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Propedéutico 2008 Facultad de Ciencias 1
Unidad 2Vectores y
Espacios Vectoriales
Propedéutico 2008Dra. Ruth M. Aguilar Ponce
Facultad de CienciasDepartamento de Electrónica
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Vectores
• Un vector es un conjunto ordenado de n números
• Los elementos o componentes del vector son x1, …, xn.
• El vector cero es aquel en el que todos sus componentes son cero.
• Un vector es un objeto con magnitud y dirección.
( )nxxxx ,,, 21 Kr=
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Espacio de dos dimensiones
• R2 es el conjunto de vectores (a,b) donde a y b son números reales.
• Un vector unitario es un vector con magnitud 1• La distancia entre dos vectores es
22 bav +=r
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= −
ab1tanθ
a
b
x
y
θ
( )bav ,=r Magnitud
Dirección
uv rr−
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Producto Escalar en R2
• El producto escalar o producto punto de dos vectores u = (a1,b1) y v = (a2,b2) se obtiene por
• La norma de un vector esta definida por
• El ángulo de entre dos vectores u y v esta definido por
• La proyección de u sobre v se define por
2121 bbaavu +=⋅rr
uuu rrr⋅=2
vuvurr
rr
⋅
=ϕcos
vv
vuuproyvr
r
rrr
2⋅
=
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Producto Escalar en R2
φ
uv
φ
u
v
φ
uvvu
vurr
rr
⋅
=ϕcos
vv
vuuproyvr
r
rrr
2⋅
=
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Espacio de tres dimensiones
• R3 es el conjunto de vectores (x, y, z), donde x, y, z son números reales.
x
y
z222 zyxv ++=
r
vv
u rr
r 1=
( )212121 ,, zzyyxxvu ±±±=±rr
( )zyxv αααα ,,=r
212121 zzyyxxvu ++=⋅rr
Dirección
Magnitud
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Producto Cruz
• Producto cruz o producto vectorial de u y v esta definido por
( )212121212121 ,, xyyxzxxzyzzyvu −−−=×rr
222
111
zyxzyxkji
vu =×rr
( ) ( ) ( )1,0,0 ;0,1,0 ;0,0,1 === zji
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Producto Cruz
• Propiedades–u ·(u × v ) = 0 y v ·(u × v ) = 0 –u × v = -(v × u )–u × (v + w) = (u × v ) + (v × u )– (u + v) × w = (u × w) + (v × w)–c (u × v) = (cu) × v = u ×(cv)–u × 0 = 0–u × u = 0
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Espacios Vectoriales
• Un espacio vectorial V sobre R se define como un conjunto de vectores, junto con dos operaciones suma vectorial y multiplicación por un escalar que satisface las siguientes propiedades:
• Suma vectorial– u, v є V, u + v є V – u, v, w є V, u+(v+w)= (u+v)+w– Existe un elemento 0 є V tal que u+0 = 0+u = u– u є V, existe –u є V tal que u +(-u) = 0– u, v є V, u + v = v + u
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Espacio Vectorial
• Multiplicación Escalar–c є R y u є V, entonces cu є V –c є R y u, v є V; c (u + v) = cu + cv–a, b є R y u є V; (a + b) u = au + bu–a, b є R y u є V; (ab)u = a(bu)–u є V; 1u = u1 = u
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Combinación Lineal
• Sean v1, v2, …, vn vectores en un espacio vectorial Vsobre R. Una combinación lineal de estos vectores es la siguiente expresión
donde c1,c2,…, cn є R• Ejemplos:
– Cada vector (x, y) es una combinación lineal de los vectores i = (1,0) y j = (0,1); (x, y) = x (1,0) + y (0,1)
– Cada Vector (x, y, z) є R3 es una combinación lineal de los vectores i = (1,0,0), j = (0,1,0) y k = (0,0,1)
nnvcvcvc rL
rr+++ 2211
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Espacios generados por vectores
• Los vectores v1, v2, …, vn generan a V si cualquier vector w є V se puede escribir como una combinación lineal de ellos
• Sean v1, v2, …, vn vectores en un espacio vectorial V. El espacio vectorial generado por ellos es el conjunto de combinaciones lineales definido por:
{ } { }R∈+++= nnnn cccvcvcvcvvvspan Kr
Lrrr
Krr ,,:,,, 21221121
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Dependencia e Independencia Lineal
• Sean v1, v2, …, vn vectores en el espacio vectorial V sobre R. Decimos que v1, v2, …, vnson linealmente dependientes si existe al menos una ci ≠ 0 tal que
• Si todas las ci son iguales a cero entonces los vectores son linealmente independientes.
02211 =+++ nnvcvcvc rL
rr
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Dependencia e Independencia Lineal
• Sean v1, v2, …, vr vectores en el espacio vectorial Rn, Si r > n entonces los vectores son linealmente dependientes.
• Un conjunto de vectores linealmente independiente en Rn contiene a lo mas n vectores.
• Sean v1, v2, …, vn vectores en Rn y sea A una matriz de n × n cuyas columnas son v1, v2, …, vn. Entonces los vectores son linealmente independientes si y solo si la única solución al sistema Ax=0 es la solución trivial x=0.
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Rango de una matriz
• Sea A una matriz de n × n. El det A ≠ 0 si y solo si las columnas de A son linealmente independientes.
• El rango ρ(A) de una matriz A es el número de columnas o renglones que son linealmente independientes.
• Si A es una matriz de m × n entonces el ρ(A) ≤ min(m,n)
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Bases de un Espacios Vectoriales
• Sean v1, v2, …, vn vectores en el espacio vectorial Vsobre R. Decimos que {v1, v2, …, vn } es una base de V si cumple con las siguientes dos condiciones:– span{v1, v2, …, vn } = V– Los vectores v1, v2, …, vn son linealmente independientes
• Suponga que {v1, v2, …, vn } es una base del espacio vectorial V sobre R, entonces para cada u є Vexiste un conjunto único de escalares tales que:
nnvcvcvcu rL
rrr+++= 2211
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Dimensión de un espacio Vectorial
• Si el espacio vectorial V tienen una base finita, entonces es espacio vectorial es de dimensión finita.
• Si {v1, v2, …, vn} y {u1, u2, …, un} son bases de V, entonces m = n.
• La dimensión de un espacio V de dimensión finita es igual al número de vectores en cualquier base de V.
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Dimensión de un espacio vectorial
• La dimensión del espacio V = {0} es dim V = 0.
• Sea V un espacio vectorial sobre R de dimensión n. Cualquier conjunto de nvectores en V linealmente independiente es una base de V.
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Producto Punto
• Sean u = (u1,u2,…,un) y v = (v1,v2,…,vn) dos vectores. El producto punto o producto escalar de u y v esta definido por
• Observe que el producto punto de dos n-vectores es un escalar
nnvuvuvuvu +++=⋅ Lrr
2211
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Norma de un Vector
• La norma de un vector v є Rn denotada por || v||esta definida por
• Propiedadesvvv rrr⋅=
0≥vr
vuvu rrrr+≤+
vcvc rr =
vuvu rrrr ≤⋅
uvvu rrrr−=−
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Ortogonalidad y Ortonormalidad
• Un conjunto de vectores v1, v2, …, vn en Rn es ortogonal si
vi·vj = 0 para i ≠ j
• Si u y v son ortogonales, entonces
• Un conjunto de vectores v1, v2, …, vn en Rn es ortonormal si– vi·vj = 0 para i ≠ j– vi·vi = 1
222 vuvu rrrr+=+
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Base Canónica
• La Base Canónica de Rn es una base ortonormal formada por los vectores {e1, e2, …, en}dados por:
• Un vector v=(x1, x2, …, xn)t se representa en la base canónica como,
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
1
00
,,
0
10
,
0
01
21M
KMM
neee
nnexexexv +++= Lr
2211
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Representación de Vectores en una Base
• Sea B = {v1, v2, …, vn} una base de Rn y u єRn. Entonces existen escalares b1, b2, …, bntales que
• El vector (u)B = (b1, b2, …, bn) es la representación de u en la base B
nnvbvbvbu rL
rrr+++= 2211
( ) ( )⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
1
2
1
21 ,,,
n
nB
b
bb
vvvuM
rL
rrr
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Cambio de Base
• Sean B1 = {v1, v2, …, vn} y B2 = {u1, u2, …, un} bases de Rn, cada elemento de B1 puede expresarse en términos de B2
• La matriz A se conoce como la matriz de transición de la base B1 a la base B2
• Sean B1 y B2 bases para un espacio vectorial V. Sea A la matriz de transición de B1 a B2, entonces para todo x є V
nnjjjj uauauav rL
rrr+++= 2211
( ) ( )12 BB xAx rr
=
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Subespacio Vectorial
• Suponga que V es un espacio vectorial sobre R, y que W es un subconjunto no vació de V. Entonces W es un subespacio de V si satisface las siguientes condiciones:
–u, v є W entonces u + v є W–c є R y u є W entonces cu є W
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Proyecciones
• Sean u, v є Rn. La componente de u en la dirección de v es
• La proyección de u sobre v esta definida por
• Sea H un subespacio de Rn con base ortonormal {u1, u2, …, un}. La proyección ortogonal de v є Rn sobre H esta definida por.
vvur
rr⋅
vv
vuuproyvr
r
rrr
2⋅
=
( ) ( ) ( ) kkH uuvuuvuuvvproy rrrL
rrrrrrr⋅++⋅+⋅= 2211
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Complemento Ortogonal
• Se H un supespacio de Rn . El complemento ortogonal de H┴ se define como:
• Propiedades– H┴ es un subespacio de Rn
– H ∩ H┴ = {0}– dim H┴= n – dim H
• Si H es un supespacio de Rn y v є Rn , entonces existe un par único de vectores h є H, p є H┴ tales que v = h + p.
{ }HhhxxH n ∈∀=⋅∈=⊥rrrr
R ,0:
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Transformaciones
• Sean V y W espacios vectoriales reales. Una Transformación Lineal T: V → W es una función que asigna a cada vector v є V un único vector T(v) є W
• Satisface que para cada u y v en V y cada escalar a( ) ( ) ( )vTuTvuT rrrr
+=+( ) ( )vaTvaT rr
=
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Representación Matricial de una Transformación
• Sea T:Rn → Rm una transformación lineal, entonces existe una matriz única de m × n tal que
• La matriz AT es llamada matriz de transformación correspondiente a T o representación matricial de T.
( ) xAxT Trr
=
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Representación Matricial de una Transformación
• Sea T:Rn → Rm una transformación lineal, y {e1, e2, …, en} es la base canónica de Rn,entonces la representación matricial de Testá dada por
• Donde T(ej) es un vector columna para j=1,2,…,3
( ) ( ) ( )( )nT eTeTeTA L21=
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Transformaciones Especiales
• Sea T:R2 → R2 una transformación lineal con representación matricial AT. Existen transformaciones especiales conocidas como
– Expansiones – Compresiones– Reflexiones– Cortes
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Expansiones
• Una expansión a lo largo del eje x es una transformación lineal que multiplica la coordenada xde un vector por una constante c >1,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛y
cxyx
T
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛00
1 cT ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛10
10
T ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
100c
AT
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛y
cxyxc
yx
Ayx
T T 100
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Compresión
• La compresión sobre el eje x es una transformación que multiplica la coordenada por una constante 0 < c < 1.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛y
cxyxc
yx
Ayx
T T 100
x x
yy
c = 2 c = 1/2
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Reflexión
• Existen tres tipos de reflexiones:– Reflexión con respecto al eje x
– Reflexión con respecto al eje y
– Reflexión con respecto a la recta y = x
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛y
xyx
yx
T10
01
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛xy
yx
yx
T0110
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛yx
yx
yx
T1001
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Reflexiones
x
y
x
y y
x
y = x
Reflexión con respecto al eje x
Reflexión con respecto al eje y
Reflexión con respecto a la recta y = x
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Cortes
• Un corte a lo largo del eje x esta definido como
• Donde c puede ser una constante positiva o negativa
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ycyx
yxc
yx
T10
1x
y
c = 1/2
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Transformación inversa
• Sea T:Rn → Rm una transformación lineal y AT su representación matricial.
• Si AT es invertible entonces T es el producto de una sucesión finita de reflexiones, expansiones, compresiones y cortes.
• La transformación lineal inversa denotada por T-1:Rm → Rn esta definida por
( ) xAxT Trr 11 −− =
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Imagen y Núcleo de una Transformaciones
• Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T:V → W una transformación lineal, Entonces
• El núcleo de T está definido por
• La Imagen de T está definida por
( ) ( ){ }0: =∈= vTVvTnu rr
( ) ( ){ }wvTVvWwTimagen rrrr=∈∃∈= :
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Nulidad y Rango de una Transformación
• Sea T:V → W una transformación lineal, entonces:– El núcleo de T es un subespacio de V– La imagen de T es un subespacio de W
– La nulidad de T es la dimensión del núcleo de T,Nulidad T = dim nu(T)
– Rango de T es la dimensión de la imagen de TRango T = dim imagen(T)