05_RootLocus..yaco

7/26/2019 05_RootLocus..yaco

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1

MTODO ROOT LOCUS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA

Facultad de Ingeniera Qumica y Textil

Curso: Simulacin y Control de Procesos - PI426

Profesor: Ing. Celso Montalvo


2/54

CELSO MONTALVO 2

Polos, Ceros y Ganancia Esttica Cualquier Funcin de Transferencia

puede expresarse como una divisinde polinomios.

Los polinomios pueden expresarsecomo el producto de factores queincluyen las races de los polinomios.

Se denominapolos

a las races deldenominador.

Se denomina zerosa las raices delnumerador.

El coeficiente K se denomina

Ganancia Esttica.

1

0 1 1

1

0 1 1

...( )

...

m m

m m

n n

n n

b s b s b s bG s

a s a s a s a

+ + + +=

+ + + +

1 2

1 2

( ) ( ) (...) ( )( )

( ) ( ) (...) ( )

m

n

K s z s z s zG s

s p s p s p

=


3/54

CELSO MONTALVO 3

El Lugar de las Races Un Sistema de Control en Lazo

Cerrado con Retroalimentacin tpico

se muestra aqu: La Funcin de Transferencia ante

perturbaciones del proceso sedescribe como:

+

-R C

Kc

U1

3 1s +

1

2 1s +

5

1( ) 2 1

1 1( )1 5

3 1 2 1

C s s

U sKc

s s

+= + + +

Operando, la Ecuacin Caracterstica es:

( ) ( )5

1 3 1 2 1

Kc

s s

+ + + Segn el Anlisis de Estabilidad

estudiado en el Mtodo de Routh, elsistema mostrado sera inestable sialguna de sus races es positiva.

Podemos evaluar la estabilidad delsistema para cada valor de Kc sigraficamos su ecuacin:

( ) ( )2

51 0

3 1 2 1

6 5 (1 5 ) 0

Kc

s s

s s Kc

+ =

+ +

+ + + =

2

1,2

5 5 4 6 (1 5 )

2 6

Kcr

+=

2

1,2

1 1r j para

= Kc > 0, -0.5 < r1< -5/12

En estos casos r1es real.

Para Kc > 1/120, r1es complejo,

pero la parte real es constante y laparte imaginaria crece hacia arriba.

La raiz r2es simtrica pero susvalores tambin se encuentran allado izquierdo del eje imaginario.

En ningn caso las raices puedentomar valores positivos, por lo tantoeste sistema es estable paracualquier valor de Kc.

1,2

5 11 120

12 12

r Kc=

2

1,2

5 5 4 6 (1 5 )

2 6

Kcr

+=

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1Root Locus

Real Axi s

ImaginaryAxis

La grfica de las raices de la ecuacin caracterstica en el plano

imaginario es el lugar de las races Root Locus.

[ ],5 9

,12 12

x y =

+ 2

3Kc=

22 2

cos( )

1

= =

+

2

1,2

1r j

=


5/54

CELSO MONTALVO 5

El Lugar de las Races Si el Transmisor tiene retraso de 1er

Orden el nuevo Diagrama es:

La Funcin de Transferencia anteperturbaciones del proceso es:

+

-R C

Kc

U1

3 1s +

1

2 1s +

1( ) 2 1

1 1 5( )1

3 1 2 1 0.1 1

C s s

U sKc

s s s

+= + + + +

La Ecuacin Caracterstica es:

( ) ( ) ( )

5

1 3 1 2 1 0.1 1

Kc

s s s

+ + + + La obtencin de las races para

polinomios de 3r orden mayor noes fcil algebraicamente y debeprocederse a mtodos numricos, yal uso de computadoras poderosascalculadoras.

( ) ( ) ( )3 2

51 0

3 1 2 1 0.1 1

0.6 6.5 5.1 (1 5 ) 0

Kc

s s s

s s s Kc

+ =

+ + +

+ + + + =

5

0.1 1s +


6/54

CELSO MONTALVO 6

El Lugar de las Races La figura muestra la grfica de las

races r1(azul), r2(verde) y r3(rojo).

Usando mtodos numricos se halla: Existen tres races y tres ramas. Dos

raices son complejas conjugadas ysus grficas son simtricas al ejereal.

La raiz r1 empieza en r1= -10 paraKc = 0 y crece sobre el eje realnegativo hacia al crecer Kc.

La raiz r2inicia en r2= -1/2 para Kc =0, luego crece por el eje real hasta r2= -5/12 y de all sigue como razcompleja hasta el infinito.

Para Kc 10.85 la parte real de laraiz r2se vuelve positiva y el sistemaes inestable.

La raiz r3tiene grfica simtrica a r2.

( ) ( ) ( )3 2

51 0

3 1 2 1 0.1 1

0.6 6.5 5.1 (1 5 ) 0

Kc

s s s

s s s Kc

+ =

+ + +

+ + + + =

La raiz r3inicia en r3= -1/3para Kc =0; crece sobre eleje real hacia r3= -5/12,luego se hace complejahacia el infinito. Cruza el eje

imaginario para Kc = 10.85

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 1 2-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5Root Locus

Real Axis

ImaginaryAxis


7/54CELSO MONTALVO 7

Reglas para Graficar Nos referimos a la Funcin de

Transferencia en Lazo Abierto ,

expresada en polos y ceros.1. El nmero de Ramas es igual al

nmero de polos en la ecuacincaracterstica. [3 polos].

0.5 1 0.03 1

0.5 1 2 1

sFTLA Kc

s s s

+ = + +

+

-R C

U0.03

1s +

1

2 1s +

11

0.5Kc

s

+

12 0.03 2

112

sFTLA Kc

s s s

+ =

+ +

( )

( )

0.032

21

12

s

FTLA Kc

s s s

+

= + +

2. Las ramas lugares de las races(loci) parten de polos y terminan enceros. Si el N de ceros es menorque el de polos, la diferencia es elN de ramas que irn al infinito. Lasraices repetidas producen ramas

repetidas. [3 polos - 1 cero = 2ramas al infinito].



Reglas para Graficar El grfico del Lugar de las Races se

muestra con colores para cada rama

3. Ubicar en el grfico los polos y ceros.Un punto del Eje Real Negativo esparte de una rama si la cantidad depolos y ceros a su derecha es impar.

4. Las ramas entran y salen del EjeReal en ngulos de 90. Un puntode salida entrada al Eje Realcumple la ecuacin: ( )

( )

0.032

21

12

s

FTLA Kc

s s s

+

= + +

Polos: 0, -1, -1/2

Ceros: -2

1 1

i js p s z= 1 1 1 1

11 2

2

s s ss

+ + =+ ++

El punto de salida se halla iterando en elrango s = [pi, pi+1]Iterando se obtienen las races -0.227369,-0.81096, -2.71167. Slo vale la 1era.



Reglas para Graficar

5. Las ramas que van al infinito tienenasntotas espaciadas en ngulos360/(p-z), formando ngulos180(2k+1)/(p-z) respecto al eje real(k = 0, 1, 2 ...).

( )

( )

0.032

21

12

s

FTLA Kc

s s s

+

= + +

360180

3 1=

180 (2 1)90 (2 1)

3 1

90,270

kk

+= +

=

Las asntotas parten desde el EjeReal del Centro de Gravedad dadopor:

i jp zCG

p z

=

10 1 2

2 0.253 1

CG

+= = +

+0.25



Reglas para Graficar6. Las ramas salen de un polo pc

complejo conjugado al ngulo:

( )

( )

0.032

21

12

s

FTLA Kc

s s s

+

= + +

( )1 180 2 1 ( ) ( )

0,1,..., 1

m n

c i c j

i j c

k p z p pq

k q

= + +

=

Las ramas llegan a un cero complejoconjugado v al ngulo:

q es el orden del polo si existe (s+p)q

( )1 180 2 1 ( ) ( )

0,1,..., 1

n m

d j d i

j i d

k z p z zv

k v

= + +

=

En el ejemplo no hay polos ni ceros complejos. Losngulos de salida son 0 180.Ej. Para el polo 0, = 180x1 + 0 - 0 - 0 = 180Para el polo 1/2, = 180x1 + 0 - 0 -180 = 0

( )c ip x es el ngulo desde pca xi.



-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4Root Locus

Real Axis

ImaginaryAxis

Reglas para Graficar7. El valor de Kc al cruzar el eje

imaginario (pasando a inestable) seobtiene por el mtodo de Routh.

( )

( )

0.032

21

12

s

FTLA Kc

s s s

+

= + +

El valor de Kc sobre el eje imaginario es Kc = 100

( )

( )

0.032

21 01

12

s

Kc

s s s

+

+ = + +

( )3 23 3 0.03 2 0

2 2 2s s s Kc s+ + + + =

3 23 1 0.03 0.03 02 2 2

s s Kc s Kc + + + + = 1 0.03

12 2

3 0.032

1 0.03

2 6

0.03

Kc

Kc

Kc

Kc

+

Kc = 100



-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4Root Locus

Real Axis

ImaginaryAxis


( )

( )

0.032

21

12

s

FTLA Kc

s s s

+

= + +

Reemplazando en el polinomio el

valor de Kc por 100 y el de s por j:3 23 1 0.03 0.03 0

2 2 2s s Kc s Kc

+ + + + =

( )

3 2

2 3

3 1 0.03( ) ( ) 100 ( ) 0.03 100 0

2 2 2

3 3 2 02

j j j

j

+ + + + =

+ + + =

Igualando la parte real a 0 se obtiene:23 3 0

2

2

+ =

=

Entonces, las ramas cruzan el ejeimaginario en y2j+ 2j

2j+



Aplicaciones del MtodoRoot Locus El Mtodo Root Locus puede

usarse para evaluar el efecto de la

variacin de parmetros de controlen la estabilidad del sistema.

Ubicando el punto de operacin enel plano imaginario, mientras msalejado est el punto del eje

imaginario el sistema ser msestable. Mientras ms alejado seencuentre del eje real, el sistemaser ms oscilatorio.

Aproximando un sistema de orden

superior a uno de 2do orden, elfactor es igual al arco cuyo cosenoes el ngulo desde el punto 0 hastael punto de operacin. La ordenadaimaginaria es la frecuencia a Kc max.

-2 -1.5 -1 -0.5 0-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Root Locus

Real Axi s

ImaginaryAxis

cos( ) =

21 =

* Valor para asentamiento de := 77.56; = 0.21545

Ms Estable

Ms Oscilatorio

Ms OvershootMs rpido

2 2Re Im = +

(Re,Im)



Ubicacin de un punto de Operacin Este Proceso es estable

para cualquier Kc.

El proceso tiene 3 ramas,por tanto tiene 3 races.

Un punto de operacin (unvalor de Kc) se representapor 3 puntos (3 races) en

el plano imaginario. La Estabilidad se compara

usando la raz mscercana al eje imaginario.

Root Locus

Real Axis

ImaginaryAxis

-1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Kc=50

Kc=50

Kc=50

Kc=100

Kc=100

Kc=100 Kc=1 Kc=1

Kc=1

Para qu valor de Kc es ms estable?

Para qu valor de Kc es ms oscilatorio? ms overshoot?

Qu tan oscilatorio es para Kc = 1?



Puntos de Operacin

Root Locus

Real Axis

Imag

inaryAxis

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

C

A

A

A

A

BB

B

BC C

C

Punto A:

K = 3.2

= 0.442

= 0.807Ov = 0.213

Punto B:

K = 0.18

> 0.707

= 0.455Ov = 0

Punto C:

K = 0.021

> 0.707

= 0.264Ov = 0

( 0.5 )( 0.5 )( )

( 2)( 1.5)( 1)( 0.25)

s j s js

s s s s

+ + + =

+ + + +G

Kc = 3.2 Kc = 0.18 Kc = 0.021

La referencia es la raz ms a la derecha

Notar el cambio del overshoot al crecer K



Ubicacin de Polos y Zeros La ubicacin de Polos y Zeros en el Plano Complejo determina la

estabilidad del proceso y la forma de la Respuesta Transitoria.

Para la siguiente Funcin en Lazo Cerrado:( )

( )( )K s a

FTLCs b s c

+=

+ +

El valor de los polos no depende deK. El sistema ser estable si los

polos son negativos, inestable si laparte real de algn polo es positivo.

Tampoco dependen del valor de los zeros. El sistema ser establesi los polos son negativos an cuando los zeros sean positivos.

La Respuesta Transitoria de la funcin anterior es:

Im

Re-1-2 +2+1

+1

+2

-1

-2

-3-4-5-6-7-8-9-10-11

Polos Estables

Zero Negativo Zero Positivo

Polo Inestable

1( ) [( ) ( ) ]bt ct FTLC t a b e a c e

c b

=

Los zeros positivos generanrespuesta inversa pero estable.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Step Response

Time (sec)

Amplitude

( )( )( )

4 1

2 3

sFTLC

s s

=

+ +

( )( )( )

4 1

2 3

sFTLC

s s

+=

+ +



Ubicacin de Polos y Zeros Para la siguiente Funcin en Lazo Abierto:

( )

( )( )

K s aFTLA

s b s c

+=

+ + La Funcin en Lazo Cerrado es:

( )( )( )

( )

( ) ( )

( )2 ( ) ( )

1

K s a

s b s c K s aFTLC

K s a s b c K s b cK a

s b s c

+

+ + += =

+ + + + + + +

+ +( )

2 2 2 2 2 2( ) ( 2 2 ) (2 4 ) ( ) ( 2 2 ) (2 4 )

2 2

K s aFTLC

b c K b c K bK cK bc aK b c K b c K bK cK bc aK s s

+=

+ + + + + + + + + + + + + + + + +

El sistema es estable si los polos son negativos. Como se ve, el

valor de los polos depende de K y del valor de los zeros en laFTLA. As, un zero positivo podra generar un sistema inestable.

An si la FTLC es de 1er o 2do orden, un zero positivo en LazoAbiertopodra generar un sistema inestable en Lazo Cerrado.

Un zero positivo no hace inestable al sistema en lazo abierto pero

afecta su estabilidad (lo puede hacer inestable) en lazo cerrado.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1Step Response

Time (sec)

Amplitude

( )( )( )

4 1

2 3

sFTLA

s s

=

+ +

( )

( )( )

4 2

2 3

sFTLA

s s

=

+ +



Ventajas y Desventajas El Mtodo Root Locuspermite conocer fcilmente la forma de la

respuesta dinmica del sistema en lazo cerrado.

Con el uso de computadoras es fcil su uso en el diseo desistemas de control basados en control proporcional.

Permite evaluar la estabilidad en forma gruesa, pero no permiteevaluar un margen de seguridad, a menos que se suponga queel sistema se aproxima a uno de 2do Orden.

El efecto del cambio en la ganancia no es uniforme y depende decada sistema. Para evaluarlo hay que calcular para cada Kcpropuesto.

No puede usarse con sistemas que tienen tiempo muerto. En talcaso debe usarse una Aproximacin de Pad.

EJEMPLO


19/54

19

FIN






20/54

CELSO MONTALVO 20

Uso de la HP 50g Factorizacin de la expresin:@3.Factor

1 1 1 1

11 2

2

s s ss

+ + =+ ++

( ) ( ) ( )( )'1/ 1/ 1 1/ 1/ 2 1/ 2 'FACTOR X X X X + + + + +

`

( ) ( ) ( )

3 24 15 12 20

2 1 2 1

X X X

X X X X

+ + +=

+ + +

En la HP50g:

PROOT([4,15,12,2])`

[-0.227369, -0.810962, -2.711668]

Se escoge la raz que cae sobre una rama.


21/54

CELSO MONTALVO 21

Uso de la HP 50g Expansin para uso de mtodo de Routh:@1.Collect

( ) ( ) ( )( )( )'1 0.015 2 / / 1 / 1/ 2 'COLLECT K X X X X + + + +

`

( )3 23 2

1.5 0.015 0.5 0.030

0.015 5

X X K X K

X X X

+ + + +=

+ +

Coeficientes:

( )

( )

0.032

21 0

112

s

Kc

s s s

+

+ =

+ +

1 0.015 0.5

1.5 0.03

1

1

K

K

b

c

+ ( )( )( )1 ' 1.5 0.015 0.5 0.03 /1.5 '1 0.005 0.5

1 0.03

0.5100

0.005

b COLLECT K K

b K

c K

K

= +

= +

=

= =


22/54

CELSO MONTALVO 22

Uso de la HP 50g Cruce del eje imaginario:

@1.Collect

( ) ( ) ( )( )( )' ^ 3 3 / 2 ^ 2 1/ 2 100 3 / 2 /100 100 3 /100 'COLLECT Xi Xi Xi+ + + +

`

( ) ( )( ) ( )

3 2

2 3

2

0, 1 1.5 0,2 3 01.5 3 2 0

1.5 3 0

2

X X X

i + + =

+ + + =

+ =

=

3 2

3 2

3 1 0.030.03 0

2 2 2

3 1 0.03( ) ( ) 100 ( ) 0.03 100 02 2 2

s s Kc s Kc

j j j

+ + + + =

+ + + + =

Obtencin de la parte real:

!9Complex`1.Re

( ) ( )( )

( )

3 2

2

2

0, 1 1.5 0,2 3

1.5 3

1.5 3 0

2

RE X X X

X

+ +

+ =

=


23/54

CELSO MONTALVO 23

Ejemplo Calcular el Kc mximo, la ltima

frecuencia y el valor de cuando Kc es

la mitad del valor mximo.Solucin:

( )

( )

( ) ( )

[ ] ( )

( ) ( )

2

4 12 1

0.2 1 0.1 12 2 1

12 4

1 1 1 10.2 2 0.1 5 102 2 2 2

1200

1 1 1 15 10

2 2 2 2

sFTLA Kc

s ss s

sFTLA Kc

s s j s j s

sFTLA Kc

s s j s j s

+ = + ++ + + =

+ + + + +

+=

+ + + + +

+

-

R Kc 2

4( 1)

2 2 1

s

s s

++ +

2

0.2 1s +

1

0.1 1s+

1. Hay 4 polos, 1 cero.2. Habrn 4 ramas, tres irn al infinito.

Im

Re-1-2 +2+1

+1

+2

-1

-2

-3-4-5-6-7-8-9-10-11


24/54

CELSO MONTALVO 24

Ejemplo (cont)( )

( ) ( )

1

1 1 1 15 10

2 2 2 2

sFTLA K

s s j s j s

+=

+ + + + +

+

-

R Kc 2

4( 1)

2 2 1

s

s s

++ +

2

0.2 1s +

1

0.1 1s+3. Un punto del eje real es parte de unarama si a su derecha hay suma impar depolos y ceros.

Im

Re-1-2 +2+1

+1

+2

-1

-2

-3-4-5-6-7-8-9-10-11

4. Las ramas entran y salen del eje real enngulos de 90 y los puntos de entrada y

salida cumplen:1 1 1 1 1

1 1 1 15 10 1

2 2 2 2

s s ss j s j

+ + + =+ + ++ + +

Las races son:-0.3355; -1.8923-0.7185j;

-1.8923+0.7185j; -7.8798.Ninguna raz cae en rangovlido para ramas, ningunarama entra sale del ejereal.


25/54

CELSO MONTALVO 25

Ejemplo (cont)( )

( ) ( )

1

1 1 1 15 10

2 2 2 2

sFTLA K

s s j s j s

+=

+ + + + +

+

-

R Kc 2

4( 1)

2 2 1

s

s s

++ +

2

0.2 1s +

1

0.1 1s+5. Las ramas al infinito tienen asntotasespaciadas por 360/(p-z), formandongulos 180(2k+1)/(p-z).

Im

Re-1-2 +2+1

+1

+2

-1

-2

-3-4-5-6-7-8-9-10-11

1 1 1 15 10 1

2 2 2 2 54 1

j j

CG

+ += =

Las asntotas parten del Centro de Gravedad:

360 180 (2 1)120 60 ;180;300

4 1 4 1

k+= =


26/54

CELSO MONTALVO 26

Ejemplo (cont)

( )1 180 2 1 ( ) ( )

0,1,... , 1

m n

c i c j

i j c

k p z p pq

k q

= + +

=

( )

( ) ( )

1

1 1 1 15 10

2 2 2 2

sFTLA K

s s j s j s

+=

+ + + + +

+

-

R Kc 2

4( 1)

2 2 1

s

s s

++ +

2

0.2 1s +

1

0.1 1s+6. Las ramas salen de los polos al ngulo:

Im

Re-1-2 +2+1

+1

+2

-1

-2

-3-4-5-6-7-8-9-10-11

Para el polo -1/2+j/2 los ngulos son:

1

2

3

1 1 1/ 2

1 452 2 2 2 1/ 2

1 19 1/ 210 3.01

2 2 2 2 19 / 2

1 9 1/ 25 6.34

2 2 2 2 9 / 2

1 1

2 2 2 2

j jarctg

j jarctg

j jarctg

j jj

+ + = + + = = + + = + + = =

+ + = + + = =

+ + + = 4

1 90

0arctg = =

( )1 180 0 1 45 3.01 6.34 901

125.65

= + +

=

125.65

El ngulo de salida desdeel polo conjugado es .No hay ceros disponibles,las dos ramas irn a lasasntotas pendientes.

j l ( )


27/54

CELSO MONTALVO 27

Ejemplo (cont)

1 65.5 25

16 57.5

1 25

1

K

K

b K

c

+

+

+

( )

( ) ( )

1

1 1 1 15 10

2 2 2 2

sFTLA K

s s j s j s

+=

+ + + + +

+

-

R Kc 2

4( 1)

2 2 1

s

s s

++ +

2

0.2 1s +

1

0.1 1s+

7. La rama azul corta el eje j = 0 cuando:

Im

Re-1-2 +2+1

+1

+2

-1

-2

-3-4-5-6-7-8-9-10-11

Las dos ramas faltantes pueden trazarse en forma aproximada:

( )( )( )

( )( )( ) ( )( ) ( )

2

2

4 3 2

11 0

5 1/ 2 10

5 1/ 2 10 1 0

16 65.5 57.5 25 0

sK

s s s s

s s s s K s

s s s K s K

+ + = + + + +

+ + + + + + =

+ + + + + + =

Los valores de K resultan K


28/54

CELSO MONTALVO 28

( )

22 2

5.259181.30 cos 0.1512

0.8044

1 0.15125.2591 0.8044 5.32 0.18585.32

arctg = = = =

= + = = =

Ejemplo (cont)( )

( ) ( )

1

1 1 1 15 10

2 2 2 2

sFTLA K

s s j s j s

+=

+ + + + +

+

-

R Kc 2

4( 1)

2 2 1

s

s s

++ +

2

0.2 1s +

1

0.1 1s+7. Para K = 744.87/2 = 372.435: (Kc = K/200)

Im

Re-1-2 +2+1

+1

+2

-1

-2

-3-4-5-6-7-8-9-10-11

( )( )( ) ( )24 3 2

5 1/ 2 10 372.435 1 0

16 65.5 429.935 397.435 0

s s s s s

s s s s

+ + + + + + =

+ + + + =

125.65

Usamos la 2da raz:

+3

+4

+5

+6

+7

+8

Races (en cada rama):- 13. 3494

- 0. 8044 + 5. 2591j- 0. 8044 - 5. 2591j- 1. 0527

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

4 3 2

4 2 3

4 2

max

16 65.5 802.37 769.87 0

65.5 769.87 16 802.37 0

65.5 769.87 0

7.0815

j j j j

j

+ + + + =

+ + =

+ =

=

ltima Frecuencia:

Alternativa

S lid d d P l C l j


29/54

CELSO MONTALVO

-5 -4 -3 -2 -1 0 1-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Root Locus

Real Axis

ImaginaryAxis

30

Salida desde un Polo Complejo

( )( )( )( )( )

3

1 2 2 4

sFTLA K

s s j s j s

+=

+ + + + +

( ) ( )2 3 11

451

j j

arctg

+ + = +

= =

( ) ( )2 4 21

26.562

j j

arctg

+ + = +

= =

( ) ( )2 2 0 22

900

j j j

arctg

+ + + = +

= =

( ) ( )2 1 11

2251

j j

arctg

+ + = +

= =

ngulo de Salida: 180 + 45 - 26.56 + 225 - 90 = 333.44

S lid d d P l C l j


30/54

CELSO MONTALVO

-5 -4 -3 -2 -1 0 1-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Root Locus

Real Axis

ImaginaryAxis

31

Salida desde un Polo Complejo

( )( )( )( )( )

3

1 2 2 4

sFTLA K

s s j s j s

+=

+ + + + +

ngulo de Salida: 333.44


31/54

CELSO MONTALVO 33

Ejemplo Adicional Calcular el valor lmite de Iy el valor de

cuando Ies la mitad del mximo.

Solucin:

( ) ( )

Operamos la Ecuacin Caracterstica para que aparezca como factor:

1 3 2 11 1 0

0.5 1 1 0.25 1

1 3 2 11 00.5 1 1 0.25 1

0.5 1 1 0.2

I

I

I

I

I

Kcs s s s

sKcs s s s

s s s

+ + = + + +

+ + = + + + + + ( )

( )( ) ( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

5 1 6 6 0

0.5 1 1 0.25 1 6 6 0

6 /1 0

0.5 1 1 0.25 1 6

6 / 11 0

0.125 6.1989 0.4006 2.9788 0.4006 2.9788

6.1989 0.4006 2.9788 0.4006 2.9788

I

I

I

I

s Kc s Kc

s s s s Kc s Kc

Kc

s s s s Kc s

s s s j s j

KFTLA

s s s j s j

+ + + =

+ + + + + =

+ =+ + + +

+ =

+ + + +

=+ + + +

+

-

R

11

I

Kcs

+

2

1s +

3

0.5 1s +

1

0.25 1s+


32/54

CELSO MONTALVO 34

Ejemplo Adicional Aplicamos las reglas del mtodo :

( )( )( )6.1989 0.4006 2.9788 0.4006 2.9788K

FTLA s s s j s j= + + + +

+

-

R

11

I

Kcs

+

2

1s +

3

0.5 1s +

1

0.25 1s+

1. Hay 4 polos, no hay ceros.

2. Habrn 4 ramas al infinito.

3. Ubicamos los polos en el grfico y trazamos los puntos del eje

real que pertenecen a ramas.4. Entrada y salida del eje real:

Im

Re-1-2 +2+1

+1

+2

-1

-2

-3-4-5-6-7-8-9-10-11

1 1 1 10

6.1989 0.4006 2.9788 0.4006 2.9788s s s j s j+ + + =

+ + + +

Las races son:

-4.3816;

-0.4342 + 1.7340i ;

-0.4342 - 1.7340i .


33/54

CELSO MONTALVO 35

Ejemplo Adicional Continuamos:

( )( )( )6.1989 0.4006 2.9788 0.4006 2.9788K


+

-

R

11

I

Kcs

+

2

1s +

3

0.5 1s +

1

0.25 1s+

5. Espaciamiento de las 4 asntotas: 360/4 = 90.

ngulo de la 1eraasntota: 180/4 = 45.

Centro de Gravedad:

Im

Re-1-2 +2+1

+1

+2

-1

-2

-3-4-5-6-7-8-9-10-11

0 6.1989 0.4006 2.9788 0.4006 2.97881.75

4

j jCG

+= =

45


34/54

CELSO MONTALVO 36

Ejemplo Adicional Seguimos:

( )( )( )6.1989 0.4006 2.9788 0.4006 2.9788K


+

-

R

11

I

Kcs

+

2

1s +

3

0.5 1s +

1

0.25 1s+

6. ngulo de salida de la rama de los polos complejos:

( )

( )

( )

1

2

2.97880.4 2.9788 6.1989 5.7989 2.9788 27.19

5.7989

2.97880.4 2.9788 0 0.4 2.9788 262.350.4

0.4 2.9788 0.4 2.9788 5.9576

j j arctg

j j arctg

j j j

+ + = + + = =

+ + = + = =

+ + + = + 35.9576

900

arctg = =

( )1 180 0 1 0 27.19 262.35 901

325.16 34.84

= + + +

= =

El ngulo de salida desde el otropolo conjugado es , +34.84.

Im

Re-1-2 +2+1

+1

+2

-1

-2

-3-4-5-6-7-8-9-10-11

-34.84

j l di i l


35/54

CELSO MONTALVO 37

Ejemplo Adicional Ahora los cortes al eje imaginario:

( )( )( )6.1989 0.4006 2.9788 0.4006 2.9788K


+

-

R

11

I

Kcs

+

2

1s +

3

0.5 1s +

1

0.25 1s+

7. El valor de K al cruzar el eje imaginario se obtiene con Routh:

Im

Re-1-2 +2+1

+1

+2

-1

-2

-3-4-5-6-7-8-9-10-11

-34.84

( )( )( )4 3 2

1 2 1

1

1 06.1989 0.4006 2.9788 0.4006 2.9788

7 14 56 0

1 14

7 567 14 1 56 7 6 56 7 7

6 5667 7 6 6

Operando: 48 6 / ; 0.125I I

K

s s s j s j

s s s s K

K

K Kb b K c K K

c

K

K Kc Kc

+ =+ + + +

+ + + + =

= = = = = =

> = >K=48

j l Adi i l


36/54

CELSO MONTALVO 38

Ejemplo Adicional Para calcular el punto de operacin:

( )( )( )6.1989 0.4006 2.9788 0.4006 2.9788K


+

-

R

11

I

Kcs

+

2

1s +

3

0.5 1s +

1

0.25 1s+

La mitad del mximo de K es 48/2 = 24, equivale a I= 0.25 si Kc=1:

Im

Re-1-2 +2+1

+1

+2

-1

-2

-3-4-5-6-7-8-9-10-11

-34.84

4 3 27 14 56 24 0s s s s+ + + + =

K=48

2.8784cos arctan 0.073450.2120

= =

Races:

-6.1039-0.2120 + 2.8784i

-0.2120 - 2.8784i

-0.4720

Ej l Adi i l


37/54

CELSO MONTALVO 39

Ejemplo Adicional

Root Locus

Real Axis

ImaginaryAxis

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-6

-4

-2

0

2

4

6

System: G

Gain: 5.99

Pole: -0.00034 + 2.83i

Damping: 0.00012Over shoot (%): 100

Frequency (rad/sec): 2.83

O Ej l M


38/54

CELSO MONTALVO 40

Otro Ejemplo Ms Usando el mtodo mtodo Root-Locus calcule

el perodo de oscilacin de un sistema de 2do

orden equivalente al sistema de controlmostrado.

Solucin:

+

-

R 20 2

1

4 16 1s s+ +1

0.8 1s +

10.5 1s+

( )( ) ( )( )1.25 0.25 2 1 1 1

20 12.51.25 2 1.25 3.94 0.06 22 15 / 2 2 15 / 2G s s s s s ss s

= = + + + + + + + + +

( )( )( )( )4 3 2

1.25 3.94 0.06 2 12.5 0

7.25 15.75 10.81 13.13 0

s s s s

s s s s

+ + + + + =

+ + + + =

2 2 20.1426 1.0052 1.0152 6.1887T

= + = = =

La FTLA es:


Las races son:

-3.4824 + 0.7784j; -3.4824 - 0.7784j; -0.1426 + 1.0052j; -0.1426 - 1.0052j

Usando una de las races complejas:

L f d d l l


39/54

CELSO MONTALVO 41

La forma estndar de clculo (con iteracin) Usando el mtodo Root-Locus calcule el Kc

para obtener asentamiento de 1/4.

Solucin:

3 2

1 1 11 0

3 5 10

18 95 150 0

Kcs s s

s s s Kc

+ = + + +

+ + + + =

Para asentamiento de se requiere que:


1 1 1

3 5 10FTLA Kc

s s s

= + + +

2

2

1/ 0.25C A e

= =0.2154 =

Iterando valores para Kc:

3 2

Para 100

18 95 150 100 0

:

-11.7107

-3.1446 3.3851

-3.1446 - 3.3851

cos(arctan(3.3851/ 3.1446)) 0.6806

Kc

s s s

Raices

i

i

=

+ + + + =

+

=

3 2

Para 592.23

18 95 150 592.23 0

:

-14.9661

-1.5170 6.8770

-1.5170 - 6.8770

cos(arctan(6.877 /1.5170)) 0.2154

Kc

s s s

Raices

j

j

=

+ + + + =

+

=

Continuando la iteracin hasta

No da 0.2154

Este es mi

Mtodo Preferido!

2

2 2

ln

ln

Ov

Ov

=

+

2

2 2

ln

4 ln

As

As

=

+

O l i d l l


40/54

CELSO MONTALVO 42

Otra alternativa de clculo (sin iteracin) Usando el mtodo Root-Locus calcule el Kc

para obtener asentamiento de 1/4.

Solucin:

3 2

1 1 11 0

3 5 10

18 95 150 0

Kcs s s

s s s Kc

+ = + + +

+ + + + =

Para asentamiento de se requiere que:


1 1 1

3 5 10FTLA Kc

s s s

= + + +

2

2

1/ 0.25C A e

= = 0.2154 =Im Im

cos arctan cos arctanRe Re

k

k

= =

Una de las races de la ecuacin caracterstica debe ser: Re Im 4.5335j k k j+ = +

k es cualquier constante real.

( )( ) ( )( )Im 4.5335tan arccos tan arccos 0.2154 4.5335Re

k k

k k

= = = =

( ) ( ) ( )( ) ( )

3 23 2

3 2 3 2

18 95 150 4.53 18 4.53 95 4.53 150 0

60.56 351.4 95 150 79.37 163.1 430.4 0

s s s Kc k kj k kj k kj Kc

k k k k k k j

+ + + + = + + + + + + + =

+ + + + + =3 2

3 2

79.37 163.1 430.4 0 Raices: 3.5727, 1.5178

60.56 351.4 95 150 0 Usando 1.5178 se obtiene 591.94

k k k

k k k Kc k Kc

+ + =

+ + + = = =

Debe estar en el eje real negativo


41/54

43

FIN





Si d C l PID


42/54

CELSO MONTALVO 44

Sistemas de Control PID

La Funcin feedback produce la funcin de transferencia de un

lazo de retroalimentacin negativa.

% Programa en Matlab: s=tf('s');

Kc = 4; Gv = tf(1/(0.2*s+1));

Gp=0.5/(9*s^2+3*s+1);

Gm=tf(1, 'iodelay',0.1);

G1=Kc*Gv*Gp; G2=pade(Gm,1);

LC=feedback(G1,G2);

step(LC)

Problema.Mostrar la RespuestaTransitoria del sistema de controlsiguiente para Kc = 4:

+

-

R

s

e 1.0

1395.0

2 ++ ss12.01

+sKc

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Step Response

Time (sec)

Amplitude

El Mt d R L M tl b


43/54

CELSO MONTALVO 45

El MtodoRoot Locusen Matlab Para Graficar el Lugar de las Races

en Matlab se usa la Funcin rlocus

aplicada sobre la Funcin deTransferencia en Lazo Abierto:

% Creacion del Lugar de las Raices

G = (0.5*s+1+0.5*s^2)/(0.5*s)*0.024/(s+1)/(2*s+1)/(0.5*s+1)

rlocus(G)

+

-R C

U0.03

1s +

1

2 1s +

11

0.5Kc s

s

+ +

( )( ) ( )

20.024 0.5 1 0.5

0.5 1 2 1 (0.5 1)

s sFTLA Kc

s s s s

+ + = + + +

0.8

0.5 1s+

Root Locus

Real Axis

Imaginary

Axis

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-2

-1

0

1

2

3

4

5

System: G

Gain: 411

Pole: -0.309 + 1.4i

Damping: 0.215

Overshoot (%): 50

Frequency (rad/sec): 1.43

El Mt d R L M tl b


44/54

CELSO MONTALVO 46

El MtodoRoot Locusen Matlab La Funcin sgridgenera lneas sobre el diagrama Root Locus en

el plano imaginario, para y constantes:

% Lneas de y constante en el Lugar de las Raices G = (0.5*s+1+0.5*s^2)/(0.5*s)*0.03/(s+1)/(2*s+1); rlocus(G)

z=0.4; w=1; sgrid(z, w)

+

-R C

U0.03

1s +

1

2 1s +

11

0.5Kc s

s

+ +

( )( ) ( )

2

0.03 0.5 1 0.50.5 1 2 1

s sG Kcs s s

+ + = + +

-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0.4

0.4

1

1

Root Locus

Real Axis

ImaginaryAxis

El Mt d R t L M tl b


45/54

CELSO MONTALVO 47

El MtodoRoot Locusen Matlab La Funcin rlocfind permite ubicar un punto en una rama del

grfico Root Locus en Matlab. La funcin provee un cursor con el

cual se puede ubicar el punto tras lo cual Matlab devuelve lasraces de dicho punto y su ganancia correspondiente:

% Races y Ganancia en el Lugar de las Raices G = (0.5*s+1+0.5*s^2)/(0.5*s)*0.03/(s+1)/(2*s+1); rlocus(G)

[Kc, Polos]=rlocfind(G)

Se obt iene:

Select a point in the graphics window

selected_point =

-0.1730 + 0.3913i

Kc =

7.7238Polos =

-1.2754

-0.1702 + 0.3908i

-0.1702 - 0.3908i

Ejemplo (cont)


46/54

CELSO MONTALVO 48

Ejemplo (cont)

( )( )( ) ( )24 3 2

5 1/ 2 10 744.87 1 0

16 65.5 802.37 769.87 0

s s s s s

s s s s

+ + + + + + =

+ + + + =

max 7.0815 =

ltima Frecuencia: (Para Kmax= 744.87)

Retorno

Sus races son:

r oot s( [ 1 16 65. 5 802. 37 769. 87] )

- 14. 97480. 0000 + 7. 0815i0. 0000 - 7. 0815i

- 1. 0252


47/54

49

FIN





R l G fi


48/54

CELSO MONTALVO 50

Reglas para Graficar Nos referimos a la Funcin de

Transferencia en Lazo Abierto ,

expresada en polos y ceros.1. El nmero de Ramas es igual al

nmero de polos en la ecuacincaracterstica. [5 polos]. ( )( )

2

2

1 1 1

2 1 0.5 11 1

sFTLA Kc

s ss s s

+ = + ++ + +

( )

0.5 ( )( ) 2

0.5 21 3 1 31

2 2 2 2

s j s jFTLA Kc

s ss s j s j

+ = + + + + + +

2. Las ramas lugares de las races

(loci) parten de polos y terminanen ceros. Si el N de ceros esmenor que el de polos, ladiferencia es el N de ramas queirn al infinito. Las raices

repetidas producen ramasrepetidas. [5 polos - 2 ceros= 2 ramas al infinito].

+

-

R ( )( )

2

2

1

1 1

s

s s s

+

+ + +1

2 1s +

1

0.5 1s+

Kc

( )( ) ( )

( )( )

1 3 1 30.5 1 2

2 2 2 2

s j s j

FTLA Kcs s s j s j s

+

= + + + + + +

R l G fi


49/54

CELSO MONTALVO

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-3

-2

-1

0

1

2

3Root Locus

Real Axis

ImaginaryAxis

51

Reglas para Graficar El grfico del Lugar de las Races se

muestra con colores para cada rama

3. Ubicar en el grfico los polos y ceros.Un punto del Eje Real Negativo esparte de una rama si la cantidad depolos y ceros a su derecha es impar.

4. Las ramas entran y salen del EjeReal en ngulos de 90. Un puntode salida entrada al Eje Realcumple la ecuacin:

( )( ) ( )

( )( )

1 3 1 3

0.5 1 22 2 2 2

s j s jFTLA Kc

s s s j s j s

+ =

+ + + + + +

1 1

i js p s z

=

1 1 1 1 1 1 1

0.5 1 21 3 1 32 2 2 2

s s s s j s js s

+ + + + = +

+ + + + + + +

Ceros: +j,-j

Polos: 1 1 3 1 3; 1; ; ; 22 2 2 2 2

j j +

Races Iterando: 0.2971.2j; -1.629; -0.6250.67j; -0.7137



50/54

CELSO MONTALVO

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-3

-2

-1

0

1

2

3Root Locus

Real Axis

ImaginaryAxis

52


5. Las ramas que van al infinito tienenasntotas espaciadas en ngulos

360/(p-z), formando ngulos180(2k+1)/(p-z) respecto al eje real(k = 0, 1, 2 ...).

360120

5 2=

180 (2 1)60 (2 1)

5 2

60,180,300

kk

+= +

=Las asntotas parten desde el EjeReal del Centro de Gravedad dadopor:

i jp zCG

p z

=

1 1 3 1 3

1 22 2 2 2 2 1.5

5 2

j j j j

CG

+ + = =

( )( ) ( )

( )( )

1 3 1 3

0.5 1 22 2 2 2

s j s jFTLA Kc

s s s j s j s

+ =

+ + + + + +

60

120

120120



51/54

CELSO MONTALVO 53

Reglas para Graficar6. (cont) Para el ejemplo dado

trabajando con el polo :

( )1 180 2 1 ( ) ( )

0,1,..., 1

m n

c i c j

i j c

k p z p pq

k q

= + +

=

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-3

-2

-1

0

1

2

3Root Locus

Real Axis

ImaginaryAxis

60

120

120120

( )( ) ( )

( )( )

1 3 1 30.5 1 22 2 2 2

s j s jFTLA Kc

s s s j s j s

+ =

+ + + + + +

1 3

2 2j +

los ngulos son:

1

2

3

1 3 1 3 3 / 20 90

2 2 2 2 0

1 3 1 3 3 / 21 60

2 2 2 2 1/ 2

1 3 1 3 30 3 90

2 2 2 2 0

1 3 32

2 2 2

j j arctg

j j arctg

j j j arctg

j

+ + = + + = =

+ + = + + = =

+ + + = + + = =

+ + = +

4

5

6

3 3 / 2 30

2 3/ 21 3 1 3 2 ( 3 2 )/ 2

2552 2 2 2 1/ 2

1 3 1 3 2 ( 3 2 )/ 2 165

2 2 2 2 1/ 2

j arctg

j j j arctg

j j j arctg

+ = =

+ +

+ + = + = =

+ = + = =

( )1 180 0 1 255 165 90 60 90 301

510 150

= +

= =

-150



52/54

CELSO MONTALVO 54

Reglas para Graficar7. El valor de Kc al cruzar el eje

imaginario (pasando a inestable) se

obtiene por el mtodo de Routh.

El valor de Kc mximo (sobre el eje imaginario) esKc = 5.66

( ) ( )( )( )

2

2

11 0

0.5 1 1 2

sKc

s s s s s

+ + = + + + + +

( )

( )

5 4 3 2 2

5 4 3 2

4.5 8 8 4.5 1 1 0

4.5 8 8 4.5 1 0

s s s s s Kc s

s s s Kc s s Kc

+ + + + + + + =

+ + + + + + + =

1 2

1

1

1 8 4.5

4.5 8 1

1

1

Kc Kc

b b

c Kc

d

Kc

+ +

+

+

1

2

2

1 21

1

3 2

1 2 1

1

1

4.5 8 (8 )0.2222 6.2222 0 28

4.5

4.5 4.5 (1 )0.2222 4.278

4.5

(8 ) 4.5 0.2222 5.444 30.53 0 29.20.2222 6.2222

(1 ) -0.1235 7.778 141

Kcb Kc Kc

Kcb Kc

b Kc b Kc Kcc Kcb Kc

c b b Kc s sd

c

+= = + >

Date post:	13-Apr-2018
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05_RootLocus..yaco

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