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1 Tema 7: Antenas lineales Electrodinámica
TEMA 7
Antenas lineales
Miguel Ángel Solano Vérez
Electrodinámica Tema 7: Antenas lineales 2
Índice:
1. Introducción 2. El dipolo de Hertz
Zona lejana Zona próxima
3. El dipolo no infinitesimal Delimitación de la zona lejana
4. Dipolo con corriente uniforme 5. Antena de lazo infinitesimal
Campos en la zona próxima Campos en la zona lejana
6. Antena de lazo no infinitesimal 7. Dualidad 8. Elementos lineales sobre planos conductores 9. Referencias
3 Tema 7: Antenas lineales Electrodinámica
TEMA 8: ANTENAS LINEALES
Introducción
Tipos de antenas: Aplicaciones:
El dipolo de Hertz Dipolo infinitesimal en el origen de coordenadas con su eje alineado con el eje Z En forma fasorial
tωj0
tωj0 e)r(A)τ,r(A;e)r(J)τ,r(J rrrrrrrr
→→
L
z Θ P
de hilo o lineales de apertura
tipo reflector ranura en guías
agrupamientos o arrays
Bajas y altas frecuencias Comunicaciones en TV y radiofrecuencia Telefonía móvil Comunicaciones vía satélite etc....
Electrodinámica Tema 7: Antenas lineales 4
'dvR
e)r(Jeπ4
μe)r(A'v
c/Rωjtωj0tωj ∫
−
=rr
rr
Dipolo infinitesimal y colocado en el origen rR rr=
'dl)z(I'dv)r(J'l'v∫∫ =
rr z
c/rωj0 aerπ4LIμA rr
−=
En coordenadas esféricas tendremos
rkj0θ
rkj0r
0
0
eθsenrπ4LIμA
eθcosrπ4LIμA
−
−
−=
=
El campo magnético será
φrkj
0
0
rθ
0φ
0
aerkj
11θsenrπ4LIkj
θA)Ar(
rrμ1aAx
μ1H
r
rrr
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
−∂∂
=∇=
El campo eléctrico
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
=∇= φθφr00
Hrrr
1aθsenHθθsenr
1aεωj
1Hxεωj
1E rrrr
desdoblando en componentes
5 Tema 7: Antenas lineales Electrodinámica
rkj
0
0r 0e
rkj11
rθcos
rπ2LIZE −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
rkj22
000
0θ
0erk
1rkj
11θsenkjrπ4LIZE −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
ZONA LEJANA O ZONA DE RADIACIÓN
Se verifica que k0 r >> 1: k0=2π/λ0 r/λ0 >> 1, Los campos son
rkj0φ 0eθsen
rπ4LIkjH −=
rkj00θ
0eθsenrπ4LIZkjE −=
Campo radiado: onda tipo TEM No hay componente radial del campo (mucho menor) El campo varía como 1/r (Conclusiones generales para cualquier tipo de antena) ZONA PRÓXIMA O ZONA DE INDUCCIÓN Se cumple que k0 r << 1 r/λ0 << 1
( ) 1rkj1....2rkrkj1e 02
00rkj 0 ≈−≈+−−≈−
la zona en la que observamos el campo es mucho mayor que la longitud de onda.
Electrodinámica Tema 7: Antenas lineales 6
θsenrπ4LIφH 2= ;
rεπ4θsenLQE;
rπε2θcosLQE
0
3
θ30
r ==
Campos iguales a los estáticos Variación radial 1/r2 y superior No corresponden a transporte de energía. Vector de Poyting Con campos de radiación
2r22
0022
22
rrφ*φθθrad
mwaθsenkZ
rπ32L|I|
aSa)r(Hxa)r(E21S
r
rrrr
=
===
Con los campos totales
2θθrr220
0032
22
θ
220022
22
rφ*φrrφ
*φθθtot
mwajSaS
rk11θcosθsenkZ
rπ16L|I|aj
θsenkZrπ32L|I|aaHxaE
21aHxaE
21S
rrr
rrrrrr
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
+=−=
radtot SSRerr
=
Q=-jI/ω.
Término real Densidad de potencia transportada
Término imaginario Almacenamiento de energía electromagnética
La potencia radiada se puede calcular únicamente con los campos en la zona de radiación
7 Tema 7: Antenas lineales Electrodinámica Algunos parámetros característicos Intensidad de radiación )φ,θ(Φ : como la densidad de potencia media radiada por unidad de ángulo sólido. Diferencial de superficie en esféricas:
Ωdrφdθdθsenrad 22 == ; dΩ diferencial de ángulo sólido
2r rS)φ,θ(Φ =
Para el dipolo de Hertz, la intensidad de radiación es
θsenkZπ32
L|I|)θ(Φ 22002
22=
Potencia total radiada: Para el dipolo de Hertz será
watioskZπ12
L|I|
θsenθdθsenkZπ16
L|I|θsen)θ(ΦθdφdP
200
22
3π
0
2200
22π2
0
π
0
=
=== ∫∫ ∫
donde ( )34θdθ3senθsen3
41θdθsen
π
0
3π
0=−= ∫∫
Resistencia de radiación: resistencia que debería tener un circuito por el que circulara la corriente I para disipar la misma potencia que la potencia radiada por una antena. Dipolo de Hertz
200
22
r2 kZ
π12L|I|R|I|
21
=
Ωλ
πλ
ππ
2
02
2
002
002
rL80L
3Z2kZ
6LR ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
Electrodinámica Tema 7: Antenas lineales 8
Ganancia directiva y Directividad: Antena isótropa: antena que radia igual en todas las direcciones Φ independiente de θ y φ:
π4PΦπ4ΦθsenθdφdΦP isoiso
π2
0
π
0iso =⇒== ∫ ∫
P potencia total radiada. Antena isótropa radiando la misma potencia que el dipolo de Hertz,
2002
22
iso kZπ48
L|I|Φ =
Ganancia directiva g(θ,Φ) de una antena: cociente entre su intensidad de radiación y la intensidad de radiación de una antena isótropa que radiase la misma potencia total que la antena en cuestión
P)φ,θ(Φπ4
Φ)φ,θ(Φ)φ,θ(g
iso==
siendo ∫= Ωd)φ,θ(ΦP la potencia radiada por la antena. Para dipolo de Hertz: θsen5,1)θ(g 2= Directividad D: máxima ganancia directiva. Para el dipolo de Hertz D=1,5 Significado:
El dipolo de Hertz radia en la dirección θ=π/2 1,5 veces más que si colocáramos en su lugar una antena isótropa que radiase, en total, su misma potencia.
9 Tema 7: Antenas lineales Electrodinámica Patrón de radiación de una antena: es el gráfico de sus características de radiación en función de las coordenadas angulares.
Patrón de radiación plano E de un dipolo infinitesimal colocado en el origen con su eje alineado según el eje Z.
Patrón de radiación plano H de un dipolo infinitesimal colocado en el origen con su eje alineado según el eje Z.
campo electromagnético (eléctrico y/o magnético)
intensidad de radiación
patrón de radiación de campo patrón de radiación en potencia
Patrón de radiación de un dipolo infinitesimal colocado en el origen con su eje alineado según el eje Z.
Electrodinámica Tema 7: Antenas lineales 10
El dipolo no infinitesimal
Dipolo no infinitesimal de longitud “L” colocado en el origen y con su eje dirigido según el eje Z.
Integral potencial vector magnético muy complicada
nos centraremos en la zona de radiación Aproximaciones: Para la amplitud R = r Para la fase: za'z'r rr
= , ( ) zyzy a'zzay'rrRazayr rrrrrrrr
−+=−=⇒+=
En la zona lejana r>>z’
θcos'zr'zθcos'zr2r
'z'zz2zy)'zz(y|R|R
22
22222
−≈+−=
=+−+=−+==r
utilizando 1xsinx1)x1( n <<+≈+ .
Z
X
Y
z’
R
r
P(0,y,z)
z-z’
Plano Φ=90º
r2= y2+ z2 z = r cos θ y = r sen θ
dz’
I(z’)
L
11 Tema 7: Antenas lineales Electrodinámica Otra forma de llegar a esta aproximación para la que no es necesario basarse en cuestiones geométricas, es emplear la aproximación general vista en el capítulo anterior para el módulo de R
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−≈ 2r
'r.r1rRrr
θθ cos'zr
r'z.cosr1r
r'z.z1rR 22 −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−≈
Resumiendo
θcos'zrR:fasedetérminoslosPara
rR:amplituddetérminoslosPara
−≈
≈
Potencial vector magnético
'dzr
e)'z(Iπ4
μAL
)θcos'zr(kj0
z0
∫−−
=
Campo electromagnético en la zona de radiación
φz0
θz aθsenAωjZ1H;aθsenAωjE rrrr
==
Consecuencias
• El cociente entre HyErr
es impedancia intrínseca del vacío • H,E
rr y dirección de propagación forman un triedo recto
• El campo radiado no es una onda plana, ya que los frentes de onda no son planos. Sin embargo, a grandes distancias del emisor, podemos considerar el campo radiado como una onda localmente plana
Electrodinámica Tema 7: Antenas lineales 12
Delimitación de la zona lejana
Situación geométrica para un dipolo en la zona de radiación Aproximación de R con tres términos en lugar de dos
r2θsen)'z(θcos'zrR
22+−=
¿A partir de qué distancia, que llamaremos rff, la aproximación habitual es suficientemente “buena”, o sea, no es necesario tener en cuenta el tercer sumando?
Se considera que esa distancia es la que se obtiene cuando el error por no tener en cuenta ese sumando no supere λ/16 en la fase, es decir
º5,22)rad(8π
16λ
λπ2rk 0
00 ===
El valor máximo de ese sumando se produce en z’=L/2 (siendo L la longitud del dipolo) y en θ=90º, es decir
0
2
ff0
ff
2
λL2r
16λ
r2)2/L(
=⇒=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>>>>
>
0
ff
λrLr
rrradiacióndeolejanaZona
θ
z’ cos θ
r
R=r-z’ cos θ P
z
13 Tema 7: Antenas lineales Electrodinámica
Dipolo con corriente uniforme Corriente que alimenta el dipolo Métodos aproximados Primera aproximación: corriente constante
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ≤===
casootroparaI
2/L|'z|,0'y,0'xparaI)'z(IdipoloelenCorriente
0
0
( )θcos2
Lkθcos2
LksenLIe
rπ4μ
θcoskjeeIe
rπ4μ
'dzr
e)'z(Iπ4
μA
0
00
rkj0
0
2/Lkj2/Lkj
0rkj0
2/L
2/L
)θcos'zr(kj0
z
000
0
0
−−
−
−
−−
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −=
== ∫
φz0
θz aθsenAωjZ1H;aθsenAωjE rrrr
==
z
L/2
-L/2 x
θ
P z
I(z’)
L/2
-L/2
I0
Electrodinámica Tema 7: Antenas lineales 14
Patrón de radiación de campo, normalizado
( )θcos2
Lkθcos2
Lksenθsen
(máx)EE)θ(F
0
0
θ
θ ==
Patrón de potencia normalizado es
2|)θ(F|)θ(P = En decibelios
|)(P|log10|)(F|log20|)(P|
|)(F|log20|)(F|
dB
dB
θθθ
θθ
==
=
Antena de lazo infinitesimal
Antena de lazo de radio “a” con corriente I0 El potencial vector magnético es
'dlR
e)'z,'y'.x(Iπ4
μ)z,y,x(Ac
Rkj
00 0
∫−
=r
x
y
Φ
Φ’
θ
Θ
dl’=a dΦ’ z
rr
Rr
P
I0
z
15 Tema 7: Antenas lineales Electrodinámica siendo la corriente
)'z,'y,'x(Ia)'z,'y,'x(Ia)'z,'y,'x(Ia)'z,'y'.x(I zzyyxx0rrr
++=
En coordenadas cilíndricas
zz
φρy
φρx
II
'φcosI'φsenII
'φsenI'φcosII
=
+=
−=
y como el campo se expresa en coordenadas esféricas
φsenaθcosaa
φcosaφsenθcosaφsenθsenaa
φsenaφcosθcosaφcosθsenaa
θrz
φθry
φθrx
rrr
rrrr
rrrr
−=
−+=
−+=
la corriente se puede poner como
[ ]
[ ]
[ ])'φφ(cosI)'φφ(senIa
θsenI)'φφ(senθcosI)'φφ(cosθcosIa
θcosI)'φφ(senθsenI)'φφ(cosθsenIaI
φρφ
zφρθ
zφρr0
−+−−+
−−+−+
++−+−=
r
r
r
La corriente sólo tiene dirección Φ, luego
[ ] [ ] [ ])'φφ(cosIa)'φφ(senθcosIa)'φφ(senθsenIaI φφφθφr0 −+−+−=rrr
Electrodinámica Tema 7: Antenas lineales 16
Por otro lado
[ ] 2122
2222222
)'φφ(cosθsenra2ar|'rr|R
a'y'xrzyx
0'zθcosrz
'φsena'yφsenθsenry
'φcosa'xφcosθsenrx
−−+=−=
=+=++
==
==
==
rr
Componente Φ del potencial vector magnético es
'φdR
e)'φφ(cosIπ4aμA
Rkj
φπ2
0
0φ
0−
−= ∫
Los campos no pueden depender de Φ, para Φ=0
( )
[ ]'φd
'φcosθsenra2ar
e'φcosIπ4aμA
2122
'φcosθsenra2arkjπ2
00
0φ
2122
0
−+=
−+−
∫
Si el lazo es pequeño (a<<λ0), la función siguiente
( )
[ ] 2122
'φcosθsenra2arkj
'φcosθsenra2ar
ef2
1220
−+=
−+−
desarrollo en torno a a=0 como
17 Tema 7: Antenas lineales Electrodinámica
'φcosθsener1
rjk
af;
re)0(f
...aaf
!21a
af)0(ff
rjk2
0
0a
rjk
2
0a2
2
0a
00 −
=
−
==
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎥
⎦
⎤∂∂
=
+⎥⎥⎦
⎤
∂
∂+⎥
⎦
⎤∂∂
+=
nos quedamos con los dos primeros sumandos
rjk2
0 0e'φcosθsenr1
rjka
r1f −
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++≈
rjk
0
02
02
0rjk0
20
rjk2
0π2
00
0φ
00
0
erjk
11r4
θsenIakjr1
rjkeθsenI
4aμ
'φde'φcosθsenr1
rjka
r1'φcosI
π4aμA
−−
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++≈ ∫
resto de las componentes
0'φde'φcosθsenr1
rjka
r1'φsenθcosI
π4aμA
0'φde'φcosθsenr1
rjka
r1'φsenθsenI
π4aμA
rjk2
0π2
00
0θ
rjk2
0π2
00
0r
0
0
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−≈
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++≈
−
−
∫
∫
Campo electromagnético
Electrodinámica Tema 7: Antenas lineales 18
( )( )
0H
erk1
rjk11
r4θsenIakH
erjk
11r2
θcosIakjH
φ
rjk2
00
02
0θ
rjk
02
02
0r
0
0
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
−
−
( )
0HH
erjk
11r4
θsenIakZE
rθ
rjk
0
02
00φ 0
==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= −
Los campos producidos por un dipolo infinitesimal y un lazo infinitesimal son duales. La densidad de potencia radiada por el lazo infinitesimal
( ) ( ) 2*rφθ
*θφrr
*rθ
*θφφtot m
wHEaHEa21aHaHxaE
21S rrrrrr
+−=+=
Integrando a una esfera que contenga el lazo la componente θ de la densidad de potencia se anula y la componente radial del vector de Poynting complejo que es
( )( ) 23
02
220
40
0r mw
rk1j1
r32θsen|I|akZS ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
una vez integrada da la potencia compleja asociada al lazo
( )( )
watiosrk1j1|I|ak
12ZπsdSP 3
0
20
40
0
srr ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+== ∫
r
Su parte real es la potencia radiada por el lazo
19 Tema 7: Antenas lineales Electrodinámica
( ) watios|I|ak12ZπPReP 2
04
00
rrad ==
y la resistencia de radiación es
( ) OhmsλCπ20
λSk
3Zπ2|I|ak
6ZπR
4
0
22
0
0020
40
0r ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛===
S=πa2 : área del lazo, C=2πa: perímetro. Si la antena tiene N vueltas la resistencia de radiación hay que multiplicarla por N2.
Campos en la zona próxima (k0r<<1)
rjk2
002
φ
3
rjk0
2
θ
3
rjk0
2
r
0
0
0
eθsenr4IkajE
θsenr4eIaH
θcosr2eIaH
−
−
−
−≈
≈
≈
Campos en la zona lejana (k0r>>1)
( )
( ) rjk20
00
rjk02
00φ
rjk20
0rjk02
0θ
00
00
erλ
θsenISπZer4
θsenIakZE
erλ
θsenISπer4
θsenIakH
−−
−−
=≈
−=−≈
Electrodinámica Tema 7: Antenas lineales 20
El cociente ente EΦ y Hθ (cambiado de signo) es la impedancia de onda de la onda TEM radiada por el lazo que coincide, además, con la impedancia intrínseca del vacío.
Se puede comprobar cómo, con los campos en la zona de radiación, se obtiene la potencia radiada por la antena.
La intensidad de radiación es
2φ
0
222
0
22200
r2 |E|
Z2rθsen|I|
4ak
2ZSr)θ(Φ =⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
La directividad es
23
PΦπ4D
rad
máx ==
Antena de lazo no infinitesimal
• En este caso las integrales a realizar no se pueden realizar de forma analítica ni siquiera en la zona de radiación.
• Nos restringiremos únicamente a esa zona
yxzyx2 a'ya'x'r;azayaxr;r
'r.r1rR rrrrrrrrr
+=++=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −≈
'cossenar'senasensenr'cosasenr'yy'xx'r.r φθφφθφθ =+=+=rr
elegimos el plano Φ=0.
'cossenarr
'cossenar1rr
'r.r1rR 22 φθφθ
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−≈
rr
21 Tema 7: Antenas lineales Electrodinámica Sustituyendo en la ecuación del potencial vector magnético, se obtiene su componente Φ (las demás son nulas)
'de'cosr4
eaIA 'cossenakj2
0
rkj00 0
0
φφπ
μ φθπ
φ ∫−
=
Esta integral se puede poner en función de la función de Bessel de primera especie de orden 1 J1(k0 a sen θ) (ver referencia de Balanis), resultando
)senak(Jr2eaIjA 01
rkj00 0
θμ
φ
−=
y el campo electromagnético en la zona de radiación
)senak(JrZ2
eIaZE
H
)senak(Jr2eIajE
010
rkj00
0
01
rkj00
0
0
θμω
θμω
φθ
φ
−
−
−=−=
=
La densidad de potencia media-temporal es
( )
20212
0
20
20
r
2
0rrr
mw)senak(J
rZ8|I|)a(a
|E|Z21aSaHxERe
21S
θμω
φ
r
rrrrr
=
====
La intensidad de radiación es
)senak(JZ8
|I|)a(Sr)( 021
0
20
20
r2 θ
μωθΦ ==
Electrodinámica Tema 7: Antenas lineales 22
La potencia radiada es
θθθμωπ
ΩθΦπ
dsen)senak(JrZ
|I|)a(d)(P 021
00
20
20
srad ∫∫ ==
Esta integral no tiene solución analítica y se suele aproximar dependiendo del tamaño del radio del lazo
• ak
1dsen)senak(J2/a0
021
00 ≈⇒≥ ∫ θθθλ
π
por lo tanto
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==⇒=
0
22r
00
20
20
radC60a60R
akZ4|I|)a(P
λππ
μωπ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
0
C682,0Dλ
siendo C=2πa el perímetro del lazo. • 2a6
00 λπ
λ ≤≤ la integral es complicada y necesita de resolución numérica mediante ordenador,
• 2senak)senak(J6a 0
010 θ
θπλ ≈⇒≤ que produce
los campos del dipolo infinitesimal.
23 Tema 7: Antenas lineales Electrodinámica
Dualidad
• Si dos ecuaciones, describiendo distintos fenómenos, tienen la misma forma matemática sus soluciones son idénticas.
• Los fenómenos así se denominan duales y las variables colocadas en posiciones idénticas se llaman duales
• Si se conoce la solución a un fenómeno, intercambiando las variables duales se obtendrá la solución del otro.
Supongamos un medio 1 en el que existe una densidad de corriente eléctrica 1J
r
1111
111
JEjHx
HjEx
rrr
rr
+=∇
−=∇
εω
μω
Supongamos ahora un medio 2 en el que existe una densidad de corriente magnética 2M
r
2222
222
MHjEx
EjHx
rrr
rr
−−=∇
=∇
μω
εω
Electrodinámica Tema 7: Antenas lineales 24
Las ecuaciones duales son
)A(0My0Jrrr
=≠ )F(0My0Jrrr
≠=
111 HjExrr
μω−=∇ 222 EjHxrr
εω=∇
1111 JEjHxrrr
+=∇ εω 2222 MHjExrrr
−+=∇− μω
1121
2 JAkArrr
μ−=+∇ 2222
2 MFkFrrr
ε−=+∇
'dvR
eJ4
ARjk
1'v
1 1−
∫=rr
πμ
'dv
ReM
4F
Rjk2
'v
2 1−
∫=rr
πε
Ax1H1
1rr
∇=μ
Fx1E2
2rr
∇−=ε
( )A.1jAjE11
1rrrr
∇∇−−=εωμ
ω ( )F.1jFjH22
2rrrr
∇∇−−=εωμ
ω
y las cantidades duales
)A(0My0Jrrr
=≠ )F(0My0Jrrr
≠=
1Er
2Hr
1Hr
2Er
− Jr M
r
Ar F
r
ε1 μ2
μ1 ε2
k1 k2
Z1 1/Z2
1/Z1 Z2
25 Tema 7: Antenas lineales Electrodinámica
• Conclusión: si en un medio 1 una fuente eléctrica 1Jr
crea unos campos 11 HyE
rr y en un medio 2 una magnética 2M
r
crea unos campos 22 HyErr
, y hemos resuelto el problema en el medio 1 la solución al problema en el medio 2 (problema dual) es
SoluciónEHHE
12
1212
12
⎪⎩
⎪⎨⎧
↔
−↔⇒
⎭⎬⎫
↔↔
rr
rr
μεεμ
• Dipolo infinitesimal con corriente magnética Im
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
+=
↓
↔
111
r1r11
em
aHHaEaEE
solución
soluciónII
φφ
θθrr
rrr
( )( )
εμεμ
μεεμ
θθ
φφ
↓↓↓↓
↔↔
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=↔
−=−↔
1212
r1r112
1112
yoercambiandint
aEaEEH
aHHErrrr
rrr
Electrodinámica Tema 7: Antenas lineales 26
• Campos correspondientes a un dipolo infinitesimal con
corriente magnética Im
rkjm0 erkj
11senr4
LIkjE −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−= θ
πφ
rkj
00
mr 0e
rkj11
rcos
rZ2LIH −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
θπ
rkj
2200
00
m 0erk
1rkj
11senkjrZ4
LIH −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+= θ
πθ
Campos iguales a los del dipolo infinitesimal si
00m ISjLI μω= donde S es el área del lazo.
Elementos lineales sobre planos conductores
• Dependiendo de la frecuencia, las ondas electromagnéticas se propagan por el aire de distinta manera.
• Señales de extremadamente baja frecuencia (ELF) Propagación por reflexión en la ionosfera comunicación con submarinos
• Las señales de hasta unos pocos megahercios se propagan de forma similar a una onda superficial
onda media (AM) de las cadenas de radio • Las señales entre unos pocos megahercios hasta
aproximadamente 30 MHz, Comunicaciones a gran distancia (miles de kilómetros) onda corta
27 Tema 7: Antenas lineales Electrodinámica
Dipolo eléctrico vertical sobre un plano conductor eléctrico perfecto
Θ1
Θ2
Er2 Er1
d Plano conductor
h
h
Eléctrico Eléctrico Magnético Magnético
Conductor eléctrico perfecto
h
h
Eléctrico Eléctrico Magnético Magnético
Conductor magnético perfecto
Campo eléctrico nulo sobre el plano
Electrodinámica Tema 7: Antenas lineales 28
La componente θ del campo eléctrico en el punto P
10 rkj1
1
00
d esenr4
LIZkjE −= θπθ
20 rkj2
2
00
r esenr4
LIZkjE −= θπθ
donde
[ ]
[ ] 2/1222
2/1221
)(coshr2hrr
coshr2hrr
θπ
θ
−−+=
−+=
h
h
r1
r2
r
θ1
Θ2
θ
Ψ
P(r,θ,Φ) Z
X
Y
Φ
Dipolo infinitesimal colocado perpendicularmente sobre un plano conductor eléctrico perfecto (plano XY)
29 Tema 7: Antenas lineales Electrodinámica
amplitudlapararrr
faselaparacoshrr
coshrr
21
2
1
≈≈
⎪⎭
⎪⎬
⎫
+≈
−≈
θ
θ
[ ]
[ ] 0zpara)coshk(cos2senr4
LIZkj
eesenr4
LIZkjE
2
00
)coshr(kj)coshr(kj
2
00
00
≥=
=+= +−−−
θθπ
θπ
θθθ
La potencia radiada es
h
h
r1
r2
r
θ
Ψ
P(r,θ,Φ)
Z
X
Y
Zona de radiación
Φ
Electrodinámica Tema 7: Antenas lineales 30
( )( )
( )( ) ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+−=
=== ∫ ∫
30
02
0
02
00
22
s
2/
00rrad
hk2hk2sen
hk2hk2cos
31LIZ
dsenr|E|Z
dsSP
λπ
θθπ π
θ
• k0h tiende a infinito la potencia radiada coincide con la del
dipolo aislado. • Si k0h tiende a cero la potencia radiada es el doble de la
radiada por el dipolo aislado La intensidad de radiación es
( )hk2cossenLI2
ZSr)( 022
2
0
0r
2 θλ
θΦ ==
Valor máximo en θ=π/2 (4 veces la del dipolo aislado)
2
0
0max
LI2
Z)2/(λ
πθΦ ==
La directividad es
( )( )
( )( ) ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+−
=
30
02
0
0hk2
hk2senhk2
hk2cos31
2D
• Para k0h=2,881 (h=0,4585λ0) D=6,566 (4 veces la del
dipolo aislado.) • Para k0h=0 D=3 (doble que la del dipolo aislado)
31 Tema 7: Antenas lineales Electrodinámica La resistencia de radiación es
( )( )
( )( ) ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+−= 3
0
02
0
02
00rad hk2
hk2senhk2
hk2cos31LZ2R
λπ
Dipolo eléctrico infinitesimal colocado paralelamente a un plano conductor eléctrico perfecto (zona de radiación)
20
10
rkj
2
00
r
rkj
1
00
d
esenr4
LIZkjE
esenr4
LIZkjE
−
−
−=
=
Ψπ
Ψπ
Ψ
Ψ
coordenada Ψ es el ángulo que forma el eje del dipolo con el eje Z
( ) 2122
ry sensen1sensensena.acos φθΨφθΨ −=⇒==rr
h
h
r1
r2
r
θ
Ψ
P(r,θ,Φ)
Z
X
Y
Dipolo infinitesimal colocado paralelamente sobre un plano conductor eléctrico perfecto (plano XY)
Φ
Electrodinámica Tema 7: Antenas lineales 32
Aproximaciones comunes para los términos r1 y r2
( )[ ]θφθ
πΨΨΨ
coshksenj2sensen1e
r4LIZkjEEE
022rkj
1
00
rd
10 −
=+=
−
esta ecuación da el campo eléctrico en la zona de radiación expresado como componente Ψ, que no es ninguna de la del sistema de coordenadas esféricas mostrado. Referencias [1] Stutzman, W. & Thiele, G.: "Antenna theory and design",
John Wiley & Sons, 1981. [2] Collin, R.E.: "Antennas and Radiowave Propagation",
McGrawHill, 1985. [3] Paul, C. & Nasar, S.: "Introduction to electromagnetic
fields", McGraw-Hill, 1988. [4] Iskander, M.F.: "Electromagnetic Field and Waves",
Prentice Hall, 1992. [5] Balanis, C.A.: “Antenna Theory: Analysis and Design”,
McGraw Hill, 1982.