[ Arquitectura de Computadores ]
SISTEMAS DIGITALES
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Pontificia Universidad Católica de ChileEscuela de Ingeniería
Departamento de Ciencia de la Computación
IIC 2342Semestre 2004-2
Domingo Mery
D.Mery 1 Arquitectura de Computadores
PräsentationD.Mery 2 Arquitectura de Computadores
[ Índice ]
2.1. Álgebra Booleana
2.2 Circuitos combinacionales
2.3. Circuitos aritméticos
2.4. Circuitos sincrónicos
2.5. Memorias
PräsentationD.Mery 3 Arquitectura de Computadores
[ Índice ]
2.1. Álgebra Booleana
2.2 Circuitos combinacionales
2.3. Circuitos aritméticos
2.4. Circuitos sincrónicos
2.5. Memorias
[ Sistemas Digitales ]
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Álgebra Booleana
D.Mery 4 Arquitectura de Computadores
Aproximadamente en el año 1850 George Boole, desarrolló un sistema algebraico para formular proposiciones con símbolos.
George Boole1815-1864
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Álgebra Booleana
D.Mery 5 Arquitectura de Computadores
Su álgebra consiste en un método para resolver problemas de lógica que recurre solamente a los valores binarios 1 y 0 y a tres operadores:
• AND (y) • OR (o) • NOT (no)
George Boole1815-1864
010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101
[ Sistemas Digitales ]
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Álgebra Booleana
D.Mery 6 Arquitectura de Computadores
Las variables Booleanas sólo toman los valores binarios: 1 ó 0.
Una variable Booleana representa un bit que quiere decir:
Binary digIT
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Álgebra Booleana
D.Mery 7 Arquitectura de Computadores
x y x+y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Operación OR:
[ Sistemas Digitales ]
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Álgebra Booleana
D.Mery 8 Arquitectura de Computadores
x y x+y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Operación OR:
Si una de las entradas es 1, entonces la salida es 1
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Álgebra Booleana
D.Mery 9 Arquitectura de Computadores
Compuerta OR:
x
yx + y
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Álgebra Booleana
D.Mery 10 Arquitectura de Computadores
x y x y
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Operación AND:
[ Sistemas Digitales ]
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Álgebra Booleana
D.Mery 11 Arquitectura de Computadores
x y x y
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Operación AND:
Si una de las entradas es 0, entonces la salida es 0
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Álgebra Booleana
D.Mery 12 Arquitectura de Computadores
Compuerta AND:
x
yx y
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Álgebra Booleana
D.Mery 13 Arquitectura de Computadores
Operación NOT:
x x
0 1
1 0
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Álgebra Booleana
D.Mery 14 Arquitectura de Computadores
Operación NOT:
x x
0 1
1 0
La salida es la negación de la entrada
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Álgebra Booleana
D.Mery 15 Arquitectura de Computadores
Compuerta NOT:
x x
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D.Mery 16 Arquitectura de Computadores
Ejercicio:
Encontrar w = x y + y z para todas las combinaciones.
[ Sistemas Digitales ]
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Álgebra Booleana
D.Mery 17 Arquitectura de Computadores
Ejercicio:
Encontrar w = x y + y z para todas las combinaciones.
x y z xy yz w
0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 1 1 0 1 1
1 0 0 1 0 1
1 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 1 1
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Álgebra Booleana
D.Mery 18 Arquitectura de Computadores
Postulados de Identidad:
• 0 + x = ?
• 1 × x = ?
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Álgebra Booleana
D.Mery 19 Arquitectura de Computadores
Postulados de Identidad:
• 0 + x = x
• 1 × x = ?
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Álgebra Booleana
D.Mery 20 Arquitectura de Computadores
Postulados de Identidad:
• 0 + x = x
• 1 × x = x
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Álgebra Booleana
D.Mery 21 Arquitectura de Computadores
Propiedad conmutativa:
• x + y = ?
• x y = ?
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Álgebra Booleana
D.Mery 22 Arquitectura de Computadores
Propiedad conmutativa:
• x + y = y + x
• x y = ?
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Álgebra Booleana
D.Mery 23 Arquitectura de Computadores
Propiedad conmutativa:
• x + y = y + x
• x y = y x
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Álgebra Booleana
D.Mery 24 Arquitectura de Computadores
Axiomas de complemento:
• x x = ?
• x + x = ?
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Álgebra Booleana
D.Mery 25 Arquitectura de Computadores
Axiomas de complemento:
• x x = 0
• x + x = ?
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Álgebra Booleana
D.Mery 26 Arquitectura de Computadores
Axiomas de complemento:
• x x = 0
• x + x = 1
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Álgebra Booleana
D.Mery 27 Arquitectura de Computadores
Teorema de idempotencia:
• x x = ?
• x + x = ?
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Álgebra Booleana
D.Mery 28 Arquitectura de Computadores
Teorema de idempotencia:
• x x = x
• x + x = ?
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Álgebra Booleana
D.Mery 29 Arquitectura de Computadores
Teorema de idempotencia:
• x x = x
• x + x = x
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Álgebra Booleana
D.Mery 30 Arquitectura de Computadores
Teorema de elementos dominantes:
• x × 0 = ?
• x + 1 = ?
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Álgebra Booleana
D.Mery 31 Arquitectura de Computadores
Teorema de elementos dominantes:
• x × 0 = 0
• x + 1 = ?
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Álgebra Booleana
D.Mery 32 Arquitectura de Computadores
Teorema de elementos dominantes:
• x × 0 = 0
• x + 1 = 1
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Álgebra Booleana
D.Mery 33 Arquitectura de Computadores
Propiedad distributiva:
• x ( y + z ) = ?
• x + ( y z ) = ?
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Álgebra Booleana
D.Mery 34 Arquitectura de Computadores
Propiedad distributiva:
• x ( y + z ) = x y + x z
• x + ( y z ) = ?
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Álgebra Booleana
D.Mery 35 Arquitectura de Computadores
Propiedad distributiva:
• x ( y + z ) = x y + x z
• x + ( y z ) = ( x + y ) ( x + z )
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Álgebra Booleana
D.Mery 36 Arquitectura de Computadores
Ley involutiva:
• ( x ) = ?
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Álgebra Booleana
D.Mery 37 Arquitectura de Computadores
Ley involutiva:
• ( x ) = x
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Álgebra Booleana
D.Mery 38 Arquitectura de Computadores
Teorema de absorción:
• x + x y = ?
• x ( x + y ) = ?
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Álgebra Booleana
D.Mery 39 Arquitectura de Computadores
Teorema de absorción:
• x + x y = x
• x ( x + y ) = ?
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Álgebra Booleana
D.Mery 40 Arquitectura de Computadores
Teorema de absorción:
• x + x y = x
• x ( x + y ) = x
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Álgebra Booleana
D.Mery 41 Arquitectura de Computadores
Teorema del consenso:
• x + x y = ?
• x ( x + y ) = ?
[ Sistemas Digitales ]
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Álgebra Booleana
D.Mery 42 Arquitectura de Computadores
Teorema del consenso:
• x + x y = x + y
• x ( x + y ) = ?
[ Sistemas Digitales ]
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Álgebra Booleana
D.Mery 43 Arquitectura de Computadores
Teorema del consenso:
• x + x y = x + y
• x ( x + y ) = x y
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Álgebra Booleana
D.Mery 44 Arquitectura de Computadores
Teorema asociativo:
• x + ( y + z ) = ?
• x ( y z ) = ?
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Álgebra Booleana
D.Mery 45 Arquitectura de Computadores
Teorema asociativo:
• x + ( y + z ) = ( x + y ) + z
• x ( y z ) = ?
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Álgebra Booleana
D.Mery 46 Arquitectura de Computadores
Teorema asociativo:
• x + ( y + z ) = ( x + y ) + z
• x ( y z ) = ( x y) z
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Álgebra Booleana
D.Mery 47 Arquitectura de Computadores
Leyes de Morgan:
• ( x + y ) = ?
• ( x y ) = ?
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Álgebra Booleana
D.Mery 48 Arquitectura de Computadores
Leyes de Morgan:
• ( x + y ) = x y
• ( x y ) = ?
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Álgebra Booleana
D.Mery 49 Arquitectura de Computadores
Leyes de Morgan:
• ( x + y ) = x y
• ( x y ) = x + y
Präsentat
ionD.Mery 50 Arquitectura de Computadores
[ Índice ]
2.1. Álgebra Booleana
2.2 Circuitos combinacionales
2.3. Circuitos aritméticos
2.4. Circuitos sincrónicos
2.5. Memorias
010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101
[ Sistemas Digitales ]
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Circuitos combinacionales
D.Mery 51 Arquitectura de Computadores
Un circuito combinacional es aquel cuya salida depende sólo de las entradas.
Es decir:
• No depende de la salida• No depende del tiempo
[ Sistemas Digitales ]
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Circuitos combinacionales
D.Mery 52 Arquitectura de Computadores
Compuerta AND:
x
yx y
x y x y
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1TABLA DE VERDAD
[ Sistemas Digitales ]
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Circuitos combinacionales
D.Mery 53 Arquitectura de Computadores
Compuerta NAND:
x
yx y
x y x y
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0TABLA DE VERDAD
[ Sistemas Digitales ]
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Circuitos combinacionales
D.Mery 54 Arquitectura de Computadores
Compuerta OR:
x
yx + y
x y x+y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1TABLA DE VERDAD
[ Sistemas Digitales ]
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Circuitos combinacionales
D.Mery 55 Arquitectura de Computadores
Compuerta NOR:
x
yx + y
TABLA DE VERDAD
x y x+y
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
[ Sistemas Digitales ]
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Circuitos combinacionales
D.Mery 56 Arquitectura de Computadores
Compuerta XOR (OR exclusivo):
x
yx + y
x y x+y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0TABLA DE VERDAD
[ Sistemas Digitales ]
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Circuitos combinacionales
D.Mery 57 Arquitectura de Computadores
Compuerta XNOR (NOR exclusivo):
x
yx + y
x y x+y
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1TABLA DE VERDAD
[ Sistemas Digitales ]
PräsentationD.Mery 58 Arquitectura de
Computadores
Ejercicio:
Diseñe el circuito combinacional que realice la función
w = x y + y z .
Circuitos combinacionales
[ Sistemas Digitales ]
PräsentationD.Mery 59 Arquitectura de
Computadores
Ejercicio:
Diseñe el circuito combinacional que realice la función
w = x y + y z .
Circuitos combinacionales
xy
z
w
[ Sistemas Digitales ]
PräsentationD.Mery 60 Arquitectura de
Computadores
Primera Ley de Morgan:
• ( x + y ) = x y
Circuitos combinacionales
x
yx + y = x y
[ Sistemas Digitales ]
PräsentationD.Mery 61 Arquitectura de
Computadores
Primera Ley de Morgan:
• ( x + y ) = x y = x y
Circuitos combinacionales
x
yx y
[ Sistemas Digitales ]
PräsentationD.Mery 62 Arquitectura de
Computadores
Segunda Ley de Morgan:
• ( x y ) = x + y
Circuitos combinacionales
x
yx y = x + y
[ Sistemas Digitales ]
PräsentationD.Mery 63 Arquitectura de
Computadores
Segunda Ley de Morgan:
• ( x y ) = x + y = x + y
Circuitos combinacionales
x + yx
y
[ Sistemas Digitales ]
PräsentationD.Mery 64 Arquitectura de
Computadores
Ejercicio:
Diseñe el circuito combinacional que realice la función
w = x y + y z usando sólo compurtas NAND de dosentradas.
Circuitos combinacionales
[ Sistemas Digitales ]
PräsentationD.Mery 65 Arquitectura de
Computadores
Circuitos combinacionales
xy
z
w
Ejercicio:
Diseñe el circuito combinacional que realice la función
w = x y + y z usando sólo compurtas NAND de dosentradas.
[ Sistemas Digitales ]
PräsentationD.Mery 66 Arquitectura de
Computadores
Circuitos combinacionales
[ Sistemas Digitales ]
PräsentationD.Mery 67 Arquitectura de
Computadores
Circuitos combinacionales
xyz w
[ Sistemas Digitales ]
PräsentationD.Mery 68 Arquitectura de
Computadores
Circuitos combinacionales
MAPAS DE KARNOUGH:
• Para dos variables• Para tres variables• Para cuatro variables
(temas vistos en la pizarra)