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FENÓMENOS DE
TRANSPORTE. CAPÍTULO 2: DISTRIBUCIONES DE
VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR.
SISTEMAS RECTANGULARES.
Ing. Willians Medina.
Maturín, Junio de 2015.
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 1
PRESENTACIÓN.
La presente es una Guía de Ejercicios de Fenómenos de Transporte para estudiantes
de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Civil, Industrial,
Mecánica, de Petróleo y Química de reconocidas Universidades en Venezuela.
El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las
respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido
programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.
Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y
exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Fenómenos de Transporte en los
núcleos de Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además de la bibliografía
especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el crédito y
responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma
integrada de información existente en la literatura.
Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con
fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es
libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor.
Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta
contribución en la enseñanza y aprendizaje de los Fenómenos de Transporte, así como las
sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar
directamente a través de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN:
2736CCF1 ó 7A264BE3, correo electrónico: [email protected] ó
[email protected], twitter: @medinawj ó personalmente en la sección de Matemáticas,
Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.
Ing. Willians Medina.
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 2
ACERCA DEL AUTOR.
Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente,
Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se
desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y
Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad.
En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela
(PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de
Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual
comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el
Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000.
Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé,
Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción
y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte
del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento
químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta
finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de
Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo
de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas
tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral),
Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos
Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es
autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas,
Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística,
Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería
Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.
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2.1.- DEFINICIONES BÁSICAS.
En general, el procedimiento a seguir para plantear y resolver problemas de flujo viscoso es
el siguiente: primeramente se escribe un balance de cantidad de movimiento para una
envoltura de espesor finito ( x ); después se hace tender a cero este espesor ( 0 x ),
utilizando la definición matemática de la derivada (x
xfxxf
x
)()(lim
0
) con el fin de
obtener la correspondiente ecuación diferencial que describe la distribución de la densidad
de flujo de cantidad de movimiento ( ). Se introduce entonces la adecuada expresión
newtoniana de la densidad de flujo de cantidad de movimiento (xd
vd ), con el fin de
obtener una ecuación diferencial para la distribución de velocidad ( v ). Mediante la
integración de estas dos ecuaciones se obtienen, respectivamente, las distribuciones de
densidad de flujo de cantidad de movimiento y de velocidad del sistema. Esta información
puede utilizarse después para calcular muchas otras magnitudes, tales como velocidad
media ( ›‹v ), velocidad máxima ( maxv ), velocidad volumétrica de flujo (Q), pérdida de
presión, y fuerzas que actúan sobre las superficies límite.
En las integraciones que hemos mencionado aparecen varias constantes de
integración que se evalúan utilizando las ‹‹condiciones límite››, es decir, determinaciones
de hechos físicos para valores concretos de la variable independiente. La mayor parte de las
condiciones límite utilizadas son las siguientes:
a) En las interfases sólido – fluido, la velocidad del fluido es igual a la velocidad con que se
mueve la superficie misma; es decir, que se supone que el fluido está adherido a la
superficie sólida con la que se halla en contacto.
b) En las interfases líquido – gas, la densidad de flujo de cantidad de movimiento, y por
consiguiente, el gradiente de velocidad en la fase líquida es extraordinariamente pequeño, y
en la mayor parte de los cálculos puede suponerse igual a cero.
c) En las interfases líquido – líquido, tanto la densidad de flujo de cantidad de movimiento
como la velocidad son continuas a través de la interfase; es decir, que son iguales a ambos
lados de la interfase.
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Subíndices en la nomenclatura.
Densidad de flujo de cantidad de movimiento: zx , x – z es el plano a través del cual se
observa el elemento diferencial de fluido.
Velocidad: zv , z es el eje en el cual se mueven los elementos diferenciales de fluido.
Suposiciones.
1. El flujo es laminar.
2. La densidad es constante (‹‹fluido incompresible››).
3. El flujo es independiente del tiempo (‹‹estado estacionario››).
4. El fluido es newtoniano; es decir, xd
vd zzx .
5. Los efectos finales son despreciables.
6. El fluido se comporta como un medio continuo.
7. No hay deslizamiento en la pared.
2.2.- FLUJO DE UNA PELÍCULA DESCENDENTE.
Elemento diferencial de
espesor.
0)(cos
presión de Efecto
0
gravedad de Efecto velocidadde Efecto
2
0
2
viscosoEfecto
xWPPgxWLvxWvxWWLWL LLz
zz
zxxxzxxz
Como zv vale lo mismo para 0z y Lz , para cada valor de x, los términos tercero y
cuarto (efecto de velocidad) se anulan entre sí.
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0)(cos 0
xWPPgxWLWLWL Lxxxzxxz (1)
zg es la componente gravitacional en la dirección del flujo. En este caso cosgg z .
Las películas descendentes son de longitud L, de ancho W y de espesor x . El espesor de
la capa de fluido descendente es .
En caso de un sistema en el cual las coordenadas rectangulares se encuentren en otra
orientación, debe hacerse la adaptación de la ecuación (1) al sistema indicado.
Definición de la derivada de una función:
x
ff
xd
fd xxx
xlim
0
(2)
Ley de Newton de la viscosidad:
xd
vd zzx (3)
Magnitudes relacionadas al flujo de fluidos.
Velocidad máxima. Velocidad media. Flujo volumétrico.
0,max,
zxrzz vv
W
W
z
ydxd
ydxdxvv
0 0
0 0)(
W
z ydxdxvQ0 0
)(
Número de Reynolds.
44Re
v. (4)
Régimen de flujo:
Flujo laminar sin ondulaciones 25a4Re
Flujo laminar con ondulaciones 2000a1000Re25a4
Flujo turbulento 2000a1000Re
x
y
W
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Desarrollo en series de potencias para funciones de interés.
...)1(
...5432
)1(ln15432
nn
xn
xxxxxx (5)
...!
...!5!4!3!2
15432
n
xxxxxxe
nx (6)
Integrales notables.
cea
xde xaxa 1
(7)
cea
xaxdex xaxa
2
1 (8)
cbxnn
nambx
n
mxd
bxn
axm
)(ln
2 (9)
cubab
uduba
u
)(ln
2
1 222
2222 10)
Ejercicios propuestos
1. Flujo de una película descendente.
Consideremos una superficie plana inclinada. Estas películas se han estudiado en relación
con torres de pared mojada, experiencias de evaporación y absorción de gases y aplicación
de capas de pintura a rollos de papel. Se supone que la viscosidad y densidad del fluido son
constantes y se considera una región de longitud L , suficientemente alejada de los
extremos de la pared, de forma que las perturbaciones de la entrada y la salida no están
incluidas en L ; es decir, que en esta región el componente zv de velocidad es
independiente de z .
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Determinar:
a) Distribución de esfuerzo cortante.
b) El perfil de velocidades.
c) Velocidad máxima.
d) Velocidad media.
e) Velocidad volumétrica de flujo (Caudal).
f) Espesor de la película.
g) Componente de la fuerza F del fluido sobre la superficie.
Respuesta: a) xgxz cos ; b)
22
12
cos
xgv z ; c)
2
cos2
,
gv máxz ; d)
3
cos2gv z ; e)
3
cos3WgQ ;
f) 3
cos
3
cos
3
Wg
Q
g
vz
: g) cos)( WLgFz .
2. Una delgada capa de aceite fluye en estado estacionario sobre un plano inclinado (ver
figura). El perfil de velocidades está dado por la ecuación
2
sen 2yyh
gvx
.
Encuentre una expresión para el flujo másico por unidad de espesor (W).
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
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Respuesta:
3
sen 32 hg
W
m
.
3. Película descendente con viscosidad variable. Variación lineal.
Resolver el problema 1 para el caso de que la viscosidad dependa de la posición en la forma
siguiente:
x10 , en la que 0 es la viscosidad en la superficie de la película, y
una constante que expresa la rapidez con que disminuye al aumentar x . Demostrar
como el resultado de este problema se transforma en el obtenido anteriormente para el caso
límite de que 0 (película de viscosidad constante).
Respuesta: a) xgxz cos ; b)
)1(ln1ln1
cos2
0
2
xxgvz ; c)
)]1(ln[cos2
2
,
gv máxz ; d)
)]1(ln22[2
cos 2
3
0
2
gvz ; e)
)]1(ln22[2
cos 2
3
0
3
WgQ .
4. Película descendente con viscosidad variable. Variación cuadrática.
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Resolver el problema 1 para el caso de que la viscosidad dependa de la posición en la forma
siguiente:
2
22
0 1
x, en la que 0 es la viscosidad en la superficie de la película, y
una constante que expresa la rapidez con que disminuye al aumentar x . Demostrar
como el resultado de este problema se transforma en el obtenido anteriormente para el caso
límite de que 0 (película de viscosidad constante).
5. Película descendente con viscosidad variable. Variación exponencial.
Resolver el problema 1 para el caso de que la viscosidad dependa de la posición en la forma
siguiente: )/(
0
xe , en la que 0 es la viscosidad en la superficie de la película, y
una constante que expresa la rapidez con que disminuye al aumentar x . Una variación
de este tipo tiene lugar en el flujo descendente del condensado en una pared, con un
gradiente lineal de temperatura a través de la película. Demostrar como el resultado de este
problema se transforma en el obtenido anteriormente para el caso límite de que 0
(película de viscosidad constante).
Respuesta: a) xgxz cos ; b)
1)1(
cos /
2
0
2
xee
gv x
z ; c)
]1)1([cos2
2
,
eg
v máxz ; d) ]2)22([cos 2
3
0
2
eg
vz ; e)
]2)22([cos 2
3
0
3
eWg
Q .
6. Flujo de una película polimérica.
Trabajar el problema 1 para el fluido que obedece la ley de potencias. Demostrar que el
resultado se simplifica de manera idónea al resultado newtoniano.
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Respuesta: a) xgxz cos ; b) )(cos
1
11
1
n
n
n
nn
xm
g
n
nvz
; c)
n
nn
m
g
n
nv z
1
1
cos
1
; d) n
nn
m
g
n
nvz
1
1
cos
21
; e)
Wm
g
n
nQ n
nn 21
1
cos
21
.
7. Procedimiento alternativo para resolver problemas de flujo.
En el problema 1 hemos utilizado el siguiente procedimiento: i) obtener una ecuación para
la densidad de flujo de cantidad de movimiento, ii) integrar esta ecuación, iii) insertar la ley
de Newton para obtener una ecuación diferencial de primer orden para la velocidad, iv)
integrar esta última ecuación para obtener la distribución de velocidad. Otro método es el
siguiente: i) obtener una ecuación para la densidad de flujo de cantidad de movimiento, ii)
insertar la ley de Newton para obtener una ecuación diferencial de segundo orden para el
perfil de velocidad, iii) integrar esta última para obtener la distribución de velocidad.
Aplicar este segundo método al problema de la película descendente sustituyendo la
ecuación xd
vd zzx en la ecuación
cosg
xd
d zx y prosiguiendo como se indica
hasta obtener la distribución de velocidad y evaluar las constantes de integración.
8. Cálculo de la velocidad de una película.
Un aceite tiene una viscosidad cinemática de /scm 102 24 y una densidad de
33 kg/m 108.0 . ¿Cuál tiene que ser la velocidad de flujo de masa de una película que
desciende por una pared vertical para que el espesor de la misma sea de 2.5 mm?
Respuesta: kg/m.s 204.0m ; 1.5Re .
9. Espesor de una película descendente.
Por una pared vertical fluye agua a 20ºC de manera descendente con 10Re . Calcular a)
El caudal, en galones por hora por pie de ancho de la pared, y b) es espesor de la película en
pulgadas.
Respuesta: a) gal/h.ft 727.0 ; b) ft 00361.0 .
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10. Una película de fluido con un espesor de 0.005 pies fluye hacia abajo por una superficie
vertical fija con una velocidad superficial de 2 pies/s. Determine la viscosidad del fluido.
3
f /pielb 55 .
Respuesta: .s/ftlb104375.3 2
f
4 .
11. A través de un ducto de sección cuadrada (5 cm 5 cm) fluyen 100 L/h de agua
( 3kg/m 1000 , mPa.s 1 ). El ducto está abierto a la atmósfera en su parte superior de
forma tal que el agua rebosa y cae formando una película sobre las paredes exteriores del
ducto. Determine el espesor de dicha película y el perfil de velocidades. Suponga que la
interfase agua – aire es recta, despreciando así lo que sucede en la zona de formación de la
película. Desprecie las variaciones de espesor de película y velocidad que ocurren cerca de
las esquinas del ducto.
Respuesta: mm 35.0 ;
21
xxgvz .
12. Un fluido viscoso se mueve entre 2 placas horizontales debido a un gradiente de presión
constante. La placa inferior está en reposo y la superior se mueve con velocidad 0v en
sentido opuesto al flujo. Calcular:
a) Distribución del perfil de velocidad.
b) ¿A qué distancia de la placa inferior 0xv ?
c) Velocidad media.
d) Punto donde la velocidad es máxima.
e) El caudal de circulación.
f) ¿Cuánto debe valer 0v , para que el caudal neto sea 0?
g) Fuerza que se ejerce en la pared.
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Respuesta: a)
yvyy
L
PPv L
x 0
20 )(2
)(
; b)
)(
2
0
0
LPP
Lvy
; c)
L
v
L
PPv L
212
)( 0
2
3
0
; d)
)(2 0
0
LPP
Lvy
; e)
212
)( 0
3
0 Wv
L
WPPQ L
; f)
L
PPv L
6
)( 2
0
0
.
13. Dedúzcase una expresión para a) el perfil de velocidades y b) el flujo que pasa por una
sección transversal fija de la figura para flujo laminar entre dos placas en movimiento.
Respuesta: a) 000
20 )()(2
)(u
yvuyy
L
PPv L
x
; b)
2
)(
12
)( 00
3
0 Wuv
L
WPPQ L
.
14. Una suspensión de partículas sólidas en un líquido se encuentra entre dos placas planas
paralelas de área A separadas por una distancia . La placa superior se mueve con una
velocidad constante 0v en la dirección x tal como se muestra en la figura. La suspensión se
encontraba inicialmente en reposo pero, debido al movimiento de la placa superior, se
desarrolla en ella un perfil de velocidades.
La suspensión puede ser considerada un fluido newtoniano pero, debido a que las
partículas sólidas tienden a acumularse sobre la placa inferior, su viscosidad será función
lineal de la posición vertical. Si dicha viscosidad puede expresarse como una función lineal
de y en la forma
y10 , determine el perfil de velocidades. Halle además una
expresión para calcular la fuerza que debe ejercerse sobre la placa superior para mantener
su movimiento.
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0v
y
x
Respuesta: 0)1(ln
1ln
v
y
vx
; )1(ln
)( 00
AvFx .
15. Resolver el problema 14 para el caso de que la viscosidad dependa de la posición en la
forma siguiente: )/(
0
ye , en la que 0 es la viscosidad en la superficie de la
película, y una constante que expresa la rapidez con que disminuye al aumentar x .
Respuesta: 0
)/(
1
1v
e
ev
y
x
;
)1()( 00
e
AvFx
.
16. Resolver el problema 14 para el caso de que la viscosidad sea constante ( 0 ).
Demostrar cómo se puede llegar a los resultados de este problema a partir del caso límite de
que 0 en los problemas 14 y 15.
Respuesta: 0vy
vx
;
AvFx
00)( .
17. Flujo de una película descendente. Otras deducciones.
Deducir el perfil de velocidad y la velocidad media, situando el origen de coordenadas de la
forma que x se mida a partir de la pared (es decir, 0x corresponde a la pared y x
a la superficie libre de la película). Demostrar que la distribución de velocidad viene dada
por
22
2
1cos
xxgvz (2.D-1)
y que la velocidad media es la que se expresa en la Ec.
3
cos2gv z .
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
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Demostrar cómo se puede llegar a la distribución de velocidad de la Ec. 2.D-1 a partir de la
Ec.
22
12
cos
xgv z . Sugerencia: xx .
18. Flujo laminar en una rendija estrecha.
Un fluido viscoso circula con flujo laminar por una rendija formada por dos paredes planas
separadas una distancia B2 . Efectuar un balance diferencial de cantidad de movimiento y
obtener las expresiones para las distribuciones de densidad de flujo de cantidad de
movimiento y de velocidad (Figura).
xL
PP Lzx
0
22
0 12
)(
B
x
L
BPPv L
z
en las que zgPLgpP . ¿Cuál es la relación de la velocidad media a la
máxima en la rendija?. Obtener la ecuación análoga a la de Hagen – Poiseuille para la
rendija.
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Respuesta: 3
2
,
máxz
z
v
v;
L
WBPPQ L
3
)( 3
0 .
19. Flujo laminar en una rendija con una pared móvil (“Flujo de Couette plano”).
Extienda el problema 18 permitiendo que la pared en Bx se mueva en la dirección z
positiva a una velocidad estable 0v . Obtenga a) la distribución de esfuerzo cortante, y b) la
distribución de velocidad. Elabore dibujos cuidadosamente identificados de estas funciones.
Respuesta: B
vx
L
PP Lyx
2
00
;
B
xv
B
x
L
BPPv L
z 12
12
)( 0
22
0
20. Flujo en una rendija estrecha de un fluido que obedece a la ley de potencias.
En el problema 18 se resolvió el flujo de un fluido newtoniano en una rendija estrecha.
Encontrar la distribución de velocidad y la velocidad de flujo másico para un fluido que
obedece a la ley de potencias y circula en la rendija.
Respuesta:
1)/1(/1
0 11)/1(
)(nn
Lz
B
x
n
B
Lm
BPPv , Bx 0 ;
n
L
Lm
BPP
n
BWw
/1
0
2 )(
2)/1(
2
.
21. Determínese la fuerza tangencial por unidad de área ejercida sobre la placa superior y
su dirección. Que velocidad 0v ser requiere para que no haya descarga?
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Respuesta: h
vhgyx
0
2
sen ;
6
sen 0
hgv .
22. Flujo no – newtoniano de una película.
Deducir una fórmula para el espesor de una película de un fluido de Bingham descendiendo
por una pared plana vertical con una velocidad ( 1g.s por unidad de anchura de pared).
Respuesta: 0cos623
cos22
3
02032
g
g.
23. Determine el máximo valor del ángulo de inclinación (ver figura) para que un fluido
tipo Bingham no fluya sobre el plano inclinado. Exprese su resultado en términos del
espesor de la película ( h ) y propiedades del fluido.
Respuesta:
g
0arccos .
24. La banda transportadora (figura) lleva fluido a un depósito de tal profundidad que la
velocidad en la superficie libre del fluido sobre la banda es cero. ¿Cuál es la distribución de
velocidad del fluido en la banda y la tasa volumétrica del fluido que se transporta?
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Respuesta: )()(2
sen 0
x
vxx
gv y ,
212
sen 0
3 WvWgQ
.
25. Una correa vertical continua, que pasa en forma ascendente a través de un producto
químico a una velocidad 0v , levanta una película de líquido de espesor h , densidad y
viscosidad ; no hay rozamiento con la atmósfera.
a) Establezca las ecuaciones que describen el sistema, con las hipótesis realizadas y las
condiciones de borde correspondientes.
b) Obtenga una expresión para el perfil de velocidad.
c) ¿En qué punto la velocidad local igualará a la velocidad media?
d) Obtenga el valor de 0v para el cual se cumplirá que la velocidad media en y es igual a
cero.
e) Calcule el esfuerzo en la pared y dibuje el perfil xy .
f) ¿Habrá algún valor de 0v tal que el caudal neto sea cero? De ser así, obtenga su
expresión.
Respuesta: b) 0
2
2vx
h
xhgvy
; c) hx
3
31 ; d)
3
2
0
hgv ; e)
hgxy )0( ; f) Si, el mismo de la parte (d).
26. Un fluido que sigue el modelo de la potencia se escurre a lo largo de una pared vertical
formando una película de espesor h , la cual está en todo momento en contacto con la
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atmósfera. Determine el perfil de velocidades del fluido y el flujo volumétrico por unidad
de ancho. Recuerde que el esfuerzo cortante según el modelo de la potencia viene dado por
n
y
yxxd
vdm
donde m y n son constantes, x es la coordenada perpendicular a la pared e y es la
coordenada vertical paralela a la pared.
Respuesta: )(1
11
1
n
n
n
nn
xhm
g
n
nv y
; n
nn
hWm
g
n
nQ
21
1
21
.
27. Un fluido que sigue la ley de la potencia se coloca entre dos placas paralelas
horizontales separadas una distancia H como se muestra en la figura. La placa inferior está
fija mientras que la superior se mueve con velocidad constante 0v y entre ellas hay una
diferencia de presión 0P ( LPPP 0 ) para una longitud L .
Modelo de la ley de potencia:
n
zxz
xd
vdm
.
Para este sistema:
a) Obtenga una expresión que permita determinar el perfil de velocidades. No evalúe las
constantes de integración pero establezca las condiciones y ecuaciones que permitan
calcularlas.
b) Obtenga una expresión para calcular el caudal volumétrico por unidad de ancho a partir
del perfil de velocidades obtenido en (a).
c) Simplifique las expresiones obtenidas en (a) y (b) para un fluido newtoniano ( 1n ).
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Respuesta: 2
0
1
10
11
1
C
Lm
PP
n
m
Cx
Lm
PP
vL
L
z
n
; Para 0x , 0vvx , Para Hx , 0xv ;
W H
LL
L
ydxdLm
PP
nC
m
Cx
Lm
PP
Lm
PP
n
Q
n
0 0
02
1
10
0
11
11
11
.
28. Un fabricante de pinturas ha diseñado un compuesto que se comporta como un plástico
de Bingham con un esfuerzo cortante de cedencia de 2.77 N/m2. Si la densidad de la pintura
es de 1393 kg/m3, determine cuál es el máximo espesor del film que dejará el compuesto al
ser aplicado sobre una superficie vertical sin chorrear por efecto de la gravedad.
Respuesta: mm 2027.0 .
29. Flujo en una rendija de un fluido de Bingham.
Para suspensiones y pastas espesas en encuentra que no ocurre flujo hasta que se alcanza
cierto esfuerzo crítico, el esfuerzo cedente (límite elástico), y luego el fluido circula de tal
forma que parte de la corriente está en “flujo de tapón”. El modelo más simple de un fluido
con un valor de cedencia es el modelo de Bingham:
xd
vd zxz 00
donde 0 es el esfuerzo cedente, el esfuerzo por abajo del cual no ocurre flujo y 0 es un
parámetro con unidades de viscosidad.
a) Demostrar que la distribución de velocidad para el fluido en una rendija estrecha
(Problema 18) es
B
xB
B
x
L
BPPv L
z 112
)(
0
0
2
0
2
0
.
b) Demostrar que la velocidad de flujo másico está dada por
3
0
0
0
0
0
3
0
)(2
1
)(2
31
3
)(2
BPP
L
BPP
L
L
BWPPw
LL
L
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30. Para unir dos vidrios cuadrados de lado L (en forma de sándwich) se emplea una
sustancia que se comporta de acuerdo al modelo de Bingham ( 0 , ). Si los vidrios están
colocados verticalmente responda:
a) ¿Cuál es el máximo espesor ( ) de sustancia permitido para que ésta no se derrame?
b) Un operador inexperto colocó un 100% más ancha la capa de material plástico lo que
provocó un deslizamiento de producto. ¿Qué caudal se deslizó?
Respuesta: a) g
0
0 ; b) 22
3
0
6
5
g
WQ
.
31. Flujo adyacente de dos fluidos inmiscibles.
Dos fluidos inmiscibles e incompresibles circulan, debido a un gradiente de presión, en la
dirección z de una estrecha rendija horizontal de longitud L y anchura W . Las
velocidades de los dos fluidos están ajustadas de tal forma que una mitad de la rendija está
llena del fluido I (la fase más densa), y la otra mitad está ocupada por el fluido II (la fase
menos densa). Se desea analizar la distribución de velocidad y de densidad de flujo de
cantidad de movimiento en este sistema.
Respuesta:
III
III
Lzx
b
x
L
bpp
2
1)( 0 ;
22
0 2
2
)(
b
x
b
x
L
bppv
III
III
III
I
I
LI
z
22
0 2
2
)(
b
x
b
x
L
bppv
III
III
III
II
II
LII
z
.
32. Plate glass casting.
High-quality plate glass is cast with extremely flat surfaces by floating it on molten tin and
letting it cool as the glass and tin flor down a gentil inclined plane.
Data:
- Liquid glass entering the process: 3g/cm 2.3 , 2N.s/m 0.1 , layer thickness = 1 mm.
- Liquid tin: 3g/cm 0.7 , 23 N.s/m 103 , layer thickness = 1 mm.
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Inclined plane angle: 2º.
a) Write the general solution to the equation for momentum conservation down the inclined
plane in the flow direction.
b) What is the interfase boundary condition at the glass – tin interfase?
c) Calculate the velocity distribution in both the glass and the thin (Hint: measure distance
in the tin from the bottom, and distance in the glass from the top surface).
d) What are the maximum and avergage velocities in the glass and tin?
e) Comment on the Reynolds numbers in the glass and tin. Do you think flow will remain
laminar in both layers?
Respuesta: a) 2sensen gxg IIII
xz ; 2sensen gxg IIIIII
xz ; b)
Interfase boundary condition at the glass – tin interfase: 0x , II
Z
I
Z vv ;
c) I
II
I
I
I
II
I
II
z
ggx
gx
gv
21
2
122 sen
2
sensen
2
sen ;
I
II
I
I
II
II
II
IIII
z
ggx
gx
gv
21
2
122 sen
2
sensen
2
sen ;
d) I
II
I
II
z
ggv
21
2
1max,
sen
2
sen
I
II
I
I
II
IIII
z
gggv
21
2
1
2
2max,
sen
2
sen
2
sen ;
I
II
I
II
z
ggv
2
sen
3
sen 12
2
1
I
II
I
I
II
IIII
z
gggv
21
2
1
2
2 sen
2
sen
3
sen
e) I
II
zI v
14
Re ; II
IIII
zII v
24
Re .
33. En la figura se muestra una placa plana de área muy grande, la cual se separa de un
plano inclinado por un aceite (fluido 1: Pa.s 45.01 , 3
1 kg/m 881 ), en tanto que sobre
ella se extiende otro aceite (fluido 2: Pa.s 09.02 , 3
2 kg/m 900 ). La placa se mueve
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en la dirección indicada con una velocidad m/s 10 v tal que el flujo neto de ambos fluidos
en la dirección paralela al plano inclinado es nulo. Si el espesor de la película del fluido 1
es mm 81 , determine el espesor de la película del fluido 2, 2 . El ángulo de inclinación
del plano es º20 .
Respuesta: mm 24.8 .
34. Se tiene un plano inclinado con un ángulo Φ. Sobre el plano inclinado hay una capa de
espesor 1 de un fluido Bingham, como se muestra en la figura. Sobre este primer fluido
hay uno no newtoniano que sigue la ley de la potencia:
n
zxz
xd
vdm
a) Calcule el perfil de velocidades del fluido no newtoniano suponiendo que el fluido
Bingham no se mueve. Plantee el sistema de ecuaciones que le permita calcular las
constantes desconocidas.
b) Calcule el ángulo máximo Φ para que el fluido Bingham no fluya. Desprecie los
gradientes de presión en ambos fluidos.
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RESUMEN DE FIGURAS Y TABLAS.
Tabla 2.1. Condiciones de borde para diversos sistemas.
Flujo libre de una película descendente en una superficie inclinada o vertical.
Para 0x , 0yx Para x , 0yv
Para 0x , 0yv Para x , 0yx
Flujo libre de una película descendente en una superficie inclinada o vertical, en la cual la
superficie está en movimiento.
Para 0x , 0yx Para x ,
0vv y
Para 0x , 0vv y Para x ,
0yx
Flujo libre de una película descendente en una superficie inclinada o vertical, en la cual la
superficie está en movimiento y la superficie libre permanece estacionaria.
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Para 0x , 0yv Para x , 0vv y Para 0x , 0vv y Para x , 0yv
Dos placas paralelas (horizontales o verticales), una de las cuales está en movimiento y la
otra estacionaria.
Para 0x , 0yv
Para x , 0vv y
Dos placas paralelas moviéndose ambas en el mismo sentido.
Para 0x ,
0uv y
Para x ,
0vv y
Dos placas paralelas moviéndose ambas en sentidos opuestos.
Para 0x ,
0uv y
Para x ,
0vv y
Dos placas paralelas verticales moviéndose ambas en el mismo sentido y con la misma
rapidez.
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Para 0x , 0yx Para 21x , 0vv y
Cuando no se conoce una condición de borde para yx , se debe establecer una ecuación
diferencial de segundo orden en la velocidad, y aplicar dos condiciones de borde a la
velocidad.
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BIBLIOGRAFÍA.
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Edición., McGraw-Hill / Interamericana Editores S.A de C.V., México, 2012.
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Mc-Graw Hill / Interamericana de España, S.A.U., Madrid, 1994.
MOTT, R, Mecánica de Fluidos Aplicada, Cuarta Edición., Editorial Prentice Hall.,
México, 1996.
STREETER, V y WILYE, E, Mecánica de los Fluidos, Octava Edición., Editorial Mc-
Graw Hill., México, 1988.