Post on 25-Nov-2015
transcript
Teor a de Mo dulos Algebra Lineal
[Escriba aqu una descripcin breve del documento. Normalmente, una descripcin breve es
un resumen corto del contenido del documento. Escriba aqu una descripcin breve del
documento. Normalmente, una descripcin breve es un resumen corto del contenido del
documento.]
Jos Luis Camarillo Nava
Teor a de Mo dulos
Cap tulo I
Estructura de mdulo sobre un anillo
Sea (R, +, 0, *, 1) un anillo con identidad multiplicativa 1 y supngase que 1 .
Supngase que (M, +) es un grupo abeliano. Recurdese al conjunto
( ) { | (1)
Es muy fcil demostrar que ( ) es un anillo bajo la suma y el producto usual de
funciones: concretamente, si ( ) entonces y, se definen,
respectivamente, por
{ ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ( )) (2)
para cada .
El elemento neutro para el producto de esta estructura de anillo es la funcin identidad
de M, que se denotar por . En Teora de Anillos es muy til la nocin dada en la
siguiente
Obsrvese que entonces, en las condiciones de la definicin 1.1, a cada le
corresponde ( por medio de ) un homomorfismo de , ( ) , y se tienen las siguientes
propiedades
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) (3)
( )
para cada
Usualmente, se dice tambin (en estas condiciones) que opera sobre . En efecto,
para demostrarlo se procede como sigue: para cada y , se define una ley de
operacin externa por
Definicin 1.1:
Sea (R,+,0,*,1) un anillo con identidad, y (M, +) un grupo abeliano. Se llama
representacin de R sobre M a todo homomorfismo de anillos, ( )
[ ( )]( ) (4)
Esta operacin tiene las siguientes propiedades:
(m.1) Si y ( ) .
(m.2) Si y ( ) .
(m.3) Si y ( ) ( .)
(m.4) Si .
As pues, se ha obtenido una nueva estructura definida en M por el anillo R y
caracterizada por las propiedades (m.1), (m.2), (m.3) y (m.4). Esta estructura es de
gran utilidad en Teora Algebraica de Nmeros.
As pues, una representacin de sobre , , induce una estructura de - mdulo a
izquierda.
Recprocamente, supngase que se tiene definida sobre una estructura de - mdulo
a izquierda, , tal que si ( ) , se satisfacen las propiedades
(m.1), (m.2), (m.3) y (m.4). Se obtendr, de manera natural, una representacin de
sobre . En efecto, como se cumple (m.1) entonces los elementos de actan
linealmente sobre , por lo que es natural definir, para cada , la aplicacin
dada por
( ) (5)
Por (5) y (m.1), es claro que es un homomorfismo de anillos, es decir:
Definicin 1.2:
Sea (R,+,0,*,1) un anillo con identidad, y (M, +) un grupo abeliano. Se llama
estructura de R-modulo a izquierda sobre M a toda aplicacin , tal que si ( ) , se satisfacen las siguientes propiedades:
(m.1) ( ) (m.2) ( ) (m.3) ( ) ( ) (m.4) cualesquiera sean y .
( ) , para cada (6)
Considrese entonces la aplicacin ( ) , definida por
( ) para cada (7)
Usando (m.2), (m.3) y (m.4) se demuestra que es un homomorfismo de anillos, es
decir, una representacin de sobre . Obsrvese que la aplicacin induce la
estructura de - mdulo a izquierda sobre con la que se comenz el razonamiento.
Se ha demostrado pues, el siguiente
Ejemplo 1:
Recurdese que (,+,*) es un anillo. Se afirma que todo grupo abeliano, ( ), es
un -mdulo a izquierda. En efecto, para demostrarlo, bastara lograr definir una
operacin externa entre los elemento de y los elementos de . Ms precisamente, si
y , se puede definir el smbolo por
{
( )
( ) ( ) (8)
As, se puede demostrar que (8) es o define una estructura de -mdulo a izquierda
verificando que se cumplen los axiomas de la definicin (1.1) (Ejercicio para el lector).
Ejemplo 2:
Todo espacio vectorial sobre un cuerpo es (obviamente) un -mdulo a
izquierda.
Ejemplo 3:
Sea ( ) un anillo. El producto de anillo determina (obviamente) una
estructura de mdulo a izquierda sobre el grupo abeliano ( ).
Teorema 1.1:
Sea (R,+,0,*,1) un anillo con identidad, y (M, +) un grupo abeliano. Entonces, existe
una correspondencia biyectiva entre representaciones del anillo en ( ) y estructuras de R-modulo a izquierda definidas sobre M.
Ejemplo 4:
Sea ( ) un grupo abeliano y considrese al anillo como el anillo de
endomorfismos de :
( ) { | .
Entonces, ( ) tiene una estructura natural de -modulo a izquierda. Obsrvese que
en este caso los elementos de son funciones. As pues, si y si , se puede
definir la operacin *, es decir, el smbolo de manera natural por
( )
Demostracin:
(): En efecto, sea . Entonces, se tiene que y as, por la hiptesis de
(i), resulta que
( ) ( ( )) ( ) ( )
. Luego, ( ).
():
Teorema 1.2:
Sean ( ) y ( ) anillos, I un ideal de . Supngase que es un
homomorfismo de anillos y sea R / I el epimorfismo cannico. Las siguientes condiciones son equivalentes:
(i) Existe un homomorfismo tal que
(ii) ( )
En tal caso, es nico .
Recurdese que es el anillo
de todas las clases laterales
izquierdas mdulo I:
{ |
As, es natural definir por
( ) ( ) , para cada (9)
Como la definicin hecha en (9) depende en principio del representante, , es
necesario demostrar que, en realidad, est bien definida. Ms precisamente, debe
demostrarse que
y ( ) ( ) (10)
En efecto, si y , entonces
( ) (por la hiptesis de (ii))
( )
( ) ( )
Ahora bien, por (9) y por ser ( ) para cada , es claro que
( ) ( ) ( ( ) ) ( )( ) para cada
Luego, .
Finalmente, obsrvese que es nico: en efecto, pues suponiendo que se tenga otro
homomorfismo de anillos, tal que , se tendra entonces que
(11)
Como es sobreyectiva, entonces cancelable a derecha (consulte el Ejercicio 1.1), lo
que implica por (11) que .
Demostracin:
():
Por hiptesis, se tiene la estructura de a izquierda y, la
estructura de ( ) a izquierda ( ) . Considrense entonces
las respectivas representaciones y que, como se demostr en el Teorema 1.1,
inducen estas estructuras:
( )
( ) ( )
End(M)
Esto implica que
Teorema 1.3:
Sean ( ) y (M, +) un a izquierda. Supngase que I es un ideal de . Considrese el conjunto
{ | Considrese la ley de operacin externa ( ) definida por :
, para cada y (12)
Las siguientes condiciones son equivalentes:
(i) La ley de operacin externa, ( ) , es una estructura de ( ) a izquierda.
(ii) {
Si y r [ ( )]( ) (13)
Si y [ ( )]( ) (14)
Por (12), (13) y (14) se tiene que
[ ( )]( ) = [ ( )]( ) cualesquiera sean y (15)
Por (15), resulta que
[ ( )] = [ ( )] para cada (16)
La ecuacin (16) implica que lo que implica por el Teorema 1.2 que
( ), de modo que
( ) ( ) , para cada (17)
Por (13) y (17), resulta que para cada y para cada , de modo
que { .
() Sea ( ) la representacin que induce la estructura de
a izquierda. Entonces, vale que
Si y r [ ( )]( ) (18)
Por otro lado, como { (por hiptesis), se tiene que
para cada y para cada ,
de modo que por (18), resulta que
( ) ( ) , para cada
lo que implica que
( )
lo que implica que ,por el Teorema 1.2, que existe un homomorfismo de anillos
( ) ( ) tal que
(19)
Como se demostr en el Teorema 1.1, la existencia del homomorfismo permite
definir una estructura de ( ) a izquierda, ( ) , por
Si y [ ( )]( ) (20)
Obsrvese que, por (19) y (20), resulta que para cada y
[ ( )]( ) = [ ( )]( ) [ ( ( ))]( ) [ ( )]( )
Ejemplo 5:
Sea el anillo ( ) usual de los nmeros enteros. Para cada , con
, tmese el ideal de , . Recurdese que el anillo cociente es el
anillo de enteros modulo , . Es decir:
{
Considrese el grupo abeliano ( ). Por el resultado del Ejemplo 1: , se tiene
que es un mdulo . Segn el Teorema 1.3, la ley de operacin externa
definida para cada y por
,
ser una estructura de mdulo a izquierda sobre si, y slo, si { . Pero,
es claro que { . Por tanto, no es una estructura de mdulo a izquierda
sobre .
Ejemplo 6:
Sea el anillo ( ) usual de los nmeros enteros. Para cada , con
, tmese el ideal de , . Tmese otro nmero natural y
considrese el grupo abeliano ( ). Por el resultado del Ejemplo 1: , se tiene
que es un mdulo definiendo la operacin para cada y
por
Segn el Segn el Teorema 1.3, la ley de operacin externa
definida para cada y , por
,
ser una estructura de mdulo a izquierda sobre si, y slo, si {
lo cual (obviamente) equivale a que { , lo cual a su vez es (obviamente)
equivalente a que | .
Ejemplo 7:
Segn el Ejemplo 6, si , se tiene que tiene una estructura natural de
mdulo a izquierda si, y slo, si | . As, por ejemplo, tiene una estructura
natural de mdulo a izquierda (pues 2 | 4!). Esta estructura natural tiene la
siguiente tabla de operaciones:
*
Ejemplo 8:
Sea ( ) un grupo abeliano y un nmero primo. Por el Ejemplo 1 se sabe
que es un -mdulo a izquierda. Considrese el ideal . Segn el Teorema 1.3,
la ley de operacin externa
definida para cada y por
,
ser una estructura de mdulo a izquierda sobre si, y slo, si { , es
decir, si ,y slo, si
, para cada
En tal caso, se tendr que es un espacio vectorial.
Ejemplo 9:
Sea ( ) un anillo, con y ( ) un mdulo a izquierda.
Considrese al conjunto:
{ | }
Es muy fcil demostrar que es un ideal biltero de (Ejercicio). Por la definicin
de , es claro que { ; luego, por el Teorema 1.3, tiene una
estructura natural de mdulo a izquierda definiendo la operacin externa,
( ) , para cada y por
Al ideal se le llama el anulador de en y se suele denotar por
( )
Demostracin:
En efecto, recurdese que por el Teorema 1.1
Si y r [ ( )]( ) (21)
As, por (21) y por definicin de ( ), es claro que
( )={ | }
={ | [ ( )]( ) }
={ | ( ) ( )
= ( ),
Es decir:
( ) ( ) (22)
Definicin 1.3:
Sea (R,+,0,*,1) un anillo con identidad, y (M, +) un grupo abeliano con estructura
de mdulo a izquierda. Entonces, se dice que es fiel si, y slo , si ( ) { .
Teorema 1.4:
Sea (R,+,0,*,1) un anillo con identidad, y (M, +) un grupo abeliano con estructura
de mdulo a izquierda. Supngase que ( ) es la representacin que induce la estructura de a izquierda. Entonces:
es fiel es inyectivo.
Por (21), (22) y la Definicin (1.3), es claro que
es fiel ( ) {
( ) {
es inyectivo
Ejemplo 9:
Sea ( ) un anillo, con y considrese a ( ) con su estructura natural
de mdulo a izquierda, es decir, la misma que define a su estructura de anillo.
Obsrvese que es fiel; en efecto pues como
( )={ | }
Entonces tomando si , se tiene que . En particular,
para , se tiene que de modo que . Luego, ( ) { lo que
demuestra que es fiel sobre s mismo.
Ejemplo 10:
Sea ( ) un grupo abeliano y el anillo de endomorfismos ( ).
Considerando a con su estructura natural de mdulo a izquierda, se tiene que
es fiel.
En efecto, recurdese que tal estructura es la operacin en la que se
define el smbolo , para cada y de manera natural por
( )
Luego,
( ) { |
{ | ( )
{ ( )| ( )
{ ( )}
{ }
Por tanto, es fiel.
Submdulos
Demostracin:
Es inmediato
Ejemplo 11:
Es claro que si es un mdulo a izquierda, entonces { y son submdulos de
.
Ejemplo 12:
Sea ( ) un anillo y considrese a con su estructura natural de mdulo a
izquierda. Entonces, es claro que los submdulos de son los ideales de .
Ejemplo 13:
Sea es un mdulo a izquierda y . Entonces es fcil ver que el conjunto
{
Definicin 1.4:
Sea ( ) un mdulo a izquierda. Se dice que un subconjunto, , de es un submdulos si, y slo , si :
(i) ( ) es un submdulo de ( ). (ii) Si ,
Teorema 1.5
Sea ( ) un mdulo a izquierda y un subconjunto de . Entonces, es un submdulo de si, y slo , si :
(i) (ii) Si
(iii) Si ,
es un submdulo de (Ejercicio) y se le llama el submdulo cclico de generado
por . Se suele simbolizar por .
Ms generalmente, si { es un subconjunto finito de , entonces es
fcil demostrar que el conjunto
{
es un submdulo de (Ejercicio) y se le llama el submdulo de generado por .
Ejemplo 14:
Sea es un mdulo a izquierda y submdulos de . Se define el conjunto
por :
{
Es muy fcil demostrar que es un submdulo de (Ejercicio).
Ejemplo 15:
Considrese al anillo con su estructura natural de mdulo. Entonces, los
submdulos de son sus ideales. Ahora bien, se sabe que (utilizando el Algoritmo de
Euclides) se puede demostrar que todo ideal, , de es de la forma
, con
Adems, es fcil demostrar que para cada vale que
( )
( )
[ ]
Ejemplo 15: Sea ahora ( ) un grupo abeliano y ( ). Considrese a
con su estructura natural de mdulo: es decir, si y entonces la
operacin se define por
( )
Ahora, para cada par ( ) ,con e un ideal de se define
( ) { ( )
Es muy fcil demostrar que ( ) es un submdulo de (Ejercicio).
Homomorfismos de R-mdulos
Tambin, suele decirse que es una aplicacin lineal o que respeta la suma de y
la multiplicacin (de elementos de ) por escalares de . Tal y como se hace en
lgebra Lineal sobre espacios vectoriales, se definen los siguientes conceptos:
Definicin 1.6:
Sea un anillo con identidad dos mdulos a izquierda y una aplicacin. Se dice que es un homomorfismo de mdulos si, y solo, si para cada y se tiene que
1) ( ) ( ) ( ) 2) ( ) ( )
Definicin 1.7:
Sea un anillo con identidad dos mdulos a izquierda y un homomorfismo de mdulos. Entonces:
1) ( ) { ( ) se suele llamar el ncleo de .
2) ( ) { ( ) se suele llamar la imagen de .
3) Se dice que es monomorfismo es inyectiva.
4) Se dice que es epimorfismo es sobreyectiva.
5) Se dice que es isomorfismo es biyectiva.
6) Se dice que es un endomrfismso .
1) Se dice que es automorfismo es isomorfismo y .
Demostracin: Ejercicio
Teorema 1.6:
Sea un anillo con identidad dos mdulos a izquierda y un homomorfismo de mdulos. Entonces:
(i) ( ) { ( ) es un submdulo de
(ii) ( ) { ( ) es un submdulo de .
(iii) Se dice que es monomorfismo ( ) { .