Post on 31-Jan-2016
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TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER - DFT
Señales de tiempo discreto: como en el caso de señales de tiempo contínuo, interesa conocer la respuesta de los sistemas
LTI (caracterizados por su h[n]) a exponenciales complejas x[n] = zn ; donde z es un número complejo.
Al truncar la Serie de Fourier (no puede trabajarse con infinitas armónicas),
aparece el efecto de Gibbs en forma de sobrepicos en las transiciones.
Lo notable es que al aumentar N la amplitud de los mismos no disminuye
(es del 9%), sólo se comprimen.
Señales de tiempo contínuo:
periódica Serie de Fourier dtetxT
aeatxTk
k
tjkk
tjk
0
00 )(
1 ; )(
0
no periódica Transf. de Fourier
dtetxXdeXtx
tjtjk
)()( ; )(
21
)(-
Aparecen problemas cuando la señal tiene una discontinuidad si x(t) cumple las condiciones de Dirichlet, entonces la
sumatoria converge al valor ‘promedio’ de la discontinuidad 1) debe ser absolutamente integrable 2) debe
tener un número finito de máximos y mínimos en un período y 3) en un intervalo finito de tiempo hay un número finito
de discontinuidades y cada una de ellas debe ser finita.
dttx )(
nknkn zzHnyzkhzzkhknxkhnxnhny
)(][ ][][][][][][][
al valer el principio de superposición, si nkk
kk
nk
kk zzHanyzanx )(][ ][
Por ahora sólo vamos a considerar las exponenciales con z = 1 nΩjn ez
Secuencias periódicas x[n] = x[n + N]
Considerando que ambos miembros de la ecuación son periódicos, se plantea un sistema de N ecuaciones lineales para
los ak. Las ecuaciones son linealmente independientes se pueden obtener los x[n]. Operando sobre la ec. anterior:
Se quiere representar la secuencia periódica x[n] en término de combinaciones lineales de las secuencias k[n]
El conjunto de todas las exponenciales complejas periódicas de período N esta dado por: (sólo N !!) /N2 ][ nkj
k en
Serie de Fourier de tiempo discreto; ak = coeficientes de SF.
Nk
Nnkjk
kkk eananx / 2 ][][
n
n
nx ][ k
Nnkjk ea / 2 Nnrje / 2 Nnrje / 2
puede intercambiarse el orden de las sumatorias, resultando:
Nn
Nrknj
Nkk
Nn
Nrnj eaenx / 2)-( / 2 ][ Propiedad útil:
valorotro para 0
.... 2 , 0, 1
0
/2NNkN
eN
n
Njnk
0 sólo para k = r
coeficientes de la Serie de Fourier de tiempo discretokNn
Nnrjr aenx
Na
/ 2 ][1
existen sólo N valores de ak distintos a0 = aN y en general ak = ak+N los N valores a considerars
pueden tomarse a partir de un origen arbitrario.
Ejemplos: la secuencia x[n] = sen(0n) será periódica sólo en el caso en que 2/0 sea entero ó una relación de enteros.
NnjNnj ej
ej
nx /2/2
2
1
2
1][ 1) Si x[n] es periódica en N a1 = 1/(2j); a-1 = -1/(2j) y los otros ak = 0
2)
2
4cos
2cos3
2sen1][
n
Nn
Nn
Nnx
valoresotros los para 0 ; 2
1 ;
2
1 ;
2
1
2
3 ;
2
1
2
3 ; 1 22110 kajaja
ja
jaa
3)
nnx
5
2sen][
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
4)
nnx
5
23sen][
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
pueden utilizarse para calcularla secuencia original
5) onda cuadrada de tiempo discreto-N1 0 NN1 N-N1
1
1
/21 N
Nn
Nknjk e
Na cambio vbles.
(m = n + N1)
1
11
1
2
0
/2/22
0
/2)( 11 N
m
NkmjNNkjN
m
NkNmjk ee
Ne
Na
NnjNnjNnjNnj eaeaeaeaa /222
/222
/21
/210
expadiendo la serie y ordenando Nk
NNk
Nak 2/2sen
/2/12sen1 1
Coeficiente de la Serie de Fourier de la onda cuadrada (Nak)
para 2N1+1 = 5; (a) N = 10, (b) N = 20 y (c) N = 40.
Ejemplos: la secuencia x[n] = sen(0n) será periódica sólo en el caso en que 2/0 sea entero ó una relación de enteros.
NnjNnj ej
ej
nx /2/2
2
1
2
1][ 1) Si x[n] es periódica en N a1 = 1/(2j); a-1 = -1/(2j) y los otros ak = 0
2)
2
4cos
2cos3
2sen1][
n
Nn
Nn
Nnx
valoresotros los para 0 ; 2
1 ;
2
1 ;
2
1
2
3 ;
2
1
2
3 ; 1 22110 kajaja
ja
jaa
3)
nnx
5
2sen][
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
4)
nnx
5
23sen][
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
pueden utilizarse para calcularla secuencia original
en el caso inverso
M
Mk
Nknjkeanx /2][
5) onda cuadrada de tiempo discreto-N1 0 NN1 N-N1
1
1
/21 N
Nn
Nknjk e
Na cambio vbles.
(m = n + N1)
1
11
1
2
0
/2/22
0
/2)( 11 N
m
NkmjNNkjN
m
NkNmjk ee
Ne
Na
NnjNnjNnjNnj eaeaeaeaa /222
/222
/21
/210
expadiendo la serie y ordenando Nk
NNk
Nak 2/2sen
/2/12sen1 1
Reconstrucciones parciales de la onda cuadrada con N = 9 y 2N1+1 = 5; (a) M = 1, (b) M = 2; (c) M = 3 y (d) M =
4.
Ejemplos: la secuencia x[n] = sen(0n) será periódica sólo en el caso en que 2/0 sea entero ó una relación de enteros.
NnjNnj ej
ej
nx /2/2
2
1
2
1][ 1) Si x[n] es periódica en N a1 = 1/(2j); a-1 = -1/(2j) y los otros ak = 0
2)
2
4cos
2cos3
2sen1][
n
Nn
Nn
Nnx
valoresotros los para 0 ; 2
1 ;
2
1 ;
2
1
2
3 ;
2
1
2
3 ; 1 22110 kajaja
ja
jaa
3)
nnx
5
2sen][
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
4)
nnx
5
23sen][
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
pueden utilizarse para calcularla secuencia original
en el caso inverso
M
Mk
Nknjkeanx /2][
5) onda cuadrada de tiempo discreto-N1 0 NN1 N-N1
1
1
/21 N
Nn
Nknjk e
Na cambio vbles.
(m = n + N1)
1
11
1
2
0
/2/22
0
/2)( 11 N
m
NkmjNNkjN
m
NkNmjk ee
Ne
Na
NnjNnjNnjNnj eaeaeaeaa /222
/222
/21
/210
expadiendo la serie y ordenando Nk
NNk
Nak 2/2sen
/2/12sen1 1
Sólo se necesita un número FINITO de coeficientes para representar la secuencia
NO APARECE EL FENOMENO DE GIBBS
Secuencias aperiódicas x[n] es en general de duración finita x[n] = 0 si n > N1
Puede construirse una secuencia periódica para la cual x[n] es un período, con lo cual se puede aplicar la SFTD ][~ nx
1
1
/ 2 ~ ][1 N
Nn
Nnkjk enx
Na
n
NnkjenxN
/ 2 ][1
y se define X() como la envolvente de Nak.
Transformada de Fourier de tiempo discreto
n
njenxX ][)(contínua
periódicapuede expandirse en SF
dtetxT
aeatxTk
k
tkjk
tkj
0
00 )(
1 ; )(
0
haciendo las analogías: T0 2 y , entonces 2/T0 = 1 y x[n] = a-k ; resultando:00 /2 Ttkjtkj ee n
njTtkj ee 0/2
deXnx nj
2)(
2
1][ coeficientes de la Transformada de Fourier de tiempo discreto
Las relaciones siguen siendo válidas si la duración de la secuencia es infinita x[n] debe ser absolutamente sumable,
, ó si tiene energía finita
n
nx ][
n
nx2
][
Ejemplos:
1) Sean las secuencias x[n] = (1/2)n[n]; y[n] = (-1/2)n[n]. Encontrar y comparar sus transformadas.
2) Encontar la secuencia que cuya transformada es X() = cos()
π
π
)1()1(π
ππ2
1
2
1)cos(
π2
1][ deedenx njnjnj
sen)cos2(
2
2/1
12
)(0 je
eX
j
n
n
j
sen)cos2(
2
2/1
12
)(0 je
eY
j
n
n
j
cos25.1
1)(X
cos25.1
1)(Y
Mod
ulo
X() Y()
0.67
0 2
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-0.5
0
0.5
1
n
y[n]
x[n]
Propiedad útil:
0 1
.... 2 ,1 0
2
1 π
π k
kde kj
de acuerdo a la propiedad, la integral sólo sera 0 para n 1 x[n] = 0.5· [n-1] + 0.5· [n+1]
Propiedades de la DTFT (Transformada de Fourier de tiempo discreto)
Periodicidad: siempre es periódica en , con período 2.
Simetría: si x[n] es real X() = X*() módulo par, fase impar. Si x[n] es real y par, X() también lo es.
en el caso de la DFT los desplazamientos NO SON LINEALES, son CIRCULARES..
Escalamiento en tiempo y frecuencia: difiere del caso de tiempo contínuo. Recordar diezmado e interpolación
Linealidad: x1[n] X1() y x2[n] X2(), a·x1[n] + b·x2[n] a·X1() + b·X2() . F F F
Desplazamientos: x [n] X () x1[n - n0] ; X( - 0)F FF
)(0 Xe nj )(0 nxe nj
Diferenciación y sumatoria: F )()1( ]1[][ Xenxnx j
F )()1(
1 ][
X
emx
j
n
m
kkX )2()0(
Diferenciación en frecuencia:
ddX
jnnx)(
][ F
Convolución: lo trataremos al ver convolución y correlación discretas.
Relación de Parseval:
2
22 )(21
][ dXnxn
para secuencias periódicas:
NkNn
kanxN
22 ][][1
Transformada Discreta de Fourier
Nak corresponde a muestras de la TF de un período. La relación se cumple, independientemente del M elegido.
Sea una secuencia periódica de la cual x[n] es un período, ][~ nx
valorotrocualquier en 0
1 ][][~ NMnMnxnx M arbitrario.
Puede demostrarse que
NkXNak
2donde los ak son los coeficientes de la SF de y X() es la TF de x[n] ][~ nx
kkNnxnnx ][ ][][ ~ Ejemplo:
-N 0 N 2N
x[n]~
sólo hay que analizar en k = 2k/N y en esos valores X1() = X2() no importa el M .
Nenx
Na
Nn
Nnkjk
1][
1 / 2 ~
para 0 n N-1
-N 0 N 2N
x1[n]=[n]
1)( ][][ 11 Xnnx
-N 0 N 2N
x2[n]=[n-N]
NjeXNnnx )( ][][ 22
1
0
/ 2 ~
][1
)(N
k
Nnkjk enx
NakX
0 n N-1 ; 0 k N-1 Transformada Discreta de Fourier
1
0
/ 2 ~][][
N
k
NnkjekXnx
)()(2
?
1 XX
mismo algoritmo!!
1
0
/2][][N
k
NkjnekXnx *1
0
/2* ][
N
k
NkjnekX
Desarrollo gráfico de la
Transformada Discreta
de Fourier