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ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE: ING. ELMER CHUQUIYAURI SALDIVAR INGENIERÍA DE SISTEMAS - UNHEVAL
TRANFORMADA DE LAPLACE
I.
1. Demostrase que xf t t , es de orden exponencial cuando ;t R
DEMOSTRACIÓN
Definición:
La función F 0, R , es de orden exponencial si existen constantes c o y
tal que , 0.tF t ce t
2. ¿La función xf t t , es de orden exponencial en 0, ?
SOLUCIÓN
Definición:
La función F 0, R , es de orden exponencial si existen constantes c o y
tal que , 0.tF t ce t
Rpta: No es de orden exponencial
3. ¿Cuáles de las siguientes funciones son continuas por tramos en 0, ? Razónese la
respuesta.
a) 1
1
tf t
t
Rpta: No es continua por tramos 0,
b) 2
2
2
tf t
t t
Rpta: Es continua por tramos en 0,
c) 1
tf t e Rpta: No es continua por tramos en 0,
d) 2f t t Rpta: Es continua por tramos en 0,
4. Demostrar que para cualquier número real , ( )atF t e f t es continua por tramos
en 0, , siempre que f lo sea.
DEMOSTRACIÓN
5. Demuéstrese que las funciones dadas son continuas por tramos y de orden exponencial
en 0, .
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DEMOSTRACIÓN
a) .cosnf t t kt Rpta: No es continua por tramos 0,
b) 1 cos kt
f tt
Rpta: Es continua por tramos en 0,
c) 1 te
f tt
Rpta: No es continua por tramos 0,
d) 1 senkt
f tt
Rpta: Es continua por tramos en 0,
6. Hallar la transformada de Laplace L F t si:
a) 2.cosf t t t
SOLUCIÓN
2 22
2 2 2 22
2 2 2 2 2 3
2 2 4 32 2
1( )
1 1 1
1 2 (1 ) 4 (1 )( 1) 2 6
( 1)1 1
f s L F t
s d s sL cost L t cost
s ds s s
d s s s s s s s s
ds ss s
Rpta:
3
32
2 6
1
s sf s
s
b) 2. .costf t t e t
SOLUCIÓN
Se sabe que el ejercicio anterior es 2.cosf t t t y por propiedad:
32
32
2( 1) 6( 1). .cos
( 1) 1
t s sL t e t
s
Rpta:
3
32
2 1 6 1
1 1
s sf s
s
c) 2
32 3t
f t t e
SOLUCIÓN
/ 3 2 / 3 / 3 2 / 3
2 / 3 2 / 3 2 / 3
2 2 2
2 . 3
2. 3 (3 3 )
1 1 1( ) ( )
3 3 3
t tL F t L t e e L e e
e e e sL F t
s s s
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Rpta:
2 / 3
2
(3 3 )
1( )
3
e sf s
s
7. Demostrar que
22
3
6 2
1
sL t sent
s
DEMOSTRACIÓN
2 22 22
2 2 2 22
22 2 2 2
4 3 3
1 211 1
1 1
2 1 2 1 2 2 2 1 8 6 2
1 1 1
sd d dL t sent L sent
dsds ds s s
s s s s s s s
s s s
Por lo tanto,
2
3
6 2
1
sf s
s
L.q.q.d.
8. Demostrar que
2
3
2 2
7cos
9 1
s sL t
s s
DEMOSTRACIÓN
Propiedad: 3 cos 3 3coscos
4
t tt
3
2 2
2 2 22
2 2 2 2 2 2
cos 3 3cos 1 1 3cos cos 3 3cos
4 4 4 9 1
1 3 9 74 28
4 49 1 9 1 9 1
t t s sL t L L t t
s s
s s s ss s s
s s s s s s
Por lo tanto,
2
2 2
7
9 1
s sf s
s s
L.q.q.d
9. Halla 3.cosL t t
SOLUCIÓN
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2
23 2 2 23 3 33
3 2 2 2 2 22 2
22 2 2 3
3 3
4 32 2
3 22 2 2 3
62
cos1
1 2 1cos 1 1 1
1 1 1
2 1 2 1 2 1 2 61 1
1 1
6 6 1 3 1 2 2 61
1
sL t
s
s s sd s d d sL t t
ds s ds dss s
s s s s sd d s s
ds dss s
s s s s s s
s
2 2 3
42
4 4 2 4 2 4 2
4 4 42 2 2
6 6 1 3 2 2 61
1
6 6 12 36 6 36 6 6 36 61 1
1 1 1
s s s s s
s
s s s s s s s
s s s
Rpta:
4 2
42
6 36 6
1
s sf s
s
10. Halla 2 .cossen t t
Lt
SOLUCIÓN
22 3 3
33
2 4 2
3 3
2 4 2
2
1 cos cos.cos cos cos cos cos
7cos cos
1 10 9
cos cos 7
1 10 9
1 2 1 4
2 41
s s
s
t tsen t t t t t tL L L L L
t t t t t
s s sL t L t
s s s
t t u u uL L du du
t t u u u
udu
u
3 3
4 2 2 4 2 4 2
2 4 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
20 8 1 2 1 4 20 1 8
2 4 410 9 1 10 9 10 9
1 1 2ln 1 ln 10 9
2 4 9 1
1 92
9 1 9 1 9
s s s s
s s s
s s
u u u u u u udu du du du
u u u u u u u
uu u u du
u u
Au B u Cu D uu Au B Cu Ddu du
u u u u u u
3 2
2 2
1
9 9
9 1
1 1, 0, 0,
4 4
s
s
du
A C u B D u A C u B Ddu
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A B C D
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2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 4 2
2 1 14 4
4 49 1 9 1 9 1
1 2 1 2 1 1ln 9 ln 1
8 8 8 89 1
1 1 1 10 ln 9 0 ln 1 ln 9 ln 1
8 8 8 8
1 1ln 1 ln 10 9
2 4
s s s s
s ss s
s s
u u
u u udu du du du
u u u u u u
u udu du u u
u u
s s s s
u u u
2 2
2 4 2 2 2
2 4 2 2 2
2 4 2 2 2
1 12 4 22 4
2
9 1
1 1 1 1ln 1 ln 10 9 ln 9 ln 1
2 4 8 8
1 1 1 10 ln 1 0 ln 10 9 0 ln 9 0 ln 1
2 4 8 8
1 1 1 1ln 1 ln 10 9 ln 9 ln 1
2 4 8 8
ln 1 ln 10 9 ln
s
s s s s
udu
u u
u u u u u
s s s s s
s s s s s
s s s
1 12 28 8
1 1 1 1 32 2 2 2 24 4 8 4 8 2
1 1 1 1 22 2 2 22 8 2 8
9 ln 1
9 1 1 9 1 1 9ln ln ln
8 11 9 1 9
s s
s s s s s s
ss s s s
Rpta: 2
2
1 9ln
8 1
sf s
s
11. Halla L sen a t
SOLUCIÓN
Propiedad: cos cossen a t sena t asent
2 2 2
cos cos
1 . coscos
1 1 1
L sen a t L sena t asent
s s sena asena a
s s s
Rpta: 2
cos .
1
a s senaf s
s
12. Halla 2cosL bt
SOLUCIÓN
2
2 2
1 cos 2 1 1 1cos 1 cos 2
2 2 2 4
bt sL bt L L bt
s s b
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Rpta: 2 2
1 1( )
2 4
sf s
s s b
13. Demostrar que:
a)
2 22
2 2
2cosh
4
s aL at
s s a
DEMOSTRACIÓN
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
1cosh 2
2 4
1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 8
4 2 2 4 44 4
1 4 8 2
4 4 4
at atat ate e
L at L L e e
s s s a
s a s a s ss a s s a
s a s a
s s a s s a
Por lo tanto,
2 2
2 2
2
4
s af s
s s a
L.q.q.d.
b)
22
2 2
2
4
aL senh at
s s a
DEMOSTRACIÓN
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
1h 2
2 4
1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 8
4 2 2 4 44 4
1 8 2
4 4 4
at atat ate e
L sen at L L e e
s s s a
s a s a s ss a s s a
a a
s s a s s a
Por lo tanto,
2
2 2
2
4
af s
s s a
L.q.q.d.
c) 2 2
4 4
2cos .
4
a s aL at senat
s a
DEMOSTRACIÓN
2 2
2cos . 1 1 2cos . 2
2 2 2 4
at senat aL at senat L L sen at
s a
Por lo tanto, 2 2
2
2 4
af s
s a
L.q.q.d.
d) 3
4 4cos .cos
4
sL at at
s a
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DEMOSTRACIÓN
2
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 cos 2 1 1cos .cos cos
2 2 4
1 4 2
2 4 4
at sL at at L at L
s s a
s a s s a
s s a s s a
Por lo tanto,
2 2
2 2
2
4
s af s
s s a
L.q.q.d.
e) 2
4 4
2s h .
4
a sL en at sen at
s a
DEMOSTRACIÓN
2 2 2 2
2 2 2 2 2 22 2
2 2 2 2
1s h . . . .
2 2
2 2 2 21
2 2 2 2 2 2
4
2 2 2 2 2
at atat ate e
L en at sen at L sen at L e sen at e sen at
s sa a s sa aa a a
s sa a s sa as a a s a a
a sa
s sa a s sa a
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 4 42 4 2 2 42 2
2
2 2 2 2
2 2 2
44 4 22 2
sa
s a sa s a sa
sa sa a s
s as s a a sas a sa
Por lo tanto, 2
4 4
2
4
a sf s
s a
L.q.q.d
f) 2 2
4 4
2s h .cos
4
a s aL en at at
s a
DEMOSTRACIÓN
2 2 2 2
2 2 2 2 2 22 2
2 2 2 2
1s h .cos .cos .cos .cos
2 2
2 2 2 21
2 2 2 2 2 2
4
2 2 2 2 2
at atat ate e
L en at at L at L e at e at
s sa a s sa as s s
s sa a s sa as a a s a a
s sa
s sa a s sa a
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 4 42 4 2 2 42 2
2
2 2 2 2
2 2 2
44 4 22 2
s a
s a sa s a sa
s a s a s a
s as s a a sas a sa
Por lo tanto, 2
4 4
2
4
s af s
s a
L.q.q.d.
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14. Hallar la transformada de Laplace de F(t) si :
a) , 2
2, 2
t tF t
t
SOLUCIÓN
2 2
20 2 0
22
2
2 2
0 2
2( ) 2
= du=dt
= v=-
2 2 4 = (- ) =-
s s
st st st st
stst
st st sst s
L F t e tdt e dt e tdt es
u t
edv e
s
e e ete e
s s s
22
2 2
1 1 21 2+ =-
ss s ee
s s s
Rpta: 2
2
1 1 2( ) =-
ss eL F t
s
b) ( 2 )t dF t te sen t
dt
SOLUCIÓN
2 2
2
2 2 22
2
22
2 2( ) 02
4 4
2 d 2 2s 8 . =- ( ) =
ds4 4 4
2 s-1 8( 2 )
s-1 4
t
sds senL sen t
s sdt
s sL t
s s s
dL te sen t
dt
Rpta:
2
22
2 s-1 8( ) =
s-1 4
L F t
c) , 2
0, 2
sent tF t
t
SOLUCIÓN
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2
0 2
22 2
0 00
( ) 0
= du= cos tdt
= v=-
1 cos
st st
stst
stst st
L F t e sentdt e dt
u sent t
edv e
s
ee sentdt sent e tdt
s s
2 22 2
2 2
0 00 0
= cos du=- dt
= v=-
1 cos
stst
st stst st
st
u t sent
edv e
s
e ee sentdt sent t e sentdt
s s s
e sentd
2 22
2 2
0 0 0
2 -2 s
2 2 2
. cos1 1
1 -e 1 = -( - ) =
1 1 1
st st
s
e et s sent t
s s
e
s s s
Rpta: -2 s
2
-e 1( ) =
1L F t
s
d)
0 ,2
3cost ,
2 2
30 ,
2
t
F t t
t
SOLUCIÓN
3 3
2 2 2
30
2 2 2
3
2
2
( ) 0 cos 0 cos
= cos du=- dt
= v=-
cos cos
st st st st
stst
st
L F t e dt e tdt e dt e tdt
u t sent
edv e
s
ee tdt t
3322
2 2
3
2
2
1
= du=cos dt
= v=-
cos cos
stst
stst
st
e sentdts s
u sent t
edv e
s
ee tdt t
33 322 2
2
2 2 2
3 3332 222
2 22
1cos
2 1cos cos
1 1 1
st stst
s
st stst
esent e tdt
s s s
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Rpta:
3
22 1( ) =
1
s
s eL F t
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, 2
8-3t , 2 3
4 , 3< t 4
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t t
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t
SOLUCIÓN
2 3 4
0 2 3 4
2 3
2 2
0 2
( ) 8 3 4 0
= du=dt
= v=-
= 3 3 4
st st st st
stst
st st st st st st st
L F t e tdt e t dt e t dt e dt
u t
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e e e e e e e et t t
s s s s s s s
4
2
3
2 3 4 3 4 3 2
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1 1 2 8 3 1 7 2 1 2 1=
st
s s s s s s s
s
s e s e e s e e s e s e
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Rpta: 4 3 2
2
7 2 1 2 1( ) =
s s se s e s eL F t
s
f) 3
0
cos 4
t
tF t e t t dt
SOLUCIÓN
Rpta:
2
22
16 3( )
3 3 16
sF s
s s
2
2
22 2
2
22 2
22
0
2
3
22
0
cos 416
16cos 4
16 16
16
16 16cos 4
16
16 3cos 4
3 3 16
t
t
t
sL t
s
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s
sf s sL t t dt
s s s s
sL e t t dt
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2
0
cos 3
t
tdF t e t dt
dt
SOLUCIÓN
2
2
0
2
2
2
0
2
22 2
0
cos 3
cos 39
1cos 3
1 9
1cos 3
1 9
1 10cos 3 1
1 91 9
t
t
t
t
t
t
t
dF t e t dt
dt
sL t
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sL e t
s
sL e t dt
s s
s sd sL e t dt
dt ss
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2
10
1 9
sf s
s
h) 2
0
t
t tdF t te t e sent dt
dt
SOLUCIÓN
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
22
2 cos
1
1
22
2 1
cos1
2cos
2 1
2 22 cos
2 1 2 1
2 cos2 1
2 1 2 2 5
2 1
t t t
t
t
t t
t t
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L sents
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s s s s
s
2
22 1s
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22
22
0
22
22
0
2 22 2 22 2
422
2 22 2
322
5
2 1
5
2 1
2 2 1 5 2 1 4 2 1 2
2 1
2 2 1 5 2 1 4 2
2 1
t
t
t
t
d sL t e sent dt
dt s s
d d sL t t e sent dt
dt ds s s
s s s s s s s
s s
s s s s s s
s s
Rpta:
22 2 2 2
322
4 8 1 5 2 5 2
2 1
s s s s s sf s
s s
15. Si ( )f s L f t ,demostrar que para r>0;
1 lnt s r
L r F ar fa a
SOLUCIÓN
ln
ln
1 ln
1
ln ln
1 ln
t
t
rt
rt
s rL r F ar f
a a
L F r f s
sL F ar f
a a
f x r
f x t r
f x e
s rL e F ar f
a a
Rpta: ln 1 lnrt s rL e F ar f
a a
16. Demostrar que;
2 32
32 2
6 2bs bL t senbt
s b
DEMOSTRACIÓN
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222
2 2 2 22 2
22 2 2 2 2 2 2
4 32 2 2 2
2 3 2 2 3
3 32 2 2 2
21
2 2 .2. . 2 2 8
2 2 8 6 2
b sd b dL t senbt
dsds s b s b
b s b bs s b s b s b bs
s b s b
bs b bs bs b
s b s b
Por lo tanto,
2 3
32 2
6 2bs bf s
s b
L.q.q.d.
17. Demostrar que;
1sent
L arctgt s
DEMOSTRACIÓN
2
1
1L sent
s
2
1 1
1 s
s
sentL du arctgu arctg
t su
Por lo tanto, 1
f s arctgs
L.q.q.d.
18. Calcular L F t si:
a) 3
0
2
t
tF t e tsen t dt
SOLUCIÓN
3
0
2
2 2 22 2
22
22
0
3
2 22 2
0
2
22
4
2 4 42 1 1
4 4 4
4
4 42
4
4 42
6 133 4
t
t
t
t
t
F t e tsen t d
L sen ts
d s sL tsen t
ds s s s
s
sf sL tsen t
s s s
L e tsen ts ss
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Rpta:
22
4( )
6 13F s
s s
b) 3 2t sen tF t e
t
SOLUCIÓN
3
2
2 2
3
2
22
4
2 2 1 12 2
2 2 2 24 4
2 3
2 2
t
s s s
t
sen tF t e
t
L sen ts
sen t u sL du du arctg arctg
t u u
sen t sL F t L e arctg
t
Rpta: 3
( )2 2
sF s arctg
19. Calcular 3
0
2t te sen t
L dtt
SOLUCIÓN
2
2 2
3
3
0
22
4
2 2 1 12 2
2 2 2 24 4
2 3
2 2
3
2 1 32 2
2 2
s s s
t
t t
L sen ts
sen t u sL du du arctg arctg
t u u
e sen t sL arctg
t
sarctg
f se sen t sL dt arctg
t s s s
Rpta: 1 3
( )2 2
sF s arctg
s
20. Calcular 3sen t
Lt
:
SOLUCIÓN
Propiedad: 3 3 3
4
sent sen tsen t
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3
2 2
3
2 2 2 2
3 3 1 1 3 33 3
4 4 4 1 9
1 3 3 3 1 3 1
4 4 41 9 1 9
3 1 3 1 1 3
4 3 3 4 4
s s s
ss
sent sen tL sen t L L sent sen t
s s
sen tL du du du
t u u u u
uarctg u arctg arctg arctg
s s
Rpta: 3 1 1 3
( )4 4
f s arctg arctgs s
21. Halle
2at bte e
Lt
SOLUCIÓN
22 2
2 2
2 2
2
1 2 12
2 2
2 1 1 12
2 2
l n 2 2 l n l n 2
0 ln 2 0 ln
at bt a b tat bt
a b tat bt
a b tat bt
s s s
s s s
e e e e eL L
t t
L e e es a s a b s b
e e eL du du du
t u a u a b u b
u a u a b u b
s a s a b
2
20 ln 2 ln
2 2
s a bs b
s a s b
Rpta:
2
( ) ln2 2
s a bf s
s a s b
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Halle 3
tsent sen tL e
t
3
2 2
3
2 2
3
3 3 14 3 3
4 4
1 7 3
4 1 9
7 1 3 1
4 41 9
7 1 7 1 1 3
4 4 3 4 4
s s
s s
sent sen tL sent sen t L sent L sent sent sen t
s s
sent sen tL du du
t u u
uarctg u arctg arctg arctg
s s
sent sen tL
7 1 1 3
4 1 4 1
te arctg arctgt s s
Rpta: 7 1 1 3
( )4 1 4 1
f s arctg arctgs s
22. Halle 3
tsent sen tL e
t
3
2 2
3
2 2
3
3 3 14 3 3
4 4
1 7 3
4 1 9
7 1 3 1
4 41 9
7 1 7 1 1 3
4 4 3 4 4
s s
s s
sent sen tL sent sen t L sent L sent sent sen t
s s
sent sen tL du du
t u u
uarctg u arctg arctg arctg
s s
sent sen tL
7 1 1 3
4 1 4 1
te arctg arctgt s s
23. Evaluar .cosL senkt kt
SOLUCIÓN
2 2
2 .cos 2.cos
2 2
1 1 22
2 2 4
senkt kt sen ktL senkt kt L L
kL sen kt
s k
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Rpta: 2 2
( ) , 04
kf s s
s k
24. Hallar L F t
si 3
0
( ) cos 4
t
tF t e t t dt
SOLUCIÓN
2
2 2
2 2 22 2
2
22 2
22
0
2
3
22
0
cos 416
16 2 16cos 4 1 1
16 16 16
16
16 16cos 4
16
3 16cos 4
3 3 16
t
t
t
sL t
s
s s sd s sL t t
ds s s s
s
sf s sL t t dt
s s s s
sL e t t dt
s s
Rpta:
2
22
3 16( )
3 3 16
sf s
s s
25. Hallar L F t
si:
a) 3
0
2
t
tF t t e sen t dt
SOLUCIÓN
2
3
2
2
3
20
22
4
22
3 4
2
3 4 22
3 4
t
t
t
L sen ts
L e sen ts
f s sL e sen t dt
s s s s
2
3
22 220
3 4 2 32
2 1 13 4 3 4
t
ts s s
dL t e sen t dt
ds s s s s
Rpta:
2
222
3 12 13( )
3 4
s sf s
s s
b) 3
0
2
t
tF t t te sen tdt
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SOLUCIÓN
2
2 2 22 2
3
22
22
3
22
0
3
22
0
2
22
4
2 22 42 1 1
4 4 4
4 32
3 4
4 3
3 4 4 32
3 4
4 32 1
3 4
4 3
1
t
t
t
t
t
L sen ts
sd sL tsen t
ds s s s
sL te sen t
s
s
sf s sL te sen tdt
s s s s
sdL t te sen tdt
ds s s
s s
2 22 2
422
4 2 3 4 2
422
5 4 2 3 4 2
422
4 4 3 3 4 4 3 4 3
3 4
4 3 3 8 3 16 4 3 16 3 4 3 8 3 16
3 4
4 3 4 3 32 3 64 32 3 64 3 16 3 64 3
3 4
s s s s s
s s
s s s s s s s s s s
s s
s s s s s s s s s s s s
s s
5 4 3 2
422
5 4 3 2
422
4 3 12 3 32 3 32 3 64 3 641
3 4
4 3 12 3 32 3 32 3 64 3 64
3 4
s s s s s s s s
s s
s s s s s s s s
s s
Rpta:
5 4 3 2
422
4 3 12 3 32 3 32 3 64 3 64
3 4
s s s s s s s s
s s
c) 3
0
2t
t sen tF t e dt
t
SOLUCIÓN
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3
0
2
2
0
3
0
2
22
4
2 1 12 2
2 2 2 24
2 12 2
2 2
2 1
3 2
t
t
s s
t
t
t
sen tF t e dt
t
L sen ts
sen t u sL du arctg arctg
t u
sarctg
f ssen t sL dt arctg
t s s s
sen t sL e dt arctg
t s
3
2
Rpta:
1 3( )
3 2 2
sf s arctg
s
d) 0
cos 2t te t
F t dtt
SOLUCIÓN
0 0 0
2
cos 2 cos 2
1
1
cos 24
t t tt t
t
e t e tF t dt dt dt
t t t
L es
sL t
s
2
2
2
2 2
2
2
0
cos 2 1 1ln 1 ln 4
1 4
1 1 4ln 0 ln ln
14 4
4ln
1cos 2 1 4ln
1
t
ss
s
t t
e tL L du u u
t t u u
u s s
su s
s
f s se t sL dt
t s s s s
Rpta: 21 4
( ) ln1
sf s
s s
26. Hallar L F t
si ,t < 4
( )cos ,t > 4
sentF t
sent t
SOLUCIÓN
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4
0 4 4
,t < 4( )
cos ,t > 4
( ) cos
= du= cos tdt
= v = -
st st st
stst
sentF t
sent t
L F t e sent dt e sent dt e t dt
u sent t
edv e
s
4
0
= cos du=- dt
= v = -
( )
stst
st
u t sent
edv e
s
L F t e sent dt
4 4
4 4 0 40 4
4 4
4 0 44 0 4 4
cos - cos - cos
- cos - - - cos cos cos
st st st stst st
st st st st st st st st
e e e ee sent dt e t dt sent t dt sent t dt
s s s s
e e e e e e e et sent dt sent sent t t dt t dt se
s s s s s s s s
4
4 4 4
2 2
0 40 4 4 0 4
4 4 4
2 2
00 4 4 0 4
- - - cos - cos - cos
- - - cos - cos - cos
st st st st st st st
st st st st st st st
nt dt
e e e e e e esent sent t t sent dt t sent dt
s s s s ss s
e e e e e e esent sent t t sent dt t se
s s s s ss s
2
4 44
cos st ste e
nt dt sent t dts s
Rpta: 3 1 1 3
( )4 4
f s arctg arctgs s
27. Hallar 3 .cos3 .cos 4tL e t t
SOLUCIÓN
Propiedad: 2cos cos cos cosA B A B A B
3 3 3
2
2 2 2 2
1 1.cos 3 .cos 4 .2 cos 4 .cos 3 . cos 7 cos
2 2
3 3 251 3 3
2 3 49 3 1 3 49 3 1
t t tL e t t L e t t L e t t
s ss s
s s s s
Rpta:
2
2 2
3 3 25( )
3 49 3 1
s sf s
s s
28. Calcular 3 3 2. .tL e t sen t
SOLUCIÓN
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3 3 2 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3
3 2 233 3
4 3 2 4 2 22
1 cos 2 1. . . . . . 1 cos 2
2 2
1 1 1. . cos 2 . . cos 2
2 2 2
1 1 1 6 1 3 1 4 2cos 2 1 1
2 2 2 2 24 4
t t t
t t t t
tL e t sen t L e t L e t t
L e t e t t L e t L e t t
d s d sL t L t t
s ds s s ds s
22 2 2
4 42
2 2 3 3
4 3 4 32 2
4
4 4 4 2 .2. 4 23 11
2 4
4 4 4 2 43 1 3 1 4 16 16 81
2 24 4
32
s s s s sd
dss s
s s s sd d s s s s
ds dss ss s
d
ds
3 22 2 3 23
3 4 62 2
3 8 4 8 2 4 28 32
4 4
s s s s s ss s
s ss s
2 2 3 2 4
4 4 4 42 2
2 4
3 3 2 3 3
4 42
3 8 4 8 43 3 36 322 2
4 4
36 3 32 31 3. . . . 1 cos 2 2
2 3 3 4
t t
s s s s s s s
s ss s
s sL e t sen t L e t t
s s
Rpta:
2 4
4 42
72 3 2 3 643( )
3 3 4
s sf s
s s
29. Hallar , .n
L t a n Z es un entero positivo
SOLUCIÓN
Rpta:
1
2 1
1( ) ! ...
1 ! 2 ! 1!
n n
n n
a a aF s n
n s n s s s
30. Hallar .cosL sen at bt
SOLUCIÓN
Propiedad: 2 cossenA B sen A B sen A B
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2 22 2
1 1.cos 2 .cos
2 2
1 1
2 2
L sen at bt L sen at bt L sen a b t sen a b t
a b a bL sen a b t sen a b t
s a b s a b
Rpta:
2 22 2
1( )
2
a b a bf s
s a b s a b
31. Hallar 2atL e sen bt
SOLUCIÓN
2
2 2
2
2 22 2
1 cos 2 11 cos 2
2 2
11 cos 2
4
1 1 1 41 cos 2
2 2 4 2 4
at at at
at
bL e sen bt L e L e b
sL b
s s b
s a bL e b
s a s a b s a s a b
Rpta:
2
2 2
4( )
2 4
bf s
s a s a b
32. Hallar 2
2
0
cos 3
t
tdL e t dt
dt
SOLUCIÓN
2
2
0
2
2
2
20
22
2 20 0
0
2
cos 3
cos 39
1cos 3
1 9
1
1 9 1cos 3
1 9
1cos 3 cos 3 cos 3 1 cos 3 0
1 9
1cos 0
1 9
t
t
t
t
t
t t
t t t t
dL e t dt
dt
sL t
s
sL e t
s
s
f s s sL e t dt
s s s s
s sdL e t dt s e t dt e t e t
dt s s
s ss e dt
s
0 0
20 0
2
0
2 2 2 20
1cos 0 1 cos 0 0 1
1 9
1 1 1 1 9 101 1
1 9 1 9 1 9 1 9
t ts se e s dt
s
s s s s s s s ss t
s s s s
Rpta: 2
10( )
1 9
sf s
s
33. Calcular 3
2cosL t t
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SOLUCIÓN
Rpta:
3
30 2
31 (3 )
2( )
2 !
n
nn
n
F s
n s
34. Calcular 2
0
s t sentL e dt
t
SOLUCIÓN
2
2
2
0
2
2
2
2
2
0
1
1
1
21
2
12
2
s t
ss
s t
s t
sentL e dt
t
L sents
sentL du arctg u arctg s
t u
sentL e arctg s s
t
arctg s sf ssentL e dt arctg s s
t s s s
Rpta:
1
f s arctgs
35. Hallar cos cos
t
at btL
te
SOLUCIÓN
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
cos cos cos cos
cos
cos 1 2 1 1ln ln
2 2 2 2
cos 1ln 1
2 2
t t
t
ss
t
at bt at btL L e L e
t tte
sL at
s a
at uL du u a s a
t u a
atL e s a
t
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2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 22 2
2 22 2
cos
cos 1 2 1 1ln ln
2 2 2 2
cos 1ln 1
2 2
cos cos 1 1ln 1 ln 1
2 2 2 2
1ln 1 ln 1
2 2 2
ss
t
t
sL bt
s b
bt uL du u b s b
t u b
btL e s b
t
at btL s a s b
te
s a s b
2 2
2 2
11ln
2 1
s b
s a
Rpta:
2 2
2 2
11ln
2 1
s bf s
s a
36. Calcular 2
0
a t sentL e dt
t
RESOLUCIÓN
2
2
2 2
22
0
1 1( )
1 1( )
1 1( )
a t
a t
sentL arctg
t s s
sentL e arctg
t s a s a
sentL e dt arctg
t s as s a
Rpta:
22
1 1( )f s arctgs as s a
37. Calcular la transformada de Laplace de: 2
t
t z
a
dL te z e senz dz
dz
RESOLUCIÓN
2
2
2 2 0
2
22
22 2
22
22
0
22
0
1
( 2) 1
( ) (0)( 2) 1
5
( 2) 1 ( 2) 1
1 5
( 2) 1
( 1) 5
( 1) ( 3
z
z z
z
t
z
t
t z
L e senzs
d sL e senz s L e senz e sen
dz s
d d s sL z e senz
dz ds s s
d sL z e senz dz
dz s s
d sL e z e senz dz
dz s s
22
22
22
0
) 1
( 1) 5
( 1) ( 3) 1
t
t zd d sL te z e senz dz
dz ds s s
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Rpta:
2 2
3 22 2 2
( 4 1)(5 22 22) 2
( 1) 6 10 6 10
s s s sf s
s s s s s
38. Hallar cos cos
t
at btL
te
RESOLUCIÓN
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
cos cos cos
1 1cos cos
( 1) ( 1)
(cos cos ) 1 1
( 1) ( 1)
(cos cos ) 1 1ln ( 1) ln ( 1)
2 2
t t t t
t t
t
s s
t
L e at e bt L e at L e cosbt
s sL e at e bt
s a s b
e at bt u uL du du
t u a u b
e at btL s a s b
t
Rpta:
2 2
2 2
11ln
2 1
s bf s
s a
39. Calcular 2
2
0
t
u t senuL te du
u
RESOLUCIÓN
2
0
2
2
0
1( )
1( )
1
1 1( )
1
1 1( )
2 1
u
t
u
t
t u
senuL arctg
u s
senuL e arctg
u s
senuL e du arctg
u s s
senu dL te e du arctg
u ds s s
Rpta:
2 2
1
11
( 1) 1 22
arctgs
f ss ss
40. Demostrar que:
22
3
0 0 0
4 4yt xsenz
L dz dydx arctgz s s
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RESOLUCIÓN
2
0
22
3
0 0 0
1 1( )
1 1
y
yt x
senzL dz arctg
z s s
senzL dz dydx arctg
z s s
41. Calcular 0
tsenu
L duu
RESOLUCIÓN
2
2
0
1
1
1/
1 2
1 1 1( ) ( )
2
s
s
t
L senus
senuL arctgu arctgs
u u
senuL du arctgs arctg
u s s s
Rpta:
1 1
( )f s arctgs s
42. Calcular 0 0
t tsenu
L duduu
RESOLUCIÓN
0
2
0 0
1 1( )
1 1( )
t
t t
senuL du arctg
u s s
senuL dudu arctg
u s s
Rpta:
2
1 1( )f s arctg
s s
43. Demostrar que: 2
3
0 0
ln( 1)
bt ax u
y
e ab sL dudydz
u s ab
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3
0 0
ln( 1)
bt ax u
y
e ab sL dudydz
u s ab
Rpta:
44. Demostrar que: 3
0 0 0
1 1( )
yt xsenz
L dzdydx arctgz s s
RESOLUCIÓN
0
3
0 0 0
1 1( )
1 1( )
y
yt x
senzL arctg
z s s
senzL dzdydx arctg
z s s
Rpta:
45. Demostrar que: 2
0 0 0
1 1( )
yt xsenz
L dzdydx arctgz s s
RESOLUCIÓN
0
3
0 0 0
1 1( )
1 1( )
y
yt x
senzL arctg
z s s
senzL dzdydx arctg
z s s
Rpta:
46. Calcular
2
0
cos 3 cos 2t
z zL dz
z
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2
0
2
2 2 2
2 2
2
0
cos 3 cos 2
cos 3 cos 2 cos 3 2
cos 3 cos 2 1 4ln( )
9 4 2 9
cos 3 cos 2 1 4ln( )
2 9
t
s s
t
z zL dz
z
z z z cos zL L L
z z z z
z z u u sL du du
z z u u s
z z sL dz
z s s
Rpta:
2
2
1 16ln( )
2 36
sf s
s s
47. Calcular 2
0
( )
t
t zdL e z e senz dz
dz
RESOLUCIÓN
2
2
2 0
2 2
22
2 2
22
22
0
22
0
1
( 2) 1
1( ) (0)
( 2) 1 ( 2) 1
5( )
( 2) 1 ( 2) 1
5( )
( 2) 1
( 1) 5( )
( 1
z
z
z
t
z
t
t z
L e senzs
d sL e senz s e sen
dz s s
d d s sL z e senz
dz ds s s
d sL z e senz dz
dz s s
d sL e z e senz dz
dz s
2) ( 3) 1s
Rpta:
2
22
1 51
1 3 1
sf s
s s
48. Demostrar que: 1
1
t sentL e arctg
t s
RESOLUCIÓN
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2
1/ ( )
1 2
1( 1) ( )
2 1
s
s
t
sentL arctgu arctg s
t u
sentL e arctg s arctg
t s
Rpta: No se cumple la igualdad
SOLUCIÓN
2
2
1
1
1
21
12
ss
t
L sents
sentL du arctg u arctg s
t u
sentL e arctg s
t
Rpta:
12
f s arctg s
49. Calcular la transformada de Laplace de la función
,si t e
1 ,si t e impar
t t s parF t
t t s
RESOLUCIÓN
t =n ,n 1
t ,si 0 t<1 0
t -2 ,si 1 t<2 1
t-2 ,si 2 t<1 2
t-4 ,si 3 t<4 3
t-4 ,si 4 t<5 4
.
.
t n
para n
para n
para n
F t para n
para n
por escala unidad queda f(t)= t + (t -2-t)u(t-1)+(t -2-(t-2))u(t-2)+(t -4-(t-2))u(t-3)+.............
+( ) 2 ( 1) 2 ( 3) 2 ( 5) ...... 2 ( (2 1)) k
2 ( 1) 2 ( 3) 2 ( 5) .( )
f t t u t u t u t u t k
L t u t u t u tL f t
..... 2 ( (2 1))
se sabe L u(t-a)
3 5 71 1 2 (2 1)( ) 2( ....... )
2 21
u t k
ate
s
s s s se e e e k sL f t e
s s s s ss s k
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Rpta: 1 2 (2 1)
21
k se
ss k
50. Calcular cos
t
at cosbtL
te
SOLUCIÓN
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
cos cos cos cos
cos
cos 1 2 1 1ln ln
2 2 2 2
cos 1ln 1
2 2
t t
t
ss
t
at bt at btL L e L e
t tte
sL at
s a
at uL du u a s a
t u a
atL e s a
t
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 22 2
2 22 2
cos
cos 1 2 1 1ln ln
2 2 2 2
cos 1ln 1
2 2
cos cos 1 1ln 1 ln 1
2 2 2 2
1ln 1 ln 1
2 2 2
ss
t
t
sL bt
s b
bt uL du u b s b
t u b
btL e s b
t
at btL s a s b
te
s a s b
2 2
2 2
11ln
2 1
s b
s a
Rpta:
2 2
2 2
11ln
2 1
s bf s
s a
51. Calcular 0
t
u senuL t e du
u
RESOLUCIÓN
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0
2
2
0
2
0
2
1
12
21
1 12
11 12 12
1 1( )
t
u
ss
u
t
u
t
u
senuF s L t e du
u
L sen us
sen uL du arctg u arctg s
u u
sen uL e f s arctg s
u
arctg sf ssenuL e du arctg s
u s s s
f ssenuL t e du d
u s s
2
1 1( )
1 (1 ( 1) )arctg
s s s
1.
Rpta:
2 2
1 1 1
1 1 1f s arctg
s s s s
52. Calcular
3 3
0 0
1t x ye
L dydxy
Rpta: f(s)= 2
1ln( )
( 1)
s
s s
53. Calcular 2
0
( )
t
tdL te dt
dt
3
0
3 3
2
0 0
1 11
1
1 1ln( ) ln( ) ln( )
1 ( 1)
1 1ln( )
( 1)
1 1ln( )
( 1)
y
y
x y
t x y
F s L es s
e sL s
y s s
e sL dy
y s s
e sL dydx
y s s
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2
2 2 2 2
2 2
2 2
0
0 00
0
( ) ( )
2
= du=-2t
= v = -
t
t
stt st t t st t
t t
stst
sst t t
dL f t L te dt
dt
eL e e e dt e e te dt
s s
u e e dt
edv e
s
ee te dt te
2 2
2 2 2
2
0 00
2
2t
=t du= ( -2t )
= v = -
tst t st t
t t t
stst
e e dt e e dts s
u e e e dt
edv e
s
=
54. cosate bt
Lt
2 2 2 2
2 2 2 2
2
cos cos( )
1 1 1( )
( )
cos 1 2cos ( ) ( )
2
cos 1(
( )
at at
atat
s
s
ss
at
e bt e btL f t L L L
t t t
eL e L du ln u a ln
s a t u a s a
s bt uL bt L du ln u b ln s b
ts b u b
e btL ln ln s b
t s a
2 22 ) ln( )
s b
s a
Rpta: 2 2
ln( )s b
s a
55. 2
0
tsenu
L duu
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2
0
2
2
2
22
2
222
2
1 cos 2
2
1 2 1
2 2 2 2( 4)
1 1 1 1ln( ) ( 4)
2 2 24
1 1 4(ln( ) ln( 4)) ln
2
t
s s s
sen uF s L du
u
xsen u
cos u sL sen u L L
s s
sen u xL dx dx x ln x
u x x
ssen usL
s su
sen uL
u
2 4ln
s
s
Rpta: 2 4
lns
s
56. 2
8
2
0
cos 4
t
t tdL te e tdt
dt
28
2
0
2 2
0
2
2 22
0
2 2
2
0
( ) cos 4
1 1cos 4 cos 4 .
16 ( 1) 16
1 ( 1)(0) (0) 1 1cos 4
( 1) 16 ( 1) 16
(2 1)(( 1) 16)cos 4
t
t t
t
t
t
t
t
t
df s L te e tdt
dt
s sL t L e tdt
ss s
s s sds F FL e tdt
s sdt
d s sL t e tdt
dt
2 2
2 2 2 2
2 28
2 2 2
0
2 ( 1) ( 1) 32 16
(( 1) 16) (( 1) 16)
( 9) 32( 9) 16cos 4
(( 9) 16)
t
t t
s s s s
s s
d s sL e t e tdt
dt s
Rpta: 2
2 2
( 9) 32( 9) 16
(( 9) 16)
s s
s
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