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Tema 3. Ecuaciones diferenciales
Las ecuaciones diferenciales son una potente
herramienta matemática para elaborar modelos.
En una ecuación diferencial la incógnita es una
función.
Una ecuación expresa una relación entre una
función y sus derivadas.
Resolver una ecuación es encontrar una fun-
ción que la satisfaga.
En este tema aprenderemos a resolver algunas ecua-
ciones diferenciales sencillas y estudiaremos algunos
modelos biológicos basados en ellas.
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Modelos malthusianos
Ejemplo
En Ecología se llama población a un conjunto
de individuos que pertenecen a la misma especie
y ocupan una determinada región geográfica. La
ecología de poblaciones se centra en el estudio
del tamaño, dinámica e interacciones entre ellas.
Poblaciones aisladas: los únicos factores que con-
tribuyen al incremento o disminución de pobla-
ción son exclusivamente los nacimientos y las
muertes (no se consideran procesos como la
inmigración y emigración).
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Modelos malthusianos
Hipótesis de Malthus: el incremento de pobla-
ción es proporcional al número de individuos
Modelo de Malthus discreto
El tiempo, t, se divide en intervalos, todos de
igual longitud,
t = 0, 1,2, . . .
nt =población al final del t-ésimo periodo de
tiempo.
Hipótesis de Malthus: nt − nt−1 = rnt−1
nt = (1 + r)nt−1 nt = αnt−1
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Modelo de Malthus discreto
Población inicial: n0 .
Población al final del primer periodo:
n1 = α · n0.
Población al final del segundo periodo:
n2 = α · n1 = α · (α · n0) = α2 · n0.
Población al final del periodo t-ésimo:
nt = α · nt−1 = α2 · nt−2 = · · · = αt · n0.
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Modelo de Malthus continuo
El tiempo t es una variable continua (puede to-
mar cualquier valor real).
N(t) = cantidad de población en el instante t.
Tasa de variación media: variación relativa de
población en el intervalo [t,t + h]
N(t + h)−N(t)
h
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Modelo de Malthus continuo
Tasa de variación infinitesimal
limh→0
N(t + h)−N(t)
h= N′(t)
Hipótesis de Malthus:
N′(t) = limh→0
N(t + h)−N(t)
h= rN(t).
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Modelo de Malthus continuo
La relación
N′(t) = rN(t)
se dice que es una ecuación diferencial.
Ejercicio Comprobar que
N(t) = Cert (C es constante)
verifica tal ecuación.
Solución: N′(t) = Crert = r(Cert) = rN(t).
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Conceptos básicos
Ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O.): in-
tervienen funciones de una variable: t (x, s, . . . );
función incógnita: y (f,g, p,N, . . . )
Grado de una E.D.O.: mayor de los órdenes de
las derivadas que intervienen.
En este curso: E.D. = “E.D.O. de primer grado”.
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Conceptos básicos
Solución General: familia de todas las soluciones
de una E.D.; depende de una constante C.
Solución Particular: cada una de las soluciones
obtenidas al dar un valor concreto a C.
Condición inicial: valor prefijado que toma la
función incógnita y para un cierto valor t0 de
la variable independiente t (normalmente, t0 =
0):
y(t0) = y0
Problema de valor inicial: Ecuación diferencial
con condición inicial. La solución de un Problema
de Valor Inicial, si existe, es única.
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Conceptos básicos
Ejercicio ¿Verdadero o falso?
La solución general de la ecuación x′ = x− t es:
1. x = et + t + C
2. x = −et + t + 1
3. x = Cet + t + 1
4. x = t + 1
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Conceptos básicos
Ejercicio ¿Verdadero o falso?
Si x(t) es solución de la ecuación x′ = x− t:
a) Si x(0) = 0, entonces x(−1) = − 1e
b) Si x(0) = 1, entonces x(t) = t + 1
c) Si x(0) = −1, entonces x(t) es una función cre-
ciente.
d) Si x(1) = 0, entonces x(0) = e−2e
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E.D. puramente temporales
Las ecuaciones diferenciales más sencillas son aque-
llas que tienen la forma:
y’=f(t)
Solución:
y =
∫f(t) = F(t) + C,
F(t) es una primitiva de f y C una constante.
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E.D. puramente temporales
Problema de Valor Inicial:
y′ = f(t)
y(t0) = y0
}
Solución:
y =
∫f(t)dt = F(t) + C,
donde C debe calcularse para que y(t0) = y0. Luego,
C = y0 − F(t0).
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E.D. puramente temporales
Ejemplo La velocidad instantánea de variación del
volumen de una célula V(t) viene dado por la ecua-
ción:
V′(t) = sin(t), con V(0) = 3.
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E.D. puramente temporales
Ejercicio Resolver los siguientes problemas de valor
inicial:
1. y′ = t3 + t2 + 1, y(0) = 4
2. y′ = 1/(1− t), y(0) = 1
3. y′ = xex2
, y(0) = 1
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Tasa intrínseca de crecimiento
N(t) =tamaño de la población en el instante t.
dN
dt= N′(t) = velocidad instantánea o tasa de
cambio.
Tasa intrínseca de crecimiento=(dN/dt
)/N.
Este cociente representa la contribución de cada
individuo al crecimiento instantáneo de la población.
Es una tasa instantánea.
Las distintas expresiones de la tasa intrínseca de
crecimiento, dan lugar a distintos modelos de creci-
miento.16 /39
Crecimiento exponencial
Suponemos la tasa intrínseca de crecimiento
constante, r
El modelo se expresa mediante el Problema de
Valor Inicial
N′
N= r siendo N(0) = N0
Es decir,
N′ = rN siendo N(0) = N0.
Esta ecuación indica que la tasa de cambio de
la población, dN/dt es el producto de la contri-
bución de un individuo (tasa intrínseca) por el
número de individuos.
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Crecimiento exponencial
La solución general de la ecuación diferencial
dN/dt = rN
es
N(t) = Cert.
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Crecimiento exponencial
La solución del problema de valor inicial
dN
dt= rN N(0) = N0
es
N(t) = N0ert.
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Propiedades crecimiento exponencial
Una importante propiedad de la función N(t) = N0ert
es que su logaritmo neperiano es una función lineal
log(N(t)) = log(N0) + rt
de pendiente igual a r.
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Propiedades crecimiento exponencial
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Propiedades crecimiento exponencial
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Propiedades crecimiento exponencial
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Propiedades crecimiento exponencial
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Propiedades crecimiento exponencial
Ejercicio
Una población de mosca de la fruta crece según
la ley de crecimiento exponencial. Si había 180
moscas tras el segundo día y 300 tras el cuarto,
¿cuántas moscas había en la población original?
(Solución: N0 = 108 moscas).
A partir del segundo día, ¿cuántos días deben
transcurrir para que la población de moscas se
duplique? ¿Y a partir del cuarto día?
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Propiedades crecimiento exponencial.
Tiempo de duplicación constante.
Como medida de la velocidad de crecimiento de una
población, es frecuente usar el tiempo de duplicación
del número de individuos que la componen. Es decir,
el tiempo τ que tarda la población N(t) en alcanzar
el valor 2N(t). Este tiempo de duplicación es una
constante, no depende de t.
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Propiedades crecimiento exponencial
Ejercicio A partir de la ecuación
N(t + τ) = 2N(t),
demuestra que si N(t) = N0ert entonces,
τ =log(2)
r.
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Crecimiento logístico
En el modelo logístico la tasa intrínseca de creci-
miento r = dN/NN
= N′/N es densodependiente, es
decir, depende de la densidad de población:
N′/N = rm − zN
donde rm y z son constantes.
Esta ecuación indica que la tasa de cambio de la
población, dN/dt es el producto de la contribución
de un individuo (tasa intrínseca) por el número de
individuos.
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Crecimiento logístico
La función r se puede escribir de la forma
r =dN/dt
N= rm − zN = rm
(1− z
rm
N
)= rm
(1− 1
KN
),
donde K = rm
z.
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Crecimiento logístico
De tal forma que el factor 1−N/K actúa a modo de
freno del término exponencial:
Cuando N→ K el freno 1−N/K tiende a cero, de
manera que la derivada dN/dt tiende también a
cero y la población deja de crecer, y la densidad de
población N(t) se estabiliza alrededor del valor
de K.
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Crecimiento logístico
La solución general de la ecuación diferencial
dN
dt= rmN
(1− N
K
)es
N(t) =K
1 + Ce−rmt.
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Crecimiento logístico
la solución del problema de valor inicial
dN
dt= rmN
(1− N
K
), N(0) = N0
es
N(t) =K
1 + ( KN0− 1)e−rmt
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E.D. autónomas
Se llaman ecuaciones diferenciales autónomas a las
que pueden escribirse de la forma:
y′ = h(y)
Ecuación exponencial y′ = ry
Ecuación logística N′ = rN(1− 1KN)
Ecuación de von Bertalanffy: y′ = K(ym − y)
Ecuación de Gompertz: W′ = kW(log(Wm) −log(W))
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Equilibrios
Los Puntos de equilibrios o equilibrios de una
ecuación diferencial son las soluciones constan-
tes.
La función constante y(t) = y es equilibrio de
y′ = h(y) sí, y sólo sí, h(y) = 0
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Estabilidad de los equilibrios
Sea y es un equilibrio de
y′ = h(y),
es decir, h(y) = 0.
Se dice que el equilibrio y es localmente estable
si, después de una pequeña perturbación, el siste-
ma tiende a recuperar el equilibrio.
Si el sistema no tiende a recuperar el estado de
equilibrio después de una pequeña perturbación, se
dice que el equilibrio es inestable.
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Estabilidad de los equilibrios
Sea y es un equilibrio de
y′ = h(y),
es decir, h(y) = 0.
Si h′(y) < 0, entonces y es un equilibrio local-
mente estable.
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Estabilidad de los equilibrios
Sea y es un equilibrio de
y′ = h(y),
es decir, h(y) = 0.
si h′(y) > 0, entonces y es un equilibrio inesta-
ble.
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E.D. autónomas
Ejercicio Resolver los problemas de valor inicial:
1. y′ = 2y, y(0) = 1. (Solución: y = e2t).
2. y′ = 4(y− 1), y(0) = 1.
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E.D. autónomas
Ejercicio Hallar la ecuación de la curva que pasa por
el punto (1,3) y cuya pendiente en el punto (x, y) es
y/3.
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