x, y) =
x
xy=
1
y
f(x, y) = 4x2 + x
∂f
∂x(x, y) = 8x + 1
∂f
∂y(x, y) =
0
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Derivadas parciales de orden 1 Derivadas parciales para funciones reales de varias variables
Ejemplos de derivadas parciales de primer orden
f(x, y) = ln(xy)
∂f
∂x(x, y) =
y
xy=
1
x
∂f
∂y(x, y) =
x
xy=
1
y
f(x, y) = 4x2 + x
∂f
∂x(x, y) = 8x + 1
∂f
∂y(x, y) = 0
Philippe Bechouche Tema 2: Calculo Diferencial para funciones de varias variables. 14 / 39
Derivadas parciales de orden 1 Vector gradiente
1 Derivadas parciales de orden 1Derivadas parciales para funciones reales de varias variablesVector gradienteMatriz Jacobiana de una funcion vectorial de varias variables.Regla de la cadena
2 Derivadas parciales de orden 2Derivadas parciales de orden 2Matriz hessiana
3 Polinomio de Taylor
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Derivadas parciales de orden 1 Vector gradiente
Vector gradiente
Definicion
Dada la funcion f(x1, x2, . . . , xn) y un x0 en el interior del dominio sedefine el gradiente de f en x0 como
∇f(x0) =
(∂f
∂x1(x0),
∂f
∂x2(x0), . . . ,
∂f
∂xn(x0)
).
Ejemplo:
f(x, y) = 5 + 14(x2 − y2)
∇f(x, y) =
(1
2x,−1
2y
),
∇f(1, 1) =
(1
2,−1
2
).
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Derivadas parciales de orden 1 Vector gradiente
Vector gradiente
EL vector gradiente da la direccion de maximo crecimiento de f .
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Derivadas parciales de orden 1 Matriz Jacobiana de una funcion vectorial de varias variables.
1 Derivadas parciales de orden 1Derivadas parciales para funciones reales de varias variablesVector gradienteMatriz Jacobiana de una funcion vectorial de varias variables.Regla de la cadena
2 Derivadas parciales de orden 2Derivadas parciales de orden 2Matriz hessiana
3 Polinomio de Taylor
Philippe Bechouche Tema 2: Calculo Diferencial para funciones de varias variables. 18 / 39
Derivadas parciales de orden 1 Matriz Jacobiana de una funcion vectorial de varias variables.
Funciones vectoriales. Matriz Jacobiana
Definicion
Para una funcion vectorial f : D ⊂ Rn −→ Rm, consideramos lasfunciones coordenadas
f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fm(x))
Ejemplo:
f(x, y) = (x2ey, x + y, cos(xy)) entonces
f1(x, y) = x2ey, f2(x, y) = x + y, f3(x, y) = cos(xy) .
Philippe Bechouche Tema 2: Calculo Diferencial para funciones de varias variables. 19 / 39
Derivadas parciales de orden 1 Matriz Jacobiana de una funcion vectorial de varias variables.
Funciones vectoriales. Matriz Jacobiana
Definicion matriz jacobiana
Sea f una funcion vectorial, f : D ⊂ Rn −→ Rm, considerando lasfunciones coordenadas
f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fm(x))
Se define la matriz Jacobiana de f en x0 ∈ Int(D) (de dimension m× n )como
Jf(x0) =
∂f1∂x1
(x0)∂f1∂x2
(x0) . . .∂f1∂xn
(x0)
∂f2∂x1
(x0)∂f2∂x2
(x0) . . .∂f2∂xn
(x0)
......
. . ....
∂fm∂x1
(x0)∂fm∂x2
(x0) . . .∂fm∂xn
(x0)
Philippe Bechouche Tema 2: Calculo Diferencial para funciones de varias variables. 20 / 39
Derivadas parciales de orden 1 Matriz Jacobiana de una funcion vectorial de varias variables.
Funciones vectoriales. Matriz Jacobiana
Ejemplos:
1 f(x, y) = (x2ey, x + y, cos(xy)) entonces
Jf(x, y) =
2xey x2ey
1 1−y sen(xy) −x sen(xy)
.
2 f(x, y, z) = xyz entonces
Jf(x, y, z) = (yz xz xy) .
Philippe Bechouche Tema 2: Calculo Diferencial para funciones de varias variables. 21 / 39
Derivadas parciales de orden 1 Regla de la cadena
1 Derivadas parciales de orden 1Derivadas parciales para funciones reales de varias variablesVector gradienteMatriz Jacobiana de una funcion vectorial de varias variables.Regla de la cadena
2 Derivadas parciales de orden 2Derivadas parciales de orden 2Matriz hessiana
3 Polinomio de Taylor
Philippe Bechouche Tema 2: Calculo Diferencial para funciones de varias variables. 22 / 39
Derivadas parciales de orden 1 Regla de la cadena
Regla de la cadena
Si tenemos una funcion, g que depende de las variables u, v y a su vez lasvariables u, v dependen de las variables x, y, entonces haciendo uso de laregla de la cadena podremos escribir
∂g
∂x=
∂g
∂u
∂u
∂x+
∂g
∂v
∂v
∂x,
∂g
∂y=
∂g
∂u
∂u
∂y+
∂g
∂v
∂v
∂y
Ejemplo
g(u, v) = u2 − v siendo u = x2y, v = xey.
∂g
∂x= 2u2xy + (−1)ey = 4x3y2 − ey
∂g
∂y= 2ux2 + (−1)xey = 2x4y − xey
Philippe Bechouche Tema 2: Calculo Diferencial para funciones de varias variables. 23 / 39
Derivadas parciales de orden 1 Regla de la cadena
Regla de la cadena
En general si una funcion g depende de las variables u1, . . . , um y estasdependen a su vez de x1, . . . , xn entonces
∂g
∂x1≡ suma de todos los terminos de la forma:
∂g
∂uj
∂uj∂x1
∂g
∂x2≡ suma de todos los terminos de la forma:
∂g
∂uj
∂uj∂x2
...
∂g
∂xn≡ suma de todos los terminos de la forma:
∂g
∂uj
∂uj∂xn
Philippe Bechouche Tema 2: Calculo Diferencial para funciones de varias variables. 24 / 39
Derivadas parciales de orden 1 Regla de la cadena
Regla de la cadena: generalizacion
Regla de la cadena
Sea f : D ⊂ Rn −→ Rm y ademas g : Rm −→ Rp con lo que se puedeconsiderar la funcion (g ◦ f)(x) = g(f(x)) y entonces
J(g ◦ f)(x) = Jg(f(x)) · Jf(x)
es una matriz de dimension p× n.
Philippe Bechouche Tema 2: Calculo Diferencial para funciones de varias variables. 25 / 39
Derivadas parciales de orden 1 Regla de la cadena
Regla de la cadena
Ejemplo:
(g ◦ f)(x, y) = g(f(x, y)) siendo
f(x, y) = (x2y, xey), g(u, v) = u2 − v
Jf(x, y) =
(2xy x2
ey xey
)Jg(u, v) = (2u,−1)
ademas g(u, v) = g(f(x, y)) = g(x2y, xey)⇒{
u = x2yv = xey
. Entonces
J(g ◦ f)(x, y, z) = (2u,−1) ·(
2xy x2
ey xey
)= (4uxy − ey, 2u x2 − xey) = (4x3y2 − ey, 2x4y − xey)
es decir:∂(g ◦ f)
∂x(x, y) = 4x3y2 − ey
∂(g ◦ f)
∂y(x, y) = 2x4y − xey
Philippe Bechouche Tema 2: Calculo Diferencial para funciones de varias variables. 26 / 39
Derivadas parciales de orden 1 Regla de la cadena
Regla de la cadena
Ejemplo:
(g ◦ f)(x, y) = g(f(x, y)) siendo
f(x, y) = (x2y, xey), g(u, v) = u2 − v
Jf(x, y) =
(2xy x2
ey xey
)Jg(u, v) = (2u,−1)
ademas g(u, v) = g(f(x, y)) = g(x2y, xey)⇒{
u = x2yv = xey
. Entonces
J(g ◦ f)(x, y, z) = (2u,−1) ·(
2xy x2
ey xey
)= (4uxy − ey, 2u x2 − xey) = (4x3y2 − ey, 2x4y − xey)
es decir:∂(g ◦ f)
∂x(x, y) = 4x3y2 − ey
∂(g ◦ f)
∂y(x, y) = 2x4y − xey
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Derivadas parciales de orden 2 Derivadas parciales de orden 2
1 Derivadas parciales de orden 1Derivadas parciales para funciones reales de varias variablesVector gradienteMatriz Jacobiana de una funcion vectorial de varias variables.Regla de la cadena
2 Derivadas parciales de orden 2Derivadas parciales de orden 2Matriz hessiana
3 Polinomio de Taylor
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Derivadas parciales de orden 2 Derivadas parciales de orden 2
Derivadas parciales de orden 2
Si f es una funcion real de varias variables, es decir, f : D ⊂ Rn −→ R,entonces sus parciales se pueden volver a derivar parcialmente:
∂2f
∂xi∂xj(x) =
∂
∂xi
(∂f
∂xj
)(x)
∂2f
∂x2i(x) =
∂
∂xi
(∂f
∂xi
)(x)
Ejemplo:
f(x, y, z) = x ln y + y sen z
∂2f
∂x2(x, y, z) = 0
∂2f
∂x∂y(x, y, z) =
1
y
∂2f
∂x∂z(x, y, z) = 0
∂2f
∂y∂x(x, y, z) =
1
y
∂2f
∂y2(x, y, z) =
−xy2
∂2f
∂y∂z(x, y, z) = cos z
∂2f
∂z∂x(x, y, z) = 0
∂2f
∂z∂y(x, y, z) = cos z
∂2f
∂z2(x, y, z) = −y sen z
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Derivadas parciales de orden 2 Derivadas parciales de orden 2
Lema de Schwarz
Lema de Schwarz
∂2f
∂xi∂xj(x) =
∂2f
∂xj∂xi(x)
Vease el ejemplo anterior
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Derivadas parciales de orden 2 Matriz hessiana
1 Derivadas parciales de orden 1Derivadas parciales para funciones reales de varias variablesVector gradienteMatriz Jacobiana de una funcion vectorial de varias variables.Regla de la cadena
2 Derivadas parciales de orden 2Derivadas parciales de orden 2Matriz hessiana
3 Polinomio de Taylor
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Derivadas parciales de orden 2 Matriz hessiana
Matriz hessiana
Definicion matriz hessiana
Dada una funcion f : D ⊂ Rn −→ R, se define su matriz hessiana en unpunto x0 ∈ Int(D) como
Hess f(x0) =
∂2f
∂x1∂x1(x0)
∂2f
∂x1∂x2(x0) . . .
∂2f
∂x1∂xn(x0)
∂2f
∂x1∂x2(x0)
∂2f
∂x2∂x2(x0) . . .
∂2f
∂x2∂xn(x0)
......
. . ....
∂2f
∂x1∂xn(x0)
∂2f
∂x2∂xn(x0) . . .
∂2f
∂xn∂xn(x0)
La matriz hessiana es siempre simetrica.
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Derivadas parciales de orden 2 Matriz hessiana
Matriz hessiana
Ejemplo:
f(x, y, z) = x ln y + y sen z, su matriz hessiana es
Hess f(x, y, z) =
0 1y 0
1y
−xy2
cos z
0 cos z −y sen z
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Polinomio de Taylor
1 Derivadas parciales de orden 1Derivadas parciales para funciones reales de varias variablesVector gradienteMatriz Jacobiana de una funcion vectorial de varias variables.Regla de la cadena
2 Derivadas parciales de orden 2Derivadas parciales de orden 2Matriz hessiana
3 Polinomio de Taylor
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Polinomio de Taylor
Polinomio de Taylor
Definicion del polinomio de Taylor
El polinomio de Taylor de f : D ⊂ Rn −→ R en x0 ∈ IntD es unpolinomio, p, de variables (x1, x2, . . . , xn) tal que:
1 Si p es de grado 0, entonces vale en x0 lo mismo que f , es decir:
f(x0) = p(x0).
2 Si p es de grado 1, entonces en x0 coincide con f y sus gradientestambien coinciden:
f(x0) = p(x0), ∇f(x0) = ∇p(x0) .
3 Si p es de grado 2, entonces en x0 coincide con f y sus gradientes yhessianas tambien coinciden:
f(x0) = p(x0), ∇f(x0) = ∇p(x0), Hess f(x0) = Hess p(x0) .
4...
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Polinomio de Taylor
Polinomio de Taylor
Propiedades del polinomio de Taylor
El polinomio de Taylor de f : D ⊂ Rn −→ R en x0 ∈ IntD es unpolinomio, p, de variables (x1, x2, . . . , xn) tal que:
1 Si p es de grado 0, entonces en x0, las graficas de f y p estan almismo nivel.
2 Si p es de grado 1, entonces en x0, las graficas de f y p estan almismo nivel y se inclinan igual.
3 Si p es de grado 2, entonces en x0, las graficas de f y p estan almismo nivel, se inclinan igual y se curvan igual.
4...
Una consecuencia es que p aproxima bien a f cerca de x0 yhabra propiedades de f que se podran obtener estudiando a p.
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Polinomio de Taylor
Polinomio de Taylor
Polinomio de Taylor de grado 0
El polinomio de Taylor de grado 0 de f : D ⊂ Rn −→ R en x0 ∈ IntD secalcula como
p(x) = f(x0)
Polinomio de Taylor de grado 1
El polinomio de Taylor de grado 1 de f : D ⊂ Rn −→ R en x0 ∈ IntD secalcula como
p(x) = f(x0) +∇f(x0)t (x− x0)
Polinomio de Taylor de grado 2
El polinomio de Taylor de grado 2 f : D ⊂ Rn −→ R en x0 ∈ IntD secalcula como
p(x) = f(x0) +∇f(x0)t (x− x0) +
1
2(x− x0)
t Hess f(x0) (x− x0)
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Polinomio de Taylor
Polinomio de Taylor
Ejemplo
f(x, y) = xey con x0 = (1, 0) (en este caso x = (x, y)):
f(x, y) = xey ⇒ f(1, 0) = 1
∇f(x, y) = (ey, xey) ⇒ ∇f(1, 0) = (1, 1)
Hess f(x, y) =
(0 ey
ey xey
)⇒ Hess f(1, 0) =
(0 11 1
)Entonces el polinomio de Taylor de grado 0 es:
p(x, y) = f(1, 0) = 1
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Polinomio de Taylor
Polinomio de Taylor
Ejemplo
f(x, y) = xey con x0 = (1, 0) (en este caso x = (x, y)):
f(x, y) = xey ⇒ f(1, 0) = 1
∇f(x, y) = (ey, xey) ⇒ ∇f(1, 0) = (1, 1)
Hess f(x, y) =
(0 ey
ey xey
)⇒ Hess f(1, 0) =
(0 11 1
)Entonces el polinomio de Taylor de grado 1 es:
p(x, y) = f(1, 0)+∇f(1, 0)t(x− 1y − 0
)= 1+
(1 1
)(x− 1y
)= 1+(x−1)+y
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Polinomio de Taylor
Polinomio de Taylor
Ejemplo
f(x, y) = xey con x0 = (1, 0) (en este caso x = (x, y)):
f(x, y) = xey ⇒ f(1, 0) = 1
∇f(x, y) = (ey, xey) ⇒ ∇f(1, 0) = (1, 1)
Hess f(x, y) =
(0 ey
ey xey
)⇒ Hess f(1, 0) =
(0 11 1
)Entonces el polinomio de Taylor de grado 2 es:
p(x, y) = f(1, 0) +∇f(1, 0)t(x− 1y − 0
)+
1
2
(x− 1 y − 0
)(0 11 1
)(x− 1y − 0
)= 1 + (x− 1) + y + (x− 1)y +
1
2y2
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