01. Modulo2_Matematica_Sec-2015 (1)

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PROGRAMA DE ACTUALIZACIÓN EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

EDUCACIÓN SECUNDARIA

MÓDULO DE ACTUALIZACIÓN EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICAUTILIZAMOS ECUACIONES EN LA VIDA COTIDIANA

(VERSIÓN EDITADA Y CORREGIDA)

Módulo de actualización en didáctica de la MatemáticaUtilizamos ecuaciones en la vida cotidianaEducación Secundaria - Matemática

MINISTERIO DE EDUCACIÓNAvenida de la Arqueología, cuadra 2- San BorjaLima 41, PerúTeléfono: 615-5800www.minedu.gob.pe

Ministro de Educación:Jaime Saavedra Chanduví

Viceministro de Gestión Pedagógica:Flavio Figallo Rivadeneyra

Directora General de Educación Básica Regular::Cecilia Ramírez Gamarra

Equipo pedagógico de elaboración del módulo :Tim DeWinter Verónica Ugarte GaldosNora Ysela Espinoza ChirinosEliana Ramírez Arce

Corrección de estilo:Gerson Rivera Cisneros

Diseño e ilustración: Iván Casapía Eguren

Diagramación: Christian Bendezú Rodríguez

Fotografía: Sergio Nawuel Bravo

AGRADECIMIENTOS

A nuestros colaboradores del Archivo Fotográfico de IPEBA. A la comunidad educativa, profesoras y profesores, personal administrativo, padres de familia y estudiantes de las I. E. P. La Casa de Cartón, en especial al profesor Gregorio Fernández Gonzales y al director Carlos Palacios Berrios.

4

Lectura previa: Las matemáticas ocultas en la vida cotidiana ............................... 13

Primera situación para la reflexión pedagógica:

Las variables en las ecuaciones lineales de primer grado ...................................... 16

Primer taller presencial ...................................................................................... 25

Orientaciones para la elaboración de la propuesta pedagógica 1 ........................... 26

Segunda situación para la reflexión pedagógica:

Aplicamos sistemas de ecuaciones lineales para resolver

situaciones de nuestro interés ........................................................................... 27

Círculo de interaprendizaje colaborativo 1 ........................................................... 37

Orientaciones para la elaboración de la propuesta pedagógica 2 ........................... 38

Profundización teórica y pedagógica:

El algebra en la escuela ..................................................................................... 39

Segundo taller presencial .................................................................................. 48

Presentación de las propuestas para la práctica pedagógica ................................ 49

Foro de intercambio: Planificación de las prácticas 1 y 2 ....................................... 50

Círculo de interaprendizaje colaborativo 2 .......................................................... 51

Ejecución de la práctica pedagógica 1 en el aula y elaboración de la narración

documentada .................................................................................................... 52

II. UTILIZAMOS ECUACIONES EN LA VIDA COTIDIANA

I. INFORMACIÓN GENERAL

Programa de Actualización en Didáctica de la Matemática ................................... 6

Presentación del módulo de actualización utilizamos ecuaciones en la

vida cotidiana ................................................................................................... 8

Secuencia formativa del módulo ........................................................................ 10

Productos previstos para este módulo ................................................................. 12

CONTENIDO

5

Orientaciones para la elaboración de la narración documentada de la práctica

pedagógica ....................................................................................................... 52

Tercer taller presencial ...................................................................................... 53

Ejecución de la práctica pedagógica 2 en el aula y elaboración de la narración

documentada .................................................................................................... 54


Continuación de la elaboración de las narraciones documentadas ........................ 55


Entrega de las propuestas y narraciones documentadas ....................................... 57

Cuarto taller presencial ...................................................................................... 58

Autoevaluación del participante sobre el módulo .................................................. 59

Glosario .......................................................................................................... 60

Bibliografía ...................................................................................................... 61

Anexo 1 .......................................................................................................... 63

Anexo 2 .......................................................................................................... 66

6

PROGRAMA DE ACTUALIZACIÓN EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA - EDUCACIÓN SECUNDARIA

ROL DOCENTE Y CONSTRUCCIÓN DEL

CONOCIMIENTO

UTILIZAMOS ECUACIONES EN LA VIDA COTIDIANA

MATEMÁTICA FINANCIERA

LA GEOMETRíA A NUESTRO ALREDEDOR

7

LOS DOCENTES PARTICIPANTES

TEMARIO

Interactúan con sus pares de manera reflexiva y crítica para presentar formas de

intervención en el aula donde se evidencia el manejo disciplinar y didáctico del

área, constituyendo una comunidad de aprendizaje.

Diseñan situaciones de aprendizaje relativas a las nociones de ecuaciones lineales y

simultáneas considerando el rol de facilitador de aprendizajes que cumple el docente, el

contexto, la implementación de diversas estrategias y la participación activa y reflexiva de

los estudiantes durante la construcción de las nociones matemáticas.

Analizan crítica y reflexivamente su práctica pedagógica reconociendo aciertos y

proponiendo mejoras a partir de los aprendizajes desarrollados..

Las variables en las ecuaciones lineales de primer grado.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

El álgebra en la escuela.

8

Asimismo, busca fortalecer las competencias de los docentes para desarrollar y conducir situaciones de aprendizaje para la resolución de ecuaciones lineales de primer grado aplicadas a problemas reales, en un clima que propicie la reflexión y la construcción del aprendizaje de manera individual y colectiva, tomando en cuenta las características de los estudiantes y del contexto.

Reflexionaremos sobre las diversas estrategias que podemos usar en la resolución de ecuaciones lineales de primer grado; así como en los principios que subyacen en las fórmulas o en las operaciones que normalmente se usan para resolverlas.

Las situaciones están diseñadas bajo un enfoque centrado en la resolución de problemas, por ende, buscan a través del planteamiento de problemas en contextos diversos promover formas de enseñanza y aprendizaje.

Se desarrollarán trabajos que permitan la aplicación práctica de lo aprendido, así como la elaboración de material que pueda ser usado en el aula. Además, tendremos la oportunidad de reflexionar de forma crítica y reflexiva, individual y grupalmente, sobre la práctica docente y las herramientas y recursos matemáticos.

PRESENTACIÓN DEL MÓDULO DE ACTUALIZACIÓNEN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA “IGUALDAD Y ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO”

El presente módulo tiene como finalidad aportar constructivamente al fortalecimiento y mejora del desempeño docente. Para ello aborda aspectos específicos de la didáctica en Matemática así como aspectos disciplinares que resultan básicos y determinantes para

favorecer el logro de aprendizajes en los estudiantes.

9

En este módulo, el participante de la modalidad semipresencial intervendrá en talleres presenciales y círculos de interaprendizaje colaborativo. Además, interactuará en un foro, elaborará propuestas pedagógicas para aplicarlas en el aula y presentará tareas y narraciones documentadas de la práctica realizada.

El participante que siga la modalidad virtual (e-learning 1 o 2) recibirá una guía orientadora para desarrollar el equivalente de actividades que se plantean para los talleres presenciales y círculos de interaprendizaje colaborativo.

ACTIVIDADES Y TAREAS

A continuación te presentamos la secuencia formativa del móduloen la modalidad semipresencial.

10

FORO DE DUDAS Foro para plantear consultas, dudas, sugerencias y dificultades.

REFLEXIÓN2SITUACIÓN 2

SITUACIÓN PARA

REFLEXIONAR 1REFLEXIÓN

SOBRE LA SITUACIÓN

PRESENTADA 1TAREA

TAREA

TALLERPRESENCIAL

TALLERPRESENCIAL

TALLERPRESENCIAL

CIAC*

CIAC CIAC

PROFUNDIZACIÓN TEÓRICA Y

PEDAGÓGICA

LECTURA PREVIA

AUTOEVALUACIÓNENTREGA DE LAS

PROPUESTAS Y NARRACIONES

DOCUMENTADAS

PRESENTACIÓN DE LAS PROPUESTAS PARA LA

PRÁCTICA PEDAGÓGICA

EJECUCIÓN DE LA PRÁCTICA 1

Y EL ABORACIÓN DE LA NARRACIÓN

DOCUMENTADA



DOCUMENTADA

CONTINUACIÓN DE LA EL ABORACIÓN DE LAS

NARRACIONES DOCUMENTADAS

* CIAC: círculo de interaprendizaje colaborativo

FORO DE INTERCAMBIO: PLANIFICACIÓN DE LAS

PRÁCTICAS 1 Y 2

TARE

A

TALLERPRESENCIAL

SECUENCIA FORMATIVA DEL MÓDULO

10

11

FORO DE DUDAS Foro para plantear consultas, dudas, sugerencias y dificultades.

REFLEXIÓN2SITUACIÓN 2

SITUACIÓN PARA

REFLEXIONAR 1REFLEXIÓN

SOBRE LA SITUACIÓN

PRESENTADA 1TAREA

TAREA

TALLERPRESENCIAL

TALLERPRESENCIAL

TALLERPRESENCIAL

CIAC*

CIAC CIAC

PROFUNDIZACIÓN TEÓRICA Y

PEDAGÓGICA

LECTURA PREVIA

AUTOEVALUACIÓNENTREGA DE LAS

PROPUESTAS Y NARRACIONES

DOCUMENTADAS

PRESENTACIÓN DE LAS PROPUESTAS PARA LA

PRÁCTICA PEDAGÓGICA



DOCUMENTADA



DOCUMENTADA

CONTINUACIÓN DE LA EL ABORACIÓN DE LAS

NARRACIONES DOCUMENTADAS

* CIAC: círculo de interaprendizaje colaborativo

FORO DE INTERCAMBIO: PLANIFICACIÓN DE LAS

PRÁCTICAS 1 Y 2

TARE

A

TALLERPRESENCIAL

(MODALIDAD SEMIPRESENCIAL)

11

12

Los productos previstos se elaborarán a partir de la implementación en el aula de las secuencias didácticas que se desarrollarán en el módulo.

Estos productos son los siguientes:

1. Una propuesta de práctica pedagógica y su narración documentada acerca de la noción de ecuaciones lineales de primer grado con una variable, relacionada a la primera situación para la reflexión pedagógica.

2. Una propuesta de práctica pedagógica y su narración documentada acerca de sistemas de ecuaciones lineales, relacionada a la segunda situación para la reflexión pedagógica.

Las propuestas se desarrollarán en el aula e incluirán el planteamiento y resolución de situaciones problemáticas reales que generen interés en los estudiantes y se adecuen a las diversas características educativas y el contexto de la institución educativa, a través del planteamiento de situaciones de aprendizaje pertinentes y con propósitos claros.

PRODUCTOS PREVISTOS PARA ESTE MÓDULO

Encontrarás más detalles sobre las orientaciones para el desarrollo de estas actividades a lo largo del módulo.

Nota

Las narraciones documentadas irán acompañadas de, por lo menos, una evidencia del proceso (fotos, diálogos, trabajos de algún estudiante, entre otras).

13

Dos caminos paralelos. En uno está el mundo físico, la naturaleza, la vida cotidiana del hombre. En el de al lado, ese lenguaje de pensamiento abstracto llamado matemáticas. Pero en el trayecto ambos caminos se conectan, mejorando de tal manera y tan a menudo la vida del hombre que los ejemplos se convierten en infinitos, tan cotidianos, que no hace falta más que ir al baño, encender la calefacción o el ordenador para encontrar matemáticas.

El ejemplo de los caminos paralelos lo ponía Gutam Mukharjee (45 años), del Instituto Indio de Estadística, durante un descanso de las sesiones del Congreso Internacional de Matemáticos que se acaba de celebrar en Madrid. Allí, unos 3500 expertos discutieron sobre el presente y el futuro de esta ciencia y, además, mostraron cómo las matemáticas envuelven la vida cotidiana.

Del termostato al buscador de Internet Cuando alguien pone el termostato de la calefacción a una temperatura de 20 grados, la máquina encenderá los radiadores hasta que la casa esté un poco por encima de esos 20 grados. Después los apagará hasta que el ambiente esté un poquito por debajo de lo deseado. Luego volverá a encenderlos...

"La estrategia —cuándo se enciende, cuándo se apaga— no es trivial. Para calcularlo se utilizan ecuaciones matemáticas", explica Enrique Zuazua, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid. Esas mismas ecuaciones se usan para mantener una velocidad constante en los lectores de CD, o para saber hasta dónde hay que llenar de agua la cisterna, añade.

"La gente está acostumbrada a que las cosas funcionen solas, pero detrás hay algo que las hace funcionar", explica Zuazua. Al introducir una palabra en el buscador de internet, por ejemplo, en Google, los resultados tampoco son casuales. "Los matemáticos imaginamos la Red como un montón de canicas colocadas sobre una superficie. Hay que identificar quiénes son los que miran y quiénes los que son mirados, buscar la palabra que se pide y jerarquizar los resultados. Si buscas la palabra "Kleinberg", quieres encontrar a Jon Kleinberg, el científico que acaba de obtener el premio Nevanlinna, no al señor Kleinberg que vive no sé dónde". Todo eso se hace a través de algoritmos que contemplan todas esas variables.

LECTURAPREVIA

LAS MATEMÁTICAS OCULTAS EN LA VIDA COTIDIANA [[

J. A. Aunión (2006)

14

El casco de los ciclistas y el carro que menos consumeEn los últimos años, la forma de los cascos de los ciclistas ha cambiado: redondeados por delante, acabados en pico por detrás..., y no se trata de una cuestión estética, sino de aerodinámica, que intenta mejorar el rendimiento de los deport istas. Mediante ecuac iones, se s imula e l comportamiento de un objeto sólido (el casco, la bicicleta...) en interacción con un fluido (el aire) hasta dar con el diseño más eficiente (en este caso, el que ponga menos resistencia al aire). En los aviones, los carros o los barcos se utiliza el mismo procedimiento, y el diseño variará en función del objetivo: que sea más rápido, más estable o que gaste menos combustible.

Decisiones y jerarquías realesEn las empresas, más allá de las jerarquías de jefes, subjefes y tropa, las matemáticas permiten conocer la jerarquía real: qué empleado tiene mejores contactos o a quién hay que dirigirse para canalizar mejor una información. Lo hacen los matemáticos sometiendo los registros de sus correos electrónicos a la teoría de Grafos. Las aplicaciones de las matemáticas en sociología son muy amplias y van más allá de la estadística. Sirven incluso para evitar la propagación de una epidemia o para disminuir su impacto. Cuando no se dispone de medios para inmunizar o controlar a toda la población, las matemáticas permiten determinar a qué personas hay que vacunar para reducir el riesgo, explica Ángel Sánchez, de la Universidad Carlos III de Madrid.

De la célula al espacioPredecir el comportamiento de una célula (por ejemplo, una bacteria) y después programarla para que realice una función distinta, la que se necesite en cada momento. La segunda parte sería imposible sin la primera, predicción que se hace con matemáticas. Eso es lo que están haciendo en la Universidad de Valencia y la Universidad Politécnica de Valencia.

Y de lo más pequeño y cercano, a lo más lejano, el espacio. De nuevo con simulaciones matemáticas se calcula en qué momento exacto una sonda espacial ha de apagar los motores al entrar en contacto con la gravedad, y en qué momento, ya cerca del suelo, debe abrir los paracaídas y volver a encender los motores para aterrizar en su destino sin hacerse papilla.

15

Una escultura como una ecuaciónMúsica, pintura, escultura..., las artes se han apoyado siempre, de una u otra manera, en las matemáticas. Un ejemplo es la obra del escultor japonés Keizo Ushio, que trabaja con formas geométricas y topológicas como la Banda de Moëbius (una cinta de una sola cara y no orientable), o el toro (una superficie cerrada producto de la unión de dos circunferencias). Una muestra de esta última, realizada en granito durante el Congreso de Matemáticos, se puede encontrar en el futuro Centro de Física del campus de Cantoblanco (Madrid) del CSIC. A partir de cálculos matemáticos, Ushio fragmenta las formas para convertirlas en sus esculturas. "Las matemáticas son un lenguaje universal, y no hace falta papel para plasmarlas", explica. De hecho, asegura que hace sus cálculos "mentalmente".

Oushi Zokei (2008), escultura cerca al mar, obra del artista japones Keizo Ushio, ubicada en Bondi Beach (Australia) . Fotografía de Bentley Smith, bajo licencia Creative Commons. Extraido de

<https://www.flickr.com/photos/superciliousness/2951506666/>

16

Presentamos a continuación, una situación que se desarrolla en un aula de tercer grado de secundaria. El docente tratará la resolución de ecuaciones lineales a partir del planteamiento de una situación real y contextualizada que acontece dentro de la misma institución educativa.

[[LAS VARIABLES EN LAS ECUACIONES LINEALES

DE PRIMER GRADO

PRIMERA SITUACIÓN PARALA REFLEXIÓN PEDAGÓGICA

Planteamiento de la situación problemáticaAl ingresar al aula, les expresó lo siguiente:

Docente: Vamos a considerar que el promedio de esta aula, el tercero D, es x.

PROPÓSITOAPRENDIZAJES

QUE LOGRAN LOS ESTUDIANTES

PREPARACIÓNDE LA

ACTIVIDAD

REALIZACIÓNDE LA

ACTIVIDAD

CIERREDE LA

ACTIVIDAD

Analiza y relaciona variables y números en un modelo referido a ecuaciones lineales de primer grado para resolver situaciones de su interés.

Elabora y aplica un diseño para resolver problemas

Trabaja en equipo para elaborar estrategias y modelos referidos a ecuaciones lineales de primer grado.

Aplica estrategias y procedimientos para despejar variables en ecuaciones lineales de primer grado.

Justifica procedimientos de cálculo de variables en ecuaciones lineales de primer grado.

Verifica la validez de las etapas y los procesos del diseño de resolución de situaciones que aplicaron.

1. PROPÓSITO

2. APRENDIZAJES QUE LOGRAN LOS ESTUDIANTES

3. PREPARACIÓN DE LA ACTIVIDADEl docente diseña una situación que genere expectativas en los estudiantes a partir de sus intereses. Estando próximo el concurso anual de Matemática, ofreció a los estudiantes de las cuatro aulas a su cargo, un premio especial al aula que obtenga el promedio mayor en el concurso.

4. REALIZACIÓN DE LA ACTIVIDAD

17

Donde:

x es la nota promedio de la sección D.

a es la nota promedio de la sección A.

b es la nota promedio de la sección B.

c es la nota promedio de la sección C.

32

a x b c=

+ +

A continuación, les propuso como reto, aislar el valor de x, y luego indicó que posterior-mente daría los valores numéricos de a, b y c para que puedan encontrar el promedio de su aula y reconocer el aula ganadora.

Los estudiantes, entusiasmados, pidieron más datos, indicando que esos no eran suficientes. El profesor les preguntó qué datos querían tener. Ellos manifestaron que necesitaban los promedios de cada sección, él les recordó que los daría luego, pero que primero se encarguen de despejar la variable.

Trabajo en equipos Para realizar la actividad indicada, el docente conformó grupos de cinco estudiantes.

El docente ejerce su rol de facilitador del aprendizaje y monitorea el trabajo de los grupos, realizando preguntas que ayuden a la realización de la actividad y absuelve interrogantes.

Una vez en grupos, los estudiantes tuvieron 15 minutos para desarrollar la actividad. Luego de cumplido el tiempo, tres de los grupos presentaron sus procedimientos en la pizarra:

DURANTE EL TRABAJO EN EQUIPO, ES IMPORTANTE QUE...

El docente: El docente no:

• Plantee preguntas que problematicen al estudiante, lo hagan reflexionar y orienten a la solución de la actividad.

• Brinde los procedimientos o las estrate-gias que conlleven a toda o parte de la solución de la actividad.

PRIMER GRUPO SEGUNDO GRUPO TERCER GRUPO

32

a x b c=

+ + 32

a x b c=

+ + 32

a x b c=

+ +

32 2 2

a x b c= + +

32 2 2

a b c x− +

=

2 3 22 2

⋅ − ⋅ +

=a b c x

6a b c x− − =

2 3⋅ − + =( )a b c x − =+x b ca2 3.

6a b c x− + =x b c

a=− +( )

6

18

Promoviendo la reflexión

Con el fin de promover la reflexión so-bre lo trabajado por sus estudiantes, el docente pide que los valores: a=1, b=2 y c=3 sean reemplazados en la expresión inicial y en las expresiones compartidas por los tres grupos en la pizarra, para así verificar sus pro-cesos. Si todas estaban correctas, deberían dar los mismos resultados.

Pasados algunos minutos, invita a otros estudiantes (de preferencia que no hayan participado antes) para que compartan su comproba-ción en la pizarra.

ECUACIÓN INICIAL PLANTEADA POR EL DOCENTE

Reemplazamos cada variable por el valor asignado: a = 1, b = 2, c = 3

3 12 32

�(� �) = + +x

Tenemos una igualdad en la

que despejaremos la variable x . Para in ic iar este proceso, h o m o g e n e i z a r e m o s a m b o s miembros de la igualdad.

Para eliminar el 2 que divide lo multiplico por 2, para obtener así 1; pero, basándonos en la ley de la igualdad debo realizar esta operación en ambos lados de la igualdad. Para homogenizar, multiplicamos por 2 ambos miembros (Ley de uniformidad)

3 2

52

2 ⋅ =+

⋅x

2 entre 2 es igual a 1, y ya que 1 es el elemento neutro de la multiplicación, no altera la expresión..

6 = x + 5

Luego, para despejar el valor de x, resto 5 en ambas partes.

6 5 5 51 − = + −=

xx

32

a x b c=

+ +

35

2=

+x

19

ECUACIÓN PLANTEADA POR EL SEGUNDO GRUPO

x b ca

=− +�( )

�6

Reemplazamos cada variable por el valor asignado.

a = 1, b = 2 y c = 3

x

x

=− +

⋅

=−

�(( ) ( ))( )

�

2 36 1

56

ECUACIÓN PLANTEADA POR EL PRIMER GRUPO

6a- b + c= x Reemplazamos cada variable por el valor asignado.

a = 1, b = 2 y c = 3

6(1) – (2) + (3) = x 6 – 2 +3 = x 7 = x

ECUACIÓN PLANTEADA POR EL TERCER GRUPO

6a- b - c= x

Reemplazamos cada variable por el valor asignado.

a =1, b = 2 y c = 3

6 · (1) – (2) – (3) = x

6 - 5 = x 1 = x

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Trabajo en plenaria para la reflexión grupal y justificación de procesos y resultados

Una vez reemplazados los valores asignados en plenaria, el docente dialoga sobre los resultados obtenidos para x que, en algunos casos, difieren:

Para la ecuación planteada por el profesor, el valor de x fue 1.

Para la ecuación planteada por el primer grupo, el valor de x fue 7.

Para la ecuación planteada por el segundo grupo, el valor de x fue - 56

.

Para la ecuación planteada por el tercer grupo, el valor de x fue 1.

Plantea las interrogantes: Si todas representan el valor de x, ¿cómo deberían ser las cantidades?, ¿por qué? Promueve la participación de los estudiantes, en forma ordena-da, para que expliquen sus respuestas y escoge a dos o tres estudiantes que argumen-ten el por qué (según su análisis) de la diferencia en los resultados, particularmente,

el valor de x= - 56

. Plantea interrogantes conducentes a analizar si es o no es posible

obtener valores negativos como -56

= – 0,83333 en los promedios de evaluaciones de

un aula. Invita a justificar sus opiniones.

El docente va anotando las respuestas en la pizarra mientras realiza interrogantes de verificación (por ejemplo: ¿cuál de las respuestas consideras que es la correcta?), interrogantes de causa efecto (por ejemplo: ¿estuvieron correctas las operaciones realizadas?), interrogantes de generalización (por ejemplo: ¿cuán importante es aplicar correctamente una operación?), etc.

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Verificación y formalización del apren-dizaje

Luego del análisis en plenaria, el docente pide que regresen a sus grupos para que comprueben e identifiquen el valor correcto de la variable x. Transcurrido el tiempo asignado, invita a dos grupos voluntarios a socializar sus procedimientos.

LEY DE UNIFORMIDAD O IGUALDAD

Una ecuación no cambia si a los dos miembros se les suma o se les resta la misma cantidad.

Una ecuación no cambia si a sus dos miembros se les multiplica o se les divide por la misma cantidad.

Para formalizar el procedimiento realiza la resolución conjunta con los estudiantes. Durante el proceso de transposición, fortalece permanentemente la aplicación de la ley de uniformidad a partir de las interrogantes: ¿lo pasamos?, ¿qué significa en realidad “pasarlo”? (tanto para la adición, sustracción, multiplicación y división). Ejemplo:

3 22

2 6a x b c a x b c ⋅ =+ +

⋅ → = + +

El docente rememora lo aplicado por los grupos en sus procedimientos (sobre la ley de uniformidad o igualdad), propone algunos ejemplos más y les recuerda:

Luego, obtuvo: 66a b x b c ba b x c− = + + −− = +

66a b c x c ca b c x− − = + −− − =

22

Después de haber aislado la variable x, el docente brinda los valores de a, b y c que correspondían al promedio de notas que obtuvieron las secciones A, B y C respectiva-mente.

a= 8 b = 15 c= 16

Invita a los grupos a calcular el promedio del aula y descubrir qué aula fue la que ob-tuvo mayor promedio.

Elige tres estudiantes de diversos grupos para socializar en la pizarra sus resultados.

Con la participación de los estudiantes, concluye con la siguiente frase:

Por último, indica que hallen las ecuaciones para los valores de a, b y c.

¿Qué sección tuvo el mejor promedio?

Resolver una ecuación es calcular el valor de una o más variables.

IDENTIFICACIÓN DE VARIABLES

Cada variable tiene un valor numérico

Utiliza determinadas estrategias para aislar el valor de la variable en la ecuación.

ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADOEstá compuesta por variables (letras), que representan cantidades, y coeficientes.

Disponen de una serie de métodos para la resolución de una ecuación o un sistema de ecuaciones de primer grado.

El docente realiza un recuento de lo trabajado durante la clase y elabora con ellos las siguientes ideas a tener en cuenta:

5. CIERRE DE LA ACTIVIDAD

Orienta el cierre de la actividad con preguntas de reflexión, en plenaria:

¿Y si se hubiera utilizado otra estrategia, hubiera resultado lo mismo?

¿Se pueden trasponer términos en formar directa?.

¿Puede utilizarse una estrategia netamente resolutiva?

El docente indica que seguirán trabajando este tema y pide que, para la siguiente clase, los estudiantes traigan información sobre métodos de resolución de una ecuación lineal de primer grado.

23

TAREA 1 [[ REFLEXIONANDO SOBRE LA PRIMERA SITUACIÓN PROPUESTA

Luego de leer el texto, responde a lo solicitado por escrito para enviarlo como tarea.

¿Por qué crees que el docente solicita explicaciones de lo planteado o propuesto a sus estudiantes de forma permanente?

¿En qué medida consideras que el problema planteado por el profesor motivó a los estudiantes a resolver ecuaciones?

1. ANÁLISIS DEL TEXTO

¿Con qué aspectos del rol docente descritos en la situación para la reflexión te identificas? ¿Por qué?

2. RELACIÓN CON TU PRÁCTICA PEDAGÓGICA

Revisa las Rutas del Aprendizaje 2015 ¿Qué y cómo aprenden nuestros estudiantes? VI ciclo. Área curricular Matemática, páginas 10 al 15 y responde:

• ¿De qué forma el trabajar con los estudiantes la noción de ecuaciones de primer grado, aporta al desarrollo del pensamiento matemático?• ¿Qué rasgos del enfoque de resolución de problemas consideras que puedes desarrollar a través de la noción de ecuaciones?

4. RELACIÓN CON EL SISTEMA CURRICULAR NACIONAL

A partir de la lectura de la primera situación para la reflexión, plantea dos aspectos a tener en cuenta durante el desarrollo de ecuaciones lineales de primer grado, con tus estudiantes.

3. PLANTEAMIENTOS POSIBLES

24

4. PRACTICANDO NUESTRAS HABILIDADES MATEMÁTICAS:

Escribe un problema matemático sobre la cantidad de frutas vendidas en el kiosco escolar. Luego, resuélvelo indicando paso a paso qué preguntas harías a tus estu-diantes para aclarar posibles errores al resolverlo.

Escribe las respuestas de la sección “Reflexionando sobre la primera situación propuesta” de acuerdo con las indicaciones y colócalas en el aula virtual.

Esta tarea la realizarán tanto los participantes de la modalidad semipresencial como los de la modalidad virtual.

Indicaciones

Extensión máxima del documento:

3 páginasTipo y tamaño de letra:Arial 12 puntosInterlineado:sencilloNombre del archivo:MatSec_Mod2_TareaSituación1_Apellido_nombre

Participante en la modalidad semipresencial:

LLEVA UNA COPIA IMPRESA DE TU TAREA AL PRIMER TALLER PRESENCIAL.

Participante en la modalidad virtual:

COLOCA TU TAREA EN EL FORO DE INTERCAMBIO.

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Lectura previa “Las matemáticas ocultas en la vida cotidiana”.

Situación para la reflexión pedagógica 1: "Las variables en las ecuaciones lineales de primer grado".

Concretar en el aula las ideas básicas desarrolladas.

Buscar herramientas digitales que permitan desarrollar la noción de ecuaciones lineales de primer grado.

Iniciar la elaboración de la propuesta de práctica pedagógica 1 relacionada a la primera situación para la reflexión.

ACUERDOS Y COMPROMISOS

TEMAS A TRATAR

PRIMER TALLER PRESENCIAL

Los talleres presenciales tienen como finalidad acompañar a los docentes en su proceso de for-mación profesional y desarrollo personal. Promueven la reflexión sobre la didáctica de la Matemática, desde el enfoque de resolución de problemas. Ofrecen información actualizada y difunden prácticas pedagógicas, secuencias didácticas, actividades, videos y publicacio-nes específicas. Generan climas de confianza y camaradería entre los docentes.

PROPÓSITOSEl participante:

Comparte sus opiniones sobre la primera situación de aprendizaje.

Aclara sus conocimientos básicos sobre ecuaciones lineales de primer grado.

Dialoga con otros docentes y propone estrategias de cómo desarrollar la noción de ecuaciones lineales con los estudiantes.

Estrategias de resolución de ecuaciones lineales de primer grado.

Los participantes que cursan la modalidad e-learning intervienen en un foro de intercambio para concretar los propósitos del taller, desarrollar los temas y llegar a acuerdos y compromisos.

Nota

26

A continuación te presentamos orientaciones para que puedas elaborar la propuesta de práctica pedagógica que aplicarás en el aula.

1. Revisa la primera situación para la reflexión pedagógica: “Las variables en las ecuaciones lineales de primer grado" y elige qué el contenido que desarrollarás con tus estudiantes.

2. Diseña una secuencia didáctica para aplicarla en tu aula, de acuerdo con tu realidad y las características de tus estudiantes.

3. Ten presente que tu propuesta contenga orientaciones pedagógicas para realizar la actividad: la organización de los estudiantes para que comprendan la situación planteada, el trabajo en equipo, las actividades en las cuales se promuevan los procesos para aprender, los materiales o recursos didácticos, representaciones gráficas y/o simbólicas.

4. Considera incluir en tu propuesta los siguientes aspectos.

Nombre de la propuesta.

Condiciones de aprendizaje que vas a asegurar.

Propósito con el que los estudiantes realizarán las actividades previstas.

Aprendizajes que lograrán los estudiantes.

Secuencia lógica de actividades.

Registro del avance de tus estudiantes ¿Cómo demuestran que ellos han aprendido?.

Interacciones entre el docente y los estudiantes que propicien la reflexión para el aprendizaje.

5. Presenta esta propuesta en cuanto se te solicite.

ORIENTACIONES PARA LA ELABORACIÓN DE LA PROPUESTA DE PRÁCTICA PEDAGÓGICA EN EL AULA

Los participantes que cursan la modalidad e-learning intervienen en un foro de intercambio para concretar los propósitos del taller, desarrollar los temas y establecer acuerdos y compromisos.

Nota

27

APLICAMOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PARA RESOLVER SITUACIONES DE

NUESTRO INTERÉS

SEGUNDA SITUACIÓN PARALA REFLEXIÓN PEDAGÓGICA

PROPÓSITOAPRENDIZAJES

QUE LOGRAN LOS ESTUDIANTES

PREPARACIÓNDE LA

ACTIVIDAD

REALIZACIÓNDE LA

ACTIVIDAD

CIERREDE LA

ACTIVIDAD

1. PROPÓSITO

Resolver situaciones problemáticas de contexto real que le generen interés utilizando sistemas de ecuaciones lineales con dos variables.

2. APRENDIZAJES QUE LOGRAN LOS ESTUDIANTES

Aplicar sistemas de ecuaciones lineales de dos variables para resolver situaciones problemáticas de su contexto.

Identificar y utilizar diversos métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos variables.

Expresar modelos matemáticos relacionados a ecuaciones lineales de primer grado.

Traducir el lenguaje verbal al lenguaje algebraico.

3. PREPARACIÓN DE LA ACTIVIDAD

El docente prepara adecuadamente el desarrollo de la actividad, indaga y consulta fuentes relacionadas con los sistemas de ecuaciones lineales.

Garantiza contar con los recursos necesarios para desarrollar la situación planteada. También prevé las posibles preguntas y respuestas que emitirán los estudiantes durante el desarrollo de la situación.

4. REALIZACIÓN DE LA ACTIVIDAD

En esta segunda situación para la reflexión abordaremos la resolución de ecuaciones lineales simultáneas y qué tipo de situaciones de la vida real se pueden resolver con ellas.

28

El profesor de Matemática a cargo del aula de tercero de secundaria es abordado por cuatro estudiantes durante el recreo, ellos son tesoreros del aula, responsables de los asuntos económicos que se organizan con acuerdo de los padres de familia y la institución. Los estudiantes le piden ayuda en el siguiente asunto:

Los estudiantes de la sección han organizado y realizado durante el fin de semana anterior, una presentación de teatro pro fondos para la reunión de confraternidad entre padres y estudiantes que se realiza cada fin de año en la institución. Han cobrado a los asistentes a la función 5 nuevos soles por adulto y 4 nuevos soles por niño. En total han recibido S/. 1440 nuevos soles. Los tesoreros del grado tienen toda esta información, aunque no saben cuántas entradas de niño y de adulto vendieron, pero necesitan tenerla para hacer el informe económico que presentarán a sus compañeros del aula, durante la clase de tutoría.

El profesor pide permiso a los tesoreros para la situación problemática a los estudiantes del aula. Ellos aceptan compartirlo y el docente expone la situación. Todos escuchan atentamente, mostrando interés por lo expuesto. El docente solicita sugerencias para resolver la situación.

29

Los estudiantes comienzan a enunciar posi-bles cifras como solución.

Estudiante 1: Seguro han vendido 200 de 5 soles y 110 de 4. Mire, profe, 200 por 5 es 1000 y 110 por 4 es 440. ¡Ya está!

Estudiante 2: Pero también podrían haber vendido 280 de 5, eso es 1400 y 10 de 4, eso es 40. ¡También puede ser!

Docente: Ambos tiene razón en que esas son posibles respuestas, pero hay un dato adicional en el pro-blema ―afirmó para luego diri-girse a una de las tesoreras―. ¿Cuántas entradas se vendieron en total?

Tesorera: En total se vendieron 300 entradas porque estaban todas las sillas llenas y solo teníamos 300 sillas.

Estudiante 1: Entonces, mi idea no puede ser, porque yo dije 200 adultos y 110 niños, habrían faltado 10 sillas.

Estudiante 3: Tampoco la mía, porque habrían quedado 10 sillas vacías.

Docente: Entonces, podemos ver que hay va-rias posibles respuestas que cumplen con una de las condiciones del pro-blema, es decir con haber recaudado 1440 soles. ¿Verdad? Pero, ¿qué otra condición debe cumplir la respuesta?

Estudiante 4: Además deben sumar 300 entra-das.

Docente: Muy bien, este problema nos plantea dos condiciones. Si pensamos resol-ver este problema usando ecuacio-nes, ¿cuántas incógnitas hay que en-contrar?; recordemos que incógnitas son datos que no conocemos.

Estudiante 1: Tenemos que encontrar dos datos, la cantidad de entradas de adulto y la cantidad de niños.

Docente: Muy bien, para resolver problemas usando ecuaciones debemos prestar mu-cha atención a lo que queremos encontrar. En este caso, necesitamos la can-

tidad de entradas de adultos y de niños, podemos darles las letras "a" y "n" respectivamente. ¿Quién me puede ayudar a escribir una ecuación, es decir una igualdad usando las incógnitas?

Estudiante 4: Profe, yo creo que la igualdad sería:5a + 4n = 1440

30

Docente: ¿Están de acuerdo con lo que ha planteado su compañero?

Estudiante 3: Sí, profesor, porque eso quiere decir que 5 soles por a, es decir la cantidad de entradas de adultos, más 4 soles por n, es decir la cantidad de entradas de niños, debe sumar en total lo que recaudamos.

Docente: Muy bien, esa ecuación es correcta, pero solo cumple con una condición del problema. En este caso tenemos una segunda condición. ¿Quién puede escri-bir, en forma de ecuación, la segunda condición del problema?

Estudiante 4: Profesor, yo creo que la segunda ecuación debe ser:

Docente: ¿Qué opinan los demás? ¿Es esa una segunda ecuación válida para este problema?

Estudiante 4: Sí, profesor. Pero, ¿eso significa que tenemos que encontrar dos va-lores en dos ecuaciones diferentes?

a + n = 300

5a + 4n = 1440a + n = 300

Docente: Muy bien, eso significa que hay dos variables que deben cumplir con dos con-diciones. Estas son:

Estudiante 1: Yo tengo una idea, profe, podemos ver qué combinaciones de cantidad de entradas de adultos y de niños que sumen 1440 soles podemos encontrar. Y luego elegimos las que sumen 300 entradas.

Docente: Es una excelente idea. Les invito a trabajar esta propuesta en parejas y luego nos comunican sus resultados.

Luego llenaron juntos la siguiente tabla:

¿Alguien sabe cómo podemos resolverlo?

Cantidad de

entradas de adulto

a

Valor de las

entradas de adultos

5∙a

Cantidad de

entradas de niños

n

Valor en soles

de las entradas

4∙n

Valor total de lo

vendido5∙a + 4.n

Suma de entradasa + n

200 1 000 110 440 1440 310

280 1400 10 40 1 440 290

256 1280 40 160 1440 296

240 1200 60 240 1 440 300

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Terminada la actividad, evaluaron la tabla y hallaron la respuesta correcta, la que cumplía con ambas condiciones.

Estudiante 1: Pero, no puedo saber en realidad cuánto vale a.

Docente: Has hallado el valor de a, pero en función de n. Has hecho un buen trabajo despejando una variable, pero tienes dos variables. Ahora que ya hallamos el valor de a, podemos reemplazar dicho valor en la segunda ecuación. Es decir, escribimos la segunda ecuación; pero, en lugar de escribir la variable a escri-bimos el nuevo valor que tenemos para a, así tendremos una ecuación que contiene solo la variable n.

Les pongo un ejemplo sencillo. Si yo sé que a es el doble de b, ¿esta podría ser la ecuación que represente lo que dije? (escribe en la pizarra):

Estudiantes: (En coro) Sí, es cierto.

Docente: Bien, ahora imaginemos que yo tengo otra ecuación que relaciona a y b (escri-be en la pizarra):

¿Sería correcto que yo reemplace a por 2b? ¿Es correcto este razonamien-to?(Escribe en la pizarra)

a = 2 b

3a + b= 7

�

��

5 4 14405 4 4 1440 4

5

a na n n n

+ =+ − = −

aa na n

= −÷ = − ÷

1440 4

5 5 1440 4 5�� ( )

��a n=

−1440 45

Entonces, el profesor preguntó a los estudiantes si había otra forma de resolverlo. Los es-tudiantes propusieron ideas:

Estudiante 1: Podemos resolver solo una ecuación.

Docente: Por favor, pasa a la pizarra y hazlo para todos:

Cantidad de

entradas de adulto

a

Valor de las

entradas de adultos

5∙a

Cantidad de

entradas de niños

n

Valor en soles

de las entradas

4∙n

Valor total de lo

vendido5∙a + 4.n

Suma de entradasa + n

240 1 200 60 240 1440 300

32

Estudiantes: (En coro) Sí, es correcto.

Docente: Bueno, en nuestro caso no es tan fácil, pero igual podemos reemplazar el valor de a en función a n. ¿Alguien quiere hacerlo en la pizarra?

Estudiante 2: Yo, profe, yo lo hago.

El profesor refuerza la idea de des-pejar la variable n buscando des-hacerse de otros valores. También refuerza la idea de igualdad y, por tanto, lo que se hace en un lado de la ecuación debemos hacerlo en el otro lado para mantener la igualdad.

a nn n

+ =−

+ =

� �( )

3001440 4

5300

( )

( ) � � �

1440 45

300

1440 45

5 300 5

5

−+ =

−+

⋅ = ⋅

⋅

nn

nn

(( ) � �

( ) �

��

1440 45

5 1500

5 1440 45

5 1500

−+ ⋅ =

⋅ −+ =

nn

nn

��

��

1440 4 5 1500

1440 1500

1440 14

− + =

− =

+ −

n n

n

n 440 1500 144060

= −=��n

3 2 76 77 7

77

77

1

� �( )� � �⋅ + =+ ==

=

=

b bb bbb

b

33

El docente refuerza la idea de qué signi-fica n.

n= La cantidad de entradas de niños vendidas.

Pide a los estudiantes que hallen el valor de a, es decir la cantidad de entradas de adultos vendidas. Primero lo hacen a través de cálculo mental y luego aplicando ambas ecuaciones lineales simultáneas. Comprueban que todos los resultados sean iguales

a. Cálculo mental:

b. Usando la ecuación (1) c. Usando la ecuación (2)

Si n vale 60 y esa es la cantidad de entradas de niños vendidas y, además, sabemos que en total se vendieron 300 entradas. ¿Cuántas entradas de adultos se vendieron?

Finalmente, el docente presenta a los estudiantes otra manera de resolver ecuaciones lineales simultáneas, a través del método de cancelación. Para ello, propicia su participación con preguntas y repreguntas.

Se vendieron 240 entradas de adulto.

300 – 60 = 240

a naaa

+ =+ =+ − = −=

30060 30060 60 300 60240

5 4 14405 4 60 14405 240 14405 240 240

a naaa

+ =+ ⋅ =+ =+ −

� �( )

== −=

=

=

1440 2405 1200

55

12005

240

aa

a

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Docente: Este método parte del principio de que si yo tengo dos igualdades, por ejemplo: a = b y c = d, si sumo o resto el lado derecho de ambas igual-dades y sumo o resto el lado izquier-do de ambas igualdades, debe seguir manteniéndose la igualdad.

Usando esta misma idea, vamos a resolver este sistema de ecuaciones. Para ello, primero vamos a numerar ambas ecuaciones otorgándole los números (1) y (2), para poder operar ordenadamente:

Debemos buscar que sumando ambas ecuaciones una de las variables se elimine, es decir se vuelva 0.

Por ejemplo, podemos elegir multiplicar toda la ecuación (1) por -5 para tener en la ecuación (1) el valor -5a y en la ecuación (2) el valor + 5a y que se cancelen al sumarse.

a na n+ =+ = 300

5 4 1440

a b c da c b d= =+ = +

y

�� (� �)� �(� �)

a na n

+ =+ =

300 15 4 1440 2

Por ejemplo:

Sucede lo mismo si los resto.

3 + 5 = 87 = 10 – 3

Entonces:

8 2 106 11 5

8 2 6 10 11 5

+ == −

+ − = − −( ) 4 4=

Docente: Bueno, ahora veamos otro método para resolver sistemas de ecuacio-nes lineales, el método de cancela-ción. ¿Qué se les viene a la mente al escuchar el nombre de este mé-todo?

Estudiantes: Que hay que cancelar algunas cantidades o valores.

Docente: Correcto, tiene que ver con eso , escribamos las dos ecuaciones que tenemos a partir de la situación for-mulada

(a + n)·(-5) = 300·(-5)a ·(-5) + n·(-5) = 300·(-5)

-5a -5n = -1500

35

5. CIERRE DE LA ACTIVIDAD

Esta nueva ecuación -5a -5n = - 1500, la llamaremos ecuación (3):

- 5a - 5n = - 1500 (3)

Ahora tenemos tres ecuaciones simultaneas.

Luego, sumamos (3) + (2)

Como tenemos un valor de n negativo multiplicamos por – 1 ambos lados de la igualdad, para volverlo positivo.

Inmediatamente, reemplazamos la variable n en la ecuación (1) para hallar el valor de a:

El docente hace una recopilación de lo trabajado y realiza preguntas de reflexión que ayudan a desarrollar una actitud crítica con relación a los sistemas de ecuaciones lineales.

¿Los resultados obtenidos son iguales? ¿Porque?

¿Cómo hallaron los cálculos de la variable en sus respectivos equipos? ¿Qué procedi-mientos usaron, qué pasos siguieron?

¿Qué equipo planteó el plan más efectivo para resolver el problema? ¿Por qué consi-deras que fue efectivo?

¿Todos los grupos llegaron a hallar el mismo resultado?

¿Es válido el uso de diversas estrategias? ¿Cuándo una estrategia no es válida?

Cuando queremos eliminar una variable y esta está sumando o restando la ecuación debemos convertirla en 0.

Si la variable está multiplicando o dividiendo debemos convertirla en 1.

Observa y compara…

a + 0 = aa + 1 = a + 1

a · 1= aa · 0 = 0

a + n = 300 (1)

5a + 4n = 1440 (2)

-5a -5n = -1500 (3)

�� ( )� � ��( )

5 4 1440 35 5 1500 2

0 60

a na n

n

+ = +− − = −

− = −��− = −n 60

-n ∙( -1 ) = - 60 ∙ (-1) n = 60

a + 60 = 300a +60 – 60 = 300 – 60a = 240

a + n = 300

36

TAREA 2 [[ REFLEXIONAMOS SOBRE LA SEGUNDA SITUACIÓN

PROPUESTA

En la situación descrita en el texto, ¿qué propicia el docente cuando formula las siguientes expresiones?:

… podemos ver que hay varias posibles respuestas que cumplen con una de las condiciones…, pero, ¿qué otra condición debe cumplir la respuesta?

…¿Qué opinan los demás, es esa una segunda ecuación válida para ese problema?

¿Por qué crees que en el texto, luego de haberse encontrado la solución a la situa-ción, el docente preguntó si había otra forma de resolverlo?

Durante el desarrollo de la situación, ¿se evidencia el uso de alguna(s) estrategia(s) heurística(s)? Justifica tu respuesta.


¿Has desarrollado con tus estudiantes alguna situación similar a la mostrada? ¿cómo describirías el rol que desempeñaron tus estudiantes?

Si no la has realizado, explica las razones de ello.


Lee las páginas 12 al 14 del documento de Rutas del Aprendizaje ¿Qué y cómo aprenden nuestros adolescentes? VI ciclo (MINEDU 2015) y responde ¿Qué relación encuentras entre la situación mostrada y la información del documento?

Menciona tres aspectos.


A partir de la situación planteada, formula tres aspectos que debes considerar y asegurar durante el desarrollo de situaciones problemáticas con tus estudiantes.


37

Escribe las respuestas de la sección “Reflexionando sobre la segunda situación para la reflexión” de acuerdo con las indicaciones y colócalas en el aula virtual.


Indicaciones


2 páginasTipo y tamaño de letra:Arial 12 puntosInterlineado:sencilloNombre del archivo:MatSec_Mod2_TareaSituación2_Apellido_nombre


LLEVA UNA COPIA IMPRESA DE SU TAREA AL PRIMER

CIRCULO DE INTERAPRENDIZAJE COLABORATIVO.


COLOCA SU TAREA EN EL FORO DE INTERCAMBIO.

38

El participante:

El círculo de interaprendizaje colaborativo (CIAC), por ser una práctica pedagógica orientada a la profesionalización docente, tiene por finalidad que el docente amplíe y enriquezca, de forma colectiva, su propio desempeño mediante el análisis de su práctica pedagógica en el aula.

2. PREPARACIÓN PARA EL CíRCULO DE INTERAPRENDIZAJE Desarrolla la tarea planteada.

Plantea ideas para la elaboración de su propuesta de práctica pedagógica.

Elabora algunas situaciones problemáticas de alta demanda cognitiva que puedan ser resueltas aplicando sistemas de ecuaciones lineales.

1. PROPÓSITOS

Fortalece sus estrategias de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Dialoga con otros participantes sobre el desempeño del docente de la situación planteada y plantea otras estrategias para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales de primer grado con miras a implementarlas con sus estudiantes.

Diseña y aplica diversas estrategias de resolución para algunas situaciones problemáticas propuestas por sus pares.

3. ACUERDOS Y COMPROMISOS Concretar en el aula alguna de las estrategias compartidas durante el CIAC.

Iniciar la preparación de la propuesta de práctica pedagógica para aplicarla en el aula.

CíRCULO DE INTERAPRENDIZAJECOLABORATIVO 1

Comienza a diseñar y elaborar una propuesta para aplicar en el aula la secuencia didáctica planteada en la segunda situación para la reflexión pedagógica. Toma en cuenta el contexto y las características de tus

estudiantes

39

A continuación, te presentamos orientaciones para que puedas elaborar la propuesta de práctica pedagógica que realizarás en el aula.

ORIENTACIONES PARA LA ELABORACIÓN DE LA PROPUESTA DE PRÁCTICA PEDAGÓGICA EN EL AULA

Los participantes que cursan la modalidad e-learning intervienen en un foro de intercambio para concretar los propósitos del círculo de aprendizaje y los acuerdos y compromisos establecidos.

Nota

1. Re v i s a l a s e g u n d a situación para la reflexión pedagógica “Aplicamos sistemas de ecuaciones l ineales para resolver situaciones de nuestro interés” a fin de elaborar tu propuesta.

2. A d a p t a l a s e c u e n c i a didáctica propuesta para aplicarla en tu aula, tomando en cuenta tu real idad y las características de tus estudiantes.

3. Plantea una propuesta de práctica pedagógica relacionado a la aplicación de estrategias multiplicativas para resolver situaciones problemáticas reales de alta demanda cognitiva que evidencien el desarrollo de capacidades matemáticas bajo el enfoque de la resolución de problemas.

4. Continua la elaboración de la propuesta tomando en cuenta:

Nombre de la propuesta.

Condiciones de aprendizaje que pretendes lograr.

Propósito con que los estudiantes realizarán la situación didáctica.

Secuencia de las actividades que realizarán tus estudiantes.

Registro del avance de los aprendizajes de tus estudiantes.

5. Presenta esta propuesta en cuanto se te solicite.

40

[[EL ÁLGEBRA EN LA ESCUELA TEÓRICA Y PEDAGÓGICA

PROFUNDIZACIÓN

Los adolescentes, al comenzar el estudio del álgebra, traen consigo las nociones y los enfoques que usaban en aritmética. Sin embargo, el álgebra no es simplemente una generalización de la aritmética. Aprender álgebra no es meramente hacer explícito lo que estaba implícito en la aritmética. El álgebra requiere un cambio en el pensamiento del estudiante de las situaciones numéricas concretas a proposiciones más generales sobre números y operaciones. La transición desde lo que puede considerarse como un modo informal de representación y de resolver problemas, a uno formal resulta ser difícil para muchos de los que comienzan a estudiar álgebra. Estos estudiantes siguen usando los métodos que les funcionaban en aritmética. De hecho, un marco de referencia aritmético da cuenta de:

Su forma de ver el signo igual

La idea extendida entre los estudiantes que comienzan con el álgebra de que el signo igual es la "señal de hacer algo" antes que un símbolo de la equivalencia entre los lados izquierdo y derecho de una ecuación (Kieran 1980) viene indicada por su renuencia inicial a aceptar proposiciones tales como 4+3=6+1. El pensar que el lado derecho debería indicar el resultado -esto es, 4+3=7- les permite dotar de significado a ecuaciones tales como 2x+3=7, pero no a ecuaciones tales como 2x+3= x+4.

Sus dificultades con la concatenación y con algunas de las convenciones de notación del álgebra

En aritmética, la concatenación denota adición (por ejemplo, 37 significa 30+7; 24 significa 2+4). Sin embargo, en álgebra, la concatenación significa multiplicación (por ejemplo, 4b significa 4xb). Extender la generalización sobre la base de lo que era correcto en aritmética puede conducir a los alumnos que empiezan con el álgebra a malinterpretar el sentido de los términos algebraicos. Así se han encontrado estudiantes que interpretan 4p como 42 e incluso como "4 patatas"

Su falta de habilidad para expresar formalmente los métodos y los procedimientos que usan para resolver problemas.

Los estudiantes que comienzan con el álgebra no logran darse cuenta de que el procedimiento es a menudo la respuesta. Por ejemplo, el resultado de sumar 5 y b se enuncia como 5+b. Los estudiantes no sólo deben superar lo que Matz y Davis han llamado el dilema "proceso-producto" y adquirir lo que Collis ha llamado "aceptación de la falta de cierre", sino que también tienen que debilitar sus "expectativas aritméticas acerca de las respuestas bien formadas, es decir, que una respuesta es un número" (Matz 1980: 132).

ALGUNAS PERSPECTIVAS SOBRE EL APRENDIZAJE DEL ALGEBRA

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Variables

la experiencia de los niños en la escuela con las letras en ecuaciones se reduce a menudo a fórmulas como A=bxh, y relaciones entre unidades de medida como 10 mm= 1 cm. La primera supone reemplazar b y h por valores diferentes para encontrar el área de rectángulos dados; la segunda regla se usa para encontrar, por ejemplo, el número de milímetros a que corresponde 5 centímetros. Este segundo uso de las letras como etiquetas es el que interfiere a menudo con la forma como los estudiantes llegan a entender el significado de los términos variables en las ecuaciones algebraicas. En la segunda "ecuación" de arriba, no sólo se leen las letras como etiquetas, sino que además el signo igual se lee como una preposición: "hay 10 milímetros en 1 centímetro".

Adaptado de Kieran, C y E. Filloy Yague (1989). "El aprendizaje del álgebra escolar desde una perspectiva psicológica". Traducción de Puig, Luis. Enseñanza de las ciencias. Barcelona, volumen 7,

número 3. Consulta: 15 de junio.<http://goo.gl/SvZZeA>

LOS NIVELES DE ALGEBRIZACIÓN EN LA MATEMÁTICA ESCOLARUn profesor propone a sus estudiantes el siguiente problema:

Hay seis asientos entre sillas y taburetes. Las sillas tienen cuatro patas y los taburetes tienen tres. En total hay 20 patas. ¿Cuántas sillas y cuántos taburetes hay?

El estudiante A resolvió el problema de la siguiente manera:

Supongamos que hay el mismo número de sillas y de taburetes: 3+3+3+4+4+4. Como el resultado sobrepasa el total de 20 patas, excediéndose en 1 pata, se cambia una silla (de 4 patas) por un taburete (de 3 patas). Finalmente se obtiene 4 taburetes y 2 sillas: 3+3+3+3+4+4, teniendo un total de 20 patas.

El estudiante B resolvió el problema de la siguiente manera:

Sea T el número de taburetes y S el número de sillas. Como el total de taburetes y sillas deben sumar 6, entonces, T+S=6. Por otro lado, se debe tener un total de 20 patas entre los taburetes y las sillas, esto es, 3T+4S=20. Como de T+S=6 se obtiene que T=6-S; por tanto, 3(6-S)+4S=20, de donde 18+S, obteniéndose finalmente que S=2.

Si S=2, entonces T=4. Se deben tener 4 taburetes y 2 sillas para tener una total de 20 patas.

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En este ejemplo parece que habría consenso en aceptar que la solución del estudiante A se puede calificar de aritmética, mientras que la del estudiante B de algebraica. B usa “letras” para representar las cantidades desconocidas, y opera con ellas de acuerdo con ciertas reglas para obtener la solución. En cambio A opera directamente con números naturales particulares a los cuales les aplica operaciones aritméticas.

Sin embargo, el consenso en la consideración de una actividad como algebraica o aritmética no siempre es tan extendido. ¿Sólo podemos considerar como solución aritmética aquella actividad matemática que involucra números particulares y operaciones aritméticas? ¿Sólo podemos considerar como solución algebraica aquella actividad matemática que involucra el uso de incógnitas, ecuaciones, símbolos literales y operaciones con dichos símbolos, como la realizada por el estudiante B?

Supongamos que un estudiante C resuelve el problema de la siguiente manera:

Teniendo en cuenta que el número de asientos es 6 y que cada silla aporta 4 patas y cada taburete 3, entonces se puede construir una tabla con todos los casos posibles:

Luego, tiene que haber 2 sillas y 4 taburetes, ya que entonces hay 6 asientos en total (2+4=6) y el número total de patas es 20 (8+12=20).

El problema así resuelto permite reconocer ciertos aspectos considerados tradicionalmente como algebraicos:

1. Determinación de reglas o técnicas generales. Para resolver problemas del mismo tipo es suficiente aplicar la técnica general siguiente: “Se construye una tabla con tantas columnas como número de asientos haya y se determina cuál de las combinaciones posibles determina el número de asientos justos con el número de patas exacto”.

2. Simbolización o representación de un objeto mediante un símbolo o una letra. Una persona podría haber sustituido en la primera columna los términos “patas de sillas” y “patas de taburetes” por los símbolos: y � Y ∆ respectivamente; de tal manera, que el símbolo utilizado evocara la característica principal de los asientos en el problema (tener 4 o 3 patas, respectivamente).

3. Determinación de propiedades y proposiciones. La tabla muestra el número de patas que “aportan” uno, dos, tres, etc. asientos de cada tipo. Así, se deduce las propiedades:

a. Si el número de patas es impar, el número de taburetes tiene que ser impar.

b. Si el número de patas es par, el número de taburetes también.

c. El número de patas de un conjunto de sillas es siempre par.

d. El número de patas de un conjunto de sillas es múltiplo de 4; el de taburetes, de 3.

Número 1 2 3 4 5 6

Patas de sillas 4 8 12 16 20 24

Patas de taburetes 3 6 9 12 15 18

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En estas condiciones, la resolución propuesta por el estudiante C excede el campo meramente aritmético, aportando el germen de un trabajo algebraico; y ello a pesar de que en la resolución C sólo usa “números”. Parece necesario entonces identificar indicadores de la actividad matemática que permitan clasificarla como “aritmética” o “algebraica” o, de forma más precisa, aspectos que permitan establecer una graduación en diferentes niveles de algebrización.

El razonamiento algebraico implica representar, generalizar y formalizar patrones y regularidades en cualquier aspecto de las matemáticas. A medida que se desarrolla este razonamiento, se va progresando en el uso del lenguaje y el simbolismo necesario para apoyar y comunicar el pensamiento algebraico, especialmente las ecuaciones, las variables y las funciones. Este tipo de razonamiento funcional está en el corazón de las matemáticas concebidas como la ciencia de los patrones y el orden, ya que los procesos de formalización y generalización son procesos centrales de las matemáticas.

Algunas características del razonamiento algebraico que son sencillas de adquirir por los niños, y que, por tanto, deben conocer los maestros en formación, son:

1. Los patrones o regularidades existen y aparecen de manera natural en las matemáticas. Pueden ser reconocidos, ampliados o generalizados. El mismo patrón se puede encontrar en muchas formas diferentes. Los patrones se encuentran en situaciones físicas, geométricas y numéricas.

2. El uso de símbolos permite expresar de manera más eficaz las generalizaciones de patrones y relaciones. Entre los símbolos destacan los que representan variables y los que permiten construir ecuaciones e inecuaciones.

3. Las variables son símbolos que se ponen en lugar de los números o de un cierto rango de números. Las variables tienen significados diferentes dependiendo de si se usan como representaciones de cantidades que varían, como representaciones de valores específicos desconocidos, o formando parte de una fórmula.

4. Las funciones son relaciones o reglas que asocian los elementos de un conjunto con los de otro, de manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo uno del segundo conjunto. Se pueden expresar en contextos reales mediante gráficas, fórmulas, tablas o enunciados.

El álgebra como instrumento de modelización matemáticaGodino y Font (2003) constatan la existencia en la escuela de una concepción tradicional y limitada del álgebra escolar denominada “aritmética generalizada”. Esta concepción supone que el álgebra es un campo de las matemáticas donde se manipulan letras que representan números no especificados. Así, los objetos que se ponen en juego en la aritmética y la “aritmética generalizada” son los mismos: números, operaciones sobre números y relaciones entre los números; las diferencias entre ambas partes de las matemáticas está en la generalidad de las afirmaciones:

• La aritmética trata con números específicos expresados mediante los numerales habituales:

44

• O mediante expresiones numéricas en las que los números se combinan con los símbolos de las operaciones aritméticas:

• El álgebra trata con números no especificados (incógnitas, variables) representados por letras, como x, y, t, v, o bien expresiones con variables:

Este “tipo de álgebra”" está presente desde los primeros niveles educativos. Siempre que se necesite expresar una generalización, el simbolismo y las operaciones algebraicas resultan de gran utilidad.

Es necesario, sin embargo, que los maestros tengan una visión del álgebra escolar más amplia que la que resulta de las generalizaciones aritméticas y el manejo de expresiones literales. Algunas características del álgebra que son fáciles de apreciar son:

• El uso de símbolos, habitualmente letras, que designan elementos variables o genéricos de conjuntos de números, u otras clases de objetos matemáticos.

• La expresión de relaciones entre objetos mediante ecuaciones, fórmulas, funciones, y la aplicación de unas reglas sintácticas de transformación de las expresiones.

Pero estas características del álgebra son sólo su parte superficial. La parte esencial es la actividad que se hace con estos instrumentos. Las variables, ecuaciones, funciones, y las operaciones que se pueden realizar con estos medios, son instrumentos de modelización matemática de problemas procedentes de la propia matemática (aritméticos, geométricos), o problemas aplicados de toda índole (de la vida cotidiana, financieros, físicos, etc.). Cuando estos problemas se expresan en el lenguaje algebraico producimos un nuevo sistema en el que se puede explorar la estructura del problema modelizado y obtener su solución. La modelización algebraica de los problemas proporciona nuevas capacidades para analizar las soluciones, generalizarlas y justificar el alcance de las mismas. Permite además reducir los tipos de problemas y unificar las técnicas de solución.

Tipos de objetos y procesos algebraicos

De acuerdo con lo explicado anteriormente, una práctica matemática se considera algebraica si presenta cierto tipo de objetos y procesos, usualmente considerados en la literatura como “algebraicos”. Son tipos de objetos algebraicos los siguientes:

1. Relaciones binarias —de equivalencia o de orden— y sus respectivas propiedades (reflexiva, transitiva y simétrica o antisimétrica). Estas relaciones son usadas para definir nuevos conceptos matemáticos.

45

Ejemplo. Dos fracciones se dicen que son equivalentes cuando aplicadas a una misma cantidad la cantidad fraccionaria que se obtiene es la misma. De otra forma, cuando el producto cruzado de numeradores y denominadores son iguales; formalmente,

2. Operaciones y sus propiedades, realizadas sobre los elementos de conjuntos de objetos diversos (números, transformaciones geométricas, etc.). El denominado cálculo algebraico se caracteriza por la aplicación de propiedades tales como: asociativa, conmutativa, distributiva, existencia de elemento neutro y de un inverso. Asimismo, pueden intervenir también otros conceptos como ecuación, inecuación e incógnita, y procedimientos tales como: eliminación, trasposición de términos, factorización, desarrollo de términos, entre otros.

3. Funciones. Es necesario considerar los distintos tipos de funciones y álgebra asociada a ellos, es decir, las operaciones y sus propiedades. Asimismo, es preciso distinguir los diferentes objetos involucrados: funciones; variables, fórmulas, parámetros, etc., y contemplar las distintas representaciones de una función: tabular, gráfica, como fórmula, analítica.

Ejemplo: ¿En la figura 1, cuántos cuadrados tendrá el dibujo de la sexta posición 6ª? ¿Y el dibujo situado en la posición –ésima?

4. Estructuras, sus tipos y propiedades (semigrupo, monoide, semimódulo, grupo, módulo, anillo, cuerpo, espacio vectorial, etc.) características del álgebra superior o abstracta.

Procesos algebraicosEn el caso de la práctica o actividad algebraica los procesos de particularización – generalización tienen una importancia especial, dado el papel de la generalización como uno de los rasgos característicos del razonamiento algebraico (Mason y Pimm, 1984; Carraher, Martínez y Schliemann, 2008; Cooper y Warren, 2008). Así, para el análisis de los niveles de algebrización de la actividad matemática es útil fijar la atención en los objetos resultantes de los procesos de generalización, y del proceso dual de particularización. Como resultado de un proceso de generalización obtenemos un tipo de objeto matemático que denominaremos objeto intensivo, que viene a ser la regla que genera la clase, el tipo o generalidad implicada (Godino, Font, Wilhelmi y Lurduy, 2011). Mediante el proceso inverso de particularización se obtienen objetos que denominamos extensivos, esto es, objetos particulares.

Adaptado de Gódino, J, Aké y M. Gonzato (s/f). Niveles de algebrización de la actividad matemáticaescolar. implicaciones para la formación de maestros. Granada: Universidad de granada.Consulta: 15

de junio.<http://goo.gl/iNvWtQ>

46

Niveles de algebrización

Recuperado de Gódino, J, Aké y M. Gonzato (s/f). Contenidos y actividades algebraicas enEducación Primaria. Revista Iberoamericana de educación Matemática. barcelona, número 33, pp.

39-52.Consulta: 15 de junio.<http://goo.gl/e9ns5b>

47

TAREA 3 [[REFLEXIONANDO SOBRE LA PROFUNDIZACIÓN TEÓRICA

¿Por qué se afirma que el álgebra no es simplemente una generalización de la arit-mética?

¿Qué aspectos observas que van variando en las tareas según los niveles de alge-brización?


Describe brevemente cómo has abordado la noción de ecuaciones lineales de primer grado con tus estudiantes.


Revisa las Rutas del Aprendizaje 2015 ¿Qué y cómo aprenden nuestros estudiantes? VI ciclo. Área curricular Matemática, páginas 86 al 89 y responde:

¿Qué aspectos debemos tener en cuenta para lograr aprendizajes basados en problemas de modelación matemática?


Formula una actividad relacionada a un nivel 2 de algebrización que pueda ser desarrollada por estudiantes del ciclo VI.


48

Indicaciones


2 páginasTipo y tamaño de letra:Arial 12 puntosInterlineado:sencilloNombre del archivo:MatSec_Mod2_TareaProfundización_Apellido_nombre


LLEVA UNA COPIA IMPRESA DE SU TAREA AL SEGUNDO

CIRCULO DE INTERAPRENDIZAJE COLABORATIVO.


COLOCA SU TAREA EN EL FORO DE INTERCAMBIO.

Escribe las respuestas de la sección “Reflexionando sobre la Profundización teórica ” de acuerdo con las indicaciones y colócalas en el aula virtual.


49

SEGUNDO TALLER PRESENCIAL

El participante:

PROPÓSITOS

TEMAS A TRATAR


Desarrollo del pensamiento algebraico.

Niveles de algebrización.

Estrategias de resolución de situaciones algebraicas.

Incorporar en el aula las estrategias de trabajo analizadas.

Continuar desarrollando los trabajos finales.

Diseñar las propuestas de las prácticas peda-gógicas que aplicará en el aula.

Los talleres presenciales tienen como finalidad acompañar a los docentes en su proceso de formación profesional y desarrollo personal. Promueven la reflexión sobre la didáctica de la Matemática, desde el enfoque problémico. Ofrecen información actualizada y difunden prácticas pedagógicas, secuencias didácticas, actividades, videos y publicaciones específicas. Generan climas de confianza y camaradería entre los docentes.

Refuerza y fortalece sus conocimientos didácticos sobre el desarrollo del pensamiento algebraico en los estudiantes.

Propone situaciones o actividades de acuerdo a los niveles de algebrización.

Plantea estrategias de resolución algebraica para situaciones planteadas por sus pares.

Los participantes que cursan la modalidad e-learning intervienen en un foro de intercambio para concretar los propósitos del taller presencial y los acuerdos y compromisos.

Nota

50

Escribe las dos propuestas de práctica pedagógica y preséntalas en el foro de intercambio del aula virtual para recibir y brindar sugerencias de mejora.

Te sugerimos revisar las situaciones para la reflexión, así como la profundización teórica y pedagógica para mejorar las propuestas.

PRESENTACIÓN DE LAS PROPUESTAS PARA LA PRÁCTICA PEDAGÓGICA

Indicaciones


4 páginas ( 2 páginas por propuesta)

Tipo y tamaño de letra:Arial 12 puntosInterlineado:sencilloNombres de los archivos:Mat_Módulo2_ PPP1_Apellido_ Nombre

Mat_Módulo2_PPP2_Apellido_ Nombre

51

FORO DE INTERCAMBIO:PLANIFICACIÓN DE LAS PRÁCTICAS 1 Y 2

El foro es una herramienta de comunicación grupal y asincrónica que permite la participación de todos los usuarios de un curso, es un espacio de intercambio de experiencias pedagógicas que requiere que estés preparado para dar opiniones con fundamento teórico y así contribuir en el aprendizaje de todos. En este sentido, el foro pues, ofrece la oportunidad de articular ideas y recibir contribuciones.

Estimado participante: ten presente las siguientes recomendaciones:

ANTES Prepara tu participación para el foro con antelación.

Analiza cómo se desarrollaron tus propuestas de práctica pedagógica. Halla en ellas situaciones didácticas que hayan provocado aprendizajes significativos y hayan despertado el interés en tus estudiantes, ten en cuenta que sólo puedes considerar situaciones de alta demanda cognitiva.

DURANTE EL FORO Dialoga e intercambia los resultados de tus propuestas pedagógicas miradas desde:

¿Cómo ayudan las estrategias que aplicaste en el aula a los estudiantes para el desarrollo de la noción de ecuaciones lineales de primer grado.

Desde tu nueva práctica sugiere a dos colegas ¿cómo podrían mejorar sus estrategias?

Acoge con buena disposición las sugerencias de mejora e tus colegas.

DESPUÉS DEL FORO Incorpora alguna de las sugerencias a tu propuesta pedagógica y ponla en práctica en tu aula.

Este foro lo realizan tanto los participantes de la modalidad semipresencial como los de la modalidad virtual (e-learning 1 y 2).

52

El círculo de interaprendizaje colaborativo (CIAC), por ser una práctica pedagógica orientada a la profesionalización docente, tiene por finalidad que el docente amplíe y enriquezca su propio desempeño de forma colectiva, mediante el análisis de su práctica pedagógica en el aula.

2. PREPARACIÓN PARA EL CíRCULO DE INTERAPRENDIZAJE

3. ACUERDOS Y COMPROMISOS

El participante:

Revisa las propuestas de práctica pedagógica.

Elabora un listado lista de dudas e interrogantes originados durante la lectura del módulo, hasta la actualidad.

Selecciona estrategias de enseñanza y aprendizaje que han resultado beneficiosas para el logro de aprendizajes en tus estudiantes.

Ejecutar las propuestas de práctica pedagógica.

Redactar la versión preliminar de la narración documentada sobre la primera propuesta de práctica pedagógica relacionada a la primera situación "Las variables en las ecuaciones lineales".

1. PROPÓSITOS

Enriquece las propuestas de práctica pedagógica para ejecutarlas en el aula.

Interactúa con sus pares, dialoga y discute acerca de los planteamientos hechos y recibidos para las propuestas de práctica pedagógica, asegurando que los contenidos de ambas consideren los procesos para aprender, así como las necesidades y características de los estudiantes.

Comparte sus dudas sobre los métodos de resolución de los sistemas de ecuaciones lineales y cómo promover su aplicación en los estudiantes.


53

Implementa en el aula la segunda propuesta de práctica pedagógica re lacionada a la situa-ción para la reflexión “Las variables en las ecuaciones lineales de primer grado".

Esta práctica la realizan tanto los participantes de la modalidad semipresencial como los de la modalidad virtual.

ORIENTACIONES PARA LA ELABORACIÓN DE LA NARRACIÓN DOCUMENTADA DE LA PRÁCTICA PEDAGÓGICA

EJECUCIÓN DE LA PRÁCTICA PEDAGÓGICA 1EN EL AULA Y ELABORACIÓN DE LA NARRACIÓN DOCUMENTADA

Escribe la primera versión de tu narración documentada tomando en

cuenta lo siguiente:

Extensión máxima del documento: 3 páginas

Tipo y tamaño de letra: Arial 12 puntos

Interlineado: sencilloMatMod2_ Sec_ ND1_Apellido_ Nombre

Escribe la versión preliminar de la ejecución de la primera propuesta pedagógica que realizaste con tus estudiantes y colócala en el aula virtual. Toma en cuenta lo siguiente

1. Identifica qué parte de la experiencia que realizaste en tu aula deseas compartir y por qué (recupera trabajos de los estudiantes, fotografías, registros de diálogo, la propuesta que elaboraste, entre otros elementos que te permitan recordar lo vivido en el aula).

2. Define y escribe el título de la narración de tu experiencia.

3. Narra la práctica que realizaste. Toma en cuenta el asunto que quieres contar, los cuestionamientos y las interpretaciones que presentarás. También puedes apoyarte en las siguientes preguntas (no se trata de responderlas, sino de narrar lo sucedido):

¿Cómo propusiste la actividad a los estudiantes y cómo respondieron?

¿Sucedió algo que no habías previsto? De haber sido así, ¿cómo enfrentaste la situación?

¿Cómo fue la participación de los estudiantes en la actividad?

¿Cómo los apoyaste en el desarrollo de sus aprendizajes?

¿Qué aprendieron los estudiantes?

¿Qué aprendiste tú?

¿Cómo registraste el aprendizaje de los estudiantes?

Indicaciones

54

Comparte las reflexiones de su primera propuesta pedagógica relacionada a la situación “Las variables en las ecuaciones lineales de primer grado”.

Plantea criterios para la revisión de su primera propuesta de práctica pedagógica.

Socializa con sus pares su comprensión del desarrollo de la narración documentada y su respectivo análisis.

Mejora la primera versión de su narración documentada.

PROPÓSITO

TEMAS A TRATAR


Recojo y registro de evidencias de la experiencia.

Lectura y análisis de la narración documentada.

Primera versión de la narración documentada.

Diseñar y aplicar la segunda propuesta de práctica pedagógica.

Disponer de las evidencias de la ejecución de la propuesta de práctica pedagó gica.

Emplear estrategias vinculadas al enfo que de resolución de problemas.

Mejorar la primera versión de la narra ción documentada.

TERCER TALLER PRESENCIAL

Los talleres presenciales tienen como finalidad acompañar a los docentes en su proceso de formación profesio-nal y desarrollo personal. Promueven la reflexión sobre la didáctica de la Matemática, desde el enfoque problé-mico. Ofrecen información actualizada y difunden prácticas pedagógicas, se-cuencias didácticas, actividades, videos y publicaciones específicas. Generan climas de confianza y camaradería entre los docentes

Los participantes que se encuentren en la modalidad e-learning intervienen en un foro de intercambio para mejorar la narración documentada de su primera práctica.

Nota

El participante:

55

Implementa en el aula la segunda propuesta de práctica pedagógica re lacionada a la situa-ción para la reflexión “Aplicamos sistemas de ecuaciones lineales para resolver situaciones de nuestro interés".

Esta práctica la realizan tanto los participantes de la modalidad semipresencial como los de la modalidad virtual.

ORIENTACIONES PARA LA ELABORACIÓN DE LA NARRACIÓN DOCUMENTADA DE LA PRÁCTICA PEDAGÓGICA

EJECUCIÓN DE LA PRÁCTICA PEDAGÓGICA 2EN EL AULA Y ELABORACIÓN DE LA NARRACIÓN DOCUMENTADA

Escribe la primera versión de tu narración documentada tomando en

cuenta lo siguiente:

Extensión máxima del documento: 3 páginas

Tipo y tamaño de letra: Arial 12 puntos

Interlineado: sencilloMatMod2_ Sec_ ND2_Apellido_ Nombre

Escribe la versión preliminar de la ejecución de la segunda propuesta pedagógica que realizaste con tus estudiantes y colócala en el aula virtual. Toma en cuenta lo siguiente1. Identifica qué parte de la experiencia que realizaste en tu aula deseas compartir

y por qué (recupera trabajos de los estudiantes, fotografías, registros de diálogo, la propuesta que elaboraste, entre otros elementos que te permitan recordar lo vivido en el aula).

2. Define y escribe el título de la narración de tu experiencia.3. Narra la práctica que realizaste. Toma en cuenta el asunto que quieres contar,

los cuestionamientos y las interpretaciones que presentarás. También puedes apoyarte en las siguientes preguntas (no se trata de responderlas, sino de narrar lo sucedido):

¿Cómo propusiste la actividad a los estudiantes y cómo respondieron? ¿Sucedió algo que no habías previsto? De haber sido así, ¿cómo enfrentaste

la situación? ¿Cómo fue la participación de los estudiantes en la actividad? ¿Cómo los apoyaste en el desarrollo de sus aprendizajes? ¿Qué aprendieron los estudiantes? ¿Qué aprendiste tú? ¿Cómo registraste el aprendizaje de los estudiantes?

Indicaciones

56

El participante:

Revisa las propuestas de práctica pedagógica ejecutadas, y encuentra en ellas estrategias adecuadas desarrolladas sobre la resolución de ecuaciones lineales de primer grado.

Mejora la redacción de la narración documentada de sus experiencias acerca de ecuaciones lineales de primer grado.

1. PROPÓSITOS

Comparte con sus pares el avance de la narración documentada de las dos pro puestas de práctica pedagógica ejecutadas en el aula sobre ecuaciones lineales de primer grado.

Aclara sus dudas con relación a la resolución de problemas y a la creación de problemas contextualizados.

3. ACUERDOS Y COMPROMISOS Utilizar las estrategias compartidas en el círculo de

interaprendizaje para enriquecer su trabajo pedagógico.

Aplicar las estrategias compartidas en el círculo de interaprendizaje con sus estudiantes durante su trabajo en aula.


El círculo de interaprendizaje colaborativo (CIAC), por ser una práctica pedagógica orientada a la profesionalización docente, tiene por finalidad que el docente amplíe y enriquezca su propio desempeño de forma colectiva, mediante el análisis de su práctica pedagógica en el aula.

Concluye la elaboración de las narraciones documentadas y colócalas en el aula virtual.

Este trabajo lo realizarán tanto los participantes de la modalidad semipresencial como los de la modalidad virtual.

CONTINUACIÓN DE LA ELABORACIÓN DE LAS NARRACIONES DOCUMENTADAS

Los participantes que se encuentren en la modalidad e-learning intervienen en un foro de intercambio para mejorar la narración documentada de su segunda práctica.

Nota


57


El participante:

Concluye la redacción de la narración documentada de sus experiencias acerca de las ecuaciones lineales de primer grado.

3. ACUERDOS Y COMPROMISOS Aplicar en aula todas las actividades presentadas y las sugerencias tomadas de

sus colegas.

1. PROPÓSITOS

Intercambia problemas matemáticos contextualizados a su realidad.

Intercambia estrategias de resolución de problemas matemáticos.

Mejora la redacción de la narración documentada se sus prácticas pedagógica ejecutadas..


Los participantes que cursan la modalidad e-learning intervienen en un foro de intercambio para mejorar la narración documentada de su práctica. .

Nota

Al concluir con la redacción de las narraciones documentadas, los participantes deben subirlas al aula virtual.

Este trabajo lo realizarán tanto los participantes de la modalidad semipresencial como los de la modalidad virtual.

58

ENTREGA DE LAS PROPUESTASY NARRACIONES DOCUMENTADAS

IndicacionesTipo y tamaño de letra:Arial 12 puntos


3 páginasInterlineado:sencilloNombres de los archivos:

MatMod2 Sec_N1_ Apellido y nombre

MatMod2 Sec_N2_ Apellido y nombre


LLEVA UNA COPIA IMPRESA DE LAS DOS NARRACIONES

DOCUMENTADAS AL CUARTO TALLER PRESENCIAL.


COLOCA LAS DOS NARRACIONES DOCUMENTADAS

EN EL AULA VIRTUAL.

Coloca en el aula virtual las versiones finales de tus dos propuestas de práctica pe dagógicas y las dos narraciones documentadas con las evidencias correspondientes.

Este trabajo lo realizan los participantes de la modalidad semipresencial como los de la modalidad virtual.

59

El participante comparte las dos narraciones documentadas con sus pares.

Entrega las dos narraciones documentadas y sus experiencias, previa acción de subida al aula virtual.

Genera sus propios compromisos para su nueva práctica pedagógica.

PROPÓSITO

TEMAS A TRATAR


Presentación de las narraciones documentadas y propuestas pedagógicas.

Sistematización de las nuevas experiencias ejecutadas en el aula.

Compromisos para el desarrollo de su práctica pedagógica futura.

Incorporar en el aula las estrategias compartidas durante la interacción con sus pares.

Continuar desarrollando los trabajos finales.

CUARTO TALLER PRESENCIAL

Los talleres presenciales tienen como finalidad acompañar a los docentes en su proceso de formación profesio-nal y desarrollo personal. Promueven la reflexión sobre la didáctica de la Matemática, desde el enfoque problé-mico. Ofrecen información actualizada y difunden prácticas pedagógicas, se-cuencias didácticas, actividades, videos y publicaciones específicas. Generan climas de confianza y camaradería entre los docentes

60

Hacer una evaluación de lo aprendido nos permite reflexionar sobre aquellas ideas fuerza que nos quedan claras y que podríamos incorporar en nuestra práctica docente. Además, nos permite meditar sobre aquellos temas que se necesita seguir reforzando.

Tras haber concluido el módulo, te invitamos a realizar una reflexión personal sobre lo aprendido hasta este momento. Para ello, te sugerimos las siguientes preguntas:

Revisa los desempeños de este módulo: ¿consideras que has avanzado hacia el logro de estos desempeños?, ¿qué actuaciones concretas en tu trabajo en aula son evidencias de ese avance?

¿En qué aspectos de tu desarrollo personal y profesional consideras que ha contribuido el trabajo en conjunto con otros docentes (foros, talleres presenciales y círculos de interaprendizaje)?

El desarrollo de este módulo, ¿te ha dejado algunas interrogantes o inquietudes sobre las que quieras seguir profundizando? ¿Qué más te gustaría conocer sobre el tema?

Responde estas preguntas en el espacio asignado en la plataforma virtual.

AUTOEVALUACIÓN DEL PARTICIPANTE

La autoevaluación es personal, obligatoria y no implica ninguna calificación.

Nota

61

En matemáticas, una variable es un símbolo que forma parte de una expresión o de una fórmula. Normalmente las variables se representan mediante letras del alfabeto latino (x, y, z, n, i, j, etc.). Dependiendo del contexto, las variables significan cosas distintas. Por ejemplo, en el caso de las ecuaciones, una variable representa una cantidad desconocida que se relaciona con otras y que en algunos casos podemos averiguar.<http://www.mclibre.org/consultar/python/lecciones/python_variables.html>

Derivada del término en latín "variabilis"; variable es una palabra que representa a aquello que varía o que está sujeto a algún tipo de cambio. Se trata de algo que se caracteriza por ser inestable, inconstante y mudable. En otras palabras, una variable es un símbolo que permite identificar a un elemento no especificado dentro de un determinado grupo. Este conjunto suele ser definido como el conjunto universal de la variable (universo de la variable, en otras ocasiones), y cada pieza incluida en él constituye un valor de la variable.<http://definicion.de/variable/>

DEFINICIONES DE VARIABLES O INCÓGNITA

Una incógnita es una cantidad desconocida que es preciso determinar en una ecuación.<http://www.sectormatematica.cl/diccionario/dicci.htm>

INCOGNITA

Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual.<http://www.ditutor.com/ecuaciones_grado1/miembros.html>

En una igualdad, las expresiones que se encuentran a la derecha y a la izquierda del signo de igual son los miembros..<http://www.aprendematematicas.org.mx/obras/DICM.pdf>

MIEMBROS DE UNA ECUACIÓN

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. <http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales>

Conjunto de dos o más ecuaciones que contienen dos o más cantidades desconocidas. En conjunto, estas ecuaciones especifican condiciones que estas cantidades desconocidas deben satisfacer al mismo tiempo.<http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/full/s/simultaneousequations.htm>

DEFINICIONES DE ECUACIONES LINEALES SIMULTÁNEAS

Es una igualdad entre dos expresiones matemáticas (denominadas miembros) conectadas por el signo = (igual). Por ejemplo:

ECUACIÓN

GLOSARIO

ya a

+ =

+ = −

7 12

63

18

62

AUNIÓN, Juan Antonio (2006). “Las matemáticas ocultas en la vida cotidiana”. El País. Madrid, 6 de septiembre del 2006. Consulta: 15 de julio de 2014.<http://elpais.com/diario/2006/09/06/futuro/1157493602_850215.html>

CENTRO DE INNOVACIÓN EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS. FACULTAD DE EDUCACIÓN, UNIVERSIDAD DE EXETER (s. f.). “Mathematics Enhacement Programme”. Material de apoyo para docentes. Consulta: 20 Julio de 2014.<http://www.cimt.plymouth.ac.uk/projects/mepres/primary/>

ENGLER, Adriana y otros (s. f.). “Los errores en el aprendizaje de las matemáticas”. Universidad Nacional del Litoral. Consulta: 20 Julio de 2014.<http://www.soarem.org.ar/Documentos/23%20Engler.pdf>

FONT, Vicenç (2007). “Comprensión y contexto: una mirada desde la didáctica de las matemáticas”. La Gaceta de la RSME. España, año 2, volumen 10, pp. 427-442. Consulta: 20 de julio 2014. <http://dmle.cindoc.csic.es/pdf/GACETARSME_2007_10_2_06.pdf>

INSTITUTO PERUANO DE EVALUACIÓN, ACREDITACIÓN Y CERTIFICACIÓN DE LA CALIDAD DE LA EDUCACIÓN BÁSICA ((2013). Mapas de Progreso del Aprendizaje, MATEMÁTICA: Cambio y Relaciones. Lima: IPEBA.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN DEL PERÚ (2014). Marco Curricular Nacional. Propuesta para el diálogo (segunda versión). Lima: Minedu. Consulta: 12 de julio de 2014. <http://www.minedu.gob.pe/minedu/archivos/MarcoCurricular.pdf>

MINISTERIO DE EDUCACIÓN DEL PERÚ (2013a). Rutas del aprendizaje. Hacer uso de saberes matemáticos para afrontar desafíos diversos Fascículo general 2. Un aprendizaje fundamental en la escuela que queremos. Lima: Minedu. Consulta: 20 de julio 2014. <http://recursos.perueduca.pe/rutas2014/>

MINISTERIO DE EDUCACIÓN DEL PERÚ (2013b). Rutas del aprendizaje. ¿Qué y cómo aprenden los adolescentes? Fascículo 1. Número y operaciones. Cambio y relaciones. VI Ciclo. Lima: Minedu. Consulta: 20 de julio 2014. <http://recursos.perueduca.pe/rutas2014/>

MINISTERIO DE EDUCACIÓN DEL PERÚ (2013c). Rutas del aprendizaje. ¿Qué y cómo aprenden los adolescentes? Fascículo 1. Número y operaciones. Cambio y relaciones. VII Ciclo. Lima: Minedu. Consulta: 20 de julio 2014. <http://recursos.perueduca.pe/rutas2014/>

MINISTERIO DE EDUCACIÓN DEL PERÚ (2012a). Módulo de Resolución de Problemas. Resolvemos 1. Lima: Minedu.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN DEL PERÚ (2012b). Módulo de Resolución de Problemas. Resolvemos 2. Lima: Minedu.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN, CULTURA Y DEPORTE DE ESPAÑA (2013). Marcos y pruebas de evaluación de PISA 2012. Madrid: Gobierno de España. Consulta: 20 de julio 2014.<http://www.mecd.gob.es/dctm/inee/internacional/pisa2012/marcopisa2012.pdf?documentId=0901e72b8177328d>

PERELMAN, Y. (1982). Matemáticas recreativas. Lima: Latinoamericana.

BIBLIOGRAFíA

63

SANTOS TRIGO, Manuel (2008). “La Resolución de Problemas Matemáticos: Avances y Perspectivas en la Construcción de una Agenda de Investigación y Práctica”. En SOCIEDAD ESPAÑOLA DE INVESTIGACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA. Investigación en educación matemática XII. Badajoz: SEIEM. Consulta: 12 de julio de 2014.<http://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=2748785>

UNIVERSIDAD ANTONIO RUÍZ DE MONTOYA (2010). Números y álgebra, Unidad 3. Material de trabajo del Diploma en Enseñanza de las Matemáticas. Lima: UARM.

64

ANEXO 1 El contexto es la clave

Este anexo te permitirá practicar la resolución de problemas con ecuaciones y la creación de estos.

Los resultados de las evaluaciones internacionales han generado inquietud en todos los niveles de la sociedad, en particular, la comunidad académica no debe aislarse de esta realidad y resulta necesario identificar los aspectos importantes alrededor de esta problemática que permitan proponer algún camino de solución. Los que desarrollan la disciplina (matemáticos); los que realizan investigación en educación matemática (educadores matemáticos); los que guían a los estudiantes en sus experiencias de aprendizaje (profesores); y los usuarios de las matemáticas deben participar directamente en una colaboración profesional que permita establecer un marco de discusión donde se relacionen los avances de la disciplina, la necesidad de una formación matemática de todos los estudiantes y las distintas formas de aprendizaje. (Santos 2008: 20-21)

Lee los siguientes problemas matemáticos:

Problema 1. El viaje de Isa

Cuando Isa viaja a Estados Unidos de vacaciones, sale del Reino Unido a la 1:00 p. m. hora local y aterriza a las 5:00 p. m. hora local. En el trayecto de regreso, ella sale a las 8:00 p. m. hora local y aterriza a las 10:00 a. m. hora local al día siguiente.

Encuentra la duración del vuelo en horas y la diferencia de tiempos entre el Reino Unido y la parte de los Estados Unidos que Isa visitó.

Problema 2. Los papanaderitosUna empresa ha donado a la I. E. Miguel Grau algunos kilos de papas y varios sacos de harina y de azúcar con los cuales los estudiantes del primer grado han decidido elaborar papanes dulces, para venderlos en la feria escolar del fin de semana. Los estudiantes pensaron, inicialmente, llenar bolsas con 8 papanes cada una; pero observaron que les sobraban demasiadas bolsas, así que decidieron hacer bolsas de solo 5 papanes. De este modo, los papanaderitos utilizaron 120 bolsas más.

Finalmente, ¿cuántas bolsas emplearon?

Problema 3. El premio mayorJuan, Felipe y María juntaron un dinero para adquirir un boleto de la lotería local. El número comprado entre los tres resultó ser el ganador del premio mayor. Al enterarse de ello, no llegaron a un acuerdo de repartirse el dinero en 3 partes iguales, sino que comenzaron a

65

discutir. Luego de dialogar, quedaron en que se iba a repartir el dinero del siguiente modo: a Felipe le corresponde el doble que a Juan. A María, S/. 200 más que Felipe.

Si tuvieras que repartir S/.1400, ¿cuál sería el planteamiento final que realizarías?

Problema 4. ¿Qué aula tiene más?

En el colegio secundario Andrés Avelino Cáceres las dos aulas de cuarto están ahorrando para la celebración de fin de año. El tesorero de cuarto A le dice al tesorero de Cuarto B: “el dinero que tenemos es el doble del que tienen ustedes” y el tesorero del Cuarto B contesta: “si nos dan S/. 60 tendríamos las dos aulas la misma cantidad”.

¿Cuánto dinero tenía cada aula?

Marca en el cuadro según las características que creas que tiene cada problema matemático planteado.

PROBLEMAS

Responde a las características

culturales de mis estudiantes.

Responde a los intereses que

mis estudiantes manifiestan.

Se resuelve con

ecuaciones simples.

Se resuelve con ecuaciones

lineales simultáneas.

Problema 1:El viaje de Isa

Problema 2:Los papanaderitos

Problema 3: El premio mayor

Problema 4:¿Qué aula tiene más?

De los cuatro problemas anteriores, elige dos que podrías trabajar con los estudiantes de tu aula.

Explica por qué los has elegido, explicando la pertinencia cultural, pertinencia a sus intereses y motivaciones y relación con su nivel de aprendizaje.

66

Resuelve los siguientes problemas o llena los datos que se indican.

a. Un comerciante tiene dos posibilidades para vender sus 100 kg de papas. La primera es vender una parte a 30 soles el kilo y la otra a 40 y la segunda es vender todo a 35 soles el kilo. Haciendo cálculos descubre que de la segunda forma puede ganar 150 soles más.

¿Cuántos kilos de papa pensaba vender a 30 soles?

b. Hace 10 minutos Roxana partió en un tren que viaja a 60 km/h en promedio. En máximo 10 minutos pretendo salir en mi auto para alcanzarla.

¿Qué pregunta harías para completar el problema, considerando los datos dados? Luego, resuelve.

c. Escribe un problema cuyo resultado sea 3 horas con 30 segundos.

d. Crea 2 problemas distintos para la siguiente ecuación. Luego, cotejar la pertinencia de los mismos.

4x – 3 = 17

67

Sem.1

L M M J V SÁBADO

Sem.2Sem.3Sem.4Sem.5Sem.

6Sem.7Sem.

8

TU

TO

RÍ

A

Círculo de interaprendizaje

colaborativo

Taller presencial

Taller presencial

Solo para semipresencial

Taller presencial


colaborativo


colaborativo

Taller presencial


colaborativo

ACTIVIDADES COMUNES PARA LAS DOS MODALIDADES: SEMIPRESENCIAL Y VIRTUAL

• Lectura previa: Las matemáticas ocultas en la vida cotidiana•Primera situación para la reflexión pedagógica: Las variables en las ecuaciones lineales de primer grado y• Reflexionando sobre la situación propuesta• Tarea

• Profundización teórica y pedagógica: El Álgebra en la escuela

• Tarea

• Segunda situación para la reflexión pedagógica: Aplicamos sistemas de ecuaciones lineales para resolver situaciones de nuestro interés

• Reflexionando sobre la situación propuesta• Tarea

Presentación de las propuestas para la práctica pedagógica

• Foro de Intercambio: Planificación de las prácticas 1 y 2

• Ejecución de la práctica pedagógica 1 y la elaboraciónde la narración documentada

• Ejecución de la práctica pedagógica 2 y la elaboraciónde la narración documentada

• Continuación de la elaboración de las narraciones documentadas

• Entrega de las propuestas y narraciones documentadas

• Presentación de las narraciones documentadas

• Autoevaluación

•

ANEXO 2ORGANIZACIÓN DEL MÓDULO

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01. Modulo2_Matematica_Sec-2015 (1)

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