Procesos EstocásticosProcesos Estocásticos

ProbabilidadProbabilidad

SESIÓN 02SESIÓN 02

Probabilidad 0Probabilidad 0

• Proceso determinista: Los resultados se determinan anticipadamente con certeza

• Proceso estocástico: Los resultados se determinan con cierta probabilidad, existe una incertidumbre en el resultado

Probabilidad 1Probabilidad 1

• Concepto clásico de probabilidad: eventos equiprobables (azar): probabilidad de acierto = eventos favorables/eventos posibles = n/N

• ¿Cuál es la probabilidad de tomar un as de baraja común? Rpta. 4/52 = 1/13

• Interpretación frecuentista: la probabilidad de un evento es la proporción de las veces en que ocurrirán ala larga eventos del mismo tipo

* Si decimos que la probabilidad de que un vuelo de Quito a Guayaquil llegue a tiempo es de 0,84

Probabilidad 2Probabilidad 2

• Interpretación subjetiva (evaluaciones personales): Nuestras creencias en relación con las incertidumbres asociadas (evidencia colateral, indirecta o intuición) : tincómetro

• Enfoque axiomático: las probabilidades se definen como “conceptos matemáticos”

Álgebra de eventos 1Álgebra de eventos 1

• Experimento (evento): Suceso o proceso de observación o medición cualquiera

• Espacio de muestra: Conjunto de todos los posibles resultados de un experimento Ω

• El espacio de muestra es contable: cuando el número de elementos es biunívoco con los enteros

• El espacio de muestra es discreto: cuando el número de elementos (finito o infinito) es contable

• El espacio de muestra es continuo: cuando el número de elementos es infinito continuo (línea o plano)

Álgebra de eventos 2Álgebra de eventos 2• Definición 2.1: - Álgebra (Booleana): A,B

;

= {subconj. de }:

1) (A B) (cerrado en )

2) A’ (cerrado en complemento)

• Álgebra elemental: o = {, }; o

• Definición 2.1: - Álgebra: A ;

= {subconj. de }:

1) A y A’

2)

11

iiii AA

Álgebra de eventos 3Álgebra de eventos 3• Definición 2.3: (Aditividad finita) f:

es aditividad finita A,B ,

A B = :

f (A B) = f (A) + f (B)• Teorema 2.1: Si f es aditividad finita:

1) f (A B) = f (A) + f (BIA)

2) f (A B) = f (A) + f (B) – f (A B)

3) f (A B) f (A) + f (B)

4) f (BIA) = f (B) - f (A), si A B

5) f (B) f (A), si A B

6) f () = 0

Álgebra de eventos 4Álgebra de eventos 4• Definición 2.1: Si f (función de aditividad finita)

es una medida f(A) 0, A • Definición 2.2: (Probabilidad): P: es

aditividad finita, positiva y t.q. P() = 1 P es probabilidad

( es álgebra en )

Notación: x (resultado); (evento)• Definición 2.3: (Aditividad infinita): f:

es aditividad infinita Ai ; Ai Aj =

11)()(

iii

iAfAf

Álgebra de eventos 5Álgebra de eventos 5• Definición 2.4:

• Definición 2.5: (Punto de acumulación) x A es un punto de acumulación en A (conjunto)

> 0, y A: Ix – yI < • Definición 2.6: (Conjunto cerrado) Un

conjunto es cerrado cuando incluya a todos los puntos de acumulación

xxAxA ii

i

ii1 límy t.q.

Álgebra de eventos 6Álgebra de eventos 6

• Definición 2.2: (Infimo)

n t.q. k n, x Ak

• Definición 2.3: (Supremo)

n, k n, t.q. x Ak

nk

kkn

AA

inf

nk

kkn

AA

sup

kkn

Axn,kAx ssi inf

kkn

Axn,kAx ssi sup

Álgebra de eventos 7Álgebra de eventos 7

n nk

kknn

AAlím

inf

n nk

kknn

AAlím

sup

suplíminflímy supinfnn

kn

kn

kn

kn

AAAA

• Hallar el ínfimo y supremo de Ak = [0, 2 + sen i]

Rpta. Inf = [0, 1]; Sup = [0, 3]

Álgebra de eventos 8Álgebra de eventos 8A,B :Por lo menos uno de los eventos A o B ocurre: A BAmbos eventos A y B ocurren: A BNo ocurre A: Ac

Ni A ni B ocurren: (A B)c = Ac Bc

A ocurre y B no ocurre: A Bc

Exactamente ocurre uno de los eventos A o B: (A Bc)(Ac B)No ocurre A y B juntos: (A B)c = Ac Bc

Si A ocurre, también B: A BA y B excluyen mutuamente excluyentes (eventos incompatibles):

A B = Evento A o evento B: A BEvento A y evento B: A B

Álgebra de eventos 9Álgebra de eventos 9

• P: probabilidad en , siendo una - Álgebra en . Es una función de conjuntos: Ω →

• Axioma 1: La probabilidad de un evento es un número real no negativo; o sea, P(A) 0,

A • Axioma 2: P() = 1• Axioma 3: Aditividad infinita

11)()(

iii

iAPAP ji, ; i1

jii AAA

Probabilidad de un evento 1Probabilidad de un evento 1• Teorema 2.2 Si A es un evento de un espacio de

muestra discreto , entonces P(A) es igual a la suma de las probabilidades de los resultados individuales que componen A.

• Teorema 2.3 Si un experimento puede dar origen a uno de N resultados diferentes igualmente probables y si n de estos resultados constituyen juntos el evento A, entonces la probabilidad del evento A es

N

nAP )(

Probabilidad de un evento 2Probabilidad de un evento 2• Teorema 2.4 Si A y Ac son eventos

complementarios de un espacio de muestra , entonces

P(Ac) = 1 – P(A)

• Teorema 2.5 P() = 0, para un espacio de muestra cualquiera

• Teorema 2.6 Si A y B son eventos de un espacio muestral y A B, entonces

P(A) P(B)

Probabilidad de un evento 3Probabilidad de un evento 3

• Teorema 2.7 0 P(A) 1, A

• Teorema 2.8 Si A y B son dos eventos de un espacio muestral , entonces

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

• Teorema 2.9 Si A, B y C son tres eventos de un espacio muestral , entonces

P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) - P(A C) - P(B C) + P(A B C)

Probabilidad Condicional 1Probabilidad Condicional 1

Probabilidad condicional: • Definición 2.1: Si A y B son dos eventos de un

espacio muestral S y P(A) 0, la probabilidad condicional de B dada A es

)(

)()(

AP

BAPABP

Probabilidad Condicional 2Probabilidad Condicional 2

• Teorema 2.10 Si A y B son dos eventos de un espacio muestral y P(A) 0, entonces

P(A B) = P(A) * P(B A)• Teorema 2.11 Si A, B y C son tres

eventos de un espacio muestral , tal que P(A) 0 y P(A B) 0 , entonces

P(A B C) = P(A) * P(BA) * P(CA B)

Eventos Independientes 1Eventos Independientes 1

• Definición 2.2: Dos eventos A y B son independientes si y solo si

P(A B) = P(A) * P(B)

• Teorema 2.12 Si los eventos A y B son independientes, entonces los eventos A y B’ también son independientes

Eventos Independientes 2Eventos Independientes 2

• Definición 2.3: Los eventos A1, A2,…, y Ak son independientes si y solo si la probabilidad de la intersección de 2, 3, …, o k de estos eventos es igual al producto de sus respectivas probabilidades

• Teorema 2.13 Si los eventos B1, B2, …, y Bk constituyen una partición del espacio de muestra y P(Bi) 0, i = 1, 2,…, k, entonces para cualquier evento A contenido en

k

iii BAPBPAP

1

)(*)()(

Teorema de Bayes 1Teorema de Bayes 1

El teorema de Bayes combina diferentes tipos de información y conocimiento basado sobre información nueva, puede ser usado para incorporar información adicional a priori estimando la probabilidad de los eventos En esencia se usa para calcular las probabilidades condicionales

Bayes (1702-1761)

Teorema de Bayes 2Teorema de Bayes 2

• Teorema 2.14 Si los eventos B1, B2, …, y Bk constituyen una partición del espacio de muestra y P(Bi) 0, i = 1, 2,…, k, entonces para cualquier evento A contenido en tal que P(A) 0

para r = 1, 2, …, k

k

rii

rrr

BAPBP

BAPBPABP

1

)(*)(

)()()(

Reseña HistóricaReseña Histórica

• Explicación de los juegos de azar (siglo XVII): Blaise Pascal y Pierre de Fermat: principios fundamentales del cálculo de probabilidades

• En el siglo XVIII, desarrollo de métodos analíticos de la teoría de probabilidades: De Moivre, Gauss, Poisson y Laplace

• En el siglo XIX se hicieron aplicaciones a la física, demografía y seguros

• A. N. Kolmogorov (1933) descripción axiomática, aplicación a las ciencias naturales, ingeniería, cálculo actuarial y economía