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ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICOFACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE INGENIERÍAS CIVIL Y GEOMÁTICADEPARTAMENTO DE ESTRUCTURAS
ASIGNATURA: ESTÁTICA ESTRUCTURALTEMA: CENTROIDES
ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
CENTRO DE MASA.
CENTRO DE GRAVEDAD.
CENTROIDES:
CENTRO GEOMÉTRICO DE UNA SUPERFICIE.
INICIO
EJEMPLO.
ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
CENTRO DE GRAVEDAD.
Considerando un sistema de n partículas fijo dentro del sistema dereferencia global XG , YG y ZG.
Los pesos de las partículas consisten en un sistema de fuerzasparalelas al eje global ZG, cuyas coordenadas Xi y Yi se conocen.
Xn
Yn
ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
Este punto de aplicación se llama centro de gravedad.
El sistema de fuerzas paralelas, se puede sustituir por un solo pesoresultante o equivalente en un punto definido de aplicación.
… CENTRO DE GRAVEDAD.
El peso resultante o equivalente es igual a la suma de todos los pesos:
ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
La suma de los momentos de los pesos de todas las partículas respecto alos ejes XG, y YG, es igual al momento que produce el peso resultante WRrespectivamente a esos ejes.
La sumatoria de momentos respecto al eje YG es:
… CENTRO DE GRAVEDAD.
Donde xi y yi son las coordenadas de cada partícula Wi respecto
al sistema de referencia.
La sumatoria de momentos respecto al eje XG es:
ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
Finalmente la fuerza resultante WR y sus coordenadas quedan de la
siguiente forma:
WR
… CENTRO DE GRAVEDAD.
Donde:WR es la suma de todos los pesos de todo el sistema de partículas.
xC y yC son las coordenadas del centro de gravedad G del sistema de partículas.
xCyC
G
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ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
Considerando la 2ª Ley de Newton: F = ma que también se puedeescribir como: W = mg y suponiendo que la aceleración de lagravedad g para cada partícula es constante, se tiene:
CENTRO DE MASA.
La suma de los momentos de las masas de todas las partículasrespecto a los ejes XG y YG, es igual al momento de la masaresultante mR respectivamente a esos ejes:
ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
La sumatoria de momentos respecto al eje YG es:
… CENTRO DE MASA.
Donde Xi y Yi son las coordenadas de cada partícula mi respecto
al sistema de referencia.
La sumatoria de momentos respecto al eje XG es:
ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
Finalmente la masa resultante mR y sus coordenadas del punto de
aplicación quedan de la siguiente forma:
mR
… CENTRO DE MASA.
Donde:mR es la suma de todas las masas de todo el sistema de partículas.
xC y yC son las coordenadas del centro de masas Cm del sistema de partículas.
XC
YC
Cm
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ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
Considerando un sistema de referencia global XG, YG y ZG.
CENTRO GEOMÉTRICO DE UNA SUPERFICIE.
Si se tiene una superficie, ésta se puede dividir en n áreas o elementos diferenciales de área, dA i, como se muestra en la figura.
Xn
Yn
ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
De las áreas de las n partículas se puede hacer una sumatoria de
momentos de primer orden respecto a los ejes en que estácontenida la superficie. De forma similar a un centro de gravedad sepuede calcular un punto donde se puede concentrar toda el área dela superficie, o área resultante o equivalente.
… CENTRO GEOMÉTRICO DE UNA SUPERFICIE.
A este punto de aplicación se llama centro geométrico.
El área total de la superficie se puede obtener de la siguiente forma:
ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
La sumatoria de momentos respecto al eje YG es:
… CENTRO GEOMÉTRICO DE UNA SUPERFICIE.
La sumatoria de momentos respecto al eje XG es:
Donde xi y yi son las coordenadas de dAi respecto al sistema de
referencia.
ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
Finalmente las coordenadas del centro geométrico de la superficiese obtiene con las siguientes expresiones:
… CENTRO GEOMÉTRICO DE UNA SUPERFICIE.
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ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
Las coordenadas del centro geométrico (centroide) de la superficie se obtiene con las siguientes expresiones:
CÁLCULO DEL CENTROIDE DE UN TRIÁNGULO.
ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
Obtener el centroide de la figura de área triangular de base a y altura b, que se muestra en la figura siguiente:
… CÁLCULO DEL CENTROIDE DE UN TRIÁNGULO.
ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
En la figura, el elemento diferencial de base dx y altura y, recorre a la figura desde un valor 0 hasta una distancia a, por lo que se tiene:
… CÁLCULO DEL CENTROIDE DE UN TRIÁNGULO.
Su área es: dA = ydx , por lo que su área se calcula como:
ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
Calculando momentos de primer orden respecto al eje Y, se tiene:
… CÁLCULO DEL CENTROIDE DE UN TRIÁNGULO.
ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
Finalmente, la ordenada del centroide de la figura es:
… CÁLCULO DEL CENTROIDE DE UN TRIÁNGULO.
ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
Calculando momentos de primer orden respecto al eje X, se tiene:
… CÁLCULO DEL CENTROIDE DE UN TRIÁNGULO.
ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
Finalmente, la ordenada del centroide de la figura es:
… CÁLCULO DEL CENTROIDE DE UN TRIÁNGULO.
ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
Sus coordenadas centroidales quedan de la siguiente forma:
… CÁLCULO DEL CENTROIDE DE UN TRIÁNGULO.
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