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UNIVERSIDAD DEL VALLE DE ATEMAJAC
ALUMNO: JESÚS ALBERTO ESCOBAR GÓMEZLICENCIATURA EN INGENIERIA INDUSTRIAL
1ER. CUATRIMESTREPROFESOR: RUBEN TORRES GARCÍA
SEPTIEMBRE DE 2009
1. LEYES ALGEBRAICAS Y OPERACIONES
• Operaciones algebraicas.
• Productos notables.
• Factorización.
• Operaciones con fracciones.
• Base, exponentes y potencias.
• Radicales
2. ECUACIONES Y DESIGUALDADES
• Números complejos.
• Ecuaciones lineales.
• Ecuaciones cuadráticas.
• Sistema de ecuaciones
3. TRIGONOMETRÍA
• Ángulo.• Medidas del ángulo.• Conversiones.• Ángulos coterminales.• Funciones trigonométricas.• Solución de triángulos acutángulos.• Aplicaciones.
Reglas:
• Cuando hay signos iguales los coeficientes se suman y se mantiene el signo.
• Cuando hay signos diferentes los coeficientes se restan y se pone el signo del coeficiente mayor.
Ejemplo: (5x4 - 7x2 + 8x - 3) + (-9x4 + 2x – 9x2 + 8) =
Solución:
5x4 - 7x2 + 8x - 3+
-9x4 - 9x2 + 2x + 8 _____________________________ - 4x4 -16x2 + 10x + 5
RESULTADO = - 4x- 4x44 -16x -16x22 + 10x + 5 + 10x + 5
Reglas:
• Se cambia el signo de todos las cantidades del sustraendo, para después sumar y tener el resultado.
• Se ordenan los términos cuando estos están en desorden.
Ejemplo:
(4x3 – 7x2 + 2x - 9) - (2x2 + 3x – 6x3 - 1) =
Solución:
4x3 – 7x2 + 2x – 9 - 6x3 - 2x2 - 3x + 1 ________________________ 10x3 – 9x2 – x – 8
RESULTADO = 10x10x33 – 9x – 9x22 – x – 8 – x – 8
Reglas:
• Cuando dos signos iguales se multiplican resultado es positivo (+); cuando se multiplican dos signos diferentes el resultado es negativo (-).
• Anotar las variables en orden alfabético.
• Los exponentes se suman.
• Se aplican las reglas de la suma.
Ejemplo:
(6x2 - 7x + 3) (x + 5) =
Solución:
6x2 - 7x + 3 Por x + 5 ___________________________ 6x3 – 7x2 – 3x+ 30x2 – 35x + 15_____________________________________ 6x3 + 23x2 - 38x + 15
RESULTADO = 6x6x3 3 + 23x+ 23x22 - 38x + 15 - 38x + 15
1. SOLUCIÓN COMÚN
Ejemplo:
8x3 – 3x2 + 2x – 1 = x + 1
RESULTADO =8x2 - 11x + 13 + ( =8x2 - 11x + 13 + ( -14 / x + 1-14 / x + 1 ) )
Solución:
8x2 - 11x + 13 x + 1 8x3 – 3x2 + 2x – 1 -8x3 - 8x2
- 11x2 + 2x + 11x2 +11x +13x – 1 -13x - 13 - 14
2. SOLUCIÓN SINTÉTICA
Ejemplo: 7x3 + 2x2 – 3x + 5 = x – 6
RESULTADO = 7x7x22 + 44x + 261 + ( + 44x + 261 + (1571/ x – 61571/ x – 6))
Solución:
7 + 2 - 3 + 5 ˾6 + 42 + 264 + 1566 7 + 44 + 261 + 1571
Llamamos binomios conjugados a dos binomios que tengan los mismos términos
en suma y resta.
(a+b)(a-b)=a2-b2
Ejemplo:
(5x2 - 7y3)(5x2 + 7y3) =
RESULTADO
= 25x= 25x44 – 49y – 49y66
Se soluciona de la siguiente forma:
(a + b) 2
= a2 + 2ab + b2
Ejemplo:
(3a + b) 2 =
Solución:
= 9a2 + 2 (3a) (b) + b2
= 9a2 + 6ab + b2
RESULTADO
= = 9a9a2 2 + 6ab + b + 6ab + b2 2
La formula para solucionarlos es la siguiente:
(a + b) 3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Ejemplo:
( 4a2 + 5b3 )3 =
Solución:
=(4a2)3 + 3 (4a2)2 (5b3) +3 (4a2) (5b3)2 + (5b3)3
= 64a6 + 3 (16a4)(5b3) + (4a2)(25b6) + 125b9
RESULTADO:
= 64a= 64a6 6 + 240a+ 240a44bb33) + 300a) + 300a22bb66) + 125b) + 125b99
1. Sin coeficiente en el primer término
Ejemplo:
(x + 7) (x + 8) =
Solución:
x2 + 15x + 56
RESULTADO:
xx2 2 + 15x + 56+ 15x + 56
2. Con coeficiente en el primer término
Ejemplo:
(3x + 7) (3x + 8) =
Solución:
9x2 + 45x + 56
RESULTADO:
9x9x2 2 + 45x + 56+ 45x + 56
Para dar solución a estos ejercicios utilizamos la siguiente fórmula:
(a + b + +c)2= a2 + b2 + c2 + + 2ab + 2bc + 2ac
Ejemplo:
(5x2 – 7y3 + 8z4)2 =
Solución:= (5x2) 2 + (– 7y3) 2 + ( 8z4)2 +2(5x2)(– 7y3) + 2(– 7y3)(8z4) + 2(5x2)(8z4)
= 25x4 + 49y6 + 64z8 – 70x2y3 – 112y3z4 + 80x2z4
RESULTADO RESULTADO = 25x= 25x44 + 49y + 49y66 + 64z + 64z88 – 70x – 70x22yy33 – 112y – 112y33zz44 + 80x + 80x22zz44
Ejemplo:
100a2b3c - 150ab2c2 + 50ab3c3 - 200abc2 =
Solución:
= 50abc (2ab2 - 3bc + b2c2 - 4c)
Factor común
RESULTADO:RESULTADO:
= 50abc (2ab= 50abc (2ab22 - 3bc + b - 3bc + b22cc22 - 4c) - 4c)
Ejemplo:
49x2 - 81y8 =
Solución:• Obtenemos la raíz cuadrada de los dos
términos, después lo convertimos en productos de binomios conjugados.
= (7x + 9y4) (7x - 9y4)
RESULTADO:RESULTADO:
= (7x + 9y= (7x + 9y44) (7x - 9y) (7x - 9y44))
a). TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: a). TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:
Ejemplo:
9b2 - 30a2b + 25a4 =
Solución:• Obtenemos la raíz cuadrada del primer
término y del segundo, también bajamos el primer signo, y todo el binomio lo elevamos
al cuadrado. = (3b - 5a2)2
RESULTADO:RESULTADO:
= (3b - 5a= (3b - 5a22))22
ax2 +bx + Cb). CASO 2b). CASO 2 Ejemplo:
x2 - 5x - 36 = Solución:• Ponemos dos paréntesis en donde
descompondremos la x2, bajamos el primer signo al primer paréntesis, y para el segundo multiplicamos (-)(-).
= (x - )( x + )• Buscamos dos números que multiplicados
den -36 y sumados resulten -5, y los ubicamos en el primer y segundo paréntesis.
=(x - 9)( x + 4)
RESULTADO:RESULTADO:
=(x - 9)( x + 4)=(x - 9)( x + 4)
c). CASO 3c). CASO 3
Ejemplo:
21x2 + 11x - 2 =
Solución:
1. (21x + 14) (21x - 3) = 21
2. 7(21x + 14) 3 (21x - 3) = 21
3.
= (3x + 2) (7x - 1)
RESULTADO:RESULTADO:
= (3x + 2) (7x - 1)= (3x + 2) (7x - 1)
b). DIFERENCIAb). DIFERENCIA
Utilizamos la siguiente fórmula:
x3 - y3 = (x - y) (x2 - xy + y2)
Ejemplo:
64a6 - 27b9=
Solución:
= (4a2 - 3b3) (16a4 +12a2b3 + 9b6)
RESULTADO:RESULTADO:
= (4a= (4a22 - 3b - 3b33) (16a) (16a4 4 +12a +12a22bb33 + 9b + 9b66))
a). SUMAa). SUMA
Utilizamos la siguiente fórmula:
x3 + y3 = (x + y) (x2 - xy + y2)
Ejemplo:
729x3 + 1000y3 =
Solución:
= (9x + 10y) (81x2 - 90xy + 100y2)
RESULTADO:RESULTADO:= (9x + 10y) (81x= (9x + 10y) (81x2 2 - 90xy + 100y - 90xy + 100y22))
EJEMPLO :
x2 - 10x + 24 x2 - 2x - 48 30 + x - x2 x2 - 12x + 32
Solución: FactorizamosFactorizamos
(x - 6) (x - 4) (x - 8) (x + 6)(x - 6) (x + 5) (x - 8) (x - 4)
SimplificamosSimplificamos
(x - 6) (x - 4) (x - 8) (x + 6)(x - 6) (x + 5) (x - 8) (x - 4)
x + 6 x + 5
RESULTADO:RESULTADO:
x + 6x + 6
x + 5x + 5
Ejemplo:
x2 + 2x - 8 x2 - 4x + 4x2 - 3x - 4 x2 - 6x + 8
Solución: Invertimos el divisorx2 + 2x - 8 x2 - 6x + 8x2 - 3x - 4 x 2 - 4x + 4
Factorizamos y multiplicamos (x + 4) (x - 2) (x - 4) (x - 2) (x - 4) (x + 1) (x - 2) 2
Simplificamos
(x + 4) (x - 2) (x - 4) (x - 2) (x - 4) (x + 1) (x - 2) 2
x + 4 x - 1
RESULTADO:RESULTADO:x + 4x + 4
x - 1x - 1
Ejemplo:
4x + 10 x - 11 1x2 + 2x - 8 x2 - x - 12 x - 1
Solución:
• Factorizamos denominadores. 4x + 10 x - 11 1 (x+4) (x-2) (x-4) (x+3) x - 1
• Determinamos el común denominador.
• Dividimos el común denominador entre cada denominador y lo multiplicamos por el numerador.
(x-4)(x+3)(x-1)(4x+10) - (x+4)(x+2)(x-1)(x-11) + (x+4)(x-2)(x-4)(x+3)(x+4)(x-2)(x-4)(x+3)(x-1)
• Multiplicamos numeradores
4x4+2x3-64x2-62x+120-x4+10x3+2x2-118x+88x4+x3-22x2-16x+96
(x+4)(x-2)(x-4)(x+3)(x-1)
• Sumamos términos comunes
4x4+13x3-65x2-196x+304
(x+4)(x-2)(x-4)(x+3)(x-1)
RESULTADO:RESULTADO:
4x4x44+13x+13x33-65x-65x22-196x+304-196x+304
(x+4)(x-2)(x-4)(x+3)(x-1)(x+4)(x-2)(x-4)(x+3)(x-1)
Exponente
Base Potencia
a) LEY 1
xa xb = xa+b
Ejemplo:
x2 x4 =
Solución:Sumamos los exponentes
= x6
RESULTADO:RESULTADO:
xx66
b). LEY 2
xa / xb = xa-b Ejemplo:
x8 / x3 = Solución:Restamos los exponentes= x5
RESULTADO:RESULTADO:
xx5 5
c). LEY 3
(xa)b = xab
Ejemplo:
(x3)6=Solución:Multiplicamos los exponentes= x18
RESULTADO:RESULTADO:
xx1818
d). LEY 4
1/x-a = xa
Ejemplo:
x-3 / y-5 =Solución:Intercambiamos los términos para convertir los
exponentes a positivos.
= x-3 / y-5
RESULTADO:RESULTADO:
xx-3 -3 / y/ y-5-5
e). LEY 5
a√xb = xb/a
Ejemplo:
3 √ x7 =Solución:Invertimos el radical y el exponente= x 7/3
RESULTADO:RESULTADO:
x x 7/37/3
1. ESCRIBE LA EXPRESIÓN EN FORMA DE RADICAL.
x1/2 - 2y1/3 =
RESULTADO:RESULTADO:
= = √ x - 2 √ x - 2 33√ y√ y
2. ESCRIBE EMPLEANDO EXPONENTES.
4 √x4 y9=
RESULTADO:RESULTADO:
= x y= x y9/49/4
3. FORMA ESTANDAR.
Reglas de la forma estándar de los radicales:• El radicando debe ser positivo (+).• El índice debe ser el menor posible.• El exponente de cada factor del radicando es
un número natural menor que el índice.• No debe haber fracciones en el radicando.
Ejemplo:4 √64x4y10= 4 √26x4y10 = 26/4 x y10/4 = = 23/2 x y5/2 = x √ 23 y5
= 2x y2 √2y
RESULTADO:RESULTADO:
2x y2x y22 √2y √2y
4. SUMA Y RESTA DE RADICALES.Ejemplo:
√24 - √54 + √98 =Solución:
= √(23)(3) - √(33)(2) + √(72)(2)
= - √ 6 + 7 √2
RESULTADO:RESULTADO:
- √ 6 + 7 √2 - √ 6 + 7 √2
6. DIVICIÓN DE RADICALES (RACIONALIZAR UN RADICAL).
Ejemplo:5+ √73- √ 7
Solución:
5 + √7 3 + √7 15 + 5 √7 + 3 √7 + 7 3 - √7 3 + √7 9 - √ 7 2
22 + 8 √7 22 8 √7 9 - 7 2
= 11 + 4 √7
RESULTADO:RESULTADO:
11 + 4 √711 + 4 √7
5. MULTIPLICACIÓN DE RADICALES.Ejemplo:
(2 √7 - √3) (5 √7 + 4 √3 =Solución:= 10 √72 + 8 √21 - 5 √21 - 4 √32
= 10 (7) + 3 √21 - 14(3)= 70 - 3 √21 -12=58 + 3 √21
RESULTADO:RESULTADO:
58 + 3 √2158 + 3 √21
FORMA:
a = Número Real (N. R.) i = Unidad Imaginaria
Valores de ii
i = √-1i = √-1
ii22= -1= -1
ii33= -1= -1
ii44 = 1 = 1
1. SUMAS Y RESTAS.
Ejemplo:
(-7 –8i) – (4 + 9i) + (11 + 17i) =
Solución:
= -7 – 8i - 4 - 9i + 11 + 17i
= 0 + 0i
RESULTADO:RESULTADO:
0 + 0i0 + 0i
2. MULTIPLICACIÓN.
Ejemplo:(7 - 2i) (6 + 9i)=
Solución:
= 42 + 63i - 12i - 18i2
= 42 + 51i - 18 i2
= 42 + 51i - 18(-1)
= 60 + 51i
RESULTADO:RESULTADO:
60 + 51i60 + 51i
3. DIVISIÓN.
Ejemplo: 7 - 2i / 6 + 9i =
Solución: 7 – 2i 6 - 9i 42 – 63i – 12i + 18i 2
6 + 9i 6 – 9i 36 - 81i 2
42 – 75i + 18(-1) 24 - 75i 8 - 25i 36 - 81(-1) 117 39
RESULTADO:RESULTADO:
8 8 -25i-25i
39 3939 39
1. IGUALDAD.Ejemplo:
7x – 2x + 11 = 25 – 4x + 1
Solución:7x – 2x + 4x = 25 + 1 – 11
9x = 15
x = 15/9
x = 5/3
RESULTADO:RESULTADO:
X= 5/3X= 5/3
2. DESIGUALDAD.Ejemplo:
5x – 18 ≤ -7x +15Solución:
5x – 7x ≤ 15 + 18
-2x ≤ 33
2x ≥ 33
x ≥ - 33/2
RESULTADO:RESULTADO:
x ≥ - 33/2x ≥ - 33/2
1. POR FACTORIZACION.Ejemplo:
6x2 + x – 12 = 0Solución:
= (2x + 3) (3x – 4) = 0
2x + 3 = 0 ; 3x – 4 = 0
2x = -3 ; 3x = -4
x1= -3/2 ; x2 = - 4/3
RESULTADO:RESULTADO:
xx11= -3/2 ; x= -3/2 ; x22 = - 4/3 = - 4/3
2. POR FÓRMULLA GENERAL. x = (-b ±√b2-4ac) / 2a
Mismo ejemplo:Solución:
X = (-1 ±√12 – 4(6)(-12) ) / 2(6)
X = (-1 ±√289) / 12
X = (1 ± 17)/ 12
x1= (-1+ 17) / 12 ; x2 = (-1 -17) / 12
RESULTADO: RESULTADO:
xx11= 4/3 ; x= 4/3 ; x2 2 = - 3/2= - 3/2
ax2 +bx + C
Ejemplo:
2x + 8y = 73x – 5y = 4
Solución:
x y Δ = 2 8 = -10 -24 = -34 3 -5
C y Δx = 7 8 = -35 -32 = -67 4 -5
x C Δ = 2 7 = 8 -21 = - 13 3 4
x = Δx /Δ = -67/ - 34 = 67/34
y = Δy/Δ = -13 / -34 = 13/34
RESULTADO:RESULTADO:
x = x = ΔΔx /x /ΔΔ = -67/ - 34 = 67/34 = -67/ - 34 = 67/34
y = y = ΔΔy/y/ΔΔ = -13 / -34 = 13/34 = -13 / -34 = 13/34
ÁNGULO:
Abertura formada por dos líneas que parten de un mismo punto.
x
y90°
180°
270°
360°
0°
1. SISTEMA SEXAGESIMAL.
Algunos Datos.-
C = Circunferencia
C = 360°
Unidad = grado = x°
Minuto = La parte mas pequeña del °
1°/60 = minuto = x´
Segundo = Parte más pequeña del ´
1´/60= segundo = x ´´
2. SISTEMA CÍCLICO.
Algunos Datos.-
Unidad= Radián
Radián: Es el ángulo que intercepta un arco de la misma longitud que el
radio.
Múltiplo = π
1. DE CÍCLICO A SEXAGESIMAL.
Ejemplo:
5/9 π + 3 =
Solución:
= 5/9 (180) + 3 (180/π) = 100 + 171.8873 = 271° 53´ 14´´
RESULTADO:RESULTADO:
= 271° 53´ 14´´= 271° 53´ 14´´
2. DE SEXAGESIMAL A CÍCLICO
Ejemplo:
4297°=
Solución:
= 4297 (π/180)
= 74.99
RESULTADO:RESULTADO:
= 74.99
Ejemplo:
θ = 46°
Solución:
Θ2 = 360° - 46
RESULTADO:RESULTADO:
314°314°
θ = 46°Ángulo coterminal
= 314°
FUNCIONES:
sen sen θθ = c o / h = c o / h
cos cos θθ = c a / h = c a / h
tan tan θθ = c o / c a = c o / c a
cot cot θθ = c a / c o = c a / c o
sec sec θθ = h / c a = h / c a
cos cos θθ = h / c o = h / c o
y
xθ
hipotenusa
Cateto adyacente
Cateto opuesto
Ejemplo:
Encontrar los valores de los lados del triángulo y sus funciones trigonométricas.
Sen x = 11/12
TEOREMA DE PITÁGORAS:
cc22 = a = a2 2 + b+ b22
Solución:
b2 = 122 – (112)
b2 = 144 – 121b2 = 23b = √23
RESULTADO :RESULTADO :
b = √23b = √23
FUNCIONES.
Cos x = (√23)/12
Tan x = 11/ (√23)
Sec x = 12/12
Cosec x = 12 / (√23)
Cotan x = (√23) / 11
b = ?
1112
x
1. CON UN ANGULO RECTANGULO Y DOS AGUDOS. (determina los valores)
DATOS:
b = 7 √2c = 14
Solución: A
b/c = cos A
(7√2)/14 = cos ACos-1 = 0.7071
A= 45°A= 45°
Solución: B
A + B = 9045° + B = 90B = 90° - 45°
B = 45°B = 45°
Solución: ac2 = a2 + b2
142 = a2 + ( 7√2)2
196 = a2 + 98a2 = 196- 98a2 = 98a = √98a = √(72)(2)
a= 7 √ 2a= 7 √ 2
c=14
b = 7√2
a=?
A=? B=90°
C=?
2. CON DOS ANGULOS AGUDOS Y UN OBTUSO
a) LEY DE LOS SENOS:
a/sen A = b/sen B = c/ sen C
Ejemplo:Datos:A= 38°17´ a = 24.3B= 49°57´ b = ?C=? c = ?
Solución: “C”
A+B+C = 180°
38°17´+49°57´+C=180°
C= 180° - (38°17´+49°57´)
C= 91°46´C= 91°46´
Solución “c”:a/sen A=c/ sen C
24.3/sen38°17´=c/sen91°46´
c = (24.3/sen38°17´) (sen91°46´)
c = 39.2c = 39.2
Solución “b”:a/sen A = b/sen B
24.3/sen38°17´ = b / sen 49° 57´
b = (24.3/sen38°17) ( sen 49°57´)
b = 30.02b = 30.02
b) LEY DE LOS COSENOS:
a2 = b2 + c2 – 2bc cos Ab2 = a2 + c2 – 2ac cos Bc2 = a2 + b2 – 2ab cos C
Datos:A= 74°12´ a = ?B= ? b = 19.3C=? c = 28.1
Solución: “a”
a2 = b2 + c2 – 2bc cos Aa2 = 19.32 + 28.12 – 2(19.3)(28.1) cos 74°12´ = 866.76
a = 29.44
RESULTADO:RESULTADO:
a = 29.44a = 29.44
Solución: “B”
Cos B = (866.76 + 28.12 – 19.32 ) / 2(29.44)(28.1) = 1283.88/1654.528 = 0.7759
B= cos-1 0.7759
RESULTADO:RESULTADO:
B= 39°6´47´´B= 39°6´47´´
Solución: “C”
Cos C = (29.442 + 19.32 - 28.12 )/2(29.44)(19.3) = 449.5936/1136.384 = 0.3953
C= cos-1 0.3953
RESULTADO:RESULTADO:
66°41´39´´66°41´39´´
EJEMPLO:
Un cable está sujeto a lo alto de una antena de radio y a un punto en el suelo horizontal que esta a 40m de la base. Si el alambre hace un ángulo de 58°20´ con el suelo, calcula la longitud del alambre.
c a/ h = cos A 40/ h = cos 58°20´ h= 40/ cos 58° 20´
= 76.19m
58°20´
RESULTADORESULTADO76.19m76.19m