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Un Criterio Cristalino para la Buena Reduccion de una Superfice K3 p-Adica
Un Criterio Cristalino para la Buena Reduccion
de una Superfice K3 p-Adica
Seminario Sevin Recillas
Jesus Rogelio Perez Buendıa
Instituto de Matematicas (UNAM)
Abril 2014
Un Criterio Cristalino para la Buena Reduccion de una Superfice K3 p-Adica
Motivacion
Motivacion
I Entender la relacion que existe entre la geometrıa de una variedad
Algebraica y su cohomologia.
I En general es sabido que la geometrıa de una variedad algebraica
sobre un campo, determina a sus distintos grupos de cohomologıa
con sus diferentes estructuras.
I Por ejemplo si X es una variedad algebraica suave y propia sobre C,
entonces su cohomologıa de Betti es una estructura de Hodge pura
con determinados pesos.
Un Criterio Cristalino para la Buena Reduccion de una Superfice K3 p-Adica
Motivacion
Motivacion
I Entender la relacion que existe entre la geometrıa de una variedad
Algebraica y su cohomologia.
I En general es sabido que la geometrıa de una variedad algebraica
sobre un campo, determina a sus distintos grupos de cohomologıa
con sus diferentes estructuras.
I Por ejemplo si X es una variedad algebraica suave y propia sobre C,
entonces su cohomologıa de Betti es una estructura de Hodge pura
con determinados pesos.
Un Criterio Cristalino para la Buena Reduccion de una Superfice K3 p-Adica
Motivacion
Motivacion
I Entender la relacion que existe entre la geometrıa de una variedad
Algebraica y su cohomologia.
I En general es sabido que la geometrıa de una variedad algebraica
sobre un campo, determina a sus distintos grupos de cohomologıa
con sus diferentes estructuras.
I Por ejemplo si X es una variedad algebraica suave y propia sobre C,
entonces su cohomologıa de Betti es una estructura de Hodge pura
con determinados pesos.
Un Criterio Cristalino para la Buena Reduccion de una Superfice K3 p-Adica
Motivacion
Motivacion
Nota:
En general no es verdad que los grupos de cohomologıa de una variedad
algebraica determinen sus propiedades geometricas. Sin embargo, para
ciertas clases especiales de variedades, es sabido desde hace tiempo que
este podrıa ser el caso.
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Motivacion
Torelli para variedades Abelianas
Para variedades Abelianas sobre C tenemos el teorema de Torelli que dice:
Theorem (Torelli)
Una variedad Abeliana polarizada sobre C es determinada por sus
periodos. Mas precisamente, si A y A′ son variedades abelianas
complejas, y si tenemos un isomorfismo de estructuras de Hodge:
φ : H1(A,Z)→ H1(A′,Z),
entonces A y A′ son isomorfas.
Un Criterio Cristalino para la Buena Reduccion de una Superfice K3 p-Adica
Motivacion
Motivacion
Similarmente, si X una variedad algebraica sobre un campo p-adico K ,
suave y propia, entonces sus grupos de cohomologıa etale p-adicos
Vi = H iet(XK ,Qp)
son representaciones p-adicas de GK := Gal(K ,K ) cuyo tipo es
determinado por la geometrıa de varios modelos enteros de X .
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Motivacion
Notacion
Fijemos un numero primo p > 3 y sea Qp el campo de numeros p-adicos.
La siguiente notacion permanecera fija durante toda la exposicion, a
menos que se especifique lo contrario. Sea
I k un campo algebraicamente cerrado de caracterıstica p.
I W el anillo de vectores de Witt con coeficientes en k.
I K0 = Frac(W ) su anillo de fracciones.
I K una extension finita y totalmente ramificada de K0.
I OK el anillo de enteros de k.
I π un parametro uniformizante (fijo). Es decir mK := πOK y
k = OK/πOK = W /pW .
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Motivacion
Notacion
Fijemos un numero primo p > 3 y sea Qp el campo de numeros p-adicos.
La siguiente notacion permanecera fija durante toda la exposicion, a
menos que se especifique lo contrario. Sea
I k un campo algebraicamente cerrado de caracterıstica p.
I W el anillo de vectores de Witt con coeficientes en k.
I K0 = Frac(W ) su anillo de fracciones.
I K una extension finita y totalmente ramificada de K0.
I OK el anillo de enteros de k.
I π un parametro uniformizante (fijo). Es decir mK := πOK y
k = OK/πOK = W /pW .
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Motivacion
Notacion
Fijemos un numero primo p > 3 y sea Qp el campo de numeros p-adicos.
La siguiente notacion permanecera fija durante toda la exposicion, a
menos que se especifique lo contrario. Sea
I k un campo algebraicamente cerrado de caracterıstica p.
I W el anillo de vectores de Witt con coeficientes en k.
I K0 = Frac(W ) su anillo de fracciones.
I K una extension finita y totalmente ramificada de K0.
I OK el anillo de enteros de k.
I π un parametro uniformizante (fijo). Es decir mK := πOK y
k = OK/πOK = W /pW .
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Motivacion
Notacion
Fijemos un numero primo p > 3 y sea Qp el campo de numeros p-adicos.
La siguiente notacion permanecera fija durante toda la exposicion, a
menos que se especifique lo contrario. Sea
I k un campo algebraicamente cerrado de caracterıstica p.
I W el anillo de vectores de Witt con coeficientes en k.
I K0 = Frac(W ) su anillo de fracciones.
I K una extension finita y totalmente ramificada de K0.
I OK el anillo de enteros de k.
I π un parametro uniformizante (fijo). Es decir mK := πOK y
k = OK/πOK = W /pW .
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Motivacion
Notacion
Fijemos un numero primo p > 3 y sea Qp el campo de numeros p-adicos.
La siguiente notacion permanecera fija durante toda la exposicion, a
menos que se especifique lo contrario. Sea
I k un campo algebraicamente cerrado de caracterıstica p.
I W el anillo de vectores de Witt con coeficientes en k.
I K0 = Frac(W ) su anillo de fracciones.
I K una extension finita y totalmente ramificada de K0.
I OK el anillo de enteros de k.
I π un parametro uniformizante (fijo). Es decir mK := πOK y
k = OK/πOK = W /pW .
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Motivacion
Notacion
Fijemos un numero primo p > 3 y sea Qp el campo de numeros p-adicos.
La siguiente notacion permanecera fija durante toda la exposicion, a
menos que se especifique lo contrario. Sea
I k un campo algebraicamente cerrado de caracterıstica p.
I W el anillo de vectores de Witt con coeficientes en k.
I K0 = Frac(W ) su anillo de fracciones.
I K una extension finita y totalmente ramificada de K0.
I OK el anillo de enteros de k.
I π un parametro uniformizante (fijo). Es decir mK := πOK y
k = OK/πOK = W /pW .
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Motivacion
Campo p-adico
Definition
Un campo p-adico K , es un campo de caracterıstica cero que es
completo respecto a una valuacion discreta (fija) y que tiene campo de
residuos k perfecto de caracterıstica p.
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Motivacion
Representacion p-adica
Definition
Una representacion p-adica V de GK es un Qp-espacio vectorial de
dimension finita con una accion continua de GK .
Si X es una variedad propia y suave sobre K , entonces sus grupos de
cohomologıa H iet(XK ,Qp) son representacion es p-adicas de GK .
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Motivacion
Teorıa p-adica de Hodge
La coleccion de representaciones p-adicas de K forman una categorıa
abeliana denotada por RepQp(K ).
Le teorıa p-adica de Hodge nos brinda subcategorias de representaciones
p-adicas dependiendo que que tan amables son dichas representaciones.
Repcris(K ) ⊂ Repst(K ) ⊂ RepdR (K ) ⊂ RepHT (K ) ⊂ RepQp(K )
con contenciones estrictas.
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Motivacion
Teorema de De Rham
Si X es una variedad propia y suave sobre C, entonces existe un
isomorfismo de comparacion clasico entre la cohomologıa de de Rham
algebraica de X sobre C y la comologıa singular de Xan:
H∗dR(X/C) ' H∗(Xan,Q)⊗Q C
cuyo isomorfismo es determinado por el pareo de integracion de formas
diferenciales sobre ciclos. Dichas integrales∫
Dω son llamados los
periodos y son en general numeros complejos. Decimos entonces que Ccontiene todos los periodos necesarios para comparar la cohomogıa de de
Rham con la cohomologıa singular. C es llamado anillo de periodos.
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Motivacion
Isomorfismo de Comparacion
Tate (50’s) conjeturo que isomorfismos de comparacion similares
deberıan de existir para esquemas suaves y propios X sobre K entre la
cohomologıa de de Rham y su cohomologıa etale p-adica.
Conjetura CHT
Sea BHT := ⊕i∈ZCK (i). Existe un isomorfismo funtoirial:
BHT ⊗K grH∗dR(X/K ) ' BHT ⊗Qp H∗et(XK ,Qp)
como espacios vectoriales graduados con accion de GK .
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Motivacion
La Conjetura de Hodge-Tate
Faltings probo la conjetura y de hecho probo un poco mas.
Example (La conjetura de Hodge-Tate (Faltings, 1988))
Existe un isomorfismo canonico que es compatible con la accion de Galois:
CK ⊗Qp H2et(XK ,Qp) '
⊕0≤i≤m
CK (−i)⊗Qp Hm−i (X |K ,ΩiXK/K )
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Motivacion
Conjetura de De Rham
Para mejorar la conjetura para involucrar a la cohomologıa de de Rham y
no solo a su graduacion. Fontaine introdujo un anillo llamado BdR con
anillo graduado igual a BHT y conjeturo:
CdR
Existe un isomorfismo canonico, compatible con la accion de Galois y
filtraciones:
BdR ⊗Qp Hnet(XK ,Qp) ' BdR ⊗Qp Hn
dR(XK/K )
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Motivacion
Las conjeturas C∗
y otras mas llamadas las conjeturas C∗. Que ya todas son teoremas.
Ccris
Sea X un modelo propio y suave de XK sobre OK . Sea X la fibra especial
de X . Existe un isomorfismo canonico compatible con la accion de Galois
y Frobenius:
Bcris ⊗Qp Hnet(XK ,Qp) ' Bcris ⊗Qp Hn
cris(X/W ).
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Motivacion
Cst
Sea X un modelo propio semiestable de XK sobre OK . Sea X la fibra
especial de X y sea M la estructura logarıtmica natural asociada a X .
Existe un isomorfismo canonico compatible con la accion del grupo de
Galois, Frobenius y operador N:
Bst ⊗Qp Hnet(XK ,Qp) ' Bst ⊗Qp Hn
log−cris((X ,M), (W ,O∗))
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Anillos de Periodos
Anillos de Fontaine
Que son los anillos de periodos definidos por Fontaine?
I BdR es un anillo de valuacion discreta sobre K con campo de
residuos CK . Contiene K paro no CK . Tiene una accion de GK y
una filtracion dada por su valuacion. Su algebra graduada es
gr i BdR = CK (i).
I Bcris es una algebra sobre K0 y tiene a BdR cono subanillo
GK -estable. Tiene una filtracion que viene de BdR y un
endomorfismo σ-semilineal inyectivio y GK -equivariante φ llamado el
endomorfismo de Frobenius. BGK
cris = K0.
I Bst es una algebra sobre K0 y tiene accion de GK . Contiene Bcris y
K0 pero no K . El endomorfismo de Frobenius de Bcris se extiende a
Bst y tenemos una derivacion: Nst : Bst → Bst tal que Nstφ = pφNst.
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Anillos de Periodos
Modulos de Dieudonne
Fontaine observo que los BGk -modulos DB (V ) := (B ⊗Qp V )(GK ) revelan
propiedades importantes de la representacion p-adica V . De hecho varios
de los isomorfismos del tipo C∗ son consecuencia de el estudio de estos
Dieudonne-modulos.
Definition
Sea L = BGK . Una representacion p-adica V es B-admisible, si
dimL DB (V ) = dimQp .V
Una representacion es HT , dR, cris, st si es lo correspondiente admisible.
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Anillos de Periodos
Teorema de Faltings
Theorem (Tsuji, Niziol, Faltings)
Si X es semiestable, entonces V = H∗et(XK ,Qp) es Bst-admisible. Si X
tiene buena reduccion entonces V es cristalina.
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Anillos de Periodos
Criterio de Buena Reduccion para Variedades Abelianas
Theorem (Iovita-Coleman, Breouile)
A tiene reduccion semiestable sı y solo si, H1et(AK ,Qp), es una
representacion semiestable.
Sea A una variedad abeliana semiestable sobre K. A tiene buena
reduccion sı y solo sı H1et(AK ,Qp) es una representacion cristalina de GK .
Despues de estos resultados. Nadie habıa probado que existiera otra clase
de variedades que tuviera esta propiedad. Sin embargo se conjeturaba
que esto deberıa ser posible.
Un Criterio Cristalino para la Buena Reduccion de una Superfice K3 p-Adica
Superficies K3
Superficies K3
Definition
Una superficie K3 sobre K , es una superficie propia y suave
XK → Spec K tal que
I q := dim H1(XK ,OK ) = 0
I ωXK ' OK equivalentemente KXK = 0.
en donde ωXK es la gavilla canonica y KXK es el divisor canonico.
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Superficies K3
Kummer Kahler y Kodaira
Nota
Superficies K3 fueron bautizadas por Andre Weil en honor a los tres
geometras algebraicos: Kummer, Kahler y Kodaira. Tambien en honor a
las montanas K2 en Kashmir.
Figure: Superficie K3
Un Criterio Cristalino para la Buena Reduccion de una Superfice K3 p-Adica
Superficies K3
Semiestabilidad
Definition
Una superficie K3 sobre K , XK , es semiestable (o tiene reduccion
semiestable) si tiene un modelo semiestable, esto es, existe un modelo
propio y plano X → Spec(OK ) tal que la fibra general Xζ es XK y cuya
fibra especial X es suave o un divisor con cruzamientos normales, es
decir, localmente etale X se ve como el producto coordenadas.
XK//
X
Spec(K) // Spec(OK ).
Si la fibra especial X es suave, entonces decimos que XK tiene buena
reduccion.
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Superficies K3
Ejemplos
Example (Interseccion completa de hipersuperficies)
Sea X una superficie suave que es la interseccion completa de n
hipersuperfices de grados d1, d2, . . . , dn en Pn+2 sobre K . Por la formula
de adjuncion tenemos que:
ωX := Ω2X = OX (d1 + d2 + · · ·+ dn − n − 3);
por lo que una condicion necesaria para que X sea una superficie K3, es
que
d1 + d2 + · · ·+ dn = n + 3
Un Criterio Cristalino para la Buena Reduccion de una Superfice K3 p-Adica
Superficies K3
Example
Por lo que tenemos los casos siguientes:
n=1 tenemos que d1 = 4. Es decir, cuarticas en P3.
n=2 tenemos que d − 1 + d2 = 3 dando d1 = 2 y d2 = 3 es decir la
interseccion completa de una cuadrica y una cubica en P4.
n=3 tenemos que d1 + d2 + d3 = 6 y entonces d1 = d2 = d3 = 2, es decir
la interseccion completa de tres cuadricas.
Como para toda interseccion completa X y para todo m ∈ Z se tiene que
H i (X ,OX (m)) = 0 con 1 ≤ i ≤ n − 1, tenemos que las anteriores son en
efecto superficies K3.
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Superficies K3
Una cuartica
Example
La cuartica XK en P3K dada por la ecuacion
x4 + π((y − w)4 + (z − 2w)4) + w 4 = 0 es una superficie K3. Su
reduccion modulo π es x4 + y 4 = 0 sobre k que se factoriza como
producto de factores lineales. Por lo tanto XK es semiestable con mala
reduccion.
Figure: caption
Un Criterio Cristalino para la Buena Reduccion de una Superfice K3 p-Adica
Superficies K3
Superficies de Kummer
Example
Sea A una superficie abeliana sobre K . Sea A[2] el nucleo de la funcion
x 7→ x + x , la multiplicacion por 2. Consideremos la explosion φ : A→ A
sobre los 16 puntos de A[2]. Consideremos la involucion:
σ : A→ A; x 7→ −x
Los puntos fijos de σ son precisamente los 16 puntos de A[2]. Esta
involucion se levanta a A de tal manera que tenemos un diagrama
conmutativo:
Aσ //
φ
A
φ
A
σ// A
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Superficies K3
Superficies de Kummer
Ahora consideramos el consiente de A por el grupo generado por σ que
denotamos por Kum(A) y denotamos por π : A→ Kum(A) la proyeccion
natural. Kum(A) es llamada la superficie de Kummer asociada a A y es
una superficie K3.
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Superficies K3
Torelli para K3
Ahora pasemos brevemente al caso de superficies K3 complejas, en este
caso tenemos tambien un teorema de Torelli.
Theorem
Torelli para K3 Dos superficies K3 complejas X ,X ′ son isomorfas, si y
solo sı existe una isometrıa de Hodge φ : H2(X ,C)→ H2(X ′,C) (es decir
la isometrıa manda preserva H0,2).
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Superficies K3
Analogo al teorema de Iovita-Coleman.
Theorem
Sea XK una superficie con modelo mınimo semiestable X sobre OK . Sea
X su fibra especial. Entonces XK tiene buena reduccion sı y solo sı
H2et(XK ,Qp) es una representacion cristalina de GK .
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Teorema de Kulikov-Persson-Pinkham
Teorema de KPP
Theorem
Sea X → ∆ una degeneracion semiestable de superficies K3 (de Kulikov)
con todas las componentes de la fibra central X0 algebraicas. Sea
N := log T : H2(X ,Z)→ H2(X ,Z) el operador de monodromıa.
Entonces la fibra central es de alguna de las siguientes formas:
I (Tipo 1). X0 es una superficie K3-suave. En este caso N = 0
I (Tipo 2). X0 = V0 ∪ V1 ∪ · · · ∪ Vr donde V0,Vr son racionales suaves y el
resto son suaves elıpticas regladas, tal que Vi ∩ Vj 6= ∅ si y solo si
j = i ± 1. Vi ∩ Vj es una curva elıptica. En este caso N 6= 0 pero N2 = 0.
I (Tipo 3). X0 = V0 ∪ V1 ∪ · · · ∪ Vr , con Vi suave, racional y las curvas
dobles son ciclos de curvas racionales. La grafica dual Γ es una
triangulacion de S2. En este caso N2 6= 0 pero N3 = 0.
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Teorema de Kulikov-Persson-Pinkham
Teorema de KPP
Theorem
Sea X → ∆ una degeneracion semiestable de superficies K3 (de Kulikov)
con todas las componentes de la fibra central X0 algebraicas. Sea
N := log T : H2(X ,Z)→ H2(X ,Z) el operador de monodromıa.
Entonces la fibra central es de alguna de las siguientes formas:
I (Tipo 1). X0 es una superficie K3-suave. En este caso N = 0
I (Tipo 2). X0 = V0 ∪ V1 ∪ · · · ∪ Vr donde V0,Vr son racionales suaves y el
resto son suaves elıpticas regladas, tal que Vi ∩ Vj 6= ∅ si y solo si
j = i ± 1. Vi ∩ Vj es una curva elıptica. En este caso N 6= 0 pero N2 = 0.
I (Tipo 3). X0 = V0 ∪ V1 ∪ · · · ∪ Vr , con Vi suave, racional y las curvas
dobles son ciclos de curvas racionales. La grafica dual Γ es una
triangulacion de S2. En este caso N2 6= 0 pero N3 = 0.
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Teorema de Kulikov-Persson-Pinkham
Teorema de KPP
Theorem
Sea X → ∆ una degeneracion semiestable de superficies K3 (de Kulikov)
con todas las componentes de la fibra central X0 algebraicas. Sea
N := log T : H2(X ,Z)→ H2(X ,Z) el operador de monodromıa.
Entonces la fibra central es de alguna de las siguientes formas:
I (Tipo 1). X0 es una superficie K3-suave. En este caso N = 0
I (Tipo 2). X0 = V0 ∪ V1 ∪ · · · ∪ Vr donde V0,Vr son racionales suaves y el
resto son suaves elıpticas regladas, tal que Vi ∩ Vj 6= ∅ si y solo si
j = i ± 1. Vi ∩ Vj es una curva elıptica. En este caso N 6= 0 pero N2 = 0.
I (Tipo 3). X0 = V0 ∪ V1 ∪ · · · ∪ Vr , con Vi suave, racional y las curvas
dobles son ciclos de curvas racionales. La grafica dual Γ es una
triangulacion de S2. En este caso N2 6= 0 pero N3 = 0.
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Teorema de Kulikov-Persson-Pinkham
El caso p-adico
Regresemos ahora al caso p-adico. Y sea XK una superficie K3 con
modelo semiestable mınimo:
Theorem
Sea Nst el operador de monodromıa en Dst(H2et(XK ,Qp)). Entonces el
grado de nilpotencia de Nst determina el tipo de la fibra especial del
modelo mınimo X exactamente como en el teorema de Kulikov.
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Idea de la Prueba
Paso 1
La idea de la prueba es la siguiente.
I Consideremos la fibra especial X de X , que es una superficie sobre el
campo de residuos k que es algebraicamente cerrado. Dado que esta
proviene de un modelo semiestable mınimo, se prueba, usando
resultados de Friedman que X es combinatoria (es decir es de tipo 1,
2 o 3).
I Se usa geometrıa logarıtmica. Se le dan las estructuras logarıtmicas
a la fibra, al modelo y a los puntos de tal manera que se demuestra
que X es una K3-superficie logarıtmica con cruzamientos normales.
I Por un resultado de Nakkajima (liftings of normal crossing log K3
surfaces and Enriques surfaces). Existe una deformacion
X→ Spec W [[u1, . . . un]] de X (en la categorıa de log-esquemas).
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Idea de la Prueba
Paso 1
La idea de la prueba es la siguiente.
I Consideremos la fibra especial X de X , que es una superficie sobre el
campo de residuos k que es algebraicamente cerrado. Dado que esta
proviene de un modelo semiestable mınimo, se prueba, usando
resultados de Friedman que X es combinatoria (es decir es de tipo 1,
2 o 3).
I Se usa geometrıa logarıtmica. Se le dan las estructuras logarıtmicas
a la fibra, al modelo y a los puntos de tal manera que se demuestra
que X es una K3-superficie logarıtmica con cruzamientos normales.
I Por un resultado de Nakkajima (liftings of normal crossing log K3
surfaces and Enriques surfaces). Existe una deformacion
X→ Spec W [[u1, . . . un]] de X (en la categorıa de log-esquemas).
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Idea de la Prueba
Paso 1
La idea de la prueba es la siguiente.
I Consideremos la fibra especial X de X , que es una superficie sobre el
campo de residuos k que es algebraicamente cerrado. Dado que esta
proviene de un modelo semiestable mınimo, se prueba, usando
resultados de Friedman que X es combinatoria (es decir es de tipo 1,
2 o 3).
I Se usa geometrıa logarıtmica. Se le dan las estructuras logarıtmicas
a la fibra, al modelo y a los puntos de tal manera que se demuestra
que X es una K3-superficie logarıtmica con cruzamientos normales.
I Por un resultado de Nakkajima (liftings of normal crossing log K3
surfaces and Enriques surfaces). Existe una deformacion
X→ Spec W [[u1, . . . un]] de X (en la categorıa de log-esquemas).
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Idea de la Prueba
I Construyo una familia X → Spec(W [[t]]) que es una deformacion de
X y con la propiedad de que al invertir p obtenemos una familia con
fibra en 0, Y → Spec(K0) combinatoria del mismo tipo de X y fibra
general una superficie K3
I A esta familia se le asocia un operador de monodromıa, definido
como el residuo de la conexion de Gauss-Manin en cero.
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Idea de la Prueba
I Construyo una familia X → Spec(W [[t]]) que es una deformacion de
X y con la propiedad de que al invertir p obtenemos una familia con
fibra en 0, Y → Spec(K0) combinatoria del mismo tipo de X y fibra
general una superficie K3
I A esta familia se le asocia un operador de monodromıa, definido
como el residuo de la conexion de Gauss-Manin en cero.
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Idea de la Prueba
I Usando Deligne y un teorema de comparacion de Iovita-Andreatta,
este operador de monodromıa Np esta ıntimamente relacionado con
Nst . Tienen el mismo tipo de nilpotencia.
I Consideramos la familia XC → SpecC[[t]] obtenida al extender
escalares sobre los complejos. Demostramos que existe una familia
Y → ∆ con la propiedad de que al considerar su analogo algebraico
Y → SpecC[[t]] nos queda una familia congruente a la familia X(en el sentido de la teorıa de aproximacion de Artin).
Un Criterio Cristalino para la Buena Reduccion de una Superfice K3 p-Adica
Idea de la Prueba
I Usando Deligne y un teorema de comparacion de Iovita-Andreatta,
este operador de monodromıa Np esta ıntimamente relacionado con
Nst . Tienen el mismo tipo de nilpotencia.
I Consideramos la familia XC → SpecC[[t]] obtenida al extender
escalares sobre los complejos. Demostramos que existe una familia
Y → ∆ con la propiedad de que al considerar su analogo algebraico
Y → SpecC[[t]] nos queda una familia congruente a la familia X(en el sentido de la teorıa de aproximacion de Artin).
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Idea de la Prueba
I A cada una de estas familias le corresponde un operador de
monodromıa definido como le residuo en 0 de la conexion de
Gauss-Main, que por resultados de Deligne tambien se corresponde
al operador de monodromıa definido sobre la familia sobre el disco
unitario.
I Demostramos que todos estos operadores de monodromıa tienen el
mismo tipo de anulacion. Usamos los teoremas de comparacion de
Iovita-Adreatta en teorıa de Hodge, para deducir el resultado.
Un Criterio Cristalino para la Buena Reduccion de una Superfice K3 p-Adica
Idea de la Prueba
I A cada una de estas familias le corresponde un operador de
monodromıa definido como le residuo en 0 de la conexion de
Gauss-Main, que por resultados de Deligne tambien se corresponde
al operador de monodromıa definido sobre la familia sobre el disco
unitario.
I Demostramos que todos estos operadores de monodromıa tienen el
mismo tipo de anulacion. Usamos los teoremas de comparacion de
Iovita-Adreatta en teorıa de Hodge, para deducir el resultado.