Date post: | 15-Jun-2015 |
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Estructuras Algebraicas
estudiantes de ingeniería de sistemas.
integrantes:Milton bolívarKeiler marical Felix charris
Estructuras AlgebraicasFrecuentemente la primera dificultad que encuentra el alumno en el
estudio de las Estructuras Algebraicas es asimilar la existencia de operadores como * que expresan operaciones que no tienen porqué ser las clásicas conocidas de adición, diferencia, producto, cociente,
etc. Sino que pueden expresar otras formas de composición (operaciones definidas por una ley de variación que puede o no expresarse
en fórmulas)
* a b
a a b
b b a
* 0 1
0 0 1
1 1 0
Tabla 1
Tabla 2
Según la tabla 2, el operador * genera los siguientes resultados:
0 * 0 = 0 Si G = { 0, 1 }Notemos que todos los resultados de
operar algún elemento de G con otro elemento del mismo conjunto (incluso
consigo mismo) . . .Son elementos del mismo conjunto G ( 0 ó 1 )entonces
* Es una Ley de Composición interna en G* Es una Ley de Composición interna en G
1 * 0 = 1
0 * 1 = 11 * 1 = 0
* se lee “asterisco”
Si una operación * respecto de los elementos de un conjunto G
que se escribe: (G, *), verifica que:
1) G2 G * es una Ley de composición interna en G
2) a, b, c : a, b, c G (a * b) * c = a * (b * c) Asociativa
Definida una operación * si el resultado de operar dos elementos cualesquiera de G con * es otro elemento de G, hay L.C.I.
Definida una operación * si con tres elementos cualesquiera de G la operación * responde a la propiedad asociativa
(G, *) tiene estructura de semi-grupo si además
3) e G / a : a G a * e = e * a = a Existe Elemento Neutro
Definida una operación * si en el conjunto G existe al menos un elemento “e”, que al operarlo con cualquier otro elemento “a” de G, resulta el mismo elemento “a”
4) a : a G, a´ G / a * a´ = a´ * a = e Existe Elemento Inverso
Definida una operación * si para cada elemento de G existe al menos un elemento a´ que al operar con a dá como resultado el neutro e
(G, *) tiene estructura de grupo
1a1a 1b1b 1c1c
Si además de cumplirse las cuatro condiciones anteriores - lo que hace a (G,*) Grupo -
5) a, b : a, b G a * b = b * a Conmutativa
(G, *) tiene estructura de grupo abeliano ó grupo conmutativo
Sea una estructura algebraica definida en un conjunto G con dos leyes de composición * y
(G, * ) es Anillosi . . .
1) (G, *) es Grupo abeliano
2) (G, ) es semi Grupo
3) es distributivo a izquierda y derecha respecto de *
a, b, c G : a (b * c) = (a b) * (a c)
(b * c) a = (b a) * (c a)
Si la segunda ley de composición es conmutativa,
(G, * ) es AnilloConmutativo
Si (G * ) es Anillo
Y además posee elemento neutro respecto de (G * ) es Anillo con
Unidad
Un Anillo con unidad cuyos elementos no nulos son inversibles se llama Anillo Anillo con divisióncon división
Si un Anillo con división es conmutativo, se llama CuerpoCuerpo
1) (G, *) es Grupo abeliano
2) (G , ) es Grupo abeliano, salvo que el 0 no es inversible
3) es distributivo respecto de *
Ejemplo: (Z, * (Z, * )) donde * es la adición (suma) y es el producto ordinario
No es cuerpoNo es cuerpo, pues los únicos elementos no nulos que admiten inverso multiplicativo son 1 y - 1
(R, * (R, * )) donde * es la adición (suma) y es el producto ordinario
Es CuerpoEs Cuerpo
1) a) Si G1 = { x / x = 2k, k Z } ; * es el producto ordinario
Sean k, t Z
2k · 2t = 2(k + t) Si k, t Z (k + t) Z Luego 2(k + t)
G1
2k · (2t · 2s) = 2k · 2(t + s) = 2k + ( t + s) = 2( k + t ) + s = 2( k + t ) · 2s = (2 k · 2 t ) ·
2s
Asociatividad
2 k · e = 2 k · 2 t = 2 ( k + t ) = 2 k
Existencia de Elemento Neutro Para cada 2k debe existir 2t = e con t Z
Entonces 2t = 2 0 es un elemento del conjunto G1
Existencia de Elemento InversoSi e = 20 (ya demostrado)
2k · x = 20 = 1 2k 2t = 20 k + t = 0
Entonces t = -k lo que es claro que t Z y 2t G1
Conmutativa
2k 2t = 2 (k + t) = 2 ( t + k) = 2 t 2 k
valiéndonos de la conmutatividad de la suma
en Z
(G, * ) es Grupo Abeliano(G, * ) es Grupo Abeliano
k + t = k entonces t = 0 0 Z
1 c1 c1 b1 b
Entonces * es L.C.I. En G1
1) b) Si G2 = { x / x = 3 k , k N } ; * es la adición (+)
G2 es un conjunto conformado por todos los naturales múltiplos de 3 ;
. . . entre otros : si k = 1 , x = 3 ; si k = 2 , x = 6 ; k = 3 , x = 9 . . . .
Para k, t N
3k + 3t = 3 (k + t)
Pero (k + t) N LCI ok
Asociatividad Debe verificarse que 3 k + ( 3 t + 3 s ) = ( 3 k + 3 t) + 3 s
3 k + ( 3 t + 3 s ) = 3 k + 3 (t + s) = 3 [k + (t + s)] =
3 [(k + t) + s)] = 3 (k + t) + 3 s = (3 k + 3 t) + 3 s
Se acepta la asociatividad de la adición para los números
naturales
Existencia de Elemento Neutro en G para *
Si existe e (neutro) en G, tendrá la forma e = 2t donde t N
3 k + 3 t = 3 k si 3 t = e
Entonces 3 k + 3 t = 3 (k + t) = 3 k
Luego ( k+ t ) = k t = 0
Pero 0 N entonces . . .
NO Existe Elemento Neutro en G para *
( G( G22, * ) No es Grupo, * ) No es Grupo1 c1 c
1) c) Si G3 = { 1; -1 } ; * es el producto ordinario
Por tratarse de un conjunto finito y con pocos elementos, algunas condiciones pueden ser analizadas para cada situación . . . 1 · 1 = 1 G3
-1 · 1 = -1 G3
-1 · -1 = 1 G3
1 · -1 = -1 G3Se verifica que * es L.C.I. en G3
Podemos admitir que la Asociatividad “se hereda” de la asociatividad del producto entre elementos del conjunto de los
números enterosSabemos que para el producto existe neutro en Z, pero debemos verificar que ese neutro G3
-1 · e = -1 e = 1
1 · e = 1 e = 1
1 G3
Existe neutro
Analizamos si cada elemento de G3 admite inverso en G3
1 · x = e = 1 x = 1
-1 · x = e = 1 x = -1
Los elementos de G3 admiten
inversoPodemos admitir que la Conmutatividad “se hereda” de la
conmutatividad del producto entre elementos del conjunto de los números enteros
( G( G33, * ) es Grupo Abeliano, * ) es Grupo Abeliano
2) Sea A = { x R / ; a Z b Z }. Comprobar que A es un anillo conmutativo y con unidad con la suma y el producto ordinario de números reales.
Supongamos dos elementos cualquiera que pertenecen al conjunto A; ellos son :
2ba
2dc
2bax
Analizamos (A, *); en este caso * es la suma, analizamos entonces (A, +)
)dc()ba( 22 2)db()ca( conZca
Zdb
* es L.C.I. * es L.C.I. en Aen A
La AsociatividadAsociatividad se “hereda” de la asociatividad de la suma para los números reales, porque es evidente que si a, b, c y d son números enteros; R R
Supongamos que existe nulo y es 2dc entonces + = es nulo
)ba()dc()ba( 222 esto es posible para c = 0 y d = 0
c c Z Z d d Z Z A ALo que prueba la existencia de Lo que prueba la existencia de
neutro en A para la sumaneutro en A para la suma
Si existe elemento inverso para cada elemento de A
+ = 0 es inverso de
),()dc()ba( 20022 ),()db()ca( 20022
),()db()ca( 2002 Debe ser a + c = 0
c = - a Z
b + d = 0
d = - b Z
A)ba()dc( 22Prueba la existencia de Prueba la existencia de inversoinverso
La ConmutatividadConmutatividad se “hereda” de la conmutatividad de la suma para los números reales, porque es evidente que si a, b, c y d son números enteros; R R
(A, *) es Grupo Abeliano(A, *) es Grupo AbelianoAnalizamos ahora ( A, )
donde es el producto ordinario
)dc()ba( 22 2222 )(bdbcadacaplicando distributiva
22 )bcad()bdac( A
es LCI en A es LCI en A
porque . . .
ac + 2bd Z ad + bc Z
La AsociatividadAsociatividad se “hereda” de la asociatividad del producto para los números reales, porque es evidente que si a, b, c y d
son números enteros; R R (de la misma manera se verifica también la conmutativaconmutativa
(A, (A, ) es Semi Grupo ) es Semi Grupo
es doblemente distributivo respecto de es doblemente distributivo respecto de * *
, , A : ( * ) = ( ) * ( )
( * ) = ( ) * ( )
, , son números reales y sabemos que en el conjunto de los números reales el producto es distributivo respecto de la
suma
( A, *, ( A, *, ) Es Anillo ) Es Anillo ConmutativoConmutativo
3) Sea K = { 0, 1 } y la suma y el producto definidos en K, según las siguientes tablas :
* 0 1
0 0 1
1 1 0
0 1
0 0 0
1 0 1
Probar que estas operaciones definen
sobre K una estructura de cuerpo.
Analizamos ( K, * )
De observar la tabla del operador * resulta que todos los resultados posibles son elementos del conjunto K0 * 0 = 0 0 * 1 = 1 1 * 0 = 1 1 * 1 = 0
* Es L.C.I. en K
Asociativa ; verificamos . . . por ejemplo
( 0 * 1 ) * 0 = 1 * 0 = 1 0 * ( 1 * 0 ) = 0 * 1 = 1
El 0 es neutro; 0 * 0 = 0 y 0 * 1 = 1
0 * 0 = 0 El inverso para 0 es 0 1 * 1 = 0 El inverso para 1 es 1
De analizar la tabla, comprobará también que * es conmutativo
( K, * ) Es Grupo Abeliano( K, * ) Es Grupo Abeliano
sabiendo que * y son asociativasy es doblemente distributiva respecto de *
Analizamos ( K – {0}, ) 0 1
0 0 0
1 0 1
De observar la tabla del operador resulta que todos los resultados posibles son elementos del conjunto K
Asociativa ; verificamos . . . por ejemplo
( 0 1 ) 0 = 0 0 = 0 0 ( 1 0 ) = 0 0 = 0
Existe neutro en K para pues 1 0 = 0 y 1 1 = 1 el neutro es el 1El inverso para 1 es 1 1 1 = 1
( K, ( K, ) Es Grupo Abeliano, ) Es Grupo Abeliano, salvo que el 0 no es inversiblesalvo que el 0 no es inversible
0 0 = 0 0 1 = 0 1 0 = 0 1 1 = 1 L.C.I. de en K
De analizar la tabla, comprobará también que es conmutativo
y sabemos que es doblemente distributivo respecto de *
por ejemplo . . .
( K, *, ( K, *, ) Es Cuerpo ) Es Cuerpo
( 0 * 1 ) 0 = 1 0 = 0 ( 0 0 ) * ( 1 0 ) = 0 * 0 = 00 ( 0 * 1 ) = 0 0 = 0 ( 0 0 ) * ( 0 1 ) = 0 * 0 = 0
3) Ejemplo