Post on 11-Oct-2018
transcript
1
Unidad didctica 11: Ecuaciones no lineales. Aproximaciones sucesivas.
Mtodo de Newton-Raphson. Ejercicios.
Israel Caamn ValeraDto. de Matemtica Aplicada y Mtodos Informticos
E.T.S.I. Minas
.
2
NDICE
1. Planteamiento del problema.
6. Ejercicios. Talleres 11-1 y 11-2.
2. Mtodo de la biseccin.
3. Mtodo de aproximaciones sucesivas o del punto fijo.
4. Mtodo de Newton-Raphson.
5. Mtodo de la secante.
3
1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Objetivo: Dada una funcin f(x), buscamos determinar, si es posible, algn valor x* para el que se verifique que f(x*)=0, es decir, buscamos hallar alguna raz de la funcin f(x). Estrategia: Todos los mtodos de resolucin de ecuaciones no lineales son iterativos, es decir, generan una sucesin de puntos
que se aproxima a la solucin real del problema.{ }=0nnx Criterios de parada: relacionados con la cercana del valor n-simo a la raz (o con un mximo nmero de iteraciones):
Tipos de mtodos: - De intervalo: basados en el Teorema de Bolzano.
- De punto fijo: basados en el Teorema del punto fijo.
( ) ;
4
Parten de un intervalo inicial de bsqueda, [a, b], y van reducindolo sucesivamente mediante la aplicacin del teorema de Bolzano, hasta conseguir la precisin deseada.
Ejemplos. - Mtodo de biseccin o de biparticin.- Mtodo de Regula-Falsi.- Mtodo de Mller.
2. MTODOS DE INTERVALO
Teorema de Bolzano: Sea f(x) una funcin continua en [a, b] con valores de signos opuestos en los extremos, entonces existe un punto c en [a, b] en el cual se anula la funcin.
( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ), 0 , 0F x C a b F a F b c a b F c < =
5
2. MTODO DE BISECCIN O BIPARTICIN
PROCESO DE CLCULO
1. Parte de un intervalo [a, b].
HIPTESIS DE PARTIDA
2. Halla el punto medio m1=(a+b)/2.
3. Analiza el signo de f(a) f(m1).
4. Selecciona el intervalo [a, m1] [m1, b] que verifique Bolzano.
CRITERIO DE PARADA
2logb a
n
n de iteraciones
necesarias
nn
abxx
2*
a bm1 m2
m3
f(a)
f(b)
6
3. MTODOS DE PUNTO FIJO
Definicin: Sea g(x) una funcin continua en [a, b] y un punto c en [a, b] tal que g(c)=c, entonces c se denomina punto fijo de g(x).
Estos mtodos buscan transformar la funcin f(x) en otra de la forma g(x)=x, de manera que obtener las races de f(x) ser equivalente a calcular los puntos fijos de g(x).
Teorema del punto fijo: Si g(x)C[a, b] y verifica:i) x[a, b] : g(x) [a, b] ii) k [0,1) / x[a, b] : |g(x)| k < 1
entonces la sucesin {xn}, generada mediante la relacin xn=g(xn-1) converge para cualquier valor inicial x0 de [a, b] al punto fijo c de g(x).
contraccin
f(x)
f(x)=0
g(x)
y=x
g(x)=x
7
g(x)
3. MTODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS
PROCESO DE CLCULO1. Poner f(x)=0 de la forma g(x)=x.2. Asegurar que g(x) es una
contraccin en [a, b].3. Evaluar g(x0).
4. Definir el nuevo punto x1=g(x0).
CRITERIO DE PARADA
n de iteraciones
necesarias011
* xxk
kxxn
n
( ) ( )kxx
kn ln1ln01
necesitamos saber k
11* nnn xxk
kxx C 1nn xxacotacin del error
Se genera una sucesin de puntos con la expresin xn=g(xn-1)
a bx0 x1 x2
g(x0)g(x1)g(x2)
x3 x*
y=x
a
b
8
3. MTODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS
Ejemplo 11-1. Hallar, mediante el mtodo de las aproximaciones sucesivas, la raz de la funcin:
( ) [ ]4 en 1, 2xF x x e= En primer lugar, tenemos que reescribir la funcin f(x) de la forma g(x)=x, de manera que g(x) sea una contraccin en [1, 2]:
En los dos primeros casos, g(1) o g(2) se sale del intervalo [1, 2]. En el ltimo caso, vemos si se cumplen las condiciones de la contraccin:
( ) ;=xg ( ) ;' =xg( ) =1g
( ) =2g
i) x[a, b] : g(x) [a, b]
( ) 04 == xexxF ( ) xexg4
=
( ) 04 == xexxF ( ) ( )xxg 4log=( ) 042 == xexxxF x ( ) xxexg = 2
xxe2xx
xx
xex
xexee
=
1
1( ) == xxg 0'
2131.112 1 = e
0405.122 2 = e
9
3. MTODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS
Comprobamos si tambin se cumple la segunda condicin:
Podemos aplicar el mtodo de las aproximaciones sucesivas:
ii) k [0,1) / x[a, b] : |g(x)| k < 1
k xk0 1.0000
Ejemplo extrado del curso de Anlisis Numrico de Csar Menndez, Univ. de Oviedo.
|max(g(x))| < 1
1 1.2131 2 1.2010 3 1.2023 4 1.2022 5 1.2022 6 1.2022
xk2.00001.04051.21261.20111.20231.20221.2022
( )xxexxg = 1' ( ) =xg '';
xexxx
3
2
221 +
( ) 0'' =xg 021 2 =+ xx 21=x [ ]2,1
( ) =1'g ( ) =2'g0 2601.0
10
Desarrollar en serie de Taylor el valor de la funcin en la raz f(x*) = f(x0+h) = 0:
4. MTODO DE NEWTON-RAPHSON
IDEA DEL MTODO
sustituyendo en x*
linealizamos el desarrollo
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...'''!3
''!2
'0 03
0
2
000 ++++==+ xfhxfhxfhxfhxf
( )( )0
0
' xfxfh = ( )( )0
001 ' xf
xfxx =hxxx += 01*
NOTA: observamos que el mtodo de Newton-Raphson es un caso particular del mtodo de aproximaciones sucesivas, con:
( ) ( )( )xfxfxxg
'=
luego si g(x) es una contraccin en el intervalo de bsqueda, el mtodo asegura la convergencia a la solucin nica.
( )( )1
11 '
=
n
nnn xf
xfxx
11
4. MTODO DE NEWTON-RAPHSON
PROCESO DE CLCULO
1. Punto inicial x0.
2. Evaluar f(x0) y f (x0).
3. Definir el nuevo punto x1=x0-f(x0)/f (x0).
Teorema : Si f(x)C2[a, b] y verifica:i) f(a) f(b) < 0ii) x[a, b] : f (x) 0 iii) x[a, b] : f (x) no cambia de signo,
entonces la sucesin {xn}, generada mediante el mtodo de Newton converge para cualquier valor inicial x0 de [a, b] a la raz de f(x).
existencia de raz en [a,b]montona crec./decrec.
conc./conv.
f(x)a bx0x1x2
f(x0)
f(x1)f(x2)
x3 x*
f(x0)
12
4. MTODO DE NEWTON-RAPHSON
CRITERIO DE PARADA
si g(x) es una contraccin
( ) y
13
4. MTODO DE NEWTON-RAPHSON
Sustituimos valores y escribimos la expresin de la forma f(x)=0,para saber la funcin de la que buscamos la raz:
Calculamos la derivada primera de f(x):
Y por lo tanto, la ecuacin de Newton-Raphson en este caso ser:
( )( )40115400000.150 += ii
( )( ) 0115400000.150 40 =+ ii f(i)
( ) =if '
( )( )
( )( ) ( )
++
++=
411
401
11
401
11
1401115400
115400000.150
kkkk
kk
kk
iiii
iiii
Comprobamos ahora si f(x) cumple las condiciones de convergencia del mtodo:
( )( ) ( )
++ 4140 1401115400 iiii
14
( ) 4105558.60001.0 =f( ) 5104460.11 =f
i) f(a)f(b) < 0.
( ) 6104156.40001.0' =f( ) 54001' =f
ii) f (x) 0.
( ) 8102395.10001.0'' =f( ) 108001'' =f
iii) f(x) no cambia de signo.
( ) ( )( ) ( )
++= 4140 1401115400' iiii
if
( ) ( )( ) ( ) ( )
+++
++
= 4241402 141401
4021125400'' iii
iii
if
Luego el mtodo converger a la nica raz para cualquier x0(0, 1]
Una vez comprobadas las condiciones de f(x), calculamos iteraciones:= 03.00i = 0175.01i = 0190.02i = 0191.03i 0191.04 =i
( )( ) ( ]1,0115400000.150)( 40 += iconii
xf
4. MTODO DE NEWTON-RAPHSON
15
5. MTODO DE LA SECANTE
PROCESO DE CLCULO
1. Punto inicial x0.
2. Definir el punto x1=x0-f(x0)/f (x0).
Es una variante del mtodo de Newton-Raphson, en la cual se aproxima la derivada de la funcin f(x) por la secante que pasa por dos puntos sucesivos, salvo en la primera iteracin:
3. Aproximar la derivada mediante M=(f (x1)-f (x0))/(x1-x0).
4. Definir el nuevo punto x2=x1-f(x1)/M.
NOTA: No puede ser tratado como un mtodo de punto fijo.
f(x)a bx0x1x2
f(x0)
f(x1)f(x2)
x3 x*
f(x0)
16
6. EJERCICIOS. TALLER 11-1
Taller 11-1.
Iter a F(a) b F(b) x(n) f(x(n))1 1.0000 - 2.0000 + 1.5000 +2 1.0000 - 1.5000 + 1.2500 +3 1.0000 - 1.2500 + 1.1250 -4 1.1250 - 1.2500 + 1.1875 -:
10:
1.2012:
-0.0073:
1.2031:
0.0070:
1.2021:
-0.0001
a) Creamos una tabla con los valores obtenidos en cada iteracin del mtodo de la biseccin:
intervalo final: [1.2021 1.2031]
c=(a+b)/2=1.2026
Hallar, mediante el mtodo de las aproximaciones sucesivas, la raz de la funcin:
a) Mediante el mtodo de la biseccin, hasta alcanzar una precisin de 1e-3 o un mximo de 10 iteraciones.
b) Mediante el mtodo de Newton-Raphson, 4 iteraciones tomando como punto inicial x0=1 y despus x0=2.
( ) [ ]4 en 1, 2xF x x e=
17
6. EJERCICIOS. TALLER 11-1
b) Vemos si la funcin cumple las condiciones para aplicar el mtodo de Newton-Raphson:
k xk00 1.0000
xk2.0000
( ) [ ]2,14 enexxf x =( ) 2817.1411 1 == ef( ) 7781.10422 2 == ef
i) f(a)f(b) < 0.
( ) ( ) 4366.5111' 1 =+= ef( ) ( ) 1672.22212' 2 =+= ef
ii) f (x) 0. ( ) ( )xeexexf xxx +=+= 1'
( ) ( ) 1548.8121'' 1 =+= ef( ) ( ) 5562.29222'' 2 =+= ef
iii) f(x) no cambia de signo. ( ) ( ) ( )xeexexf xxx +=++= 21''
Luego el mtodo converger a la nica raz para cualquier x0[1, 2]
01 1.235802 1.203003 1.202204 1.2022
1.51381.26181.2047 1.2022
18
6. EJERCICIOS. TALLER 11-2
Taller 11-2. El coeficiente de friccin, , en una tubera rectilnea de seccin circular, de dimetro D y con rugosidad K, por la que circule un fluido se puede relacionar con el nmero de Reynolds (Re) a travs de la ecuacin de Colebrook:
Se pide determinar el valor del coeficiente de friccin con una precisin de 1e-4 en una de tales tuberas, que tenga un dimetro D=0.3m, con una rugosidad K=0.00025m, y por la que se quiere hacer circular un fluido con un nmero de Reynolds Re=2105.(sugerencias: hacer el cambio de variable x=-1/2 y hacer e ecuacin para determinar la funcin f(x); usar como punto inicial x0=20).
+
=
DK
71.3Re51.2ln2 21
21
19
6. EJERCICIOS. TALLER 11-2
Buscamos construir la ecuacin f(x)=0 para aplicar Newton-Raphson:
20
6. EJERCICIOS. TALLER 11-2
21
6. EJERCICIOS. TALLER 11-2
Inicializamos el mtodo de Newton-Raphson en x0=20:
22
6. EJERCICIOS. TALLER 11-2
Y finalmente obtenemos:
23
QU HEMOS VISTO?.
RESUMEN
QU VEREMOS?.
Cmo se definen los mtodos de aproximaciones sucesivas y de Newton-Raphson.
Mtodos de resolucin de sistemas de ecuaciones no lineales.
Algunos mtodos para resolver ecuaciones no lineales.