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UNIVERSIDAD MARIANO GALVEZ DE GUATEMALA
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓN
DIRECCIÓN GENERAL DE CENTRO UNIVERSITARIOS
CAMPUS VILLA NUEVA
CURSO MATEMATICA FINANCIERA
Lic. Manuel de Jesús Campos Boc
DOCEAVA UNIDAD
OPERACIONES A LORGO PLAZO
IMPOSICIONES Y AMORTIZACIONES
Cuando las cuotas de una anualidad se destinan a formar un capital
(capitalización), la anualidad recibe el nombre de IMPOSICIÓN; y cuando
es para cancelar una deuda, se llama AMORTIZACIÓN.
En general hay dos sistemas para liquidar una deuda a largo plazo por
medio de pagos iguales regulares que son:
-Fondo de amortización o fondo de capitalización
-Amortización
1.- Fondo de amortización o de capitalización
Generalmente una deuda se puede cancelar con pagos periódicos (o
abonos), que se hacen al acreedor. Sin embargo, puede suceder que por
comodidad u otra razón, a esta persona no le interese recibir su dinero
mediante abonos a cuenta, sino recibir el total hasta el final del plazo.
A veces el deudor, por iniciativa propia, efectúa depósitos en forma
regular en un banco u otra institución financiera, constituyendo así un
fondo de amortización o de capitalización, que devenga intereses, en
tal forma que la suma así acumulada permite cancelar el capital total, al
llegar la fecha de vencimiento.
Sin embargo, no sólo para cancelar una deuda se constituye un fondo,
sino puede hacerse con otro propósito futuro: disponer del capital
necesario para la reposición de activos fijos, como maquinaria, equipo,
vehículos; para prevenir los gastos de jubilación del personal de la
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empresa; para mantenimiento y construcción de vías de comunicación e
infraestructura en general, o simplemente para comprar un bien material.
Este sistema presenta algunas ventajas como: la obtención de una rebaja
por compras al contado, evita al comprador el pago de intereses y
recargos originados de ventas a plazos; además, la inversión sistemática
(técnica o método de inversión), produce interese y se adquiere el hábito
de la previsión y del ahorro.
También este sistema presenta desventajas, como la de no disponer del
objeto de la compra sino hasta el final del plazo y el alto riegos de
comprar a mayor precio en épocas de inflación.
Un fondo es una suma de dinero que se acumula mediante pagos
periódicos, que ganan intereses en tal forma que a cierto plazo, se logra e
En el caso de una deuda, esta permanece constante hasta que se
complete el fondo, el cual no incluye los interese de la obligación, que
tienen que ser considerados por separado. El fondo gana interese, pero
no necesariamente a la misma tasa que le carga el acreedor.
Este es un sistema de Acumulación o Capitalización, en donde por lo
general las cuotas o abonos son iguales o nivelados y los intervalos de
pagos no varían, y en consecuencia, estos fondos constituyen una
aplicación más de las anualidades.
Los problemas básicos del fondo son dos:
a) Calcular la renta, cuota o contribución periódica.
b) Elaborar la tabla de capitalizaciones o estado del fondo de
amortización.
En el caso del fondo siempre se hará referencia al valor acumulado o al
vencimiento (monto), por ello, el material que comprende este capítulo se
refiere a monto en las anualidades.
Cada partida que se va reservando periódicamente, es una anualidad que
gana intereses que se van capitalizando regularmente.
-Variantes a considerar en el fondo
En los problemas de fondo de amortización o de capitalización, participan
los siguientes elementos:
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-Procedimiento de elaboración de un fondo de amortización
1.- Calcular la renta o los depósitos periódicos, con base en el monto a
acumular, la tasa de interés y el plazo establecido. Se aplica la fórmula
de la renta según sea el caso de la anualidad. (Un pago tasa efectiva,
varios pagos tasa efectiva y varios pagos tasa nominal).
2.- Establecer la tasa de interés equivalente a cada periodo de la renta,
con base en el número de pagos y el número de capitalizaciones del
interés en el año. Se aplica las formulas siguientes:
3.- Establecer la renta y la tasa equivalente a cada periodo de pago,
elaborar el cuadro de estado del fondo de amortización.
S = Monto o capital de la deuda (la meta del fondo)
R = Renta, cuota, aporte o controbución periodica
n = Tiempo o término para acumulación del capital
p = Numero de cuotas en el año
i = La tasa de interses efectiva ganada por el fondo
(capitalizable una vez al año)
j = La tasa de interses nominal devengada por el fondo
(capitalizable varias vez al año)
m = Numero de capitalizaciones en el año
FORMULAS DE TASA EQUIVALENTE
1.- UN PAGO, TASA EFECTIVA
i = ( 1 + i ) - 1
2.- VARIOS PAGOS, TASA EFECTIVA
1 / p
i = ( 1 + i ) - 1
3.- VARIOS PAGOS, TASA NOMINAL
m / p
i = ( 1 + j ) - 1m
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APLICACIÓN
PROBLEMA No. 1
Una empresa obtuvo un préstamo de Q 10, 000.00, que devenga interese
del 8% anual, que deberá cancelar totalmente dentro de cuatro años.
Para cumplir este compromiso, se ha constituido un fondo de amortización
en un banco, que abono interese a sus depositarios del 7% anual. De
cuanto deberá ser el depósito anual del fondo, cuyas sumas acumuladas
se destinara a cubrir solo el capital de la deuda, no así los interese propio
de la misma, que se deberán considerar por separado.
PASO No. 1
CALCULO DE LA RENTA
TASA EFECTIVA
R = S x i
n
( 1 + i ) - 1
S =
p =
i =
n = 4 + 0 / 12 =
R =
4.000000
?
Un pago por
año
DATOS:
10,000.00
1 PAGO AL AÑO
0.07
R = x
( 1 + ) - 1
R =
( ) - 1
R =
( ) - 1
R =
R = CONTRIBUCIÓN O CUOTA ANUAL AL FONDO
0.310796
2,252.28
700.00 4.000000
1.07
700.00
1.310796
700.00
10,000.00 0.07
4.000000
0.07
5
PASO No. 3
TABLE O ESTADO DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN
O CAPITALIZACIÓN
CALCULOS DE LOS INTERÉS POR AÑO
I = R X i
AÑO 2 I = X =
AÑO 3 I = X =
AÑO 4 I = X =7,240.86 0.07 506.86
2,252.28 0.07 157.66
4,662.22 0.07 326.36
10,000.00 EN 4 AÑOS
7 % ANUAL
1 2 3 5=5₁+4
1 2,252.28 2,252.28
2 2,252.28 157.66 4,662.22
3 2,252.28 326.36 7,240.86
4 2,252.28 506.86 10,000.00
9,009.12 990.88
TOTAL
ACUMULADO EN
EL FONDO
2,252.28
2,409.94
2,578.64
2,759.14
10,000.00
ESTADO DEL FONDO DE AMORTIZACIÓNCAPITAL DE
TASA DE INTERÉS
4=2+3
AÑOS RENTA ANUAL INTERÉS GANADOTOTAL AGREGADO
AL FONDO
PASO No. 2
TASA EQUIVALENTE
i = ( 1 + i ) - 1
i = ( 1 + ) - 1
i = ( ) - 1
i =
"COMO ES TASA EFECTIVA UN PAGO AL AÑO, Y EL FONDO GENERA INTERÉS UNA VEZ AL AÑO
NO, HAY NINGUN PROBLEMA. LA TASA ES EL 7% (ES EQUIVALENTE)
0.07
1.07
0.07
6
PROBLEMA No. 2
Para solventar un compromiso de Q 5, 000.00 a dos años plazo, se decidió
formar un fondo especial al que se harán aportes semestrales que se
acumularán en un banco, que reconoce a sus depositantes el 6% anual de
interés. Encontrar el importe de la cuota, formulando la tabla de
capitalización.
PASO No. 1
CALCULO DE LA RENTA
TASA EFECTIVA
1 / p
R = S ( 1 + i ) - 1
n
( 1 + i ) - 1
S =
p =
i =
n = 2 + 0 / 12 =R =
Varios pago
por año
DATOS:
5,000.00
2 PAGO AL AÑO
0.06
2.000000
?
SEMESTRAL
1 / 2
R = ( 1 + ) - 1
( 1 + ) - 1
0.5
R = ( ) - 1
( ) - 1
R = ( ) - 1
( ) - 1
R = ( )
( )
R = ( )
R =
5,000.00 1.029563
1.123600
5,000.00 0.029563
0.123600
2.000000
0.06
5,000.00 1.062.000000
1.06
5,000.00 0.06
5,000.00 0.239183
1,195.91
PASO No. 2
TASA EQUIVALENTE
1 / p
i = ( 1 + i ) - 1
1 / 2
i = ( 1 + ) - 1
i = ( ) - 1
i = ( ) - 1
i =
1.060000
1.029563
0.029563
0.06
0.5
7
PROBLEMA No. 3
Para cancelar una deuda de Q 1, 000.00, a cuatro años plazo, se
constituyó un fondo de capitalización que devenga el 8% anual e interés,
capitalizable semestralmente, al que se harán contribuciones anuales.
Calcular la renta anual y preparar el plan del fondo.
PASO No. 3
TABLE O ESTADO DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN
O CAPITALIZACIÓN
CALCULOS DE LOS INTERÉS POR AÑO
I = R X i
AÑO 2 I = X =
AÑO 3 I = X =
AÑO 4 I = X =
1,195.91 0.029563 35.35
2,427.18 0.029563 71.75
3,694.85 0.029563 109.23
PASO No. 1
CALCULO DE LA RENTA
TASA NOMINAL
m / p
R = S ( 1 + j ) - 1
m
m n
( 1 + j ) - 1
m
S =
p =
j =
m =
n = 4 + 0 / 12 =R =
0.0800
2
4.00
?
DATOS:
1,000.00
1 PAGO AL AÑO ANUAL
5,000.00 EN 2 AÑOS
0.029563 % SEMESTRAL
1 2 3 5=5₁+44=2+3
SEMETRAL
RENTA ANUAL INTERÉS GANADOTOTAL AGREGADO AL
FONDO
ESTADO DEL FONDO DE AMORTIZACIÓNCAPITAL DE
TASA DE INTERÉS
TOTAL ACUMULADO
EN EL FONDO
1 1,195.91 1,195.91
2 1,195.91 35.35 2,427.18
3 1,195.91 71.75 3,694.85
4 1,195.91 109.23 5,000.00
4,783.66 216.34
1,305.15
5,000.00
1,267.67
1,195.91
1,231.27
SEMETRAL
RENTA ANUAL INTERÉS GANADOTOTAL AGREGADO AL
FONDO
TOTAL ACUMULADO
EN EL FONDO
8
2 / 1
R = ( 1 + ) - 1
2 x
( 1 + ) - 1
R = ( ) - 1
( ) - 1
R = ( ) - 1
( ) - 1
R = ( )
( )
R = ( )
R =
0.368569
1,000.00 0.221397
221.40
8
1.040000
1,000.00 1.081600
1.368569
1,000.00 0.081600
2
4.00
0.0800
2
2.00
1,000.00 1.040000
1,000.00 0.0800
PASO No. 2
TASA EQUIVALENTE
m / p
i = ( 1 + j ) - 1m
2 / 1
i = ( 1 + ) - 1
i = ( ) - 1
i = ( ) - 1
i =
1.040000
2
1.081600
0.081600
0.08
2
PASO No. 3
TABLE O ESTADO DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN
O CAPITALIZACIÓN
CALCULOS DE LOS INTERÉS POR AÑO
I = R X i
AÑO 2 I = X =
AÑO 3 I = X =
AÑO 4 I = X =
221.40
460.86
719.86
0.081600
0.081600
18.07
37.61
58.74 0.081600
9
-Fondos de amortización con participación de varias tasas de
interés
En algunas ocasiones los créditos se contratan con una tasa de interés
variable. Cuando se está amortizando una deuda y sucede el cambio en la
tasa de interés, se le presenta al deudor la alternativa entre seguir
cancelando la misma cuota nivelada y modificar el plazo, o bien mantener
el mismo plazo pactado y modificar el pago periódico.
En el caso de la acumulación de fondos lo que sucede cuando se modifica
la tasa de interés, es que si se sigue haciendo los depósitos por el mismo
valor el fondo se acumula en un periodo diferente al pactado inicialmente,
o que se acumule el fondo en el plazo establecido originalmente y lo que
varíe sea el valor de cada deposito. En resumen la modificación de la
tasa de interés repercute en el plazo y/o la renta convenidos
inicialmente.
En las operaciones a largo plazo es muy común que sucedan estos
cambios de la tasa de interés. Lo que se recomienda para trabajar
adecuadamente los problemas que se presentan al respecto, es identificar
bien los periodos en que se estuvieron vigentes cada una de las tasa de
interese y sobre esa base definir las distintas anualidades que
correspondan.
1,000.00 EN 4 AÑOS
0.081600 % ANUAL
1 2 3 5=5₁+4
1 221.40 221.40
2 221.40 18.07 460.86
3 221.40 37.61 719.86
4 221.40 58.74 1,000.00
885.59 114.41
221.40
239.46
259.00
280.14
1,000.00
ESTADO DEL FONDO DE AMORTIZACIÓNCAPITAL DE
TASA DE INTERÉS
4=2+3
AÑOS RENTA ANUAL INTERÉS GANADOTOTAL AGREGADO AL
FONDO
TOTAL ACUMULADO
EN EL FONDO
10
APLICACIÓN
PROBLEMA No. 1
Cual deberá ser el aporte anual para construir un fondo de amortización
de Q 6, 000.00, en cinco años, si este devenga el 7% anual durante tres
años, y el 8% anual durante los dos siguientes. Elabora el plan del fondo
de amortización.
R = S
k t t
( 1 + i ) - 1 X ( 1 + i₁ ) + ( 1 + i₁ ) - 1
i i₁
R =
3.00 2.00 2.00
( 1 + - 1 X ( 1 + ) + ( 1 + ) - 1
R =
3.00 2.00 2.00
( ) - 1 X ( ) + ( ) - 1
R =
( ) - 1 X ( ) + ( ) - 1
R =
( ) X ( ) + ( )
R =
( ) X ( ) + ( )
R =
R = CONTRIBUCIÓN O CUOTA ANUAL AL FONDO
0.07 0.08
3.214900 1.166400 2.080000
6,000.00
5.829859
6,000.00
1.225043 1.166400 1.166400
0.07 0.08
6,000.00
0.225043 1.166400 0.166400
0.07
0.07
0.08 0.08
0.08
6,000.00
1.07
0.07
1.08 1.08
0.08
6,000.00
6,000.00
1,029.18
CALCULO DE LA RENTA
TASA EFECTIVA
R = S
k t t
( 1 + i ) - 1 X ( 1 + i₁ ) + ( 1 + i₁ ) - 1
i i₁
Un pago por
año
S =
p = k = Tiempo 1
k = 3 + 0 / 12 = t = Tiempo 2
i = i = Tasa de Interés 1
t = 2 + 0 / 12 = i ₁ = Tasa de Interés 2
i₁ =
R =
0.07
2.00
0.08
DATOS:
6,000.00
1 PAGO AL AÑO
3.00
?
11
PASO No. 2
TASA EQUIVALENTE
i = ( 1 + i ) - 1 i = ( 1 + i₁ ) - 1
i = ( 1 + ) - 1 i = ( 1 + ) - 1
i = ( ) - 1 i = ( ) - 1
i = i₁ =
0.080.07
1.07
0.07
1.08
0.08
PASO No. 3
TABLE O ESTADO DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN
O CAPITALIZACIÓN
CALCULOS DE LOS INTERÉS POR AÑO
I = R X i
AÑO 2 I = X =
AÑO 3 I = X =
AÑO 4 I = X =
AÑO 5 I = X =4,602.61 0.08 368.21
1,029.18 0.07 72.04
2,130.41 0.07 149.13
3,308.72 0.08 264.70
6,000.00 EN 3 2 AÑOS
TASA DE INTERÉS 0.07 0.08 % ANUAL
1 2 4=2+3 5=5₁+4
0.07
1 1,029.18 1,029.18 1,029.18
2 1,029.18 72.04 1,101.23 2,130.41
3 1,029.18 149.13 1,178.31 3,308.72
4 1,029.18 1,293.88 4,602.61
5 1,029.18 1,397.39 6,000.00
5,145.92 221.17 6,000.00
368.21
TOTAL ACUMULADO EN EL
FONDO
3
INTERÉS GANADO
0.08
264.70
632.91
CAPITAL DE
AÑOS RENTA ANUALTOTAL AGREGADO AL
FONDO
ESTADO DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN
12
2.- Sistema de amortizaciones
Es el proceso mediante el cual se cancela gradualmente una deuda con
una serie de abonos o pagos periódicos, de los cuales una parte sirve para
pagar los intereses sobre saldos y el resto para abonar al capital de la
deuda. Cada renta debe ser mayor que los intereses sobre saldos para
que se pueda amortizar parte de ella al capital. Si no es así no existe
amortización. Se parte del valor actual de una anualidad.
-Principales aplicaciones: cancelación de préstamos de vivienda
mediantes cuotas nivelas, pagos de créditos, cancelación de aparatos
eléctricos mediante abonos del mismo valor, liquidaciones de adeudos con
cuotas nivelas y otros.
-Procedimiento para elaboración de un sistema de amortización
1.- Calcular la renta o las amortizaciones o abonos periódicos, con base
en el valor actual de la deuda a amortizar, la tasa de interés y el plazo
establecido. Se aplica la fórmula de la renta según el caso de la
anualidad.
2.- Establecer la tasa de interés equivalente a cada periodo de la renta,
con base en el número de pagos y el número de capitalizaciones del
interés en el año. Se aplica la formula según sea el caso.
3.- Establecida la renta y la tasa equivalente a cada periodo de pago,
elaborar el cuadro de estado de amortización.
APLICACIÓN
PROBLEMA No. 1
Un banco otorgó un crédito de Q 10, 000.00, a cuatro años plazo, que
devenga el 8% anual de interés y deberá cancelarse mediante pagos
anuales vencidos. Que abono deberá hacerse al banco para amortizar
gradualmente esta obligación. Elaborar el estado de amortización.
13
PASO No. 1
CALCULO DE LA RENTA
TASA EFECTIVA
R =
n
( 1 + i )
Un pago por
añoA
1 -
1
i
A =
p =
i =
n = 4 + 0 / 12 =R = ?
DATOS:
10,000.00
1 PAGO AL AÑO
0.08
4.000000
R =
1 - ( 1 + )
R =
1 - ( )
R =
1 - ( )
R =
1 - ( )
R =
R =
R = RENTA ANUAL
10,000.00
0.264970
0.08
10,000.00
3.312127
3,019.21
1
1.360489
0.08
10,000.00
0.735030
0.08
10,000.00
14.000000
1.08
0.08
10,000.00
10,000.00
14.000000
0.08
0.08
14
PROBLEMA No. 2
Una deuda de Q 6, 000.00, se amortizará en dos años, mediante pagos
trimestrales vencidos, la cual devenga interese del 8% anual. Calcular el
pago anual que incluye intereses y abonos de capital.
PASO No. 3
TABLE DE ESTADO DE AMORTIZACIÓN
10,000.00 EN 4 AÑOS
0.08 % ANUAL
1 2 3=5x% 5=5₁+4
0 10,000.00
1 3,019.21 800.00 7,780.79
2 3,019.21 622.46 5,384.05
3 3,019.21 430.72 2,795.56
4 3,019.21 223.65 0.00
12,076.83 2,076.83
2,219.21
2,396.74
2,795.56
10,000.00
2,588.48
ESTADO DE AMORTIZACIÓNCAPITAL DE
TASA DE INTERÉS
4=2-3
FIN DE AÑO PAGO ANUAL INTERÉS DEUDA AMORTIZACIÓN A CAPITAL CAPITAL POR AMORTIZAR
PASO No. 1
CALCULO DE LA RENTA
TASA EFECTIVA 1 / p
R = A ( 1 + i ) - 1
- n
1 - ( 1 + i )
A =
p =
i =
n = 2 + 0 / 12 =R =
TRIMESTRAL
2.000000
?
Varios pago
por año
DATOS:
6,000.00
4 PAGO AL AÑO
0.08
15
1 / 4
R = ( 1 + ) - 1
-
1 - ( 1 + )
R = ( ) - 1
-
1 - ( )
R = ( ) - 1
1 - ( )
R = ( )
( )
R =
R = 817.04
0.857339
6,000.00 0.019427
0.142661
116.56
0.142661
0.25
6,000.00 1.08
2.000000
1.08
6,000.00 1.019427
6,000.00 0.08
2.000000
0.08
PASO No. 2
TASA EQUIVALENTE
1 / p
i = ( 1 + i ) - 1
1 / 4
i = ( 1 + ) - 1
i = ( ) - 1
i = ( ) - 1
i = 0.019427
0.08
0.25
1.080000
1.019427
16
PROBLEMA No. 3
Un préstamo de Q 10, 000.00, con intereses del 8% anual capitalizable
por semestres, se deberá cancelar en cinco pagos anuales vencidos
iguales. Calcular el importe del pago nivelado y elaborar el plan de
amortización.
PASO No. 3
TABLE DE ESTADO DE AMORTIZACIÓN
6,000.00 EN 2 AÑOS
0.019427 % TRIMESTRAL
1 2 3=5x% 5=5₁+4
0 6,000.00
AÑO 1
1 817.04 116.56 5,299.52
2 817.04 102.95 4,585.44
3 817.04 89.08 3,857.48
4 817.04 74.94 3,115.38
AÑO 1
1 817.04 60.52 2,358.87
2 817.04 45.82 1,587.66
3 817.04 30.84 801.47
4 817.04 15.57 0.00
6,536.29 536.29
727.96
742.10
756.51
771.21
786.19
801.47
700.48
714.08
6,000.00
ESTADO DE AMORTIZACIÓNCAPITAL DE
TASA DE INTERÉS
4=2-3
FIN TRIMESTRE PAGO TRIMESTRAL INTERÉS DEUDA AMORTIZACIÓN A CAPITAL CAPITAL POR AMORTIZAR
PASO No. 1
CALCULO DE LA RENTA
TASA NOMINAL
m / p
R = A (( 1 + j ) - 1 )
m
- mn
1 - ( 1 + j )
m
A =
p =
j =
m =
n = 5 + 0 / 12 =
R =
ANUAL
DATOS:
10,000.00
1 PAGO AL AÑO
0.08
2
5.00
?
17
2 / 1
R = (( 1 + ) - 1 )
- 2 x 5.00
1 - ( 1 + )
R = ( ) - 1
-
1 - ( )
R = ( ) - 1
1 - ( )
R = ( )
( )
R =
( )
R =
1.081600
0.675564
10,000.00 0.081600
0.324436
816.00
10,000.00 0.08
2
0.08
2,515.14
0.324436
10.00
10,000.00 1.040000
1.04
10,000.00
2.000000
2
PASO No. 2
TASA EQUIVALENTE
m / p
i = ( 1 + j ) - 1m
2 / 1
i = ( 1 + ) - 1
i = ( ) - 1
i = ( ) - 1
i = 0.081600
0.08
2
2
1.040000
1.081600
18
-AMORTIZACIÓN CON BONOS
Cuando las entidades necesitan de fondos adicionales para realizar sus
operaciones, colocan en el mercado bonos u obligaciones, que van
amortizando en “n” años.
El bono es un certificado de préstamo mediante el cual, su entidad
emisora se compromete a cancelar a su tenedor.
a) Sus intereses hasta la fecha en que sea amortizado
b) A pagar el valor del bono al llegar a su vencimiento
APLICACIÓN
PROBLEMA No. 1
Una empresa contrajo una deuda por Q 10, 000.00, representada por 100
bonos de Q100.00 cada uno, que rentan el 8% anual de interés, a
amortizarse en cuatro años. Calcular el pago anual y elaborar el estado de
amortización.
10,000.00 EN 5 AÑOS
0.081600 % ANUAL
1 2 3=5x% 5=5₁-4
0 10,000.00
1 2,515.14 816.00 8,300.86
2 2,515.14 677.35 6,463.08
3 2,515.14 527.39 4,475.33
4 2,515.14 365.19 2,325.38
5 2,515.14 189.75 -
12,575.68 2,575.68 10,000.00
2,149.95
2,325.38
CAPITAL POR AMORTIZAR
1,699.14
1,837.78
1,987.75
TASA DE INTERÉS
4=2-3
FIN DE SEMESTRE PAGO SEMESTRAL INTERÉS DEUDA AMORTIZACIÓN A CAPITAL
ESTADO DE AMORTIZACIÓNCAPITAL DE
PASO No. 3
TABLE DE ESTADO DE AMORTIZACIÓN
19
Como los bonos tienen un valor determinado (Q100.00 c/u), estos tienen
que amortizarse en números completo o entero de títulos y no por
fracción. De allí que en el cuadro de amortización NO se puede mantener
la RENTA TEÓRICA antes obtenida (Q 3, 019.21).
PASO No. 1
CALCULO DE LA RENTA
TASA EFECTIVA
R =
n
( 1 + i )
i
Un pago por
añoA
1 -
1
A =
p =
i =
n = 4 + 0 / 12 =R =
R =
1 - ( 1 + )
R =
1 - ( )
R =
1 - ( )
R =
1 - ( )
R =
R =
R = RENTA ANUAL NIVELADA TEÓRICA
0.08
DATOS:
10,000.00
1 PAGO AL AÑO
0.08
4.000000
?
10,000.00
14.000000
0.08
0.08
10,000.00
14.000000
1.08
0.08
10,000.00
1
1.360489
0.08
10,000.00
0.735030
10,000.00
0.264970
0.08
10,000.00
3.312127
3,019.21
PASO No. 2
TABLE DE ESTADO DE AMORTIZACIÓN DE BONOS
20
Por ello, cuando después de calcular los intereses, el remanente de la
renta teórica da oportunidad de amortizar un número exactos de bonos,
quedando un sobrante si es mayor del 50% del valor nominal de un bono,
se acostumbra amortizar un bono más. Si el sobrante es menor, solo se
amortizan el número de títulos a que da margen la renta teórica ya
calculada, despreciándose el remanente que puede quedar.
CALCULO DE LOS BONOS
VALOR DEL BONO. C / U
AÑO 1
RENTA TEÓRICA
INTERÉS
( X )
REMANENTE = 22
AÑO 2
RENTA TEÓRICA
INTERÉS
( X )
REMANENTE = 24
AÑO 3
RENTA TEÓRICA
INTERÉS
( X )
REMANENTE = 26
AÑO 4
RENTA TEÓRICA
INTERÉS
( X )
REMANENTE = 28
100.00
10,000.00 0.08
3,019.21
800.00
2,800.00 0.08 224.00
BONOS
BONOS
3,019.21
5,400.00 0.08 432.00
2,219.21
3,019.21
7,800.00 0.08 624.00
2,395.21
2,795.21 BONOS
2,587.21 BONOS
3,019.21
10,000.00 EN 4 AÑOS
0.08 % ANUAL
100 BONOS
1 2=3+4 3=6x% 5 6=6₁-4
0 10,000.00
1 3,000.00 800.00 22 7,800.00
2 3,024.00 624.00 24 5,400.00
3 3,032.00 432.00 26 2,800.00
4 3,024.00 224.00 28 -
12,080.00 2,080.00 100
2,800.00
10,000.00
BONOS
AMORTIZADOS
TASA DE INTERÉS
100.00 CADA UNO
CAPITAL POR
AMORTIZAR
2,200.00
2,400.00
2,600.00
4=5*valor del bono
FIN DE AÑO PAGO ANUAL INTERÉS AMORTIZACIÓN A
CAPITAL
ESTADO DE AMORTIZACIÓN DE BONOSPOR
21
-Método convencional de amortización
No es necesario amortizar un préstamo por medio de pagos iguales a
intervalos regulares. Puede haber tantos planes diferentes de
amortizaciones como prestamos; sin embargo, el más usado por ser el
más científica, es el de pagos periódicos iguales a intervalos regulares,
aunque también está muy difundido el de pago regular de importe
decreciente. Estos son, pagos iguales sobre el capital y pagos
decrecientes por interés.
APLICACIÓN
PROBLEMA No. 1
Una deuda de Q 30, 000.00, será amortizada durante cuatro años,
mediante ocho pagos semestrales de Q 3, 750.00 cada uno, o sea una
octava parte del capital. De acuerdo a las cláusulas del contrato de
préstamos, se cancelarán interese sobre saldos adeudados o insolutos, a
razón del 12% anual capitalizable semestralmente. Elaborar la tabla de
amortización, sujetándose a las condiciones pactadas entre deudor y
acreedor.
PASO No. 1
TASA EQUIVALENTE
VALOR DEL PAGO
A =
p =
j =
m =
n = 4 + 0 / 12 =
m / p
i = ( 1 + j ) - 1m
2 / 2
i = ( 1 + ) - 1
i = ( ) - 1i = ( ) - 1
i =
2
4.00
0.12
2
1
1.060000
DATOS:
30,000.00
2 PAGO AL AÑO SEMESTRALES
0.12
3,750.00
1.060000
0.060000
22
PASO No. 2
ESTADO DE AMORTIZACIÓN
30,000.00 EN 4 AÑOS CON PAGOS
SEMESTRALES VENCIDOS 0.06 INTERÉS SEMESTRALES
FIN DE
1 2=3+4 3=5₁*% 4 5=5₁-4
0 30,000.00
1 5,550.00 1,800.00 3,750.00 26,250.00
2 5,325.00 1,575.00 3,750.00 22,500.00
3 5,100.00 1,350.00 3,750.00 18,750.00
4 4,875.00 1,125.00 3,750.00 15,000.00
5 4,650.00 900.00 3,750.00 11,250.00
6 4,425.00 675.00 3,750.00 7,500.00
7 4,200.00 450.00 3,750.00 3,750.00
8 3,975.00 225.00 3,750.00 -
38,100.00 8,100.00 30,000.00
ESTADO DE AMORTIZACIÓN
SOBRE SALDOS INSOLUTOSDISTRIBUCIÓN DEL PAGO
INTERESE SOBRE
SALDO ADEUDALES
TOTAL DEL PAGOSEMESTRALES
AMORTIZACIÓN DE
CAPITAL
SALDO CAPITAL POR
AMORTIZAR