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ASTRONOMÍA DE POSICIÓN – Localización Astronómica y Geodésica ______________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________ Dep. de Geofísica y Astronomía. Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. UNSJ
Dr. Ricardo César Podestá
Tema 2
Localización Astronómica y Geodésica
2.1- Definición de Geodesia. Diferencias con la Astronomía Geodesia es un vocablo de origen griego que literalmente significa “dividir la
Tierra”. La geodesia es una de las ciencias más antiguas cultivada por el hombre y su
objetivo es el estudio y determinación de la forma y dimensiones de la Tierra, de su
campo de gravedad y sus variaciones temporales. Dentro de esta definición, se incluye
también la orientación y posición del planeta en el espacio.
Esta disciplina se compone básicamente en dos partes:
a) Geodesia superior: mediante física y matemáticas trata de determinar y representar la
figura de la Tierra en términos globales.
b) Geodesia práctica o topografía: estudia y representa partes menores de la Tierra
donde la superficie puede ser considerada plana.
En la actualidad se la prefiere dividir de la siguiente manera:
a) Geodesia geométrica: determinación de la forma y dimensiones de la Tierra en su
aspecto geométrico, lo cual incluye fundamentalmente la determinación de
coordenadas de puntos en su superficie.
b) Geodesia física: estudio del campo gravitatorio de la Tierra y sus variaciones, mareas
(oceánicas y terrestres) y su relación con el concepto de altitud.
c) Astronomía geodésica: determinación de coordenadas en la superficie terrestre a
partir de mediciones a los astros.
d) Geodesia espacial: determinación de coordenadas a partir de mediciones efectuadas
por las técnicas espaciales modernas (GNSS, VLBI, SLR, DORIS) y definición de
sistemas de referencia.
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e) Microgeodesia: medida de deformaciones en estructuras de obra civil o pequeñas
extensiones de terreno mediante técnicas geodésicas de alta precisión.
Una parte fundamental de la geodesia es la determinación de la posición de puntos
sobre la superficie terrestre, denominados Topocentros (T), mediante algún sistema de
referencia que emplee coordenadas rectangulares (o esféricas Latitud, Longitud y
Altura), con una terna de ejes (X, Y, Z) y cuyo eje polar Z se hace coincidir con el eje
de rotación medio del planeta. La materialización de estos puntos sobre el terreno
constituyen las denominadas redes geodésicas, conformadas por las coordenadas de
estaciones que configuran la base de la cartografía de un país.
La superficie de referencia elegida para describir el globo terrestre debe reunir dos
condiciones fundamentales: (a) que mejor represente a la forma y figura de la Tierra y,
(b) que a ella resulten perpendiculares las verticales de los topocentros.
La superficie física más apta para representar a la Tierra en su forma y
dimensiones es la superficie libre de los océanos supuestos en reposo y asumida
prolongada por debajo de los continentes.
Figura 2.1a: Superficie de referencia (nmm) y vertical de un topocentro.
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Esta superficie recibe el nombre de Nivel Medio del Mar (nmm) o simplemente
Geoide. Sobre el geoide debe usarse la línea Vertical () de cada topocentro como
elemento fundamental para la determinación de la posición [Figura 2.1a].
Nota 1:
Aquí debemos hacer una importante aclaración. La astronomía y la geodesia se
apoyan en sistemas de referencia (terna de ejes) y superficies totalmente diferentes, que
describen la figura de la Tierra de distinto modo.
Los sistemas astronómicos trabajan usando la superficie definida anteriormente
como “geoide” o “nivel medio del mar”; es decir, con la verdadera forma terrestre.
Sobre esta superficie, las coordenadas astronómicas latitud y longitud se apoyan en las
líneas “verticales” al geoide.
Por el contrario, los sistemas geodésicos trabajan con una superficie teórica
matemática definida por un elipsoide de revolución. Esta forma no es materializable
físicamente. Las coordenadas geodésicas latitud y longitud se apoyan en las rectas
“normales” al elipsoide.
En un determinado lugar, la vertical () y la normal (N) pueden o no coincidir,
pero por lo general no concuerdan, estando sin embargo muy cercanas entre sí. La
diferencia angular es de algunos segundos de arco, dependiendo de la separación entre
las superficies “geoide” y “elipsoide” en la zona del topocentro [Figura 2.1b].
Figura 2.1b: Superficies de referencia Geoide y Elipsoide. T es el topocentro (lugar de observación), To es su proyección sobre el geoide y t es sobre el elipsoide.
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2.2- Vertical y Horizonte Astronómico Sobre todo topocentro T considerado como un punto material, se ejercen dos
fuerzas:
(1) Atracción gravitatoria de las masas que constituyen la Tierra, a la que designamos
con el vector N dirigido hacia el geocentro y a la cual llamaremos atracción
newtoniana terrestre.
(2) La fuerza centrífuga terrestre, que denominamos con C, motivada por la rotación
del planeta alrededor del eje Z y dirigida perpendicularmente a él.
Estas dos fuerzas en el topocentro se componen y dan como resultante la fuerza de
gravedad: g = N + C . La recta soporte o línea de acción de la gravedad es la línea
vertical () del topocentro T, dirigida hacia el cenit [Figura 2.2a].
Figura 2.2a: dirección de la fuerza de gravedad (g) y de la vertical ().
Si la Tierra fuera una esfera de densidad constante sin rotación, esa fuerza g se
orientaría hacia el centro; pero como no es así, se dirige fuera del centro. El plano
perpendicular a la vertical, trazado por el topocentro T es el horizonte astronómico de
ese topocentro.
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Como ya sabemos, el calificativo “astronómico” se aplica a las cosas o conceptos
ligados a la vertical y a la superficie del geoide; mientras que el calificativo “geodésico”
se refiere a elementos vinculados a la normal del elipsoide terrestre que veremos más
adelante.
2.3- Movimiento del Eje de Rotación. Movimiento del Polo
La posición del eje de rotación no es fija con respecto al cuerpo físico de la Tierra.
Pueden definirse dos tipos diferentes de oscilaciones que no deben ser confundidas:
( i) el movimiento del eje “dentro” del cuerpo físico de la Tierra y,
(ii) el movimiento del eje “fuera” de la Tierra.
El primero (i) es de pequeña escala, tiene un origen principalmente geofísico y en
menor medida por fuerzas lunisolares. Se lo denomina Movimiento del Polo y afecta las
coordenadas astronómicas de latitud y longitud.
El segundo (ii) es el que experimenta el planeta contra el fondo de estrellas,
llamado Precesión, provocando el desplazamiento de los polos celestes y del ecuador y
afectando las coordenadas celestes.
Veamos ahora el movimiento del polo. Supongamos que en un momento dado
podemos marcar sobre la superficie terrestre la posición que corresponde al polo norte
(o sur) terrestre (P) con el punto 1; si algunas
semanas después volvemos a marcar el polo,
observamos que su posición cae en el punto 2, y
así sucesivamente [Figura 2.3.a]. A medida que
transcurren las semanas, si vamos uniendo las
sucesivas posiciones, notamos que el polo no es un
punto fijo de la superficie terrestre, sino que se
mueve cíclicamente.
Figura 2.3a: movimiento del polo.
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Concluimos que el polo se mueve describiendo una curva espiral directa llamada
poloide, que cumple un ciclo o periodo en aproximadamente 14 meses, denominado
periodo de Chandler.
Sobre la base de estos 14 meses en que el polo da una vuelta completa sobre la
poloide, resulta que el desplazamiento angular diario del polo es del orden de:
360° / (14 x 30 días ) = 0°.857 por día
Podemos entonces hablar ahora de un polo instantáneo, que es el calculado a
través de las observaciones astronómicas y, un polo medio de la época, que es el punto
de la superficie terrestre cuya posición se establece como promedio de las posiciones
instantáneas observadas durante un período largo de tiempo (décadas).
Distintos polo medios se han ido adoptando a medida que han transcurrido las
épocas. En la actualidad el polo medio está fijado para la época 2000 [Figura 2.3b].
El organismo internacional denominado International Earth Rotation and
Reference Systems Service (IERS) es el encargado de proveer la posición del polo
instantáneo (coordenadas del polo) respecto al polo medio de la época.
Figura 2.3b: Ciclo de la poloide hasta el año 2000 (línea punteada) y deriva del polo medio a lo largo de las épocas (línea llena azul). La posición de los ejes X,Y (en rojo) está definida por el IERS.
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La poloide se mantiene dentro de un círculo
centrado en P de no más de 15 metros de radio [Figura
2.3c]. En consecuencia, como el desplazamiento
angular diario del polo instantáneo es de 0°.857, su
movimiento lineal diario sobre la poloide es de:
0°.857 = 0.014957 radianes
0.014957 rad x 15 metros = 0.224 metros = 22 cm
Figura 2.3c: desplazamiento angular diario de la poloide
La rotación de la Tierra se entiende como el movimiento entre dos sistemas de
referencia geocéntricos distintos, uno solidario a la Tierra (acompaña la rotación)
denominado International Terrestrial Reference System (ITRS) y el otro fijado en el
espacio (sin rotación) denominado Geocentrical Celestial Reference System (GCRS).
Para el estudio de la rotación de la Tierra y de la precesión de los equinoccios se
utiliza un arreglo de ejes intermedios definido en forma convencional, cuyo eje vertical
intermedio es el eje de rotación instantáneo y contiene al polo CIP, [Figura 2.3d].
El movimiento de este eje intermedio respecto al sistema de referencia GCRS se
denomina “Precesión-Nutación”. Por otro lado, respecto al sistema de referencia ITRS
se denomina “Movimiento del Polo” [Figura 2.3e]. El sistema intermedio vincula
entonces el ITRS con el GCRS.
En el año 2003, la Unión Astronómica Internacional definió el sistema intermedio
cuyo polo se llamó Polo Celeste Intermedio CIP (en inglés Celestial Intermediate Pole)
que corresponde al polo instantáneo. El polo medio terrestre fijado por el IERS es el que
concierne al sistema ITRS.
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Figura 2.3d: Eje intermedio (CIP) respecto a los sistemas de ref. GCRS e ITRS
Figura 2.3e: Precesión en el GCRS y movimiento del polo en el ITRS, respectos al eje intermedio CIO
Observemos que como la separación lineal entre los polos instantáneo (que
llamaremos Pi) y medio (P) puede llegar a ser del orden de 15 metros, el ángulo entre
ambos ejes de rotación puede llegar a valer aproximadamente medio segundo de arco
[Figura 2.3e].
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R
Pi P eie "
0".485 m 10 x 6371
206265 m 15 eie 3
"
Figura 2.3e: diferencia angular entre los ejes instantáneo y medio
2.4- Sistemas de Coordenadas Geocéntricos
Los ejes de rotación medio (e) e instantáneo (ei) y sus correspondientes planos
perpendiculares, los ecuadores medio e instantáneo, son elementos geométricos
utilizados para definir sistemas cartesianos geocéntricos (el origen de ellos coincide con
el centro de masa de la Tierra o geocentro) y absolutos (no dependen de elementos
locales de los topocentros). Estos dos sistemas son denominados astronómicos o
también, más popularmente, geográficos:
(a) Sistema Astronómico o Geográfico Ecuatorial Medio o Terrestre Medio
(b) Sistema Astronómico o Geográfico Ecuatorial Instantáneo o Terrestre Instantáneo
(a) Sistema Ecuatorial Medio o Terrestre Medio
En este sistema el origen se encuentra en el geocentro “G” y el eje Z se hace
coincidir con el polo medio o eje de rotación medio “e”. El plano fundamental resulta
ser el ecuador medio “E”.
No siendo la Tierra un esferoide de densidad uniforme, no hay ninguna razón para
suponer que las verticales de los topocentros corten al eje de rotación, es decir que
determinen planos con él. Pero en cada topocentro podemos considerar una paralela al
eje que sí habrá de determinar con la vertical de T, un plano que se denomina Meridiano
Astronómico de ese topocentro [Figura 2.4a].
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Sobre el ecuador medio tendremos el primer eje X, ubicado trazando por el
geocentro una paralela a la vertical de Greenwich (G) por su topocentro [Figura 2.4b].
Figura 2.4a: Meridiano astronómico y vertical de T
La proyección ortogonal de esa vertical sobre el ecuador medio es el eje X. El
sistema Terrestre Medio es directo, de modo que a 90° contados a partir del primer eje
X, yace el segundo eje Y, estando dirigido al este de Greenwich.
Fig. 2.4b: Ubicación del primer eje X del sistema Terestre Medio
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En este sistema Ecuatorial Medio o Terrestre Medio se localiza un topocentro,
mediante el uso de “Coordenadas Astronómicas (o Geográficas) Medias”. Estas son el
rumbo y la elevación de la vertical del topocentro.
Consideremos un topocentro T y su vertical , que corta al ecuador medio en T .
Sea T´ la proyección ortogonal de T sobre el ecuador medio [Figura 2.4c].
El ángulo o rumbo contado positivo desde el primer eje X hacia el segundo eje Y
es la Longitud Astronómica Media () y se cuenta como 0° < < 360° , o bien en el
rango –180° < < +180°.
Figura 2.4c: Latitud () y Longitud () astronómicas
La elevación de la vertical es la Latitud Astronómica Media (), cuyos valores se
cuenta de –90° < < +90°.
La Colatitud es la descención de la vertical y tiene el intervalo 0° < 90°- < 180° .
Obsérvese que es el ángulo diedro que forma el plano coordenado ZX con el
meridiano astronómico de T, determinado por la paralela a Z (//Z) y , [Figura 2.4d].
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Figura 2.4d: Planos que forman la longitud
En base a las coordenadas esféricas pueden encontrarse las correspondientes
coordenadas rectangulares del siguiente modo:
X = cos cos
Y = cos sen tg = Y / X
Z = sen tg = Z / ( X2 + Y2 )1/2
(b) Sistema Ecuatorial Instantáneo o Terrestre Instantáneo
El origen del sistema se hace coincidir con el geocentro G lo mismo que en el
sistema terrestre medio. El eje polar Zi coincide con el eje de rotación instantáneo ei
estando entonces dirigido hacia el polo norte definido anteriormente como CIP. El plano
fundamental resulta ser el Ecuador Instantáneo Ei [Figura 2.4e].
Sea X el primer eje del sistema terrestre medio, la proyección ortogonal de X
sobre el ecuador instantáneo específica la dirección de este plano que se adopta como
primer eje Xi del sistema terrestre instantáneo.
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Figura 2.4e: Proyección del primer eje X del Sistema Terrestre Medio sobre el ecuador instantáneo Ei.
Llama la atención el hecho que, contrariamente a la definición del primer eje X
del sistema ecuatorial medio, ahora el primer eje Xi del ecuatorial instantáneo no se
define como la proyección sobre el ecuador instantáneo de la paralela al meridiano de
Greenwich de la vertical de Greenwich; sino como la proyección del primer eje X del
sistema medio. Por lo tanto no puede decirse que el plano Zi Xi de Ei sea paralelo al
meridiano astronómico instantáneo de Greenwich.
Si E y Ei se definieran en forma independiente, harían falta 3 parámetros para
especificar la posición relativa de ambos sistemas. Imponiendo la condición inicial de
que el primer eje X de E pertenezca al plano Zi Xi de Ei , se resta un grado de libertad al
problema y entonces podemos ventajosamente conocer las coordenadas del polo
instantáneo con respecto al polo medio, usando dos parámetros (x, y) llamados
Coordenadas del Polo Medio.
El sistema terrestre instantáneo es retrógrado, de modo que a 90° contados a partir
de Xi en sentido de las agujas del reloj yace el segundo eje Yi dirigido al oeste de
Greenwich [Figura 2.4f]. Esto de orientar Yi hacia el oeste se explica porque este
sistema ha sido obtenido originariamente por la astronomía, la que cuenta los rumbos
positivamente hacia el oeste, creciendo en el mismo sentido que los ángulos horarios.
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Debido al movimiento tectónico, el sistema terrestre instantáneo no es fijo
respecto al cuerpo físico de la Tierra
como lo es el sistema terrestre medio.
Entonces, para localizar un
topocentro T vemos, según la figura,
que T es el punto donde la vertical
() corta al ecuador Ei, T´ es la
proyección ortogonal de T sobre Ei .
La semirrecta ´i es la proyección de
la vertical sobre Ei.
Figura 2.4f: Sistema Terrestre Instantáneo
El ángulo o rumbo de la vertical contado desde el primer eje Xi hacia el segundo
eje Yi lo designamos con “i” y lo llamamos “Longitud Astronómica Instantánea de T”
y es 0° < < 360° o -180° < i < +180°.
Al ángulo de elevación de la vertical de T la designamos con “” y la llamamos
“Latitud Astronómica Instantánea de T” y comprende -90° < < +90°. La Colatitud
Astronómica Instantánea es la descención de la vertical y es de 0° < 90°- < 180°.
Las correspondientes coordenadas rectangulares son:
X = cos i cos i
Y = cos i sen i tg i = Y / X
Z = sen i tg i = Z / ( X2 + Y2 )1/2
Nota 2
Tanto i como i fijan la dirección de la vertical en el sistema terrestre
instantáneo que, como vimos, se mueve diariamente. Naturalmente, lo que el astrónomo
necesita conocer es la dirección de la vertical en el sistema terrestre medio, de modo que
lo que en realidad se necesita conocer son los parámetros medios y .
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Sin embargo, y no pueden ser directamente determinados porque el sistema
terrestre medio es solo un sistema teórico no materializable. En cambio i y i sí
pueden ser determinados mediante la observación de astros de coordenadas (, ).
Para llegar a y a partir de i y i se deben agregar unas correcciones llamadas
Correcciones por Movimiento del Polo ( + i) y ( - i) que veremos mas adelante.
2.5- Coordenadas del Polo Instantáneo respecto al Polo Medio Las coordenadas del polo instantáneo CIO respecto al polo medio ITRS se
designan sencillamente como Coordenadas del Polo (x, y). Para definir estos dos
parámetros veamos el sistema terrestre medio E = (G,X,Y,Z) y el sistema terrestre
instantáneo Ei = (G,Xi,Yi,Zi), vinculados según el primer eje X, [Figura 2.5a].
Consideremos el eje de rotación medio (e) que pasa por el polo medio del sistema
ITRS (que llamaremos sencillamente P) y el eje instantáneo (ei) que contiene al polo
celeste intermedio CIO (que llamaremos Pi).
Figura 2.5 a: Coordenadas del polo (x, y) que vincula los sistemas medio e instantáneo
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El plano determinado por el primer eje X de E y el eje de rotación instantáneo,
que por contener a X es perpendicular al plano ZY, corta a este plano según la dirección
D, la cual determina sobre la esfera el punto Q.
Los arcos orientados: x = QPi , y = PQ , son las coordenadas del polo. La
primera coordenada -x- se considera positiva si Pi está, con respecto al plano YZ, del
lado hacia el que apunta el eje X (hacia Greenwich). La segunda coordenada -y- se
considera positiva si Pi está, con respecto al plano ZX, en el lado contrario al que apunta
el eje Y (hacia el oeste de Greenwich).
Las coordenadas del polo (x, y) vienen tabuladas en función del tiempo en
boletines del IERS y circulares astronómicas y geodésicas. Es decir que son datos de los
que siempre dispondremos. Es más fácil extraerlos desde Internet en la página del IERS
(International Earth Rotation and Reference Systems Service).
Para realizar la transformación de coordenadas EiE deberemos aplicar matrices
de rotación que contemplen giros de [-x] y [-y] .
ZiYiXi
y cos x cosysen -y cossen x -ysen x cos-y cos-ysen sen x
sen x0 xcos
ZYX
(1)
Como hablamos de cantidades (x, y) muy pequeñas, podemos en la práctica
reemplazar en (1) los senos por las medidas de los arcos con el radián y los cosenos por
la unidad, luego despreciando los términos de segundo grado obtenemos:
ZiYiXi
1y-x-y -1-0
x01
ZYX
(2)
xi yi zi
Para la transformación inversa :
ZYX
1y-xy -1-0x-01
ZiYiXi
(3)
x y z
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De la expresión matricial (2) podemos calcular :
X = Xi + x Zi
Y = Yi y Zi (4)
Z = x Xi y Yi + Zi
Como sabemos que:
X = cos cos
Y = cos sen (5)
Z = sen
Xi = cos i cos i
Yi = cos i sen I (6)
Zi = sen i
Reemplazando (5) y (6) en la (4) :
cos cos = cos i cos i + x sen i , 1
cos sen = cos i sen i y sen i , 2
sen = x cos i cos i y cos i sen i + sen i , 3
(7)
Ahora, el cálculo de y a partir de 1, 2 y 3 que a su vez son funciones de
i y i , se obtienen como :
tg = 2 / 1
tg = 3 / (12 + 22)1/2 (8)
Para el control de los cálculos realizados debe cumplirse la condición que la suma
de 12 + 22 + 32 = 1 = 2
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Para pasar de (i , i) a ( , ), estos cálculos tienen el inconveniente de necesitar
trabajar con muchas cifras significativas, ya que las cantidades “x” e “y” son del
orden de las décimas, centésimas o milésimas de segundo de arco. Por ello se prefiere
aplicar el método de las correcciones; es decir, no calcular directamente y sino
buscar las correcciones ( + i) y ( i) que aplicadas a i y i nos
proporcionen y :
= i + ( i)
= ( + i) I (9)
Estas correcciones valen :
( i) = (x cos i + y sen i)
( + i) = tg i (x sen i + y cos i) (10)
Siendo : x e y 0”.5 , los senos y cosenos son menores que 1, por lo que :
i 0”.5
+ i 0”.5 tg i
De las ecuaciones (10) vemos que la corrección ( i) no es problema porque
siempre es del orden de 0”.5 . En cambio ( + i) depende del valor de tg i, entonces a
medida que la latitud crece en valor absoluto, crece ( + i) y, para valores de i
próximos a 90° (en los polos), la corrección puede tomar valores muy grandes. Para
estos casos habrá que emplear el cálculo riguroso por las fórmulas (7) vistas
anteriormente.
Si las coordenadas astronómicas instantáneas no se corrigen por movimiento del
polo, es decir que directamente se tomen = i y = i, tendremos errores del
orden del medio segundo. Puede tomarse así en trabajos donde no es necesaria tanta
precisión.
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2.6- Geopotencial . Geoide La necesidad de desarrollar la ecuación del Geoide nos obliga a definir el
“Geopotencial” o “Potencial de la Gravedad” como: W = Potencial G , donde “G” es
un vector que tiene la propiedad que el valor numérico de su derivada en una dirección
cualquiera “d”, es igual al valor de la componente de la gravedad en esa dirección,
[Figura 2.6a].
cosG Gd
dW
En consecuencia, la derivada parcial de W respecto a (x, y, z) nos dará las
componentes de la gravedad en la dirección de los ejes X, Y, Z:
Gz z
W ,Gy yW ,Gx W
x (11)
Como las componentes Gx , Gy , Gz determinan el
comportamiento de la gravedad en el sistema de referencia (X,
Y, Z) utilizado; las ecuaciones (11) nos muestran que el
conocimiento del geopotencial W implica el conocimiento de
G . Además, la derivada de W en la dirección de la vertical
() nos debe dar la componente de la gravedad en esa
dirección. Como para la vertical es = 180° . Figura 2.6a: Derivada del potencial W en un punto Q respecto de una dirección cualquiera d.
G- G W
(expresión que es válida para el sistema terrestre medio)
Sea la [Figura 2.6b]. Al potencial W lo podemos expresar como la suma de los
potenciales:
(i) Potencial de la Atracción Terrestre ( V ) (ii) Potencial de la Fuerza Centrífuga ( V´ )
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y x m 21 ́
, S
dm m K V
2 22
Tierra
2
V
(12)
Figura 2.6b: Potencial de un punto externo Q
donde :
K = constante de gravitación universal (6.67 x 10-8cm3 seg-2 g-1)
m = masa de un punto externo Q sobre el cual determinamos el potencial
M = masa de la Tierra
= 2 / 86164.0996 seg-1 = velocidad angular de rotación terrestre
S = distancia entre el punto Q y una partícula P terrestre de masa dM
Sumando ambos potenciales encontramos entonces la ecuación del Geoide :
222
T
2 y x m 21
SdM m K ́ V W V ,
o bien:
Geoide0n
W Vn
V´W (13)
La expresión (13) es la ecuación del geoide. Para el cálculo efectivo de V es
necesario recurrir a sus desarrollos en serie de Legendre o por Armónicas Esféricas, por
lo que la ecuación resulta de infinitos términos.
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La forma del Geoide es bastante compleja. Está llena de abolladuras y
prominencias, [Figura 2.6c]. Es una superficie dinámica que cambia con el tiempo y
sobre la misma es muy difícil realizar cálculos y operaciones geométricas tales como
mediciones de arcos, ángulos y distancias.
Figura 2.6c: Forma del geoide. Imágenes producidas mediante determinaciones satelitales de gravedad. Las zonas rojas corresponden a mayores alturas y las azules a depresiones.
2.7- Superficies Geopotenciales
Si hacemos: W = Wo = constante , obtenemos la ecuación de una superficie tal
que en todos sus puntos el geopotencial toma el mismo valor Wo. Se trata entonces de
una superficie equipotencial con respecto a la gravedad, o más sencillamente una
superficie geopotencial.
Hay que tener muy presente que sobre una superficie geopotencial lo que es
constante es el potencial de la gravedad, pero no la gravedad misma. En consecuencia
las superficies geopotenciales no son de gravedad constante, de modo que todos sus
puntos tienen el mismo geopotencial pero distinta gravedad.
Haciendo ahora W = Wi con i variable, se define la ecuación de una familia de
superficies geopotenciales. Estas tienen algunas propiedades:
(1) En todo punto de una superficie geopotencial la gravedad es normal a la
superficie.
(2) Como el vector gravedad es determinativo de la vertical, ésta es perpendicular a
la superficie geopotencial que pasa por ella, [Figura 2.7a izquierda].
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Esto que acabamos de establecer es muy importante, puesto que el geoide debe
cumplir la primera condición enunciada anteriormente de que en todos los topocentros
las verticales sean perpendiculares a él. Pero como las superficies geopotenciales no son
paralelas entre sí, las verticales de los puntos que no pertenecen a esa superficie no son
perpendiculares a ella.
Figura 2.7a: A la izquierda se muestra la perpendicularidad de las verticales a las distintas superficies equipotenciales. A la derecha se ven las diferencias de gravedades según la separación de las superficies equipotenciales
De modo que si se adoptara como ecuación del geoide una superficie geopotencial
de referencia, ésta no cumpliría la segunda condición de ser una superficie a la cual
resulten perpendiculares las verticales de todos los topocentros.
Las superficies geopotenciales tienden a juntarse en los puntos donde la gravedad
es mayor y, por el contrario, tienden a separarse donde es menor, pero nunca se cortan,
[Figura 2.7a derecha].
Puede entenderse como superficie geopotencial a aquella en que las partículas que
la constituyen están en equilibrio hidrostático, como la superficie libre de un líquido en
reposo.
Como dijimos al comienzo, el nivel medio del mar (nmm), es el espacio físico
más apto y que mejor se aproxima a la representación de la Tierra en su forma y
dimensiones, resultando ser la superficie analítica o matemática más adecuada.
Quedaría pendiente, por supuesto, el problema de que aunque a ella serían
perpendiculares las verticales de sus propios puntos (es decir, los que yacen sobre el
nmm), a ella no serían perpendiculares las verticales de todos los otros puntos del
cuerpo físico de la Tierra.
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2.8- Líneas de Fuerza del Campo Gravitatorio Consideremos una serie de superficies geopotenciales (W0, W1, W2, ....). Sobre
W0 tomemos un punto Po y tracemos por él la normal a W0, es decir tracemos la vertical
0 de P0 ; así 0 corta a W1 en P1 , [Figura 2.8a izquierda].
Luego tracemos por P1 su vertical 1 que, por supuesto, no coincidirá con la
anterior porque las superficies geopotenciales no son paralelas. Si continuamos de esta
manera, queda definida una línea quebrada P0 , P1 , P2 , P3 , ...etc.
Figura 2.8a: A la izquierda se representa la línea vertical quebrada de acuerdo a las superficies equipotenciales que corta. A la derecha la línea de la vertical curva de acuerdo a la aproximación infinita de las superficies equipotenciales. Suponiendo que la separación de las sucesivas superficies se hacen infinitamente
pequeñas, aquella línea quebrada se vuelve una curva (c) llamada “Línea de Fuerza” del
campo gravitatorio terrestre, [Figura 2.8b derecha]. En cada uno de sus puntos la línea
de fuerza es normal a la superficie geopotencial que pasa por él y por lo tanto la
tangente a la línea de fuerza en ese punto coincide con la Vertical del mismo.
2.9- El Elipsoide Terrestre Vimos anteriormente que la ecuación del geoide (13) es una serie de infinitos
términos que exige un desarrollo en serie por armónicas o polinomios de Legendre. Tal
serie es convergente, de modo que tomando unos pocos términos (hasta el cuarto orden)
en el desarrollo de Vn , se tiene una buena aproximación para el potencial W y la
ecuación resultante del geoide resulta en un esferoide que aproxima al nmm.
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Pero la necesidad de hacer geometría sobre la superficie de referencia, es decir,
calcular distancias, ángulos, áreas, etc..., exige que esta superficie sea lo más sencilla
que se pueda, de modo que su ecuación sea simple.
Es por ello que se reemplaza al geoide por un elipsoide de revolución alrededor de
su eje menor, convenientemente orientado dentro del cuerpo físico de la Tierra y de ejes
adecuadamente dimensionados, de modo tal que coincida lo mejor posible con el
geoide. Tal elipsoide recibe los nombres de “Elipsoide Terrestre, Elipsoide Absoluto o
Elipsoide Geocéntrico”.
La conveniente orientación del
Elipsoide Terrestre con respecto al
cuerpo físico de la Tierra, se logra
haciendo que su centro geométrico
coincida con el geocentro (y entonces
con el origen del Sistema Terrestre
Medio) y su eje menor con el Eje de
Rotación Z, [Figura 2.9a]. Figura 2.9 a: Orientación del Elipsoide Terrestre
Si a es el semieje mayor y b el menor, la ecuación del elipsoide terrestre en el
sistema Terrestre Medio es :
1 bz
ay 2
2
2
2
2
2
ax
Aproximadamente valen:
a = 6378 Kilómetros
b = 6357 Kilómetros
La diferencia entre los semiejes es de 21 kilómetros, cuya pequeñez frente a las
dimensiones de a y b nos indica que el elipsoide terrestre se parece bastante a una
esfera. Para algunos problemas geodésicos o topográficos en los que la precisión lo
permite, el elipsoide puede ser reemplazado por una esfera geocéntrica llamada Esfera
Terrestre cuyo radio se puede adoptar como el radio medio del elipsoide terrestre :
R = 1 / 3 (a + a + b) = 6371 kilómetros
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2.10- Parámetros del Elipsoide El adecuado dimensionamiento se consigue determinando los ejes del elipsoide,
de modo que su volumen resulte ser igual al del geoide y que la suma de los cuadrados
de las discordancias altimétricas o, más
comúnmente denominado ondulación del
geoide ( n ) , [Figura 2.10a]:
n2 mínimo
Figura 2.10a: Ondulación (n) del geoide
Los parámetros fundamentales son los semiejes mayor y menor, y como
parámetros derivados tenemos :
i) El aplastamiento o achatamiento (f) (flattening) : a
baf - (14)
Como: a > b > 0 ,
Si b a , f 0 corresponde a un elipsoide muy redondeado, tendiendo a esfera
Si b 0 , f 1 corresponde a un elipsoide muy achatado, como una lenteja
Entonces 0 < f < 1
ii) La excentricidad primera (e): 2
222 -
abae (15)
Si b a , e 0 elipsoide muy redondeado
Si b 0 , e 1 elipsoide muy achatado
Entonces 0 < e < 1 . La excentricidad es el grado de deformación del elipsoide.
iii) La excentricidad segunda (e´): 2
222 - a ´
bbe (16)
Si b a , e´ 0 elipsoide muy redondeado
Si b 0 , e´ elipsoide muy achatado
Entonces , 0 < e´ < 1
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Relacionando las dos excentricidades:
De e2 : b2 = a2 (1 – e2) (17)
De e´2 : a2 = b2 (1 + e´2) (18)
Reemplazando la expresión (18) en la (17): b2 = b2 (1 – e´2) (1 – e2)
(1 + e´2) (1 – e2) = 1
2
22
2
22
11 e e´ e ,
- ee e´
(19)
Si f = (a – b) / a , b = a (1 – f ) , reemplazando en la ecuación (15):
22
2222 111 - f ) - (
a) - f ( - aa e
1 – e2 = (1 – f )2
1 – e2 = 1 – 2f + f2
e2 = f (2 – f) (20)
Numerosos han sido los científicos que se han dedicado a determinar los
parámetros del elipsoide terrestre utilizando distintos métodos. Algunos resultados se
muestran a continuación.
Bessel (1841) : a = 6 377 397.15 metros , f = 1 / 299.1528
Clarke (1866) : a = 6 378 206.4 metros , f = 1 / 294.98
Clarke (1880) : a = 6 378 200.2 metros , f = 1 / 298.466
Helmert (1907) : a = 6 378 200.0 metros , f = 1 / 298.4
Hayford (1907) : a = 6 378 388 18 metros , f = 1 / 297.0 0.5
Krasowsky (1940) : a = 6 378 245 metros , f = 1 / 298.3
En el año 1930 la Asociación Internacional de Geodesia recomendó la adopción
del elipsoide de Hayford; desde entonces se lo conoce como “Elipsoide Internacional”.
Este fue el modelo adoptado por nuestro Instituto Geográfico Nacional (IGN), hasta el
advenimiento de los sistemas de posicionamiento globales satelitales.
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Debido a las nuevas técnicas geodésicas satelitales, especialmente el sistema GPS
(Global Positioning Satellite), actualmente se trabaja con un elipsoide denominado
WGS84 cuyas dimensiones son: a = 6 378 137 m , f = 1 / 298.257223563 , su eje Z
pasa por el polo medio y el meridiano origen por Greenwich para la época 1984.0 .
2.11- Normal al Elipsoide. Desviación de la Vertical
La recta Normal (W) es un elemento geométrico del elipsoide terrestre de gran
importancia pero, dado que el elipsoide es una superficie matemática, la recta normal no
es físicamente materializable tal como puede lograrse con la vertical.
Fig. 2.11a: Desviación de la vertical ()
Como sabemos, las verticales son perpendiculares al geoide y, como el elipsoide
es una aproximación razonable del geoide, las normales han de coincidir muy
cercanamente con las verticales.
Naturalmente, como el geoide y el elipsoide no coinciden exactamente, en general
la normal (W) al elipsoide por un topocentro T no coincide con su vertical ( ), [Figura
2.11a].
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El ángulo entre ellas se denomina Desviación o Deflexión de la Vertical ().
Puede alcanzar valores, en algunos lugares, de hasta 120 segundos de arco.
La normal al elipsoide corta al eje polar Z (de rotación medio) en un punto que
llamaremos “J” de coordenadas (0, 0, Zj), [Figura 2.11b].
Figura 2.11b: Elementos del elipsoide
El plano determinado por la normal (W) y el eje de rotación (Z) es el Meridiano
Geodésico de t o T.
El meridiano geodésico intercepta al elipsoide según una elipse de semiejes a y b
llamada Elipse Meridiana de t o T . El elipsoide mismo puede considerarse engendrado
por la rotación de la elipse meridiana alrededor del eje Z.
Observemos que para puntos del hemisferio norte Z > 0 y Zj < 0, por lo que J
se encontrará en el hemisferio sur. Al contrario, para Z < 0 y Zj > 0, por lo que J se
ubicará en el hemisferio norte. Para Z = 0 y Zj = 0, estamos en el ecuador y J coincidirá
con G.
2.12- Coordenadas Geodésicas Absolutas o Geocéntricas
Sabemos que W es la normal al elipsoide terrestre por el topocentro T. Sea T´ la
proyección ortogonal de T sobre el plano fundamental (coincidente con el ecuador
medio) y W´ es la proyección ortogonal de la normal. Definimos a las coordenadas
geodésicas de acuerdo a la [Figura 2.12a] como:
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L = Longitud Geodésica.
0° < L < 360° o -180° < L < +180°
B = Latitud Geodésica
–90° < B < +90°
H = distancia tT = Cota Geodésica
90° - B = Colatitud Geodésica
N = distancia JT = Gran Normal
Figura 2.11a: Coordenadas geodésicas
Las coordenadas para el punto t (sobre el elipsoide) son :
Xt = N cos B cos L
Yt = N cos B sen
Zt / (1 – e2)1/2 = N (1 – e2)1/2 sen B
N = a / (1 – e2 sen2 B)1/2 L (21)
Las coordenadas para el topocentro T son :
XT = Xt + H cos B cos L
YT = Yt + H cos B sen
ZT = Zt + H sen B L (22)
Reemplazando las ecuaciones (6) en (7) obtenemos para T :
XT = (N + H) cos B cos L
YT = (N+ H) cos B sen L
ZT = (N (1 – e2) + H) sen B L (23)
Puesto que las coordenadas geodésicas están desarrolladas sobre una superficie
matemática, no son observables directamente por ningún método.
L y B pueden calcularse realizando correcciones a partir de las coordenadas
astronómicas (, ) observadas o mediante el empleo de receptores satelitales GPS.
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Las coordenadas geodésicas aquí detalladas son absolutas (centradas en G), pero
también existen coordenadas geodésicas no absolutas, es decir “locales” (con el origen
de una terna de ejes en el topocentro). Éstas son las denominadas Horizontales
Geodésicas Medias e Instantáneas. Este tipo de coordenadas no se tratarán en este
curso.
2.12- Vinculación del Elipsoide al Sistema Terrestre Medio Recordando el sistema terrestre medio, vemos que la vertical de un topocentro T
es la tangente a la línea de fuerza por T, cuya intersección con el geoide (nmm)
llamamos To.
A la altura o distancia ToT (desde el geoide hasta el topocentro) se la llama
Cota Astronómica H ,cuya medición requiere combinar tareas de nivelación y
gravimetría. En correspondencia, a la altura o distancia tT (desde el elipsoide hasta el
topocentro) se la denomina Cota Geodésica (H), [Figura 2.12a].
Figura 2.12a: Cotas astronómica (H ) y geodésica (H)
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Para poder vincular las coordenadas geodésicas ( B, L, H) con las astronómicas
(, , H ), se debe establecer una relación simple entre las coordenadas astronómicas y
geodésicas mediante correcciones cuyos valores son pequeños (del orden de los
segundos de arco):
B = +
L = +
H = H + H (24)
Las correcciones en latitud () y longitud () están en función de la desviación
de la vertical () y de los valores de sus componentes sobre el meridiano () y el primer
vertical (), [Figura 2.12b].
Donde: = acimut astronómico de la dirección en que se supone desviada la vertical.
' cos ) - '( )' - ( )' - (sen
(25)