Teor´ıas de calibre supersim´etricas N = 2 no(anti)conmutativas · 2006. 12. 13. ·...

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Teorıas de calibre supersimetricas N = 2no(anti)conmutativas

Alexandra De Castro

Universidad Simon Bolivar

FAE06,Universidad Central de Venezuela, 2006

Colaboradores: I. Buchbinder (TPI), S. Ferrara (CERN), E. Ivanov (JINR-Dubna), O. Lechtenfeld (ITP-UH), L.

Quevedo (USB) e I. Samsonov (TPU).

Contenido

1 Generalidades en N = 2 no(anti)conmutativo

2 Superespacio armonico N = 2

3 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado

4 Resultados

Generalidades Superespacio armonico N = 2 Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado Resultados

Teorıas de campo no(anti)conmutativas

Quantum field theories

f?g=fg+~P (f,g)+O(~)2→[xA,xB ]?=i~θAB

(θiα,θi

α) ///o/o/o/o/o/o/o/o/o Supersymmetric QFTs

Φ?Ψ=ΦΨ+CPs(Φ,Ψ)+O(C)2→θαi ,θβ

j ?=Cαβij

Noncommutative QFT Non(anti)commutative QFT

A. De Castro USB

Teorıas de calibre supersimetricas N = 2 no(anti)conmutativas

Producto deformado entre supercampos N = 2

Se Introduce el producto de Moyal A ? B = AeP B [Ferrara, Lledo, Macia;Klemm, Penati, Tamassia; Seiberg, all 2003], construyendo P utilizando losoperadores diferenciales naturales supersimetricos: las derivadas covariantes olas cargas supersimetricas

PD = −

←−D i

αCαβij

−→D j

β=⇒D-deformations,or

PQ = −←−Q i

αCαβij

−→Q j

β=⇒Q-deformations

A. De Castro USB

Producto deformado entre supercampos N = 2

Se Introduce el producto de Moyal A ? B = AeP B [Ferrara, Lledo, Macia;Klemm, Penati, Tamassia; Seiberg, all 2003], construyendo P utilizando losoperadores diferenciales naturales supersimetricos: las derivadas covariantes olas cargas supersimetricas

PD = −

←−D i

αCαβij

−→D j

β=⇒D-deformations,or

PQ = −←−Q i

αCαβij

−→Q j

β=⇒Q-deformations

A. De Castro USB

El producto de Moyal debe ser asociativo

Pαβij quiral

θαi, θβj = Cαβij y θαi, θβj = 0 // Signatura Euclideana

Una condicion de realidad admisible: (θαi )∗ = θi

α ≡ Ωijθβj Ωαβ y

(θαi)∗ = θαi ≡ θβjΩβαεji con ΩAB = iεAB (Condicion de Majoranasimplectica)

A. De Castro USB

El producto de Moyal debe ser asociativo

Pαβij quiral

θαi, θβj = Cαβij y θαi, θβj = 0 // Signatura Euclideana

Una condicion de realidad admisible: (θαi )∗ = θi

α ≡ Ωijθβj Ωαβ y

(θαi)∗ = θαi ≡ θβjΩβαεji con ΩAB = iεAB (Condicion de Majoranasimplectica)

A. De Castro USB

Propiedades de las estructuras de Poisson PD y PQ

Son quirales,P 5 = 0 =⇒ el producto de Moyal es finito,En coordenadas quirales solo se afecta el sector de Graßmann =⇒Localidad y causalidad,PD preserva supersimetrıa pero no la quiralidad en los supercampos[Di

α, PD] 6= 0,

PQ preserva quiralidad en los supercampos[Di

β , PQ

]= 0, pero rompe la

supersimetria[Qi

α , PQ

]6= 0 ;

Cαβi j = Cβα

j i es constante,

Un tensor Cαβij generico rompe la simetrıa-R ası como las simetrıas del

superespacio

A. De Castro USB

Son quirales,

P 5 = 0 =⇒ el producto de Moyal es finito,En coordenadas quirales solo se afecta el sector de Graßmann =⇒Localidad y causalidad,PD preserva supersimetrıa pero no la quiralidad en los supercampos[Di

α, PD] 6= 0,

β , PQ

]= 0, pero rompe la

supersimetria[Qi

α , PQ

]6= 0 ;

Cαβi j = Cβα

j i es constante,

superespacio

A. De Castro USB

Son quirales,P 5 = 0 =⇒ el producto de Moyal es finito,

En coordenadas quirales solo se afecta el sector de Graßmann =⇒Localidad y causalidad,PD preserva supersimetrıa pero no la quiralidad en los supercampos[Di

α, PD] 6= 0,

β , PQ

]= 0, pero rompe la

supersimetria[Qi

α , PQ

]6= 0 ;

Cαβi j = Cβα

j i es constante,

superespacio

A. De Castro USB

Son quirales,P 5 = 0 =⇒ el producto de Moyal es finito,En coordenadas quirales solo se afecta el sector de Graßmann =⇒Localidad y causalidad,

PD preserva supersimetrıa pero no la quiralidad en los supercampos[Di

α, PD] 6= 0,

β , PQ

]= 0, pero rompe la

supersimetria[Qi

α , PQ

]6= 0 ;

Cαβi j = Cβα

j i es constante,

superespacio

A. De Castro USB

α, PD] 6= 0,

β , PQ

]= 0, pero rompe la

supersimetria[Qi

α , PQ

]6= 0 ;

Cαβi j = Cβα

j i es constante,

superespacio

A. De Castro USB

α, PD] 6= 0,

β , PQ

]= 0, pero rompe la

supersimetria[Qi

α , PQ

]6= 0 ;

Cαβi j = Cβα

j i es constante,

superespacio

A. De Castro USB

α, PD] 6= 0,

β , PQ

]= 0, pero rompe la

supersimetria[Qi

α , PQ

]6= 0 ;

Cαβi j = Cβα

j i es constante,

superespacio

A. De Castro USB

α, PD] 6= 0,

β , PQ

]= 0, pero rompe la

supersimetria[Qi

α , PQ

]6= 0 ;

Cαβi j = Cβα

j i es constante,

superespacio

A. De Castro USB

Ruptura de N = 2 bajo la deformacion con PQ

El grupo original: N = (1, 1) sobre SU(2)L × SU(2)R × SU(2)×O(1, 1), cuyosgeneradores son:

Qkα = ∂k

α, Qαk = ∂αk − 2iθαk ∂αα, Pαα = ∂αα

Supertranslaciones

Lαβ = −1

2xL (αα∂

αβ) + θ(αk∂

kβ) ∈ SU(2)L

Rαβ =1

α(αL ∂β)

α + θ(αk∂

β)k ∈ SU(2)R

Rotaciones Euclideanas

Tij = −θα(i∂αj) + θα

(i∂αj) ∈ SU(2)

O = θαk ∂

kα − θαk∂αk ∈ O(1, 1)

Simetrıa R

A. De Castro USB

El grupo original: N = (1, 1) sobre SU(2)L × SU(2)R × SU(2)×O(1, 1), cuyosgeneradores son:

Qkα = ∂k

α, Qαk = ∂αk − 2iθαk ∂αα, Pαα = ∂αα

Supertranslaciones

Lαβ = −1

2xL (αα∂

αβ) + θ(αk∂

kβ) ∈ SU(2)L

Rαβ =1

α(αL ∂β)

α + θ(αk∂

β)k ∈ SU(2)R

Rotaciones Euclideanas

Tij = −θα(i∂αj) + θα

(i∂αj) ∈ SU(2)

O = θαk ∂

kα − θαk∂αk ∈ O(1, 1)

Simetrıa R

A. De Castro USB

Dada una simetrıaδεA = εaGaA

Puede ocurrir que

A[εaGa, PQ]B 6= 0⇒ Moyal rompe la simetrıa generada por Ga

En general, PQ no conmuta con los generadores O, Lαβ , Tij , Qαk

Spin(4)×O(1, 1)× SU(2)→ SU(2)R

N = (1, 1)→ N = (1, 0)

A. De Castro USB

La estructura Poissoniana se puede descomponer en

P = −←−Q i

αC(αβ)(i j)

−→Q j

β −←−Q i

αεαβεi jI

−→Q j

‘deformaciones singlet’

‘deformaciones no singlet’

Cαβij

// SU(2)R N = (1, 0)

Cαβij Iεαβεij Spin(4)× SU(2) N = (1, 0)

bijcαβ SU(2)R × U(1)L × U(1) N = (1, 0), (1, 1

A. De Castro USB

P = −←−Q i

αC(αβ)(i j)

−→Q j

β −←−Q i

αεαβεi jI

−→Q j

Cαβij

##GGGGGGGGGSU(2)R N = (1, 0)

Cαβij Iεαβεij

// Spin(4)× SU(2) N = (1, 0)

bijcαβ SU(2)R × U(1)L × U(1) N = (1, 0), (1, 1

A. De Castro USB

P = −←−Q i

αC(αβ)(i j)

−→Q j

β −←−Q i

αεαβεi jI

−→Q j

Cαβij

Iεαβεij// Spin(4)× SU(2) N = (1, 0)

bijcαβ // SU(2)R × U(1)L × U(1) N = (1, 0), (1, 1

A. De Castro USB

P = −←−Q i

αC(αβ)(i j)

−→Q j

β −←−Q i

αεαβεi jI

−→Q j

Cαβij

Iεαβεij// Spin(4)× SU(2) N = (1, 0)

bijcαβ // SU(2)R × U(1)L × U(1) N = (1, 0), (1, 1

A. De Castro USB

N = 2 superespacio armonico en d=4

Ventajas que ofrece usar el Superespacio armonico

En el superespacio es imposible construir acciones off-shellpara algunos mutipletes masivos N = 2 y N = 3, mientras queen el superespacio armonico si es posible.

Se obtienen estructuras interesantes.

Recordemos al superespacio N = 2

R4|8 =

N = 2SuperpoincareSO(4)× SU(2)

=⇒ (xαα, θαi , θiα)

A. De Castro USB

R4|8 =

A. De Castro USB

R4|8 =

A. De Castro USB

R4|8 =

A. De Castro USB

R4|8 =

A. De Castro USB

R4|8 =

A. De Castro USB

Definicion del superespacio armonico

HR4+2|8 =

N = 2SuperpoincareSO(4)× U(1)

= R4|8 × SU(2)

Vemos de inmediato que la topologıa de este espacio es R4|8 × S2, usualmentese parametriza con

(xαα, θαi , θiα, u

+i , u

−j )︸︷︷︸

las nuevas coordenadas satisfacen las condiciones

−j − u

−i = εij y u−i = (u+i)∗

Podemos reparametrizarlas, por ejemplo, con los angulos de Euler como(u+

1 u−1u+

2 u−2

(cos( θ

2 )ei(φ+χ)

2 i sin( θ2 )e

i(φ−χ)2

i sin( θ2 )e−

i(φ−χ)2 cos( θ

2 )e−i(φ+χ)

A. De Castro USB

HR4+2|8 =

= R4|8 × SU(2)

Vemos de inmediato que la topologıa de este espacio es R4|8 × S2,

usualmentese parametriza con

+i , u

−j )︸︷︷︸

−j − u

−i = εij y u−i = (u+i)∗

1 u−1u+

2 u−2

(cos( θ

2 )ei(φ+χ)

2 i sin( θ2 )e

i(φ−χ)2

i sin( θ2 )e−

i(φ−χ)2 cos( θ

2 )e−i(φ+χ)

A. De Castro USB

HR4+2|8 =

= R4|8 × SU(2)

+i , u

−j )︸︷︷︸

−j − u

−i = εij y u−i = (u+i)∗

1 u−1u+

2 u−2

(cos( θ

2 )ei(φ+χ)

2 i sin( θ2 )e

i(φ−χ)2

i sin( θ2 )e−

i(φ−χ)2 cos( θ

2 )e−i(φ+χ)

A. De Castro USB

HR4+2|8 =

= R4|8 × SU(2)

+i , u

−j )

︸︷︷︸SU(2)

−j − u

−i = εij y u−i = (u+i)∗

1 u−1u+

2 u−2

(cos( θ

2 )ei(φ+χ)

2 i sin( θ2 )e

i(φ−χ)2

i sin( θ2 )e−

i(φ−χ)2 cos( θ

2 )e−i(φ+χ)

A. De Castro USB

HR4+2|8 =

= R4|8 × SU(2)

+i , u

−j )︸︷︷︸

−j − u

−i = εij y u−i = (u+i)∗

1 u−1u+

2 u−2

(cos( θ

2 )ei(φ+χ)

2 i sin( θ2 )e

i(φ−χ)2

i sin( θ2 )e−

i(φ−χ)2 cos( θ

2 )e−i(φ+χ)

A. De Castro USB

HR4+2|8 =

= R4|8 × SU(2)

+i , u

−j )︸︷︷︸

−j − u

−i = εij y u−i = (u+i)∗

1 u−1u+

2 u−2

(cos( θ

2 )ei(φ+χ)

2 i sin( θ2 )e

i(φ−χ)2

i sin( θ2 )e−

i(φ−χ)2 cos( θ

2 )e−i(φ+χ)

A. De Castro USB

HR4+2|8 =

= R4|8 × SU(2)

+i , u

−j )︸︷︷︸

−j − u

−i = εij y u−i = (u+i)∗

1 u−1u+

2 u−2

(cos( θ

2 )ei(φ+χ)

2 i sin( θ2 )e

i(φ−χ)2

i sin( θ2 )e−

i(φ−χ)2 cos( θ

2 )e−i(φ+χ)

A. De Castro USB

El producto simetrico de las u±i forman una base completa de funciones sobreS2,

u+(i1. . . u+

inu−j1

. . . u−jm),

que no son mas que los armonicos esfericos con peso de espın

u−(iu−j) =

u−1 u

−1 = −

√4π3 1Y

u−1 u−2 = −i

√8π3 1Y

u−2 u−2 = −

√4π3 1Y

Una funcion armonica f (q)(u) de carga U(1) q = ±n se define por suexpansion

f (q)(u) =∞∑

f (i1i2... ik+qj1j2... jk)u+(i1. . . u+

ik+qu−j1

. . . u−jk)

sF =∑l∈N

∑|m|≤l

sFlm sYlm s = −l · · · l q ⇐⇒ −2s

A. De Castro USB

u+(i1. . . u+

inu−j1

. . . u−jm),

u−(iu−j) =

u−1 u

−1 = −

√4π3 1Y

u−1 u−2 = −i

√8π3 1Y

u−2 u−2 = −

√4π3 1Y

f (q)(u) =∞∑

f (i1i2... ik+qj1j2... jk)u+(i1. . . u+

ik+qu−j1

. . . u−jk)

sF =∑l∈N

∑|m|≤l

sFlm sYlm s = −l · · · l q ⇐⇒ −2s

A. De Castro USB

u+(i1. . . u+

inu−j1

. . . u−jm),

u−(iu−j) =

u−1 u

−1 = −

√4π3 1Y

u−1 u−2 = −i

√8π3 1Y

u−2 u−2 = −

√4π3 1Y

f (q)(u) =∞∑

f (i1i2... ik+qj1j2... jk)u+(i1. . . u+

ik+qu−j1

. . . u−jk)

sF =∑l∈N

∑|m|≤l

sFlm sYlm s = −l · · · l q ⇐⇒ −2s

A. De Castro USB

Tambien podemos usar los nuevos parametros para proyectar tensores de SU(2)en el superespacio armonico

V i u+i = V + or V i u−i = V − or T i j u+

i u−j = T+−,

Las variables de Graßmann se escriben

θiα u+i = θ+α, θi

α u+i = θ+

α or θiα u−i = θ−α, θiα u

−i = θ−α .

Podemos derivar e integrar. Las derivadas covariantes en el superespacioarmonico estan dadas por

D0A = ∂0 + θ+α∂+α − θ+α∂+α + θ+α∂+α − θ−α∂−α,

D++A = ∂++ − 2iθ+αθ+α∂αα + θ+α∂−α + θ+α∂−α,

D−−A = ∂−− − 2iθ−αθ−α∂αα + θ−α∂+α + θ−α∂+α ,

donde∂0 = u+i ∂

∂ u+i− u−i ∂

∂ u−iand ∂±± = u±i ∂

∂ u∓i.

A. De Castro USB

i u−j = T+−,

α u+i = θ+

−i = θ−α .

D0A = ∂0 + θ+α∂+α − θ+α∂+α + θ+α∂+α − θ−α∂−α,

donde∂0 = u+i ∂

∂ u+i− u−i ∂

∂ u−iand ∂±± = u±i ∂

∂ u∓i.

A. De Castro USB

i u−j = T+−,

α u+i = θ+

−i = θ−α .

D0A = ∂0 + θ+α∂+α − θ+α∂+α + θ+α∂+α − θ−α∂−α,

donde∂0 = u+i ∂

∂ u+i− u−i ∂

∂ u−iand ∂±± = u±i ∂

∂ u∓i.

A. De Castro USB

i u−j = T+−,

α u+i = θ+

−i = θ−α .

D0A = ∂0 + θ+α∂+α − θ+α∂+α + θ+α∂+α − θ−α∂−α,

donde∂0 = u+i ∂

∂ u+i− u−i ∂

∂ u−iand ∂±± = u±i ∂

∂ u∓i.

A. De Castro USB

Multiplete vectorial N = (1, 1) Q-deformado

Un supercampo armonico, por ejemplo quiral D+αΦ(q) = D+

αΦ(q) = 0 es

Φ(q) =φ(q)(xA, u) + θ+ψ(q−1)(xA, u) + θ+χ(q−1)(xA, u) . . .

Para construir el multiplete vectorial N = (1, 1) en el superespacio armonicoconsideramos el hipermultiplete libre F.S.

D(iαq

j) = D(iαq

j) = 0 =⇒ qj = f j + θjαψα + θjακ

α + der

⇓ proyectado al superespacio armonico

D+α q

+ = D+α q

+ = 0 =⇒ q+ = f ju+j + θ+αψα + θ+

α κα + der

A. De Castro USB

αΦ(q) = 0 es

D(iαq

j) = D(iαq

α + der

D+α q

+ = D+α q

+ = 0 =⇒ q+ = f ju+j + θ+αψα + θ+

α κα + der

A. De Castro USB

αΦ(q) = 0 es

D(iαq

j) = D(iαq

α + der

D+α q

+ = D+α q

+ = 0 =⇒ q+ = f ju+j + θ+αψα + θ+

α κα + der

A. De Castro USB

La accion para el hipermultiplete libre es

∫dξ q+D++ q+

siendo q+ ∈ G. Ahora, escogemos G local, entonces

D++ −→ D++ + [V ++, ]

δV ++ = D++Λ + [Λ, V ++].

Propiedades de V ++

1 D++V ++ = 0.2 Es posible fijar un calibre tipo Wess-Zumino → multiplete vectorial N = 2

V ++WZ =(θ+)2φ + (θ+)2φ+ 2θ+αθ+αAαα

+ 4(θ+)2θ+αΨ−α + 4(θ+)2θ+

α Ψ−α + 3(θ+)2(θ+)2D−−.

A. De Castro USB

La accion para el hipermultiplete libre es

∫dξ q+D++ q+

siendo q+ ∈ G. Ahora, escogemos G local, entonces

D++ −→ D++ + [V ++, ]

δV ++ = D++Λ + [Λ, V ++].

Propiedades de V ++

1 D++V ++ = 0.2 Es posible fijar un calibre tipo Wess-Zumino → multiplete vectorial N = 2

V ++WZ =(θ+)2φ + (θ+)2φ+ 2θ+αθ+αAαα

+ 4(θ+)2θ+αΨ−α + 4(θ+)2θ+

α Ψ−α + 3(θ+)2(θ+)2D−−.

A. De Castro USB

Que nos gustarıa estudiar

Queremos investigar la dinamica off-shell de las teorias N = (1, 1)Q-deformadas

1 Transformaciones de calibre y el mapa de Seiberg-Witten√

2 Las acciones off-shell N = (1, 0) and N = (1, 1/2)√

3 Transformaciones supersimetricas√

4 Caso no-Abeliano5 Renormalizabilidad

6 Posible interpretacion en teorıa de cuerdas7 Instantones

A. De Castro USB

Que nos gustarıa estudiarQueremos investigar la dinamica off-shell de las teorias N = (1, 1)Q-deformadas

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4 Caso no-Abeliano

5 Renormalizabilidad√

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6 Posible interpretacion en teorıa de cuerdas

7 Instantones

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Transformaciones de calibre y el mapa deSeiberg-Witten

El argumento:

YM y NCYM surgen ambos de la misma teorıa de campos bi-dimensional si selas regulariza de maneras diferentes.

La conjetura:

Debe existir un mapa entre YM y NCYM a nivel de las teorıas de campo queme relacione la invariancia de calibre en YM con la correspondiente en lateorıa NCYM.

A. De Castro USB

El argumento:

La conjetura:

A. De Castro USB

El argumento:

La conjetura:

A. De Castro USB

Sin embargo, el mapa no es entre los grupos de calibre, sino entre los camposy los parametros de forma tal que la relacion de equivalencia entre ellos sepreserve.

ATC−−−−→ A′

TC−−−−→ A′

A = A(A, λ, otros campos); λ = λ(A, λ, otros campos)

¡Hay mas de un grupo generando las mismas clases de equivalencia!

A. De Castro USB

Sin embargo, el mapa no es entre los grupos de calibre, sino entre los camposy los parametros de forma tal que la relacion de equivalencia entre ellos sepreserve.

ATC−−−−→ A′

TC−−−−→ A′

A = A(A, λ, otros campos); λ = λ(A, λ, otros campos)

¡Hay mas de un grupo generando las mismas clases de equivalencia!

A. De Castro USB

Transformaciones de calibre y el mapa deSeiberg-Witten en N = (1, 1) Q-deformado

Las transformaciones de calibre estan gobernadas por la ecuacion

δΛV++WZ = D++Λ + [V ++

WZ ,Λ]?,

Observar que la transformacion de calibre ya no es mas Abeliana!

Para el caso singlet se obtiene (S. Ferrara, et.al. (hep-th/0405049))

δ φ =0, δΨkα = 0, δDij = 0 δ Aαα = (1 + 4Iφ)∂ααλ ,

δ φ =− 8IAαα∂ααλ , δΨiα = −4IΨiα∂ααλ ,

En el caso no-singlet el parametro “no deformado” Λ, viola el calibre deWZ, por lo tanto

Λc(x, θ, θ, u, b, c) = Λ(x, θ, θ, u) + ∆Λ(x, θ, θ, u, b, c)

A. De Castro USB

δΛV++WZ = D++Λ + [V ++

WZ ,Λ]?,

Observar que la transformacion de calibre ya no es mas Abeliana!

Para el caso singlet se obtiene (S. Ferrara, et.al. (hep-th/0405049))

A. De Castro USB

δΛV++WZ = D++Λ + [V ++

WZ ,Λ]?,

Observar que la transformacion de calibre ya no es mas Abeliana!Para el caso singlet se obtiene (S. Ferrara, et.al. (hep-th/0405049))

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δΛV++WZ = D++Λ + [V ++

WZ ,Λ]?,

Observar que la transformacion de calibre ya no es mas Abeliana!Para el caso singlet se obtiene (S. Ferrara, et.al. (hep-th/0405049))

A. De Castro USB

Los resultados finales para el caso no-singlet son (ADC, E. Ivanov, O.Lechtenfeld and L. Quevedo (hep-th/0512275))

δ φ =0, δΨkα = 0, δ Aαα = X cothX∂ααλ ,

δ φ =2√c2 b2

„1−X cothX

«Aαα∂ααλ , δDij = 2ibijc

αβ∂ααφ ∂αβ λ ,

δΨiα =

(»4X2(X cothX − 1)

X2 + sinh2 X −X sinh 2X

–bijcαβ

−√c2b2

»4X cosh2 X − 2X2(cothX +X)− sinh 2X

–εijεαβ

)Ψjα ∂

βαλ ,

dondeX = 2φ

√b2 c2

¡Funciones hiperbolicas que dependen de φ, bij y cαβ!

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δ φ =2√c2 b2

„1−X cothX

δΨiα =

(»4X2(X cothX − 1)

–bijcαβ

−√c2b2

–εijεαβ

)Ψjα ∂

βαλ ,

dondeX = 2φ

√b2 c2

A. De Castro USB

δ φ =2√c2 b2

„1−X cothX

δΨiα =

(»4X2(X cothX − 1)

–bijcαβ

−√c2b2

–εijεαβ

)Ψjα ∂

βαλ ,

dondeX = 2φ

√b2 c2

A. De Castro USB

Encontramos el mapa de Seiberg-Witten

Singlet

Aαα = eAαα (1 + 4Iφ) ,

φ = eφ− 4I eA2 (1 + 4Iφ),

Ψiα =eΨi

α − 4IΨiα eAαα ,

No-singlet

Aαα = eAαα X cothX ,

φ = eφ+ eA2√c2 b2 X cothX

„1−X cothX

Ψiα =eΨi

α + 2√c2b2

„cothX − 1

«−X

–Ψiα eAαα ,

Dij = eDij + 2ibijcαβ∂ααφ eAα

δ eAαα = ∂ααλ, δ(the rest) = 0, Transformaciones de calibre U(1)

A. De Castro USB

Encontramos el mapa de Seiberg-Witten

Singlet

Aαα = eAαα (1 + 4Iφ) ,

φ = eφ− 4I eA2 (1 + 4Iφ),

Ψiα =eΨi

α − 4IΨiα eAαα ,

No-singlet

Aαα = eAαα X cothX ,

φ = eφ+ eA2√c2 b2 X cothX

„1−X cothX

Ψiα =eΨi

α + 2√c2b2

„cothX − 1

«−X

–Ψiα eAαα ,

Dij = eDij + 2ibijcαβ∂ααφ eAα

δ eAαα = ∂ααλ, δ(the rest) = 0, Transformaciones de calibre U(1)

A. De Castro USB

Las acciones Q-deformadas

∫d4xL d

4θ duW ?W =1

∫d4x d4θ duW2,

whereD++W +

WZ , W]?

La accion N = (1, 0) singlet en componentes es (S. Ferrara, et.al.(hep-th/0405049))

∫d4x (1 + 4Iφ)2

2ϕφ+

4dijdij −

16fαβfαβ + iψα

k ∂ααψαk

Es una teorıa de interaccion,Preserva las simetrıas SU(2)L × SU(2)R × SU(2),Preserva la mitad de las supersimetrıas N = (1, 1) −→ N = (1, 0),Es renormalizable (I. Samsonov, et. al. hep-th/0511234)

A. De Castro USB

∫d4xL d

4θ duW ?W =1

∫d4x d4θ duW2,

whereD++W +

WZ , W]?

∫d4x (1 + 4Iφ)2

2ϕφ+

4dijdij −

k ∂ααψαk

A. De Castro USB

∫d4xL d

4θ duW ?W =1

∫d4x d4θ duW2,

whereD++W +

WZ , W]?

∫d4x (1 + 4Iφ)2

2ϕφ+

4dijdij −

k ∂ααψαk

A. De Castro USB

∫d4xL d

4θ duW ?W =1

∫d4x d4θ duW2,

whereD++W +

WZ , W]?

∫d4x (1 + 4Iφ)2

2ϕφ+

4dijdij −

k ∂ααψαk

A. De Castro USB

∫d4xL d

4θ duW ?W =1

∫d4x d4θ duW2,

whereD++W +

WZ , W]?

∫d4x (1 + 4Iφ)2

2ϕφ+

4dijdij −

k ∂ααψαk

Es una teorıa de interaccion,

Preserva las simetrıas SU(2)L × SU(2)R × SU(2),Preserva la mitad de las supersimetrıas N = (1, 1) −→ N = (1, 0),Es renormalizable (I. Samsonov, et. al. hep-th/0511234)

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∫d4xL d

4θ duW ?W =1

∫d4x d4θ duW2,

whereD++W +

WZ , W]?

∫d4x (1 + 4Iφ)2

2ϕφ+

4dijdij −

k ∂ααψαk

Es una teorıa de interaccion,Preserva las simetrıas SU(2)L × SU(2)R × SU(2),

Preserva la mitad de las supersimetrıas N = (1, 1) −→ N = (1, 0),Es renormalizable (I. Samsonov, et. al. hep-th/0511234)

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∫d4xL d

4θ duW ?W =1

∫d4x d4θ duW2,

whereD++W +

WZ , W]?

∫d4x (1 + 4Iφ)2

2ϕφ+

4dijdij −

k ∂ααψαk

Es una teorıa de interaccion,Preserva las simetrıas SU(2)L × SU(2)R × SU(2),Preserva la mitad de las supersimetrıas N = (1, 1) −→ N = (1, 0),

Es renormalizable (I. Samsonov, et. al. hep-th/0511234)

A. De Castro USB

∫d4xL d

4θ duW ?W =1

∫d4x d4θ duW2,

whereD++W +

WZ , W]?

∫d4x (1 + 4Iφ)2

2ϕφ+

4dijdij −

k ∂ααψαk

A. De Castro USB

El sector bosonico de la accion N = (1, 0) no-singlet (ADC, E. Ivanov, O.Lechtenfeld and L. Quevedo (hep-th/0512275))

Sbos =

∫d4x cosh2X

2ϕφ+

4dijdij −

16FαβFαβ

donde X = 2φ√b2c2.

1 Aparece una interaccion no trivial entre los campos φ y Aαα

2 Tiene la misma forma que el Lagrangiano singlet F (X)L0

3 F (X) es una funcion hiperbolica, caracterıstica comun de todos nuestrosresultados

4 No le aparecen vınculos de segunda clase5 Preserva la mitad de las supersimetrıas N = (1, 0)

6 Preserva S(2)R × U(1)L × U(1)

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Sbos =

∫d4x cosh2X

2ϕφ+

4dijdij −

16FαβFαβ

A. De Castro USB

Sbos =

∫d4x cosh2X

2ϕφ+

4dijdij −

16FαβFαβ

A. De Castro USB

Sbos =

∫d4x cosh2X

2ϕφ+

4dijdij −

16FαβFαβ

A. De Castro USB

Sbos =

∫d4x cosh2X

2ϕφ+

4dijdij −

16FαβFαβ

4 No le aparecen vınculos de segunda clase

5 Preserva la mitad de las supersimetrıas N = (1, 0)

A. De Castro USB

Sbos =

∫d4x cosh2X

2ϕφ+

4dijdij −

16FαβFαβ

A. De Castro USB

Sbos =

∫d4x cosh2X

2ϕφ+

4dijdij −

16FαβFαβ

A. De Castro USB

Acciones supersimetricas N = (1, 1/2) y N = (1, 0): dos casos particulares enlos parametros de la deformacion (ADC and L. Quevedo (hep-th/0605187))

1. b2 = 0

h− 1

2φφ− 1

16FαβFαβ +

4d2 + iψkα∂ααΨα

k − 4ibijcαβΨiβ∂ααφΨjα

+ cαβFαβbijΨiαΨjα − 4 c2(bijΨ

iαΨjα)2

La interaccion entre φ y Aαα desaparece

Aparece una interaccion tipo Yukawa

Es comparable con la accion encontrada por Berkovits et. al. como la extensiondeformada de la accion de baja energıa de la super D3-brana.

A. De Castro USB

1. b2 = 0

h− 1

2φφ− 1

16FαβFαβ +

iαΨjα)2

A. De Castro USB

1. b2 = 0

h− 1

2φφ− 1

16FαβFαβ +

iαΨjα)2

A. De Castro USB

1. b2 = 0

h− 1

2φφ− 1

16FαβFαβ +

iαΨjα)2

A. De Castro USB

Rompimiento de supersimetrıa N = (1, 1/2) −→ N = (1, 0)

2. Encendemos ahora de manera perturbativa b2 1, la accion queda de laforma

h− 1

2φφ− 1

16F 2 +

4D2 + iΨkα∂ααΨα

k − 4ibijcαβ Ψβ∂αβφΨjβ

− b2c2

6φ2F 2 + b2c2φ2D2 + cαβFαβbijΨ

iαΨjα + 4 c2(bijΨ

iαΨjα)2

ijcαβFαβ +φ2b2

4(cαβFαβ)2 − 2iφb2c2Ψiα∂γβφΨβ

− 32

9φc2bijD

ijbklΨkαΨlα + O(b3)

Recuperamos la interaccion no trivial

∝ b2c2φ2F 2

A. De Castro USB

Rompimiento de supersimetrıa N = (1, 1/2) −→ N = (1, 0)

2. Encendemos ahora de manera perturbativa b2 1, la accion queda de laforma

h− 1

2φφ− 1

16F 2 +

4D2 + iΨkα∂ααΨα

k − 4ibijcαβ Ψβ∂αβφΨjβ

− b2c2

6φ2F 2 + b2c2φ2D2 + cαβFαβbijΨ

iαΨjα + 4 c2(bijΨ

iαΨjα)2

ijcαβFαβ +φ2b2

4(cαβFαβ)2 − 2iφb2c2Ψiα∂γβφΨβ

− 32

9φc2bijD

ijbklΨkαΨlα + O(b3)

Recuperamos la interaccion no trivial

∝ b2c2φ2F 2

A. De Castro USB

Sobre la renormalizabilidad

En general, las teorıas no(anti)conmutativas

L = L0 + Lint(C)

Estandar analisis dimensional en N = 1 nos dice que

[θα] = −1/2, [θα] = −1/2, [yαα] = −1→ [Cαβ] = −1

Sin embargo, hasta ahora todos los ejemplos estudiados han probado serrenormalizables. El argumento general en R4 no(anti)commutativo es: debidoa que θα 6= (θα)∗, entonces se propone

[θα] = −1/2 + δ, [θα] = −1/2− δ, [yαα] = −1→ [Cαβ] = −1 + 2δ

por lo que −1 + 2δ = 0 nos produce un δ = 1/2. Resultado consistente con lasuperalgebra

A. De Castro USB

Perspectiva a futuro

Estudio del comportamiento cuantico de nuestras acciones

Caso singlet ya estudiado y encontrado finito a todo orden [BILSZ 2005]Existen argumentos generales que indican que nuestros Lagrangianospueden ser renormalizables

Fenomenologıa, interpretacion en cuerdas

Caso singlet: IIB on C×C/Z2 acoplada con el axion,K. Ito and S. Sasaki (hep-th/0608143) dicen haber encontrado unbackground para nuestro Lagrangiano N = (1, 1/2): La D3-brana asociadaa la tipo IIB compactificada en un C2/Z2, en interaccion con el gravifoton.

Interpretacion geometrica de las funciones hiperbolicas

Deformacion de hipermultipletes

Caso no AbelianoCalculo de instantones

A. De Castro USB

Estudio del comportamiento cuantico de nuestras accionesCaso singlet ya estudiado y encontrado finito a todo orden [BILSZ 2005]

Existen argumentos generales que indican que nuestros Lagrangianospueden ser renormalizables

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Estudio del comportamiento cuantico de nuestras accionesCaso singlet ya estudiado y encontrado finito a todo orden [BILSZ 2005]Existen argumentos generales que indican que nuestros Lagrangianospueden ser renormalizables

A. De Castro USB

Fenomenologıa, interpretacion en cuerdasCaso singlet: IIB on C×C/Z2 acoplada con el axion,

K. Ito and S. Sasaki (hep-th/0608143) dicen haber encontrado unbackground para nuestro Lagrangiano N = (1, 1/2): La D3-brana asociadaa la tipo IIB compactificada en un C2/Z2, en interaccion con el gravifoton.

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Fenomenologıa, interpretacion en cuerdasCaso singlet: IIB on C×C/Z2 acoplada con el axion,K. Ito and S. Sasaki (hep-th/0608143) dicen haber encontrado unbackground para nuestro Lagrangiano N = (1, 1/2): La D3-brana asociadaa la tipo IIB compactificada en un C2/Z2, en interaccion con el gravifoton.

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Interpretacion geometrica de las funciones hiperbolicasDeformacion de hipermultipletes

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Caso no Abeliano

Calculo de instantones

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ENDA. De Castro USB

A. De Castro USB

sF ′(θ, φ) = e−isχ0 sF (θ, φ)

sYlm(θ, φ) = (−1)s

√2l + 1

4πDl ∗

m(−s)(θ, φ, χ0)

Dlms(θ, φ, χ0) = e−imφe−isχ0dl

ms(θ)

dlms(θ) =

c2Xt=c1

(−1)tdlms [cos (θ/2)]2l+m−s−2t [sin (θ/2)]2t+s−m

dlms =

p(l +m)!(l −m)!(l + s)!(l − s)!

(m+ l − t)!(l − s− t)!t!(t+ s−m)!,

c1 = max(0,m− s), y c2 = min(l +m, l − s)

A. De Castro USB

?? The full QNS-deformed off-shell action

Zd4xL d

8θ du V ++WZ ? V −−,

where V −− is the non-analytic super-connection of D−− defined by the flatnessequation

D++V −− − D−−V ++WZ +

ˆV ++

WZ , V−−˜

whose solution is

V −− =∞X

Zdu1 · · · dun

V ++WZ(xL, u1) ? V

++WZ(xL, u2) · · · ? V ++

WZ(xL, un)

(u+u+1 )(u+

1 u+2 ) · · · (u+

thus the action becomes

∞Xn=1

Zd4xL d

8θ du1 · · · dunV ++

WZ(xL, u) ? V++WZ(xL, u1) · · · ? V ++

WZ(xL, un)

(u+u+1 )(u+

1 u+2 ) · · · (u+

A. De Castro USB

Nevertheless, the action can be written equivalently in terms of the chiralsuperfield W defined by

W = −1

4(D+)2V −− ≡ A+ θ+

α τ−α + (θ+)2τ−−,

Zd4xL d

4θ duW ?W =1

Zd4x d4θ duW2,

whereD++W +

ˆV ++

WZ , W˜?

Integrating in the Graßmann and harmonic variables, the bosonic sector of theaction in components is

Zd4x cosh2 X

»−1

2ϕφ+

4dijdij −

16fαβfαβ

Here we have made some redefinitions of the fields through a “minimal”

Seiberg-Witten map⇒ canonical gauge transformations.

The action has a structure similar to the QS-deformed one!

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W = −1

4(D+)2V −− ≡ A+ θ+

α τ−α + (θ+)2τ−−,

Zd4xL d

4θ duW ?W =1

Zd4x d4θ duW2,

whereD++W +

ˆV ++

WZ , W˜?

Zd4x cosh2 X

»−1

2ϕφ+

4dijdij −

16fαβfαβ

A. De Castro USB

W = −1

4(D+)2V −− ≡ A+ θ+

α τ−α + (θ+)2τ−−,

Zd4xL d

4θ duW ?W =1

Zd4x d4θ duW2,

whereD++W +

ˆV ++

WZ , W˜?

Zd4x cosh2 X

»−1

2ϕφ+

4dijdij −

16fαβfαβ

A. De Castro USB

W = −1

4(D+)2V −− ≡ A+ θ+

α τ−α + (θ+)2τ−−,

Zd4xL d

4θ duW ?W =1

Zd4x d4θ duW2,

whereD++W +

ˆV ++

WZ , W˜?

Zd4x cosh2 X

»−1

2ϕφ+

4dijdij −

16fαβfαβ

A. De Castro USB

Teor´ıas de calibre supersim´etricas N = 2 no(anti)conmutativas · 2006. 12. 13. ·...

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