Análisis de Fourier
Análisis de Fourier
F. Javier Cara
ETSII-UPM
Curso 2012-2013
1
Análisis de Fourier
ContenidoSeñales continuas
Señales continuas periódicas. Serie de Fourier.Señales continuas periódicas. Serie de Fourier complejaEspectroSeñales continuas no periódicas. Serie de Fourier.Señales continuas no periódicas. Transformada de Fourier.Catalogo de transformadas de FourierDelta de DiracConvolución y su transformada de FourierCorrelación y su transformada de Fourier
Señales discretasSeñales discretas periódicas. Serie de Fourier discreta.Señales discretas no periódicas. Serie de Fourier discreta.Señales discretas no periódicas. Transformada de Fourier en tiempo discreto.Muestreo de señalesTransformada de Fourier discreta (DFT)
2
Análisis de Fourier
Señales continuas
Análisis de Fourier
◮ Señales continuas.◮ Señales continuas periódicas.
◮ Serie de Fourier.◮ Serie de Fourier compleja.
◮ Señales continuas no periódicas.◮ Serie de Fourier.◮ Transformada de Fourier.
◮ Señales discretas.◮ Señales discretas periódicas.
◮ Serie de Fourier discreta.◮ Señales discretas no periódicas.
◮ Serie de Fourier discreta.◮ Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT).◮ Transformada de Fourier discreta (DFT).
3
Análisis de Fourier
Señales continuas
Jean-Baptiste Joseph Fourier (21 de marzo de 1768, Auxerre- 16 de mayo de 1830, París)
4
Análisis de Fourier
Señales continuas
Señales continuas periódicas. Serie de Fourier.
0 0.5 1 1.5 2−20
−10
0
10
20A= 15, f = 2 Hz, T = 0.5 s
y=A
sin(
ωt)
0 0.5 1 1.5 2−20
−10
0
10
20A= 5, f = 2 Hz, T = 0.5 s
y=A
sin(
ωt)
0 0.5 1 1.5 2−20
−10
0
10
20A= 5, f = 4 Hz, T = 0.25 s
y=A
sin(
ωt)
0 0.5 1 1.5 2−20
−10
0
10
20A= 15, f = 2 Hz, T = 0.5 s
y=A
cos(
ωt)
0 0.5 1 1.5 2−20
−10
0
10
20A= 5, f = 2 Hz, T = 0.5 s
y=A
cos(
ωt)
0 0.5 1 1.5 2−20
−10
0
10
20A= 5, f = 4 Hz, T = 0.25 s
y=A
cos(
ωt)
◮ Ondas: y = Asin(ωt), y = Acos(ωt)◮ A: amplitud de la onda.◮ ω = 2π
T= 2πf : frecuencia angular, [rad/s].
◮ T : periodo = tiempo entre dos repeticiones, [s].◮ f = 1
T: frecuencia lineal = num. de repeticiones por segundo, [Hz].
5
Análisis de Fourier
Señales continuas
Señales continuas periódicas. Serie de Fourier.
0 0.5 1 1.5 2
−200
20
a1= 10, f
1 = 2 Hz, T
1= 0.5 s.
x 1=a 1co
s(ω
1t)
0 0.5 1 1.5 2
−200
20
a2= 8, f
2 = 4 Hz, T
2= 0.25 s.
x 2=a 2co
s(ω
2t)
0 0.5 1 1.5 2
−200
20
a3= 4, f
3 = 6 Hz, T
3= 0.16667 s.
x 3=a 3co
s(ω
3t)
0 0.5 1 1.5 2
−200
20
a4= 6, f
4 = 8 Hz, T
4= 0.125 s.
x 4=a 4co
s(ω
4t)
0 0.5 1 1.5 2
−200
20
xtotal
= x1 + x
2 + x
3 + x
4
x tota
l
0 0.5 1 1.5 2
−200
20
b1= 10, f
1 = 2 Hz, T
1= 0.5 s.
y 1=b 1si
n(ω
1t)
0 0.5 1 1.5 2
−200
20
b2= 8, f
2 = 4 Hz, T
2= 0.25 s.
y 2=b 2si
n(ω
2t)
0 0.5 1 1.5 2
−200
20
b3= 4, f
3 = 6 Hz, T
3= 0.16667 s.
y 3=b 3si
n(ω
3t)
0 0.5 1 1.5 2
−200
20
b4= 6, f
4 = 8 Hz, T
4= 0.125 s.
y 4=b 4si
n(ω
4t)
0 0.5 1 1.5 2
−200
20
ytotal
= y1 + y
2 + y
3 + y
4
y tota
l
6
Análisis de Fourier
Señales continuas
Señales continuas periódicas. Serie de Fourier.
◮ Al sumar ondas coseno, x(t) =K∑
k=1
akcos(ωkt):
◮ Si ωk = n · ω1, n ∈ N ⇒ x(t) es una onda periódica:◮ El periodo de x(t) es T1.
◮ x(0) = x(T ) =K∑
k=1
ak .
◮ Al sumar ondas seno, y(t) =K∑
k=1
bksin(ωkt):
◮ Si ωk = n · ω1, n ∈ N ⇒ y(t) es una onda periódica:◮ El periodo de y(t) es T1.◮ y(0) = y(T ) = 0.
◮ En conclusión, f (t) =K∑
k=1
(akcos(ωkt) + bksin(ωkt)) es periódica:
◮ Si ωk = n · ω1, n ∈ N ⇒ f (t) es una onda periódica:◮ El periodo de f (t) es T1.
◮ f (0) = f (T ) =K∑
k=1
ak .
7
Análisis de Fourier
Señales continuas
Señales continuas periódicas. Serie de Fourier.
El recíproco de la propiedad anterior también es cierto:
TeoremaCualquier función periódica de periodo T se puede descomponer en unasuma de senos y cosenos:
f (t) =∞∑
n=1
(
ancos2πn
Tt + bnsin
2πn
Tt
)
◮ Una función f (t) es periódica de periodo T si cumple quef (t) = f (t + T ).
◮ Para n = 1 las ondas tienen la misma frecuencia que la función f(t):
ω1 =2π
T
◮ Esta frecuencia es conocida como frecuencia fundamental. El restode ondas tienen frecuencias múltiplo de la fundamental (comohabíamos visto en en el apartado anterior):
ωn =2πn
T= n · ω1
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Análisis de Fourier
Señales continuas
Señales continuas periódicas. Serie de Fourier.
Por ejemplo, veamos la función periódica (T = 2):
f (t) =
− 1
2−1 < t < 0
+ 1
20 < t < 1
f (t) = f (t + 2) resto
La frecuencia fundamental es ω1 = 2π/T = π.La serie de Fourier de f (t) es:
f (t) =2
πsinπt +
2
3πsin3πt +
2
5πsin5πt +
2
7πsin7πt +
2
9πsin9πt · · ·
En la figura siguiente se representa la función f(t) y los tres primerostérminos de la serie de Fourier. Se observa como con tan sólo trestérminos, la aproximación conseguida es notable.
9
Análisis de Fourier
Señales continuas
Señales continuas periódicas. Serie de Fourier.
−4 −2 0 2 4 6−1
−0.5
0
0.5
1
f(t), f0(t) = 2π sin π t
−4 −2 0 2 4 6−1
−0.5
0
0.5
1
f(t), f1(t) = 2/3π sin 3π t
−4 −2 0 2 4 6−1
−0.5
0
0.5
1
f(t), f0(t) + f
1(t)
−4 −2 0 2 4 6−1
−0.5
0
0.5
1
f(t), f2(t) = 2/5π sin 5π t
−4 −2 0 2 4 6−1
−0.5
0
0.5
1
f(t), f0(t) + f
1(t) + f
2(t)
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Análisis de Fourier
Señales continuas
Señales continuas periódicas. Serie de Fourier.
◮ Como ancos 2πnT
t y bnsin2πnT
t oscilan en torno al cero, la suma deellos también lo harán.
◮ Para tener en cuenta funciones periódicas que oscilan en torno a c :
TeoremaCualquier función periódica de periodo T se puede descomponer en unasuma de senos y cosenos:
f (t) = c +
∞∑
n=1
(
ancos2πn
Tt + bnsin
2πn
Tt
)
◮ Por ejemplo, la función g(t) es periódica (T = 2) pero con valoresque oscilan en torno a 1
2.
g(t) =
0 −1 < t < 01 0 < t < 1
g(t) = g(t + 2) resto
11
Análisis de Fourier
Señales continuas
Señales continuas periódicas. Serie de Fourier.
−4 −2 0 2 4 6−1
0
1
f(t), f0(t) = 1/2
−4 −2 0 2 4 6−1
0
1
f(t), f1(t) = 2π sin π t
−4 −2 0 2 4 6−1
0
1
f(t), f0(t) + f
1(t)
−4 −2 0 2 4 6−1
0
1
f(t), f2(t) = 2/3π sin 3π t
−4 −2 0 2 4 6−1
0
1
f(t), f0(t) + f
1(t) + f
2(t)
−4 −2 0 2 4 6−1
0
1
f(t), f3(t) = 2/5π sin 5π t
−4 −2 0 2 4 6−1
0
1
f(t), f0(t) + f
1(t) + f
2(t) + f
3(t)
La serie de Fourier de g(t) es:
f (t) =1
2+
2
πsinπt +
2
3πsin3πt +
2
5πsin5πt + · · ·
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Análisis de Fourier
Señales continuas
Señales continuas periódicas. Serie de Fourier.
Obviamente, la pregunta es: ¿cómo se calculan an, bn y c?
Primero, hay recordar que las funciones seno y coseno cumplen:◮ Son simetricas respecto a y = 0:
∫ +T2
−T2
cos
(
2πn
Tt
)
dt = 0
∫ +T2
−T2
sin
(
2πn
Tt
)
dt = 0
◮ Son ortogonales:∫ +T
2
−T2
cos
(
2πm
Tt
)
sin
(
2πn
Tt
)
dt = 0
∫ +T2
−T2
cos
(
2πm
Tt
)
cos
(
2πn
Tt
)
dt =
{
T/2 si m = n
0 si m 6= n
∫ +T2
−T2
sin
(
2πm
Tt
)
sin
(
2πn
Tt
)
dt =
{
T/2 si m = n
0 si m 6= n 13
Análisis de Fourier
Señales continuas
Señales continuas periódicas. Serie de Fourier.
Cálculo de los coeficientes an y bn.
f (t) = c +∞∑
n=1
(
ancos
(
2πn
Tt
)
+ bnsin
(
2πn
Tt
))
◮ Término c .
∫ +T2
−T2
f (t)dt =
∫ +T2
−T2
(
c +
∞∑
n=1
(
ancos
(
2πn
Tt
)
+ bnsin
(
2πn
Tt
))
)
dt
⇒∫ +T
2
−T2
f (t)dt = cT ⇒ c =1
T
∫ +T2
−T2
f (t)dt
14
Análisis de Fourier
Señales continuas
Señales continuas periódicas. Serie de Fourier.
◮ Término a1.
∫ +T2
−T2
f (t)cos
(
2π
Tt
)
dt =
=
∫ +T2
−T2
(
c +
∞∑
n=1
(
ancos
(
2πn
Tt
)
+ bnsin
(
2πn
Tt
))
)
cos
(
2π
Tt
)
dt
⇒∫ +T
2
−T2
f (t)cos
(
2π
Tt
)
dt = a1
T
2⇒ a1 =
2
T
∫ +T2
−T2
f (t)cos
(
2π
Tt
)
dt
◮ Término an.
an =2
T
∫ +T2
−T2
f (t)cos
(
2πn
Tt
)
dt
15
Análisis de Fourier
Señales continuas
Señales continuas periódicas. Serie de Fourier.
◮ Término b1.
∫ +T2
−T2
f (t)sin
(
2π
Tt
)
dt =
=
∫ +T2
−T2
(
c +
∞∑
n=1
(
ancos
(
2πn
Tt
)
+ bnsin
(
2πn
Tt
))
)
sin
(
2π
Tt
)
dt
⇒∫ +T
2
−T2
f (t)sin
(
2π
Tt
)
dt = b1
T
2⇒ b1 =
2
T
∫ +T2
−T2
f (t)sin
(
2π
Tt
)
dt
◮ Término bn.
bn =2
T
∫ +T2
−T2
f (t)sin
(
2πn
Tt
)
dt
16
Análisis de Fourier
Señales continuas
Señales continuas periódicas. Serie de Fourier.
Teorema de la serie de FourierCualquier función periódica de periodo T se puede descomponer como:
f (t) =a0
2+
∞∑
n=1
(
ancos
(
2πn
Tt
)
+ bnsin
(
2πn
Tt
))
an =2
T
∫ +T2
−T2
f (t)cos
(
2πn
Tt
)
dt, n = 0, 1, 2, . . .
bn =2
T
∫ +T2
−T2
f (t)sin
(
2πn
Tt
)
dt, n = 1, 2, . . .
Nota: Los términos an y bn se calculan integrando en un periodo. En lasfórmulas anteriores se ha integrado entre −T/2 y T/2 pero también sepodría hacer entre 0 y T. Los an y bn obtenidos dependen de los límitesde integración elegidos, aunque (a2
n + b2n) es constante.
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Análisis de Fourier
Señales continuas
Señales continuas periódicas. Serie de Fourier compleja
Análisis de Fourier
◮ Señales continuas.◮ Señales continuas periódicas.
◮ Serie de Fourier.◮ Serie de Fourier compleja.
◮ Señales continuas no periódicas.◮ Serie de Fourier.◮ Transformada de Fourier.
◮ Señales discretas.◮ Señales discretas periódicas.
◮ Serie de Fourier discreta.◮ Señales discretas no periódicas.
◮ Serie de Fourier discreta.◮ Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT).◮ Transformada de Fourier discreta (DFT).
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Análisis de Fourier
Señales continuas
Señales continuas periódicas. Serie de Fourier compleja
Serie de Fourier compleja
e ix = cosx + isinx ⇒{
cos(nω1t) =1
2
(
e inω1t + e−inω1t)
sin(nω1t) =1
2i
(
e inω1t − e−inω1t)
f (t) =a0
2+
∞∑
n=1
an
2
(
e inω1t + e−inω1t)
+bn
2i
(
e inω1t − e−inω1t)
=a0
2+
∞∑
n=1
1
2(an − ibn)e
inω1t +1
2(an + ibn)e
−inω1t
=a0
2+
∞∑
n=1
Cneinω1t + Dne
−inω1t
Cn =1
2(an − ibn) =
2
T
∫ +T2
−T2
f (t)e−inω1tdt
Dn =1
2(an + ibn) =
2
T
∫ +T2
−T2
f (t)e inω1tdt19
Análisis de Fourier
Señales continuas
Señales continuas periódicas. Serie de Fourier compleja
ya que
an =2
T
∫ +T2
−T2
f (t)cosnω1tdt =2
T
∫ +T2
−T2
f (t)1
2
(
e inω1t + e−inω1t)
dt
bn =2
T
∫ +T2
−T2
f (t)sinnω1tdt =2
T
∫ +T2
−T2
f (t)1
2i
(
e inω1t − e−inω1t)
dt
Teniendo en cuenta ésto
f (t) =a0
2+
∞∑
n=1
(
Cneinω1t + Dne
−inω1t)
=
∞∑
n=0
Cneinω1t +
∞∑
n=1
Dne−inω1t
=∞∑
n=0
Cneinω1t +
−∞∑
n=−1
D(−n)einω1t =
∞∑
n=0
Cneinω1t +
−∞∑
n=−1
Cneinω1t
=
∞∑
n=−∞
Cneinω1t
20
Análisis de Fourier
Señales continuas
Señales continuas periódicas. Serie de Fourier compleja
Teorema de la serie de Fourier en notación complejaCualquier función periódica de periodo T se puede descomponer como:
f (t) =
∞∑
n=−∞
Cnei2πnt/T
Cn =1
T
∫ +T2
−T2
f (t)e−i2πnt/T dt, Cn ∈ C
Las ventajas de utilizar la serie es Fourier en complejos son:◮ Notación más compacta, más elegante.◮ Es más facil operar con exponenciales que con senos y cosenos:
multiplicar, derivar, ...◮ ¡¡¡ Pero es igual trabajar con senos-cosenos que con exp. complejas!!!
* Los pares (t, f (t)) representan la función f en el dominio del
tiempo.* Los pares
(
(ωn,Cn) : n ∈ Z, ωn = 2πT
n = nω1
)
representan la funciónf en el dominio de la frecuencia.
21
Análisis de Fourier
Señales continuas
Señales continuas periódicas. Serie de Fourier compleja
EjemploDesarrollar en series de Fourier f (t) = t2, 0 < t < 2π, con periodo 2π.
a0 =2
T
∫ T
0
f (t)dt =1
π
∫ 2π
0
t2dt =8π2
3
an =2
T
∫ T
0
f (t) cos2πnt
Tdt =
1
π
∫ 2π
0
t2 cos ntdt
Integrando por partes
an =1
π
(
t2sin nt
n+ 2t
cos nt
n2− 2
sin nt
n3
)∣
∣
∣
∣
2π
0
=4
n2
bn =2
T
∫ T
0
f (t) sin2πnt
Tdt =
1
π
∫ 2π
0
t2 sin ntdt
=1
π
(
−t2cos nt
n+ 2t
sin nt
n2+ 2
cos nt
n3
)∣
∣
∣
∣
2π
0
= −4π
n
22
Análisis de Fourier
Señales continuas
Señales continuas periódicas. Serie de Fourier compleja
Cn =1
2(an − ibn) =
1
2
(
4
n2+ i
4π
n
)
=2 + i2πn
n2
C0 =1
2a0 =
4π2
3
Por tanto
f (t) = t2 ≈ 4π2
3+
∞∑
n=1
(
4
n2cos nt − 4π
nsin nt
)
f (t) = t2 ≈ 4π2
3+
∞∑
n=−∞
n 6=0
2 + i2πn
n2e int
◮ Frecuencia fundamental: ω1 = 2π/T = 1 rad/s.
◮ Frecuencias de Fourier: nω1 = 1, 2, 3, 4, . . . rad/s
23
Análisis de Fourier
Señales continuas
Señales continuas periódicas. Serie de Fourier compleja
−10 −5 0 5 10 15−20
02040
f(t)=t2, f0(t) = 4π2/3
−10 −5 0 5 10 15−20
02040
f(t), f1(t) = 4 cos t − 4π sin t
−10 −5 0 5 10 15−20
02040
f(t), f0(t) + f
1(t)
−10 −5 0 5 10 15−20
02040
f(t), f2(t) = cos 2t − 2π sin 2t
−10 −5 0 5 10 15−20
02040
f(t), f0(t) + f
1(t) + f
2(t)
−10 −5 0 5 10 15−20
02040
f(t), f3(t) = 4/9cos 3t − 4π/3 sin 3t
−10 −5 0 5 10 15−20
02040
f(t), f0(t) + f
1(t) + f
2(t) + f
3(t)
−10 −5 0 5 10 15−20
02040
f(t), f4(t) = 1/4cos 4t − π sin 4t
−10 −5 0 5 10 15−20
02040
f(t), f0(t) + f
1(t) + f
2(t) + f
3(t) + f
4(t)
24
Análisis de Fourier
Señales continuas
Espectro
Espectro◮ Un espectro es la representación de una señal en el dominio de la
frecuencia.◮ Cuando tenemos senos-cosenos, el espectro consiste en representar
an y bn frente a ωn. Es preferible representar dn =√
a2n + b2
n frentea ωn, ya que an y bn dependen de como se haya elegido T.
◮ En complejos, se puede representar la parte real y la parte imaginariade Cn, o el módulo (espectro de módulo) y la fase (espectro de fase).
◮ El espectro de módulo, |Cn|, es simétrico respecto al eje x = 0.
Cn = 1
2(an − ibn)
C−n = Dn = 1
2(an + ibn)
}
⇒ C−n = C∗n ⇒ |C−n| = |Cn|
◮ dn se reparte entre Cn y C−n en partes iguales:
|Cn|2 =1
2(a2
n+b2
n), n = 0, 1, 2, . . . |C−n|2 =1
2(a2
n+b2
n), n = 1, 2, 3, . . .
|Cn|2 + |C−n|2 = 2|Cn|2 = d2
n , n = 1, 2, 3, . . .
C0 = d0
25
Análisis de Fourier
Señales continuas
Espectro
EjemploEspectro de f (t) = t2
−5 0 5−20
−10
0
10
20
an
−5 0 5−20
−10
0
10
20
bn
−5 0 5−20
−10
0
10
20
(an2 + b
n2)1/2
−5 0 5−20
−10
0
10
20
REAL(cn)
ωn
−5 0 5−20
−10
0
10
20
IMAG(cn)
ωn
−5 0 5−20
−10
0
10
20
MOD(cn)
ωn
−5 0 5−20
−10
0
10
20
2*MOD(cn), n>1
ωn 26
Análisis de Fourier
Señales continuas
Espectro
Teorema de ParsevalTeoremaSea f (t) una función periódica, y sean an y bn los coeficientes deldesarrollo en serie de Fourier. Entonces se cumple que:
1
T
∫ +T2
−T2
(f (t))2dt = a2
0 +1
2
∞∑
n=1
(
a2
n + b2
n
)
TeoremaSea f (t) una función periódica, y sean Cn los coeficientes del desarrolloen serie de Fourier complejo. Entonces se cumple que:
1
T
∫ +T2
−T2
(f (t))2dt =
∞∑
n=−∞
C 2
n
Luego el espectro está relacionado con el valor cuadrático medio de laseñal en un periodo. 27
Análisis de Fourier
Señales continuas
Señales continuas no periódicas. Serie de Fourier.
Análisis de Fourier
◮ Señales continuas.◮ Señales continuas periódicas.
◮ Serie de Fourier.◮ Serie de Fourier compleja.
◮ Señales continuas no periódicas.◮ Serie de Fourier◮ Transformada de Fourier.
◮ Señales discretas.◮ Señales discretas periódicas.
◮ Serie de Fourier discreta.◮ Señales discretas no periódicas.
◮ Serie de Fourier discreta.◮ Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT).◮ Transformada de Fourier discreta (DFT).
28
Análisis de Fourier
Señales continuas
Señales continuas no periódicas. Serie de Fourier.
En el caso de que tengamos una señal no periódica, se puede aplicar elanálisis de Fourier de dos maneras:
1. Creando una señal periódica a partir de la señal no periódica.
2. Transformada de Fourier.
Figura: Señal no periódica.
29
Análisis de Fourier
Señales continuas
Señales continuas no periódicas. Serie de Fourier.
1. Creando señal periódica.
◮ Si tenemos una señal, f (t), definida entre ta y tb podemos crear unaseñal periódica a partir de ella, g(t), simplemente repitiendo f (t).
◮ El periodo de la nueva señal es T = tb − ta.◮ La nueva señal periódica, g(t), puede analizarse utilizando la serie de
Fourier. Los resultados obtenidos son válidos en el intervalo [tb − ta]. 30
Análisis de Fourier
Señales continuas
Señales continuas no periódicas. Transformada de Fourier.
2. Transformada de Fourier
h(t) =
{
f (t) t ∈ [ta, tb]0 resto
◮ La otra opción consiste en definir una función periódica pero cuyoperiodo es infinito, h(t).
◮ Aparece así el concepto de Transformada de Fourier.
31
Análisis de Fourier
Señales continuas
Señales continuas no periódicas. Transformada de Fourier.
Sabemos que
h(t) =
∞∑
n=−∞
Cnei2πnt/T
Cn =1
T
∫ +T2
−T2
h(t)e−i2πnt/T dt
Sustituyendo una en la otra
h(t) =
∞∑
n=−∞
(
1
T
∫ +T2
−T2
h(t)e−i2πnt/T dt
)
e i2πnt/T
Por otro lado ωn = 2πT
n, por lo que la distancia entre ωn y ωn+1 es∆ω = 2π/T . Sustituyendo
h(t) =∞∑
n=−∞
(
∆ω
2π
∫ +T2
−T2
h(t)e−in∆ωtdt
)
e in∆ωt
32
Análisis de Fourier
Señales continuas
Señales continuas no periódicas. Transformada de Fourier.
Conforme T → ∞, ∆ω → dω (se hace infinitésimo), n∆ω = ωn → ω (lavariable discreta se hace continua), y la suma se convierte en una integral
h(t) = limT→∞
∞∑
n=−∞
(
∆ω
2π
∫ +T2
−T2
h(t)e−in∆ωtdt
)
e in∆ωt
h(t) =
∫ ∞
−∞
(
1
2π
∫ ∞
−∞
h(t)e−iωtdt
)
e iωtdω
TeoremaLa Transformada de Fourier y la Transformada Inversa de Fourier sedefinen mediante:
H(ω) =1
2π
∫ ∞
−∞
h(t)e−iωtdt
h(t) =
∫ ∞
−∞
H(ω)e iωtdω
33
Análisis de Fourier
Señales continuas
Señales continuas no periódicas. Transformada de Fourier.
El factor 1
2π nosotros lo hemos asignado a H(ω), pero también lopodíamos haber asignado a h(t). De hecho, no existe una soluciónconsensuada para este problema, y nos podemos encontrar las siguientesdefiniciones para la transformada de Fourier:
H(ω) =1
2π
∫ ∞
−∞
h(t)e−iωtdt
h(t) =
∫ ∞
−∞
H(ω)e iωtdω
H(ω) =
∫ ∞
−∞
h(t)e−iωtdt
h(t) =1
2π
∫ ∞
−∞
H(ω)e iωtdω
H(ω) =1√2π
∫ ∞
−∞
h(t)e−iωtdt
h(t) =1√2π
∫ ∞
−∞
H(ω)e iωtdω
H(f ) =
∫ ∞
−∞
h(t)e−i2πftdt
h(t) =
∫ ∞
−∞
H(f )e i2πftdω
34
Análisis de Fourier
Señales continuas
Señales continuas no periódicas. Transformada de Fourier.
Hay dos condiciones generales que tiene que cumplir la función h(t) paratener transformada de Fourier:
◮ La función ha de ser absolútamente integrable, esto es,∫ +T
2
−T2|h(t)|dt < ∞.
◮ Cualquier discontinuidad de h(t) tiene que ser finita.
Aplicando la fórmula de Euler, la transformada de Fourier a veces seescribe
H(ω) =1
2π
∫ ∞
−∞
h(t) cos(ωt)dt − i1
2π
∫ ∞
−∞
h(t) sin(ωt)dt
Por tanto, H(ω) = H∗(−ω) y el espectro, |H(ω)|, es simétrico respectoal eje Y.
TeoremaTeorema de Parseval. Sea h(t) una función periódica, y sea H(ω) suTransformada de Fourier. Entonces se cumple que:
∫ ∞
−∞
(h(t))2dt = 2π
∫ ∞
−∞
|H(ω)|2 dω =
∫ ∞
−∞
|H(f )|2 df
35
Análisis de Fourier
Señales continuas
Señales continuas no periódicas. Transformada de Fourier.
Construir una función periódica vs Transformada de Fourier.
El espectro |H(ω)| es continuo, en contraposición al de |Cn| que esdiscreto. Esto quiere decir que hay que utilizar todas las frecuencias quehay entre −ω0 y ω0 para obtener exáctamente la función f (t) como sumade senos y cosenos. Sin embargo, si sólo empleo determinadas frecuencias,las ωn, la suma de senos y cosenos me da una función periódica: quecoincide con f (t) entre ta y tb, pero que se repite fuera de ese intervalo.
36
Análisis de Fourier
Señales continuas
Catalogo de transformadas de Fourier
Catalogo de transformadas de Fourier
37
Análisis de Fourier
Señales continuas
Catalogo de transformadas de Fourier
38
Análisis de Fourier
Señales continuas
Catalogo de transformadas de Fourier
39
Análisis de Fourier
Señales continuas
Catalogo de transformadas de Fourier
40
Análisis de Fourier
Señales continuas
Delta de Dirac
Delta de Dirac o función impulsoLa Delta de Dirac es la siguiente función:
δ(t) = lim∆t→0
ρ(∆t)
δ(t) no es una función como las que trabajamos en análisis: se encuadrandentro de las funciones generalizadas o distribuciones. Cumplen que:
δ(t) =
0 si t 6= 0∞∫
−∞
δ(t)dt = 1
∞∫
−∞
h(t)δ(t)dt = h(0)
41
Análisis de Fourier
Señales continuas
Delta de Dirac
Cuando está aplicada en t = t0:
δ(t) = lim∆t→0
ρ(t0,∆t)
Las ecuaciones son ahora:
δ(t − t0) =
0 si t 6= t0∞∫
−∞
δ(t − t0)dt = 1
∞∫
−∞
h(t)δ(t − t0)dt = h(t0)
42
Análisis de Fourier
Señales continuas
Delta de Dirac
Gráficamente, δ(t) se representa como una flecha con altura unidad, y losimpulsos en general se representan como flechas con altura igual a suintegral.
43
Análisis de Fourier
Señales continuas
Delta de Dirac
Producto de la función impulso y una función ordinaria h(t)Se define como
δ(t − t0)h(t) = h(t0)δ(t − t0)
En efecto, integrando∞∫
−∞
δ(t − t0)h(t) =
∞∫
−∞
h(t0)δ(t − t0)
Para el primer miembro∞∫
−∞
δ(t − t0)h(t) = h(t0)
y el segundo miembro∞∫
−∞
h(t0)δ(t − t0) = h(t0)
∞∫
−∞
δ(t − t0) = h(t0)
44
Análisis de Fourier
Señales continuas
Delta de Dirac
Producto de una función con un tren de impulsos
◮ función: h(t);
◮ tren de impulsos:∞∑
n=−∞
δ(t − n∆t);
h(t) ·∞∑
n=−∞
δ(t − n∆t) =
∞∑
n=−∞
h(t)δ(t − n∆t)
El resultado es otro tren de impulsos con alturade cada impulso h(n∆t), ya que
h(t)δ(t − n∆t) = h(n∆t)δ(t − n∆t)
Por tanto
∞∑
n=−∞
h(t)δ(t−n∆t) =
∞∑
n=−∞
h(n∆t)δ(t−n∆t)
45
Análisis de Fourier
Señales continuas
Convolución y su transformada de Fourier
Convolución y su transformada de FourierIntegral de convolución (convoluciónentre x(t) y h(t))
y(t) =
∫ ∞
−∞
x(τ)h(t − τ)dτ
Tamb. se indica como y(t) = x(t) ∗ h(t).Proceso de convolución:
1. Folding. Se construye h(−τ).
2. Displacement. Se desplaza h(−τ)una cantidad igual a t ⇒ h(t − τ).
3. Multiplication. Se multiplican x(τ)y h(t − τ).
4. Integration. El área bajox(τ) · h(t − τ) es el valor de laconvolución en el instante t.
46
Análisis de Fourier
Señales continuas
Convolución y su transformada de Fourier
Ejemplo: convolución de dos señales rectangulares.
47
Análisis de Fourier
Señales continuas
Convolución y su transformada de Fourier
Ejemplo: convolución con impulsos.
48
Análisis de Fourier
Señales continuas
Convolución y su transformada de Fourier
Forma alternativa de la integral de convolución
Convolución entre x(t) y h(t):
◮ Integral de convolución
y(t) =
∫ ∞
−∞
x(τ)h(t − τ)dτ
◮ Forma alternativa
y(t) =
∫ ∞
−∞
h(τ)x(t − τ)dτ
En la figura de la izquierda se hace laconvolución entre la función rectangulary e−at utilizando las dos integralesanteriores. El resultado es el mismo.
49
Análisis de Fourier
Señales continuas
Convolución y su transformada de Fourier
Teorema (Teorema de convolución en el tiempo)La Transformada de Fourier de la convolución de dos funciones en eldominio del tiempo es igual al producto de las Transformadas de Fourierde las funciones en el dominio de la frecuencia.
y(t) =
∫ ∞
−∞
x(τ)h(t − τ)dτTF⇐⇒
{
Y (f ) = H(f )X (f )Y (ω) = 2πH(ω)X (ω)
Teorema (Teorema de convolución en frecuencia)La Transformada de Fourier del producto de dos funciones en el dominiodel tiempo es igual a la convolución de las Transformadas de Fourier delas funciones en el dominio de la frecuencia.
y(t) = x(t)h(t)TF⇐⇒
{
Y (f ) = H(f ) ∗ X (f )Y (ω) = 1
2πH(ω) ∗ X (ω)
50
Análisis de Fourier
Señales continuas
Convolución y su transformada de Fourier
Ejemplos del teorema de convolución en el tiempo
51
Análisis de Fourier
Señales continuas
Convolución y su transformada de Fourier
Ejemplos del teorema de convolución en frecuencia
52
Análisis de Fourier
Señales continuas
Correlación y su transformada de Fourier
Correlación y su transformada de Fourier
Integral de correlación
y(t) =
∫ ∞
−∞
x(τ)h(t + τ)dτ
Proceso de correlación:
1. Displacement. Se desplaza h(τ)una cantidad igual a t ⇒ h(t + τ).
2. Multiplication. Se multiplican x(τ)y h(t + τ).
3. Integration. El área bajox(τ) · h(t + τ) es el valor de laconvolución en el instante t.
53
Análisis de Fourier
Señales continuas
Correlación y su transformada de Fourier
TeoremaLa Transformada de Fourier de la correlación de dos funciones es igual alproducto de la conjugada de la Transformada de Fourier de la primerafunción y la Transformada de Fourier de la segunda función.
y(t) =
∫ ∞
−∞
x(τ)h(t + τ)dτTF⇐⇒
{
Y (f ) = H(f )X ∗(f )Y (ω) = 2πH(ω)X ∗(ω)
Cuando x(t) = h(t), la correlación se conoce como autocorrelación deh(t). Entonces se tiene
y(t) =
∫ ∞
−∞
h(τ)h(t+τ)dτTF⇐⇒
{
Y (f ) = H(f )H∗(f ) = |H(f )|2Y (ω) = 2πH(ω)X ∗(ω) = 2π|H(ω)|2
54
Análisis de Fourier
Señales continuas
Correlación y su transformada de Fourier
Comparación entre convolución y correlación
55
Análisis de Fourier
Señales discretas
Señales discretas periódicas. Serie de Fourier discreta.
Análisis de Fourier
◮ Señales continuas.◮ Señales continuas periódicas.
◮ Serie de Fourier.◮ Serie de Fourier compleja.
◮ Señales continuas no periódicas.◮ Serie de Fourier.◮ Transformada de Fourier.
◮ Señales discretas.◮ Señales discretas periódicas.
◮ Serie de Fourier discreta.
◮ Señales discretas no periódicas.◮ Serie de Fourier discreta.◮ Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT).◮ Transformada de Fourier discreta (DFT).
56
Análisis de Fourier
Señales discretas
Señales discretas periódicas. Serie de Fourier discreta.
Sea una señal periódica, f (t), de periodo T . Tomamos N valoresdiscretos de f (t) en cada periodo, separados ∆t. Se cumple entonces que:
T = N∆t
−10 −5 0 5 10 15−10
0
10
20
30
40
Discretizacion de f(t)=t2. N=8
t (s)
f(t)
= t2
−10 −5 0 5 10 15−10
0
10
20
30
40
Valores discretos
t (s)
f(t k)
= t k2
57
Análisis de Fourier
Señales discretas
Señales discretas periódicas. Serie de Fourier discreta.
No conocemos la función de partida, sólo los puntos discretos. Podemosconstruir una suma de senos y cosenos que pase por los puntos discretos.Las ecuaciones en el caso continuo eran:
f (t) =∞∑
n=−∞
Cnei2πnt/T
Cn =1
T
∫ +T2
−T2
f (t)e−i2πnt/Tdt
El valor de la señal en cada tk = k∆t será:
f (tk) = f (k∆t) =
∞∑
n=−∞
Cnei2πn(k∆t)/(N∆t) =
∞∑
n=−∞
Cnei2πnk/N
58
Análisis de Fourier
Señales discretas
Señales discretas periódicas. Serie de Fourier discreta.
Cn para valores discretos se calcula teniendo en cuenta:
Cn =1
T
∫ +T2
−T2
f (t)e−i2πnt/T dt =1
T
∫ T
0
f (t)e−i2πnt/T dt
Como en un periodo sólo hay datos en N instantes tk , se pueden calcularN valores de Cn.
Cn =1
N∆t
N−1∑
n=0
f (k∆t)e−i2πnk∆t/(N∆t)∆t =1
N
N−1∑
n=0
f (k∆t)e−i2πnk/N
Figura: Aproximación de una integral por una suma.59
Análisis de Fourier
Señales discretas
Señales discretas periódicas. Serie de Fourier discreta.
TeoremaCualquier función periódica discreta de periodo T = N∆t se puededescomponer como:
f (k∆t) =N−1∑
n=0
Cnei2πnk/N
Cn =1
N
N−1∑
k=0
f (k∆t)e−i2πnk/N
◮ Las frecuencias de cada Cn son: ωn = 2πnT
= 2πnN∆t
.
◮ Es facil comprobar que C−n = C∗n , por lo que |C−n| = |Cn| y el
espectro (ωn, |Cn|) es simétrico respecto al eje x = 0.
60
Análisis de Fourier
Señales discretas
Señales discretas periódicas. Serie de Fourier discreta.
Propiedades
◮ n = 0
C0 =1
N
N−1∑
k=0
f (k∆t) ⇒ Media de los valores discretos de f , f (k∆t).
Como f (k∆t) son valores reales, C0 es un número real.
◮ n =N
2
CN2=
1
N
N−1∑
k=0
f (k∆t)e−i2π(N/2)k/N =1
N
N−1∑
k=0
f (k∆t) cos(πk)
CN2
también es un número real.
61
Análisis de Fourier
Señales discretas
Señales discretas periódicas. Serie de Fourier discreta.
◮ n =N
2+ m
CN2 +m =
1
N
N−1∑
k=0
f (k∆t)e−i2π(N/2+m)k/N
=1
N
N−1∑
k=0
f (k∆t)e−i2πmk/Ne−ikπ = C∗N2 −m
Luego los elementos simétricos respecto a N/2 son complejosconjugados.
62
Análisis de Fourier
Señales discretas
Señales discretas periódicas. Serie de Fourier discreta.
* Esto quiere decir que la mitad de la información es redundante, yaque conociendo los términos desde n = 1 hasta n = N
2− 1 puedes
conocer los términos desde n = N2+ 1 hasta n = N − 1.
* La frecuencia más alta que se puede evaluar es
ωmaxk = ωN
2= 2π(N/2)/(N∆t) =
π
∆t
que se conoce como la frecuencia de Nyquist.
ωNyquist =π
∆trad/s, fNyquist =
1
2∆tHz.
* Si la señal original tiene una frecuencia mayor que ωNyquist entoncesla serie de Fourier no la puede evaluar.
* Lo anterior es válido si N es par. Si N es impar, la mayor frequenciaque se puede conocer es la correspondiente a n = N−1
2. A partir de
ahí la información es redundante.* Por tanto, como la frecuencia de Nyquist se ha definido como ωN
2,
no es posible evaluar esta frecuencia con N impar (la máximafrecuencia que se puede evaluar es ωN−1
2).
* Se volverá a incidir sobre ésto al estudiar la DFT. 63
Análisis de Fourier
Señales discretas
Señales discretas periódicas. Serie de Fourier discreta.
Análisis de Fourier
◮ Señales continuas.◮ Señales continuas periódicas.
◮ Serie de Fourier.◮ Serie de Fourier compleja.
◮ Señales continuas no periódicas.◮ Serie de Fourier.◮ Transformada de Fourier.
◮ Señales discretas.◮ Señales discretas periódicas.
◮ Serie de Fourier discreta.◮ Señales discretas no periódicas.
◮ Serie de Fourier discreta.◮ Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT).◮ Transformada de Fourier discreta (DFT).
64
Análisis de Fourier
Señales discretas
Señales discretas periódicas. Serie de Fourier discreta.
En el caso de que tengamos valores discretos de una señal no periódica,se puede aplicar el análisis de Fourier de dos maneras:
1. Creando una señal discreta periódica a partir de la señal noperiódica.
2. Transformada de Fourier en tiempo discreto.
3. Transformada de Fourier discreta .
Figura: Señal discreta no periódica.
65
Análisis de Fourier
Señales discretas
Señales discretas no periódicas. Serie de Fourier discreta.
1. Creando señal discreta periódica.
◮ Si tenemos una señal discreta, f (tk), definida entre ta y tb podemoscrear una señal periódica a partir de ella, g(tk), simplementerepitiendo f (tk).
◮ El periodo de g(tk) es T = tb − ta = N∆t.◮ g(tk) puede analizarse utilizando la serie de Fourier discreta. Los
resultados obtenidos son válidos en el intervalo [tb − ta].66
Análisis de Fourier
Señales discretas
Señales discretas no periódicas. Serie de Fourier discreta.
Por tanto, las ecuaciones serían
f (k∆t) =
N−1∑
n=0
Cnei2πnk/N
Cn =1
N
N−1∑
k=0
f (k∆t)e−i2πnk/N
67
Análisis de Fourier
Señales discretas
Señales discretas no periódicas. Transformada de Fourier en tiempo discreto.
2. Transformada de Fourier en tiempo discreto
h(tk) =
{
f (tk) tk ∈ [ta, tb]0 resto
◮ La otra opción consiste en definir una función discreta periódicapero cuyo periodo es infinito, h(tk).
◮ Esto se hace discretizando la Transformada de Fourier Continua.
68
Análisis de Fourier
Señales discretas
Señales discretas no periódicas. Transformada de Fourier en tiempo discreto.
Las ecuaciones de la transformada de Fourier en tiempo continuo son
H(ω) =1
2π
∫ ∞
−∞
h(t)e−iωtdt
h(t) =
∫ ∞
−∞
H(ω)e iωtdω
Conocemos N valores [tk , f (tk)], tk = k∆t, k = 0, 1, . . . ,N − 1
H(ω) =1
2π
∫ ∞
−∞
h(k∆t)e−iωk∆tdt =1
2π
N−1∑
k=0
h(k∆t)e−iωk∆t∆t
=∆t
2π
N−1∑
k=0
h(k∆t)e−iωk∆t
Esta función es periódica con periodo 2π∆t
ya que
e−iωk∆t = e−iω(k+ 2π∆t )∆t , ∀k
69
Análisis de Fourier
Señales discretas
Señales discretas no periódicas. Transformada de Fourier en tiempo discreto.
h(k∆t) =
∫ ∞
−∞
H(ω)e iωk∆tdω
H(ω)e iωk∆t es periódica con periodo 2π∆t
por lo que la integral anteriortoma un valor infinito. Por ello se integra en un periodo
h(k∆t) =
∫
2π∆t
H(ω)e iωk∆tdω
Por otro lado, el factor ∆t2π que acompaña a H(ω) en la ecuación anterior
se suele poner a h(k∆t), ya que el resultado final es el mismo.
TeoremaLa Transformada de Fourier y la Transformada Inversa de Fourier entiempo discreto (Discrete Time Fourier Transform, DTFT) se definen:
H(ω) =
N−1∑
k=0
h(k∆t)e−iωk∆t
h(k∆t) =∆t
2π
∫
2π∆t
H(ω)e iωk∆tdω
70
Análisis de Fourier
Señales discretas
Muestreo de señales
Muestreo de señalesLas señales en tiempo discreto pueden aparecer de muchas formas, perolo más común es que aparezcan como consecuencia del muestreo deseñales en tiempo continuo.
A partir de una señal continua xc(t)se obtiene una secuencia de muestrasxk mediante la relación
xk = xc(k∆t)
donde ∆t = tk − tk−1 es el periodode muestreo y
fs =1
∆t
es la frecuencia de muestreo, ennumero de muestras por segundo. Figura: Señal muestreada
71
Análisis de Fourier
Señales discretas
Muestreo de señales
TeoremaSea función continua xc(t), el valormuestreado de xc(t) en t = tk es elproducto
xk = x(tk) = x(t)δ(t − tk)
dónde δ(t) es la función impulso.
Cuando queremos muestrear envarios puntos multiplicamos por untren de impulsos.
◮ (a) Señal continua.
◮ (b)-(c) Señal muestreada. Lainformación contenida en (b) y(c) es la misma ya que
∫ ∞
−∞
x(t)δ(t−k∆t) = x(k∆t) = xk Figura: Señal muestreada
72
Análisis de Fourier
Señales discretas
Muestreo de señales
◮ La diferencia fundamental entre xs(t) (Figura b) y xk (Figura c) esque xs(t) es una señal en tiempo continuo (concretamente un trende impulsos) que es cero excepto en múltiplos enteros de ∆t.
◮ Por el contrario, la secuencia xk está indexada con la variable enterak , lo que introduce una normalización en el tiempo. Es decir, lasecuencia de números xk no contiene información explícita sobre lafrecuencia de muestreo.
Por este motivo las ecuaciones de la DTFT se expresan también como
H(ω) =
N−1∑
k=0
hke−iωk
hk =1
2π
∫
2π
H(ω)e iωkdω
Es decir, se toma ∆t = 1, no hay referencia al periodo de muestreo. Estohace que las ecuaciones sean más generales, se pueden aplicar a cualquiersecuencia de valores discretos, no solamente a secuencias obtenidas conmuestreo.
73
Análisis de Fourier
Señales discretas
Muestreo de señales
Representación del muestreo en el dominio de la frecuencia
(a) Señal que queremos muestrear,h(t) (muestreamos cada T seg).
(b) Tren de impulsos ∆(t).
(e) Muestreo de h(t)= producto deh(t) y el tren de impulsos ∆(t).
(c) Transformada de Fourier deh(t), H(f ).
(d) Transformada de Fourier deltren de impulsos ∆(t), ∆(f ).
(f) Convolución de H(f ) y ∆(f ): laT. F. del producto es laconvolución.
La señal (f) es la transformada deFourier de la señal muestreada (e).
74
Análisis de Fourier
Señales discretas
Muestreo de señales
Aliasing
Se repite el mismo proceso que en lafigura anterior, pero ahora lafrecuencia de muestreo, 1/T, esmenor que 2fc , y por tanto aparecesolapamientos en la transformada deFourier de la señal muestreada. Laseñal obtenida en (e) estádistorsionada debido a lossolapamientos, y no es posiblerecuperar la señal original h(t) apartir de sus muestras h(t) ·∆(t).A este fenómeno se conoce comoALIASING.
75
Análisis de Fourier
Señales discretas
Muestreo de señales
El aliasing siempre aparece al muestrearuna señal continua. Si se cumple queH(f ) = 0 para f ≥ fc , podemos evitarel aliasing tomando
1
T≥ 2fc
Si la señal en frecuencias no se hacenula a partir de un valor, sólo podemoshacer que el error de aliasing seapequeño disminuyendo T.En la figura de la izquierda, la señal h(t)está muestreada con frecuencia demuestreo
fs =1
T= 2fc
A esa frecuencia se le conoce comofrecuencia de Nyquist.
76
Análisis de Fourier
Señales discretas
Muestreo de señales
Aliasing en el dominio del tiempo◮ Sea y1 = cos(2πft). Tomamos valores discretos cada ∆t. Si
1
2∆t= fs
2< f , entonces por los valores discretos pasan
y1 = cos(2πft) y también y2 = cos(2π|f − fs |t). Este es elfenómeno del aliasing en el dominio del tiempo.
◮ Para evitar el aliasing, fs2= 1
2∆t≥ fmax , es decir, la frecuencia de
Nyquist tiene que ser mayor o igual que la máxima frecuencia quehay en nuestros datos.
◮ fs es la frecuencia de muestreo (numero de datos por segundo).
−0.05 −0.04 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
−1
0
1
(a) f = 60 Hz; fs = 400 Hz; f
nq = 200 Hz
−0.05 −0.04 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
−1
0
1
(b) f = 60 Hz; fs = 120 Hz; f
nq = 60 Hz
−0.05 −0.04 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
−1
0
1
(c) f = 60 Hz; fs = 80 Hz; f
nq = 40 Hz
a fs/2 > 60: por los datos sólo pasay1 = cos(2π60t).
b fs/2 = 60: caso límite (fnq = f ); porlos datos sólo pasa y1 = cos(2π60t)
c fs/2 < 60: por los datos pasany1 = cos(2π60t) e y2 = cos(2π20t).
77
Análisis de Fourier
Señales discretas
Muestreo de señales
Teorema de muestreo
Hay un numero infinito de señales que pueden generar un conjunto dadode nuestras. El teorema del muestreo nos indica qué condicione se tienenque dar para que unos valores muestreados especifiquen unívocamente ala señal y la podamos reconstruir perfectamente.
78
Análisis de Fourier
Señales discretas
Muestreo de señales
Teorema (Teorema del muestreo de Nyquist)Sea x(t) una señal continua que cumple que
X (f ) = 0 para |f | ≥ fm;
x(t) está determinada unívocamente mediante sus muestrasxk = x(k∆t), k = 0,±1,±2, . . . si
fs =1
∆t≥ 2fm [Hz]
fs es la frecuencia de muestreo y fm es la frecuencia a partir de la cualX (f ) se anula. Se define la frecuencia de Nyquist como la mitad de la demuestreo, y por tanto la condición anterior también se expresa como
fnq =fs
2=
1
2∆t≥ fm [Hz]
79
Análisis de Fourier
Señales discretas
Muestreo de señales
Interpretación gráfica del Teorema de muestreo
Si se cumplen las condiciones del teorema, la señal recuperada xr (t)coincide con la señal de partida x(t).
80
Análisis de Fourier
Señales discretas
Transformada de Fourier discreta (DFT)
3. Transformada de Fourier discreta (DFT)Por último tenemos que obtener una expresión de la Transformada deFourier que sea discreta en el tiempo y en frecuencia para que lapodamos implementar con el ordenador. Para ello partimos de laTransformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT)
H(ω) =
N−1∑
k=0
h(k∆t)e−iωk∆t
h(k∆t) =∆t
2π
∫
2π∆t
H(ω)e iωk∆tdω
Tomando valores discretos de la frecuencia
ωn =2πn
T=
2πn
N∆t, n = 0, 1, . . . ,N − 1
⇒ ∆ω = ωn − ωn−1 =2π
T=
2π
N∆t
81
Análisis de Fourier
Señales discretas
Transformada de Fourier discreta (DFT)
H(ωn) =N−1∑
k=0
h(k∆t)e−iωnk∆t =N−1∑
k=0
h(k∆t)e−i 2πnkN
h(k∆t) =∆t
2π
N−1∑
n=0
H(ωn)eiωnk∆t∆ω =
∆t
2π
N−1∑
n=0
H(ωn)ei 2πnk∆t
N∆t2π
N∆t=
=1
N
N−1∑
n=0
H(ωn)ei 2πnk
N
TeoremaLa Transformada de Fourier discreta y la Transformada Inversa de Fourierdiscreta (Discrete Fourier Transform, DFT) se definen mediante:
H(n∆ω) =N−1∑
k=0
h(k∆t)e−i 2πnkN
h(k∆t) =1
N
N−1∑
n=0
H(n∆ω)e i 2πnkN
82
Análisis de Fourier
Señales discretas
Transformada de Fourier discreta (DFT)
Interpretación gráfica de la DFT(a) Función en el tiempo h(t) y su
transformada de Fourier, H(f ).
(b) Tren de impulsos ∆0(t) y sutransformada de Fourier ∆0(f ).
(c) Muestreo de h(t), h(t) ·∆0(t), y sutransformada de Fourier H(f ) ∗∆0(f ).
(d) Las señales no son infinitas: latruncamos multiplicando en el tiempopor una ventana x(t) de altura unidad.Esta ventana también tiene T. Fourier.
(e) h(t) ·∆0(t) · x(t) y su T. FourierH(f ) ∗∆0(f ) ∗ X (f )
(f) Muestreamos en frecuencia multipl. porun tren de impulsos, ∆1(f ).
(g) h̃(t) = [h(t) ·∆0(t) · x(t)] ∗∆1(t)H̃(f ) = [H(f ) ∗∆0(f ) ∗ X (f )] ·∆1(f ) 83
Análisis de Fourier
Señales discretas
Transformada de Fourier discreta (DFT)
Las fórmulas para la DFT son generales y se pueden aplicar a cualquierconjunto de datos {x0, x1, x2, . . . , xN−1}, sin que necesariamenteprovengan del muestreo de una señal continua
TeoremaSean N valores discretos {x0, x1, x2, . . . , xN−1}. La Transformada deFourier discreta (DFT) y la Transformada Inversa de Fourier discreta(IDFT) se definen mediante:
Xn =
N−1∑
k=0
xke−i2πnk/N , n = 0, 1, · · · , (N − 1)
xk =1
N
N−1∑
n=0
Xnei2πnk/N , k = 0, 1, · · · , (N − 1)
De hecho, estas ecuaciones se pueden obtener sin hacer referencia a laTransformada de Fourier continua, diréctamente trabajando con datosdiscretos.
84
Análisis de Fourier
Señales discretas
Transformada de Fourier discreta (DFT)
Comentarios◮ Aunque hemos partido de la Transformada de Fourier continua, que
presupone periodo infinito, al discretizar obtenemos una funciónperiódica (ver Figura 6.2 (g)).
◮ En realidad, el resultado obtenido construyendo una función discretaperiódica
f (k∆t) =N−1∑
n=0
Cnei2πnk/N , k = 0, 1, · · · , (N − 1)
Cn =1
N
N−1∑
k=0
f (k∆t)e−i2πnk/N , n = 0, 1, · · · , (N − 1)
es idéntico al obtenido discretizando la Transf. de Fourier continua
h(k∆t) =1
N
N−1∑
n=0
H(n∆ω)e i2πnk/N , k = 0, 1, · · · , (N − 1)
H(n∆ω) =
N−1∑
k=0
h(k∆t)e−i2πnk/N , n = 0, 1, · · · , (N − 1)85
Análisis de Fourier
Señales discretas
Transformada de Fourier discreta (DFT)
Comentarios◮ Existe un algoritmo muy eficiente para implementar la DFT
conocido como Fast Fourier Transform (FFT).◮ La transformada de Fourier reproduce exáctamente los valores xk ,
pero no reproduce exáctamente la señal continua x(t). Será tantomás precisa en cuanto el intervalo de muestreo tienda a cero.
◮ El factor 1
Nno siempre va con Xn. Depende del autor.
◮ Para k = 1 estamos en el instante de tiempo t = (k − 1)∆t = 0seg .◮ Matlab utiliza las siguientes expresiones:
Xn =
N∑
k=1
xke−i(2π/N)(n−1)(k−1) n = 1, 2, · · · ,N
xk =1
N
N∑
n=1
Xnei(2π/N)(n−1)(k−1) k = 1, 2, · · · ,N
◮ El espectro {(ωn, |Xn|) : n = 0, 1, . . . , (N − 1), ωn = 2πn/(N∆t)} essimétrico respecto al eje y .
86
Análisis de Fourier
Señales discretas
Transformada de Fourier discreta (DFT)
EjemploCalcular la DFT de los datos obtenidos al muestrear la señal x(t) = t2
con ∆t = 1 seg considerando
◮ N=8;
◮ N=9.
N=8
k tk = k∆t xk n ωn = 2πN∆t
n Xn
0 0 0 0 0 1401 1 1 1 π/4 -4.69+77.25i2 2 4 2 2π/4 -24.00+32.00i3 3 9 3 3π/4 -27.31+13.25i4 4 16 4 4π/4 -28.005 5 25 5 5π/4 -27.31-13.25i6 6 36 6 6π/4 -24.00-32.00i7 7 49 7 7π/4 -4.69-77.25i
87
Análisis de Fourier
Señales discretas
Transformada de Fourier discreta (DFT)
◮ Los valores anteriores se han obtenido en Matlab haciendox=[0 1 4 9 16 25 36 49];X=fft(x);
◮ La frecuencia de muestreo fs y de Nyquist fnq son
fs =1
∆t= 1 Hz = 2π rad/s, fnq =
fs
2=
1
2∆t= 0,5 Hz = π rad/s.
◮ Para n=0 el resultado es real y es la suma de los xk
X0 =N−1∑
k=0
xk = 140
◮ Para n=N/2=4 el resultado también es real
XN2=
N−1∑
k=0
xke−i2πkN/2
N =
N−1∑
j=0
xke−iπj =
N−1∑
k=0
xk cos(πk)
= 0 − 1 + 4 − 9 + 16 − 25 + 36 − 49 = −28
88
Análisis de Fourier
Señales discretas
Transformada de Fourier discreta (DFT)
◮ Se cumple que Xn = X ∗N−n, n = 1, 2, . . . ,N/2 − 1. Efectivamente
X1 = X ∗7 , X2 = X ∗
6 , X3 = X ∗5 .
* Esto quiere decir que la mitad de la información es redundante, yaque conociendo los términos desde n = 1 hasta n = N
2− 1 se pueden
conocer los términos desde n = N2+ 1 hasta n = N − 1.
* La frecuencia más alta que se puede evaluar es la frecuencia deNyquist
ωmaxk = ωN
2= 2π(N/2)/(N∆t) =
π
∆t
* Si la señal original tiene una frecuencia mayor que ωNyquist entoncesla DFT no la puede evaluar y se produce aliasing.
◮ Como vemos estas propiedades eran válidas para las series de Fourierdiscretas.
89
Análisis de Fourier
Señales discretas
Transformada de Fourier discreta (DFT)
N=9
k tk = k∆t xk n ωn = 2πN∆t
n Xn
0 0 0 0 0 2041 1 1 1 2π/9 -2.03+11.27i2 2 4 2 4π/9 -29.61+48.27i3 3 9 3 6π/9 -34.50+23.38i4 4 16 4 8π/9 -35.86+7.14i5 5 25 5 10π/9 -35.86-7.14i6 6 36 6 12π/9 -34.50-23.38i7 7 49 7 14π/9 -29.61-48.27i8 8 64 8 16π/9 -2.03-11.27i
◮ La frecuencia de muestreo fs y de Nyquist fnq son
fs =1
∆t= 1 Hz = 2π rad/s, fnq =
fs
2=
1
2∆t= 0,5 Hz = π rad/s.
◮ Para n=0 el resultado es real y es la suma de los xk
X0 =
N−1∑
k=0
xk = 204
90
Análisis de Fourier
Señales discretas
Transformada de Fourier discreta (DFT)
◮ Se cumple que Xn = X ∗N−n, n = 1, 2, . . . ,N/2. Efectivamente
X1 = X ∗8 , X2 = X ∗
7 , X3 = X ∗6 , X4 = X ∗
5 .
* Luego la mitad de la información es redundante, ya que conociendolos términos desde n = 1 hasta n = N−1
2se pueden conocer los
términos desde n = N+1
2hasta n = N − 1.
* La frecuencia más alta que se puede evaluar es
ωmaxk = ωN−1
2= (2π(N − 1)/2)/(N∆t) =
π
∆t
N − 1
N= 8π/9
* Por lo tanto no es posible evaluar la frecuencia de Nyquist (ωN2) con
N impar.
* Si la señal original tiene una frecuencia mayor que ωN−12
entonces la
DFT no la puede evaluar y se produce aliasing.
91
Análisis de Fourier
Señales discretas
Transformada de Fourier discreta (DFT)
0 2 4 6 80
20
40
60
80
N=8, xk
tk (s)
t2
0 0.8 1.6 2.4 3.1 3.9 4.7 5.50
50
100
150
200
250
N=8, |Xn|
ωn (rad/s)
|Xn|
0 2 4 6 80
20
40
60
80
N=9, xk
tk (s)
t2
0 0.7 1.4 2.1 2.8 3.5 4.2 4.9 5.60
50
100
150
200
250
N=9, |Xn|
ωn (rad/s)
|Xn|
92
Análisis de Fourier
Señales discretas
Transformada de Fourier discreta (DFT)
EjemploSean N datos reales, {xj , j = 0, 1, . . . ,N − 1}. La transformada discretade Fourier y la transformada inversa de estos datos se define como
Xk =N−1∑
j=0
xje−i
2πjkN , k = 0, 1, . . . ,N − 1
xj =1
N
N−1∑
k=0
Xke i2πjkN , j = 0, 1, . . . ,N − 1
Expresar la transf. discreta de Fourier como suma de senos y cosenos.
◮ Para k = 0
X0 =
N−1∑
j=0
xj
Es la suma de todos los datos de partida, y por lo tanto, es unnúmero real. Esto es válido tanto si N es par como si es impar. En elresto de pasos hay que distinguir entre ambas situaciones:
93
Análisis de Fourier
Señales discretas
Transformada de Fourier discreta (DFT)
N es par
◮ Para k = N2
XN2=
N−1∑
j=0
xje−i
2πjN/2N =
N−1∑
j=0
xje−iπj =
N−1∑
j=0
xj cos(πj)
luego es la suma de los números pares menos la suma de losnúmeros impares (y también es un número real).
◮ Para k = 1
X1 =N−1∑
j=0
xje−i
2πjN
que es un número complejo. Pero
XN−1 =
N−1∑
j=0
xje−i
2πj(N−1)N =
N−1∑
j=0
xje−i2πje i
2πjN =
N−1∑
j=0
xjei2πjN
Es decir, XN−1 es el complejo conjugado de X1. Y en general secumple que XN−r es el complejo conjugado de Xr , parar = 1, 2, . . . , N
2− 1.
94
Análisis de Fourier
Señales discretas
Transformada de Fourier discreta (DFT)
Teniendo en cuenta estas tres propiedades podemos hacer
xj =1
N
N−1∑
k=0
Xke i2πjkN =
=1
NX0 +
1
NXN
2cos(πj) +
N/2−1∑
k=1
(
Xke i2πjkN + XN−ke i
2πj(N−k)N
)
=1
NX0 +
1
NXN
2cos(πj) +
1
N
N/2−1∑
k=1
(
Xke i2πjkN + X ∗
k e−i2πjkN
)
dónde X ∗k es el complejo conjugado de Xk . Supongamos que
Xk = zk + iyk ; desarrollando
Xke i2πjkN + X ∗
k e−i2πjkN = (zk + iyk)
[
cos
(
2πjk
N
)
+ i sin
(
2πjk
N
)]
+
(zk − iyk)
[
cos
(
2πjk
N
)
− i sin
(
2πjk
N
)]
= 2zk cos
(
2πjk
N
)
− 2yk sin
(
2πjk
N
)
95
Análisis de Fourier
Señales discretas
Transformada de Fourier discreta (DFT)
Sustituyendo arriba
xj =1
NX0 +
1
NXN
2cos(πj) +
1
N
N/2−1∑
k=1
(
Xke i2πjkN + X ∗
k e−i2πjkN
)
=1
NX0 +
1
NXN
2cos(πj) +
1
N
N/2−1∑
k=1
(
2zk cos
(
2πjk
N
)
− 2yk sin
(
2πjk
N
))
=a0
2+
N/2∑
k=1
(
ak cos
(
2πjk
N
)
+ bk sin
(
2πjk
N
))
donde
ak =2zk
N, bk = −2yk
N
aN2=
XN2
N, bN
2= 0
96
Análisis de Fourier
Señales discretas
Transformada de Fourier discreta (DFT)
Esta ecuación se puede agrupar un poco más
xj =
N/2∑
k=0
(
ak cos
(
2πjk
N
)
+ bk sin
(
2πjk
N
))
donde
a0 =X0
N, b0 = 0
aN2=
XN2
N, bN
2= 0
ak =2zk
N, bk = −2yk
N
97
Análisis de Fourier
Señales discretas
Transformada de Fourier discreta (DFT)
N es imparPara k = 1
X1 =
N−1∑
j=0
xje−i
2πjN
que es un número complejo. Pero
XN−1 =
N−1∑
j=0
xje−i
2πj(N−1)N =
N−1∑
j=0
xje−i2πje i
2πjN =
N−1∑
j=0
xjei2πjN
Es decir, XN−1 es el complejo conjugado de X1. Y en general se cumpleque XN−r es el complejo conjugado de Xr , para r = 1, 2, . . . , N−1
2.
98
Análisis de Fourier
Señales discretas
Transformada de Fourier discreta (DFT)
Teniendo en cuenta estas tres propiedades podemos hacer
xj =1
N
N−1∑
k=0
Xke i2πjkN =
=1
NX0 +
(N−1)/2∑
k=1
(
Xke i2πjkN + XN−ke i
2πj(N−k)N
)
=1
NX0 +
1
N
(N−1)/2∑
k=1
(
Xke i2πjkN + X ∗
k e−i2πjkN
)
dónde X ∗k es el complejo conjugado de Xk . Supongamos que
Xk = zk + iyk ; desarrollando
Xke i2πjkN + X ∗
k e−i2πjkN = (zk + iyk)
[
cos
(
2πjk
N
)
+ i sin
(
2πjk
N
)]
+
(zk − iyk)
[
cos
(
2πjk
N
)
− i sin
(
2πjk
N
)]
= 2zk cos
(
2πjk
N
)
− 2yk sin
(
2πjk
N
)
99
Análisis de Fourier
Señales discretas
Transformada de Fourier discreta (DFT)
Sustituyendo arriba
xj =1
NX0 +
1
N
(N−1)/2∑
k=1
(
Xke i2πjkN + X ∗
k e−i2πjkN
)
=1
NX0 +
1
N
(N−1)/2∑
k=1
(
2zk cos
(
2πjk
N
)
− 2yk sin
(
2πjk
N
))
=a0
2+
(N−1)/2∑
k=1
(
ak cos
(
2πjk
N
)
+ bk sin
(
2πjk
N
))
donde
ak =2zk
N, bk = −2yk
NO también como
xj =
(N−1)/2∑
k=0
(
ak cos
(
2πjk
N
)
+ bk sin
(
2πjk
N
))
donde
a0 =X0
N, b0 = 0, ak =
2zk
N, bk = −2yk
N100
Análisis de Fourier
Señales discretas
Transformada de Fourier discreta (DFT)
EjemploLa transformada de Fourier continua estaba definida para frecuenciaspositivas y negativas.
h(t) =
∫ ∞
−∞
H(ω)e iωtdω
Expresar también la transformada de Fourier discreta para frecuenciaspositivas y negativas.
xk =
N−1∑
k=0
Xnei2πnk/N , k = 0, 1, · · · , (N − 1)
Para resolver este ejercicio nos basamos en la propiedad X−n = X ∗n .
101
Análisis de Fourier
Señales discretas
Transformada de Fourier discreta (DFT)
◮ Si N es par:
xk =
N/2∑
n=−N/2−1
Xnei2πnk/N , k = 0, 1, · · · , (N − 1)
* X0 y XN2
son reales.
* X−r = X ∗
r , r = 1, . . . , N2− 1.
◮ Si N es impar:
xk =
(N−1)/2∑
n=−(N−1)/2
Xnei2πnk/N , k = 0, 1, · · · , (N − 1)
* X0 es real.* X−r = X ∗
r , r = 1, . . . , N−1
2.
◮ Si expresamos xk (tanto N par como N impar) como suma de senosy cosenos obtenemos la misma expresion que antes.
102