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Universidad Carlos III de MadridDepartamento de Ingeniería Mecánica
TEORÍA DE MÁQUINAS
2.- CINEMÁTICA DE MECANISMOS
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Cinemática de máquinas
Capítulo II: CINEMÁTICA Y DINÁMICA DE LOS MECANISMOS Y MÁQUINAS
Tema 2.- Cinemática de los mecanismos
Lección 2.- Estudio cinemático de mecanismos
Apartado 1.- Introducción.Apartado 2.- Mecanismos planos. Concepto de CIR.Apartado 3.- Técnicas de determinación de velocidades.Apartado 4.- Velocidades relativas. Estudio del mecanismo de corredera.
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Cinemática de máquinasLección 3.- Estudio cinemático de mecanismos. Velocidades.
Apartado 1.- Velocidad de cambio de polo. Determinación de trayectorias (base, ruleta).Apartado 2.- Fórmula de Euler-Savary.Apartado 3.- Aplicación al cuadrilatero articulado.Apartado 4.- CIR relativos. Teorema de Kennedy.
Lección 4.- Estudio cinemático de mecanismos. Aceleraciones.Apartado 1.- Aceleración en mecanismos planos. Polo de aceleraciones.Apartado 2.- Técnicas gráficas de determinación de aceleraciones.Apartado 3.- Aplicación al cuadrilatero articulado. Cínema de aceleraciones.Apartado 4.- Estudio del mecanismo biela-manivela. Mecanismo céntrico.
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Cinemática de máquinas. Objetivos
Estudio cinemático: determinación deTrayectoriasVelocidadesAceleraciones
Métodos analíticos y gráficosPares elementales
RotaciónTraslación
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Rotaciones (Vectores deslizantes)
Vectores deslizantes FUERZAVectores deslizantes ROTACIÓN
(Resultante de las fuerzas, Momento de las fuerzas)(Rotación, Momento de la rotación)
Velocidad
Reducción del sistema de vectores deslizantes en un punto dado.
NOTA: los vectoresdeslizantes se aplicansobre un sólido rígido
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Fuerzas (Vectores deslizantes)
Vectores deslizantes FUERZALa reducción del sistema de vectoresDeslizantes FUERZA en un punto cualquiera P,consiste en :
Posicionar el vector Resultante de las Fuerzas,en dicho punto P.Posicionar el vector Suma de los Momentos delas fuerzas respecto a dicho punto P.
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Reducción sistema de fuerzas en un punto
En el punto de contacto PEl sólido rígido superiorActúa mediante un sistemaEquivalente de vectores, Consistente en:- una resultante de las fuerzasActuantes.- un momento suma de los momentos de cada una de lasfuerzas en el punto P.
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Rotaciones (Vectores deslizantes)
Vectores deslizantes ROTACIÓNLa reducción del sistema de vectores deslizantesROTACIÓN en un punto cualquiera P, consiste en :
Posicionar el vector Resultante de las Rotaciones, en dicho punto P.
Y
Posicionar el vector Suma de los Momentos de las rotaciones respecto a dicho punto P. (VELOCIDAD DE P)
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Rotaciones (Vectores deslizantes)
El sólido rígido afectado por un sistema de rotaciones, puede representarse por el esquema de la figura.Cada bastidor está bajo el efecto de una rotación.Estando todos los ejes de rotación decada bastidor apoyados en el siguiente.Cualquier punto P del sólido rígido estáafectado por una rotación suma de lasde cada bastidor.Cualquier punto P del sólido rígido estáafectado por el momento suma de todaslas rotaciones, es decir su velocidad. w4
SÓLIDO RÍGIDOw1
w3
w2
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Movimiento general de un sólido rígido
El sistema de referencia (SF) es fijo
P 0V V OPω= + ∧
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Movimiento general en el plano
P 0V V OPω= + ∧
IV 0=
P IV V I P= + ∧ω
Sólido rígido
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Cinemática
Ecuaciones Mecánica(dado un SF, SM)
Relaciones vectoriales(A, B Є a un sólido rígido SR)
(Dado un SF, y un SM asociado al SR)
ABS ARR REL
ABS ARR REL
ABS ARR REL COR IOLIS
r =r +r
v =v +v
a a a a= + +
REL
REL COR IOLIS
REL REL COR IOLIS
A AB B
A AB B
A AB B
r =r +r
v =v +v +
+
v
+
0 0
+
v 0, ,
a a
a
a aa
a =
=
= =
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Ecuaciones Mecánica(dado un SF, SM)
Relaciones vectoriales(A, B Є a un sólido rígido SR)
(Dado un SF, y un SM asociado a un punto del SR y // al SF)
ABS ARR REL
ABS ARR REL
ABS ARR REL COR IOLIS
r =r +r
v =v +v
a a a a= + +
COR IOLIS
COR IOLI
A AB B
A B AB
A
AB
S
B
r =r +r
v =v + +
+
0 2
v
+
+ +
( )
, v 0
AB
AB AB
rel
a
a a
a
a
rdr rdt
ω
ω ω
ω ω
ω
=
=
×
× × ×
= × =
Cinemática
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Cinemática de un eslabónPegados al eslabón en estudio en el punto
C y paralelos al sistema fijo en todo momento
31M(absoluto)
Movimiento absoluto del eslabón 3
respecto a los ejes fijos ligados al
eslabón 1
3CM(relativos)
Rotación alrededor
de C
Movimiento absoluto del eslabón 3
respecto a los ejes fijos ligados al
eslabón 3C1M Movimiento del punto C del
eslabón 3 respecto a los ejes fijos ligados al eslabón 1(arrastre)
31 3C C1v v v= +
Rotación de 3 sobre C
Velocidad de un punto genérico del eslabón 3
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Aceleración en un eslabón (I)
Si localizamos los ejes móviles pegados a un punto C del propio eslabón, y mantenemos el SM
31 3C C1a a a 0= + +
TIERRA
≡ eslabón
paralelo al SF
31 3 1 COR IOLISa a a aC C= + +
Interpretación:
31
CORIOLIS SM 3C
a ROT TRAS
a 2 V 0
= +
= ⋅ ∧ ≡ω
0
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Aceleración en un eslabón (II)
≡ eslabón
31 32 21 COR IOLISa a a a= + +
ABS ARR REL COR IOLISa a a a= + +
ABS ARR RELv v v= +
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Técnicas de determinación de velocidades
1. Método de proyección o componente axial
2. Método de las velocidades giradas
3. Cinema de velocidades
4. Método de las velocidades relativas
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1. Método de proyección
AB
A,B
AB v 0cte= ⇒ =
SF
A BAB AB
v v=
Dado y la dirección de conocemosAv Bv ⇒ Bv
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2. Método de las velocidades giradas (I)
Técnica gráfica de cálculo de velocidades
Datos: Incógnita:CC, v y A Av
Cinema de velocidades de
ABC (abc)Eslabón
ESLABONω
1. Giramos 90º sentido obtenemos C’
2. Obtenemos A’, siendo
3. Giramos 90º en sentido contrario a el segmento obteniendo
ESLABON CvωCA || C'A'
ESLABONω A A'
Av
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2. Método de las velocidades giradas (II)
A
N
v A'
N' N'' v NN''
→
→ → ≡
Cálculo de A
M
v A'
M ' M '' v MM''
→
→ → ≡
Cálculo de Nv Mv
Cínema de velocidades de los
eslabones:
2
4
O A oa
O B ob
AB ab
→
→
→
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3. Cínema de velocidades (I)
Sea un eslabón y su CIR en un instante dado.
Luego el vector velocidad se obtiene girando el vector posición 90º en el sentido de la rotación del eslabón y haciendo una expansión o contracción de factor ω.Si lo realizamos para todos los puntos eslabón se obtendrá, posicionando los vectores velocidad en el CIR, el cinema de velocidades (puntos homólogos de los del eslabón).
Ppr
CIR ω
P ∈ eslabón: P P
P P
v r
1
v r
si
k
ω
ω
= ∧
=
= ∧Vector unitario ⊥ al planok
Peslabón PcínemaHOMOLOGÍA
90º ω
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3. Cinema de velocidades (II)
Ejemplo de trazado del cinema de velocidades del mecanismo articulado plano para cada eslabón
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4. Método de velocidades relativas
Sean Eslabón
A AB B
A, B
v v v
∈
= +
Rotación de B sobre A
Traslación de B
A
B
Av
Bv
Av
BvABv
AB
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Cinema de velocidades del eslabón BCD
Eslabón (4)
(1)(2)
Cinema del punto
auxiliar x
Datos:Técnica del punto auxiliar: obtención de la , a partir del esquema de velocidades del eslabón (4)
Encontrar tal que
Localizar un punto de 4, por ejemplo C con velocidad de dirección conocida, de modo que
esté localizado de manera que
Av
xv
X XB BB BA A
X XB BA A
v v vv v v
v v v v
⎧ = +⎪= + ⎨= + +⎪⎩
X (4)∈XB BAv || v BAX≡
X (4)∈
XC Cv || v
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Velocidades relativas. Mecanismo de corredera
Eslabón (deslizadera) (4)
Análisis del punto C
Conocido el centro de curvatura de la guía por donde se desliza el eslabón (4), podemos sustituir el mecanismo por el cuadrilátero articulado:
en C se hace el cálculo de
3 3 2 2C C C Cv v v= +
3 2(C C )y
2 0 3O ,C ,C,O
0Cv3 3 0 0C C C Cv v v= +
Dir.
Dir. Dir. Tg. guía
Dato
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Polo de velocidades de un eslabónCIR del eslabón (3). es un punto móvil
Eslabón biela
CIR permanentes
CIR del eslabón (2). Es un punto fijo
CIR del eslabón (4). Es un punto fijo
3P
Lugar geométrico de los puntos de la biela posicionados en el sistema fijo a tierra
Lugar geométrico de los puntos de la biela posicionados en el sistema móvil de la biela
fC
mC
describe la curva polar
La rodadura de la curva sobre la define el movimiento del eslabón
fC mC
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Curvas polares
Velocidad de cambio de polo
tangente a la curva polar (PROPIEDAD)
u⇒
eslabón
t
3P
tCIRen
⎧≡ ⎨⎩
t t
3P
t tCIR
en+∆
⎧≡ ⎨ + ∆⎩
t t t
t
P Plimt+∆
∆ →∞ ∆
Detalle:
P mC
fC CIR del eslabón (3)
a d
b d
u u u
u u'
= + =
= +
Componentes de Euler-Savary
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Fórmula de Euler-Savary (I)
ρA
A
ACC
CIR
Av
Au
La componente de la velocidad de cambio de polo en la dirección paralela a la velocidad de un punto cualquiera del eslabón en estudio guarda relación con la velocidad del punto según las distancias del punto y del CIR al centro de curvatura de la trayectoria desarrollada por el punto.Sea A el punto perteneciente al eslabónSea ρA el centro de curvatura de A
A
A
CA
CA
ACvICu
=
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Fórmula de Euler-Savary (II)
Relaciona:
u, , v,CIRρ
Velocidad de cambio de polo:
i i'
B B B A A AAB B A
d CIR CIRut
dS d dS dv vdt dt dt dt
ρ α ρ ατ τ
=∆
⋅ ⋅= = ⋅ = = ⋅
τ Vector unitario tangente
i B
i A
CIR ,B C B B
ACIR ,A C A
dS C d
dS C d
α τ
α τ
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
Componentes deVectores paralelos a
i i'CIR CIR
A BdS ,dS
i A
i B
CIR ,A C iA A A
A
CIR ,B C iB B B
B
dS C CIRPROY. u dS u v
dt
dS C CIRPROY. u dS u v
dt
= = = ⋅ρ
= = = ⋅ρ
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Velocidad de cambio de polo
Velocidad del punto A de la
biela 3
Velocidad del punto
B de la biela 3
I13
Obtención gráfica. Aplicación a la biela 3 de un cuadrilátero articulado de la Fórmula de Euler-Savary
A A 3 A, v , CIR uρ ⇒
B B 3 B, v , CIR uρ ⇒
A du u (u )= + ⊥
B du u ' (u ' )= + ⊥
Velocidad cambio de
polo
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Teorema de Kennedy (I)
CIR relativo es el punto en el que la velocidad relativa entre dos eslabones dados se anula
Sea un mecanismo articulado plano:
Sean 3 los eslabones: A, B, C.Los 3 CIR relativos 2 a 2 ESTÁN ALINEADOS
A|B B|ACIR CIR=
AB BC CAI , I , I Alineados⇒
Teorema de los tres centros o teorema de
Kennedy
I13
I24 I21 I14
I23
I34
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Teorema de Kennedy (II)
Sean: A, B, C los eslabones
Sea ∆ el CIR relativo de A|B
Sea � el CIR relativo de A|C
Sea O el CIR relativo de C|B
A AO |B O |Cv v rad= ≡ α = π
Al calcular las velocidades relativas respecto al eslabón B o C, se observa que son iguales, pues O es un punto CIR relativo
∆ �
Oα Para que sean iguales
los tres CIR relativos ∆, �, O deben estar alineados
A AO |B O |Cv , v
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Cálculo de los CIR relativos usando el teorema de Kennedy
( )N N 1N eslabones (CIR relativos)
2⋅ −
⇒
1. Se calculan los CIR absolutos (N,1).
2. Se calculan los CIR relativos en las articulaciones (N,N-1).
3. Se calculan los CIR relativos en las deslizaderas
4. Se aplica el teorema de Kennedy
( )guia⊥ →∞
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Escalas gráficas
Escala de longitudes
Escala de velocidades
Escala de aceleraciones
cos⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦cm grafi
cmrealα
coscm graficm seg realβ ⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦2βγα
=
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Cálculo de la aceleración en puntos pertenecientesa un mismo eslabón (mismo SM)
B A BA
B A BA
B A BA
r r r
v v v
a a a
= +
= +
= +
ddt
ddt
Si A, B Є pieza sólido rígido
AB cte≡ B rota sobre A
BA
BA
BA
r
v
a
Posición de B respecto de A
velocidad de B respecto de A
aceleración de B respecto de A
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Posición, velocidad y aceleración de arrastre
P, se mueve respecto al sistema móvilEl sistema móvil está parametrizado por la posición del origen del sistema móvil (O) y el vector de rotación ( ω ) del triedro móvil respecto al triedro fijo.
M
M
M
r
v
a
Posición relativa
velocidad relativa
aceleración relativa
SF
SMO
ω ( )
arr 0
arr 0 M
arr 0 M M
r r
v v r
a a r r
=
= +ω∧
= +α ∧ +ω∧ ω∧
Posición, velocidad y aceleración de arrastre
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Estudio de la aceleración (I)
Pto A Є eslabón iPto B Є eslabón iPto C Є eslabón i+1
SM pegado al eslabón i que rota con ωirespecto al SF
SF
SMA B
Ci
i+1
C CA A
C CA A
C CA A CORIOLIS
C i 1, r r r
v v v
a a a a
∈ + = +
= +
= + +
B BA A
B BA A
B BA A
B i, r r r
v v v
a a a
∈ = +
= +
= +
B rota sobre A con ωi
C rota sobre A con ωi
C CA arr CORIOLISa a a a= + +
Rotación SM
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Estudio de la aceleración (II)
Caso de movimiento circular
Aceleración de los puntos A y B Є pieza
2t na a= ρ⋅α = ω ⋅ρ
ddtω
cte
B A BAv v v= +
B A BAa a a= +
A
B
Av
BAω
Rotación sobre A
Rotaciónarrastre
CORIOLIS
arr
a 0
v 0
=
=
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Ejemplos: Manivela
A Oa a=
A A
AO
C AO t n
a
C O a a a
+
≡ ⇒ = +
AO AOAO t na a a= +
Coincide el CIR = O
Coincide el polo = O de aceleraciones
En general, los puntos del sólido con velocidad nula (CIR) y aceleración nula (polo de aceleraciones) son distintos
CIR Poloaceleraciones≠
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Aceleración del polo del cinema de velocidades
I I ' I ''
a a
0
→ →
≠
A
I
POLO VELOCIDAD
A I AIa a a= +
I no es un punto singular en cuanto a
aceleraciones
{ }A B BA Aa a a , ,a= + ω α
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Polo de aceleraciones (I)
A I AI Ia a a (a 0 en general); A, I CIR= + ≠ ≡
A B BAa a a ; A, B= +
P A Pa 0 a a∃ = → = APa+
A APa a= Modelo de comportamiento del eslabón en el
instante t en cuanto a
aceleraciones XPa
P POLO DE ACELERACIONES≡
Si conocemos P, el cuerpo se comporta como un sólido rígido en rotación pura en ese instante
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Polo de aceleraciones (II)
A
B
Aa
Ba
θ
θ
Polo aceleración
( )PP eslabon a 0∈ ≡ =
A AP
B BP
a a
a a
=
=
APa Aceleración relativa de A alrededor de P, con ω y αdel eslabón
eslabón
(A, B,C) (a, b,c)→
Cinema de aceleraciones
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Aceleración normal
Construcción gráfica del vector aceleración normal relacionado con una rotación (pura)
Centro de
rotación
Teorema del cateto Teorema de la altura
ch
m n
2h m n= ⋅( )2c m m n= ⋅ +
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Obtención de la aceleración
Obtención de la aceleración de un punto cualquiera del eslabón a partir de la aceleración en A:
B B|A Aa a a= + donde se obtiene la aceleración a partir de la cinemática relativa de B respecto de A
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ejemplo
Datos: es decir, conocemos la secuencia gráfica sería:
1. Obtención gráfica de2. Cinema del eslabón 23. Obtención gráfica de4. Obtención gráfica de a partir de
y 5. Obtención gráfica de
AA tv ,a2 2,ω α
Ana
B|AnaAa
Ana Ata
Bna
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ejemplo
AA tdatos v , aCinema de
velocidades del eslabón 3
Cinema de velocidades del
eslabón 5
Obtenemos conjuntamente con y tenemos el cinema de
aceleraciones del eslabón 3 y obtenemos
BaAa
Ca
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Análisis de aceleraciones (I)
En piezas articuladas
En piezas con contacto deslizante
P1 2
articulación
P 1 o 2∈ (1) ( 2)
(1) ( 2)
P P
P P
a a
v v
=
=
12
3
SM P 1, 2∈Se conoce la dirección de la
velocidad relativa
(1) ( 2)
(1) ( 2)
P P
P P
v v
a a
≠
≠
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Análisis de aceleraciones (II)
(3)Av (1)Av(SM )Av
Considero y enclavo en él el A 1∈ ( )1 1SM ,ω α
(abs ) (arr ) ( rel )SM
(3) (1) (SM )
A A A
A A A
v v v
v v v
= +
= +
1
13 2
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Cálculo de aceleraciones (III)
dir arrn
dir arrt
SM
Cálculo de Aa3 A AA O n ta a a a (1)= + +
A A
2A
n t 33
va a dir O AO A
= ⊥
A arr rel cora a a a (2)= + +
1arr Oa a=arr arrn t
rel 1
cor 1 r 1 r
a a
comosi A 1
a || O P
a 2 v ( O P y v )
+ +
∈
= ⋅ω ∧ ⊥ ⊥
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Cálculo de aceleraciones (IV)
(1) (2) (3) (4) (5)→ → → →Secuencia de cálculo
o
(1)(2)
(3)
(4)
(5)
arrna
Ana Ata
cora
arrta
rel 1dir a || O P
1|| O P
3|| O A
Atdir a